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LABORATOIRE D'ELECTROTECHNIQUE DE GRENOBLE
THESE
Pour obtenir le grade de
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DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
Spcialit: Gnie Electrique
Prsente et soutenue publiquement
par
Thierry CHEVALIER
Le 20 dcembre 1999
Modlisation et mesure des pertes fer dans les machines lectriques,
Prsident : Examinateurs:
application la machine asynchrone
Directeur de Thse:
Bruno CORNUT et Afet LEBOUC
JURY
Monsieur Jean-Pierre CHABRERIE Madame Afef LEBOUC Messieurs Bruno CORNUT
Jean-Pierre DUCREUX Jean-Marie KAUFFMANN Philippe MAN FE Colin TINDALL
rapporteur
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INSTITUT NATIONAL POL YTECHNIQUE DE GRENOBLE
LABORATOIRE D'ELECTROTECHNIQUE DE GRENOBLE
THESE
Pour obtenir le grade de
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DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
Spcialit: Gnie Electrique
Prsente et soutenue publiquement
par
Thierry CHEVALIER
Le 20 dcembre 1999
Modlisation et mesure des pertes fer dans les machines lectriques,
Prsident: Examinateurs:
application la machine asynchrone
Directeur de Thse:
Bruno CORNUT et Afef LEBOUC
JURY
Monsieur Jean-Pierre CHABRERIE Madame Afef LEBOUC Messieurs Bruno CORNUT
Jean-Pierre DUCREUX Jean-Marie KAUFFMANN Philippe MANFE Colin TINDALL
rapporteur
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Remerciements
Les personnes avec qui j'ai travaill pendant ma thse savent bien, je l'espre, quelle est ma gratitude envers elles. Mais puisqu'il faut des noms en voici! Sans oublier tous ceux et celles qui ont
su enrichir ces annes passes au Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble.
Je tiens tout d'abord remercier les membres du jury pour l'intrt qu'ils ont port ce travail. Je remercie Jean-Pierre CHABRERIE qui m'a fait l'honneur de prsider ce jury et de rapporter sur ce travail. Je remercie Jean-Marie KAUFFMANN pour avoir accept d'tre rapporteur. Je remercie
galement Jean-Pierre DUCREUX et Colin TINDALL pour leur participation constructive.
Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance Messieurs Franois PELTIER, Jacques SAINT-
MICHEL et Philippe MANFE pour la confiance qu'ils m'ont accorde en me permettant de raliser
cette thse, ainsi que pour avoir suivi ce travail et fourni les moyens qui ont permis de le mener
bien.
A prsent, je tiens remercier l'quipe "Matriaux magntiques pour le gnie lectrique" du Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble et en particulier Jean-Paul YONNET pour m'avoir permis
de m'exprimer au sein de cette quipe. Je remercie aussi Christian CHILLET pour m'avoir initi la
recherche lors de mon DEA et sans qui cette thse n'aurait pas eu lieu.
Je profite de l'occasion pour exprimer tout le plaisir que j'ai eu travailler avec Bruno CORNUT. Il a contribu pour une part importante aux diffrents choix scientifiques (les bons j'espre) qu'il a fallu faire durant ces travaux. Je tiens lui dire combien j'ai apprci sa critique toujours constructive qui m'a incontestablement apport un soutien scientifique incomparable. Je le remercie aussi pour avoir toujours rpondu prsent mes nombreuses sollicitations lors de la rdaction de ce rapport.
Pour remercier Afef LEBOUC, je ne sais vraiment pas par o commencer. Tout d'abord, je voudrais la remercier pour sa trs grande disponibilit. Quelle que soit le jour, l'heure, la minute laquelle j'allais la solliciter et quelle que soit la charge de travail qu'elle avait, elle n'hsitait pas m'accorder sans compter de son temps. Et cela a vraiment, pour un thsard en droute dans le doute,
une valeur inestimable. Je veux lui dire merci aussi pour toutes nos longues et frquentes discussions
scientifiques et les heures passes devant le banc d'instrumentation du cadre d'Epstein faire la chasse
aux parasites et autres calamits des chanes de mesure. Enfin, je voudrais la remercier pour ses lectures toujours trs attentives de tout ce que j'ai pu crire au cours de cette thse et en particulier de ce mmoire.
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Je tiens remercier Jean-Pierre ROGNON, directeur du laboratoire, et Grard MEUNIER,
directeur adjoint, grce qui le LEG vit et qui permet ainsi des jeunes chercheurs d'effectuer des travaux de thse dans un environnement multidisciplinaire trs riche et stimulant. Je remercie aussi
Grard pour son soutien scientifique lorsque je me suis attaqu FLUX3D. Je profite de l'occasion pour remercier Vincent LECONTE et Emmanuel VINOT qui m'ont, de nombreuses reprises,
galement guid dans le labyrinthe de FLUX3D.
Je remercie l'ensemble des ingnieurs et techniciens qui ont toujours assur un service de qualit tant au niveau des rsultats que des dlais. Un grand merci Claude BRUN, Daniel OGIER,
Jacques DAVOINE, Eric GENTIL, Daniel TOMASIK, Bruno MALLET, Marie-Thrse
LOUBINOUX, Florence FRANCOIS et tous les autres.
Je remercie galement toutes les personnes avec lesquelles j'ai eu de nombreuses discussions animes, scientifiques ou pas, sources d'mulation indispensables, mon avis, la curiosit et
l'imagination ncessaire tout chercheur. Parmi toutes ces personnes, je remercie en particulier Eric ATIENZA pour son sens critique aiguis et sa capacit se laisser convaincre, Bertrand RAISON
pour sa rhtorique lgendaire et aussi Jean-Michel GUICHON, Maxime BESACIER, Jean-Christophe
CREBIER, Emmanuel VINOT, etc.
Finalement, je tiens remercier ma femme Christine qui m'a incit faire cette thse et m'a toujours soutenu au cours de ces trois annes de recherche.
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Table des matires 5
INTRODUCTION ................................................................................................................................. 7
CHAPITRE 1 ANALYSE GNRALE ET HYPOTHSES ......................................................... 11
1.1 DFINITION DU CADRE DE L'TUDE .............................. ...... ... ....................... .... ....................... 12 1.1.1 Le domaine de la conversion lectromcanique ........................................................... ,. 13
1.1.2 L'objectif restreint et son critre ..................................................................................... 14 1.2 RSULTATS DES TUDES EXISTANTES ..................................................................................... 14
1.2.1 Diffrentes solutions ............................................. ....... .................................................... 14 1.2.2 Description rapide de la mthode propose par C. Cester ............................................. 15
1.2.3 Rsultats sur les machines 4 kW et 5.5 kW ...................................................................... 16
1.3 ANALYSE GNRALE ET HYPOTHSES DE DPART ............... .. .... ............................................. 17 1.3.1 Hypothses fortes - Simplification du systme ................................................................ 18 1.3.2 Liste des phnomnes irrversibles prendre en compte ................................. .............. 18
1.3.3 Hypothses lors des tudes prcdentes ........................................... ............................... 21
1.4 REMARQUES SUR LES MTHODES D'ANALYSE EMPLOYES ET LE CHOIX D'EXPOS ................ 21
CHAPITRE 2 MODLISATION DES MATRIAUX MAGNTIQUES .................................... 23
2.1 CLASSEMENT DES LOIS DE COMPORTEMENT ........................................................................... 25
2.1.1 Loi linaire ...................................................................................................................... 25
2.1.2 Loi non linaire ... ........ .. .............................. .......................... .. .......... .............................. 25
2.1.3 Lois hystrtiques ............................................................................................................ 27
2.2 MODLISATION DU COMPORTEMENT HYSTRTIQUE DYNAMIQUE D'uNE TLE .................... 29 2.2.1 Sparation des contributions statiques et dynamiques ........ .. .................................. ........ 35
2.3 CHOIX D'uNE LOI DE COMPORTEMENT ............................. ... .................................................... 37
2.3.1 Modle analytique simple de la contribution statique Hstat(B) ...................................... 37 2.3.2 Modle analytique de la contribution dynamique Hdyn(B,dB/dt) ................................... 42 2.3.3 Modle complet ............................................... ................................................................. 45
2.4 LES PERFORMANCES DU MODLE ............................................................................................ 45 2.4.1 Modification de l'instrumentation ................................................................................... 46 2.4.2 Les peiformances en terme de modle ... .. ................... : ........ ...................... ..................... 46 2.4.3 Mthode de calcul des pertes .......................................................................................... 49
2.4.4 Comparaison des pertes .................................................................................................. 51
2.5 CONCLUSION ........................................................................................................................... 52
CHAPITRE 3 SIMULATION DES STRUCTURES LECTROMAGNTIQUES .................... 54
3.1 RSOLUTION DES QUATIONS DE MAXWELL EN 2D ........... ...... .... .... ...................................... 55 3.2 LE CALCUL DES PERTES DANS UNE STRUCTURE COMPLEXE ............................ ... .................... 58
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Table des matires 6
3.3 ApPLICATION LA MACHINE ASYNCHRONE 5.5 KW ...... .. ........ ... ..... .. ... ................................. 60 3.4 SYNTHSE DES RSULTATS .. ................................................................................................... 63 3.5 INFLUENCE DE LA QUALIT DE LA DISCRTISATION SPATIALE ET TEMPORELLE ..................... 64
3.5.1 La qualit du maillage ..... ...... ........ ........... ....................... ......... .... ....... ..... ......... .. ............ 64
3.5.2 La discrtisation temporelle ......... .. ........ ... .. .. .. ....... ... .... ... ... .. .............. ... .... .. .... ... ...... ... ... 66
3.6 VALIDIT DE L'APPROXIMATION DES GRANDEURS ...... ......... . .. . .. ..... ... ............ . ...... . .... ............. 68
