1

単純な（単純化した）応力状態における弾塑性問題

（１）繊維強化複合材の引張り（２）三本棒トラスへの負荷（３）はりの曲げ（４）円筒・丸棒のねじりとせん断変形（５）熱弾塑性問題

第9章，124ページ～

負荷（弾性変形）→負荷（弾塑性変形）→除荷→残留応力

その１．繊維強化複合材料の引張り

Refs.:

[1]http://authors.library.caltech.edu/5456/1/hrst.mit.edu/hrs/

materials/public/composites/Composites_Overview.htm

[2] http://www.isas.jaxa.jp/e/forefront/2008/gotou/

[3] http://www.compositesworld.com/articles/ceramic-

matrix-composites-heat-up

[1]

[2]

[3]

その１．繊維強化複合材料の引張り

(fiber) (matrix)

PcPc

複合材複合材複合材複合材 (composite)

（１）複合材全体としての平均的な応力-ひずみ関係

（２）除荷後の残留応力

19,20ページも参照

その１．繊維強化複合材料の引張り

PcPc

複合材

●弾性変形の場合外力を負荷： 応力，ひずみが生じる完全除荷（外力を０とする）：

応力，ひずみは０になる●弾塑性変形の場合

外力を負荷： 応力，ひずみが生じる完全除荷（外力を０とする）：

ひずみは０にならない（塑性ひずみ [永久ひずみ] が残る）応力も０になるとは限らない（残留応力）

(fiber) (matrix)

繊維とマトリックスは強固に接合している

弾性体Af, Ef

弾完全塑性体Am, Em, Ym

PcPc

ε

σ

Ym

Ef

Em

0

(f)

(m)

複合材複合材複合材複合材 (composite)

微小変形を仮定する

一方向長繊維複合材である

問題設定 複合材（composite）における複合則（rule of mixture）

(f) (m)

弾性体Af, Ef

弾完全塑性体Am, Em, Ym

力の釣合い

f m f f m mP P P A Aσ σ= + = +

繊維の体積含有率 /( )f f f mV A A A= + とおくと，

複合材の平均的応力は

(1 )c f f f mV Vσ σ σ= + −

繊維とマトリックスのひずみは等しいので，

PcPc

c

2

A. 弾性変形挙動

初期状態からマトリックスが降伏開始まで（（O→A （0 < ε < εyield ））

複合則より

m

myield

E

Y=ε

ε

εε

σσσ

c

mfff

mfffc

E

EVEV

VV

=

−+=

−+=

)1(

)1(

mfffc EVEVE )1( −+=

B. 降伏開始，弾塑性挙動

, ,myield f f yield m m

m

YE Y

Eε σ ε σ= = =

( )( ) 1f

c yield m f f

m

EY V V

Eσ

= + −

マトリックスが降伏を開始するとき（点A（ε= εyield））

(1 )c f f f mV E V Yσ ε= + −

fcf f f

ddV V E

d d

σσε ε

= =

降伏後にさらに引張ったとき（A→B→ （ εyield < ε ））

（＝接線係数）

C. 完全除荷における残留応力

, , (1 )o o o o o

f f m m c f f f mE Y V E V Yσ ε σ σ ε= = = + −

,f f m mE Eσ ε σ ε∆ = ∆ ∆ = ∆

除荷前の応力状態

除荷における応力とひずみの変化

残留応力（Residual stress）

{ }(1 )o

c f f f m cV E V Eσ ε σ∆ = + − ∆ = −

(1 )

o

c

f f f mV E V E

σε∴∆ = −

+ −

*(1 )( )

0(1 )

o

f f m mo

f f f

f f f m

E V E Y

V E V E

εσ σ σ

− −= + ∆ = >

+ −

*( )

0(1 )

o

f f m mo

m m m

f f f m

E V E Y

V E V E

εσ σ σ

−= + ∆ = − <

+ −

弾完全塑性体２相材料の応力ひずみ曲線

ε

σ

００００

高張力鋼板の繰返し弾塑性変形の実験結果

Ref. F. Yoshida and T. Uemori, Int. J. Plasticity 18 (2002), pp.633-659.

