15장. 진동(Oscillation Motion)

15.1 용수철에 연결된 물체의 운동

15.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자

15.3 단조화 진동자의 에너지

15.4 단조화 운동과 등속 원운동과의 비교

15.5 진 자

15.6 감쇠 진동

15.7 강제 진동

Aside) o 주기 운동 (단(조화)진동)

- 단순조화운동, 단진동, SHO : Simple Harmonic Oscillator- 주기적으로 반복되는 운동

ex) 시계내의 수정의 진동 (cf) Cs(세슘) 원자의 진동)대형 시계의 추, 클라리넷, 파이프 오르간의 소리 진동자동차 엔진 피스톤의 상하운동

→ Apply : 파동, 소리, 교류, 빛의 운동cf) 평형점 : 주기운동은 안정한 점

(평형점)을 중심으로 운동한다

Aside) o 강체의 회전 운동에서의 주기운동- 1 Cycle : 출발점 P에서 시작하여 다시 그 지점으로 돌아오는 왕복운동- 1 Cycle = 1 rotation = 2π(rad)- Cyclic Motion, Periodic Motion- 시간 t 에서의 P 점의 x-좌표는 sine궤적을 그린다

cf) 그림에서 평형점 : x = 0

o Define) 주기 (Period)T : 한 Cycle 동안의 시간 (Sec)

o Define) 진동수 (Frequency) f : 단위 시간당 Cycle의 수

- 주기와 진동수의 관계 : )(1 HzT

f

o Define) 각진동수 (Angular Frequency) ω :

o Define) 진폭 (Amplitude) A : 평형 위치로부터 최대 변위의 값cf) 주기 운동시 운동의 범위 = 2Acf) 기준원 : 원주기 운동시 P 점의 궤적 (----)

위상자 (Phase) : 회전하는 벡터

sec)/(2 radf

OP◎ 단순조화운동 (SHO)에서의 변위

-

- 초기 위상 : δ

∴ SHO 의 해 :

ftAftAtAx

2cos2cos

cos

)cos( tAx

15.1 용수철에 연결된 물체의 운동(Motion of an Object Attached to a Spring)

15.1 용수철에 연결된 물체의 운동(Motion of an Object Attached to a Spring)

◎ Spring의 왕복운동 (역학적 해석)

- 시간 t 에서의 P 점의 x-좌표는역시 sine 궤적을 그린다

- Cyclic Motion, Periodic Motion- SHM (Simple Harmonic Motion)의 운동- 시간에 따른 위치의 변화 → sine 함수cf) 조화진동자 (Harmonic Oscillator) :

단순조화진동을 하는 물체

단조화 운동 : 물체에 작용하는 힘이 평형 위치로부터의 변위에 비례하고, 이 힘이 항상 평형 위치 쪽으로 향하는 운동

훅의 법칙(Hooke’s law)

kxFs (복원력)

여기에 뉴턴 법칙을 적용하면

xs makxF 2

2

dtxdx

mkax

가속도는 평형 위치로부터 물체의 변위에 비례하고 변위와 반대 방향으로 향한다. 이와 같이 운동하는 계를 단조화 운동이라 한다.

xxmk

dtxd 22

2

),( 2

mkwhere

- From Hooke's Law :

02

2

xmk

dtxd

운동방정식 "Equation of Motion"

2차 미분방정식의 해를 구하는 방법은 일반해를 사용

)cos()( tAtx이 일반해에서 상수 A, ω 및 φ는 상수이며, 문제에 해당하는 값을구하여 문제에 특정한 해를 결정한다.

