181-233 ΛΟΓΑΡΙΘ 2012€ολύ καλές... · «µαζεύουµε», στη...

΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.

181

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ – ΤΥΠΟΙ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

I).

⋅⋅⋅

=α

αααα ν ς παράγοντεν

...

1ν αν ,

1ν αν ,

=

> ℜ∈α και ∗Ν∈ν

II). 10 =α , ν

ν

αα

1=− , ν µν

µ

αα = 0>α , Ζ∈µ , ∗Ν∈ν και 00 =νµ

εάν

∗Ν∈νµ,

Ορισµός : Αν 0>α και x άρρητος, ορίζουµε ,lim νραα∞→

=v

x όπου νρ ακολουθία

ρητών µε x=+∞→

ννρlim . Επιπλέον ορίζουµε ,00 =x για κάθε 0>x , ενώ δεν ορίζεται

η δύναµη ,xα µε 0<α και x άρρητο.

Έτσι το σύµβολο ,xα εφόσον το x παίρνει και άρρητες τιµές ορίζεται µόνο για

.0≥α

III). Αν +ℜ∈βα , και ℜ∈21, xx τότε

•••• 2121 xxxx +=⋅ ααα

•••• xxx a ββα ⋅=⋅ )(

•••• 2121 )( xxxx ⋅= αα

•••• 21

2

1xx

x

x−=α

αα

•••• x

xx

βα

βα

=)(

•••• 21

1,021 xxxx =⇔=

≠> αα

αα

2. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορίζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση τον 0>α και 1≠α :

∗+ℜ→ℜ:f µε xxf α=)( , 0>α .

Εάν 1=α τότε έχουµε τη σταθερή συνάρτηση 1)( =xf

∆ηλαδή η εκθετική συνάρτηση xα , 0>α έχει πεδίο ορισµού το ℜ

∆ηλαδή η εκθετική συνάρτηση xα , 0>α έχει πεδίο τιµών το ),0( +∞=ℜ∗+

Γενικά ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση κάθε συνάρτηση που περιέχει µεταβλητή

έστω x σε εκθέτη.


182

Παράδειγµα

Η f µε 12

5)( += xxf είναι εκθετική.

Η g µε 23)( ++= xxxxg είναι εκθετική

Ενώ η f µε xxxxf 25)( 23 +−= δεν είναι εκθετική.

3. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

10 <<α 1>α

• Η )(xf γν. φθίνουσα στο ℜ ,δηλ. για

21)()( 2121xxxfxfxx αα >⇔>⇔<

• Η )(xf γν. αύξουσα στο ℜ , δηλ. για

21)()( 2121xxxfxfxx αα <⇔<⇔<

• Η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτο

τον άξονα xO και τέµνει τον yy' στο

)1,0(

• Η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτο

τον άξονα 'xO και τέµνει τον yy' στο

)1,0(

• +∞=−∞→

)(lim xfx

• 0)(lim =+∞→

xfx

• 0)(lim =−∞→

xfx

• +∞=+∞→

)(lim xfx

• Αν 1=α η f µε 11)( === xxxf α είναι σταθερή

11 == xy


183


Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )x

xf

−=α1

2 , 0≠α . Να βρείτε για ποιες τιµές του α

i). ορίζεται η συνάρτηση στο ℜ

ii). είναι εκθετική

iii). είναι σταθερή

iv). είναι γνησίως µονότονη

v). είναι 1-1

vi). Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για τις διάφορες τιµές του

α

Λύση

i). Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε ℜ∈x , εφόσον είναι :

( ) ⇔>−⇔>−

⇔>− 012012

01

2 αααα

α ( 0<α ή

2

1>α )

ii). Εφόσον ορίζεται, η συνάρτηση είναι εκθετική αν ισχύει :

11211

2 ≠⇔≠−⇔≠− αααα

.

Αρά η συνάρτηση είναι εκθετική για 0<α ή 12

1<<α ή 1>α

iii). Η συνάρτηση είναι σταθερή αν 111

2 =⇔=− αα

iv). Εφόσον δε µας ενδιαφέρει το είδος µονοτονίας, η συνάρτηση θα είναι γνησίως

µονότονη, για τις τιµές του α που είναι εκθετική, δηλαδή όταν 0<α ή

12

1<<α ή 1>α .

v). Για τις ίδιες τιµές θα είναι και 1-1, διότι η εκθετική είναι 1-1.

vi). Εδώ θα πρέπει να εξετάσουµε το είδος της µονοτονίας, για να µας βοηθήσει

στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.


184

• Αν ⇔>−⇔>−⇔>−−⇔>− 01

101

1011

211

2αααα

( ) ( 00101

<⇔>−⇔>−

⇔ αααα

α ή )1>α .

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

• Αν 12

11

120 <<⇔<−< α

α, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

• Αν ,1=α η συνάρτηση είναι σταθερή , µε τιµή ( ) 1=xf

Ανακεφαλαιώνοντας έχουµε :

∞− 0 2

1 1 ∞+

∆εν ορίζεται

Γνησίως αύξουσα Γν. φθίνουσα Γνησίως αύξουσα

σταθερή

Να προσέξουµε: Ο παραπάνω πίνακας αφορά τις τιµές του α και όχι του x .Η

συνάρτηση, εφόσον είναι µονότονη, δεν αλλάζει είδος µονοτονίας σε όλο το ℜ . Έτσι

έχουµε την ακόλουθη γραφική παράσταση.

0<α ή 1>α 1=α 1

2

1<<α


185

4. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ xexf =)( , ΟΠΟΥ 718,2)1

1(lim ≅+=∞→ νν

e

5. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

• κ±→ )()( xfxf (πάνω (+) ή κάτω (-) κατά κ µονάδες)

• )()( κ±→ xfxf (δεξιά (-) ή αριστερά (+) κατά κ µονάδες)


Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστηµα

αξόνων:

i). 2)( −= xexf

ii). 1)( −= xexg

iii). 1)( 2 −= −xexh

Λύση

Σχεδιάζουµε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xey = .

i). Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη γραφική παράσταση της

xey = αν τη µετατοπίσουµε δυο µονάδες δεξιά.

ii). Η gC θα προκύπτει πάλι από την xey = , µετατοπίζοντας την µια µονάδα

κάτω (άρα η gC έχει οριζόντια ασύµπτωτη την 1−=y ).

xey =


186

iii). Τέλος, η hC προκύπτει από τη µετατόπιση της fC κατά µια µονάδα προς τα

κάτω ή από την xey = κατά µια µονάδα κάτω και στη συνέχεια δυο µονάδες

δεξιά. Η hC έχει την ίδια ασύµπτωτη µε την gC .

6. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ

xxf 2)( = & xxg )2

1()( = ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ yy'

Είναι: )(22

1)

2

1()( xfxg x

xx −==== −

fC

gC

hC

xey =

xy )2

1(=

xy 2=


187

7. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΙΝΑΙ «1-1»

Αν 21 xx ≠ ⇒ 21 xx αα ≠ και µε απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι αν

2121 xxxx =⇒=αα και ισοδύναµα 21

21 xxxx =⇔= αα

8. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ονοµάζουµε κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο x ή συνάρτηση του αγνώστου x

σε εκθέτη.

Παράδειγµα:

i). Η εξίσωση xx 2535 1 +=+ είναι εκθετική

ii). Η εξίσωση 753 =x είναι εκθετική

iii). Ενώ η εξίσωση 435 32 =+ xx δεν είναι εκθετική.

…………………………………………………………………………………………..

9. ΚΥΡΙΟΤΕΡΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΥΣΕΩΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1η µορφή: βα =x ή βα =)(xf

δηλαδή έχουµε ένα µόνο µονώνυµο στο α΄ µέλος και ένα µόνο µονώνυµο στο β΄

µέλος, καθώς και 1≠α ενώ +ℜ∈β

Για να επιλύσουµε αυτήν την εκθετική εξίσωση διακρίνουµε δυο περιπτώσεις:

• Αν έχουµε ή µπορούµε να δηµιουργήσουµε δυνάµεις της ίδιας βάσης λύνουµε την

εξίσωση µε χρήση της νµααα

α

νµ =⇔=≠

≠

0

1( )

Προσοχή!!! Εάν 0>α τότε 0>xα για κάθε ℜ∈x . (π. χ. 55 1 −=+x αδύνατη)


188

Παραδείγµατα

Να λυθούν οι εξισώσεις

i). 7293 =x ii). 32

125 =x iii). 1255 22

=+x

Λύση

i). 6337293 6 =⇔=⇔= xxx

ii). 15522)2(232232

12 55155155 −=⇔−=⇔=⇔=⇔=⇔= −−− xxxxxx

iii). ⇔=+ 1255 22x ⇔=+ 32 552x 1132 22 ±=⇔=⇔=+ xxx

• Εάν βα =)(xf και ο β δεν µπορεί να γραφεί σαν δύναµη του α τότε η εξίσωση

λύνεται µε λογαρίθµιση.

