1b clase mecanica cuerpo rigido (1)
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Facultad de Ingeniera
Geolgica, Minera y
Metalrgica
4TA. SEMANA
Centro de gravedad.
Centro de masa, gravedad y centroides;
teoremas de Pappus y Guldinus.
Centros de gravedad de arcos, reas y
volmenes.
2da prctica calificada
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INTRODUCCIN
En muchos casos, las cargas no estn concentradas
en un punto sino que estn distribuidas a lo largo de
una lnea o sobre una superficie. Son cargas cuya
distribucin puede ser uniforme o no. La fuerza
distribuida est caracterizada por su intensidad y por
su direccin y sentido.
Cuando las zonas a las que se aplican las cargas
son considerables frente al tamao del cuerpo, ya no
es vlida la hiptesis de fuerza concentrada.
Otras fuerzas llamadas msicas, debidas a efectos
gravitatorios, elctricos o magnticos, se distribuyen
por toda la masa del cuerpo (se miden en N/m3).
La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida
normalmente a sta se denomina presin y se mide
en N/m2.
La fuerza distribuida sobre una lnea ejercida
normalmente a sta se mide en N/m.
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En el anlisis de muchos problemas de ingeniera aparecen expresiones que
representan momentos de masas, fuerzas, volmenes, superficies o lneas
respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el
plano xy) respecto al eje y.
A
iiy
n
i
iiy dAxModAxM1
La superficie puede considerarse por un gran nmero
de elementos de superficie muy pequeos de rea
dA, siendo el momento del elemento respecto al eje:
Y el momento total de la superficie A respecto del eje
y ser:
iii dAxdM
El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o lnea respecto a un eje o a
un plano puede definirse de manera anloga recibiendo el nombre de primer
momento de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo
o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.
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CENTRO DE MASA (CDM)
Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo fsico en donde
podra concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa
concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento
respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.
Centro de masa y centro de gravedad
Si consideramos un sistema de n puntos
materiales, las distancias a los planos de
coordenadas del CDM G del sistema de puntos
materiales son:
n
i
ii
n
i
iixy
n
i
ii
n
i
iizx
n
i
ii
n
i
iiyz
zmm
zseaozmzmM
ymm
yseaoymymM
xmm
xseaoxmxmM
11
11
11
1
1
1
Donde:
n
i
imm1
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Las ecuaciones anteriores se resumen en una ecuacin vectorial nica as:
kjikji
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii zmymxmzmymxm111
de donde
n
i
iiii zyxmzyxm1
)()( kjikji
que se reduce a
n
i
ii
n
i
iiO mm
seaomm11
1rrrrM
ya que el vector de posicin del punto i-simo respecto al origen es
kjir iiii zyx
y el vector de posicin del CDM respecto al origen es
kjir zyx
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Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por
integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.
dmzm
zseaodmzzmM
dmym
yseaodmyymM
dmxm
xseaodmxxmM
xy
zx
yz
1
1
1Donde:
dmm
Vectorialmente:
Vm
Vm
dVm
dmm
dVdmm
rrr
rrr
11
donde r es el vector de posicin del elemento dm del cuerpo respecto al
origen, es la densidad del elemento y dV es su volumen
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CENTRO DE GRAVEDAD (CDG)
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra
ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.
El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el CDG del cuerpo.
El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo
depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro
de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan
la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las
rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales
concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos
hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:
Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo
del CDM tendremos:
dWzW
zseaodWzzWM
dWyW
yseaodWyyWM
dWxW
xseaodWxxWM
xy
zx
yz
1
1
1 Donde:
dWW
gmW
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Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podr determinarse
considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada
uno de los cuales tenga un peso dW dado as: dVdW
donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:
V
dVW
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso
W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un
elemento ser )( dVxdWxdM y
Por definicin de CDG: )( VVy dVxdVxWxM
as pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser:
V
V
dV
dVxx
)(
y anlogamente:
V
V
V
V
dV
dVzz
dV
dVyy
)(y
)(
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PROBLEMA
Para cada caso, calcular el centro
de masa respecto al eje z y punto
O, asuma valores
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Centroides de volmenes, superficies y lneas
CENTROIDES DE VOLUMENES
Cuando sea constante el peso especfico de un cuerpo tendremos que:
Estas coordenadas (centroide) solo dependen de la configuracin geomtrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades fsicas.
El centroide de un volumen coincide en posicin con el CDG G del cuerpo si este es homogneo. Cuando el peso especfico vara de unos puntos a
otros, el CDG G del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.
VVV
dVzV
zdVyV
ydVxV
x111
Ejemplo: En el caso de la figura, como el
peso especfico de la parte inferior del
cono es mayor que el de la parte superior,
el CDG, que depende del peso de las dos
partes, se hallar por debajo del centroide
C que solo depende del volumen de
dichas partes.
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CENTROIDES DE SUPERFICIES
El CDG G de una placa delgada, homognea, de espesor t uniforme y
superficie de rea A, se puede determinar considerando un elemento
infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un elemento
infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA.