15.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자(Analysis Model: Particle in Simple Harmonic Motion)

15.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자(Analysis Model: Particle in Simple Harmonic Motion)

)()sin()cos( vtAtdtdA

dtdx

)()cos()sin( 22

2

atAtdtdA

dtxd

이 일반해를 미분하여 원래 운동 방정식에 대입하면 ω를 결정할수 있다. A와 φ는 초기 조건 및 경계 조건으로부터 결정한다

mk

(위상상수)

2

T2

1

Tf

2)(])([ tTtCosine 함수는 주기가 2π이므로

(주기)(Hz, 진동수)

mk

Tf

211

Tf 22

kmT

22

- A : Amplitude (진폭) - ω : Angular Velocity (각속도, 각진동수)- δ : Phase Angle (위상각) : t =0 에서의 위상 (초기위상)

cf) Spring → 최초 진폭의 크기 ⇒ δ =0 for Spring회전운동 → 초기각

- ωt + δ : Phase (위상) = θ or Φ (Angle)

)cos()( tAtx

o Period (주기) : 1 Cycle에 걸리는 시간 T

- 1 Cycle =ωT = 2π (rad) cf) ω(t+T)+δ = ωt +δ +2π

o Frequency(진동수) : kmT

22∴

mk

Tf

211

◎ 단조화 운동을 하고 있는 입자의 속도와 가속도

o 위치(변위) :

- 초기 위치 :

-

o Velocity :

- 위치와 90°의 위상차 발생

- 초속도 :

-

o Acceleration :

- 위치와 180°, 속도와 90°의 위상차 발생

-

)cos( tAxcosAx

Ax max Ax min

sin0 Av

Av max Av min

)cos(

)sin(

2max

tv

tAdtdxv

xta

tAdt

xda

2max

22

2

)cos(

)cos(

2max Aa 2

min Aa

입자를 평형 위치로부터 변위 A만큼 당긴 후 운동시키면

AmkAv max A

mkAa 2

max

0sin)0( Av

AAx cos)0( 1cos 0

∴ SHO (단조화진동)의 특징

- 변위, 속도, 가속도는 시간 t 에 대하여 sine곡선의 궤적을 그린다. (위상차 발생)

- 가속도는 변위에 비례하지만 반대(방향) 이다 →

- 진동수와 주기는 진폭에 무관하다

2min Aa

Ex) 진동하는 물체 (SHO의 해석) : )4

seccos(0.4)( tmmx

- 질량 m=200g, 힘상수 k =5N/m 인 Spring, 초기위치 : x =5㎝

물체-용수철 계 (Spring에서의 해석)예제 15.1

15.3 단조화 진동자의 에너지(Energy of the Simple Harmonic Oscillator)

15.3 단조화 진동자의 에너지(Energy of the Simple Harmonic Oscillator)

단조화 진동자의 전체 역학적 에너지는 일정하고 진폭의 제곱에 비례한다.

)(sin222212

21 tAmmvK

)(cos22212

21 tkAkxU

)](cos)([sin 22221

2212

21

ttkA

kxmvUKE

max2

21 UkAE

운동에너지:

위치에너지:

전체에너지:

- x =A 에서 v = 0 :

- x = 0 에서 v =vmax :

- (1), (2)에서 :

max2max2

1 KmvE

--- (1)

--- (2)

--- (3)

)( 222 xAmkv 2222 )( xAxA

mkv

- (2), (3)에서 : AAmkv max

2

2

max2

2

11Axv

AxA

mkv

Aside) SHO 변수들의 상호관계

수평면 위에서의 진동예제 15.2☆

- Spring 상수 k=20N/m 인 Spring, 질량 m=0.5㎏, 최대진폭 A =3㎝

풀이

15.4 단조화 운동과 등속 원운동과의 비교(Comparing Simple Harmonic Motion with Uniform Circular Motion)

15.4 단조화 운동과 등속 원운동과의 비교(Comparing Simple Harmonic Motion with Uniform Circular Motion)

진동 운동을 원운동으로, 원운동을 진동 운동으로변환할 수 있다.

