機械力学１講義

第11回

2007.1.22

0=∂∂

−

∂∂

qL

qL

dtd

&

UTL −=

QqL

qL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

QqD

qL

qL

dtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂

&&

2

21 qcD &=

種々の運動におけるラグランジュの方程式

(1) 保存系

q：一般座標．x，y，r，θなど

(2) 外力が働く場合

並進：Qは力

回転：Qはモーメント

(3) 減衰がある場合

D：散逸関数

c

q

前回の復習

教科書 p.131

rrrr

QqD

qL

qL

dtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂

&& Nr ~1=

FxL

xL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

ε=∂∂

−

∂∂

qL

qL

dtd

&

em WWUTL −+−=

(4) 多自由度系

(5) 電気回路を含む場合

磁界のエネルギ

電界のエネルギ

q：電荷 ε：電源電圧

種々の運動におけるラグランジュの方程式

2

21 LIWm =

2

21 CVWe =

ニュートンの方程式

x

ym

θ

rFθF

r

rFmrrm =− 2θ&&&遠心力

θθθ Frmmr =+ &&&& 2コリオリ力

ラグランジュの方程式

rFrL

rL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

NLLdtd

=∂∂

−

∂∂

θθ&

運動方程式の極座標表示

r方向

Θ方向

θrF=

7.4.5 摩擦のある棒上の質点

( )[ ]22

21 θ&& rrmT +=

UTL −=

0=U

ω

θF

r

θµFFr −=

m

tωθ =

図7.10 摩擦のある棒上のリング

摩擦係数μ摩擦力Frはコリオリ力Fθにより決定

rFrL

rL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

r方向の運動方程式

θθθrFLL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

θ方向の運動方程式

rFmrrm =− 2θ&&&

θθθ rFrmrmr =+ &&&& 22

.const==ωθ&

02 2 =−+ ωωµ mrrmrm &&&

mの運動を棒上に拘束

r方向の運動方程式

θ方向の運動方程式

動摩擦が働く θµFFr −=

①

②

③

④

rFmrrm =− 2ω&&

θω rFrmr =&2

③＋④×μ／r

①→

②→

m

2ωmk −=ωµmc 2=

r

図5.6

θω &=

θµFFr =

m

rθF

02 2 =−+ rmrmrm ωωµ &&&

ばねが負なので，無限遠に遠ざかる

c k

ωθ rmF &2=

図7.9 回転する棒上のリング

tωθ = m

r

0=rF

摩擦がない場合

02 ==− rFmrrm θ&&&r方向の式のみでよい

（自由度方向のみ）

const==ωθ& 2ωrr =&& tt eer ωω −= ,

式①は保存系と同じ．しかしエネルギーは変化．矛盾？ω一定が，エネルギ変化（Fθが仕事をすること）を表す．Fθの効果はθの中に入っている．Fθはθを介してのみrに影響．θが既知なのでFθ不要．

θ方向の式を立てると何が分かるか？

①

r→∞ 質点の運動エネルギ∞

θθθ rFrmrmr =+ &&&& 22

θ方向の式を立てると何が分かるか

コリオリ力Fθが分かる

ω一定で棒を回すために必要な力が分る

ωθ rmF &2=

tωθ = m

r

0=rF

02 =− ωmrrm && r方向の式より，r既知

tωθ = 一定回転条件より，θ既知

θθθrFLL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

指数関数的に増大

・変位が欲しい場合：変位が未知の自由度の方程式を立てる

・力が欲しい場合：力が未知の自由度の方程式を立てる

θFθ

r

rF

θFθ r Fr

r方向の方程式

θ方向の方程式

(a) xの１自由度系．θ=ωt既知

x方向の運動方程式のみでよい

7.4.6 弾性支持されたモータにより回転するおもり ωθ , x

ck

rM m

N

(a)角速度ω一定

(b)トルクN一定

xrvv &+= θω cos θω sinrvh =

222222 cos2 ωθω rxrxvvv hv ++=+= &&

22

21

21 mvxMT += &

おもりの速度

おもりの速度

hvvvωr

x&

x&

θ

θ

運動エネルギ

)sin2(21

21 2222 θθθ &&&&& rxrxmxM +++=

g

v

2

21)sin( kxrxmgMgxU +++= θ

2

21 xcD &=

UTL −=

0=∂∂

+∂∂

−

∂∂

xD

xL

xL

dtd

&&

( ) gmMmrkxxcxmM )(cos2 +−=+++ θω&&&

ωθ =&

)sin2(21

21 2222 ωθω rxrxmxMT +++= &&&

運動エネルギ

)sin2(21

21 2222 θθθ &&&&& rxrxmxMT +++=

θ x

ck

r

M m

N

x方向の外力なし

g

(7.96)

