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NUMERI IPERPERFETTI E SUPERPERFETTI Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some our observations about iper perfect numbers. In final Note also the super perfect numbers

Riassunto In questo lavoro mostriamo alcune osservazioni aritmetiche e stime aritmetiche sulla distribuzione dei sui numeri iperperfetti fino a 10^n (Rif. 1) Nella nota finale accenneremo ai numeri superperfetti con in comune la forma 6k - 2 e il

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fatto che sono pari con in numeri perfetti normali.

°°°°°°°

Dal Rif. 1 riportiamo parzialmente la congettura di Mauro Fiorentini sui numeri iperperfetti e relativa tabella numerica, utile per le nostre osservazioni.

Iperperfetti (numeri) TEORIA DEI NUMERI

Si dicono “iperperfetti” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei divisori propri

escluso uno, più uno; vale a dire che un numero naturale n si dice “k-iperperfetto”, se

.

Se k = 1, abbiamo i numeri perfetti.

Il termine e la definizione si devono a D. Minoli e R. Bear (1975).

Dalla formula si deduce che un intero n k-iperperfetto dà resto uno se diviso per k e

, quindi è intero. Dato che per ogni

primo p che divide n, i fattori primi di n sono tutti maggiori di k. quindi in particolare per k > 1 i

numeri iperperfetti sono tutti dispari e n e k non possono avere fattori comuni.

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Se k è dispari, ; kσ(n) è pari, quindi è pari

anche σ(n), e questo implica che n non sia un quadrato.

Per un intero k-iperperfetto n vale , dove l’uguaglianza a sinistra

vale solo per k = 1 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1984).

La tabella seguente riporta i numeri k-iperperfetti inferiori a 1000000.

n k

6 1

21 2

28 1

301 6

325 3

496 1

697 12

1333 18

1909 18

2041 12

2133 2

3901 30

8128 1

10693 11

4

16513 6

19521 2

24601 60

26977 48

51301 19

96361 132

130153 132

159841 10

163201 192

176661 2

214273 31

250321 168

275833 108

296341 66

306181 35

389593 252

486877 78

495529 132

542413 342

808861 366

Come si trovano questi numeri? In due modi: setacciando tutti gli interi fino a un certo limite, con

l’aiuto di un calcolatore, oppure cercando delle formule, come quelle riportate più avanti, che

garantiscono che il prodotto di primi con certe caratteristiche sia iperperfetto.

... Osservazioni I numeri perfetti pari, con k = 1, sono evidenziati in rosso

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I numeri iperperfetti dispari, tranne il 21 iniziale, sono di forma 6k +1 , mentre quelli pari sono i normali numeri perfetti pari; questi, tranne il numero 6 , sono di forma 6k – 2. Le forme 6k +1 e 6k - 1 sono le forme di tutti i numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali. Vediamo la tabella con le forma 6k +1 dei numeri iperperfetti dispari, tranne il numero 21 iniziale e qualche saltuaria eccezione, di forma 6k -3

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TABELLA 1

Numeri iperperfetti dispari d e perfetti pari p

(d-1)/6 Forma aritmetica

Stima aritmetica dei numeri d fino a 10^n Valore reale stima

6 6/6 = 1 Eccezione iniziale

10^1 0 0

21 21/3 = 7 Eccezione iniziale

10^2 1≈ n=2

28 (28+2)/6= 5 6k -2 301 (301-1)/6=50 6k+1 325 (325 -1)/6 =54 496 (496 +2)/6 =

83 6k -2

697 (697 -1)/6 =116

6k+1 10^3 4 4 ≈ n =3

1333 ...= 222 6k+1 1909 ...= 318 6k+1 2041 ...= 340 6k+1 2133 ...= 355 6k-3 eccezione 3901 ...=390 6k+1

7

8128 (8128 +2)/6 = 1355

6k -2 10^4 8 8 = 2n

10693 ...= 1782 6k+1 16513 ...= 2752 6k+1 19521 ...= 3253 6k-3 eccezione 24601 ...=4100 6k+1 26977 ...=4496 6k+1 51301 ...=8550 6k+1 96361 ...=16060 6k+1 10^5