As pues, en el caso de una placa delgada tendramos:
AAA
dAzA
zdAyA
ydAxA
x111
CENTROIDES DE LINEAS
El CDG G de un alambre curvo, homogneo, de pequea seccin recta de
rea A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento
infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un
elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL.
As pues, para una varilla o alambre finos tendramos:
LLL
dLzL
zdLyL
ydLxL
x111
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Centroides de cuerpos compuestos
Si puede dividirse una lnea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos
centroides tengas posiciones conocidas, se podr determinar sin integracin el
momento de la lnea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los
primeros momentos (producto de la longitud, rea o volumen por la distancia del
centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la lnea, superficie o
volumen.
Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, , An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos: nxxx ...,,, 21
n
i
iix
n
i
iix
n
i
ii
yn
i
iiy
nnny
yAAA
MyyAyAM
xAAA
MxxAxAM
xAxAxAxAAAM
11
11
221121
1seao
teanlogamen
1seao
...)...(Si se considera un agujero
como parte integrante de un
cuerpo compuesto, su rea
se considerar magnitud
negativa.
Se pueden desarrollar
ecuaciones anlogas para L,
V, m y W.
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- 13 -
Centroides en algunas lneas y superficies
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- 14 -
Centroides en lneas y superficies
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Centroides de algunos volmenes
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Centroides de algunos volmenes
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Calcular el centro de masa del
alambre de seccin transversal
constante con respecto a cada
eje
PROBLEMA
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PROBLEMA
Calcular el centro de masa de la superficie
sombreada, respecto al eje x e y
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Teoremas de Pappus y Guldin
Teorema 1: El rea de la superficie de
revolucin generada al girar una curva
plana de longitud L alrededor de un
eje coplanario con ella y que no la
corte es igual al producto de la
longitud de la curva por la longitud del
camino que recorre su centroide.
Teorema 2: El volumen V del slido
de revolucin generado al hacer
girar una superficie plana de rea A
alrededor de un eje coplanario que
no la corte es igual al producto del
rea de dicha superficie por la
longitud del camino que recorre el
centroide de la superficie.
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Problema: calcular el centro de gravedad
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5TA. SEMANA
Momentos de inercia plano y de masas.
Momentos de inercia, productos de
inercia, momento polar de inercias; radios
de giro. Teorema de ejes paralelos
teorema de Steiner. Teorema de ejes
rotados. Ejes y momentos principales de
inercia.
Seminario
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Introduccin
En el anlisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y rboles (ejes que
trabajan a torsin) se encuentran frecuentemente expresiones:
A
dAx2
Donde dA es un elemento de superficie, y x la distancia de este elemento a un
cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a l.
Son siempre positivos y sus dimensiones sern L4 (unidades: mm4 o cm4).
En el anlisis del movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, aparecen
expresiones de la forma
segundo momento de la superficie
m
dmr 2
Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a
un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones sern ML2 (unidades: kg.m2).
Momento de inercia (de masa);
propiedad de los cuerpos para
resistirse a rotar.
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Segundo momento de una superficie plana
El segundo momento de una superficie respecto a un eje (indicado con
subndices) se representar por el smbolo I cuando el eje est en el plano de
la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.
Los segundos momentos rectangulares de
la superficie A respecto a los ejes x e y del
plano de la superficie son:
dAxIedAyIA
y
A
x 22
Anlogamente, el segundo momento polar
de la superficie A respecto al eje z, que es
perpendicular al plano de la superficie en el
origen O del sistema de coordenadas xy, es
yxAAAA
z IIdAydAxdAyxdArJ 22222
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Teorema de Steiner para segundos momentos de superficie
Cuando se haya determinado el segundo momento de una superficie respecto
a un eje dado, se podr obtener el correspondiente a un eje paralelo a ste
aplicando el Teorema de Steiner. Demostracin:
Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la
superficie, el segundo momento de superficie
respecto a un eje x paralelo a l es
AAAA
x dAydAyydAydAyyI2
22
2
el segundo trmino es nulo ya que se trata del
momento primero de superficie respecto al eje x
que pasa por el centroide de la superficie:
AyII xCx2
donde IxC es el segundo momento de la superficie
respecto al eje x que pasa por el centroide; y es la
separacin de los ejes x y x.
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Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:
El segundo momento de una superficie respecto a un eje cualquiera
contenido en el plano de la superficie es igual al segundo momento de
la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la
superficie ms el producto del rea de sta por el cuadrado de la
separacin de los ejes.
Este teorema solo es vlido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal,
o al revs, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a l.
anlogamente, se puede demostrar que
AdJAyxJJ zCzCz 222
donde JzC es el segundo momento polar de la superficie respecto al eje z
que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z.
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Radio de giro de una superficie
El segundo momento de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta
potencia de una longitud) se podr expresar como producto del rea A de la
superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues,
A
Jk
A
Ik
A
Ik
kAdArJkAdAxIkAdAyI
zz
y
yx
x
A
zz
A
yy
A
xx
222222
Y como 222
yxzyxz kkkIIJ
Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de
superficie, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro de la
superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el
centroide de la superficie.
