185.pdf

Instituto Politecnico NacionalEscuela Superior de Fsica y Matematicas

Doctorado en Ciencias en Fsica

TESIS

Analisis no Lineal y Escalamiento de

Excursiones en Senales Cardiacas.

Para obtener el grado de:

Doctor en Ciencias en Fsica

Presenta:

Israel Reyes Ramrez

Asesor:

Lev Guzman Vargas

Diciembre 2010

Resumen

En este trabajo se estudian las excursiones, definidas como el numero de lati-

dos necesarios para regresar a un valor medio local en una serie de tiempo de inter-

latido cardiaco de individuos sanos y pacientes con insuficiencia cardiaca congestiva

(CHF)(1, 2, 3, 4, 5). Primero se aplica el procedimiento de segmentacion propuesto

por Bernaola-Galvan et. al.(6) a la serie de tiempo no estacionaria para identificar

segmentos estacionarios con valor local medio propio. Despues se identifican las excur-

siones alrededor de cada valor medio local y se construye su secuencia para analizar

la organizacion temporal y sus propiedades de memoria, tanto para periodos de vigilia

como de sueno de ambos grupos de individuos(1, 3). Se encuentra que la distribucion

acumulativa de las excursiones es consistente con un comportamiento tipo exponencial

estirada dado por g(x) eab , con diferentes parametros de ajuste a y b, para cadagrupo y para cada estado(3). Los resultados tambien muestran que la escala carac-

terstica asociada a la distribucion de excursiones es mayor para individuos sanos que

para pacientes CHF, mientras que la transicion vigilia sueno es mas significativa para

individuos sanos. Se considera la distribucion de probabilidad acumulativa condicional

G( |0) para evaluar el efecto de memoria en la secuencia de excursiones. Se encuen-tra que la memoria en individuos sanos esta caracterizada por la presencia cumulos

relacionados con el hecho de que pequenas (grandes) excursiones son mas probables

de ser seguidas por tambien pequenas (grandes) en comparacon con el grupo CHF.

La presencia de correlaciones temporales en la secuencia de excursiones de individuos

sanos es confirmada usando el analisis de fluctuaciones sin tendencia (DFA), mientra

que para pacientes CHF el exponente de escalamiento es caracterizado por dos regiones,

indicando que para escalas cortas la secuencia se asemeja a un ruido descorrelacionado,

mientras que para escalas largas las fluctuaciones revelan correlaciones de largo alcance.

Tambien se aplico un analisis de estabilidad de las excursiones basado en la varianza

de Allan, el cual revela que la dinamica sana es mas estable que en el caso CHF(4).

Finalmente se estudio la estadstica de los tiempos de recurrencia entre excursiones

grandes por arriba de cierto umbral q, para explorar la posibilidad de memoria en

la organizacion temporal en las excursiones de tamano grande(2). El metodo de cor-

relacion aplicado a los tiempos de retorno muestra una correlacion debil para ambos

grupos, la cual cambia conforme el umbral q es incrementado. El analisis DFA confirma

la presencia de correlaciones en la secuencia de tiempos de retorno con un exponente

mayor que el correspondiente a ruido descorrelaciondo(2).

Abstract

In this work we study the excursions, defined as the number of beats to return to a

local mean value, in heartbeat interval time series from healthy subjects and patients

with congestive heart failure (CHF). First, we apply a segmentation procedure pro-

posed by Bernaola-Galvan et. al.(6), to nonstationary heartbeat time series to identify

stationary segments with a local mean value. Next, we identify local excursions around

the local mean value and construct the distributions to analyze the time organization

and memory in the excursions sequences from the whole time series for wake and sleep

periods for the two groups. We find that the cumulative distributions of excursions

are consistent with a stretched exponential function given by g(x) eab , with dif-ferent fitting parameters a and b, leading to different decaying rates. The results also

show that the average characteristic scale associated with the excursion distributions

is higher for healthy data compared to CHF patients, whereas sleep-wake transitions

are more significant for healthy data. The cumulative conditional probability G( |0)is considered to evaluate the memory effect in excursion sequences. We find that the

memory in excursions sequences under healthy conditions is characterized by the pres-

ence of clusters related to the fact that small (large) excursions are more likely to be

followed by small (large) ones than for CHF data. The presence of temporal corre-

lations in healthy data is confirmed by means of the dentrended fluctuation analysis

(DFA), while for CHF records the scaling exponent is characterized by a crossover,

indicating that for short scales the sequences resemble uncorrelated noise and for large

scales the fluctuations reveal long-range correlations. Also, we apply a stability anal-

ysis of excursions based on the Allan variance, which reveals that healthy dynamics

is more stable than heart failure excursions. Finally, we study the statistics of return

intervals between long excursions above certain threshold q for both groups to explore

the possibility of memory in the time organization of the extreme-size excursions. The

correlation method applied to the return intervals shows a weak correlation for both

groups with changes as the threshold q increases. The DFA analysis confirms the pres-

ence of correlations in the return interval sequences with scaling exponents higher than

the uncorrelated value.

Con todo mi Amor...

Karla

Elanor

Aureliano

Lentejita

A mis Papas y Hermano.

A mis Suegros y Cunadas.

Agradecimientos

COTEPABE

UPIITA

CONACyT

Fernando Angulo B.

T.E. Govindan

Lab. Sistemas Complejos, UPIITA

Muy especialmente a:

Lev Guzman V.

Indice general

Glosario v

1 Introduccion 1

1.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 El objeto de estudio 5

2.1 El corazon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Ciclo cardiaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 El Electrocardiograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Metodos de analisis 13

3.1 Elementos estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Estadstica de Allan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Efectos de memoria en series temporales . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Analisis de fluctuaciones sin tendencias DFA . . . . . . . . . . . 21

3.3 Analisis Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Analisis de fractalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.2 Dimension Fractal (metodo de Higuchi) . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.3 Metodo multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Metodo de segmentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii

INDICE GENERAL

4 Estudio de excursiones de interlatido cardiaco 29

4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1) . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5) . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Distribucion de excursiones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3 Procedimientos de alteracion de las excursiones . . . . . . . . . . 36

4.2.4 Correlaciones en las excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.5 Correlaciones de largo plazo en las excursiones . . . . . . . . . . 43

4.3 Estadstica de Allan para las Excursiones(4, 5) . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Estadstica de tiempos de retorno de excursiones de tamano grande(2) . 45

4.4.1 Distribucion de los intervalos de retono . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Correlacion de los intervalos de retorno . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.3 DFA de los intervalos de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conclusiones 49

Bibliografa 53

Apendices 61

A.- La prueba de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B.- Prueba de correlacion de las excursiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Productos derivados del trabajo de tesis 67

EuroPhys Lett. 2010, 38008, 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Revista Mexicana de Fsica, Enviado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Computers in Cardiology, En prensa 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

EuroPhys Lett., Enviado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Chapter 14, Methods in Enzymology, En prensa vol. 487 2011. . . . . . . . 89

iv

Glosario

Aurculas Cavidades superiores del corazon.

AV Nodo auricoventricular. Cumulo de celulas especializadas del sistema de con-

duccion electrico del corazon, ubicado en la region inferior de las aurculas y

superior de los ventrculos. Encargado de distribuir el impulso electrico gen-

erado en el nodo SA hacia los ventrculos a traves de fibras especializadas.

AVAR Varianza de Allan. Se conoce tambien como la varianza de dos muestras, es

una medida de la estabilidad de la frecuencia en relojes atomicos y osciladores.

CDF Funcion de densidad de probabilidad acumulativa.

CHF Congestive heart failure. Insuficiencia cardiaca congestiva. Condicion cronica

del corazon que disminuye su capacidad de bombear sangre a pesar de que

puede continuar latiendo. Es el resultado del dano del musculo cardiaco

que pudo haber sido causado por infarto al miocardio, alta presion arterial,

defectos cardiacos congenitos o artereosclerosis.

ADEV Desviacion de Allan. Raz cuadrada de la varianza de Allan.

Derivacion En electrocardiografa, la palabra derivacion se refiere a la diferencia de

potencia electrico entre dos electrodos.

DFA Analisis de fluctuaciones sin tendencias. Metodo que determina la autosimi-

laridad estadstica de una senal.

Diastole Movimiento de dilatacion de las cavidades del corazon para el llenado de

sangre de las mismas.

v

GLOSARIO

ECG Electrocardiograma. Es el registro grafico de las corrientes que se originan

en el corazon.

Excursion Se define como el numero de pasos necesarios para regresar a un valor

medio local.

Homeostasis Del griego homeo: igual, y stasis:posicion. Proceso por el cual un or-

ganismo mantiene las condiciones internas constante necesarias para la vida.

HRV Heart Rate Variability (Variabilidad del ritmo cardiaco)

PDF Funcion de densidad de probabilidad.

RR Interlatido cardiaco o Tacograma. Tiempo transcurrido entre dos ondas R

sucesivas del electrocardiograma.

Sstole Movimiento de contraccion de las cavidades del corazon para impulsar la

sangre dentro del ciclo cardiaco.

SA Nodo sinoauricular. Cumulo de celulas especializadas del sistema de con-

duccion electrico del corazon, ubicado entre las aurculas, donde normalmente

se origina el impulso electrico que da origen a un latido cardiaco. Comun-

mente llamado marcapasos del corazon.

Tacograma Ver RR.

Tiempo de retoro Tiempo transcurriodo entre dos eventos de magnitud mayor a un

umbral dado.

Ventrculos Cavidades inferiores del corazon de mayor volumen y masa muscular que

las aurculas.

vi

1Introduccion

1.1 Motivacion

Desde hace varios anos, los padecimientos cardiacos se han convertido en una de las

principales causas de mortalidad de la humanidad a nivel mundial. En Mexico ocupa

el segundo lugar en decesos por ano, solo por debajo de la diabetes melitus. Dentro de

la amplia gama de padecimientos cardiacos que son tratados da con da, existen aun

problemas de deteccion para varios de ellos en etapas tempranas de la enfermedad. El

uso de herramientas cientificas contemporaneas derivadas de la dinamica no lineal, se

han empezado a utilizar para ayudar a determinar el grado de avance en problemas

cardivasculares, con la intencion de complementar los diagnosticos de la medicina con-

vencional. En este estudio se pretende contribuir en el desarrollo de nuevas tecnicas

que, en su conjunto, formen parte de una batera de pruebas cientficas que ayuden a

mejorar la calidad de vida del ser humano, y en particular, del mexicano. Es dentro de

este marco que el presente estudio encuentra cabida y la inversion que el pais, mediante

el CONACyT y el IPN han hecho en su realizacion es justificada.