15 15 = 3n

... ... ... 808861 ...= 134810 6k+1 10^6

22 22 ≈ 24= 4n

Stima , quindi , attendibile , ma meglio con la formula a(d) ≈ (n-1) (n-2) +2 Fare tabella con valori reali e stima aritmetica

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TABELLA 2

n 10^n Stima con

(n-1)* (n-2) +2 a

Valori reali b

Differenza a-b

1 10 - 2 100 2 1 1 3 1000 4 4 0 4 10000 8 8 0 5 100000 14 15 -1 6 1000000 22 22 0 7 10^7 32 ? ? 8 10^8 44 ? ? 9 10^9 58 ? ? 10 10^10 74 ? ? ... Tale nostra stima aritmetica risulta quindi molto attendibile, almeno fino a 10^6 . Non ci sono numeri primi tra i numeri d, di forma 6k +1, essendo per definizione prodotti di primi:

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Come si trovano questi numeri? In due modi: setacciando tutti gli interi fino a un certo limite, con l’aiuto di un calcolatore, oppure cercando delle formule, come quelle riportate più avanti, che garantiscono che il prodotto di primi con certe caratteristiche sia iperperfetto.

Una equivalente stima logaritmica decimale è la seguente, essendo n = log (10^n): a(d) ≈ (n-1) (n-2) +2 (1) si può riscrivere in forma logaritmica equivalente : a(d) ≈ log(10^n-1)*log(10^n-2) +2 (2) ma la (1) è più semplice ed immediata da applicare, ed è connessa al numero planico n(n-1), che si ottiene aggiungendo 1 ad n-1 e ad n-2. I numeri planici, tutti pari, essendo un prodotto tra un numero pari e il precedente numero dispari o viceversa, sono sempre più spesso a circa metà strada tra un quadrato e il successivo, e tanti

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numeri di Fibonaci tranne 144 unico quadrato perfetto tra i numeri di Fibonacci) hanno questa caratteristica, per esempio 89 = 81 + 8 e 100-11, con differenza 100 - 89 = 19 = 8 +11. Da qui le connessioni e la vicinanza tra stime di a(d) espresse da un numero planico più 2, con i numeri di Fibonacci e loro medie aritmetiche che vedremo in TABELLA 4 ma anche in successiva TABELLA 5 sui numeri triangolari. Un altro tentativo di stima attendibile potrebbe essere basato sui rapporti successivi (tentendi a 1) tra i valori reali fino a 10^6, per cui sarebbe

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possibile una stima aritmetica/logaritmica:

TABELLA 3 Valori reali e stimati n

Rapporti successivi Valori reali a

Stima logaritmica dei rapporti Con r ≈ √√√n a partire da n = 7 b

Differenza b-a

2 2

-

4 3

2 ≈1,73 =√3

8 4

2 2= √4

14 5

1,75 ≈1,49=√√5

22 6

1,57 ≈1,56=√√6

32 7

1,45 ≈1,27=√√√7

12

44 8

1,37 ≈1,29=√√√8

58 9

1,318 ≈ 1.316=√√√9

74 10

1,275 ≈ 1.333=√√√10

In lilla le stime più precise con la formula r ≈ √√√n a partire da n = 7 in poi, ma il numero di radici è di circa n/3, e potrebbe crescere in seguito , per esempio per n =15 potrebbe essere di 15/3 = 5 Moltiplicando un valore reale per il rapporto stimato corrispondente nella stessa riga, si ottiene un valore prossimo al valore reale successivo, per esempio: 58*1,316 = 76, 328 prossimo a 74 = valore reale successivo a 58.