…………………………………………………………………………………………..


Να λυθούν οι εξισώσεις:

i). 113 1 =+x ii). 55 1 −=+x

Λύση

i). ( ) ⇔=+⇔=⇔= ++ 11log3log111log3log113 11 xxx

13log

11log

3log

11log1 −=⇔=+⇔ xx

ii). ⇔−=+ 55 1x αδύνατη αφού ,05 1 >+x για κάθε IRx∈

…………………………………………………………………………………………

Προσοχή!!! Το 1 µπορεί να γραφεί σαν δύναµη οπουδήποτε αριθµού α , 0≠α .


Να λυθεί η εξίσωση: 15 22

=−x

Λύση

⇔=− 15 22x ⇔=− 02 552x ⇔=− 022x ⇔= 22x 2±=x

…………………………………………………………………………………………

Άσκηση : Να λυθούν οι εξισώσεις


189

i). 82 52

=−x

ii). 57 422 ++ = xx

iii). 15 42

=−x

iv). 255 42

−=−x

v). 125 =x

vi). 77 3 −=+x

Λύση

i). 82 52

=−x ⇔ 22883522 22352

±=⇔±=⇔=⇔=−⇔=− xxxxx

ii). 57 422 ++ = xx ⇔ 527 )2(2

2 ++ = xx ⇔ 1027 222 ++ = xx ⇔ 10272 +=+ xx ⇔

0322 =−− xx ⇔ 3=x ή 1−=x

iii). 15 42

=−x ⇔ 04 552

=−x ⇔ 2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

iv). 255 42

−=−x αδύνατη

v). 125 =x ⇔ 12log5log =x ⇔ 12log5log =x ⇔5log

12log=x

vi). 77 3 −=+x αδύνατη

…………………………………………………………………………………………

2η µορφή: 0)( =xf α

∆ηµιουργούµε (αν είναι δυνατόν) δυνάµεις µε την ίδια βάση και τον ίδιο εκθέτη και

στη συνέχεια λύνουµε την άσκηση µε βοηθητικό άγνωστο.


Να λυθεί η εξίσωση : 1893 1 =++ xx

Λύση

1893 1 =++ xx ⇔

01893 1 =−++ xx ⇔

018)3(33 2 =−+⋅ xx ⇔

018)3(33 2 =−+⋅ xx ⇔

01833)3( 2 =−⋅+ xx ⇔ θέτω yx =3


190

01832 =−+ yy ⇔

31 =y ή 62 −=y

• Για 31 =y έχουµε 133 =⇔= xx

• Για 62 −=y έχουµε 63 −=x αδύνατη αφού 03 >x

…………………………………………………………………………………………

3η µορφή : )()( xx gf βα =

Όταν δεν µπορούµε να δηµιουργήσουµε δυνάµεις µε την ίδια βάση τότε

προσπαθούµε να λύσουµε την άσκηση δηµιουργώντας δυνάµεις µε τον ίδιο εκθέτη,

«µαζεύουµε», στη συνέχεια χωρίζουµε στα µέλη της εξίσωσης τις δυνάµεις µε όµοιες

βάσεις, κάνουµε αναγωγές οµοίων όρων, χωρίζουµε γνωστούς από άγνωστους κ.τ.λ.

1ο Παράδειγµα

Να λυθεί η εξίσωση: 3421 53537 ++++ −=−⋅ xxxx

Λύση

3421 53537 ++++ −=−⋅ xxxx ⇔

342 553355337 ⋅−⋅=⋅−⋅⋅ xxxx ⇔

xxxx 5125381525321 ⋅+⋅−⋅−⋅ ⇔

xx 3605100 ⋅=⋅ ⇔

10

6

3

5=

x

x

⇔5

3)

3

5( =x ⇔ 1)

3

5()

3

5( −=x ⇔ 1−=x

…………………………………………………………………………………………



191

Να λυθεί η εξίσωση: 112 441193 +− +⋅=+ xxxx

Λύση

112 441193 +− +⋅=+ xxxx ⇔

112 4444119)3( ⋅+⋅⋅=+ − xxxx ⇔

xxxx 4444

1199 ⋅+⋅=+ ⇔

xx 44

2792 ⋅=⋅ ⇔

8

27

4

9=

x

x

⇔8

27)

4

9( =x ⇔ 32 )

2

3()

2

3( =x ⇔ 32 =x ⇔

2

3=x

…………………………………………………………………………………………

4η µορφή: 1)]([ )( =xgxf

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων:

• 1)( =xf ή

• 0)( =xg και 0)( >xf ή

• 1)( −=xf και )(xg άρτιος

1ο Παράδειγµα:

Να λυθεί η εξίσωση: 1)75(2322 =+−

+− xxxx

Λύση

Η εξίσωση έχει λύσεις: 1752 =+− xx ⇔ 2=x ή 3=x

Προσοχή!!! Εάν 0)( >xf λύνονται και µε λογαρίθµιση.

>+−

=+−

075

0232

2

xx

xx

03 κάθεγια

0752

<−=∆

>+−

⇔

χxx

1=x ή 2=x

…………………………………………………………………………………………

2ο Παράδειγµα : Να λυθεί η εξίσωση: 1)55( 22 =+− +xxx


192

5η µορφή: αα=)()]([ xfxf , 0)( >xf , 0>α

Η εξίσωση έχει λύση τη λύση της α=)(xf


Να λυθεί η εξίσωση : 27)157( 1572 2

=+− +− xxxx

Λύση

01572 >+− xx για κάθε ℜ∈x αφού 0<∆

Έχουµε: 31572 3)157(2

=+− +− xxxx ⇔ 31572 =+− xx

⇔ 01272 =+− xx

⇔ 31 =x ή 42 =x

…………………………………………………………………………………………


Να λυθεί η εξίσωση: xx xx =++ 132

Λύση

xx xx =++ 132

⇔ 0132

=−++ xx xx ⇔

0)1( 32

=−+ xxxx ⇔

=

=+ 1

032 xxx

x⇔ 4η µορφή

………………………………..…………………………………………………………

6η µορφή:

Σε µερικές περιπτώσεις για να λύσουµε εκθετική εξίσωση (που δεν µπορούµε να τη

λύσουµε µε τις προηγούµενες µεθόδους) διαιρούµε τα µέλη της εξίσωσης µε µια από

τις υπάρχουσες δυνάµεις µε άγνωστο εκθέτη, συνήθως µε τη δύναµη που έχει τη

µεγαλύτερη βάση ή µε τη δύναµη που έχει τη µικρότερη βάση.



193

Να λυθεί η εξίσωση: xxx 56)21(10 ⋅=+

Λύση

xxx 56)21(10 ⋅=+ ⇔x

x

x

xx

10

56

10

)21(10 ⋅=

+⇔ xx )

10

5(621 ⋅=+ ⇔

⇔ xx )2

1(621 ⋅=+ ⇔

x

xx

2

1621 ⋅=+

11 =

⇔x

x

x

2

621 =+

yx =

⇔2

y

y6

1 =+ ⇔ 62 =+ yy

⇔ 062 =−+ yy ⇔

−=

=

3

2

2

1

y

y

• Για 21 =y έχουµε 122 =⇔= xx

• Για 32 −=y έχουµε 32 −=x αδύνατη αφού 02 >x για κάθε ℜ∈x .

Σηµείωση: Η προηγούµενη άσκηση λυνόταν και ως εξής:

xxx 56)21(10 ⋅=+ ⇔ xxxx 56)21(25 ⋅=+⋅ ⇔ 6)21(2 =+ xxyx =

⇔2

…

…………………………………………………………………………………………


Να λυθεί η εξίσωση : xxx 659342 ⋅=⋅+⋅

Λύση

xxx 659342 ⋅=⋅+⋅x9

µε διαιρούµε

⇔x

x

x

x

x

x

9

65

9

93

9

42 ⋅=

⋅+

⋅⇔ xx )

9

6(53)

9

4(2 ⋅=+⋅ ⇔

xx )3

2(53)

9

4(2 ⋅=+⋅ ⇔ xx )

3

2(53])

3

2[(2 2 ⋅=+⋅ ⇔ xx )

3

2(53])

3

2[(2 2 ⋅=+⋅ ⇔

[θέτω yx =)3

2( ] ⇔ yy 532 2 =+ ⇔ 0352 2 =+− yy ⇔

=

=

2

3

1

2

1

y

y

• Για 11 =y έχουµε 1)3

2( =x ⇔ 0)

3

2()

3

2( =x ⇔ 0=x

• Για 2

32 =y έχουµε

2

3)

3

2( =x ⇔ 1)

3

2()

3

2( −=x ⇔ 1−=x

10. ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ


194

Λύνονται µε παρόµοιες µεθόδους που χρησιµοποιούµε για τη λύση εκθετικών

εξισώσεων. Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες δυνάµεων και προσπαθούµε να το φέρουµε σε

απλή µορφή συστήµατος χωρίς εκθετικές εξισώσεις.