3.6.1 Influence de la largeur ........ ......... ................... .. ....... ....................................................... 68 3.6.2 Sensibilit l'approximation de lafonction B(R) .......... .. ............. .......... .. .. ... .. ...... .. ....... 78 3.6.3 Dfinition des conditions aux limites .................................... .... .............. ..... ................... 81 3.6.4 Qualit de l'approximation locale de l'induction ........... .... .... ... .. ............ ..... .... .. ....... ... ... 81
3.7 CONCLUSION .. .. .............. ..... .. . .. ........ ..... . .. .... . ... ... ............. .. .... ................... .. .. .......................... 84
CHAPITRE 4 IDENTIFICATION DES SOURCES DE PERTES SUPPLMENTAIRES.~ ...... 85 4 .1 EVALUATION DES PERTES JOULES DANS LES BOBINES STATOR ............................ ............. .. .. . 87
4.2 EVALUATION DES PERTES JOULES DANS LE CIRCUIT MAGNTIQUE STATOR .. ........... .. ............ 88 4 .3 Ev ALUATION DES PERTES JOULES DANS LA CARCASSE ALUMINIUM ................ ................ ...... 88
4.4 EVALUATION DES PERTES JOULES AU ROTOR - CAGE CONDUCTRICE ............... ...................... 89
4.5 INFLUENCE DES COURTS-CIRCUITS ENTRE TLES ROTOR .... ....... .. ......................................... . . 92
4.5.1 Les mesures de rsistivit d'un paquet de tles rotor ................ ................... .............. ..... 92
4.5.2 Cas des courts-circuits rpartis .......... ............ .. .......... .... ........ ... ........... .. .... ... ... ..... ..... ..... 94
4.5:3 Cas des courts-circuits localiss .... .......... : .. ...... ..... .. ......... ................. ................... .. ........ 94
4.6 INFLUENCE DES NON SYMTRIES DE LA MACHINE - EXCENTRICIT ET ANISOTROPIE ..... ....... 97 4.6.1 Le calcul numrique partir du rseau de rluctance .... ...... .. ........................................ 98
4.6.2 Le calcul numrique partir des lments finis .................................................. .......... 102 4.7 ANALYSE SIMULTANE DE TOUS LES PHNOMNES SIGNIFICATIFS (HORS ANISOTROPIE) ... 115 4.8 CONCLUSION ...... ...... ...... ... .. . .. .. .. .... . ....... . ......... .. . ....... . .. .. .. .. ... ... . .... ... . .. .. ... .. ... ...... ................. 117
CONCLUSION .................................................................................................................................. 118
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................ 122
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Introduction 8
L'tude que nous allons prsenter, est le fruit d'une collaboration entre le fabriquant de
systmes d'entranement Leroy-Somer et le Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble. La socit
Leroy-Somer fabrique des moteurs lectriques, des lectroniques de pilotage, des rducteurs et des
alternateurs. La division moteur lectrique, implique dans cette collaboration, commercialise toute
une gamme de machines lectriques allant de 0.06 900 kW. Afin d'anticiper les besoins du march,
Leroy-Somer a mis en place, depuis dj longtemps, une importante activit de recherche et dveloppement dont les axes principaux sont les suivants:
Connaissance approfondie des diffrents phnomnes physiques et cration des lois
correspondantes
Etude du comportement des machines en utilisant des logiciels de calcul et de
simulation
Evaluation des caractristiques des matriaux employs
Conception optimale des divers composants des systmes d'entranement
Et enfin, test de nouveaux systmes d'entranement
Le thme dans lequel nous nous insrons, est celui de l'tude du comportement des machines en
utilisant des logiciels de calcul et de simulation. Dans notre cas, il s'agit en particulier de rpondre
un important besoin du fabriquant pour le dveloppement de nouveaux produits, besoin rsum par
l'objectif suivant: "Soit une machine lectrique quelconque. On souhaite, ds la phase conception, tre capable
de calculer son rendement. "
La notion de phase de conception voque ici est bien entendu propre la culture d'entreprise
de Leroy-Somer. Aussi, pour exprimer le travail d'un point de vue explicite, nous pouvons traduire cet
objectif de la faon suivante: "Soit une machine lectrique quelconque. A partir de la connaissance de son dossier de
plans ainsi que de l'alimentation qui lui est impose, on souhaite dterminer, par le calcul, le
rendement de cette machine. "
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Introduction
Ce qui, en guise de rsum, peut se traduire par le croquis suivant:
Pertes fer: 298W
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L'objectif prsent clairement dfini, nous pouvons dcrire les grandes tapes qui ont rythm cette tude ainsi que la faon dont elles seront exposes.
L'ensemble des machines lectriques voqu prcdemment contient une trs grande diversit
de systmes. Il peut s'agir la fois de machines de faible puissance ou de turbo - alternateurs, la fois
de machines courant continu, asynchrone, rluctance, ou autre. Mme si le principe fondamental
qui rgit leur comportement reste toujours le mme, chaque sous-catgorie possde ses spcificits qu'il faut pouvoir prendre en compte. Qui plus est, dans une seule et mme sous-catgorie, les phnomnes physiques mis en jeu sont nombreux et parfois de nature trs diffrentes. Cela peut aller de l'estimation des frottements mcaniques secs ou visqueux, l'valuation de l'chauffement du
cuivre en fonction du temps, en passant par la convection de l'air humide en coulement non laminaire
sur une surface rugosit variable, ou encore bien d'autres choses . La premire tape de notre tude
consiste donc dfinir avec prcision le domaine sur lequel nous allons commencer travailler, et
poser ainsi un certain nombre d'hypothses qui permettront d'entamer une tude de taille raisonnable.
Les hypothses formules seront de deux types. Elles concernent d'une part la restriction du domaine
d'tude une catgorie de machine et d'autre part la slection des phnomnes physiques qui
contribuent, notre avis, de manire suffisante caractriser le comportement du systme. Tout ceci
constitue le premier chapitre. Il faudra videmment par la suite procder l'extension l'ensemble des
machines lectriques et il pourra tre ncessaire le cas chant de remettre en cause l'une ou l'autre
des hypothses.
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Introduction 10
Les diffrents phnomnes physiques slectionns prcdemment sont alors classs en deux
grandes catgories. Une premire catgorie lie aux phnomnes propres au caractre dissipatif des
matriaux magntiques (l'hystrsis) et une seconde comprenant tous ceux qui existeraient mme en absence d'hystrsis dans les matriaux magntiques. Nous avons choisi pour la suite d'exposer
sparment les deux sries de rsultats. Ainsi, les chapitres 2 et 3 traitent des aspects lis aux
matriaux magntiques et le chapitre 4 de tous les autres points.
Le chapitre 2 est ddi l'analyse des matriaux magntiques d'une manire gnrale, pris hors
du systme. Il s'agit d'analyser et d'essayer de comprendre le comportement intrinsque de ces
matriaux. La diversit des matriaux magntiques est importante, le cadre de notre tude se limite
aux aciers magntiques usuellement utiliss dans les machines lectriques: Fe et alliages FeSi. Cela
n'exclut pas qu'une partie des rsultats soit valable pour une catgorie plus large de matriaux
magntiques, mais aucun domaine de validit ne sera dfini ici pour d'autres matriaux. Le rsultat du
chapitre 2 doit tre l'tablissement d'un (ou plusieurs) modle permettant de reprsenter de manire fiable, par rapport nos hypothses, le comportement de ces matriaux magntiques.
Le chapitre 3 a pour but de prendre en compte les modles de comportement dfinis au
chapitre 2 dans des outils plus complets permettant de simuler des structures magntiques complexes
reprsentes en deux dimensions . Ces outils doivent permettre de donner une estimation de l'nergie
dissipe dans le systme par les matriaux magntiques. Une premire comparaison avec la mesure
peut alors tre mene.
Le chapitre 4 s'intresse aux phnomnes non lis directement aux matriaux magntiques, il
peut s'agir par exemple de l'aspect conducteur de la carcasse entourant la machine. De nombreuses
voies sont ici investigues, remettant en cause si ncessaire des hypothses faites au chapitre 1.
Enfin nous conclurons par une synthse avec diffrentes machines et voquerons des
ventuelles voies de recherche pour encore amliorer la mthode.
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Chapitre 1 Analyse gnrale et hypothses
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Analyse gnrale et hypothses 12
Le systme auquel nous nous intressons est un convertisseur lectromcanique. La loi qu'il
s'agit de dterminer pour caractriser ce systme est la loi de comportement du transfert de puissance
de l'lectrique vers la mcanique. Cette loi est spcifique pour chaque convertisseur et dpendante des
conditions d'excitation lectrique et mcanique qui lui sont imposes. Notre objectif est d'tre capables de dterminer de faon systmatique, partir de la connaissance des plans du convertisseur
et des excitations imposes, le comportement du convertisseur. Autrement dit, il s'agit de crer un
outil qui pour chaque dossier de convertisseur et pour chaque condition d'excitation, puisse fournir la
valeur du transfert de puissance pour le convertisseur concern. De ce point de vue, les entres de
notre outil sont de deux types, d'une part la connaissance des plans du convertisseur et d'autre part les
caractristiques de la source d'alimentation lectrique et de la charge mcanique. Les sorties de notre
outil sont deux puissances, d'une part la puissance absorbe la source lectrique et d'autre part la
puissance fournie la charge mcanique. Dans toute cette tude on prend le parti que la puissance
transite de l'lectrique vers la mcanique, cela facilite la comprhension des phnomnes lorsqu'on
manipule des puissances positives mais ne limite en rien la caractrisation du systme qui accepte des
puissances ngatives et donc un transit de puissance de la mcanique vers l'lectrique.
Le cadre d'tude ainsi dfini reste trs large et la diversit des diffrentes entres susceptibles
de s'appliquer sur notre outil (plans, alimentations, charges) est si grande que l'on ne sait par o commencer. Aussi nous proposons nous de restreindre cette tude, dans un premier temps, des cas
particuliers de convertisseur lectromcanique. Elle pourra, par la suite, tre largie toutes les
catgories de machines lectriques. Un certain nombre de travaux ont dj t raliss et apport des premiers rsultats. Ce premier chapitre va se drouler en deux temps:
Tout d'abord nous dfinissons le cadre particulier de la conversion lectromcanique dans
lequel nous plaons l'tude, savoir la restriction uri type de machine et une gamme de puissance.