오른쪽 그림에서 공의 원운동과 그림자의 진동 운동이 대응하므로, 그림자의 위치는

)cos()( tAtx

15.5 진자(The Pendulum)

15.5 진자(The Pendulum)

▶ 단진자(simple pendulum)

각 θ가 작은 경우, 중력의 일부가 가장 낮은 위치로돌아가려는 복원력의 역할을 하므로,

0cos mgT- mg 의 접선 방향의 힘 :

(for small θ)

S : 호의 길이 S =Lθ

2

2

2

2

sin

dtdmL

dtSdm

mgmgFt

2

2

dtd

gL

Lg

dtd

2

2

02

2

Lg

dtd

"Equation Of Motion of a Simple Pendulum"∴

- solution of Spring → 02

2

xmk

dtxd

mk

∴ solution of a Simple Pendulum :

)cos(0 t

- Period (주기) 주기는 L 과 g 에만 의존, m 에 무관

gLT

22

Lg

where

- 주기 T =1초 되게 하려면? (by Huygens)

sec122

gLT

inch10248.0)2( 2 mgL

길이와 시간 사이의 관계 (Period of a Simple Pendulum)예제 15.4☆

풀이

cf) 반주기가 1초 되게 하려면 (T =2초) : L (→ 22 =4배)≒1m

cf) 달에서 이 진자의 주기 Tmoon ?

2sec/67.161 mgg earthmoon

sec42.267.1248.02 moonT∴

cf) For Large θ0 :

- θ0 =15°정도 까지는 단진동을 한다

2sin

43

21

2sin

2112 04

2

2

202

2

gLT

▶ 물리 진자(Physical Pendulum)

강체가 한 점 O 를 중심으로 진동하는 경우를 물리진자라고 한다. 그림에서 강체에 작용하는 중력이 O 축에 대해 작용시키는 토크를 고려하면

- 강체의 회전 운동 → Torque 발생

- 접선력 :

- CM 과 회전의 중심(축) O 와의 거리 : L

-

-

sinmgFt

)ˆ(sin zmgLLmgFr

(for small θ)

2

2

dtdII

mgL

I

mgLdtd

2

2

02

2

I

mgLdtd

ImgL

- Equation Of Motion for a Physical Pendulum :

음(-)의 부호는 O 에 대한 토크가 각 θ 를 감소시키는 방향으로작용한다는 것을 나타낸다. 즉, 중력은 복원 토크를 만든다.

mgLIT

22cf) Period T :

2

2

4mgLTI

: 임의의 형태의 물체 : 물리진자의 주기 측정 → 관성 모멘트 I

- 축의 위치 : 막대의 한 끝

- 축과 CM 간의 거리 :

-

- 단진동 하는 막대의 주기는 L 에만 의존

Ex) L = 1m :

2

31 MLIend

2Ld

gL

LMg

ML

MgdIT end

322

2

31

2

22

2

sec64.1sec/8.93

122 2

mmT

흔들리는 막대 : 막대의 주기 (막대의 길이 L )예제 15.5

▶ 비틀림 진자(Torsional Pendulum)

강체가 어떤 작은 각 θ로 비틀릴 때 비틀린 철사는 각변위에비례하는 복원 토크를 강체에 작용한다

(κ : 비틀림 상수)

I

IT 22

- 각 단순 조화 진동자

- 비틀림 철사 (용수철)의 복원 Torque

-

- Equation Of Motion :

- Torsion Period T :

2

2

dtdI

02

2

Idt

d

Ex) 수직 단순 진동

- M =1000㎏인 자동차에 W = 980N 인 사람이 타서2.8㎝ 주저앉았다 (단진동은?)

a) 자동차의 스프링 상수 k :

cf) 아주 낡은 자동차의 경우임

b) 주기 T :

- 사람의 Mass :

- Total Mass : M +m =1000㎏+100㎏=1100㎏

-

cf) 진동수 f :

- → 멀미 (어지럼증) 유발 !

cf) 수직 단순 진동의 경우 평형점의 위치가 옮겨진다

24 sec/104.3028.0

980 Kgm

NxFk

Kgm

Nm 100sec/8.9

9802

sec11.1sec/104.3

110022 24

KgKg

kmMT

HzT

f 9.0sec11.1

11

15.6 감쇠 진동(Damped Oscillations or Damped Vibration, 감쇄진동)

15.6 감쇠 진동(Damped Oscillations or Damped Vibration, 감쇄진동)

- Retarding Force : 소모력, 지연력, 저항력 등

v : 속도에 비례하는 저항력

vbFfr vR

RFF SpringxNet

- 진동시 소모력 (ex 마찰력 등)에 의한 역학적 에너지의 감소

실제 경우에는 마찰이 존재하므로 계의 역학적 에너지는 시간이지남에 따라 감소한다. 이런 경우 운동이 감쇠된다고 한다.