Να λύσετε τα συστήµατα

1.

⋅=

=+

++

xyx

yx

284

39 31

2.

=+

=+−

8

12 652

yx

xx

3.

=⋅

=⋅−

−

933

1421

1

yx

yx

4.

=+⋅

=−− 6539

453yx

yx

Λύση

1.

⋅=

=+

++

xyx

yx

284

39 31

⇔

⋅=

=+

++

xyx

yx

22)2(

3)3(32

312

⇔

=

=++

++

3)(2

3)1(2

22

33xyx

yx

⇔

+=+

+=+

322

322

xyx

yx

⇔

2

132

12⋅

⋅

=+

=−

yx

yx ⇔

=+

=−

32

224

yx

yx

)(+

⇔

=+

=

32

55

yx

x

⇔

=+

=

321

1

y

x ⇔

=

=

1

1

y

x ⇔ )1 ,1(),( =yx

…………………………………………………………………………………………

2.

=+

=+−

8

12 652

yx

xx

⇔

=+

=+−

8

22 0652

yx

xx

⇔

=+

=+−

8

0652

yx

xx ⇔

=+

==

8

3 ή 2

yx

xx

⇔

=

=

)5 ,3(),(

ή

)6 ,2(),(

yx

yx

…………………………………………………………………………………………


195

3.

=⋅

=⋅−

−

933

1421

1

yx

yx

⇔

=

=⋅−+

−

21

21

33

122yx

yx

⇔

=

=−+

+−

21

021

33

22yx

yx

⇔

=−+

=+−

21

021

yx

yx

⇔

=+

=+

3

12

yx

yx

)(−

⇔

=+

−=

3

2

yx

y ⇔

=

−=

5

2

x

y⇔ )2,5(),( −=yx

…………………………………………………………………………………………

4.

=+⋅

=−− 6539

453yx

yx

⇔

=+⋅

=−

653

19

453

yx

yx

(1)

Θέτουµε x3=α και y5=β τότε από (1) έχουµε:

(1) ⇔

=+

=−

69

4

βα

βα ⇔

=−+

−=

649

4

αα

αβ ⇔

=−+

−=

ααα

αβ

649

42

⇔

=+−

−=

0910

42 αα

αβ ⇔

==

−=

9 ή 1

4

αααβ

⇔

=

−=

)5,9(),(

ή

αιαπορρίπτετ )3,1(),(

βα

βα

Οπότε,

=

=

β

αy

x

5

3 ⇔

=

=

55

93y

x

⇔

=

=1

2

55

33y

x

⇔

=

=

1

2

y

x ⇔ )1 ,2(),( =yx

…………………………………………………………………………………………


196

11. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Για να λύσουµε εκθετικές ανισώσεις χρησιµοποιούµε τη µονοτονία της εκθετικής

συνάρτησης.

• Η xxf α=)( εάν 10 << α είναι γνησίως φθίνουσα άρα 2121 xxxx <⇔> αα

• Η xxf α=)( εάν 1>α είναι γνησίως αύξουσα άρα 2121 xxxx >⇔>αα

Παράδειγµα: Να λυθούν οι ανισώσεις

1. 13 672

<+− xx 2.

2

52

4

1

2

12 +−

<

xxx

3. ( ) 125.05.0 15 2

<−−xx 4. 08264 <+⋅− xx

Λύση

1. 13 672

<+− xx ⇔ 067 332

<+− xxαύξουσα γν.

3)( xxf =⇔ 0652 <+− xx ⇔ )6 ,1(∈x

…………………………………………………………………………………………

2. 2

52

4

1

2

12 +−

<

xxx

⇔2

5

2

2

2

1

2

12 +−

<

xxx

⇔ 522

2

1

2

12 +−

<

xxx

xxf )2

1()(

φθινουσα γν.

=

⇔

⇔ 5222 +>− xxx ⇔ 0542 >+− xx ⇔

),5()1,( +∞−−∞∈ ∪x

…………………………………………………………………………………………

3. ( ) 125.05.0 15 2

<−−xx ⇔ ( ) 315 5.05.02

<−−xx φθίνουσα γν.

)5.0()( xxf =⇔ 315 2 >−− xx ⇔

0452 <+− xx ⇔ )4 ,1(∈x

…………………………………………………………………………………………

4. 08264 <+⋅− xx ⇔ 0826)2( 2 <+⋅− xx ⇔ (θέτω )2 yx =

0862 <+− yy ⇔ )4 ,2(∈y ⇔ 422 << x ⇔ 21 222 << x αύξουσα γν.

2)( xxf =⇔

21 << x


197

12. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η εκθετική συνάρτηση cto eQtQ ⋅=)( εκφράζει ένα φυσικό µέγεθος που

µεταβάλλεται µε το χρόνο t , όπου 0Q είναι η αρχική τιµή του Q για 0=t και c µια

σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριµένη εφαρµογή. Η συνάρτηση

αυτή λέγεται νόµος της εκθετικής µεταβολής . Ειδικότερα :

• Αν 0>c → εκθετική αύξηση

• Αν 0<c → εκθετική ή απόσβεση


Αν η ηµιζωή µιας ραδιενεργού ουσίας είναι 8 έτη να δείξετε ότι : 82)(t

oQtQ−

⋅=

[Ηµιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασµού µιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ο χρόνος που

χρειάζεται για να διασπαστεί ή να εξαφανιστεί η µισή ποσότητα της ραδιενεργού

ουσίας.]

Λύση


198

Αφού η ηµιζωή = 8 έτη σηµαίνει ότι σε 8 χρόνια η ποσότητα της ραδιενεργού ουσίας

που διασπάται είναι 2

oQ δηλαδή

2)8( oQ

Q = .

Άρα, cto eQtQ ⋅=)( για 8=t : c

o eQQ 8)8( ⋅=2

)8( oQQ =

⇔ co

o eQQ 8

2⋅= ⇔ ce8

2

1= ⇔

8

2

1=ce ⇔ 8

11)2( −=ce ⇔ 8

1

2−

=ce .

Άρα, t

oQtQ 8

1

2)(−

⋅= ή 82)(t

oQtQ−

⋅= .

…………………………………………………………………………………………

2ος τρόπος

co eQQ 8)8( ⋅= ⇔ c

oo eQ

Q 8

2⋅= ⇔ ce8

2

1= ⇔ ce8ln

2

1ln = ⇔ ec ln82ln 1 =−

⇔ c82ln =− ⇔ 2ln8

1−=c .

Οπότε,

cto eQtQ ⋅=)( ⇔ t

o eQtQ )()(2ln

8

1−

= ⇔

⇔ to eQtQ )()(

8

1

2ln−

= ⇔

⇔ toQtQ )2()( 8

1−

⋅= ⇔

⇔ 82)(t

oQtQ−

⋅=

…………………………………………………………………………………………


199

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισµός: Έστω οι πραγµατικοί αριθµοί α και θ έτσι ώστε 10 ≠< α και 0>θ .

Λογάριθµο του θ ως προς βάση α , όπου 10 ≠< α είναι ο εκθέτης στον οποίο

πρέπει να υψώσουµε τον α για να βρούµε το θ .

θθα αlog=⇔= xx Περιορισµοί: 10 ≠< α και 0>θ


1. 38log2 = γιατί 823 =

2. 29log3 = γιατί 932 =

3. 24

1log2 −= γιατί

4

1

2

12

22 ==−

Χαρακτηριστικοί λογάριθµοι

• ∆εκαδικοί λογάριθµοι

Είναι οι λογάριθµοι µε βάση το 10 (δηλ. 10=α ). Συµβολίζουµε θlog .

∆ηλαδή θθ =⇔= xx 10log

• Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθµοι

Είναι οι λογάριθµοι που έχουν βάση το 718,2)1

1(lim ≅+=∞→

ν

ν νe (δηλαδή

)e=α . Συµβολίζουµε θln . ∆ηλαδή θθ =⇔= xexln .