Dans un second temps au vu des travaux dj raliss, nous reformulons les hypothses qui permettent de prendre en compte tous les phnomnes ncessaires une modlisation fidle de la
ralit ainsi que d'largir au maximum le domaine de validit.
1.1 Dfinition du cadre de l'tude
Nous allons dfinir ici la catgorie de machine sur laquelle nous allons travailler et prciser les
hypothses supplmentaires que nous nous imposons sur les entres de l'outil que nous voulons mettre
en place. Tout ceci nous conduira reformuler, pour ce cas prcis, l'objectif de l'tude voqu dans l'introduction.
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Analyse gnrale et hypothses 13
1.1.1 Le domaine de la conversion lectromcanique
Le domaine de la conversion lectromcanique est trs vaste, la partie qui nous intresse ici est
uniquement celle des machines tournantes. Cette catgorie couvre encore, elle seule, plusieurs chelles de grandeurs : On y trouve des machines dont le diamtre va de quelques millimtres
quelques mtres. Parmi ces machines il existe plusieurs technologies, slectionnes en fonction de
l'application et des contraintes qui lui sont lies. Toute la difficult consiste ici retenir le type de
machine et la gamme de puissance sur laquelle on va initialiser l'tude, tout en restant ouvert au
maximum, afin de faciliter par la suite l'intgration des autres technologies dans l'outil que nous allons
raliser.
En ce qui concerne la gamme de puissance, on souhaite a priori que le modle qui va tre tabli
soit valable sans limitation de puissance. Cependant, pour des raisons pratiques, il est beaucoup plus
facile de travailler sur des machines de petite et moyenne puissances. Les validations que nous allons
mener se feront donc dans une gamme de puissance autour de la dizaine de kilowatts. Les rsultats
restent a priori applicables n'importe quelle gamme de puissance, cependant nous n'effectuerons ici
pas de validation pour des gammes de puissances plus leves ou plus faibles que celle mentionne.
La premire hypothse de taille est que l'on se limite des systmes lectromcaniques
tournants, qui sont des moteurs (transfert de puissance essentiellement de l'lectrique vers la mcanique). Cela tant dit, il n'y a 'pas de diffrence fondamentale entre un moteur et un gnrateur, ceci ne devrait donc pas tre une limitation en terme de sens de transfert.
Parmi les moteurs lectriques, on distingue qatre grandes familles. Les moteur courant continu, les moteurs asynchrones, les moteurs synchrones et les moteurs rluctance variable. On
souhaite que le modle puisse s'utiliser indpendamment du type de structure utilise pour le moteur.
Cependant comme prcdemment on se focalisera sur un type de moteur (tout en gardant l'esprit le cadre plus gnral) afin de limiter le domaine d'investigation. Le type choisi est le moteur asynchrone cage.
Comme nous avons dfini ci-dessus le type de machine analys, nous allons prsent faire
quelques hypothses sur les types d'excitations lectrique et mcanique subis par notre systme.
En ce qui concerne les entres de l'outil, elles se limitent ce qui correspond 80% des
applications actuelles, mais en essayant de garder l'esprit J'introduction de tout autre type
d'excitation . Du ct de l'entre lectrique on considre une source de tension infinie (non limite en courant) qui dans notre cas est en gnral la source triphase du rseau de distribution. En ce qui concerne l'entre du ct mcanique on considre une charge qui impose un couple constant.
Les sorties du systme sont alors facilement mesurables et comparables la simulation. La
sortie du ct lectrique est la puissance absorbe par le systme que l'on mesure l'aide des deux
grandeurs courant et tension. Du ct mcanique, la sortie est la puissance fournie la charge mesure
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Analyse gnrale et hypothses 14
l'aide des deux grandurs couple et vitesse. En ralit, le critre de sortie qui nous intresse est le
taux de conversion de l'nergie lectrique en nergie mcanique ou autrement dit, le rendement de la
machine. Ce taux est toujours infrieur 1 et ce que nous allons chercher dterminer est la part d'nergie qui est fournie du ct lectrique et n'est jamais restitue du ct mcanique. Cette puissance lectrique non restitue est transforme par le systme en chaleur et restitue au milieu
extrieur par ce moyen. C'est cette puissance que nous voulons tre capable de dterminer.
1.1.2 L'objectif restreint et son critre
Comme nous avons limit le domaine d'tude nous pouvons prsent reformuler l'objectif de l'tude en fonction des nouvelles contraintes que nous avons slectionnes. Il peut s'exprimer de la
faon suivante:
"Soit un moteur lectrique asynchrone de puissance moyenne, aliment par une source de tension sinusodale et charg couple constant. On souhaite, partir du dossier de plans, calculer
le rendement de ce moteur" Afin de dfinir si l'objectif est atteint ou non, nous fixons un critre d'acceptation qui est le
suivant:
"L'objectif est considr comme atteint lorsque la puissance dissipe calcule est gale 10% prs celle que l'on mesure sur une machine ralise"
1.2 Rsultats des tudes existantes
La ncessit de produire des machines toujours plus performantes, susciter de nombreuses tudes s'accordant avec l'objectif que nous venons d'voquer. Nous prsentons un aperu des diffrentes solutions proposes, parmi lesquelles celle dveloppe depuis plusieurs annes au LEG
pour laquelle nous dtaillerons les rsultats .
1.2.1 Diffrentes solutions
Une mthode trs souvent utilise est celle qui consiste sparer les phasesdeca1cul de champ
et Jes phases de calcul de pertes. Dans un premier temps on ralise une reprsentation classique de la
machine J'aide d'un outils de calcul numrique de champ afin d'obtenir une carte d'volution du
champ dans la structure modlise. On utilise ensuite ces rsultats pour donner une estimation des
pertes fer. Les diffrences apparaissent sur le choix de la mthode d'estimation des pertes. Jayaraman
propose de dcomposer chaque signal d'induction en srie puis d'utiliser une formule gnrale de
sparation des pertes [JAY-94]. McClay propose un calcul similaire en utilisant une intgration temporelle [Mcc-96]. Bertotti propose une estimation des pertes qui inclut une dcomposition
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vectorielle [BER-9la]. Ces mthodes donnent des rsultats intressants pour les parties o le champ contient peu d'harmonique, elles ne satisfont pas en revanche ds que le taux d'harmonique est
important comme dans les ttes de dents. La mthode propose au LEG permet de rpondre ce
problme.
D'autres mthodes proposent contrairement aux mthodes prcdentes procder une
premire simplification du problme afin de pouvoir utilis des modles d'estimation de pertes plus
complets. Dupr choisit de rduire la gomtrie une seule dent et de combiner la rsolution un
modle de Preisach [Dup-97]. Jingli choisit d'introduire un lment dissipatif dans les quations lectriques de la machine pour les rsoudre en incluant a priori les pertes [JIN-94]. Ces mthodes sont mises en dfaut pour une machine structure complexe cause des simplifications gomtriques a
priori quelles supposent.
La mthode trs originale de Kyt6mm [KYT-97], consiste en une approche entirement empirique des pertes. Il slectionne une dizaine de paramtres tels que: le nombre de ples, la masse
des dents, l'ouverture d'isthme, le nombre de dents, etc. Puis l'aide d'essais sur un grand nombre de
machines il tablit une formule de pertes qui dpend de tous ces paramtres. Il valide ces rsultats par
des essais sur plus de 400 machines.
Pour notre tude, nous avons choisi poursuivre les tudes entames au LEG et notamment dans
le cadre de la thse de C. Ces ter [CEs-96]. Dans sa thse, C. Cester dcrit une mthode qui permet de donner une premire estimation du rendement dans des conditions proches de celles que nous avons
cit plus haut. Son tude portait sur une seule machine, un moteur asynchrone de 4 kW. Dans un
premier temps nous allons dcrire brivement la mthode employe par C. Cester, puis nous allons
ensuite appliquer cette mthode deux machines de "morphologie" diffrente que nous avons choisies
pour supporter notre tude, l'une 4 ples de 4 kW dj tudie et l'autre 2 ples de 5.5 kW.
1.2.2 Description rapide de la mthode propose par C. Cester
La mthode propose par C. Cester est base sur une rsolution approximative des quations de
Maxwell en deux dimensions et un calcul a posteriori des pertes fer. Le principe de la mthode est
donc la succession de deux tapes qui s'organisent de la manire suivante.
Dans un premier temps on calcule l'aide d'une mthode lments finis deux dimensions la
valeur locale du potentiel vecteur et son volution au cours du temps. Les quations rsolues sont les
quations classiques de Maxwell dans l'approximation des tats quasi stationnaires. La loi qui
reprsente le matriau magntique est non linaire mais reste une bijection. La rsolution est alors ralise par une mthode itrative qui permet la convergence chaque pas de temps vers une solution
approximative . Cette rsolution donne sur le maillage, qui reprsente la machine, l'volution
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temporelle des grandeurs magntiques. La carte d'induction obtenue l'issue de cette tape est la
solution dfinitive pour les valeurs de l'induction.
Dans un second temps on se base sur la carte dfinitive de l'induction pour estimer les pertes fer
dans chaque lment du maillage de la machine. Pour cela on reconstitue sur chaque lment partir
de la connaissance de B(t) le cycle d'hystrsis subi par cet lment. Cette reconstitution se base sur une approche exprimentale. Le matriau est caractris sur cadre Epstein par un grand nombre de
mesures ralises avec le matriau constitutif de la machine. Ces mesures sont rsumes sous forme
de surfaces R(B,dB/dt) qui permettent d'obtenir connaissant les valeurs instantanes de B(t) et dB(t)/dt une valeur de R(t) qui lui correspond. Ainsi on reconstitue sur une priode un cycle et on estime les pertes fer en intgrant le produit RdB. En tenant compte du volume, on obtient ainsi pour chaque
lment la valeur de la puissance dissipe sur cet lment. Et en intgrant sur tous les lments on
obtient la valeur de la puissance totale dissipe.
