オートマトンと言語1回目 4月13日（水）

http://ir.cs.yamanashi.ac.jp/~ysuzuki/automaton/

オートマトンとは

ロボット

からくり人形

順序機械

コンピュータの数学的モデル

からくり人形から計算機パスカルの計算機（パスカリーヌ）

機械式計算機

四則演算可能．自動桁上がりも可能

パスカルの計算機の仕組み

http://www.wizforest.com/gear/pascal/pascal2.html歯車を組み合わせて足し算引き算を行う

歯車によって桁上がりもおこなう

授業のねらい（KM-F用）

オートマトンの説明を通して，

形式言語，自然言語などの言語理論，

チューリング機械などの計算論

を理解する

2年後期のコンパイラの授業（渡辺先生）の準備オートマトンと言語は無印であるが，コンパイラ，コンパイラ演習は必修

コンパイラとコンパイラ演習は単位を落とす学生が非常に多い

他の授業との関連（KM用）

情報数学基礎

コンパイラ

コンパイラ演習

ハードウェア実験Iヒューマン・マシンインタフェース

授業のねらい（開放科目用）

コンピュータの内部でどんなことが行われているかを理解する．

プログラム言語をコンピュータがどのように解読するかを理解する．

人間の言葉をコンピュータに理解させるにはどうすればいいかを考える．

教科書，参考書教科書形式言語と有限オートマトン入門出版社：コロナ社著者：小倉久和ISBN4-339-02339

参考書計算論への入門出版社：ピアソン・エデュケーション著者：エフィーム・キンバー，カール・スミスISBN4-89471-437-X

オートマトン 言語理解 計算論I出版社：サイエンス社著者：J・ホップクロフト他ISBN4-7819-0374-6

参考書 その２

コンパイラ

著者：湯淺太一

出版社：昭晃堂

ISBN4-7856-2050-1２年後期の「コンパイラ」の授業の教科書

授業の予定

1回目 4月13日 数学的準備

2回目 4月27日 帰納的表現

3回目 5月11日 形式言語

4回目 5月18日 離散グラフ

5回目 5月25日 木グラフ

6回目 6月01日 有限オートマトン17回目 6月08日 有限オートマトン28回目 6月15日 正規表現１

授業の予定

9回目 6月22日 正規表現２

10回目 6月29日 有限オートマトンの最小化

11回目 7月06日 プッシュダウンオートマトン

12回目 7月13日 チューリング機械

13回目 7月20日 形式言語理論

14回目 補講日 文脈自由文法

15回目 7月27日？ 期末試験

評価

A: 毎回行う小テストの点数(50点満点）の平均B: 中間テストの点数(50点満点）C: 期末試験(100点満点）を行う

2CBA ++

評価＝

1回目 4月14日 数学的準備

集合(set)とはある対象が集合に属するか判断できる

集合に属する二つの対象が同一かどうか判断できる

という性質を持つ

集合の要素

Aa∈ を含むは，に属する（含まれる）は aAAa

Aa∉ の要素ではないはAa

集合

有限集合：要素の数が有限

無限集合：要素の数が無限

空集合（ ）：要素の数が0外延的記法

K={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, N={1,2,3,...}内包的記法

K={n|nは1桁の自然数｝AはBの部分集合

φ

BA⊂

べき集合

}},{},{},{{{},)(},{ babaAPbaA == のとき

nAPnA 2)( == のとき

集合演算

BA∪和

積

補

差

BA∩

BABA ∩=−)( CAA

演算則

交換律

結合律

分配律

吸収律

べき等律

対合律（二重否定）

相補律

ド・モルガン律

ABBA ∪=∪

CBACBA ∪∪=∪∪ )()(CBACBA ∩∩=∩∩ )()(

)()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩)()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪

ABAA =∩∪ )( ABAA =∪∩ )(

AAA =∪ AAA =∩

AA ==

φ=∩ AAUAA =∪

BABA ∩=∪ BABA ∪=∩

関係

A,Bすべての要素からなる2項組の集合をAとBの直積といい，A×Bと書く関係

逆関係

同値関係関係Rが反射律，対称律，推移律を満たす

R1−R

写像

の条件を満たすとき，が，への関係から集合集合 )),bafYXを写像という関係のような性質を満たす fba )),

がつねに存在するに対して，対応する任意の YyXxa ∈∈)は一つに限るに対して，対応する一つの YyXxb ∈∈)

の逆像（原像）は

の像は

)()(

AfAAAf

というは値域の像始集合 )()( rangeXfX

代数系2項演算

を代数系という．

で閉じているとき，が集合項演算における

に閉じているという．は演算

を満たすとき，項演算が常に

に対し，において，任意のの部分集合

項演算という．におけるをこの写像

変数写像である．（関係＊は

るをひとつだけ対応させの要素第

に組の任意の二つの要素の集合

*):(*

*),(*2

,2*

)),*(,:*23

),(

2

2

AAnA

AAyx

AyxAUU

yxzUUUz

UyxU

−

∈

∈

=→

∈

∈

半群

代数系(G:*)において結合律半群

対称律単位元

推移律逆元 群

交換律可換代数系 零元

環と体

環集合Rで和＋と積・の演算の定義された代数系（R；＋，・）で，0≠１として加法に関して可換群

乗法に関して可換モノイド

乗法の加法に関する分配律が成立する

体乗法に関して，零元以外のすべての元に逆元が存在する単位的可換環

順序集合

集合Aにおける関係Rが以下の性質を持つとき，関係Rを集合Aにおける順序関係という反射律

反対称律

推移律

ブール代数

yx +和 or積 and補 not

排他的論理和

否定和

否定積

yx ⋅x

yxyxyx ⋅+⋅=⊕yx +yx ⋅

真理値表（１）

01

10

xx

真理値表（２）

0001111

1010101

1010110

1100000

yx ⋅yx⊕ yx +yx ⋅yx +yx

記号論理

命題：真偽の明確な言明

選言： または，or, 論理和連言： かつ，and, 論理積含意： ならば，imply否定： でない，not, 論理否定

∨∧→~

論理演算表（１）

TF

FT

~pp

論理演算表（２）

TFFFF

TFTTF

FFTFT

TTTTT

qp →qp ∧qp∨qp

述語論理

述語

引数を持ち，その引数の性質や引数の間の関係を示す言葉で，真偽の明確なもの

述語論理式

が存在する」となる

」に対して」，「任意のについて

xx

xxx

)(

)(

∃

∀

「すべての

「