1.2 Antecedentes

Muchos sistemas naturales exhiben fluctuaciones complejas las cuales estan relacionadas

con un gran numero de mecanismos participantes a lo largo de multiples escalas (7, 8).

La caracterizacion de estas fluctuaciones es importante para entender la dinamica in-

terna de los sistemas. En este contexto, muchos estudios han reportado que el compor-

tamiento de dichos sistemas pueden ser caracterizados por la presencia de propiedades

1

1. INTRODUCCION

fractales y de escalamiento (9, 10, 11). En anos recientes, muchos estudios se han cen-

trado en las propiedades estadsticas de la secuencia de interlatido cardiaco. Es bien

conocido que la dinamica de interlatido de individuos sanos muestra fluctuaciones car-

acterizadas por correlaciones de largo alcance, as como un amplio espectro multifractal

(9, 12, 13). Estos hallazgos muestran que las series de tiempo de interlatido cardiaco son

descritas como no estacionarias y con fluctuaciones bastante irregulares. Un aspecto

importante de la variabilidad del interlatido y de otras senales fisiologicas es que los sis-

temas sanos poseen complejos mecanismos de autorregulacion que operan sobre muchas

escalas de tiempo y pueden generar senales con propiedades de escalamiento. Recien-

temente, metodos de la mecanica estadstica y de la dinamica no lineal han revelado

que algunas estructuras de escala observadas bajo condiciones sanas son alteradas por

enfermedad y envejecimiento (9, 14, 15, 16, 17, 18). Estudios hechos sobre la dinamica

del interlatido cardiaco revelan diferencias entre individuos con cierto tipo de padec-

imientos cardiacos e individuos sanos, e incluso se logra diferenciar entre individuos

sanos jovenes y de otros de avanzada edad (17). Tecnicas como espectro de poten-

cias, dimension fractal y analisis de fluctuaciones sin tendencias (DFA1por sus siglas en

ingles) han sido aplicadas directamente a la serie de interlatido cardiaco encontrando,

por ejemplo un escalamiento para jovenes sanos descrito por un exponente espectral

1, mientras que para ancianos sanos y pacientes con insuficiencia cardiaca con-gestiva (CHF2por sus siglas en ingles) se observa un entrecruzamiento en escalamiento

entre escalas cortas y largas, dando como resultado que a escalas cortas (frecuencias

altas) ancianos sanos presenten un exponente de s 2 y en pacientes CHF de s 0,mientras que a escalas largas (frecuencias bajas) en ancianos sanos L 0 y en pa-cientes CHF L 2. Estos hallazgos son corroborados con la aplicacion tanto de DFAcomo Higuchi, para los cuales los jovenes sanos presentan un escalamiento con 1de DFA y una dimension fractal D 1.9 con Higuchi; en ancianos sanos a escalascortas con DFA s 1.5 y con Higuchi Ds 1.5 mientras que para escalas largas DFAL 0.5 y con Higuchi DL 1.8. En el caso de pacientes CHF, con ambos metodos severifica un entrecruzamiento de los respectivos exponentes. Lo que se puede concluir a

la luz de los resultados anteriores es que, ya sea por enfermedad o envejecimiento, se

rompe el escalamiento que caracteiza la autosimilaridad de las secuecias. Otros estudios

1Ver el glosario en la pagina vi.2Ver el glosario en la pagina vi.

2

1.2 Antecedentes

se centran no solo en la descripcion de las senales y su caracterizacion para diferentes

condiciones de salud y de edad, sino tambien proponen modelos que reproduzcan el

comportamiento fractal de las senales (16, 17). Mediante modelos autorregresivos del

tipo Xi+1 = aXi + i se combina informacion del estado actual del sistema Xi con

un ruido estocastico de distribucion gaussiana i, donde el coeficiente a indica que tan

fuerte se propaga la informacion. El caso de interes es para 0 a 1. En estecaso la funcion de autocorrelacion de la serie decae en forma exponencial de la forma

C(m) = Aem/ con escala de tiempo caracterstica = 1/lna, donde claramente va de cero a infinito cuando a corre entre 0 y 1. Es posible incluso calcular el espectro

de potencias s(f) del modelo mediante la transformada de Fourier de la funcion de

autocorrelacion segun el teorema de Wiener-Khinchine (19) s(f) = 4A/[1 + (2f)2].

Otros trabajos como el de Iyengar et. al.(16) reproducen los comportamientos de entre-

cruzamiento en el espectro de potencias y DFA cuando se escogen valores de a entre 0

y 1, mostrandose un comportamiento de ruido browniano para escalas cortas de tiempo

(< ), donde las correlaciones de corto alcance dominan al sistema; mientras que para

escalas de tiempo grandes (> ) se tiene un compotamiento de ruido blanco, donde

el ruido domina el proceso. En el caso de Guzman et. al.(17), se propone ademas

una superposicion de tiempos caractersticos independientes para reproducir adicional-

mente el comportamiento 1/f presente en el modelo monoescala de Iyengar, a partir de

la suma de muchos espectros de potencia dados por un solo , S(f) =0s(f)P ()d

donde P () es la distribucion de de tiempos caracterstica la cual es P () = c/0 si

0 < 1 0 2, con c constante de normalizacion y 1, 2 son los lmites inferiory superior. Con esta propuesta se encuentran tres regiones, donde para frecuencias

muy bajas, un proceso tipo ruido blanco es reproducido; en una region intermedia de

frecuencias se reproduce el tipo 1/f , lo cual no se tena en el modelo anterior, y una

tercera region, para frecuencias muy altas, es posible obtener el comportamiento brow-

niano.

Las variables fisiologicas son en general acotadas, ejemplos de ello son la temper-

atura corporal, la presion sangunea, el ritmo cardiaco, etc. En todos estos casos se

tiene consistencia con el llamado Principio de Homeostasis1. Mediante el estudio de las

excursiones alrededor de un valor medio local, se esta en posicion de evaluar que tanto

1Ver el glosario en la pagina vi.

3

1. INTRODUCCION

el sistema se aleja de un valor ante respuestas de estmulos externos, mientras el sistema

trata de mantenerse dentro de una region acotada. Un analisis estadstico de excur-

siones, las cuales son definidas como el periodo de tiempo empleado por un caminante

para regresar a su valor medio, podra ser importante para la evaluacion de la capacidad

del sistema de preservar una respuesta promedio en concordancia con el principio de

homeostasis. En este trabajo centramos nuestra atencion en las propiedades estadsticas

de las excursiones locales dentro del contexto de la no estacionaridad de las series de

tiempo de interlatido cardiaco. Observamos que excursiones de segmentos estacionarios

arrojan una clase de distribucion exponencial estirada la cual esta caracterizada por

dos parametros tanto para individuos sanos como para pacientes con insuficiencia car-

diaca CHF. Se ha observado que este tipo de distribuciones se presentan en fenomenos

que poseen correlaciones de largo alcance asociados con comportamientos no lineales y

con ruidos tipo 1/f . Estos fenomenos presentan correlaciones de largo alcance, que se

manifiestan mediante un agrupamiento en vecindades temporales respecto a los llama-

dos eventos extremos, es decir, eventos por arriba de cierto umbral, los cuales tambien

exhiben correlaciones tipo 1/f y para los cuales tambien se presenta una agrupacion

temporal. Ademas presentan distribuciones del tipo exponencial estirada, las cuales

distan de procesos puramente poissonianos, es decir, aleatorios puros. El problema del

primer tiempo de retorno ha sido estudiado en contextos como ndices financieros, in-

termitencia, actividad ssmica y ruido simulado (20, 21, 22). Hay tambien un resultado

importante para probabilidad de cruce cero para datos gaussianos con correlaciones de

largo alcance (23). La distribucion de los tiempos de retorno es util para caracterizar

propiedades temporales de eventos cuando uno esta interesado en los tiempos de recur-

rencia de eventos extremos, por ejemplo, en eventos ssmicos (24), el comportamiento

de ndices financieros (25, 26), en tormentas solares (27), registros climatologicos (28), e

incluso intervalos de interlatido cardiaco largos (29). Estudios basados en la estadstica

de tiempos de retorno mayores que cierto umbral dado, han revelado la presencia de

correlaciones de largo alcance en todos estos de registros. Si se conecta el estudio de

intervalos de retorno con el analisis de excursiones, es posible tratar de obtener infor-

macion adicional acerca de que los sistemas sanos son, en general, menos limitados que

los sistemas bajo alguna afeccion, debido al hecho de que los mecanismos de control

aun no se encuentran degradados y permiten una mejor respuesta ante estmulos del

medio.

4

2El objeto de estudio

2.1 El corazon

El corazon es un musculo cuya funcion principal es la de llevar oxgeno y nutrientes a

las celulas del cuerpo. Como organo principal del sistema circulatorio, es la bomba que

impulsa la sangre a traves de todo el sistema. El corazon consta de cuatro camaras (ver

fig. 2.1a)) divididas en dos Aurculas encargadas de recibr el flujo sanguneo prove-

niente tanto del sistema circulatorio periferico (aurcula derecha) como proveniente de

la circulacion pulmonar (aurcula izquierda). Estas aurculas envan la sangre a las cavi-

dades inferiores de mayor masa muscular llamadas Ventrculos (ver fig. 2.1a)), cada

aurcula funciona como una debil bomba de cebado del ventrculo correspondiente, el

derecho enva la sangre hacia los pulmones para ser oxigenada y el izquierdo manda la

sangre ya oxigenada de regreso al torrente sanguneo. Mecanismos especializados del

corazon producen una sucesion de contracciones que transmite potenciales de accion

por todo el musculo cardiaco y determinan su latido rtmico. El corazon esta dotado

de sistemas especiales que generan impulsos electricos intermitentes para producir la

contraccion rtmica del corazon y para conducir estos estmulos rapidamente por todo el

corazon. Cuando este sistema funciona normalmente, las aurculas se contraen aproxi-

madamente 1/6 de segundo antes de la contraccion ventricular, lo que permite el llenado

de los ventrculos antes de que se de su accion de bombeo. Este sistema es tambien

importante porque permite que todas las porciones de los ventrculos se contraigan casi

simultaneamente, lo que es esencial para una generacion de presion mas eficaz en las

cavidades ventriculares.