1.2.3 Rsultats sur les machines 4 kW et 5.5 kW
Pour ces deux machines les matriaux magntiques utiliss au rotor et stator sont diffrents. TI
s'agit de la mme qualit de tles MlOOO-65D, mais l'une a subi un traitement thermique de recuit
(stator) .t l'autre pas. Les caractristiques magntiques employes aussi bien pour la simulation lments finis lors de la premire phase que pour le calcul des pertes lors de la seconde phase sont
diffrentes. Cela ncessite bien entendu de raliser une caractrisation spare pour chacun de ces
deux matriaux. La simulation numrique est effectue avec une discrtisation de 200 pas par priode.
Les mesures et les simulations sont effectues pour un fonctionnement vide de la machine, la machine tournant la vitesse de synchronisme. Les rsultats de puissances dissipes sont rsums
dans le Tableau 1-1 pour le 4 kW et dans le Tableau 1-2 pour le 5.5 kW. Dans les rsultats que nous
prsentons, nous sparons galement les pertes mesures en deux parties, cette sparation ne
correspond pas la sparation pertes stator, pertes rotor, mais la sparation puissance transmise
lectriquement, puissance transmise mcaniquement (par la machine entranant l'ensemble au synchronisme) . Cependant la rpartition puissance entre puissance fournie lectriquement et puissance fournie mcaniquement donne une bonne indication sur la rpartition entre pertes stator et
pertes rotor [Ces-97], aussi nous indiquerons pour les mesures, la puissance fournie lectriquement dans la colonne stator et la puissance fournie mcaniquement dans la colonne rotor. TI faut par
consquent garder l'esprit que cette sparation est donne titre indicatif et que les valeurs
comparer sont les pertes totales .
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(en W) Stator Rotor Total Simulation 108 38 146
Mesure 117 60 177
Ecart -8 % -36 % -17 %
Tableau 1-1- Pertes fer dissipes dans le 4 kW
(en W) Stator Rotor Total Simulation 127 43 170
Mesure 138 160 298
Ecart -36 % -57 % -43 %
Tableau 1-2 - Pertes fer dissipes dans le 5.5 kW
On observe dans les deux cas une sous-estimation des pertes. L'cart est nettement plus marqu
dans le cas de la machine 5.5 kW que dans celle de la machine 4 kW. Tout ceci indique que la
mthode contient certaines hypothses qui occultent des phnomnes importants pour l'estimation des
pertes. L'objectif de la partie qui va suivre est de faire une analyse de l'ensemble des phnomnes qui peuvent contribuer ces pertes et de librer un maximum des hypothses prsentes dans l'tude que
nous venons d'voquer. Ensuite nous dfinissons clairement les hypothses avec lesquelles nous
entamerons notre tude afin de pouvoir ventuellement les remettre en cause le moment venu.
1.3 Analyse gnrale et hypothses de dpart
L'tude se limite un cas simple: On considre1a charge nulle, c'est--dire un couple de charge
nul. L'tude s'intresse donc une machine fonctionnant vide. Dans ce cas la puissance mcanique
est nulle et la puissance lectrique absorbe est compltement dissipe sous forme de chaleur.
L'nergie fournie sous forme lectrique traverse pour tre transforme sous forme mcanique
les diffrents organes qui constituent la machine. Elle commence par les fils de cuivre qui constituent
les bobines du stator. Elle passe par le circuit magntique du stator et du rotor. Une partie se
transforme en courant dans les conducteurs du rotor. Elle passe par l'arbre qui en dissipe une partie
par ses points de contact (roulements, air) et fournit ce qui reste la charge. On peut alors distinguer donc trois grandes classes de phnomnes dissipatifs intervenant dans
notre systme. Les pertes joules dans les matriaux conducteurs, les pertes dans les matriaux magntiques usuellement appeles pertes par hystrsis et les pertes par frottements mcaniques. On
s'efforcera d'analyser par la suite systmatiquement toutes ces catgories.
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1.3.1 Hypothses fortes - Simplification du systme
L'ensemble de notre tude se place dans le cadre de trois hypothses gnrales importantes qu'il
est ncessaire de ne jamais oublier lors de l'interprtation des rsultats.
La premire hypothse forte est que l'on considre une reprsentation en 2 dimensions de notre
systme, dans un plan perpendiculaire l'axe de rotation. On suppose que cette reprsentation
contient tous les phnomnes qui nous intressent. Par consquent, on nglige tous les phnomnes
qui ont lieu en extrmit du circuit magntique tels que les flux de fuite, les forces lectromotrices
induites dans les ttes de bobines, etc ...
La seconde hypothse concerne les contraintes mcaniques . On suppose que dans notre systme
aucun des lments n'est mcaniquement contraint et on suppose donc qu'ils se comportent tous de la
mme manire que s'ils taient pris sparment du dispositif.
Enfin, on ne s'intresse qu'aux phnomnes lectromagntiques. C'est--dire que l'on ne fera pas
d'tude au niveau thermique, on suppose qu'il n'existe pas d'influence de la temprature sur les
phnomnes lectromagntiques que nous tudions (excepte bien entendu la variation de la rsistivit du cuivre qui est parfaitement connue). Par ailleurs, toutes les validations exprimentales seront effectues en rgime thermique stationnaire.
1.3.2 Liste des phnomnes irrversibles prendre en compte
On essaye de rdiger prsent une liste exhaustive des phnomnes irrversibles apparaissant
dans le cadre des hypothses mises ci-dessus. Pour apprcier l'exhaustivit de la liste, nous
comparerons la somme des puissances dissipes, calcules pour chaque phnomne qu'elle recense,
la mesure : Si la valeur mesure est suprieure celle calcule, alors, peut-tre un phnomne a-t-il
t oubli.
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Voici la liste des phnomnes que nous allons considrer tout au long de cette tude:
Les pertes joules dans les bobines stator Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator
Les pertes joules dans le circuit magntique stator Les pertes joules dans la carcasse aluminium Les pertes joules dans les conducteurs rotor Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor
Les pertes joules dans le circuit magntique rotor Les pertes mcaniques
Les pertes supplmentaires gnres par une non symtrie de la machine -
excentricit, anisotropie
Nous donnons ici quelques dtails sur chacun des phnomnes que nous venons d'voquer afin
de bien prciser le contenu de chaque phrase.
Les pertes joules dans les bobines stator
En continu on mesure sans problme la rsistance R. de chacune des bobines. En rgime
variable 50 Hz l'paisseur de peau est de 1 cm dans le cuivre. La taille des fils tant bien infrieure
1 cm, on peut calculer la puissance dissipe par R 1(t)2. La seule difficult se prsente lors de la mise en uvre de la mesure de la rsistance. En effet, faisant exception l'hypothse nonce plus haut, la
rsistance varie avec la temprature mais selon une loi que l'on connat bien. Il convient donc de
mesurer la rsistance au bon moment ou de bien connatre la temprature du bobinage du moteur.
Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator
De loin les plus dlicates estimer. Les matriaux magntiques ont des comportements
intrinsquement complexes, ceci cumul des gomtries tout autant complexes rend la tche
difficile. Une premire mthode a t voque au paragraphe prcdent, il s'agit prsent de mettre en
uvre une mthode compatible avec les prcisions que l'on souhaite obtenir ainsi qu'avec les
contraintes imposes par l'informatique. Une importante partie de l'tude sera consacre cela.
Les pertes joules dans le circuit magntique stator
Thoriquement, le circuit magntique du stator est constitu d'un empilage de tles censes tre
parfaitement isoles les unes des autres. Dans la pratique l'isolation entre tles est ralise par
oxydation de surface et ce n'est jamais parfait, aussi, les tles qui sont un milieu conducteur ventuellement soumis un flux variable, peuvent tre le sige de courants induits. Les contacts tle
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tle peuvent se faire sur toute la surface ou tre localiss en-des points particuliers: surface prs de
l'entrefer, surface de contour d'encoche, etc ...
Les pertes joules dans la carcasse aluminium
La carcasse aluminium, elle aussi, est un milieu conducteur ventuellement soumis un flux de
fuite extrieur au paquet de tles stator. Elle est donc susceptible d'tre le sige de courants induits.
Les pertes joules dans les conducteurs rotor
Les conducteurs rotor sont l pour faire circuler un courant et crer le couple qui fasse tourner
la machine. Le mme calcul que dans le cas du bobinage stator, intgrale de R.J(t)2, peut en thorie tre appliqu. Cependant, ici deux lments rendent difficiles l'estimation de ces pertes:
D'une part les barres de la cage, toutes en court-circuit les unes avec les autres, sont
gnralement soumises des pulsations de flux de denture hautes frquences.
D'autre part, la barre est un conducteur massif unique dont la valeur de la rsistance varie,
mme frquence relativement basse.
Aussi, aucun des deux termes R ou lU) n'est facile dterminer.
Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor
Il s'agit ici exactement des mmes phnomnes que ceux dcrits pour les pertes par hystrsis
stator.
Les pertes joules dans le circuit magntique rotor
Ici encore les remarques sont les mmes que dans le cas du stator. Cependant, elles sont
d'autant plus pertinentes que les tles qui constituent le rotor ne sont pas isoles les unes des autres et
qu'elles subissent encore des usinages aprs assemblage, notamment sur la priphrie du rotor.
Les pertes mcaniques
On s'efforce de rduire au maximum toutes les sources de frottements, en supprimant la
ventilation ainsi que les caches roulements. Ensuite on mesure les pertes mcaniques par une mthode
de dclration et on estime qu'en rgime permanent vitesse constante ces pertes sont constantes.
Les pertes supplmentaires gnres par une non symtrie de la machine - excentricit, anisotropie
L'excentricit ou l'anisotropie peuvent entraner des rpartitions ingales du flux dans le circuit
magntique, qui gnrent alors des pertes supplmentaires.