222222222222 dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx
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Segundos momentos de superficies compuestas
Frecuentemente, en la prctica, la superficie A es irregular pero se puede
descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, , An para las cuales las integrales ya estn calculadas y tabuladas.
As, el segundo momento de la superficie compuesta, respecto a un eje es
igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las
distintas partes.
Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de
ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:
dArJdAxIdAyIA
z
A
y
A
x 222
n
n
xxx
AAAA
x IIIdAydAydAydAyI ...... 2121
2222
Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su
segundo momento deber restarse del segundo momento de dicha
superficie mayor para obtener el segundo momento resultante.
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Segundos momentos de superficies planas
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Segundos momentos de superficies planas
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Propiedades de algunas formas de perfiles (Steel Construction)
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Problema, calcular el segundo momento
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Problema, calcular el segundo momento
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Segundos momentos mixtos de superficies
El segundo momento mixto (producto de inercia de
superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a
los ejes x e y es:
dAyxdI xy
As el segundo momento mixto (producto de
inercia de superficie) de la superficie total A
respecto a los ejes x e y ser:
A
xy dAyxI
Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el
segundo momento mixto podr ser positivo, negativo o
nulo.
De hecho, el segundo momento mixto de una superficie
respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera ser nulo
cuando uno de dichos ejes sea eje de simetra.
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El Teorema de Steiner para momentos
segundos mixtos se deducen a partir de
la figura en donde los ejes x e y pasan
por el centroide C de la superficie y son
paralelos, respectivamente a los ejes x e y. As,
AAAA
AA
yx
dAyxdAxydAyxdAyx
dAyyxxdAyxI
Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los
ejes x e y.
En consecuencia, el segundo momento mixto respecto a un par de
ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es
AyxII xyCyx
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Segundos momentos mixtos de superficies planas
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Segundos momentos mixtos de superficies planas
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El segundo momento de la superficie A de la figura
respecto al eje x que pasa por O variar con el ngulo . Los ejes x e y utilizados para obtener el segundo
momento polar Jz respecto a un eje z que pase por
O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del
plano de la superficie que pasaran por O; por
tanto,
yxyxz IIIIJ
Donde xe yson dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix e Iy es constante, Ix ser mximo y el correspondiente Iy mnimo
para un valor particular de . El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son mximo y mnimo
se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa
por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al
estudiar vigas y columnas). As los momentos segundos principales as
obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.
Segundos momentos principales
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6TA. SEMANA
Momentos de inercia plano y de masas.
Crculo de Mohr. Momento de inercia de
masas.
3ra practica calificada
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CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:
Anlogamente, obtenemos:
Finalmente, deducimos:
CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
vuyxz IIIIJ
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De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:
))2
(( 22 xyyx
PR
CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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Mtodo para graficar el crculo de Mohr
A continuacin describiremos un procedimiento para graficar el crculo de
Mohr para un elemento diferencial.
Su tomarn la siguiente convenciones:
Los segundos momentos se representarn en la abscisa y los productos de inercia en la ordenada.
Los segundos momentos (positivos) se ubicarn en la parte derecha de la abscisa.
Los productos de inercia se tomarn como positivos si en su plano de accin hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj y
se ubicarn en la parte superior de las ordenadas.
CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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Los pasos a seguir son:
1. Graficar los puntos (Ix, Pxy) y (Iy,
Pyx), que indican los esfuerzos que
actan sobre los planos x e y
respectivamente.
2. Trazar una lnea que una los puntos
(Ix, Pxy) y (Iy, Pyx) y definir la
direccin x, como se muestra.
Observe que la lnea trazada corta
el eje de las abscisas en el valor
Imed.
3. Con centro en el punto (Imed, 0),
trazar una circunferencia que pase
por los puntos (Ix, Pxy) y (Iy, Pyx).
Nota: Si Pxy hace girar al elemento en
sentido antihorario es positivo y
negativo en sentido contrario.
CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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En los anlisis del movimiento de un cuerpo rgido, aparecen a
menudo expresiones en las que interviene el producto de la
masa de un pequeo elemento por el cuadrado de su distancia
a una recta de inters. Este producto recibe el nombre de
momento de inercia del elemento.
As pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa
dm respecto al eje OO es,
dmrdI 2
El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es,
m
dmrI 2
Siempre ser positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su
distancia al eje son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su
unidad de medida del SI ser el kg.m2
Momentos de inercia
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Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un
sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el
de la figura, as:
dmyxdmrI
dmzxdmrI
dmzydmrI
mm
zz
mm
yy
mm
xx
222
222
222
dmzydmrdI xx 222 Para los ejes y y z se pueden escribir
ecuaciones anlogas con lo que nos
quedara:
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El momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de
una longitud) se podr expresar como producto de la masa m del cuerpo por
el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues, el momento
de inercia I de un cuerpo respecto a una recta dad se puede expresar en la
forma
m
IkmkI seao2
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede
interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habra que
concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia
respecto al eje que la masa real.
No existe ninguna interpretacin fsica til del radio de giro; no es ms que
un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un
cuerpo en funcin de su masa y una longitud.