5

2. EL OBJETO DE ESTUDIO

El sistema especializado de excitacion y de conduccion del corazon que controla las

contracciones cardiacas esta compuesto de el denominado nodo sinoauricular (SA1) en

el que se genera el impulso rtmico normal; las vas internodulares (VI) que conducen el

impulso electrico desde el nodo SA hasta el nodo auriculoventricular (AV2), en el cual

el impulso originado en las aurculas se retrasa antes de entrar en los ventrculos; el haz

AV que conduce el impulso desde las aurculas hacia los ventrculos y las ramas izquierda

y derecha del haz de fibras de Purkinje, que conducen el impulso cardiaco por todo el

tejido de los ventrculos (ver fig. 2.1b)). Algunas fibras cardiacas tienen la propiedad de

autoexitacion que es un proceso que puede producir descargas y contracciones rtmicas

automaticas. Por este motivo el nodo SA habitualmente controla la frecuencia del

latido de todo el corazon, es por ello que es conocido como el marcapaso cardiaco. Aun

cuando hay otras regiones del corazon que pueden producir descargas rtmicas, como es

el caso del nodo AV y las fibras Purkinje, lo hacen a una frecuencia menor, de tal forma

que una nueva descarga del nodo SA se propaga antes de que el nodo AV y las fibras

Purkinje alcancen su propio umbral de autoexitacion. Por tanto, el nuevo impulso

proveniente del nodo SA descarga tanto las fibras del nodo AV como las fibras Purkinje

antes de que se pueda producir autoexitacion en cualquiera de estas estructuras (30).

Aurculaderecha

Aurculaizquierda

Ventrculoderecha

Ventrculoizquierda

Art.PulmonarArt. Aorta Nodo

SA

NodoAV

HazdeHis

a) b)

Figure 2.1: Diagrama del corazon - (a) Diagrama de las cavidades del corazon y sus

principales conexiones as como la direccion del flujo sanguneo. b) Esquema nervioso donde

se muestran los nodos Sinusal (SA) y Auriculoventricular (AV), ademas, se muestran las

ramificaciones del haz de His que conduce el el impulso electrico a las paredes ventriculares.


6

2.2 Ciclo cardiaco

El corazon esta enervado por nervios simpaticos y parasimpaticos. Los nervios

parasimpaticos (vagos) se distribuyen principalmente a los nodos SA y AV. Por el con-

trario los nervios simpaticos se distribuyen en todas las regiones del corazon, con una in-

tensa presencia en el musculo ventricular. La estimulacion de los nervios parasimpaticos

hace que se libera la hormona acetilcolina, la cual reduce la frecuencia del nodo SA y

reduce la excitabilidad de las fibras de la union AV, retrasando de esta manera la

transmision del impulso cardiaco hacia los ventrculos. Por tanto, la estimulacion va-

gal puede causar la disminusion del ritmo en el nodo SA hasta la mitad si es debil, o

incluso interrumpir completamente la exitacion rtmica del nodo SA o incluso puede

bloquear completamente la transmision del impulso cardiaco desde las aurculas hacia

los ventrculos. La estimulacion de los nervios simpaticos liberan la hormona nora-

drenalina que produce esencialmente los efectos contrarios sobre el corazon a los que

produce la estimulacion vagal, por ejemplo, aumenta la frecuencia de descarga del nodo

SA, que puede ser casi al triple de su ritmo habitual; tambien aumenta la velocidad de

conduccion as como el nivel de excitabilidad de todas las porciones del corazon; au-

menta en mucho la fuerza de contraccion de toda la musculatura cardiaca que podra

ser hasta el doble de intensa.

2.2 Ciclo cardiaco

Los fenomenos que se producen desde el comienzo de un latido cardiaco hasta el

comienzo del siguiente se denominan Ciclo Cardaco. Cada ciclo inicia con la generacion

espontanea de un potencial de accion en el nodo SA. Dos periodos son importantes du-

rante el ciclo cardiaco, por un lado el periodo conocido como diastole1durante el cual

el corazon se relaja y dilata para llenarse de sangre, y otro periodo conocido como

sstole2(con dos subfases, la sstole auricular y sstole ventricular), que es el periodo

durante el cual el corazon bombea la sangre a los pulmones (mediante el ventrculo

derecho) y hacia el resto del cuerpo (mediante el ventrculo izquierdo). El musculo

cardiaco, como todos los tejidos susceptibles de excitacion, es refractario ante reestim-

ulacion, es decir, que otro impulso cardiaco normal no puede reexitar una zona recien

excitada del musculo cardiaca por un periodo e tiempo. Dentro del ciclo cardiaco se


7


incluye un periodo refractario tanto para el musculo auricular como para el musculo

ventricular el cual es de mayor duracion. Toda esta actividad del corazon produce una

serie de senales en el corazon susceptibles de ser medidas, y en consecuencia de ser

estudiadas (ver Fig. 2.2a)). Los cambios de presion tanto ventriculares como en las

aurculas, la presion en la arteria aorta, el volumen ventricular como consecuencia del

vaciado y llenado de sangre de los mismos, los cambios de voltaje en las distintas partes

del corazon como consecuencia de la polarizacion (y despolarizacion) de las celulas mus-

culares, las ondas acusticas producto de los movimientos mecanicos intrnsecos de la

actividad cardiaca son ejemplos de senales que se producen de manera simultanea (ver

Fig. 2.2b)).

ECG(mV)

Resp(au)

BP(mmHg)

MSNA(mV)

a) b)

Figure 2.2: Senales cardiacas - a) Esquema de mediciones fisiologicas sobre un cuerpo

humano. b) Graficas de senales simultaneas dependientes entre s en el momento en que

estas se producen. Aqu ABP se refiere a presion sangunea arterial, MSNA acitvidad

nerviosa del musculo simpatico (31).

2.3 El Electrocardiograma

Cuando el impulso cardiaco atraviesa el corazon, la corriente electrica tambien se

propaga desde el corazon hacia los tejidos perifericos, e incluso una pequena parte

tambien se propaga hacia la superficie corporal. En 1901 Willen Einthoven ideo una

modificacion de un galvanometro para registrar en una tira de papel que corre a ve-

locidad constante por medio de un sitema de relojera, las corrientes electricas que se

originan en el corazon. Al registro grafico de las corrientes cardiacas se le denomina

8

2.3 El Electrocardiograma

Electrocardiograma (ECG)1. En otras palabras, el ECG representa las diferencias de po-

tencial electrico que genera el corazon y que son registrados por un electrocardiografo

desde la superficie corporal por medio de unas placas metalicas llamadas electrodos de

registro. Por la definicion intrnseca en el potencial lectrico, la posicion de los electro-

dos determina la magnitud de su medicion, a las distintas posiciones en que se colocan

los electrodos se les denomina derivaciones2, por lo que se pueden obtener distintas

mediciones simultaneas o derivaciones de una misma actividad electrica cardiaca (ver

Fig. 2.3a)).

a) b)

Figure 2.3: Derivaciones y componentes del electrocardiograma. - a) Esquema de

derivaciones tpicas de Einthoven del tio dipolares, VR, VL y VF se refieren a los potenciales

de los hombros derecho, izquierdo y pierna izquierda respectivamente, las distancias I, II

y III sirven para medir las diferencias de potencial o derivaciones correspondientes. b)

Esquema del grupo de ondas que componen un electrocardiograma tpico, donde ademas

se muestra la etapa de duracioin de la sstole ventricular y la correspondiente diastole del

mismo.

Un trazo electrocardiografico esta compuesto por una serie de ondas que se repiten

para cada ciclo cardiaco (ver Fig. 2.3b)). Un electrocardiograma normal esta formado

por las ondas P, Q, R, S, T y U. Un grupo de ondas esta separado de las ondas que

le preceden y le siguen por una lnea horizontal en la que no se reconoce actividad

electrica, esta lnea de referencia se le suele llamar isoelectrica. La onda P (ver Fig.

2.3b)) es creada por los potenciales electricos que se generan cuando se despolarizan

las aurculas antes del comienzo de la contraccion auricular, su duracion no excede los


9


0.10seg (tipicamente en el rango de 0.06 0.08seg) y su voltaje maximo es de 0.25mVy es positiva, por ejemplo en las derivaciones DI y DII (ver Fig. 2.3a)). Las ondas Q, R

y S se forman por los potenciales que se generan cuando se despolarizan los ventrculos

antes de su contraccion en su propagacion a lo largo de la zona ventricular, y en conjunto

se le conoce como complejo QRS (ver Fig. 2.3b)). La duracion normal del complejo

QRS oscila entre 0.06 y 0.10seg con mayor frecuencia alrededor de 0.08seg. La onda T

(ver Fig. 2.3b)) es producida por los potenciales que se generan cuando los ventrculos

se recuperan del estado de despolarizacion. La onda T se presenta positiva, por ejemplo

en las derivaciones DI y DII (ver Fig. 2.3a)), y puede aparecer negativa en la derivacion

DIII entre otras, en corazones normales. El espacio Q-T constituye la sstole electrica

ventricular (ver Fig. 2.3b)). Su medida es funcion de la frecuencia ventricular. La

onda U (ver Fig. 2.3b)) se piensa que puede deberse a la repolarizacion del sistema

Purkinge (32). El punto de mayor voltaje en el ECG coincide con la preparacion hacia

la sstole ventricular, al ser la etapa donde los ventrculos aplican la mayor fuerza para

bombear hacia el cuerpo y pulmones la sangre contenida en sus volumenes (que en ese

momento es maximo) no es de extranarse que se requiera un gran impulso electrico

para ello. Al pico maximo se le llama onda R dentro del llamado complejo QRS, el

monitoreo del tiempo entre ondas R sucesivas se le conoce como Tacograma o Inter-

latido Cardiaco (RR). En epocas ancestrales era comun utilizar el interlatido o ritmo

cardiaco (en el caso del ecocardiograma) como un patron para la medicion de tiempo de

eventos a escala de unos cuantos segundos o incluso minutos, sin embargo, un vistazo a

la grafica de interlatido cardiaco (ver fig. 4.1a)) muestra su alto grado de variabilidad,

incluso en estados de reposo o de sueno profundo de un individuo (33). Esto motiva que

en el presente trabajo se tome como objeto de estudio dicha variabilidad del tacograma,

tomando siempre en cuenta que el ECG y el corazon mismo no solo pueden ser carac-

terizados por una senal en s. Sin embargo, trabajos recientes basados en su estudio

muestran que es posible caracterizar algunos padecimientos cardiacos (18, 34, 35), as

como distinguir entre individuos en diferentes etapas de la vida (16, 17). Por supuesto

existen estudios basados en la medicion simultanea de dos o mas senales con el fin de

interrelacionar sus dinamicas, sin embargo, nos avocaremos solo al estudio del ECG y

en especfico a su subserie llamado tacograma1 .