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Comme voqu dans l'introduction, nous avons choisi pour la suite de l'tude de regrouper tous
ces phnomnes en deux catgories. D'un ct nous considrerons les phnomnes qui se rapportent
aux pertes dans les matriaux magntiques, savoir:
Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator
Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor
Ces phnomnes seront tudis ensemble, dans le chapitre 2 puis 3. Et d'u!l autre ct, nous
considrerons dans le chapitre 4 tous les aspects non lis l'hystrsis. Cette rpartition est impose
par la complexit importante des phnomnes magntiques.
1.3.3 Hypothses lors des tudes prcdentes
Afin de bien mesurer l'influence de tous les phnomnes, nous rappelons ici ceux qui ont dj t pris en compte dans les calculs prsents au paragraphe prcdent:
Les pertes joules dans les bobines stator Les pertes mcaniques
Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor et stator (mais pour partie seulement, et dans le cadre d'un certain nombre d'hypothses imposes par leur
calcul, hypothses qui seront dtailles dans les chapitres correspondants)
1.4 Remarques sur les mthodes d'analyse employes et le choix d'expos
La mthode d'analyse employe a t la mme tout au long de l'tude. Elle se droule selon le
principe suivant: On fait un certain nombre d'hypothses en faisant confiance soit au savoir-faire dans
le domaine des machines lectriques, soit l'intuition. On met en uvre la mthode d'estimation
dfinie suite cette srie d'hypothses. On ralise une mesure du critre d'atteinte de l'objectif que nous nous sommes fix (1O% des pertes). Si, au vu du critre, l'objectif n'est pas atteint, on remet en cause une des hypothses que nous avons formule (de prfrence celle qui nous semble pouvoir apporter le plus d'amlioration possible). La mthode d'estimation est alors modifie pour prendre en compte le nouveau phnomne. Une nouvelle mesure du critre est effectue et ainsi de suite ...
Il existe prsent deux faons de prsenter l'tude. Soit de faon "chronologique", c'est dire
dcrivant toutes les itrations effectues sur les hypothses, soit de faon "synthtique", en prsentant
en un bloc tous les phnomnes analyss pendant la dure de l'tude. Chaque mthode a des avantages
et des inconvnients.
La description de toutes les itrations effectues n'est pas propice la rdaction d'un rapport
clair et concis sur les diffrents rsultats obtenus. De plus le fait d'avoir men plusieurs actions en
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parallle ne facilite pas une rdaction chronologique. Une rdaction synthtique est donc intressante
de ce point de vue. Les inconvnients d'une rdaction synthtique sont que:
D'une part nombre de voies infructueuses n'apparaissent pas forcment dans le rapport, et on
peut alors se demander si elles ont t investigues.
D'autre part l'origine de certaines ides ou concepts, issus de voies infructueuses, peut devenir
trs nbuleuse.
Aussi, afin de limiter la taille de ce rapport, nous avons opt pour la rdaction synthtique avec,
par endroits, l'insertion de quelques passages "historiques" afin d'clairer le lecteur sur l'origine ou la
finalit de certaines ides .
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Chapitre 2 Modlisation des matriaux magntiques
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L'objectif de cette partie est d'tablir un modle de comportement des tles lectriques valable dans le cadre des hypothses dfinies au chapitre prcdent. On souhaite de plus imposer ce modle une contrainte de type informatique. En effet, la finalit du modle tant l'utilisation dans des outils de
calcul numrique, il est important que le modle soit efficace aussi bien du point de vue du temps de
calcul que du point de vue de l'utilisation de la mmoire.
Le systme magntique que nous souhaitons caractriser est donc une tle lectrique de section
rectangulaire (largeur a et paisseur b), suppose infinie dans le sens de la longueur (Figure 2-1) . Le comportement de cette tle est entirement dfini par la connaissance de deux grandeurs, le champ
magntique H" en surface de la tle et le flux magntique moyen
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2.1 Classement des lois de comportement
Les lois constitutives des matriaux magntiques sont complexes, elles sont la fois non
linaires, anisotropes, dissipatives et dpendantes du pass. Malgr tout, il est ncessaire, pour
raliser la modlisation d'un systme comprenant des matriaux magntiques, de disposer d'un modle
de comportement de ces matriaux magntiques. Aussi, a-t-on pris l'habitude de considrer un certain
nombre de simplifications que l'on classe en trois catgories fonction de leur degr de simplification.
Elles se rpartissent ainsi:
Linaire
N on linaire
Hystrtique
Les lois linaires et non linaires sont des lois rversibles alors que les lois hystrtiques ne le
sont pas . Nous prsentons succinctement chacune des trois catgories.
2.1.1 Loi linaire
Il s'agit de la loi la plus simple. Dans ce cas les champs B et H sont toujours colinaires et proportionnels. Le rapport de proportionnalit est souvent exprim par rapport /10 ce qui correspond
alors la permabilit relative du matriau ([2-1]). - -B = fia . fir . H [2-1]
Cette loi est utilise essentiellement dans deux contextes bien caractristiques: soit en premire
approximation dans des problmes o la prcision n'est pas un lment critique, problme de pr-
dimensionnement par exemple, soit sur une plage de champ si restreinte, que la loi relle devient
effectivement linaire.
2.1.2 Loi non linaire
Il s'agit d'une loi dans laquelle les champs B et H sont toujours colinaires, mais dont les intensits sont lies par l'intermdiaire de la courbe de saturation (Figure 2-2). C'est la loi la plus couramment utilise dans les problmes lectrotechniques, et plus particulirement dans des outils de
calcul ou de simulation de structures lectromagntiques.
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B
H
Figure 2-2 - Courbe de saturation, points exprimentaux
Il existe deux "philosophies" pour reprsenter mathmatiquement ce type de loi, soit par
approximation de fonction, soit par interpolation. Par approximation, il s'agit de dterminer les
paramtres d'une fonction dfinie l'avance afin qu'ils permettent cette fonction de "coller" au
mieux aux points exprimentaux. Par interpolation il s'agit de dfinir un groupe de fonctions qui
relient tous les points exprimentaux avec des contraintes de drivabilit. Nous donnons quelques
exemples classiques de reprsentation par approximation ou interpolation.
Fonctions d'approximation, o a, ~ et y sont des paramtres de rglage: Relation de Frohlich-Kennelly [JIL-91] :
H B= +yH a+fJH
Arctangente [ABU-89] : H B = a arctan(-) + y. H fJ
Formule de Roug [NIc-91] : H = a . B + fJ . B 2y+1
Formule qui doit tre substitue par [2-5] pour tendre vers la rluctivit du vide l'infini. a . B + fJ . B 2y+1
H = ---'-----::---f.Lo . (a + fJ . B 2.y) + 1
Exponentielle [BRA-75] :
H =(aef3 B2 +y)B
Fonctions d'interpolation:
[2-2]
[2-3]
[2-4]
[2-5]
[2-6]
Par splines cubiques de classe C2 [DEL-94]. C'est une fonction qui passe bien par tous les points exprimentaux, mais dont un seul point mal plac peut modifier l'allure de la courbe
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sur un grand intervalle et entraner des oscillations indsirables qUi rendent alors la
fonction non monotone.
Akima propose une interpolation cubique de classe Cl originale [DEL-94], o la pente en un point exprimental ne dpend que des deux points gauche et des deux points droite,
rduisant ainsi l'influence d'un point un intervalle restreint.
2.1.3 Lois hystrtiques
Il Y a aujourd'hui beaucoup de travaux sur la modlisation des lois constitutives dissipatives des matriaux magntiques. On peut distinguer deux grandes tendances quant l'approche de ces lois hystrtiques. La premire consiste en une approche "empirique" ou "mathmatique" dans laquelle on
ne se proccupe pas de la physique du matriau mais o l'on cherche dfinir un outil mathmatique
approchant au mieux le comportement des grandeurs observes (typiquement rseaux de neurones). La seconde, se qualifie au contraire d'approche "phnomnologique" et se base sur la connaissance
des phnomnes physiques intervenant dans le matriau pour essayer d'en extraire des rgles
gnrales de comportement.
La principale difficult pour reprsenter l'hystrsis magntique vient du fait que le
comportement prsent du systme est conditionn par son histoire. Pour une mme condition
d'excitation plusieurs volutions sont possibles, fonction de ce qui s'est prcdemment pass. Une des
faons de prendre en compte ce pass consiste par exemple mmoriser le dernier point pour lequel
l'excitation a chang de sens et dcrire ainsi l'volution du systme fonction de ce point que l'on
appelle point de rebroussement. Les modles utilisant ce principe sont les modles statiques de type
Duhem, ils se basent sur un cycle majeur et sont complts par deux familles de courbes une montante et une descendante (Figure 2-3). En chaque point du plan (H, B) il ne passe qu'une seule courbe de la famille montante et qu'une seule courbe de la famille descendante. Ainsi chaque fois que l'on change
de sens on se replace soit sur la famille de courbes montantes soit sur la famille de courbes
descendantes en fonction du nouveau sens de variation que l'on vient d'adopter. TI existe de
nombreuses fonctions qui permettent de dcrire ces familles de courbes, entre autres: [PoT-71] avec des tangentes hyperboliques, [ZAH-83] avec des sinus puissance n, [Oss-91] avec des polynmes.
