1.c. correction paraxiale (davis) 1/4 utilisation du vecteur potentiel a et potentiel scalaire Φ....
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1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4
• Utilisation du vecteur potentiel A et potentiel scalaire Φ.
• Equation d’Helmohtz pour Ψ :
• Changements de variables :
ikzeA
Adivk
i
AikAdivgradk
iE
ArotB
))((
)(
02²
z
ik
0wx 0wy lz w0 : waist l : longueur de diffraction
(1)
(2)
(3)
(4)
²0kwl
1.c. Correction paraxiale (Davis) 2/4• L’équation d’Helmohtz pour Ψ devient :
Avec s=w0/l
• Décomposition en série de Ψ car w0>>λ et s<<1 :
• Si on ne prends que les deux premiers ordres de Ψ pour les intégrer dans l’équation ci-dessus on obtient :
0²
²²2
²
²
²
²
si
........² 4420 ss
02²
²
²
² 00
i
0²
²2
²
²
²
² 022
i
Ordre 0 : tous les termes en s0
Ordre 2 : tous les termes en s2
1.c. Correction paraxiale (Davis) 3/4
• Pour l’ordre zéro, on retrouve bien l’équation paraxiale pour Ψ0.
Solution du mode fondamental :
Avec : et
²)(exp0 QPi
21i
Q iQiP ln ²²²
2
0
²4
²41²)²(
rz
z
z
R
iliQ
2
2
0
1.c. Correction paraxiale (Davis) 4/4
• On considère le champ électrique d’un faisceau laser tel que donc on peut réduire l’équation (2) :
=>
• On effectue un changement de variable sur l’équation :
=>
• La composante transverse de E implique seulement les puissances paires de s alors que la composante longitudinale, les puissances impaires de s.
1̂eAA
321 ˆ²
ˆ²
ˆ²
²exz
A
k
iexy
A
k
ieikA
x
A
k
iE
33
21 ˆ²
ˆ²
²ˆ²
²² e
Ase
AseA
AsikE
• Résultat satisfaisant les équations de Maxwell• Utilisation du vecteur Hertz: qui satisfait
l’équation d’Helmholtz, on exprime et en fonction de
• est polarisé linéairement à partir de Zx on peut déduire les composantes Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz
2.a. Résultat exact vectoriel
B
EZ
Z
).(²
²
²Z
t
Z
cE
t
Z
cB
Z
• Les calculs de résolution se font de manière spectrale (transformée de Fourrier) et on pose une condition limite en z=0 tel que Zx soit une gaussienne.
• Les résultats montrent que contrairement à l’approximation paraxiale scalaire pour une polarisation linéaire en x les composantes Ey et Ez ne sont pas nulles
2.a. Résultat exact vectoriel
2.b. Mise en évidence du paradoxe 1/2
• Equation de propagation de E :
(a)
Avec
• Or pour trouver cette solution on a supposé divE=0 et en général on suppose que Ex dépend de x,y,z =>divE≠0
• Mise en évidence du second paradoxe :
0*²2
EKc
E
ikzx eE
00
iK
2.b. Mise en évidence du paradoxe 2/2
• On obtient l’équation d’Helmohtz pour ψ à partir de (a):
• Approximation paraxiale :
• Maintenant nous allons voir comment faire pour éviter les 2 approximations qui ont été faites : divE et
Kc
wk
zik
2
²2²
zk
z
²
²
Kc
kz
ikT
2
²2²
zk
z
²
²
2.c. Correction vectorielle de l’approximation 1/3
• On suppose un champ se propageant selon z :
• D’après Maxwell on a :
• Si maintenant on calcule les termes réels de cette équation.
zzTikz
zzT aFFeaEEE ˆˆ
EKc
wErotrot
2
)(
EKc
wEEdivgrad
2
)(
2.c. Correction vectorielle de l’approximation 2/3
• On effectue les changements de variables habituels, on obtient ensuite des équations pour le mode transverse (ξ,η) et longitudinal (ζ) en fonction de F ζ et .
• Si on décompose en série de s, F ζ et
F
F
....
....²)3(3)1(
)2()0(
FssFF
FsFF
2.c. Correction vectorielle de l’approximation 3/3
• Les équations finales permettent de résoudre le paradoxe pour les 2 premiers ordres => E n’est que transverse.
• Pour les ordres supérieurs, une petite composante longitudinal apparaît.
• Il existe une procédure pour calculer les ordres supérieurs de la correction.
2.d. Comparaisons des différentes approximations
• :
• :
exact
PSA
EE
EE
.
.
PVA
PSA
EE
EE
.
.
0
PSA : Approximation paraxiale ScalairePVA: Approximation paraxiale Vectorielle
• à:
exact
PSA
EE
EE
.
.
PVA
PSA
EE
EE
.
.
100
2.d
PSA : Approximation paraxiale ScalairePVA: Approximation paraxiale Vectorielle
• Pour les approximations sont acceptables
• Pour les approximations sont imprécises
• On est dans le cas lorsqu’on focalise un faisceau gaussien avec une lentille de très forte convergence, pour l’utilisation des lasers semis conducteurs pour lesquels le waist est comparable à la longueur d’onde
2.d Conclusions
100
100
100
3.a Cas de la polarisation croiséeI. Modèle 2D connu
Polarisations et incidence de Brewster– Faisceau incident polarisé P linéairement– P: il y a un champ électrique dans le plan d’incidence– Angle de Brewster
– Coefficient de réflexion:
221
)21tan(
)21tan(
Rp
3.a Cas de la polarisation croiséeII. Modèle 3D
Faisceau incident polarisé linéairement
et très fortement focalisé
On est dans le cas 0
Le faisceau comporte des composantes
en x,y et z
• Les calculs et l’expérience montrent que si on se place à incidence de Brewster avec un faisceau Gaussien « exact » polarisé P, il existe alors un faisceau réfléchit polarisé P et S
Preuve que le faisceau incident n’est pas polarisé strictement linéairement
Dans le cas 0
TEM01 TEM10
3.a Cas de la polarisation croiséeII. Modèle 3D