10

2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco

Lesiones en el sistema rtmico y de conduccion del corazon pueden causar una

alteracion en el ritmo cardiaco o una secuencia anormal de contracciones del musculo

cardiaco, por lo que cualquier alteracion del patron de transmision puede producir po-

tenciales electricos anormales, y en consecuencia, modificar la forma de las ondas en

el ECG. Por esta razon se pueden diagnosticar casi todas las alteraciones graves del

musculo cardiaco analizando los contornos de las diferentes ondas de derivacion del

ECG. Otros tipos de alteraciones de la funcion cardiaca son producidos por un ritmo

cardiaco anormal. Muchos factores pueden hacer que el sistema nervioso simpatico

excite el corazon, estos provocan reflejos simpaticos que aumentan la frecuencia car-

diaca. En el presente trabajo se usa una base de datos de individuos con insuficiencia

cardiaca congestiva (CHF1por sus siglas en ingles). Este padecimiento es una condicion

en la cual el corazon no puede bombear suficiente sangre al resto de los organos del

cuerpo. Las causas de ello son diversas, por mencionar algunas podemos decir que

es debida a un adelgazamiento de las arterias que proveen de sangre al musculo car-

diaco, tambien conocida como enfermedad de la arteria coronaria; otra razon puede ser

ataques cardiacos anteriores o infartos al miocardio con dano en tejido que interfiere

con la funcion de bombeo del musculo cardiaco, etc. Existen otros padecimientos que

alteran el ritmo cardiaco, por ejemplo, la arritmia sinusal es un ritmo irregular que

vara con la respiracion, marcapaso migratorio que provoca una frecuencia por debajo

de 100latidos/min, pero si la frecuencia es mayor entonces se trata de una taquicardia

auricular multifocal; fibrilacion auricular, etc.

2.4 Variabilidad del ritmo cardiaco

Dado que el presente estudio tiene como base la variabilidad del ritmo cardiaco (HRV2)

hay que destacar los principales factores que dan origen a dicha variabilidad. Las celulas

marcapaso del nodo SA se influencian mutuamente lo que genera un ritmo unico pero

necesariamente variable, el cual da origen a una primera forma debil de variabilidad del

ritmo cardiaco. El sistema nervioso autonomo (SNA) es el principal regulador extracar-

diaco. El balance entre la rama simpatica y parasimpatica incrementan la variabilidad

propia del nodo SA. Debido a que el parasimpatico tiene una latencia de respuesta


11


menor que la del simpatico, su influencia es dominante en las modificaciones rapidas

como la inducida por la respiracion. Tambien se ha establecido que la variabilidad

disminuye con la edad. Ademas de los neurotransmisores autonomos mas estudiados,

acetilcolina y noradrenalina, existe otras sustancias involucradas como las purinas y el

oxido ntrico que juegan un papel relevante en la modulacion autonomica. Otras influ-

encias que pueden modificar la funcion del nodo SA son la temperatura que actua en

forma directa sobre las celulas del nodo, factores endocrinos y metabolicos y fenomenos

mecanicos.

La respiracion impone al ritmo cardiaco un ritmo propio. En principio se ha

sostenido que la influencia de la respiracion esta medida por el parasimpatico que se

estimula en la respiracion y se inhibe durante la inspiracion; por ejemplo, la presion

sangunea arterial y venosa central asociada a la repiracion es constantemente per-

turbada como resultado del ciclo respiratorio, lo que da origen a otro punto central

que controla la variabilidad HRV que se refiere al control barometrico de la presion

sangunea, lo que origina un reflejo barometrico (o barorreflejo) para mantener una

respuesta constante de la presion sangunea. Mientras ue una alta variabilidad de la

presion sangunea es consderada como anormal, una alta variabilidad del ritmo cardiaco

se considera como necesaria en individuos sano para proporcionar una respuesta optima

a las constantes perturbaciones del medio. La dinamica involucrada en la HRV que se

ha estado discutiendo en los parrafos anteriores se despliega en una gran variedad de

escalas temporales que pueden ir desde el orden de fracciones de segundo hasta varios

minutos. Se han identificado rangos de frecuencia para HRV asociados a diferentes

orgenes (36). La banda de frecuencia respiratoria es considerada en un rango normal

entre 0.15Hz y 0.4Hz para humanos y puede variar desde menos de 0.15Hz hasta mas

de 1hz o mas para ninos y adultos ejercitandose. Hay una banda de baja frecuencia (en-

tre 0.5Hz y 0.15Hz), incluyendo una componente de 0.1Hz que ha sido sugerida como

una respuesta emergente del sistema simpatico, o incluso tanto del sistema simpatico

como vagal (parasimpatico). Otra banda que se ha identificado se conoce como de

muy baja frecuencia (por debajo de 0.5Hz) puede ser asociada a reflejos del sistema

termo-regulatorio corporal. La rapida reaccion de los sistemas de control mantienen

la homeostasis cardiovascular ante las fluctuaciones del interlatido cardiaco (RR) por

medio de los diferentes sensores de presion y qumicos corporales.

12

3Metodos de analisis

3.1 Elementos estadsticos

El analisis estadstico de procesos es de mucha importancia en diversas areas del

conocimiento, como lo son las ciencias sociales, la ingenieria, las ciancias naturales

e incluso la biomedicina. En muchos trabajos, registros naturales son caracterizados

por sus densidades de distribucion D(i) de sus valores xi. Una amplia variedad de es-

timadores para la HRV han sido empleados, incluyendo medidas convencionales como

la desviacion estandar de registros cardiacos. En el contexto del presente estudio, la

definicion de las excursiones que manejaremos arroja que su valor sea una variable

aleatoria discreta, pues las excursiones cuantifican el numero de latidos en cantidad

finita, en promedio las mayores excursiones rondaran los 80 latidos.

Con el fin de introducir el estudio de la variabilidad HRV1se hara una breve de-

scripcion de los metodos estadsticos de una sola variable aleatoria, puesto que la medida

que caracteriza el HRV es el tiempo entre latidos consecutivos solamente. Es impor-

tante destacar que los metodos estadsticos para extraer informacion de los datos que

son utiles para ayudar a determinar un modelo para la variable aleatoria, se debe tomar

en cuenta la naturaleza de los datos, particularmente en distinguir si el orden de las

observaciones de la variable aleatoria es de importancia para su estudio, o si no lo es.

Estas tecnicas iniciales no toman en cuanta tal informacion.

Para obtener una mejor idea de la distribucion de pesos de la variable, es con-

veniente considerar en hacer una clasificacion de las medidas en grupos. El proposito


13

3. METODOS DE ANALISIS

de clasificar los datos es el de ayudar a la extracion de cieto tipo de informacion util

para la descripcion de la dinamica subyacente. Si los datos provienen de una variable

discreta, usualmente no es necesaria hacer una clasificacion. Si los datos provienen

de una variable continua, la clasificacion puede venir de la mano de la resolucion del

aparato de medicion. En cualquier caso, la experiencia indica que para la mayora de

los datos es desable usar entre 10 y 20 clases. A la hora de considerar la representacion

grafica (histograma), todas las medidas se representan por el punto medio del intervalo

o marca de clase xi, y el numero de medidas del intervalo i-esimo se denota por la

frecuencia fi, donde el numero total de medidas es n. La principal razon para clasificar

los datos y trazar el histograma de frecuencias es determinar la naturaleza de la dis-

tribucion. La naturaleza de un problema estadstico es determinar cuando unas pocas

propiedades aritmeticas simples de la distribucion seran suficientes para describirla sat-

isfactoriamente. Para datos que han sido clasificados, donde xi es la marca de clase del

intervalo de frecuencia fi, se define el momento k-esimo alrededor del origen de una

distribucion emprica de frecuencias como(37):

m

k =1

n

hi=1

xki fi (3.1)

con h el numero de intervalos. En fsica y en calculo es familiar el trabajo con funciones

de momentos si asociamos la masa a fi localizada en la posicion xi, o incluso en el

llamado momento de inercia que esencialmente se asocia a un segundo momento. El

primer momento m

1 es conocido como la media denotada usualmente por x(37):

x =1

n

hi=1

xifi (3.2)

Los metodos estadsticos son comunmente llamados metodos de estudio de varianzas.

Se asume comunmente que la variacion se refiere a variaciones alrededor de la media,

por lo que el k-esimo momento alrededor de la media de la distribucion emprica de

frecuencias esta dado por(37):

mk =1

n

hi=1

(xi x)kfi (3.3)

El segundo momento alrededor de la media m2 puede ser considerado como la medida

de la varianza. Es conveniente tener la medida de la varianza en las mismas unidades

14


que la medida de los datos, as que usualmente se tomam2. Esta cantidad es llamada

desviacion estandar(37):

s =

1n

hi=1

(xi x)2fi (3.4)

La varianza es entonces s2 que en ocasiones es mas conveniente que la desviacion es-

tandar para cuantificar la variacion de los datos alrededor de la media.