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Famille de~cendante "..- r ~ 0 1.5
"" ~ ~ ri ;1 ;1
"
.0 --,.~ .. -.. j --,-- J Fa~e ~ontante 1
./ ..-/'
0.5
E 0 III
-0.5
-1
-1 .5
-2 -1500 -1000 -500 o 500 1000 1500
H (Alm)
Figure 2-3 - Modle de type Duhem (Potter - Schmulian)
Dans tous les cas, ces modles sont simples mais peu prcis, l'histoire tant dcrite trop
sommairement par rapport la ralit. TI existe alors des modles qui utilisent une reprsentation de
l'histoire beaucoup plus complte, comme par exemple le modle de Preisach [MAY-91]. Ce modle, bas sur une reprsentation statistique de cycles d'hystrsis rectangulaires lmentaires et permet de
dcrire le comportement quasi-statique du matriau. TI a donc t et est encore beaucoup tudi et de
nombreuses variantes ont t proposes, entre autres par Della Torre avec le "Moving Madel" [DEL-66] ou le "Complete MovingModel" [VAl-92a], [VAJ-92b]. Certains outils mathmatiques, comme les rseaux de neurones permettent aussi de reprsenter par identification un comportement hystrtique
[SAL-97]. On trouve galement des modles inspirs par des considrations physiques, comme le modle de Jiles [JIL-91] bas sur la thorie du champ molculaire de Weiss ou le modle de Bergquist [BER-95] bas sur des considrations thermodynamiques. Tous ces modles sont des modles qui permettent de reprsenter le comportement statique des matriaux. Or, ce que nous intresse ici est de
dcrire le comportement du systme "tle magntique". Les courants induits qui se dveloppent dans
la tle lui confre des proprits dynamiques qu'il faut modliser.
Pour introduire les aspects dynamiques dans la modlisation, une premire solution qui a dj t publie de nombreuses fois est de procder une rsolution numrique de l'quation de diffusion
en utilisant une des lois locales de comportement que nous avons voque prcdemment. Del
Vecchio prsente une rsolution en ID avec un modle de Preisach statique [Dvc-82]. Basso et Bertotti proposent une rsolution identique mais avec une loi hystrtique statique dveloppe pour
l'occasion et base sur des considrations de dplacement de paroi [BAS-98]. Malgr des premiers
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rsultats intressants, cette approche reste insuffisante car elle ne prend pas en compte la dynamique
des parois dans le matriau.
Bertotti propose, en s'appuyant sur sa thorie statistique du mouvement de parOI, une
adaptation performante du modle de Preisach base sur les "Magnetics Objects" . Son modle contient dj l'ensemble des termes de pertes permettant ainsi une meilleure reprsentation du comportement de l'ensemble du systme [BER-91b], [BER-92]. Ce modle conduit une reprsentation de l'aire du cycle qui varie en fonction de la frquence f avec la loi de l'quation [2-7].
Aire(f) = Co + Cl . f + C2 .J1 avec CO,Cl et C2 constantes [2-7]
Cependant pour amliorer la prise en compte des courants induits dans le modle propos par
Bertotti, certains auteurs proposent de le coupler une rsolution de l'quation de diffusion. Rouve
propose une rsolution en utilisant le Dynamic Preisach Model qui inclus ainsi les pertes en excs
[Rou-96] et Bottauscio compare diffrentes formulations pour effectuer cette rsolution [BOT-98]. Dans ce dernier cas, la simulation donne des rsultats trs proches de la mesure quelle que soit la
frquence d'excitation.
Malgr de trs bons rsultats ces modles ne conviennent pas notre problmatique, du fait de
l'utilisation d'une rsolution numrique, ils sont tous trs coteux en temps de calcul et en place
mmoire. De plus, il ne se prsente pas sous une forme favorable pour notre systme. En effet nous
souhaitons dcrire une loi sous la forme R(B) et le modle se prsente, comme la plupart des modles, sous la forme B(H) . Son utilisation ncessite donc la nllse en place de l'inversion de ce dernier ce qui implique un processus itratif numrique qui nous renvoie au problme de temps de calcul. Nous
allons donc, dans la suite de ce chapitre, nous atteler dfinir une reprsentation R(B) de notre systme "tle magntique" qui soit la fois performante et informatiquement efficace.
2.2 Modlisation du comportement hystrtique dynamique d'une tle
On a vu combien il est difficile de modliser le comportement dynamique des tles lectriques.
Des tudes antrieures sur le comportement des tles en rgime trapzodale [KED-86], [MAH-95] ont montr que pour une induction crte donne, les pertes magntiques par cycle (P/f) ne dpendent pas de la frquence du trapze mais de sa pente dB/dt. Il en est de mme pour le cycle dynamique du
matriau. Le paramtre dB/dt est donc un paramtre dterminant pour le comportement du matriau.
Ceci s'explique bien par le fait que les pertes sont engendres localement par des variations de flux
induit lors des dplacement de parois. D'o l'ide de caractriser le matriau par deux paramtres B et
dB/dt. Pour caractriser le comportement il faut alors, chaque couple (B, dB/dt), associer le champ R correspondant [CEs-97]. Pour cela on s'appuie sur une dmarche exprimentale qui permet de dterminer la surface R(B, dB/dt). Nous effectuons des mesures sur cadre Epstein avec diffrents
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signaux et diffrentes frquences. Afin de pouvoir classer efficacement les rsultats nous choisissons
les signaux de telle faon qu'ils se classent facilement suivant le paramtre dB/dt.
Voici comment nous allons construire le tableau de donnes dont nous avons besoin. Le
matriau est caractris l'aide d'un cadre Epstein automatis qui permet d'imposer la forme des
signaux que l'on souhaite et de faire l'acquisition numrique du cycle rsultant. La Figure 2-4 et le
Tableau 2-1 schmatisent le principe de la mthode. Tout d'abord nous imposons un signal d'induction
triangulaire afin qu'en valeur absolue la valeur de dB/dt soit constante. Ensuite pour un signal
triangulaire d'amplitude et de frquence donne, nous effectuons une discrtisation du cycle mesur
sur le cadre et stockons la liste des points obtenus dans une colonne du tableau de donnes. Puis, nous
modifions la frquence du triangle sans changer l'amplitude pour obtenir une nouvelle valeur de dB/dt.
Pendant toutes les mesures l'amplitude du triangle est maintenue constante, si bien que le tableau
obtenu est celui correspondant cette amplitude. Pour la suite nous appelons cette amplitude Be (pour B crte).
1.5
0.5
t:o
0.5
1
-1.5
2
..... -.-... ,, - ... ..... , -- '., ..... ~ .......... _. .... - ..... .... .. . ... .... . ......... ......... ... -..... ~ .
. / ~
/ \ .. \ .. 1 ..
..
..
..
i+- IdB/dtl = e st 1.. .. . . 1
0.2 0.4
\ \
\ 1
0.6
lime(s)
/ V
/ V
0.8
............................
..
"
1.2
2
1.5
1
0.5 -t:. 0 m
0.5
-1
-1.5 V r-
-2 -1500 -1000 -500
fi'" / ... J / ~J r i\ 1 1 \ 1 \ 1 1
1 ~ 1/
../
o
H(A/m)
(B,H) = (1.3,-72)
500 1000
Figure 2-4 - Principe de mesure des donnes exprimentales
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Modlisation des matriaux magntiques
Tableau des Valeurs de dB/dt en T/s
valeurs de H pour
Valeurs de B en T -9 000 -8 990 -8 980 o 8 980 8 990 9 000
0.1 -3010 -3006 -3000 1290 1295 1300 t----------1I--::-::-+----I----+- --------:- - -- ---- -+ - - - - - - - --f----+---+---~ 0.2 -2957 -2953 -2948 : ' 1350 J 356 1362 1-------..-11---+----1----+------- - ~- --- ----- ~ ------- --1---+---+----1 0.3 -2839 -2835 -2832 1480 1487 1495
, ,
t----------1I---7----7------7 ------- - -!- - - - - - - - - ~ - - - - - - - - .L..., -----'----7----., ,
---------~--------, , ,
, , , , , , , , ,
--------- --------~---------T---------~-------- --------- -------. , , ,
l '1 1 ---------r-------- --.---.-. --------,---------T---------r--------
, , , , , , , ,
I-----------It----;---.-----i-- - - - - - - - ~- - - - - - - - -: - - - - - - - - -r--:.,----r--.,----;------l 1.7 5820 5812 5800 ,7100 7126 7150 , ,
t--------t-7=-6-:-:2~4-+---=7-::6-:-:1 0:--1-7=-6-:-:0:-:-0-+- - - - - - - - -:- - - - - - - - - ~ - - - - - - - - -f--8- 9-0-0 -+--8-9-2-8-+-8-95-5..-1 1.8 : : , , , ,
Tableau 2-1 - Principe de classement des mesures exprimentales
31
Afin de mieux se reprsenter le tableau de donnes, nous pouvons en faire une reprsentation
graphique sous forme d'une surface (Figure 2-5) qui donne H en fonction des deux paramtres B et dB/dt. Si on ralise une coupe de cette surface dans un plan dB/dt = est, on retrouve une courbe
d'aimantation de H en fonction de B. Pour la valeur dB/dt = 0 on observe alors une reprsentation du
cycle quasi-statique. L'chelle de variation de H tant relativement grande sur la Figure 2-5 il est
ncessaire de faire un zoom autour de dB/dt = 0 pour observer ce qui s'y passe. La Figure 2-6 prsente
ce zoom et le cycle quasi-statique apparat clairement.
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Modlisation des matriaux magntiques
H (Alm)
H (Alm)
14000~----------1------1
-4000
B (T) 0.4 . -15
-
Modlisation des matriaux magntiques 33
suffit lorsque l'on dispose d'un signal B(t) de calculer le signal dB/dtU), puis pour chaque valeur de t d'estimer la valeur de H(t) par le tableau. Ceci ncessite bien sr de procder une interpolation pour joindre tous les points du tableau. L'interpolation effectue est linaire partir des trois points les plus proches. Cette reprsentation donne de trs bons rsultats pour la reprsentation des cycles majeurs d'amplitude gale Be quelle que soit la frquence. Un exemple pour 50 et 200 Hz est donn sur la
Figure 2-7.