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Previsione per 10^n = 10^11 Con la formula a(d) ≈ (n-1) (n-2) +2

a) 9*10 +2 = 90+2 = 92 Con la formula b) r ≈ √√√n a partire da n = 7 in poi:

r ≈ √√√√11 = 1,161 , poiché 11/3 = 3,66 ≈ 4 numero precedente 74 74*1,161 = 85,91 ≈ 92 Con √√√11 =1,349 abbiamo 74 *1,349 = 99.826 Ma se facciamo la media aritmetica tra 85 e 99 interi abbiamo (85 +99)/2 = 92 coincidente con la prima stima. Con la media aritmetica con i due valori si ottengono stime ancora più precise del

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valore esatto di a(d) per ogni n di 10^n. Una interessante connessione con la serie di Fibonacci e la sezione aurea ( e la sezione semiaurea includendo anche le medie aritmetiche tra due numeri consecutivi di Fibonacci), è che le stime di a(d), il numero di numeri per perfetti fino a 10^n, costeggia da vicino la serie dei numeri di Fibonacci e loro medie aritmetiche, e soprattutto anche quella dei doppi dei numeri Triangolari, di forma n*(n-1) /2, mentre la stima aritmetica di a(d), è (n-1) (n-2) +2, con quasi in comune le forme n*(n-1) e (n-1) (n-2) :

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TABELLA 4

10^n n a(d) =

(n-1)(n-2) +2 a

Numeri di

Fibonacci e loro medie

b

Differenze a - b

10 1 - 100 2 2 2 0

1 000 3 4 4 media tra 3 e 5

0

10 000 4 8 8 0 100 000 5 14 13 1 1000000 6 22 21 1

Fin qui reali, in seguito

solo stimati

10^7 7 32 34 -2 10^8 8 44 44,5

media tra34 e 55

-0,5

16

10^9 9 58 55 3 10^10 10 74 72 media

tra 55 e 89

2

10^11 11 92 89 3 10^12 12 112 116,5

media tra 89 e 144

-4,5

10^13 13 134 144 -10 ... ... ... ... ...

Continuando la tabella, le differenze a – b crescono sempre più e forse anche quelle tra valori stimati e valori reali di a(d). Comunque, da 22 (stime esatte) fino a 134 per 10^12 abbiamo una buona approssimazione tra valori reali di a(d) , valori stimati e numeri di Fibonacci vicini Connessione con i numeri triangolari, di

forma (n*n-1)/2, forma simile a a(d)-2 2

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TABELLA 5

10^n n numeri triangolari associati

=

a(d)-2 2

a

Numeri di Fib. E

loro medie Vicini ai numeri

triangolari b

Differenze a - b

10 1 - 100 2 2

0

0

0 1 000 3 4

1

1

0 10 000 4 8

3

3

0 100 000 5 14

6

6,5 Media tra

5 e 8

- 0,5

1000000 6 22 10

10,5

Media tra 8 e 13

- 0,5

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Fin qui reali, in seguito

solo stimati

10^7 7 32 15

13

2

10^8 8 44 21

21

0

10^9 9 58 28

27,5

Media tra 21 e 34

0,5

10^10 10 74 36

34

2

10^11 11 92 45

44,5

Media tra34 e 55

0,5

10^12 12 112 55

55

0

10^13 13 134 65

55

10 ... ... ...

Anche i numeri triangolari associati sono

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vicinissimi, almeno in questo intervallo numerico iniziale ( da 10^1 a 10^13). Anche questa osservazione potrebbe essere utile per eventuali future ricerche sui numeri iperperfetti. Conclusioni Possiamo concludere dicendo che per i numeri iperperfetti abbiamo trovato una stima abbastanza attendibile della loro distribuzione fino a 10^n con la formula a(d) ≈ (n-1)(n-2)+2, associabile ai numeri triangolari e loro doppi, e a numeri di Fibonacci e loro medie aritmetiche tra due numeri di Fibonacci consecutivi. Quindi, abbiamo intanto connesso i numeri iperperfetti con

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i numeri di Fibonacci e i numeri triangolari, oltre ad aver trovato la semplice formula di stima a(d) ≈ (n-1) (n-2) +2 . che dà valori esatti fino a 10^6, usando solo l’esponente n di 10^n. Per altri tipi più complicati di numeri iperperfetti con più fattori primi ecc. si rimanda al Rif. 1. Ce ne occuperemo in seguito qualora si trovasse nel frattempo una loro eventuale applicazione pratica di qualche utilità in qualche problema matematico. Riferimenti 1- Mauro Fiorentini - Iperperfetti (numeri) www.bitman.name/math/article/879

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Caltanissetta 2.1.2018 NOTA sui numeri superperfetti Oltre ai numeri iperperfetti, ci sono anche i numeri Superperfetti, oggetto di questa nota: riportiamo dall’omonima voce web di Mauro Fiorentini:

“ Superperfetti (numeri) TEORIA DEI NUMERI

I numeri superperfetti sono definiti in modo analogo ai numeri perfetti, iterando la somma dei

divisori.