散逸関数 mｒ

θr sinθ

x

x方向の式の意味

θr

M

m

xc&

xm &&

kx

θω cos2mr

mgxM &&

Mg

( ) gmMmrkxxcxmM )(cos2 +−=+++ θω&&&

全慣性力 遠心力 全重力

遠心力

モータの回転トルクNは

ω一定に含まれている．

未知数はxだけ．Nも未知だがNがなくてもxは解ける．

xとθの２自由度系

x方向

(b)トルクN一定

2

21)sin( kxrxmgMgxU +++= θ

2

21 xcD &=

UTL −=

0=∂∂

+∂∂

−

∂∂

xD

xL

xL

dtd

&&

)sin2(21

21 2222 θθθ &&&&& rxrxmxMT +++=

NDLLdtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂

θθθ &&

Ngxmrmr =+− θθ cos)(2 &&&&

θ方向

( ) ( ) gmMmrkxxcxmM )(sincos2 +−+=+++ θθθθ &&&&&&

θ x

ck

r

M m

Ng

(7.99)

(7.97)

θとxが未知なので，連立させて解く．

( ) θθθ coscos mgrNxrmr −=+ &&&&

Θ方向の式の意味

重りの回転加速度＋上下動加速度のθ方向成分＝θ方向の全回転加速度

モータトルク＋重力のθ方向成分

θx&&r

m

Ng

θ&&mr

θcosxm &&

θcosmg

mg

回転加速度 重力

上下動加速度

ωθ =&

0=θ&&

ωθ ,x

N

x方向

θ方

向

(a)角速度ω一定

( )gmMmr

kxxcxmM

)(cos2 +−=

+++

θω

&&&

Ngxmr =+− θcos)( &&

ω，θを与えてxを求める

ω，θ，xを与えてNを求める

ω一定xとNの２自由度系

自由

度 N一定xとθの２自由度系

(b)トルクN一定

Ngxmrmr

=+− θθ

cos)(

2

&&

&&

( )( )