Distribuciones que tienen extremos mas extendidos tendran un valor de s relati-

vamente grande debido a desviaciones grandes de xi x a la hora de ser multiplicadascuadraticamente por la frecuencia, debido a que contribuiran de manera mas significa-

tiva a la sumatoria que en el caso de distribuciones mas angostas. Para un conjunto

de datos que han sido obtenidos muestreando un tipo particular de poblacion llamado

distribucion normal, se puede probar que el intevalo (x s, x+ s) usualmente incluyealrededor del 68 por ciento de la muestra y que el intervalo (x 2s, x + 2s) incluiraalrededor del 95 por ciento de las observaciones de una variable cuando n es grande(37).

Aplicaciones de la llamada metodologa de distribuciones referentes a tiempo de

vida, tiempo de sobrevivencia o de falla abarca una amplia gama de investigaciones

que pueden involucrar desde procesos industriales de manufactura, hasta enfermedades

humanas y su tratamiento. Comencemos considerando el caso de una sola variable

continua T . Especficamente, sea T una variable aleatoria no negativa que representa

el tiempo de vida de individuos en alguna poblacion. Todas las funciones estan definidas

sobe el intervalo [0,). Sea f(t) la funcion densidad de probabilidad (PDF) de T ysea la densidad de probabilidad acumulativa (CDF) dada por(38):

F (t) = Pr(T t) = t

0f(x)dx (3.5)

La probabilidad de sobrevivencia de un individuo en el tiempo t esta dada por la funcion

de sobrevivencia(38):

S(t) = Pr(T t) = t

f(x)dx (3.6)

Hay que puntualizar que S(t) es una funcion continua monotonamente decreciente con

S(0) = 1 y S() = limtS(t) = 0. En algunas ocasiones T puede ser tratada como

15


una variable discreta aleatoria. En esos casos la funcion de probabilidad es(38):

f(tj) = Pr(T = tj) j = 1, 2, ... (3.7)

La funcion de sobrevivencia es entonces(38):

S() = Pr(T t) =j:tjt

f(tj). (3.8)

Varios modelos de distribuciones parametricas son usados en el analisis de tiempos

de sobrevivencia y para el modelado de procesos de envejecimiento y de falla. Algunos

tipos de distibuciones ocupan la posicion central debido a que han demostrado ser muy

utiles en una amplia gama de situaciones. Por mencionar, en esta categoria estan las

distribuciones exponencial, Weibull, log-normal, log-logstica y gamma. Se expondra

solamente lo referente a la distribucion exponencial y Weibull.

La funcion densidad de probabilidad (PDF) y la funcion de sobreviencia para una

distribucion exponencial estan dadas por(38):

f(t) = et y S(t) = et (3.9)

con valor de expectacion < t >= 1/. En el caso de una distribucion Weibull y su

funcion de distribucion complementaria o de sobrevivencia, la cual se conoce como

Funcion Exponencial Estirada y esta asociada a fenomenos de relajacion de sistemas

desordenados, se expresan como sigue(38):

f(t) = (t)1e(t)

t > 0 (3.10)

y:

S(t) = e(t)

t > 0 (3.11)

El r-esimo momento E(Xr) de la distribucion es r(1 + r/), donde (38):

(k) =

0

uk1eudu k > 0 (3.12)

es la funcion gamma. La media y la varianza son 1(1+1/) y 2[(1+2/)(1+1/)2]. El valor de expectacion para la sobreviviente dado por < t >= 1/(1/),

con la funcion Gamma.

16


3.1.1 Estadstica de Allan

En la metrologa de tiempo y frecuencia, la serie de tiempo de un oscilador, concreta-

mente de relojes atomicos, es representada tanto por la desviacion de fase x(t) como por

la desviacion de la frecuencia normalizada y(t), siendo la relacion entre ambas variables

estocasticas de la forma (39):

y(t) =dx(t)

dt(3.13)

La desviacion tpica o estandar, , (o la varianza, 2 es la magnitud estadstica

empleada para cuantificar la dispersion de un conjunto de medidas. La varianza clasica

solo se puede calcular a partir de datos estacionarios, es decir, para procesos en los que

la media y la desviacion estandar no cambien con el tiempo. Para datos estacionarios,

la media y la varianza convergen a valores concretos cuando el numero de medidas

aumenta considerablemente, Con datos no estacionarios(como los que se manejan con

osciladores), tenemos una medida que cambia cada vez que se anade una nueva medida

a la serie temporal. La varianza de Allan (AVAR) es usada como un estandar para

definir cuantitativamente la estabilidad de un oscilador; donde estabilidad se refiere a la

habilidad de un estandar de mantener su sincronizacion en frecuencia, o su sintonizacion

en el tiempo (40). La definicion de AVAR esta dada por la expresion (39, 41):

Figure 3.1: Valores de Allan para ruidos conocidos - Grafica representativa para

indicar los valores de la desviacion de Allan (ADEV) de senales con ruidos conocidos.

2y(T ) =1

2(yt+T yt)2, (3.14)

17


donde T es el intervalo de observacion temporal, el operador denota el promediotemporal y la desviacion de frecuencia promedio yt esta definida como:

yt =1

T

t+Tt

y(t) dt =x(t+ T ) x(t)

T. (3.15)

Para tiempo discreto, la varianza AVAR es evaluada con el siguiente estimador

usando datos de desviacion de fase:

2y [k] =1

2k2T 20

1

N 2kN2k1m=0

(x[m+ 2k] 2x[m+ k] + x[m])2 , (3.16)

donde N es el numero total de muestras, T0 es el intervalo temporal de observacion

mnimo, y el entero k = T/T0 representa el intervalo de observacion temporal discreto,

que tpicamente toma los valores de k = 1, 2, . . . , N/3 (donde r es la parte entera der). Mas aun, en terminos de los datos de desviacion de frecuencia normalizada ({y[i]}),el estimador es (41):

2y[k] =1

2(M 2k + 1)M2k+1

j=1

(yk[i+ k] yk[i])2 , (3.17)

donde k = T/T0, M es el numero total de puntos de frecuencia y los valores promedio

de frecuencia estan dados por:

yk[i] 1k

i+k1j=i

y[j]. (3.18)

El origen de la desviacion en frecuencia de los patrones de frecuencia son de tipo

tanto sistematicos como estocasticos. El segundo es frecuentemente bien descrito por

un comportamiento espectral tipo ley de potencias: Sy(f) f; para el cual lavarianza AVAR tiene una propiedad interesante: exhibe un comportamiento tipo ley

de potencias,

2y(T ) T ; (3.19)

donde se aplica la siguiente relacion entre los dos exponentes (41): = 1 para2 2.

18

3.2 Correlaciones

Otra forma de escribir la relacion 3.19 es en terminos de la llamada desviacion de

Allan (ADEV):

y(T ) T /2 T , (3.20)

con 1.5 0.5, donde = 0.5 corresponde a ruido blanco, = 0 a ruido 1/f y = 0.5 a movimiento Browniano (ver Fig. 3.1).

3.2 Correlaciones

En muchos casos la pesistencia o antipersisencia de una serie de tiempo puede ser

cuantificada por medio de la funcion de autocorrelacion lineal:

Cx(s) =1

2x(L s)Lsi=1

(xi x)(xi+s x) (3.21)

con x denota la desviacion estandar, x la media. Se dice que un proceso muestra un

comportamiento con correlaciones de largo alcance cuando la funcion de autocorrelacion

Cx(s) decae como una ley de potencias:

Cx(s) s (3.22)

con el exponente de correlacion (0 < < 1). Existen diversos tipos de correla-

ciones que pueden ser identificadas en una serie de tiempo, correlaciones largas y cortas

caracterizadas por la dependencia entre vecinos en la serie. Tambien se pueden iden-

tificar varios tipos de persistencia en las series, determinadas por seguir una tendencia

ascendente o descendente (persistencia), o de romper la tendencia presente (antiper-

sistencia). Una persistencia fuerte implica memoria en los datos de la serie, la no

persistencia o antipersistencia esta identificada con el llamado ruido blanco. Por otro

lado las afectaciones entre valores de la serie pueden ser de corto o largo alcance entre

vecinos.

El espectro de potencias es el metodo tpico para detectar auto-correlaciones en una

serie de tiempo. Por ejemplo, considerese un proceso estocastico estacionario con una

funcion de auto-correlacion con un comportamiento tipo ley de potencias (eq. 3.22).

La presencia de correlaciones de largo alcance es asociada al hecho de que el tiempo de

correlacion media diverge para una serie de tiempo infinita (Tx =0 Cx(s)ds). Para

19


series de tiempo descorrelacionadas Cx(s) = 0. Segun el teorema de Wiener-Khintchin,

el espectro de potencias es la transformada de Fourier de la funcion de autocorrelacion

C(s) y para el caso descrito en la Eq. 3.21, tenemos la relacion de escalamiento,

S(f) f, (3.23)

donde es llamado el exponente espectral y es asociado al exponente de correlacion

por = 1 . Cuando la potencia espectral es usada para estimar la presencia decorrelaciones en series de tiempo reales no estacionarias, como es el caso para las senales

de interlatido cardaco, esto podra arrojar resultados no confiables.

3.2.1 Efectos de memoria en series temporales

Para eventos organizados temporalmente, que es el caso de una serie de tiempo (o de

la subserie de excursiones derivada de ella, la cual es objeto de estudio del presente

trabajo), el orden de aparicion de los eventos podra revelar informacion acerca de si

la serie presenta o no correlaciones. Como hemos mencionado en parrafos anteriores,

existen metodos que se encargan de evaluar la existencia de correlaciones en una serie

de tiempo y cuantificarla. En trabajos recientes (22) se ha utilizado el calculo de la

probabilidad condicional, es decir, la probabilidad de que una vez que se ha presentado

un evento de cierto tamano 0, este sea seguido de algun otro de tamano definido .