Radio de giro
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Metalrgica
Considrese el cuerpo representado en
la figura, en cuyo centro de masa G se
toma el origen del sistema de
coordenadas xyz y considrese
tambin un sistema de coordenadas
xyz de origen en el punto Oy ejes paralelos a los anteriores. En la figura
se observa que
zzzyyyxxx
La distancia dx que separa los ejes xy x es 22 zydx
As pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es,
m
xx dmrI2
desarrollando
Teorema de Steiner para momentos de inercia
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dmzzyydmrImm
xx
222
y como los ejes y y z pasan por el centro de masa G del cuerpo,
00 mm
dmzdmy
mmmmm
zdmzdmzydmydmydmzy 22 2222
Por tanto,
mdImyxII
mdImzxII
mdImzyII
zzGzGz
yyGyGy
xxGxGx
222
222
222
Ahora bien, como xG
m
Idmzy 22
Teorema de Steiner
para
momentos de inercia
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As pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje
que pase por su centro de masa, se podr hallar el momento de inercia
respecto a otro eje cualquiera paralelo a l, sin necesidad de integracin,
utilizando las ecuaciones anteriores.
Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relacin
similar dada por
mdmkmk xxGx222
luego
222
222
222
zzGz
yyGy
xxGx
dkk
dkk
dkk
Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados slo son vlidos para pasar de
ejes xyz que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al
revs.
No son vlidos para ejes paralelos arbitrarios!
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Muchas veces el cuerpo de inters puede descomponerse en varias formas
simples tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han
calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. Ver tablas
siguientes.
El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es
igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo
componen respecto a dicho eje.
Por ejemplo,
n
n
xxx
mmm
mm
xx
III
dmzydmzydmzy
dmzydmrI
...
...
21
21
222222
222
Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de
inercia deber restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener
el momento de inercia del cuerpo compuesto.
Momentos de inercia de cuerpos compuestos
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Momentos de inercia de formas corrientes
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Momentos de inercia de formas corrientes
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Momentos de inercia de formas corrientes
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Problema
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En los estudios de movimientos de cuerpos rgidos aparecen, a veces,
expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeo
elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas
ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento.
dmyxdIxy
Por ejemplo, el producto de inercia del
elemento representado en la figura respecto
a los planos xz e yz es
La suma de los productos de inercia de
todos los elementos de masa del
cuerpo respecto a los mismos planos
ortogonales se define como el producto
de inercia del cuerpo.
m
xy dmyxI
Productos de inercia
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Los tres productos de inercia del cuerpo representado son
m
zx
m
yz
m
xy dmxzIdmzyIdmyxI
Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las
dimensiones ML2 por lo que su unidad de medida del SI ser el kg.m2
El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que
las coordenadas tiene signos independientes.
El producto de inercia ser nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano
de simetra, ya que los pares de elementos simtricos respecto a ste tendrn
productos de inercia opuestos cuya suma dar cero.
Los productos de inercia de placas delgadas con densidad uniforme, con grosor t uniforme y una seccin de rea A y suponiendo adems que los ejes x
e y estn contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetra), sern
00
m
zx
m
yz
xy
VAVm
xy
dmxzIydmzyI
ItdAyxtdAtyxdVyxdmyxI
mm
Am
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Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy
parecido al de los momentos segundos mixtos de superficie vistos
anteriormente.
Considrese el cuerpo representado en la figura, el
cual tiene un sistema de coordenadas xyz con origen
en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de
coordenadas xyz con origen en el punto O y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa
que
zzzyyyxxx
mmmmmm
yx dmyxdmxydmyxdmyxdmyyxxdmyxI Por tanto,
0;0; mm
xyG
m
dmzdmyIdmyxcomo
tenemos que: mxzIImzyIImyxII zxGxzyzGzyxyGyx
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Problema
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En algunos casos, en el anlisis dinmico de cuerpos, hay que determinar ejes
principales y momentos de inercia mximo y mnimo.
El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fcilmente
calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a
otro sistema xyz de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz.
Considrese el cuerpo representado en la figura,
en donde el eje x forma los ngulos xx, xy y xz con los ejes x, y y z respectivamente.
El momento de inercia Ix es, por definicin:
m
x dmrI2
Desarrollando y realizando un anlisis similar al que se realiza para localizar
los ejes principales y determinar los momentos segundos de superficie
mximo y mnimo, se pueden localizar los ejes principales de inercia y
determinar los momentos de inercia mximo y mnimo.
Momentos de inercia principales
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7MA. SEMANA
Armaduras y marcos.
Armaduras planas.
Mtodo de los nudos y secciones. Marcos.
Seminario y 4ta prctica calificada
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La determinacin de las reacciones en los apoyos vista en el tema anterior slo es el primer paso del anlisis de las estructuras y mquinas.
En este tema utilizaremos las ecuaciones de equilibrio (EQ) para determinar las fuerzas en los nudos de estructuras compuestas de miembros conectados
por pasador.
Este paso es necesario para elegir las sujeciones (tipo, tamao, material, etc.) que se utilicen para mantener unida la estructura.
La determinacin de las fuerzas interiores (Resistencia de materiales) es necesaria para proyectar los miembros que constituyan la estructura.