1.5
.~r/ r~ ~ ~ ~. V 1 ) )
V f 1 V W 1 .J V ( ( 1 /
Xx ~ ~ VJ pc; ~
0.5
-1--al
0.5
1
1.5
2 1000 800 600 400 200 o 200 400 600 800 1000
H (A/m) -Estim "'*" Mesur
Figure 2-7 - Reprsentation l'aide de la surface H(B,dB/dt) pour B sinus 50 et 200 Hz
Par contre, ds que l'amplitude crte du signal calculer est infrieure Be ou qu'il y a des
cycles mineurs, la discontinuit que l'on observe sur la Figure 2-6 gnre une erreur importante
d'estimation. Pour tenter de minimiser cette erreur, C. Ces ter a propos un certain nombre de
correctifs apporter la mthode, mais sans cependant en changer le principe.
Dcrivons rapidement les correctifs proposs. Il s'agit tout d'abord de crer une surface pour
chaque valeur crte d'induction si bien que, pour chaque signal estimer on dispose d'une surface
adapte . La mthode dcrit bien le cas de cycles majeurs mais prsente deux inconvnients: D'une part, il faut stocker un nombre important de surfaces et donc beaucoup d'information.
D'autre part il faut connatre tout le signal B(t) l'avance pour slectionner la meilleure surface utiliser.
Cette contrainte de la connaissance avant calcul de l'ensemble du signal B(t) est trs forte, car elle limine dfinitivement l'utilisation d'un tel modle comme loi de comportement dans les outils de
simulation. Ensuite, C. Cester propose de mettre en place une dtection des cycles mineurs, toujours partir de la connaissance pralable du signal pour, dans les cas de ces cycles mineurs, rduire la
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o t-.. (\J ..,.
!Xl (J) o T-I() o
Modlisation des matriaux magntiques 34
discontinuit en modifiant la surface initiale. Malgr ces corrections, les manipulations
supplmentaires introduites par le choix de la surface et la dtection des cycles mineurs gnrent des
erreurs, notamment en prsence de composante continue ou de cycles mineurs de grandes tailles. Des
rsultats obtenus avec cette mthode dans le cas d'un cycle avec composante continue sont prsents
sur la Figure 2-8. Pour pouvoir faire cette comparaison, il a fallu bien entendu dvelopper un
appareillage de mesure adapt. Le dtail sur la mthode employe pour ces mesures sera donn au
paragraphe concernant comparaison.
E co
1.6
1.5 ~----------~~~~--~~~~-----4~~~----~-----------1
1.4
1.3
1.2
1.1 -500 o 500 1000 1500 2000
H (A/m) 1-Mesur -+- Estim 1 Figure 2-8 - Reprsentation d'un cycle avec composante continue par la surface H(B, dB/dt)
Afin d'identifier les causes d'chec de la reprsentation prcdente, nous avons analys de
manire systmatique les diffrentes donnes dont nous disposions. Pour cela nous avons compar
l'ensemble des surfaces dtermines avec des inductions crtes diffrentes. Pour mener cette
comparaison, nous avons cherch ne conserver des surfaces que les parties "communes". Pour ce
faire nous avons supprim chaque surface le cycle quasi-statique mesur avec la mme induction
crte que celle utilise lors de la caractrisation de la surface. Le rsultat de cette comparaison a fait
apparatre que les parties "communes" toutes les surfaces taient identiques quelle que soit la
surface. Autrement dit, la contribution dynamique au cycle d'hystrsis est une surface indpendante
de \' induction crte utilise pour la caractriser.
Cette analyse, nous a donc amen proposer une nouvelle reprsentation, dans laquelle nous
sparons le champ H(t) en deux contributions, l'une que nous appelons statique H"ral et qui correspond au comportement dans le cas o dB/dt est nul et une autre que nous appelons dynamique et qui
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correspond la quantit ajouter au Hstat pour obtenir le H rel. Nous notons cette contribution supplmentaire Hdyn .
2.2.1 Sparation des contributions statiques et dynamiques
Nous travaillons prsent avec une seule surface, celle qui correspond 1'induction crte
maximum que nous ayons obtenue en mesure, dans notre cas 1.8 T. Pour dterminer de manire
exprimentale la partie H dyn il suffit de soustraire au champ H(B,dB/dt) mesur la valeur Ho(B) correspondant H(B,O). Ce champ Ho(B) comporte deux branches 1'une H(B,O+) et 1'autre H(B,O) correspondant aux deux branches du cycle quasi-statique (Figure 2-9). Fonction du signe de dB/dt 1'une ou 1'autre des branches est utilise pour oprer la soustraction.
2.0
1.5
1.0 f--__ +--_---If--_--+ __ -+!r..,....~--:; H(B,O+) ---t-----t----j 0.5
E 0.0 III
-0.5 f----+----j--- H(B,O) /--tt1r---r--r----t-----t---
-1 .0
1.5
2.0 ....... _ ......... _-_ .. - ._--_.-'-------'----_ .......... _ . _-_ .................. _-
-4000 -3000 -2000 -1000 o 1000 2000 3000 4000
H (Atm)
Figure 2-9 - branches du cycles quasi-statique soustraire H(B, dB/dt)
La surface obtenue qui correspond la surface de la Figure 2-5 moins le cycle de la Figure 2-9
est reprsente sur la Figure 2-10. Comme prcdemment il est intressant de faire un zoom autour de
la valeur dB/dt = 0 (Figure 2-11). On peut y noter qu'videmment cette nouvelle surface H dyn ne comporte plus de discontinuit.
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Hdyn (Atm)
14000~----------------------r-----------~
-4000
B (T) 0.4 Cl. -151100
o
15000 7500
dB/dt (T/s)
Figure 2-10 - Surface reprsentant la contribution dynamique du champ ( comparer la Figure 2-5)
4500,------------------------,--------------------,
Hdyn (A/m)
1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0 2 Q . -2000
-1000 dB/dt (Tls)
B (T)
Figure 2-11 - Surface reprsentant un zoom sur la contribution dynamique du champ ( comparer la Figure 2-6)
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Modlisation des matriaux magntiques 37
Nous avons donc obtenu une dcomposition du champ total H en deux parties, une partie H stat
qui reflte le comportement statique, et une partie Hdyn qui est reprsente par la surface de la Figure
2-10 et qui correspond au complment ajouter pour reconstruite le champ total H. Pour pouvoir utiliser cette dcomposition de manire efficace, nous nous proposons de dfinir prsent une
reprsentation mathmatique pour chacune des parties Hstat et Hdyn.
2.3 Choix d'une loi de comportement
La reprsentation mathmatique de Hstat est importante car c'est elle qui doit permettre de
prendre en compte les cycles mineurs et de grer les diffrents niveaux d'induction ainsi que la
discontinuit. La reprsentation de Hdyn correspond quant elle une simple formulation
mathmatique de la surface reprsente Figure 2-10.
2.3.1 Modle analytique simple de la contribution statique Hstat(B)
Nous proposons un modle d'hystrsis statique qui fournisse la loi de comportement de H en
fonction de B pour le matriau que nous tudions. C'est un modle empirique simple qui est
videmment bien moins prcis que les modles bien connus tels que celui de Preisach ou de Jiles
voqus au paragraphe 2.1.3. Il prsente par contre l'avantage de s'exprimer sous forme analytique,
donc d'tre instantan calculer, et de reprsenter malgr tout de manire cohrente les cycles
mineurs. Nous prsentons ici rapidement les proprits ce modle.
La description du modle prsente deux plages de comportement distinctes :
D'une part les inductions leves (ici, B suprieur 1.67 T) pour lesquels le comportement est simplement non linaire (Figure 2-12) .
D'autre part les inductions faibles (ici, B infrieur 1.67 T) pour lesquelles le comportement est hystrtique.
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E fIl
2.4 '--'
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1 1000
-------
j...---
~ /
6000 11000 16000 H (A/m)
21000 26000
Figure 2-12 - Courbe utilise pour reprsenter les inductions leves
38
i 1 !
1 1
1
1 i 1
1
1
1
1
Pour reprsenter le comportement hystrtique (B infrieur 1.67 T) nous utilisons le principe dj propos par d'autres auteurs [JIL-84], [HOL-96] ou [HIR-98] qui consiste scinder le champ H en deux contributions, l'une rversible Hrev et l'autre irrversible Hirr. La partie rversible est identifie la courbe anhystrtique du matriau, obtenue en appliquant un champ magntique alternatif
d'amplitude dcroissante un champ magntique constant [Boz-53]. Cette courbe est ensuite reprsente par une fonction, qui se trouve pouvoir tre dans notre cas la combinaison des quations
[2-8] et [2-9]. Ces formules fonctionnent bien ici, mais ne sont pas du tout gnriques. On pourrait se contenter par exemple d'une interpolation linaire ou trouver une autre fonction du type de celles du
paragraphe 2.1.2 qui approcherait la courbe anhystrtique.
x(B) = ( ? ) avec a = 0.14 et c = 1.295 a B - + c
B [2-8]
H rev (X(B=A.( 1 3- 1 3]avecA=50et z =I.001 Z + x(B )' z - x(B)
[2-9]
Pour la partie irrversible, il nous faut introduire l'histoire du matriau pour pouvOIr
diffrencier le comportement en fonction des vnements passs. Nous conservons la transformation
de B en x l'aide de l'quation [2-8] et choisissons pour caractriser cette histoire d'utiliser une variable supplmentaire L1x qui reprsente une image de la distance parcourue par la variable x depuis
le dernier rebroussement. Cette notion est bien entendue dj introduite par d'autres auteurs, notamment ceux qui proposent des familles de courbes de renversement (voir paragraphe 2.1.3). La
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Modlisation des matriaux magntiques 39
partie irrversible dpend donc de deux paramtres, x et Llx. De la mme faon que pour la dfinition
de Hrev, nous n'avons pas essay de trouver une expression gnrale pour Hirr mais nous nous sommes
contents de reprsenter au mieux les courbes de renversement et cycles mineurs et avons dtermin
intuitivement une fonction qui convenait. L'expression obtenue est celle de l'quation [2-10].