Para eventos sin memoria, la distribucion de eventos P (0) es independiente de la orga-

nizacion temporal de los mismos, de tal suerte que, dado un evento 0, la probabilidad

de que le siga un evento , es decir P ( |0), sera exactamente igual a P () e independi-ente de 0 si la serie no presenta memoria. Para efectos de buscar la dependencia en el

ordenamiento temporal de la serie, es interesante mencionar la relacion del calculo de

la probabilidad condicional con su aproximacion con la frecuencia de eventos cuando

uno observa un gran numero de eventos N(42)pp32-33

P [ |0] =N |0N0

, (3.24)

donde N0 denota el numero de ocurrencias del evento 0 en N ocurrencias del experi-

mento y N |0 denote el numero de ocurrencias del evento 0 en N ocurrencias.

P [ |0] = P [0]P [0]

=N |0/N

N0/N= P [ |0]. (3.25)

20

3.2 Correlaciones

3.2.2 Analisis de fluctuaciones sin tendencias DFA

En decadas anteriores, metodos alternativos han sido propuestos para la evaluacion de

correlaciones en series de tiempo estacionarias y no estacionarias. Uno de estos metodos

el cual es particularmente util para analizar senales con tendencias polinomiales es el

analisis de fluctuaciones sin tendencias(DFA por sus siglas en ingles), metodo que fue

introducido para cuantificar las correlaciones de largo alcance en la secuencia del ADN

(43, 44). El DFA es descrito como sigue: primero, integramos la serie de tiempo

original para obtener, y(k) =k

i=1 [x(i) xave], la serie resultante es dividida en cajasde tamano n. Para cada caja, se ajusta una lnea recta a los puntos, yn(k). Despues, los

puntos de la lnea son restados de la serie integrada, y(k), en cada caja. La fluctuacion

de la raz cuadratica media de la serie integrada y libre de tendencias es calculada por

medio de

F (n) =

1N

Nk=1

[y(k) yn(k)]2, (3.26)

este proceso se hace sobre muchas escalas (tamanos de caja) para obtener un compor-

tamiento tipo ley de potencia de la siguiente forma:

F (n) n, (3.27)

con un exponente, el cual refleja autosimilaridad y propiedades de correlacion de

la senal. Es sabido que = 0.5 corresponde a ruido blanco (senal descorrelacionda),

= 1 significa ruido 1/f y = 1.5 representa un movimiento browniano. La relacion

entre y del analisis espectral es = 2 1(16).

Figure 3.2: Proceso DFA - Ejemplo del metodo del analisis de fluctuaciones sin ten-

dencias DFA, donde se ilustra la division por ventanas y el ajuste en cada una.

21


3.3 Analisis Espectral

Cuando se habla de metodos espectrales es con la intencion de analizar una serie de

datos en su componentes de frecuencia, las cuales pueden ser expresadas en forma de

una funcion de densidad espectral que describe la potencia espectral como una funcion

de la frecuencia. La potencia espectral de una banda de frecuencia dada puede ser

cuantificada por medio de la estimacion del area bajo la curva de la funcion de densidad

espectral en el intervalo de un rango de frecuencia especificado. Akselrod e. al. (45)

intrudujeron el analisis espectral de la variabilidad del ritmo cardiaco como un medio

no invasivo de evaluar el control cardio-vascular del interlatido cardico RR.

Una serie de tiempo puede ser descrita tanto en el dominio del tiempo x(t) como en el de

las frecuencias X(f, T ). Esta amplitud puede calcularse por medio de la transformada

de Fourier aplicada a x(t) en el intervalo 0 < t < T

X(f, T ) =

0

T

x(t)e2piiftdt. (3.28)

La cantidad |X(f, T )|2 es la contribucion a la energa total de x(t) de las componentescon frecuencias entre f y f + df . La densidad de potencia espectral se define como:

S(f) =1

T|X(f, T )|2. (3.29)

Como se ha mencionado, el espectro de Fourier descompone una forma de onda compleja

en sus constituyentes de frecuencia. Procesos altamente regulares son representados por

espectros angostos que contienen uno o algunos pocos picos de frecuencia bien delim-

itados (como es el caso en (45)) con un bagaje relativamente pequeno. En contraste

procesos complejos, que no tienen una frecuencia caracterstica generan un espectro

amplio con componentes de frecuencia continuos (46). La propiedad fractal de la serie

de tiempo se observa como una dependencia tipo ley de potencias entre la densidad de

potencia espectral y la frecuencia de la siguiente forma:

S(f) 1f

, (3.30)

donde es el exponente espectral, que para ruido blanco = 0, en el caso de movimiento

browniano = 2 y para ruido rosa o ruido 1/f , = 1 (ver Fig. 3.3).

22

3.4 Analisis de fractalidad

10-4 10-3 10-2 10-1 100

f10-15

10-12

10-9

10-6

10-3

100

103

S

m=-2

m=-1

m=0

Figure 3.3: Espectro de potencias de ruidos conocidos. - Grafica logartmica de

la potencia espectral vs la frecuencia para ruido blanco (m = 0), ruido correlacionado

(m = 1) y para ruido browniano (m = 2).


3.4.1 Generalidades

Durante las ultimas decadas se han hecho esfuerzos importantes en la investigacion

del caos determinista, y en particular para medir y cuantificar la complejidad de la

dinamica fractal (47). Benoit Mandelbrot (48) introduce el concepto de fractales medi-

ante el estudio de la longitud de la lnea costera de Gran Bretana para diferentes escalas

de medida, y encuentra que hay una dependencia tipo ley de potencias (invariancia de

escala) de la longitud total de la lnea costera con respecto al tamano de la escala de

medida. Generalizando, una distribucion de objetos es fractal si su distribucion de

tamanos satisface una ley de potencias(49). En un modelo ideal, esta propiedad se

mantiene a toda escala. En el mundo real, sin embargo, hay lmites superiores e infe-

riores a los cuales este comportamiento de invariancia de escala es aplicable. Muchas

estructuras no euclidianas en la naturaleza tales como las enramadas de los arboles, las

intrincadas lneas costeras o las cadenas montanosas presentan estructura fractal. Hay

tambien complejas estructuras anatomicas que despliegan geometra tipo fractal, por

ejemplo, la distribucion de venas y arterias del sistema circulatorio, las traqueobran-

quias de los pulmones o el sistema de conduccion de His-Purkinje del corazon, entre

otros(9). Un fractal autosimilar, por ejemplo en dos dimensiones xy, es tal que f(x, y)

23


es estadsticamente similar a f(rx, ry), donde r es el factor de escalamiento:

Ni rDi (3.31)

donde Ni es el numero de objetos, ri la dimension lineal caracterstica y D es la di-

mension fractal(49). Los valores aceptables para D en el caso de fractales en una lnea

0 D 1, fractales en una superficie 0 D 2 y fractales en un volumen 0 D 3.Un metodo para determinar la dimension fractal de la lnea costera por ejemplo, es de-

terminar el numero de cajas requeridas para cubrir un mapa de la costa. Si el numero

de cajas con dimension r1 requeridas para cubrir la lnea costera es N1 y el numero de

cajas de dimension r2 requeridas para cubrir la lnea costera es N2, entonces la lnea

costera es un fractal autosimilar si se satisface:

N1N2

(r1r2)D (3.32)

En el caso de fractales autoafines se debe cumplir que f(x, y) es estadsticamente simi-

lar a f(rx, rHay), donde r es el factor de escala y Ha es el exponente de Hausdorff(49).

Para determinar la dimension de estos fractales autoafines se puede usar tambien un

conteo por cajas. En el caso de los fractales autosimilares las cajas fueron cuadradas,

esta vez se usan cajas rectangulares. Si a orden cero la caja tiene ancho r0 y altura h0

y a orden uno, el ancho es r1 = r0/n y la altura es h1 = h0/n, la dimension fractal es

la misma que el el caso de los fractales autosimilares.

El concepto de fractalidad no solo se aplica a formas geometricas irregulares que

carezcan de alguna escala caracterstica, sino tambien a ciertos procesos complejos que

carecen de alguna escala caracterstica temporal. Procesos fractales generan fluctua-

ciones irregulares a lo largo de multiples escalas temporales. Una apreciacion cualitativa

de la naturaleza autosimilar de un proceso fractal se puede apreciar graficando sus fluc-

tuaciones a diferentes resoluciones temporales. Este tipo de representacion es lo que

conocemos como Serie de Tiempo. Mandelbrot aplica el concepto de autosimilari-

dad estadstica (SSS) a series de tiempo. Se dice que una serie de tiempo es autoafn

si su densidad de potencia espectral tiene una dependencia tipo ley de potencias con

la frecuencia. Ejemplos de series de tiempo autoafines son la temperatura global, el

flujo de agua en un ro, la intensidad del campo magnetico terrestre. Las series de

tiempo fisiologicas, en general, estan acotadas en su intensidad debido al principio de

24


homeostasis, de tal forma que el registro de la temperatura corporal fluctuara en una

banda que no exceda los lmites en los que la vida puede sustentarse. En este sen-

tido, el reescalamiento de una serie de tiempo fisiologica es mas en la direccion de

un reescalamiento tipo autoafn. Un reto importante es como detectar y cuantificar

las propiedades de escalamiento y de correlaciones de las series de tiempo fisiologica,

las cuales son tpicamente no solo irregulares, sino tambien no estacionarias, en ese

sentido una serie de tiempo es estacionaria si su media, desviacion estandar y de mas

momentos superiores, as como las funciones de correlacion son invariantes ante transla-

ciones temporales; senales que no cumplen estas condiciones se dicen no estacionarias.

A continuacion se describiran algunos de los metodos que son usados para tratar de

profundizar en este reto.