Las fuerzas en los nudos siempre son, dos a dos, de igual mdulo y recta soporte, pero opuestas. Si no se separan del resto de la estructura por medio
de un DSL, no habr que considerar estas parejas de fuerzas al escribir las
EQ. Por tanto, para poder determinarlas habr que dividir la estructura en dos
o ms partes. As, las fuerzas de los nudos se convertirn, en los puntos de
separacin, en fuerzas exteriores en cada DSL y entrarn en las EQ. La
aplicacin de estas EQ a las distintas partes de una estructura permitir
determinar todas las fuerzas que actan en las conexiones.
Introduccin
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1.- Armaduras, estructuras compuestas totalmente por
miembros de dos fuerzas. Las armaduras constan
generalmente de subelementos triangulares y estn
apoyadas de manera que se impida todo movimiento. Su
estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un
peso estructural relativamente pequeo.
Ejemplo: Puente de la figura
2.- Entramados, estructuras que siempre contienen al
menos un miembro sobre el que se ejercen fuerzas
entres o ms puntos. Los entramados tambin se
construyen y apoyan de manera que se impida su
movimiento.
Las estructuras tipo entramado que no estn totalmente
inmovilizadas reciben el nombre de mquinas o
mecanismos.
Ejemplo: Mesa de la figura
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La Armadura es una estructura compuesta por miembros usualmente rectos
unidos por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unin
(nudos). La estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces,
una resistencia mayor que la que proporcionaran muchos tipos de estructura
ms recios.
Las Armadura planas estn contenidas en un
solo plano y todas las cargas aplicadas deben
estar contenidas en l. Ejemplo: Se utilizan a
menudo por parejas para sostener puentes. Las
cargas sobre el piso son transmitidas a los
nudos ABCD por la estructura del piso.
Las Armadura espaciales son estructuras que
no estn contenidas en un solo plano y/o estn
cargadas fuera del plano de la estructura.
Ejemplos: Grandes antenas, molinos de viento,
etc.
Armaduras planas
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1.- Los miembros de las armaduras estn unidos solo
por sus extremos. Aunque en la realidad haya
miembros que cubran varios nudos.
2.- Los miembros de la armadura estn conectados
por pasadores exentos de rozamiento por lo que no
hay momentos aplicados a los extremos de los
miembros.
3.- La armadura slo est cargada en los nudos. Los
miembros suelen ser largos y esbeltos por lo que no
pueden soportar momentos o cargas laterales fuertes.
4.- Se pueden despreciar los pesos de los miembros.
En la prctica, es corriente suponer que la mitad del
peso de cada miembro se ejerce sobre cada uno de
los dos nudos que lo conectan.
En el anlisis de armaduras se formulan
cuatro hiptesis fundamentales:
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El resultado de estas cuatro hiptesis es que todos los
miembros de la estructura idealizada son miembros de
dos fuerzas. (figura).
Tales estructuras son mucho ms fciles de analizar que
otras ms generales con igual nmero de miembros.
El error resultante suele ser suficientemente pequeo
para justificar las hiptesis.
En su forma ms sencilla, una
armadura consiste en un conjunto
de miembros de dos fuerzas unidos
por pasadores exentos de
rozamiento (figura).
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Cuando un nudo ejerce una fuerza que tira del extremo de un miembro, ste
ejerce una reaccin que tambin tira del nudo. (Principio de accin y
reaccin).
Las fuerzas que tiran del extremo de un miembro se denominan fuerzas de traccin o de tensin y tienden a alargar el miembro.
Las fuerzas que aprietan el extremo del miembro se denominan fuerzas de compresin y tienden a acortarlo.
Los miembros largos y esbeltos que constituyen una armadura son muy
resistentes a la traccin pero tienden a sufrir flexin o pandeo cuando se
someten a cargas compresivas fuertes, por lo que en estos casos debern
ser ms gruesos o debern riostrarse.
Uno de los extremos de una armadura de puente grande
se suele dejar flotar sobre un apoyo de zapata o de rodillo.
Aparte del requisito matemtico (problema equilibrio
Plano: 3 reacciones de apoyo) va a permitir la dilatacin
o contraccin por causas trmicas.
En el caso de los miembros de dos fuerzas, las fuerzas estn dirigidas
segn la recta que une sus puntos de aplicacin.
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Para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se le apliquen,
las armaduras han de ser estructuras rgidas. El elemento constitutivo
bsico de toda armadura es el tringulo ya que es la estructura rgida ms
sencilla.
A menudo se dice que una armadura es
rgida si conserva su forma al sacarla de sus
apoyos o cuando uno de sus apoyos puede
deslizar libremente. Ejemplo:
Por otro lado, la armadura de la 2 figura se
dice que es una armadura compuesta y la
falta de rigidez interna se compensa mediante
una reaccin de apoyo exterior ms. Ejemplo:
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El elemento constitutivo bsico de toda armadura es el tringulo. Las
armaduras grandes se construyen uniendo varios tringulos.
Armaduras simples: Estas se disean a partir de un
elemento triangular bsico (tringulo ABC), luego se
aaden, uno a uno, elementos triangulares
adicionales uniendo un nuevo nudo (D) a la armadura
y utilizando dos nuevos miembros (BD y CD) y as
sucesivamente.