Συνέπειες ορισµού

• xa x =αlog • θα θα =log • 1log =αα • 01log =α

• xx =10log • θθ =log10 • 110log = • 01log =

• xe x =ln • θθ =lne • 1ln =e • 01ln =


200

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ

Ισχύουν εφόσον 10 ≠< α και 0, 21 >θθ και 0>θ

1. 2121 loglog)(log θθθθ ααα +=⋅

2. 212

1 loglog)(log θθθθ

ααα −=

3. θκθ ακ

α loglog ⋅=

4. θν

θθ αν

αν

α log1

loglog1

== , ∗Ν∈ν

5. Τύπος αλλαγής βάσης:

βθ

θα

αβ log

loglog = ,

αθ

αθ

θα ln

ln

log

loglog == όπου 0, >βα µε 1, ≠βα , 0>θ

Αποδείξεις

1. Έστω ότι είναι 11log x=θα και 22log x=θα (1)

Τότε έχουµε 11 θα =x και 2

2 θα =x οπότε

2121 θθαα ⋅=⋅ xx δηλαδή 21

21 θθα ⋅=+xx

Από τον ορισµό του λογαρίθµου η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναµη µε την

2121 )(log xx +=⋅θθα από την οποία λόγω των (1) έχουµε τελικά:

2121 loglog)(log θθθθ ααα +=⋅

…………………………………………………………………………………………

2. Έστω ότι είναι 11log x=θα και 22log x=θα (1)

Τότε έχουµε 11 θα =x και 2

2 θα =x οπότε

2

1

2

1

θθ

αα

=x

x

δηλαδή 2

121

θθ

α =−xx

Από τον ορισµό του λογαρίθµου η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναµη µε την

212

1 )(log xx −=θθ

α από την οποία λόγω των (1) έχουµε τελικά:


201

212

1 loglog)(log θθθθ

ααα −=

…………………………………………………………………………………………

3. Έστω ότι είναι x=θαlog (2) . Τότε έχουµε θα =x οπότε κκ θα =x . Από τον

ορισµό όµως του λογαρίθµου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναµη µε την

xκθ κα =log από την οποία λόγω της (2) προκύπτει ότι θκθ α

κα loglog ⋅= .

…………………………………………………………………………………………


202

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ορισµός: Την αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης ∗+ℜ→ℜ:f µε

xxf α=)( , 10 ≠< α την ονοµάζουµε λογαριθµική συνάρτηση µε βάση α και τη

συµβολίζουµε xxf αlog)( = .

∆ηλαδή ορίζεται ℜ→ℜ∗+:f µε xxf αlog)( = , 10 ≠< α

Ισχύουν τα εξής:

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ

• Πεδίο ορισµού ℜ=Α Πεδίο ορισµού ∗+ℜ=Α

• Σύνολο τιµών ∗+ℜ=Α)(f Σύνολο τιµών ℜ=Α)(f

• yxxy =⇔= αα log

• Οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο της γωνίας

xyyOx =∧

:

• ∆ηλαδή αν ),( λκΜ ανήκει στην γραφική παράσταση της xy α= τότε το

),( κλΝ ανήκει στην γραφική παράσταση της xy αlog=

•

• Αν 1>α τότε η xy αlog= είναι

γνησίως αύξουσα

Αν 10 << α τότε η xy αlog= είναι γνησίως

φθίνουσα

• Οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας.

•

Η λογαριθµική συνάρτηση είναι 1-1

∆ηλ. αν 2121 loglog xxxx αα ≠⇒≠ οπότε εάν 2121 loglog xxxx =⇒= αα

∆ηλ. 2121 loglog xxxx =⇔= αα


203

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ 10: xxf log)( =

• Πεδίο ορισµού : ),0( +∞=ℜ=Α ∗+

• Σύνολο τιµών: ℜ=Α)(f

• Γνησίως αύξουσα δηλ. αν

2121 loglog xxxx αα <⇒<

• Έχει γραφική παράσταση που

τέµνει τον xx' στο )0 ,1( και

ασύµπτωτο τον yO .

• Αν 10 << x τότε 0log <x

• Αν 1>x τότε 0log >x

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ e : xxf ln)( =

• Πεδίο ορισµού : ),0( +∞=ℜ=Α ∗+

• Σύνολο τιµών: ℜ=Α)(f

• Γνησίως αύξουσα δηλ. αν

2121 lnln xxxx <⇒<

• Έχει γραφική παράσταση που

τέµνει τον xx' στο )0 ,1( και

ασύµπτωτο τον yO .

• Αν 10 << x τότε 0ln <x

• Αν 1>x τότε 0ln >x

xy 10=

xy log=

xey =

xy ln=

xy =

xy =


204


Θεωρούµε την συνάρτηση x

xxf

+−

=1

1ln)(

i). Να βρείτε το πεδίο ορισµού της

ii). Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή.

iii). Να αποδείξετε ότι είναι 1-1.

Λύση

i). Θα πρέπει : 01

1>

+−

x

x⇔ 110)1)(1( <<−⇔>+− xxx

Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο )1 ,1(−=fD

ii). Λόγω της συµµετρικότητας του πεδίου ορισµού της, αν fDx ∈ τότε και

fDx ∈− εποµένως ορίζεται το )( xf − . Συγκρίνουµε το )( xf − µε το )(xf .

Έχουµε:

)1ln()1ln(1

1ln

)(1

)(1ln)( xx

x

x

x

xxf −−+=

−+

=−+−−

=− και

)1ln()1ln(1

1ln)( xx

x

xxf +−−=

+−

=

Άρα είναι )()( xfxf −=− για κάθε fDxx ∈− , , εποµένως η συνάρτηση είναι

περιττή.

iii). Έστω fDxx ∈21 , µε

)()( 21 xfxf = ⇔2

2

1

1

1

1ln

1

1ln

x

x

x

x

+

−=

+

−⇔

2

2

1

1

1

1

1

1

x

x

x

x

+

−=

+

−⇔ (επειδή η

xxg ln)( = είναι 1-1) ⇔ )1)(1()1)(1( 2121 xxxx −+=+− ⇔ 21 xx = άρα 1-1.

…………………………………………………………………………………………


205

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ

1η παρατήρηση

Συχνά χρειάζεται ενώ έχουµε έναν αριθµό χωρίς logνα δηµιουργήσουµε logοπότε

κάνουµε χρήση της να αν log= .

Π. χ. 310log3 = ή 32 2log3=


Συχνά χρήσιµο είναι σε ασκήσεις λογαρίθµων «να κάνουµε τα πολλά logνα γίνουν

ένα µόνο log» πράγµα που συνήθως γίνεται µε την πορεία:

∆ηµιουργούµε logόπου δεν υπάρχει µε χρήση της: να αν log=

∆ιώχνουµε τυχόν υπάρχοντες συντελεστές µε χρήση της : νααν xx loglog =

Στη συνέχεια κάνουµε τα πολλά log ένα µόνο µε χρήση των :

)(logloglog 2121 θθθθ ααα ⋅=+

)(logloglog2

121 θ

θθθ ααα =−


Να δείξετε ότι: 2100log14log5log2log3 ==+−+

Λύση

=+−+ 14log5log2log3 =+−+ 10log4log5log2log 3

=+−+= 10log4log5log8log

=⋅⋅

=4

1058log

== 100log

== 210log

== 10log2

2=


206


Συχνά όταν σε ασκήσεις µε log «µπλέκουµε» η γραφή και η αναλυτική χρήση της

συνέπειας –ορισµού των logδηλαδή 0

10

log>

≠<

⇔=x

yx

α

α xy =α µας «ξεµπλέκει»


Αν 38

1log =x να βρεθεί ο x

Λύση

38

1log =x

)10( ≠<

⇔x

8

13 =x ⇔ 3

8

1=x ⇔ 3 3)

2

1(=x ⇔

2

1=x

………………………………………………................................................................


Αν 416

1log =x να βρεθεί ο x

Λύση

416

1log =x

)10( ≠<

⇔x

16

14 =x ⇔ 4

16

1±=x

==

−==

δεκτή 2

1 x,

16

1

αιαπορρίπτετ ,16

1

4

4

x

x


Συχνά χρειάζεται σε ασκήσεις που έχουµε logως προς διαφορετικές βάσεις να του

τρέπουµε σε log προς την ίδια βάση.

Συχνά διαλέγουµε σαν κοινή βάση το 10 ή το e ή τη συχνότερα εµφανιζόµενη.

Τύπος:βα

αβ log

loglog

xx =


Να δείξετε ότι: 37log8log6log5log4log3log 675432 =⋅⋅⋅⋅⋅

Λύση

Είναι: =⋅⋅⋅⋅⋅ 7log8log6log5log4log3log 675432

32log

2log3

2log

2log

2log

8log

6log

7log

7log

8log

5log

6log

4log

5log

3log

4log

2log

3log 3

====⋅⋅⋅⋅⋅


207

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ορισµός: Ονοµάζουµε λογαριθµική εξίσωση κάθε εξίσωση που περιέχει λογάριθµο

του αγνώστου, έστω x .