H irr (x, &) = C . &d . (1 + 2 'Ixle) si x croissant
Hirr(x,&)=-C&" . (1+2 lxl e) si x dcroissant
1 avec C = 55 d = - et e = 3
, 3
La valeur de B.,tat est ensuite reconstitue en appliquant la formule de l'quation [2-11] . H(x(B),&) = Hrev(x(B)) + Hirr(x(B),&)
[2-10]
[2-11]
Le modle est ensuite appliqu sur diffrents cycles afin de valider son comportement. li est
important de remarquer que le modle comporte une variable histoire qui est toujours initialise 0, ce qui introduit un transitoire numrique qui oblige faire deux passages dans le modle pour atteindre les valeurs dfinitives de la solution. Nous prsentons tout d'abord le comportement du
modle sur des cycles majeurs de diffrentes amplitudes (Figure 2-13 et Figure 2-14). On observe que l'estimation est correcte, cependant pour les faibles niveaux d'amplitude on voit apparatre (encart de la Figure 2-14) des lignes horizontales aux sommets du cycle (lignes qui n'existent pas dans la mesure) . Ces lignes sont dues une prise en compte trop sommaire de l'histoire qui est l'image de frottements secs, ce qUI n'est pas uniquement le cas dans la ralit. Les carts restent cependant
faibles . tel-0
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E III
E III
2.0 .. +-
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5 -+ ..
-2.0 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 o 1000 2000 3000 4000 5000
1 -+-. Estim --Mesur 1 H (Alm)
Figure 2-13 - Comparaison des cycles 1.7T
2.0 '0 .. - ............ 0 .... -.0.0 ....... 0 .. -.0.' ........ 0 ... o._ ..... _ .. ooo._.o_o .... o..,.. __ .... ____ -,_. ____ . ___ o_. _ .......... 0.0 .. __ ... 000 ...... 0._. 0_'0' __ '_"' __ _
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.8 ro - -- - '--- 0 1
:: 1 ~V f ! rrr E :: f-I ~+l-l--+/--H~'+-----li ./ CIl Il. f
-0.2 f-.--lH--+--I-t-+---i -0.4 ..... l ----41--+-11
-
Modlisation des matriaux magntiques 41
2.0 1
1.5
1.0
0.5
~ p-I;{ 1
E 0.0 CD
~~ ~,
-0.5
-1 .0
-1.5
)~l .-d:
~,
-2.0 ......................... _ .. .. _ .... _._---_._- _. __ .------ -----1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
H (Atm) I-Mesur -t-Estim l
Figure 2-15 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs
2.0 ............ H. ___ __ ____ H .H ___ .... ___ _ _ __ .. _ _ ... _ ..... _-- _ .
1.5
1.0
0.5
1 JJ ~// ~ 1 J-~I
E 0.0 .~ ~~
CD
-0.5
-1.0
-1.5
i~ ~ J, fj V/~ 'lE ~ ~.
-2.0 '---_._.
-600 -400 -200 o 200 400 600
H (Atm) 1-Mesur -t- Estim 1 Figure 2-16 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs
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E CO
2.0 r----r---,---..,.--~--~-~--,---..,.--~--
1.5 f--+--+--+--+----tl~ ~~b~~iIIIIII~~~~ .4~~ 1.0 ~--~-----+----~----+---~~1-4~~~---+----~----4---~
1 0.5 l 0.0 1 ..
-0.5
-1.0 I----+----I------l---+-~~f!:-I-+-E---I----+----l----I--~ ~~'
-1.5 ~~~iiiiiiiiiiiij_l_~=Ps===t-rJttIt!i!!!.+-+-+-_+-_+-__1 -2.0 1 ..... .. .......... -... ....... - _ .. ___ L-_---1._ .. _ .... _- ........ _ .... - ... - .... - .... - _ ................ - ---
-1000 -800 -600 -400 -200 o 200 400 600 800 1000 H (A/m) I-Mesur -t-Estiml
Figure 2-17 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs
42
On peut noter que le modle se comporte de faon tout fait cohrente avec ces cycles mineurs.
Il respecte les variations et les courbures, cependant on retrouve, pour les cycles mineurs de petite
amplitude, le mme dfaut que pour les cycles majeurs de faible amplitude, c'est--dire une discontinuit horizontale. On note ce dfaut systmatique du modle qui consiste agrandir les cycles
de petite taille. Cela est d une modlisation trop simpliste des effets dissipatifs : Nous avons ici
considr une variable histoire trs simple et qui s'apparente des frottements secs uniformes. Des
amliorations pourraient tre faites en introduisant une variable histoire plus complte, mais cela
alourdirait forcment le modle, ce que nous voulons absolument viter.
D'une manire gnrale, le modle donne une prcision tout fait satisfaisante pour les calculs
que nous souhaitons mener. A titre d'exemple, l'cart sur les pertes quasi-statiques dans le cas de
cycles majeurs est toujours infrieur 10% et il est infrieur 15% dans les cas de la prsence de cycles mineurs.
2.3.2 Modle analytique de la contribution dynamique Hdyn(B,dB/dt)
Pour dfinir une reprsentation analytique de la surface HdYII nous projetons tout d'abord cette surface dans une srie de plans de coupe B = Cst. Puis pour chaque plan de coupe nous donnons une
expressIOn analytique de la fonction Hdyn(dB/dt). Nous procdons ensuite une synthse des diffrentes fonctions obtenues afin d'obtenir une formulation unique pour toute la surface. Les
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courbes obtenues par projection dans les plans de coupe B = Cst sont donnes pour quelques valeurs de B sur la Figure 2-18.
4000
3000
2000
-E
x '
B = 1.3 Tl x l f
-
Modlisation des matriaux magntiques
2000
1500
1000
$ 500 I
0
-500
-1000 -15000
pa",Le, de liaJe ;--:---/ / 1 Il
-X2 ,
1 ,
, , , , , ,
! ,~ V pente: bJ--/
.Jo '
-10000 -5000
pente: a+ 1 -X1 VI X : X1 : pente: aO
o dB/dt (T/s)
5000
A v---pente: b+ :
, ,
! X2
10000 15000
Figure 2-19 - Fonction utilise pour reprsenter la surface H dYII
44
Les paramtres a+, aO, b+ et bO une fois identifis sont reprsents par des croix sur la Figure
2-20. L'volution de ces quatre paramtres tant linaire nous pouvons, en introduisant le signe de
dB/dt, les approcher par des fonctions simples dcrites dans l'quation [2-12] et reprsentes en trait continu sur la Figure 2-20. Dans cette quation, a+ et aO sont reprsents par la mme fonction a et b+
et bO par la mme fonction b.
0.6
0.5
0.4 .Q -Q) 0.3
Q) 0.2 Q) c..
0.1
o
-0.1
~ ~ a+ ...-l ~ ~ ~~ ~ ~ ~
K ,.-K ~ ~ ~ b+ ~ ~ ~ _v
~ _v
~ bO aO_
o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2
B (T) 1- ?(- Mesure --Estime
Figure 2-20 - Pentes des portions de droite
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-
Modlisation des matriaux magntiques
a(B) = Co + Cl' B sign{dB) dt
b(B) = Do + Dl . B sign(dB) dt
45
[2-12]
La combinaison de la description dans les plans de coupe et la dfinition des fonctions a et b
permettent de reprsenter la surface Hdyn par une fonction dfinie dans l'quation [2-13]. Si IdB/dtlX2 :
H (B dB) =b(B). dB + (XI+x2) (a(B)-b(B)) .si n(dB) d.l'll ' dt dt 2 g dt
Avec l'quation [2-13] nous disposons prsent d'une description analytique de la surface Hdyn dfinie sans limite d'induction ou de vitesse de variation d'induction.
2.3.3 Modle complet
Pour le modle complet, on utilise simplement la superposition des deux parties que nous
venons de dcrire. Ainsi, partir de la connaissance de la fonction B(t), on calcule numriquement sa drive, puis on value pour chaque pas de temps la contribution statique et la contribution
dynamique [2-14]. dB dB
H(B,-) = H ,tat (B) + H d\'11 (B,-) dt ' . dt [2-14]
2.4 Les performances du modle
Dans un premier temps, nous dtaillons les modifications qui ont t apportes au banc de
mesure Epstein pour pouvoir raliser la comparaison entre modle et mesure, puis ensuite nous
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Modlisation des matriaux magntiques 46
dtaillons les rsultats pour des sries de signaux caractristiques. A la fois sur la comparaison de
cycle et d'estimation de pertes.
2.4.1 Modification de l'instrumentation
Nous avons modifi le banc de mesure afin d'tre capables d'injecter et de mesurer des formes d'onde de B avec une composante continue. Pour cela on utilise deux enroulements primaires:
Un dans lequel on injecte et on asservit un courant constant, afin d'imposer un champ d'excitation continu et constant.
Un dans lequel on injecte un courant variable, asservi afin d'imposer une forme d'onde dfinie autour d'un point de polarisation.
La difficult consiste en la mesure de l'induction du point de polarisation, la mesure du champ
d'excitation tant facile puisque l'on asservit le courant dans le premier enroulement primaire. Cette
difficult vient du fait que le niveau de polarisation varie en fonction du signal que l'on asservit au
secondaire du cadre. En effet la fonction! qui transforme H en B est non linaire, donc la moyenne de
!(H) est diffrente de f(moyenne de H). Cela ncessite donc de mesurer la valeur moyenne de B pour chaque signal impos au secondaire. Pour cela on ralise un montage qui permet de commuter le
courant constant du premier enroulement de +le -le et ainsi de mesurer la diffrence de flux entre les deux tats et d'en dduire la valeur de la composante continue de l'induction.
Nous disposons, prsent, pour effectuer les comparaisons d'un cadre Epstein asserVi qui
permet de reproduire sur l'chantillon n'importe quelle forme d'onde de l'induction et de dterminer
prcisment son comportement magntique.
2.4.2 Les performances en terme de modle
Afin d'valuer rellement les performances du modle dynamique que nous venons de proposer,
nous utilisons une srie de formes