Las armaduras de la pgina anterior no son simples.
La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementos
triangulares, siempre ser rgida. Como cada nuevo nudo trae con l dos
nuevos miembros, se cumple que en una armadura simple plana:
32 nm Siendo m el n de miembros y n el n de nudos.
Segn el mtodo de los nudos, sta es exactamente la condicin
necesaria para garantizar la resolubilidad de la armadura simple plana,
aunque no es vlida para otro tipo de armaduras.
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Consiste en desmontar la armadura dibujando por separado el DSL de cada
miembro y cada pasador y aplicarles las condiciones de equilibrio.
Mtodo de los nudos
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Los DSL de los miembros de la armadura solo tienen fuerzas axiales
aplicadas en sus extremos en virtud de la hiptesis formuladas anteriormente.
El smbolo TBC representa la fuerza incgnita en el miembro BC (TBC = TCB).
Al conocer las rectas soporte de los miembros solo faltara determinar el
mdulo y sentido de las fuerzas en los mismos.
El sentido de la fuerza se tomar del signo de TBC.
Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembro se denominan fuerzas de
traccin o de tensin y tienden a estirar el miembro.
Las fuerzas que apuntan hacia el miembro se denominan fuerzas de
compresin y tienden a comprimirlo.
Aun cuando algunos intentan prever el sentido de las fuerzas, no es necesario
hacerlo, por lo que dibujaremos los DSL como si todos los miembros estuvieran
sometidos a traccin. As, el valor negativo de una fuerza indicar que el
miembro est sometido a compresin.
Consideraciones generales del mtodo de los nudos
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De acuerdo con el principio de accin y reaccin, la fuerza que un pasador
ejerce sobre un miembro es igual y opuesta a la que el miembro ejerce
sobre el pasador.
El anlisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de los nudos
ya que el equilibrio de los miembros no aporta ms informacin que la
igualdad de fuerzas en los extremos.
Como en cada nudo actan fuerzas concurrentes coplanarias, el equilibrio
de momentos no dar informacin til con lo que solo se analiza el equilibrio
de fuerzas. Para cada nudo R = 0 dar lugar a 2 ecuaciones escalares
independientes:
Una armadura plana con n pasadores dar un total de 2n ecuaciones
escalares independientes con las que calcularemos las m fuerzas en los
miembros y las 3 reacciones en los apoyos de una armadura simple.
00 yx FyF
Consideraciones generales del mtodo de los nudos
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Si existe un nudo con solo dos fuerzas incgnitas, las dos ecuaciones para
este nudo se pueden resolver independientemente del resto de ecuaciones.
Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo primero las EQ de
la armadura en su conjunto.
Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro hasta que se
conozcan todas las fuerzas.
Una vez determinadas todas las fuerzas, deber hacerse un resumen de
todas las fuerzas de los miembros indicando en cada una si es de traccin o
d compresin.
Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar las
reacciones en los apoyos y ayudar a iniciar el mtodo de los nudos,
entonces tres de las 2n EQ de los nudos sern superabundantes y se
podrn utilizar para comprobar la solucin.
Si no es as, es el equilibrio global el que puede utilizarse para comprobar
la solucin.
Consideraciones generales del mtodo de los nudos
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Problema
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Problema
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Problema
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1 Cuando slo dos miembros no colineales forman un nudo y a ste no hay
aplicada ni carga exterior ni reaccin de apoyo, los miembros sern de fuerza nula.
Ejemplo:
En este caso se podran suprimir
los dos miembros BC y CD, sin
que viera afectada la solucin e
incluso la estabilidad de la
armadura.
Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no soportan
carga. Esto suele deberse a una de las dos causas generales.
Miembros de fuerza nula
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2 Cuando tres miembros forman un nudo en el cual dos de los miembros sean
colineales y el tercero forme ngulo con ellos, el miembro no colineal lo ser de
fuerza nula si al nudo no hay aplicada fuerza exterior ni reaccin de apoyo. Los
dos miembros colineales soportan cargas iguales.
Ejemplo:
En este caso estos miembros de fuerza nula no pueden suprimirse, sin ms,
de la armadura y descartarlos. Son necesarios para garantizar la estabilidad
de la armadura, tal y como se indica a continuacin.
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Si se suprimieran los miembros de fuerza nula AD y BD, nada impedira que
una pequea perturbacin desplazara ligeramente el pasador D y destruyera
el alineamiento de los miembros.
La armadura ya no estara esttico, el pasador D seguira movindose hacia
afuera y la armadura se derrumbara.
As pues, no hay que apresurarse a descartar miembros de una armadura
slo por que no soporten carga para una cierta configuracin. Tales miembros
son a menudo necesarios para soportar parte de la carga cuando la carga
aplicada vare y casi siempre son necesarios para garantizar la estabilidad de
la armadura.
DECDy
DECDx
TTF
TTF
0
0
Pero el equilibrio del pasador C
exige que TCD no sea nula. Con
lo que:
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Problema
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Mtodo de las secciones
La armadura se divide solo en dos pedazos.