I numeri perfetti, infatti, sono le soluzioni dell’equazione σ(n) = 2n e i superperfetti sono le

soluzioni dell’equazione σ(σ(n)) = 2n.

E’ facile vedere che sono superperfetti tutti gli interi della forma 2p – 1, dove 2p – 1 è un primo di

Mersenne, perché in tal caso σ(σ(n)) = σ(σ(2p – 1)) = σ(2p – 1) = 2p = 2n.

D. Suryanarayana e H.-J. Kanold dimostrarono nel 1969 che tutti i superperfetti pari sono di questa

forma e avanzarono dubbi sull’esistenza di superperfetti dispari.

Gli stessi due matematici dimostrarono che eventuali superperfetti dispari sono quadrati, e

Suryanarayana dimostrò che non sono potenze di primi dispari.

G.G. Dandapat, J.L. Hunsucker e Carl Pomerance dimostrarono nel 1975 che se n è un numero

superperfetto dispari:

n o σ(n) devono avere almeno tre fattori primi distinti;

né n né σ(n) sono potenze di primi;

il numero di fattori primi distinti di nσ(n) dev’essere almeno 5;

la somma del numero di fattori primi distinti di n e quello di σ(n) dev’essere almeno 7;

n dev’essere maggiore di 7 • 1024.

I numeri superperfetti minori di 109 sono: 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144.

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Florian Luca e Juan Luis Varona dimostrarono nel 2008 che:

i numeri superperfetti che siano coefficienti binomiali disposti nel triangolo di Tartaglia

lungo una linea non parallela ai bordi sono in numero finito;

l’unico coefficiente binomiale centrale superperfetto è ;

gli unici numeri di Catalan Cn che dividano σ(σ(Cn)) sono C1 = 1, C2 = 2 e C5 = 42.

La definizione si può generalizzare definendo σm(n) come l’applicazione ripetuta m volte della

funzione σ; è però poco probabile che esistano numeri tali che σm(n) = 2n per m > 2; in particolare,

Dieter Bode dimostrò che non esistono numeri pari del genere e McCranie che se ne esistono di

dispari, sono maggiori di 4.29 • 109.

Vedi anche

Funzione σ, Numeri perfetti, Numeri superperfetti aumentati, Numeri superperfetti ridotti.

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Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni

d'errori relativi a questo articolo. “

Su questi numeri, per quanto riguarda la loro distribuzione, che sono molto rari (e sono anche potenze pari di 2) circa uno per ogni potenza n di 10, come da TABELLA 1 seguente:

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n 10^n Numero di

superperfetti fino a 0^n

Totali reali s

Totali stimati s ≈ n*,16

1 10 2 (2 e 4) 2 1,16 ≈ 2 2 100 2 /16 e 64) 4 2,32 ≈ 3 3 1000 0 4 3,48 ≈ 4 4 10000 1 (4096) 5 4,64 ≈ 5 5 100000 1 (54436) 6 5,80 ≈ 6 6 1000000 1(262144) 7 6,96 ≈ 7 ... ... ... ... Media iniziale s/6 = 7/6 = 1,16 (circa 116% di s) numeri fino a 10^n); se questa media fosse attendibile anche per le potenze n immediatamente successive, potremmo avere, per esempio fino ad n =12, circa 12*1,16 =13,92 ≈ 14 numeri superperfetti. Valori forse in eccesso, visto che fino a 10^9 ci sono solo 7 numeri superperfetti, e in base a tale stima ce ne dovrebbero essere invece

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s = 9*1,16 = 10,44 ≈ 11. Ma tale stima è eventualmente migliorabile in futuro avendo a disposizione nuovi valori di s. Osserviamo che oltre ad essere tutti pari, come i numeri perfetti normali, sono anche, come questi della forma 6k -2 tranne il 2 iniziale (Dimostrazione in inglese in Rif.1 di questa nota per i numeri perfetti , valida anche per i numeri superperfetti) e anche di forma 2^n con n pari tranne n = 1 iniziale , e possibilmente legati ai numeri di Fibonacci e loro medie, come da Tabella seguente:

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n 2^n

Numeri superperfetti

Numeri di Fibonacci vicini

Differenze s -f

1 2 eccezione iniziale) s

f

2 4 3 e 5 -1 e +1

4 16 17 media tra 13 e 21

-1

6 64 55 9 8 256 233 23 10 1024 no 987 37 12 4096 4181 -85 14 16384 no 17711 -1327 16 65536 67313media

tra: 51422 e 83204 0

-1774

18 262144 257114 media tra : 196418 e 317811

-5030

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144.

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Da Rif. 1 i motivi per cui i numeri perfetti normali ( e quindi anche superperfetti debbano essere pari) 1- study on the perfect numbers and mersenne's prime with new ... https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/nardelli2013a.pdf Dal quale riportiamo: STUDY ON THE PERFECT NUMBERS AND MERSENNE'S PRIME WITH NEW DEVELOPMENTS. POSSIBLE MATHEMATICAL CONNECTIONS WITH SOME SECTORS OF STRING THEORY Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli1,2, Francesco Di Noto 1 Dipartimento di Scienze della Terra Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli, Italy 2 Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli” Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy

Abstract

In this paper we show that Perfect Numbers are only “even” plus many other interesting relations about Mersenne’s prime. Furthermore, we describe also various equations, lemmas and theorems concerning the expression of a number as a sum of primes and the primitive divisors of Mersenne numbers. In conclusion, we show some possible mathematical connections between some equations regarding the arguments above mentioned and some sectors of string theory (p-adic and adelic strings and Ramanujan modular equation linked to the modes corresponding to the physical vibrations of the bosonic strings). E anche qualche brano interessante sui numeri

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perfetti pari e dispari (impossibili) “...If we now repeat the algorithm with any integer positive number n and we see to divide it for all the divisors of the powers of another prime number (5, 7, ...) summing all its proper divisors, i.e. except for the same “n” we ALWAYS have: It is IMPOSSIBLE that the numerator of the 2nd member goes to 1. More precisely it is not possible to have an integer number but only a fractional number, because at numerator we have a number divisible by the prime number p that we have chosen, while at denominator we have a prime number different from p ( ≠ p). If we choose any integer positive number n and we see to divide it for all the divisors of the powers of another composite number (6, 9, ...) summing all its proper divisors, i.e. except for the same “n” we have ALWAYS and a FORTIORI (because between the factors we have also the factors of the composite number) that: It is IMPOSSIBLE that the numerator of the 2nd member goes to 1. More precisely it is not possible to have an integer number but only a fractional number, because at numerator we have a number divisible by the composite number k that we have chosen, while at denominator we have a prime number. This shows that the only perfect numbers are of the form: 2p−1 ( 2p - 1) = n with p prime and that can be only EVEN. These are therefore perfect numbers that can only be EVEN, the odds cannot be there for what that we have seen before and then it comes to seeking out the Mersenne primes to find a perfect number ….. Another our discovery is the form 6k-2 of all the perfect numbers with the

exception of perfect initial number 6, because of the form 6k, for k = 1, since

6 * 1 = 6.

In fact:

6 * 5-2 = 28

6 * 83 -2 = 496

.... ....

And so on. Our proof is the following:

Since the product being (2 ^ n * 2 ^ (n +1) of an odd power of 2 for an even

power of 2, and being the even powers of the form 6k-2 (for example, 4 = 2 ^ 2

= 6 - 2, 16 = 2 ^ 4 = 18-2 etc.) and the odd powers of form 6k +2, for example

8 = 2 ^ 3 = 6 + 2, 32 = 2 ^ 5 = 30 + 2, we have that (6k +2) * (6k'-2) = 36k *

k ' - 26k +26k' - 2 = 6k'' - 2, being the sum of the three terms preceding a

multiple k'' of 6. For example, for 28 = 4 * 7 = (6 -2) * (6 +2 -1) = 48-6 -12-

2 = 28

FINE