- Equation Of Motion

흔한 형태의 저지력(retarding force)은 속력에비례하며 운동 방향과 반대쪽으로 작용한다.

2

2

dtxdmmabvkxF xxx

따라서 계의 운동 방정식은

2

2

dtxdm

dtdxbkx →

02

2

kxdtdxb

dtxdm∴ "Equation Of Motion"

)cos(/ tAex t

)cos(2 tAex tmb

b가 작을 때 이 식의 일반해:

220

2

22

mb

mb

mk where

- Frequency f :

- Amplitude : → 시간에 따른 진폭의 지수 함수적 감소

cf) 시간상수 : 지수의 크기를 1로 해주는 시간 →

Define) 시간상수 : → 진동의 평균 수명

mk

0

(고유진동수)2

221

2

mb

mkf

tmb

Aex 21

2t

mb

bm2

02/ mb :저감쇠(underdamped)

02/ mb :임계감쇠(critically damped)

02/ mb : 과감쇠(overdamped)

- at :

- 물체의 운동 특성은 보존, 진동의 진폭은 시간에 따라 감쇄

bmt 2

1 AeA

o 저항 계수 b 에 따른 해석 :

i) b =0 : No Retarded Force ! → “고유진동수”

ii) → "Under Damping“ 진동 a)

iii) → ω = 0 ⇒ No Oscillation! (진동이 없다)

"Critical Damping" 임계감쇄진동 b)

iv) or → "Over Damping" 과도감쇄진동 c)

⇒ 진동이 급격히 멈추고는 평형상태로 돌아간다

0 mk

02

mb

mk

mb

02

02

mb

mkb 42

15.7 강제 진동(Forced Oscillations or Driven Oscillation)

15.7 강제 진동(Forced Oscillations or Driven Oscillation)

- 공진(공명), 혼돈

ex) Spring에 매달린 물체를 강제로 진동시키면, Spring도 진동하게 된다 (강제 진동)

감쇠 진동계에서 계에 양(＋)의 일을 하는 외력을 가함으로써에너지 손실을 보상하는 것이 가능하다.

- (주기적 구동력 (Driving Force))

- 강제 진동에 의한 Spring이 받는 Net Force

- Equation Of Motion :

tFFext cos0

SpringextNet FRFF

kxdtdxbtF

dtxdm cos02

2

tFkxdtdxb

dtxdm cos02

2

)cos( tAx일반해 :

222

02

0

)(

mbm

FA

)sin( tAxor

mb

20

21tan

cf) "+" sign : 저항력에 의한 에너지 손실을 외력이 보충

고유진동수 :

mk

0

각진동수는 가해지는 외력의 각진동수에 해당

0 일 때 진폭이 최대가 된다.

cf) 공명 진동수 :

- if ω =ω0 : 외력에 의한 Angular Frequency가계의 고유진동수와 같아지면

bF

mbmFAA 0

20

max)/(

/

이 때, 위상차 φ =0이 된다. 이런 상태를 공명(resonance)이라고 한다.

+ 동차식의 일반해

- 이때의 진동수 를 "Resonance Frequency“(공명진동수)

→ 최대 진폭을 유도 ⇒ 에너지가 가장 잘 전달된다

→ 진동자에 전달되는 일률이 최대

Ex) 독일 병사들의 행군에 의한 다리의 붕괴,

Ex) 미국 Tacoma Narrows Bridge의 붕괴

0

Aside) Lissajous Figure (두 조화운동의 결합)

- x, y 축 방항으로 각각 움직이는 두 조화운동의 결합

)cos( xxx tAx )cos( yyy tAy