Η 5log3)3log( =+− xx είναι λογαριθµική εξίσωση ενώ η 7log35log)1( 2 =+x δεν

είναι λογαριθµική.

Χαρακτηριστικές µορφές λογαριθµικών εξισώσεων

1η µορφή

Εφαρµόζοντας ιδιότητες λογαρίθµων αναγόµαστε σε εξίσωση της µορφής:

)(log)(log xgxf αα =0)(

10

0)(

>≠<

>⇔

xf

xg

α

)()( xgxf = . Οπότε λύνουµε εξίσωση χωρίς log .

Προσοχή!!! Κατά τη λύση λογαριθµικής εξίσωσης πρέπει

1. Ή να κάνουµε τους περιορισµούς :

>

≠<

0)(

10

πρέπει)(log

xf

xf

αα

Και εν συνεχεία οι λύσεις που βρίσκουµε είναι δεκτές αν δεν απαγορεύονται από

τους περιορισµούς.

2. Ή Ελέγχουµε τις λύσεις που βρίσκουµε τις τοποθετούµε στην αρχικά δοσµένη

εξίσωση και αν δηµιουργηθούν 0logα ή αlog (αρνητικός) τότε απορρίπτονται.


Να λυθεί η εξίσωση: 25log2)1log( =++ xx

Λύση

Περιορισµοί: πρέπει 00

1

05

01>⇔

>

−>⇔

>

>+x

x

x

x

xτότε

25log2)1log( =++ xx ⇔

22 10log)5log()1log( =++ xx ⇔


208

100log5log)1log( =++ xx ⇔

100log]5)1log[( =⋅+ xx ⇔

1005)1( =⋅+ xx ⇔

20)1( =⋅+ xx ⇔

20)1( =⋅+ xx ⇔

0202 =−+ xx ⇔ αιαπορρίπτετ 5

δεκτή 4

2

1

−=

=

x

x

…………………………………………………………………………………………


Να λύσετε τις εξισώσεις

1. 01)1ln(2 =+−x

2. 0)12log( 2 =−x

Λύση

1. Η εξίσωση 01)1ln(2 =+−x ορίζεται όταν 101 >⇔>− xx

Για κάθε 1>x η (1) ⇔ 1)1ln(2 −=−x ⇔2

1)1ln( −=−x ⇔ 2

1

1−

=− ex ⇔

⇔+=⇔=−e

x

e

x1

11

12

1 e

ex +=1 που είναι δεκτή.

……………………………………………………………………………………..

2. Η εξίσωση 0)12log( 2 =−x ορίζεται όταν 012 2 >−x (1)

Είναι ⇔=⇔=⇔=−2

112012 222 xxx

2

2±=x άρα η (1) ορίζεται ⇔ ),

2

2()

2

2,( +∞∪−−∞∈x (εκτός των ριζών)

Είναι 0)12log( 2 =−x ⇔ 1122112 222 ±=⇔=⇔=⇔=− xxxx που είναι δεκτές

και οι δυο.

……………………………………………………………………………………..


209

2η µορφή

Λογαριθµικές εξισώσεις στις οποίες έχουµε εκθέτη που «δεν κατεβαίνει κάτω».

∆ηλαδή :

=

=⋅=

xx

xxxx

αα

αααα

log2log

)(loglogloglog2

22

22 log)(log xx αα ≠→

Γενικά: να

να xx log)(log ≠

Συχνά για να λύσουµε την εξίσωση (αφού αν χρειαστεί δηµιουργήσουµε την ίδια

άγνωστη ποσότητα) ΘΕΤΟΥΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΑΓΝΩΣΤΟ.

1ο Παράδειγµα:

Να λυθεί η εξίσωση: 98log64log)8(log2 2 =++ xxx

Λύση

98log64log)8(log2 2 =++ xxx

10 ≠<

⇔x

98log8log)8(log2 22 =++ xxx ⇔

098log8log2)8(log2 2 =−+⋅+ xxx ⇔

098log3)8(log2 2 =−⋅+ xx ⇔ (θέτω yx =8log )

0932 2 =−+ yy ⇔

=

−=

2

3

3

2

1

y

y

• Αν 31 −=y ⇔ 38log −=x ⇔ 83 =−x ⇔ 81

3=

x⇔ 33 2)

1( =x

⇔ 21

=x

⇔

2

1=x

• Αν 2

32 =y ⇔

2

38log =x ⇔ 82

3

=x ⇔ 83 =x ⇔ 223 8)( =x ⇔ ⇔ 643 =x

⇔ 3 64=x ⇔ 4=x .

……………………………………………………………………………………..


210


Να λύσετε την εξίσωση: 2ln2ln

ln3+=

−x

x

x(1)

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται αν

≠

>⇔

≠

>⇔

≠−

>2

0

2ln

0

02ln

0

ex

x

x

x

x

x

Θέτουµε yx =ln (2) και η (1) γράφεται :

⇔=−−⇔−=⇔+=−

0434322

3 22 yyyyyy

y1−=y ή 4=y

• Για 1−=y η (2) γίνεται ⇔=⇔−= −11ln exxe

x1

= δεκτή

• Για 4=y η (2) γίνεται ⇔= 4ln x 4ex = δεκτή

……………………………………………………………………………………..

3η µορφή

Μικτές εξισώσεις δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν και εκθετικό και λογαριθµικό

τµήµα. Για να λύσουµε µικτές εξισώσεις προσπαθούµε να κάνουµε χρήση των

µεθόδων των εκθετικών εξισώσεων ή να κάνουµε χρήση των µεθόδων των

λογαριθµικών εξισώσεων.


Να λυθεί η εξίσωση: )13(log2)73(log 12

222 ++=+ −− xx

Λύση

Περιορισµοί:

073 22 >+−x που ισχύει αφού 03 22 >−x για κάθε ℜ∈x

013 1 >+−x που ισχύει αφού 03 1 >−x για κάθε ℜ∈x

Άρα, δεν υπάρχει περιορισµός για το x .

)13(log2)73(log 12

222 ++=+ −− xx ⇔

)13(log2log)73(log 12

22

222 ++=+ −− xx ⇔

)]13(log2[log)73(log 12

22

222 +⋅=+ −− xx ⇔

)13(473 122 +⋅=+ −− xx ⇔


211

43473 1)1(2 +⋅=+ −− xx ⇔

0334)3( 121 =+⋅− −− xx ⇔ (θέτω yx =−13 )

0342 =+− yy ⇔

=

=

3

1

2

1

y

y

• Αν 11 =y τότε : 13 1 =−x ⇔ 01 33 =−x ⇔ 01=−x ⇔ 1=x

• Αν 32 =y τότε : 33 1 =−x ⇔ 11 33 =−x ⇔ 11=−x ⇔ 2=x

……………………………………………………………………………………..


Να λύσετε τις εξισώσεις

i). 103 =x

ii). xx e −− = 213

iii). 3ln)2ln( +=+ xe xx

Λύση

i). 103 =x 13log10log3log =⇔=⇔ xx ⇔3log

1=x

ii). xx e −− = 213 xxxxe xx −=−⇔−=−⇔=⇔ −− 23ln3ln23ln)1(ln3ln 21

⇔+=+⇔ 3ln2)3ln1( x 3ln1

3ln2

++

=x

iii). 3ln)2ln( +=+ xe xx ⇔ 3lnln)2ln( +=+ xxx ee ⇔ )3ln()2ln( xxx ee ⋅=+

⇔ xxxxx eee 2232 =⇔=+ ⇔ xxe 2ln2ln = ⇔

⇔ 2lnln2ln xe x =+ ⇔ 2ln2ln xx =+ ⇔

⇔ 2ln)12(ln =− x ⇔ 12ln

2ln−=x

……………………………………………………………………………………..


212

∆ΥΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ: αα lnxx e= και αβα log


i). Να δείξετε ότι : 5lnln5 xx =

ii). Να λύσετε την εξίσωση : 03425 5lnln =+− xx

Λύση

i). Για κάθε 0>x µε λογαρίθµιση και των δυο µελών έχουµε

5lnln5 xx = ⇔ 5lnln ln5ln xx = ⇔ xx ln5ln5lnln ⋅=⋅ που ισχύει

ii). Η εξίσωση ορίζεται όταν 0>x

Για κάθε 0>x έχουµε

03425 5lnln =+− xx ⇔ 035425 lnln =+⋅− xx [λόγω του α]

⇔ 0354)5( ln2ln =+⋅− xx (1)

Θέτουµε yx =ln5 (2) τότε η (1) γράφεται

⇔=+− 0342 yy 1=y ή 3=y

Για 1=y από (2) είναι: 15ln =x ⇔ ⇔= 0ln 55 x 0ln =x ⇔ 1=x

Για 3=y από (2) είναι: 35ln =x ⇔ 3ln5ln ln =x ⇔ 3ln5lnln =⋅x ⇔

5ln

3lnln =x ⇔ 5ln

3ln

ex = ⇔ 5ln

13ln )(ex = ⇔ 5ln

1

3=x .