Como la armadura entera est en equilibrio cada uno
de los pedazos es tambin un cuerpo en equilibrio.
Ejemplo: La armadura de la figura se puede dividir en
dos partes haciendo pasar una seccin imaginaria aa
que corte a alguno de sus miembros.
La seccin deber cortar la armadura de manera que
se puedan dibujar DSL completos para cada uno de
los pedazos.
En cada uno hay que incluir la fuerza que sobre cada
miembro cortado ejerce la otra parte del miembro que
ha quedado fuera.
As pues, para hallar la TCF, la seccin deber cortar
ese miembro. Para cada cuerpo rgido podrn
escribirse 3 EQ independientes. En total 6 ecuaciones
para despejar 6 incgnitas (las fuerzas en los tres
miembros cortados y las 3 reacciones en los apoyos).
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Podremos simplificar la resolucin de las ecuaciones si se determinan las
reacciones de los apoyos a partir del equilibrio de toda la armadura antes de ser
seccionada.
Si una seccin cortara cuatro o ms miembros cuyas fuerzas no se
conocieran, el mtodo de las secciones no generara bastantes EQ para
despejar todas las fuerzas incgnitas.
En ocasiones, no puede encontrarse una seccin que corte no ms de 3
miembros y pase a travs de un miembro de inters dado. En tal caso, podr
ser necesario dibujar una seccin que atraviese un miembro prximo y despejar
primero las fuerzas en l y posteriormente aplicar el mtodo de los nudos a un
nudo prximo o el de la secciones a una seccin que contenga el miembro de
inters (problema ejemplo 1).
Ventajas:
Suele poderse determinar la fuerza en un miembro cercano al centro de una armadura grande sin haber obtenido primero las fuerzas en el resto de
la armadura con lo que la posibilidad de error se reduce de manera
importante.
Puede servir de comprobacin cuando se utilice el mtodo de los nudos o un programa de ordenador para resolver una armadura.
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PROBLEMA EJEMPLO 1
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PROBLEMA
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PROBLEMA
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Considerando un corte transversal en la
seccin aa del miembro recto de la figura,
sobre la superficie de corte habr una
distribucin compleja de fuerzas que podra
sustituirse por una fuerza y un par
equivalentes.
Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen que
sea nula la componente cortante V, que sea
nula la componente M del momento y que la
componente axial P del sistema equivalente
fuerza-par sea de igual mdulo y direccin
pero de sentido opuesto a T.
Es decir, si las fuerzas en los extremos de un
miembro recto de dos fuerzas tiran del
miembro, las fuerzas que se ejerzan sobre
cualquier seccin del miembro representarn
tambin una fuerza axial que tire de dicha
seccin.
Fuerzas en miembros de dos fuerzas rectos y curvos
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Si el miembro de dos fuerzas es curvo, las fuerzas en sus
extremos actuarn segn la recta que une los puntos de
aplicacin de las fuerzas.
Si se corta el miembro transversalmente en la seccin aa, se
tendr una distribucin compleja de fuerzas sobre la seccin
que podra sustituirse por un sistema fuerza-par equivalente.
Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen ahora que la resultante
R de las componentes axial P y cortante V del sistema fuerza-
par equivalente sea de igual mdulo y direccin pero de
sentido opuesto a T. Como las fuerzas R y T no son
colineales, el equilibrio de momentos exige ahora que
Por tanto, el diseo de miembros rectos de dos fuerzas slo
precisa considerar fuerzas axiales, mientras que los
miembros curvos de dos fuerzas deben disearse para resistir
fuerzas cortantes V y momentos flectores M, as como fuerzas
axiales P. Complica ms an el problema el hecho de que los
valores de V, M y P dependen de donde se corte el miembro.
0. dTM
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PROBLEMA
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Armaduras espaciales
Son armaduras cuyos nudos no se encuentren todos en un
plano y/o cuyos apoyos y cargas no sean coplanarios.
El equivalente tridimensional del tringulo es el tetraedro.
Una armadura espacial simple se forma aadiendo
unidades tetradricas a la armadura con lo que son siempre
rgidas.
Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos
miembros, la relacin entre los n nudos y los m miembros
vendr dado por: m = 3n 6. Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizar
utilizando el mtodo de los nudos o el de las secciones:
Mtodo de los nudos: al aplicar las EQ en cada nudo obtendremos 3n ecuaciones para calcular las m fuerzas en
los miembros y las 6 reacciones de apoyos.
Mtodo de las secciones: la aplicacin de las EQ a las dos secciones darn 12 EQ (6 c.u.) suficientes para determinar
las 6 reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas
(suele ser difcil hacer pasar una seccin que no corte a ms
de 6 miembros).
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PROBLEMA
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PROBLEMA
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Entramados y mquinas
Aun cuando los entramados y las mquinas pueden contener tambin uno o
ms miembros de dos fuerzas, contienen al menos un miembro sobre el
que se ejercen fuerzas en ms de dos puntos o sobre el cual acten fuerzas
y momentos.
Los entramados a su vez son estructuras rgidas mientras que las mquinas
no lo son. Ejemplos:
Mquina Entramado
Esta estructura no
es rgida en el
sentido de que
depende de sus
apoyos para
mantener su forma.