3.4.2 Dimension Fractal (metodo de Higuchi)

La dimension fractal de un objeto autosimilar en el plano es definida en terminos de

la distribucion isotropica de sus partes las cuales pueden ser escaladas por un unico

factor de escala. Higuchi(50) propuso un metodo para calcular la dimension fractal de

curvas autosimilares en terminos de la pendiente de una lnea recta que mejor ajuste la

longitud de la curva vs. el intervalo de tiempo en una grafica logartmica. El metodo

consiste en considerar una cantidad finita de datos tomados a intervalos regulares:

v(1), v(2), ..., v(N), (3.33)

para construir una nueva serie vmk definida por:

v(m), v(m + k), v(m + 2k), ..., v[m +N kk

k], (3.34)

con m = 1, 2, 3, ...k, donde [ ] denotan la notacion de Gauss y k,m son los enteros que

indican el tiempo inicial y el intervalo de tiempo , respectivamente. La longitud de la

curva vmk esta definida como:

Lm(k) =1

k[(i=1

Nmk |v(m+ ik) v(m+ (i 1)k)|) N 1

[Nmk ]k], (3.35)

y el termino dado por:N 1[Nmk ]k

, (3.36)

25


representa el factor de normalizacion. Entonces la longitud de la curva para el inter-

valo de tiempo k, esta dada por L(k), el valor promedio sobre k conjuntos Lm(k).Finalmente, si se satisface que:

L(k) kD, (3.37)

entonces la curva es fractal con dimension D. Para el caso de curvas autoafines, la

dimension fractal esta relacionada con el exponente espectral mediante = 5 2D(50). La dimension fractal para el ruido blanco es D = 2.2, el el caso del ruido 1/f

D = 1.9 y para ruido Browniano D = 1.5.

3.4.3 Metodo multifractal

Considerando una serie de tiempo normalizada como una medida unica P (x). Primero

se calcula la curva f() ( el exponente de Holder) cubriendo la medida con cajas de

longitud L y calculando las probabilidades Pi(L) en cada caja. Despues se construye

la familia monoparametrica de medidas normalizadas dada por (51):

i(q, L) =[Pi(L)]

qj [Pj(L)]

q. (3.38)

Finalmente, para cada valor de q se evalua el numerador del lado derecho de la ecuacion:

f(q) = limL0

i i(q, L) ln[i(q, L)]

lnL, (3.39)

(q) = limL0

i i(q, L) ln[Pi(q, L)]

lnL. (3.40)

Estas ecuaciones proveen una relacion entre la dimension de Hausdorff f y . La grafica

de f (la dimension fractal) vs. es el espectro multifractal. El exponente de masa (q)

esta dado en terminos de (q) y de la diemension fractal f((q)) por:

(q) = q(q) f((q)). (3.41)

La curva f() caracteriza la medida y es el equivalente a la secuencia de exponentes de

masa (q). Tambien se puede describir la medida con la dimension fractal generalizada

Dq la cual esta dada por:

Dq =(q)

1 q . (3.42)

26

3.5 Metodo de segmentacion

3.5 Metodo de segmentacion

Partiendo de la idea de que series de tiempo no estacionarias pueden ser vistas como un

conjunto de segmentos estacionarios para ciertos propositos practicos, Bernaola-Galvan

et. al. (6) desarrollaron un algoritmo llamado de Segmentacion para detectar dichos

segmentos. Este metodo aplicado a ciertos casos de interes (por ejemplo interlatido

cardaco, trafico en internet, etc. (52)) revela un decaimiento tipo ley de potencias

para la duracion de los segmentos. Explicaremos brevemente el metodo de segmentacion

propuesto por Bernaola-Galvan et. al. (6) para detectar segmentos estacionarios en

una senal no estacionaria. Se considera un puntero movil para calcular la cantidad:

t =r lSD

, (3.43)

donde r y l son los valores medios al lado derecho e izquierdo del indicador, respec-

tivamente. SD es la varianza acumulada dada por:

SD =

((Nl 1)s2l + (Nr 1)s2r

Nl +Nr 2)1/2(

1

Nl+

1

Nr

)1/2, (3.44)

donde sl y sr son las desviaciones estandar de los dos conjuntos, y Nl y Nr son el

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 104

0

0.5

1Seal RR

No. Latdo

Inte

rval

o RR

1.3522x 104

0

50

100Estadistica de t

No. Latdo

t

Figure 3.4: Procedimiento de segmentacion - Calculo de indicador t para el proced-

imiento de segmentacion aplicado a un individuo sano, donde se muestra un punto maximo

candidato para cortar la serie con un valor de t = 79.8 y una significancia de P (tmax) = 1

numero de puntos en cada conjunto. La cantidad t es usada para separar dos eventos con

una media estadsticamente diferente. Se aplica un nivel de significancia P (tmax) para

cortar la serie en dos segmentos nuevos (tpicamente se fija en P (tmax) = 0.95), siempre

27


y cuando las medias de los dos nuevos segmentos sean significativamente diferentes de

la media del segmento adyacente respectivo (6, 52). P esta dada por:

P (tmax) 1 I[v/(v+tmax2)](v, ), (3.45)

donde = 4.19lnN 11.54 y = 0.40 son obtenidas por simulaciones Monte Carlo, Nes la longitud de la serie de tiempo a ser dividida, v = N 2 y Ix(a, b) es la funcionbeta incompleta. El proceso es aplicado de manera recursiva hasta que el valor de

significancia sea menor que el umbral o que la longitud de un nuevo segmento sea

menor que una longitud mnima considerada 0. Para detalles en la implementacion

del algoritmo ver (52).

28

4Estudio de excursiones de

interlatido cardiaco

El estudio de la senal electrica del corazon, es decir, el estudio del electrocardiograma

ECG es de gran interes en el contexto de la dinamica no lineal, pues resulta ser una senal

altamente no estacionaria. La senal en s consta de distintas regiones que se pueden

identificar de manera generica, e incluso la ausencia o modificacion de alguna seccion

es motivo de diagnostico por algun posible padecimiento cardiaco. Modificaciones en

los patrones del ECG pueden ser estudiados a partir de la observacion parcial de sus

componentes, como es el caso del estudio sobre la senal de interlatido cardiaco. Por

tanto, variaciones que se reporten entre distintos grupos de individuos solo indicaran

alteraciones al tiempo entre los puntos R de un ECG. Un experto en estudio de ECG,

como lo es los dedicados a la cardiologa, no se limitan a buscar alteraciones partic-

ulares de la senal, sino observar en conjunto todas sus caractersticas. Aun mas, la

deteccion de un padecimiento cardiaco requere de elementos adicionales al ECG, como

pueden ser estudios ecocardiograficos, analisis clnicos e incluso historial medico del

paciente. Los grupos de estudio que aqu se trabajan han sido diagnosticados tomando

en cuenta todo este espectro de pruebas, de tal suerte que la busqueda de diferencias en

sus caractersticas estadsticas es con el conocimiento de causa de que tipo de individuo

se trata y es con humildad que abordamos el presente estudio.

Analizamos la series de tiempo de interlatido cardiaco para dos grupos de indi-

viduos: 16 individuos sanos y 11 pacientes con insuficiencia cardiaca congestiva CHF

29

4. ESTUDIO DE EXCURSIONES DE INTERLATIDO CARDIACO

(53)[datos obtenidos de www.physionet.org]. Consideramos la secuencia de interva-

los RR con aproximadamente 3 103 latidos correspondientes a alrededor de 6 horasdiurnas de registro de ECG.

4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1)

Primero, aplicamos el algoritmo de segmentacion a la serie de interlatido cardiaco para

detectar segmentos estacionarios. La Fig. 4.1a muestra una representacion del pro-

cedimiento de segmentacion a los datos para un individuo sano. En nuestro estudio

usamos 0 = 50 como la mnima longitud de segmentacion.

0 5000 10000 15000

0.6

0.9

1.2

7000 8000 9000 10000-0.2

0

0.2

Inter

valo

RR

7470 7480 7490 7500 7510 7520

No. Latido

1 2 3 4 5 6 7

a)

b)

c)+

Figure 4.1: Conjunto RR para ilustrar la construccion de las excursiones. -

Caso representativo del procedimiento de segmentacion para (a) una senal no estacionaria

de un individua sano. (b) Como en (a) pero con una magnificacion del intervalo (a). (c)

Magnificacion de (b) para ilustrar la identificacion de las excursiones.

La idea de aplicar un procedimiento de segmentacion a la serie de interlatido cal-

diaco viene del hecho de que suponemos que parte de la variabilidad de la senal es

debida a factores internos como el control nervioso y externos como los ambientales,

es decir, que el individuo presenta diferentes actividades durante el da que le deman-

dan distintas respuestas cardiacas, las cuales se mantienen durante cierto intervalo de

tiempo mientras dichas actividades o su influencia se encuentren presentes.

30

4.1 Estadstica de la distribucion de los segmentos(1)

Existen estudios que encuentran no estacionaridad de un registro cadaco tanto en

condiciones de envejecimiento como enfermedad (9, 14, 15, 16, 17, 18). Sin embargo,

con la segmentacion es posible hacernos la pregunta de si mas alla de la variabilidad

evidente en las senales, existe otros comportamientos mas sutiles que se vean apan-

tallados y que puedan ser develados cuando se observen localmente las fluctuaciones de

una senal; es debido a ello que cobra sentido el presente estudio. Trabajos anteriores

reportan que individuos sanos presentan una mayor complejidad en las secuencias de

interlatido cardiaco con respecto a individuos con insuficiencia cardiaca (17, 18). Se

esperara que la distribucion de los segmentos mostrara alguna caracterstica que separe

a ambos grupos bajo la suposicion que hemos mencionado de que atribuimos parte de

la variabilidad a la presencia de segmentos estacionarios en la serie.

102 103

Longitud del segmento

10-3

10-2

10-1

100

Dis

t. Ac

umul

ativ

a

CHFSanos

2.1

Figure 4.2: Distribucion de los segmentos RR. - Distribucion acumulativa de los

segmentos obtenida mediante el metodo de segmentacion. En esta caso se considera una

longitud mnima de segmento de l0 = 50 y un nivel de significancia de P = 95%.

Una vez que se realiza la segmentacion a los grupos de individuos se encuentra que

la distribucion de los segmentos estacionarios presenta un comportamiento tipo ley de

potencias en concordancia con lo reportado por Bernaola-Galvan et. al.(6). En este

caso se halla que el exponente de escalamiento, el cual caracteriza la distribucion, es

tambien el mismo para individuos sanos que para pacientes con insuficiencia cardiaca.