Οι ρίζες 1=x και 5ln

1

3=x είναι δεκτές.

……………………………………………………………………………………..


213

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Άσκηση 1

i). Να αποδείξετε ότι : xy yx loglog = µε 0, >yx

ii). Να λύσετε το σύστηµα :

=

=+

1log

20loglog

xy

yx xy

iii). Αν οι λύσεις του (ii) είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

0))110loglog(log( 2 =−+ θxx να βρείτε το ∗+ℜ∈θ .

Λύση

i). Είναι xy yx loglog = ⇔ xy yx loglog loglog = ⇔ yxxy loglogloglog ⋅=⋅ που

ισχύει

ii). Πρέπει 0>x και 0>y . Έχουµε:

=

=+

1log

20loglog

xy

yx xy

)(i

⇔

=

=

1)log(2

1

202 log

xy

x y

⇔

=+

=

2loglog

10log

yx

x y

⇔

=+

=

2loglog

10loglog log

yx

x y

⇔

=+

=⋅

2loglog

1loglog

yx

xy ⇔

=

=

1log

1log

y

x ⇔

=

=

10

10

x

y

⇔ )10,10(),( =yx δεκτές.

iii). Για 10=x η δεδοµένη εξίσωση γίνεται :

0))110log1010log(log( 2 =−+ θ ⇔ 0))110log10100log(log( =−+ θ ⇔

0))10log10log(log( =−θ ⇔ 1)10log10log( =−θ ⇔ 1010log10 =−θ ⇔

20log10 =θ ⇔ 2log =θ ⇔ 210=θ

……………………………………………………………………………………..

Άσκηση 2

Να λύσετε τα συστήµατα:

i).

=+

=+

3loglog

65

yx

yx [Λύση: )40,25(),( =yx ή )25,40(),( =yx ]

ii).

=+

=−

16logloglog

15loglog22 yx

x [Λύση: )

25

2,50(),( =yx ή )

25

2,50(),( −=yx ]


214

Άσκηση 3

Να λύσετε τα συστήµατα:

i).

−=

=

3)ln(

5)ln(

y

x

xy

[Λύση: ),(),( 4eeyx = ή ),(),( 4eeyx −−= ]

ii).

=+

=−

2lnln

1lnln222 yx

yx [Λύση: )1,1()ln,(ln =yx ή )

5

7,

5

1()ln,(ln −−=yx ]

……………………………………………………………………………………..

Άσκηση 4

i).

=+

−=⋅

5lnln

2lnln22 yx

yx

ii).

=

=

3)ln(

lnln

xy

yx

iii).

=−

=+

3loglog

100.10)1(

y

xxy

yy xx

iv).

=

= +−

1log

1log1log

y

x

yx xy

Υποδείξεις

i). Να χρησιµοποιήσετε βοηθητικούς αγνώστους. Θα βρείτε )1

,(),(2e

eyx = ή

),1

(2

ee

ή )1

,( 2

ee ή ),

1( 2ee

.

ii). Θα πρέπει 0>x και 1−≥y . Η πρώτη εξίσωση δίνει: yx ln2ln = και η

δεύτερη 3lnln =+ yx . Βρίσκουµε ),(),( 2 eeyx = .

iii). Η πρώτη εξίσωση δίνει 100=xy και η δεύτερη 3log =y . Βρίσκουµε 3

2=x

και 1000=y .

iv). Είναι xy yx loglog = . Η πρώτη δίνει 1=xy και η δεύτερη 100=y

x. Βρίσκουµε

)10

1,10(),( =yx .

……………………………………………………………………………………..


215

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ

• Για να συγκρίνουµε λογάριθµους στηριζόµαστε στη µονοτονία της λογαριθµικής

συνάρτησης.

• Για την xy αlog= ισχύουν :

o Εάν 1>α τότε είναι γνησίως αύξουσα

o Εάν 10 << α τότε είναι γνησίως φθίνουσα


Να συγκριθούν οι αριθµοί:

i). 2log3 και 5log3

ii). 5log 3.0 και 7log 3.0

iii). )1log( 2 +x και x2log

Λύση

i). 5log2log52 33 <⇔<

(βάση ο 3 άρα η λογαριθµική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα δηλαδή:

2121 loglog xxxx αα <⇔< )

ii). 75 < ⇔ 7log5log 3.03.0 > (γν. φθίνουσα δηλ. 2121 loglog xxxx αα >⇔<

iii). Η βάση είναι το 110 > άρα η xxf log)( = είναι γνησίως αύξουσα. Έχουµε :

xxxx 2log)1log(21 22 ≥+⇔≥+

0)1(01221 222 ≥−⇔≥+−⇔≥+∗ xxxxx αληθές

……………………………………………………………………………………..

Χρήσιµη ανισότητα: αν )2(log)1(log1 1 +>+⇒> + ααα αα

Βάση της ιδιότητας προκύπτει η ακόλουθη διάταξη:

8log7log6log5log 7654 >>>

……………………………………………………………………………………..


216


1. Να λύσετε τις ανισώσεις

i). xx ln1)1ln( +>−

ii). 01ln2 <−x

Λύση

i). Η ανίσωση ορίζεται όταν )1 ,0(0

1

0

01∈⇔

>

<⇔

>

>−x

x

x

x

x (1)

Για κάθε )1 ,0(∈x έχουµε

xx ln1)1ln( +>− ⇔ xex lnln)1ln( +>− ⇔ )ln()1ln( exx >− ⇔ exx >−1

⇔ xex >−1 ⇔ 1)1( <+ xe ⇔1

1

+<

ex (2)

ii). Η ανίσωση ορίζεται όταν 0>x


exexexxxx <⇔<⇔<⇔<⇔<⇔<− 2

1

2

1

lnln2

1ln1ln201ln2 (2)

Οι (1) και (2) συναληθεύουν όταν ) ,0( ex ∈

……………………………………………………………………………………..


i). 3)2

1( >x

ii). 121 63 −− ≤ xx

Λύση

i). Έχουµε,

3)2

1( >x ⇔ 3ln)

2

1ln( >x ⇔ 3ln)

2

1ln( >⋅ xx ⇔

2

1ln

3ln<x [

02

1ln < γιατί 1

2

1< ] ⇔

2ln1ln

3ln

−<x ⇔

2ln

3ln−<x


217

ii). Έχουµε,

121 63 −− ≤ xx ⇔ 121 6ln3ln −− ≤ xx ⇔ 6ln)12(3ln)1( −≤− xx ⇔

⇔ 3ln6ln)3ln6ln2( −≥− x ⇔ 3ln6ln)3ln6(ln 2 −≥− x

⇔ 2ln3

36ln ≥x ⇔ 2ln12ln ≥x ⇔

12ln

2ln≥x

……………………………………………………………………………………..

3. Να λύσετε την ανίσωση : 03lnln 22 >−− xx

Λύση

Η ανίσωση ορίζεται όταν 0>x


03lnln 22 >−− xx ⇔ 03ln2ln 2 >−⋅− xx ⇔ (2)

Θέτουµε yx =ln (3) οπότε η (2) γίνεται

0322 >−− yy (4)

Είναι: 0322 >−− yy ⇔ 3=y ή 1−=y

Οπότε η (4) ⇔ 1−<y ή 3>y ⇔ 1ln −<x ή 3ln >x ⇔ 1lnln −< ex ή

3lnln ex > ⇔ 1−< ex ή 3ex > ⇔e

x1

< ή 3ex >

……………………………………………………………………………………..


218

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις

Α. 42 5 −=+x

Β. 035 =−x

Γ. 0273 2 =−−x

∆. xx 36 =

Ε. 0113 42

=−− xx

Στ. 35 48 +− = xx

Ζ. 644 72 =−x

Η. 3242 =x

Θ. 279 12 =+x

Ι.

8

27)

2

3( 62

=−x

Ια. 0

4

12 6 =−−x

Ιβ. 2555 132 =⋅ −xx


Α. 1355 −+

= xx

Β. 3224 =⋅xx

Γ. 12 652

=+− xx

∆. 115 572 =−−x

Ε. 121 232412 +− +=⋅ xx

Στ. 03329 =−⋅− xx

Ζ. 112 513055 −+ ⋅=+ xx

Η. 12 ++=+ xxx eeee

Θ. 1)1( 32 2

=−+ + xxxx

Ι. 05210725 22 =⋅+⋅−⋅ xxx

Ια. 1211 36429 +++ ⋅−⋅= xxx


219


Α. xx −+ ≥ 1312 77

Β. 7323 )8

5()

8

5( −− > xx

Γ. xx 355 )6

7()

6

7( −+ ≤

∆. 162 1 ≤−x

Ε. 273 132

≥−x

Στ.