La falta de rigidez
se compensa con
una reaccin ms
de los apoyos.
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En la mquinas el equilibrio global no es suficiente para determinar las 4
reacciones en los apoyos. La estructura debe desmenbrarse y analizarse aun
cuando lo nico que se pida sean las reacciones en los apoyos.
Mas concretamente, el trmino mquina suele utilizarse para describir objetos
que se utilicen para amplificar el efecto de las fuerzas (tenazas, pinzas,
cascanueces, etc.) En cada caso, se aplica al mango del dispositivo una fuerza
de entrada y este elemento aplica una fuerza de salida mucho mayor a donde
sea. Deben desmenbrarse y analizarse aun cuando lo nico que se pida sea la
relacin entre las fuerza aplicada y de salida.
El mtodo de resolucin de entramados y mquinas consiste en desmembrar las
estructuras, dibujar el DSL de cada componente y escribir las EQ para cada
DSL.
En el caso de armaduras, al conocerse la direccin de la fuerza en todos los
miembros, el mtodo de los nudos se reduca a resolver problemas de equilibrio
del punto. Si embargo, como algunos miembros de los entramados y mquinas
no son miembros de dos fuerzas, no se conocen las direcciones de las fuerzas
en dichos miembros con lo que su anlisis consistir en resolver el equilibrio de
un sistema de cuerpos rgidos.
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Entramados
El la figura tenemos una mesa en la que ninguno de
sus miembros lo es de dos fuerzas. Adems, aun
cuando pueda doblarse la mesa desenganchando el
tablero de las patas, en su utilizacin normal la mesa
es una estructura rgida estable y por tanto un
entramado.
1 Anlisis de la estructura completa. Dibujamos su
DSL y escribimos las EQ:
0.3,0.6,0
0
0
WDM
WDAF
AF
yA
yyy
xx
dan las reacciones en los apoyos:
A continuacin, se desmiembra la mesa y se dibujan
por separado los DSL de cada una de sus partes.
220
WD
WAA yyx
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Teniendo en cuenta el principio
de accin y reaccin, al dibujar
los DSL, las fuerzas que un
miembro ejerce sobre otro
debern ser de igual mdulo y
direccin, pero de sentido
opuesto, que las fuerzas que el
segundo miembro ejerce sobre
el primero.
Aun cuando no todos los miembros de un entramado puedan ser
miembros de dos fuerzas, es posible e incluso muy probable, que uno
o varios lo sean. Hay que aprovechar dichos miembros y mostrar que
las fuerzas correspondientes se ejercen en su direccin, que es
conocida. Pero, hay que estar seguros antes de hacer esta
simplificacin. En el anlisis de entramados, al contrario que ocurre con
las armaduras, rara vez resulta til analizar por separado el equilibrio de
los pasadores.
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En la mayora de los casos, no importa a qu miembro est unido un pasador
cuando se desmiembra la estructura.
Sin embargo, existen algunas situaciones particulares en las que s importa:
Cuando un pasador conecta un apoyo y dos o ms miembros, el pasador debe asignarse a uno de los miembros. Las reacciones del apoyo estn aplicadas al
pasador de este miembro.
Cuando un pasador conecta dos o ms miembros y a l est aplicada una carga, el pasador deber asignarse a uno de los miembros. La carga estar aplicada al
pasador de este miembro.
Tambin hay que tener cuidado cuando uno o ms miembros que concurran en un
nudo sea miembro de dos fuerzas, siendo recomendables las dos reglas siguientes:
Los pasadores no deben nunca asignarse a miembros de dos fuerzas. Cuando todos los miembros que concurran en un pasador sean miembros de dos
fuerzas, deber suprimirse y analizarse por separado dicho pasador, como se
hace en el mtodo de los nudos para las armaduras.
Para cada parte tenemos 3 EQ, en total 9 EQ para hallar la 6 fuerzas incgnitas
restantes (Bx, By, Cx, Cy, Ex y Ey). La obtencin previa de las reacciones en los
apoyos a partir del equilibrio global del entramado ha reducido a 3 de estas EQ a
una mera comprobacin.
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Mquinas
El mtodo anterior tambin se utiliza para analizar
mquinas y otras estructuras no rgidas.
Ejemplo: Prensa de ajos de la figura.
Las fuerzas H1 y H2 aplicadas a las empuaduras
(fuerzas de entrada) se convierten en las fuerzas
G1 y G2 (fuerzas de salida) aplicadas al diente de
ajo.
El equilibrio de toda la prensa solo da H1 = H2; No
da informacin acerca de la relacin entre las
fuerzas de entrada y de salida. Para ello, habr que
desmembrar la mquina y dibujar DSL para cada
una de sus partes. Entonces:
La razn de las fuerzas de salida a las de la
entrada se denomina desarrollo mecnico (DM) de
la mquina. En nuestro caso valdra:
Hb
baGbGHbaM B
)(0
b
baDM
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PROBLEMA
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- 100 -
PROBLEMA
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- 101 -
PROBLEMA, otra resolucin
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8VA. SEMANA
EXAMEN PARCIAL