gmMmr

kxxcxmM

)(sincos2

+−+=

+++

θθθθ &&&

&&&

Nを

与え

てxと

θを

求め

る

tωθ =

( ) ( )222 sin ωφφ ⋅+= aav &

( ) ( ){ }222 sin21

21 ωφφ ⋅+== aammvT &

( )φcos1−= mgaU

ｒ方向：r=a（一定）

θ方向：θ=ωt（強制変位）

φ方向：未知φ

θ)( ωθ =&

oa

m

ω

aφ&a

φ

φsina( )φcos1−a ωφ ⋅sina（実質半径）

φに関する１自由度系

7.4.7 回転するリング上の質点

g

0=∂∂

−

∂∂

φφLL

dtd

&

φφφ

&&&

2maTL=

∂∂

=∂∂ φ

φ&&

&2maL

dtd

=

∂∂

φφφωφ

sincossin22 mgamaL−=

∂∂

0sincossin2 =+− φφφωφag&&

( ) ( ){ }222 sin21

21 ωφφ ⋅+== aammvT &

( )φcos1−= mgaU

φに関する１自由度系

UTL −=ラグランジュの方程式

第１項

第２項

運動方程式

φ方向に外力なし．減衰なし．

第１項：遠心力のφ方向成分

第２項：重力のφ方向成分

運動方程式 φφωφφ sincossin 2 gaa −⋅⋅=&&

2sin ωφ ⋅a

aφ

φsina（実質半径）

φ&&a

φsing g

φωφ cossin 2⋅a

（遠心力）

左辺：φ方向の加速度

r方向の運動方程式

↓重力，遠心力，輪の拘束力

θ方向の運動方程式↓

コリオリ力実質的な回転半径 a sinφ が変化

（質点の運動エネルギも変化）

θ，ω

0sincossin2 =+− φφφωφag&&

0== φφ &&&

0cossin 2 =

−

ωφφ

ag

コラム16 回転リングの問題の解

非線形方程式

静的平衡点

πφφω

,00sin12 =→=→>a

g

22 cos1ω

φω a

ga

g=→<

φ

ωθ =&

oa

0=φ

πφ = g

2cosω

φa

g=

（ωが大きいとき）

0sincossin2 =+− φφφωφag&&

02 =

−+ φωφ

ag&&

tagt

ag 22 cos,sin ωωφ −−=

2 t

ag

eω

φ−±

=

φ<<1により線形化

φ=0近傍の運動

質点は振動し，遠ざからない → 安定

指数部正の解が無限大に発散→ 不安定

φ

ωθ =&

oa

0=φ

g

の基本解02 >−ωag

の基本解02 <−ωag

02 =+− φφωφag&&

（ωが大きいとき）

（ωが小さいとき）

（少しずらすとどうなるか）

φ φ1

0sincossin2 =+− φφφωφag&&

επφ +=

0sincossin2 =−− εεεωεag

&&

02 =

+− εωε

ag

&&

t2

ag

e+±

=ω

ε

φ=π近傍の運動

ε<<1により線形化

基本解指数部正の解が無限大に発散

→ 不安定（ωによらず）

φ

ωθ =&

oa

πφ = g- sin ε - sin ε- cos ε

ε ε1

0 εφφ +=20cos

ωφ

ag

=

( )0sinsincossincos

sincossincos

200

20

02

022

=++

−−

εφφωεφ

εεφφωε

ag&&

0sin 022 =⋅+ εφωε&&

( ){ } ( ){ }tt 00 sincos,sinsin φωφωε =

ε<<1により線形化

基本解

質点は振動し，遠ざからない → 安定

oφ

ωθ =&

oa

g

2cosω

φa

g=

2cosω

φa

g= 近傍の運動

<− 02ω

ag

ε1

0

φ

ω

a

πφ =g

2cosω

φa

g=

0=φ2ω<

ag

ag

<2ω

常に不安定

まとめ

ag

2π

φ

ω0

●期末試験（3/5月）範囲演習問題 問8.3～問10.7のうち，○◎△の問題

＝授業で解いたもの，教科書に載っているもの

△8.3,○8.4, ○8.5◎9.1.2, ○ 9.2.1, ○ 9.2.2, ○ 9.2.3, ○ 9.3.2,△ 10.1, △ 10.2, △ 10.3, △ 10.4, ○ 10.5, ○ 10.6, ○ 10.7△教科書7.4.3

θ m

xM

F

質量無視

ℓ

質量Mの台車に力Fを加える

g

図10.6

問10.6 図に示す倒立振子について以下の問に答えよ．

システム創成学科・倒立振子プロジェクト

倒立振子

θ

m, J

x, F

2L

M

θ&&&&&& mLxmFxM −−=

+−

+= F

mMg

mLJmL 1

2 θθ&&

θθ &121 CxKKF ++=

運動方程式 安定条件

teλθ =0]Re[ <λ

ＡＤ変換

マイコン モータドライバ

モータθx

9V電池　(006P)ポテンショメータ

（棒の倒れ角計測）

制御基板

（CPU，AD変換器，モータドライバ）

ホストコンピュータシリアルポートへ

モータ　（ミニ四駆用１３０型モータ）

電機子巻線をφ0.3mmからφ0.16mmに巻き直す

ロータリエンコーダ（車軸の回転計測）

（スリット円板＋フォトインタラプタ２個）

倒立振子実体組立図

棒（40～50cm）

機構部の組立

組み立てる前の部品

基板の拡大図

完成した本体

回路の作成

ソフトウェア

PCからマイコンに

プログラムを送信

開発環境

プロジェクト実施風景

特徴抽出結果

電源

動物，人間

人工物

センサ

無線機インターネット

生態観察健康診断

故障診断

プロセッサ認識処理アルゴリズム

ユビキタスセンサネットワーク

センサ端末

未来の情報機器の紹介

機械力学の応用分野

腕時計型センサ

PC

GPS

屋内外センサ

咀嚼・発話センサ

靴型センサ

微弱無線

ウェアラブル行動認識システム身につけたセンサで個人の感情・未来を予測し，

欲しい情報・必要な情報を自動的に提供

腕時計型運動センサ

・歩行(50,75,90,120m/min）・走行(130,150m/min）・日常動作（立ち作業等）・軽い運動・激しい運動・消費カロリー

２秒ごとに行動パターンをPCに送信

加速度計，ジャイロ 手首の動き

ブルートゥース

運動識別運動識別

歩 数歩 数

消費エネルギ消費エネルギ

2613kcal

24500歩

加速度，角速度データからの処理

マイコン＋RF電池

ワイヤレスセンサシューズ

圧力センサ（７個）

右 2歩目2歩目 4歩目4歩目

歩行，走行，階段，着席，自転車，足組の識別

ウェアラブルセンサシステム

・ 中央装置

‐ ウェアラブルPC

・ センサ制御

・ データ計測・蓄積

・ 行動認識ソフトウェア

・ 活動支援アプリケーション

ウェアラブルセンサ①日常的に身に付けるものに内蔵

例：靴，腕時計，メガネetc→ 実生活でも日常的に着用

②ワイヤレスなセンサネットワーク→ 身体動作を物理的に制約せず

咀嚼発話センサ

GPS受信機

超音波センサ

腕運動計測ウォッチ

足圧分布計測シューズ

ウェアラブルPC

足圧分布計測シューズ

GPS腕運動ウォッチ

屋内外センサ

咀嚼発話

センサ

足圧分布計測シューズ

Bluetooth

USBホスト

アダプタ

微弱無線

(2.4GHz, 独自規格)