32

1)

2

1( 42

<+ xx

Ζ. 11622

<⋅ xx

Η. 03329 <−⋅− xx

Θ. 2

52 )

4

1()

2

1(

2 +− <x

xx

Ι. 4

3

13 1 ≤++

xx

Ια. 022 >−+ xx ee

Ιβ. 0

2

1>

+

−x

x

e

e

4. Να λύσετε τα συστήµατα

Α.

−=⋅−⋅

=+

63223

1332yx

yx

Β.

=−

=−++ 752

13212 yx

yx

Γ.

=+

=+

5

1222

yx

yx

∆.

=⋅

=+−− 824

132333 xyyx

yx

Ε.

=⋅

=⋅−−

−+

155

8422112

215

yx

xyx


220

Στ.

=⋅

=⋅

7232

10832xy

yx

Ζ.

=⋅

=⋅

3643

3692yx

yx

Η.

=

=−

+

9

1

39

82xy

yx

Θ.

=+

=++

+

15253

106531

1

yx

yx

Ι.

=

=⋅ −+

2

11

:

1

eee

eeyx

yx

5. Να υπολογίσετε το x αν ισχύει :

Α. 3log22=x

Β. 2log10=x

Γ. 2lnex =

∆. 3log2log5ln 103 3 −−= ex

6. Να αποδείξετε ότι:

Α. 12log5log4log =−+

Β. 2log6log22log33log2 =−+

Γ. 03ln12ln4ln =+−

∆. 3ln4ln64ln

3

19ln

2

1=+−

Ε.

2

510log2ln63log2 43

3 =−+ e

ΣΤ.

2

3

2log15log

8log27log125log=

−−+

7. Να αποδείξετε ότι:

Α. 51004 2ln32log3log2 =−+ e


221

Β. 103 2log5log 33 =+

Γ.

9

23ln22ln =−e

∆. 63 2log21 3 =+

Ε.

82ln31 e

e =−

ΣΤ. 501510004

100ln2

15log

3

115log

2

12

=+++

e

8. Αν 89ln...2ln1ln εφεφεφ ⋅⋅⋅=Α και 89ln...2ln1ln εφεφεφ +++=Β να

δείξετε ότι Α =Β.

9. Έστω η ακολουθία ννα 2ln= .

Α. Να δείξετε ότι η ακολουθία )( να είναι αριθµητική πρόοδος.

Β. Να δείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της είναι

2ln2

)1( +⋅=

νννS

10. Να βρείτε το θετικό αριθµό x ώστε να ισχύει:

3434ln...lnlnln 10074 =++++ xxxx

11. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων

Α. )23ln()( −= xxf

Β. )1log()( 2 −= xxf

Γ.

x

xxf

−−

=5

3ln)(

∆. )

1ln()(

xxxf −=

Ε. )82ln()( −= xxf

ΣΤ. )1ln()( −= xexf

Ζ.

1

1ln)(

+

−=

x

x

e

exf


222

Η. x

x

ee

exf

−

−=

1ln)(


Α. )1log(1)1log( xx −+=+

Β. 5log1)7log()6log( −=−+− xx

Γ. 12ln)22ln(ln 2 −=−− exx

∆. 212log2)9log( =−+− xx

Ε. 3log13log)2log(

2

1+=−++ xx


Α.

3

ln

3ln

xx=

Β. xx 2lnln =

Γ. xx 22 lnln =

∆. xx 2lnln =

14. Να λύσετε τα συστήµατα

Α.

+=

=

xy

xy

log3loglog3

3

Β.

=+

=−

20ln2ln5ln

125

yx

yx

15. Να λύσετε το σύστηµα

−+=

=+

eey

yxx 1

1ln

16.

Να λύσετε το σύστηµα

−=−

=−

1lnln

01ln

2 yx

e

x


Α. 024 2ln2lnln =−− exx


223

Β. 01000393 2loglog1log =+− + xx

Γ. 0100323 3logloglog 2

=−⋅− xx

∆. 11000100

1)1log(3

1log

2

11

=+−−+ xx


Α. xe x =+ )2ln( 2

Β. 3ln)2ln( 2 +=+ xe x

Γ. 6log5log)21log( +=++ xx x

19. Να λύσετε την εξίσωση: 1ln1ln1lnln 5335 −+− −=− xxxx

20. Α. Να υπολογίσετε τον αριθµό 3log100

Β. Να λύσετε την εξίσωση: 010022 3logln1ln 2

=−− + xx

21. Α. Να δείξετε ότι: 2lnln2 xx =

Β. Να λύσετε την εξίσωση: 0894 2lnln =+⋅− xx

22. Να λύσετε την εξίσωση: 522 ln2ln =+ − xx

23. Να λύσετε την εξίσωση: 04653 2

112 =+⋅−

++ xxx

ηµηµηµ

24. Α. Να δείξετε ότι: )6

(23π

ηµσυνηµ +=+ xxx

Β. Να λύσετε την εξίσωση: 22106 lnlog =⋅+⋅ xx e συνηµ στο )

2,0(π

25. Αν οι αριθµοί 1, x22συν , 12 +xσυν µε τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου να βρείτε το x .

26. Να λύσετε την εξίσωση: 01ln4ln 2 =+− xx συνσυν στο διάστηµα ),1( 2πe


224

27. Να λύσετε τις ανισώσεις:

Α. )3log()12log( xx −>−

Β. )2ln(ln 2 +> xx

28. Αν )2

,0(π

θ ∈ να λύσετε την ανίσωση : xx ln21ln )()( +< ηµθηµθ

29. Έστω η συνάρτηση )35ln()( xxf −=

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f

Β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της fC µε τους άξονες

Γ. Να λύσετε την ανίσωση 0)( >xf

30. Έστω η συνάρτηση )1ln(ln)( −= xxf

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f

Β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της fC µε τον άξονα x

Γ. Να λύσετε την ανίσωση 0)( <xf

31. Έστω η συνάρτηση xxf )1ln2()( −= α

Α. Να βρείτε για ποιες τιµές του α η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το ℜ .

Β. Να βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα.

Γ. Να βρείτε το α ώστε η fC να έχει ασύµπτωτο τον θετικό ηµιάξονα Ox .

32. Έστω η συνάρτηση θθ 22 ln5)ln1(2)( −++−= xxxf , 0>θ

Α. Να βρείτε το θ ώστε η fC να εφάπτεται στον άξονα xx' .

Β. Να βρείτε το θ ώστε η f να παρουσιάζει ελάχιστο στο 3.

Γ. Να βρείτε το θ ώστε η f να έχει ελάχιστη τιµή το 4.

33. Αν η ακολουθία )( να είναι αριθµητική πρόοδος µε xηµα ln1 = , )

2,0(π

∈x ,

2ln=ω και 8ln5 =α να βρείτε το x .


225

34. Αν )

2,0(π

θ ∈ και οι αριθµοί )21ln( θσυν+ , ηµθln , 2ln− είναι διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου να βρείτε το θ.


226

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

35. ∆ίνεται η συνάρτηση )]3132log(2log[)( −−−= xxf

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f

Β. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους

άξονες.

36. ∆ίνονται οι αριθµοί 4ln

e=α και 3log100=β

Α. Να βρείτε τις τιµές των α και β

Β. Να λύσετε την εξίσωση : βα +⋅= 3loglog9 xx

37. ∆ίνονται οι συναρτήσεις )32ln()( 2 +−= xx eexf και )1ln(3ln)( −+= xexg

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f και g

Β. Να λύσετε την εξίσωση )()( xgxf =

Γ. Να λύσετε την ανίσωση )(2)( xgxf >

38. ∆ίνεται η επόµενη συνάρτηση : )100log()(log8)(log)( 24 xxxxf ⋅+⋅= α για

την οποία ισχύει 25)10( =f

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και την τιµή του ℜ∈α

Β. Να λύσετε την εξίσωση 0)( =xf

39. ∆ίνεται η συνάρτηση 5

1ln)(

2

+

−=

x

x

e

exf

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της )(xf

Β. Να λύσετε την εξίσωση 2ln2)( =xf

Γ. Να λύσετε την ανίσωση 0)( >xf


227

40. Α. Να βρείτε την τιµή του ℜ∈α για την οποία ισχύει:

12ln)82ln()3ln(2 −=−−− eαα

Β. Για την τιµή του α που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση:

xexx logloglnlog 6 ⋅=+⋅ α

41. Οι αριθµοί )13ln( −α , )13ln( +α , 2ln3 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής

προόδου.