G() (4.1)

31


con la longitud de los segmentos y 2.1 para ambos grupos de individuos como semenciono. Estos hallazgos indican que esta estructura invariante de escala no es una

simple consecuencia de correlaciones de largo alcance (6) mostradas por el sistema y

que la no estacionaridad es una propiedad intrnseca relacionada con el control neu-

roautonomo y con perturbaciones externas que va mas alla de la condicion del individuo

y tal pareciera que no se degrada ante tal padecimiento. Estamos entendiendo por ello

que tanto los individuos sanos como los pacientes CHF son capaces de modificar su

respuesta cardiaca, segun se lo demande el medio, de la misma forma, y que ademas

no existe una escala caracterstica para la duracion de estos segmentos, lo que conlleva

a una mayor adaptabilidad del individuo a las condiciones que se le demanden en de-

terminadas condiciones de actividad.

Desde un punto de vista fisiologico, la presencia de segmentos estacionarios locales

puede ser entendida como una capacidad del sistema de preservar aproximadamente

una respuesta constante, pero por un periodo de tiempo limitado. Tambien se argu-

menta que, de acuerdo con el principio de homeostasis, los sistemas biologicos tienden a

mantener una respuesta constante pese a perturbaciones continuas (54). Ciertamente,

fluctuaciones o variaciones alrededor de cierto valor es una caracterstica comun de al-

gunas senales fisiologicas, en concordancia con el mencionado principio de homeostasis.

4.2 Estadstica y Correlacion de las Excursiones(1, 3, 5)

4.2.1 Excursiones

Una vez identificados los segmentos estacionarios en la serie, procedemos a fijarnos en

propiedades de las fluctuaciones alrededor de la media local en cada segmento a lo largo

de toda la serie. De alguna forma se esta pensando en eliminar la tendencia estacional

de cada segmento para analizar en conjunto todas las fluctuaciones de la serie una vez

que se han identificado las grandes fluctuaciones que representa los segmentos. Para

ello calculamos el tamano de las excursiones para cada segmento estacionario con re-

specto de la media local. De manera mas especfica, dada la media local para algun

segmento x identificamos una excursion con tamano si para cada punto del interlatido

se cumple que xj > x y xj+ > x mientras xi > x para todos los valores de i en el

intervalo j < i < j + , o si xj < x y xj+ < x mientras xi < x para todos los valores

32


de i en el intervalo j < i < j + (ver Fig. 4.1c).

La construccion de la secuencia de excursiones a lo largo de la serie de tiempo

completa se garantiza a partir de la aplicacion de la prueba de Kolmorov-Smirnov para

asegurar que cada segmento presenta la misma distribucion de excursiones que sus

vecinos (ver apendice).

4.2.2 Distribucion de excursiones locales

Ahora consideremos la distribucion acumulativa de la secuencia de excursiones de to-

dos los segmentos G(). Por la manera en que se identifican las excursiones a lo largo

de la serie, lo cual es descrito en la seccion anterior (ver 4.1c), es posible distinguir

entre excursiones por arriba y por abajo de la media local, mas adelante estudiaremos

las posibles diferencias entre el comportamiento de ambos tipos de excusiones, por lo

pronto, trataremos a las excusiones como absolutas.

En las graficas 4.3a y 4.3d se muestran las distribuciones acumulativas de las ex-

cursiones para individuos sanos y pacientes CHF, respectivamente. Como se puede

observar, aunque existe un comportamiento funcional similar entre los individuos de

cada grupo, tambien se aprecia que hay una separacion entre las graficas individuales,

siendo mas marcado en el caso de los pacientes CHF. Esto puede ser entendido desde

el punto de vista de que cada individuo, pese a tener una condicion especfica, pre-

senta una dinamica individual, por lo que para poder hacer una comparacion entre

individuos del mismo grupo proponemos normalizar el tamano de las excursiones por

la desviacion estandar de la secuencia de cada individuo respectivamente. Las graficas

ya normalizadas para individuos sanos y para pacientes CHF se muestran en las figuras

4.3b y 4.3e, respectivamente. Observamos como de manera clara las curvas individ-

uales colapsan aproximadamente a una sola curva, sugiriendo que en cada grupo de

individuos existe una forma funcional comun. Una observacion mas detallada de estas

distribuciones indica que son consistentes con una funcion exponencial estirada dada

por:

G() eab , (4.2)

33


donde a y b son constantes. Especficamente, para el caso de individuos sanos

en condiciones de da encontramos que los parametros que representan al grupo son

a = 1.09 0.15 (valor medio SD) y b = 0.91 0.11. Para el caso de pacientesCHF los parametros del grupo vienen dados por a = 1.30 0.24 con b = 0.77 0.13.En condiciones de noche los individuos sanos tienen los parametros a = 1.41 0.19 yb = 0.71 0.11. Para el caso de pacientes CHF los parametros del grupo vienen dadospor a = 1.44 0.44 con b = 0.74 0.19.

100 101

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Dist

ribuc

in

Acu

mul

ativ

a

10-1 100 101

/

Sanos

0 3 6 9 12/

100 101

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Dist

ribuc

in

Acu

mul

ativ

a

10-1 100 101

/

CHF

0 3 6 9 12/

a)

mezclados

mezclados

b) c)

d) e) f)

Figure 4.3: Conjunto de las distribucion de excursiones. - Distribuciones acu-

mulativas de excursiones para 16 individuos sanos y 11 pacientes CHF. (a) y (d) grafica

log-log para la distribucion de excursiones. (b) y (e) grafica log-log para la distribucion

de excursiones normalizadas. (c) y (f) grafica log-lineal para la distribucion de excursiones

normalizadas. Tambien mostramos los casos de los datos mezclados, esto es, para cada

segmento mezclamos los puntos de interlatidos y entonces la distribucion de excursiones

es construida juntando los datos de todos los segmentos. Por claridad, la distribucion fue

escalada por un factor de 1/10.

Para mostrar que la distribucion de excursiones difiere de una distribucion ex-

ponencial o descorrelacionada (ver apendice B), hacemos una mezcla aleatoria de la

34


10-1 100 101

/

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Dis

t. Ac

umul

ativ

a

DIANOCHE

Sanos

100 101

/

DIANOCHE

CHF

a) b)

Datos mezclados Datos mezclados

Figure 4.4: Distribuciones representativas de excursiones da-noche. - Dis-

tribucion acumulativa representativa para periodos de vigilia y sueno de (a) un individuo

sano y (b) unpaciente CHF. Tambien se muestra el caso de los datos mezclados, es decir,

para cada segmento se mezclan los puntos de interlatido, y entonces se construye la dis-

tribucion de excursiones mediante unificar los datos de todos los segmentos. Para mayor

claridad, las distribuciones se escalaron por un factor de 1/10.

secuencia de interlatidos, lo que modificara el tamano de las excursiones, se espera en-

tonces que arroje una distribucion diferente de la secuencia de los datos originales. Las

figuras 4.3c y 4.3f muestran la grafica log-lineal de los datos en de las figs. 4.3b y 4.3e

y la distribucion de los datos mezclados. Como podemos ver, los datos originales lucen

diferentes respecto de los datos mezclados, lo cual es consistente con una distribucion

exponencial revelando el proceso aleatorio con el cual se creo. Mas aun, calculamos la

escala caracterstica asociada a la distribucion exponencial estirada dada por el valor

de expectacion dado por < >= a1/b(1/b). Para individuos sanos de da tenemos

= 0.95 0.11, mientra que para CHF = 0.84 0.12, lo que indica un rapidodecaimiento en condiciones CHF. En condiciones de noche los individuos sanos tienen

= 0.77 0.10, mientra que para CHF = 0.78 0.24. Es importante notar quela escala caracterstica de individuos sanos en periodo de sueno es comparable con el

de pacientes CHF para condiciones de da, sugiriendo que la dinamica sana en mnima

actividad (sueno) es similar a la dinamica de pacientes CHF (54). Estos resultados se

resumen en la Fig. 4.5, donde el promedio de las constantes de tiempo de periodos de

vigilia para sanos es diferente del valor medio del grupo CHF y pequenas diferencias

son observadas entre grupos en fases de sueno. Las diferencias entre periodos de sueno

35


y vigilia son mas significativas en el grupo sano comparadas con los pacientes CHF.

Tambien resaltamos que las fases de vigilia presentan una escala caracterstica mayos

que fases de sueno, confirmando que durante la actividad diurna las excursiones tienden

a ser mayores. Estos resultados en general concuerdan con estudios previos en los cuales

se reporte un comportamiento anticorrelacionado de cantidades tipo excursiones(54).

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 (DIA)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

(NOC

HE)

SanosCHF

Figure 4.5: Tiempos caractersticos da-noche. - Tiempos caractersticos promedio

de vigilia vs. sueno para individuos sanos y pacientes CHF.

4.2.3 Procedimientos de alteracion de las excursiones

Para evaluar la exactitud de nuestros hallazgos descritos anteriormente, consideremos

dos procedimientos que afectan la distribucion:

(i) el cambio del nivel de la media local para definir una excursion y

(ii) un procedimiento de alizamiento para remover pequenas fluctuaciones.

(i) En lo que se refiere al primer punto, probamos el efecto que tiene el valor

de la media local sobre los parametros de la distribucion. Para ello, repetimos los

calculos considerando excursiones respecto a una media desplazada q, con ladesviacion estandar y q = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5. En la Fig. 4.6 se presentanlos resultados de a y b para diferentes valores de q. Para ambos grupos observamos

que a se incrementa y b decrece conforme la media local es desplazada hacia arriba o

hacia abajo, indicando un pequeno decaimiento en la distribucion, esto es, excursiones

largas son mas probables de aparecer. Resulta interesante que para individuos sanos b

36


alcanza su maximo valor mientras que a es mnimo en el valor de media local 0.1,revelandose un comportamiento asimetrico (Fig. 4.6). Este comportamiento asimetrico

revela que la dinamica de las excursiones es diferente hacia arriba que hacia abajo de la

media loca

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