情報t提示装置

携帯型PC

会話，食事

屋内外位置

ブルートゥース

姿勢，動作

駒場講義

本郷会議

電車

食事

自宅PC

柏講義

屋外歩行

メール

時刻表

天気予報

ニュース

ナビゲーション

本郷講義

0.10.2

0.7

0.6

0.10.5

0.5

0.5

0.7

0.7

0.5

0.2

0.1

0.1

0.10.1

0.1

0.10.1

0.10.1

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.20.2

センサ 行動パターンと状態遷移(例） 提示情報（例）

ウェアラブルセンサによる行動予測

次の行動を予測

今日の行動

行動識別

歩行

走行

階段

会議

エレベータ

自転車

食事

腕時計型運動センサ

センサシューズ

GPS

超音波センサ

骨伝導マイク

ブルートゥース

日常行動を長期間蓄積し、規則性を抽出行動順序の確率モデルを生成

携帯電話にアプリを組み込み，手動で行動記録

行動，感情と時刻を記録

0時 12時 24時

休憩 PC 読書 移動 入浴 その他

・帰宅したら必ず1時間から5時間程度後に入浴する・起床したらまずPCに向かうなどの規則性がある。

１週間の行動パターン計測例

相手によるメールの処理時間の違い

0.1

1

10

100

1000

送信者の重要度(受信者の主観による3段階評価)

本文

長さ

あた

りの

処理

時間

(秒/行

)

主観重要度A

主観重要度B

主観重要度C

仕事

メール重要度の判別実験送信者ごとの処理時間を計測

ねらい：読み取り記録によりメールの重要度を自動判別

脈波センサ

脳波計

眼球運動センサ

心電計

腕時計型運動センサ

足圧センサ

送受信機

PCサーバ

加速度センサ

生体情報

人体通信

人体を通信媒体に使用．空中伝播より消費電力，耐ノイズ性，秘匿性に優れる．

人体上に分散配置されたセンサ，PC間の通信

受信機

Z3

Z4

Z1 Z2Z6Z5

Z=

入力 出力

均質インピーダンスモデル

４端子回路モデル

受信機

良導性誘電体伝送モデル

人体の等価回路を解明中

単純化

人体外も考慮

Electrode

Human bodyTransmitter

FM demodulatorAmp.OutputReceiver

10MHz

ElectrodeSignal Amp. FM modulator

送受信機試作品（アナログタイプ．13年度製作）

人体内伝送結果

時間（ms）

電圧

(a) 入力

(b) 人体内伝播

(c) 空中伝播

0 5 10 0 1 2 3 4 5時間 (秒)

電圧

入力（心拍加速度）

出力

アプリケーションアプリケーション

握手による名刺交換 ドアの自動開閉

送信機

受信機ID情報

電子マネー自動車のキーレスエントリーシステム

PHSによる物流位置情報システム

基地局Ａ

基地局Ｃ

基地局Ｂ

基地局Ｄ

電界強度情報↓

緯度経度情報

パレ

ット

の増

減

増加

均衡

減少

パレットの滞留率 大小

製品生産過剰パレットやや滞留

生産供給均衡・在庫少パレット管理適性・高効率

製品在庫過剰（生産停止）パレット完全滞留

生産供給均衡・在庫大パレット管理適正・低効率

PHS電界強度

位置探査

製品移動パターン

需給バランス推定

あらゆる物体の位置を安価な通信端末で追跡

データマイニング

学生のアイデアのビジネス化

4000端末稼働中！

永久磁石コイル

100 mm

GearDC motor

人体運動を用いる発電機

人間・環境が放出する余剰エネルギによりモバイル機器を駆動

ジャイロ型（1W）

歩行利用型（1W)

共振型（0.1W)

腕時計型（10μW）

・人間は常時100Wを放出 ・携帯電話は1Wで動く．→人のエネルギを1%回収すれば情報社会が変わる

N

S

発電機↓

整流↓

電気二重層コンデンサ

電気二重層コンデンサ

パルスオキシメータ＋RF回路

消費電力計測時：15mW，送信時：27mW 間欠駆動のため平均で2～3mW

腕時計型発電機による生体センサとRF（無線）回路の駆動

腕の振り（エネルギ）

パルスオキシメータ↓

RF回路

受信機↓

血中酸素濃度脈拍数の表示

血流（光透過量）

発電＋整流＋充電

腕時計発電機（２次元回転）

電 力

デジタル信号

xyztdtd

∂∂

+×==hhωhτ

質量My

x

z

θGF

ωz

a

h

τ

ロータの運動方程式＝皿回しの運動方程式

NS

NS

・歳差運動を強制入力し，高速回転を発生・インピーダンス制御により人体と電機子の

運動を同期化

ジャイロ型発電機

力学的には皿回し，ヨーヨー，大車輪と同じ

→ 大道芸ロボットの一種．機械力学＋制御． 皿回しロボット

出力1w

３次元回転