Α. Να βρείτε την τιµή του ℜ∈α

Β.

Να λύσετε το σύστηµα:

=+−

=+

α

α

eey

yxx

ln

42. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ])

2

1log[()( α+= xxf διέρχεται από

το σηµείο )6log1,6( +−Μ


Β. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f

Γ. Να λύσετε την ανίσωση 1)( <xf

∆. Να λύσετε την εξίσωση: 22 )3(log =+ −fy y

43. ∆ίνεται η συνάρτηση x

xxf

+−

=3

3ln)(


Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

Γ.

Να συγκρίνετε τους αριθµούς )0(f και )3

1(f

∆. Να λύσετε την εξίσωση : 0)1()( =++ xfxf αφού δείξετε ότι είναι

"11" −


228

44. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, >yx ισχύει: xy yx loglog =

Β.

Να λύσετε το σύστηµα :

=

=+

1log

20loglog

xy

yx xy

Γ. Αν ο αριθµός x που βρήκατε στο ερώτηµα Β) είναι λύση της

εξίσωσης 0)]110loglog[log( 2 =−+ θxx να βρείτε την τιµή του θ,

όπου θ θετικός πραγµατικός αριθµός.

45. Ο τρίτος όρος µιας αριθµητικής προόδου )( να είναι ίσος µε 125log3 =α και

η διαφορά της είναι ίση µε 5log=ω

Α. Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος 1α της προόδου είναι ίσος µε τη

διαφορά ω.

Β. Να υπολογίσετε το άθροισµα: 292221 ... ααα +++=Α

Γ. Έστω )( νβ µια γεωµετρική πρόοδος µε 11 αβ = και 22 αβ = όπου 1α

και 2α ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της προηγούµενης αριθµητικής

προόδου αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισµα

20011999531 ... βββββ +++++=Β

46. Το πολυώνυµο 1616log4log)23log()( 243 −⋅−⋅+−⋅= − xxxxP a αα έχει

παράγοντα το 2−x .


Β. Για την τιµή του α που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση

ααααα

log)1log()1log(

)1log()1log()21log( 1 +

++−+⋅−⋅

>+ + xx

47. Το πολυώνυµο λλ −++−= 4)( 23 xxxxP έχει παράγοντα το 9ln

ex + .

Α. Να βρείτε την τιµή του ℜ∈λ

Β. Να βρείτε το πηλίκο )(xπ της διαίρεσης του )(xP µε το

9lnex +

Γ. ∆ίνονται οι αριθµοί 1, >βα για τους οποίους ισχύει

2ln)ln(ln)ln(ln =− αβ . Να αποδείξετε ότι 2αβ =


229

∆. Αν ισχύει 1)(ln ≤απ να αποδείξετε ότι 62 ee ≤≤ β

48. ∆ίνεται η συνάρτηση xxxf 3924ln)( ⋅−⋅=


Β. Να βρείτε το ℜ∈α ώστε οι αριθµοί : 5ln , )2( αf , 6lnα να είναι

διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.

Γ. Για την τιµή του α που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση

0)log(log)log(log 3 >++ αyy


230

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

49. Έστω η συνάρτηση 4 2( ) (log ) 8(log ) log(100 )f x a x x x= +

Α. Αν (10) 25f = τότε να δείξετε ότι 1=α

Β. Για 1=α

I. να αποδείξετε ότι 2 2( ) (log 4 log )f x x x= +

II. να λυθεί η εξίσωση ( ) 0f x =

50. Έστω οι συναρτήσεις 2( ) ln( 2 3), ( ) ln 3 ln( 1)x x xf x e e g x e= − + = + −

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των ,f g

Β. να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )f x g x=

Γ. να λυθεί η ανίσωση ( ) 2 ( )f x g x>

51. Έστω η συνάρτηση ( ) log( 10) 2f x x= + − . Να βρείτε:

Α. το πεδίο ορισµού της f

Β. το σηµείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες

xx' και yy' .

Γ. Το ℜ∈α , ώστε το σηµείο )1,( −α να ανήκει στη fC .

52. Να λυθεί η ανίσωση 1 log log( 3)

21 log

x x

x

− + +≥

−

53. Να λυθεί η ανίσωση 21 log

11 log

x

x

+>

+

54. Να λυθεί το σύστηµα log log 2

25

x y

x y

+ =

+ =


231

55. Να προσδιορισθούν οι τιµές του x ώστε οι αριθµοί

log , log(3 2), log( 3)x x − να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής

προόδου.

56. Έστω η συνάρτηση ( ) log(log( 9))f x x= + . Να βρείτε:

Α. Το πεδίο ορισµού της f

Β. Να βρείτε ένα σηµείο τοµής των γραφικών παραστάσεων της f και

της g όπου ( ) logg x x= .

57. Έστω η συνάρτηση ( ) log(log( ))f x x= . Να βρείτε:

Α. το πεδίο ορισµού της f

Β. Να βρείτε το σηµείο στο οποίο η fC τέµνει τον άξονα xx' .

Γ. Να βρείτε το διάστηµα στο οποίο πρέπει να ανήκει ο x, ώστε η fC

να είναι πάνω από τον άξονα xx' .

58. Έστω η συνάρτηση ( ) ln( 1)xf x e= − . Να βρείτε:

Α. το πεδίο ορισµού. της f

Β. Να βρείτε το διάστηµα στο οποίο πρέπει να ανήκει ο x, ώστε η fC

να είναι πάνω από τον άξονα xx' .

Γ. Να συγκρίνετε τους αριθµούς (ln 2), (1)f f .

∆. Να λυθεί η εξίσωση (2 ) ( ) (1)f x f x f− =

59. Έστω η συνάρτηση ( ) (2 ln 1)xf x a= − .

Α. Να βρείτε τις τιµές του ℜ∈α , για τις οποίες η f ορίζεται σε όλο το

ℜ .

Β. Να βρείτε τις τιµές του ℜ∈α , για τις οποίες η f είναι γνησίως

αύξουσα.

Γ. Αν 2e=α να βρείτε το θ ώστε 2 4

( 2 ) ( )3

f fσυν θ συν θ+ = .


232

60. ∆ίνονται τα πολυώνυµα: 3 3

( ) ( ln 2) ( ) ln2

aP x a x e xβ= − − − + και

3 3( ) (1 ln ) ( 2) ln

2Q x x e xβ= − − − + . Αν τα πολυώνυµα ( ), ( )P x Q x είναι ίσα:

Α. Να βρείτε τα ,a β

Β. Να αποδείξετε ότι ( 1) 0P − > .

61. Έστω το πολυώνυµο 3 2 ln( ) ln (2 ln ) 1P x x a a x a xβ= + − + + έχει θετικούς

ακέραιους συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα:

Α. Να βρείτε τα ,a β

Β. Για , 1a e β= = να βρείτε το διάστηµα στο οποίο πρέπει να ανήκει ο

x, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )xf x P e= να είναι

πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 3.xg x e= +

62. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης

21( ) 27 12 ln 2 8 ln

2x x xf x a a= + ⋅ − ⋅ διέρχεται από την αρχή των αξόνων:

Α. Να βρείτε τη τιµή του α

Β. Αν α=e να βρείτε το διάστηµα στο οποίο πρέπει να ανήκει ο x, ώστε

η fC να είναι πάνω από τον άξονα x’x.

63. Έστω η συνάρτηση ( ) 1 ln , 0f x x x x= − + > .

Α. Να δείξετε ότι για κάθε 0 1, ( ) 0x x f xµε < < <

Β. Να λύσετε την εξίσωση 2( ) 1 ln ,f x x x= − −

Γ. Να λύσετε την ανίσωση 1( ) 2 1,x xf e x +> + −

∆. Να δείξετε ότι για κάθε (0, ), ln

2

eπθ µε θ ηµθ

ηµθ∈ <


233

64. Έστω η συνάρτηση

1( ) ( )

2x xf x e e−= − .

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της

Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι ‘1-1’ ( δηλ., αν

1 2 1 2( ) ( )f x f x x xτοτε= = )


2 ln 1( )

2 ln 1

xf x

x

+=

−.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της

Β. Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0,f x <

Γ. Να λύσετε την εξίσωση

1 10( ) ( )

3f x f

x+ =


1( ) ln( )

1

xf x

x

+=

−.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού. της το Α

Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή

Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε ,

1a

α ββ τοτε και

αβ+

∈Α ∈Α+

∆. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )

1f f a f

α ββ

αβ+

= ++

.

181-233 ΛΟΓΑΡΙΘ 2012€ολύ καλές... · «µαζεύουµε», στη...

Documents