バウシンガー効果バウシンガー効果バウシンガー効果バウシンガー効果

（１）引張り荷重と変位の関係P – u

（２）残留応力

ε

σ

0

Y

E棒１，２，３の断面積はA 1

その２．弾完全塑性体の３本棒トラス

弾完全塑性体A, E, Y 微小変形を仮定する

21,22ページも参照

3

1．初期～降伏開始（弾性問題の解１）

1 3 2

1 2

1 2

( ) cos

2 cos

2 cos

P P P

P P

A A P

α

α

σ α σ

+ +

= +

= + =

2 2 2( ) ( cos ) ( sin )

cos

L L u L

u

λ α αλ α

+ = + +

∴ =

力の釣合い式

ひずみ－変位関係式

1 3 2

cos,

cos

u u

L L L

λ αε ε ε

α= = = =

1 1 2 2

3 3

, ,E E

E

σ ε σ ε

σ ε

= =

=

応力－ひずみ関係式

1．初期～降伏開始（弾性問題の解２）

以上より，荷重－変位関係式を導くと，

2 12cos

cose

EAK

Lα

α = +

eP K u=

Ke

2．降伏開始（棒２の降伏）

ひずみ－変位関係式より，

Ke

1 3 2

cos

cos

u u

L L

αε ε ε

α= = < =

棒２の伸びが，棒１・３より大きい．荷重を増加させると，まず棒２が降伏する．

εεεε1 1 1 1 , ε, ε, ε, ε33330

Y

E

1

σσσσ1 1 1 1 , σ, σ, σ, σ3333

棒１・３

εεεε2 2 2 2 0

Y

E

1

σσσσ2222

棒２

2．降伏開始（降伏開始荷重・変位）

棒２が降伏開始するとき（点A）

Ke

εεεε2 2 2 2 0

Y

E

1

σσσσ2222

棒２

棒２のひずみ 2

Y

Eε =

ひずみ-変位関係式より，

)1cos2(

cos

3 +=

=∴

=

α

α

AY

uKP

E

YLu

yieldeyield

yield

3．弾塑性変形挙動（棒２：塑性，棒１・３：弾性）

εεεε1 1 1 1 , ε, ε, ε, ε33330

Y

E

1

σσσσ1 1 1 1 , σ, σ, σ, σ3333

棒１・３

εεεε2 2 2 2 0

Y

E

1

σσσσ2222

棒２

さらに引張り，棒１，３は弾性，棒２が塑性変形するとき（点A→B）

Y

E

=

==

2

131

σ

εσσ

3．弾塑性変形挙動（荷重・変位関係）

さらに引張り，棒１，３は弾性，棒２が塑性変形するとき（点A→B）

このときの荷重・変位関係は，

)cos2(

cos2

1

21

YEA

AAP

+=

+=

αε

σασこのとき，力のつり合いから

L

u αε

cos1 =ここで を代入すれば，

L

EA

du

dPY

L

EuAP

αα 22 cos2,

cos2=

+=

du

dP

4

4．塑性崩壊（棒１・２・３：塑性）

εεεε1 1 1 1 , ε, ε, ε, ε33330

Y

E

1

σσσσ1 1 1 1 , σ, σ, σ, σ3333

棒１・３

εεεε2 2 2 2 0

Y

E

1

σσσσ2222

棒２

棒１，２，３が塑性変形するとき（点C→D）

(2cos 1)ultP YA α= +[極限荷重，塑性崩壊荷重]

棒１，３降伏開始時の変位uult は，

E

Y

L

uult ==α

εcos

1 αcosE

YLuult =

ultu

5. 残留応力(1)

除荷前（点B ）における荷重と各棒に作用する応力

除荷における変位および応力の変化（点B→R）

Ke

∆u

+==== Y

L

EuAPY

L

Eu ooo

ooo α

σα

σσ2

231

cos2,,

cos

ult

o

yield uuu <<

ultu

+=

−=∆=∆−=∆

αα

cos

1cos2

,//,

2

L

EAK

KPKPuPP

e

e

o

e

o

uL

EE

uL

EE

∆=∆=∆

∆=∆=∆=∆

αεσ

αεσσ

cos

,cos

22

131

5. 残留応力(2)

棒１，３に作用する残留応力は，

Ke

∆uultu

−=−=∆+==

e

oo

e

ooo

K

Pu

L

E

LK

EP

L

Eu ααασσσσ

coscoscos11

*

3

*

1

+

−==

1cos2

/coscos3

*

3

*

1 ααα

σσEYLu

L

E o

E

YLuyield

αcos=ここで を考慮すれば，

0)1cos2(

cos)(3

*

3

*

1 >+

−==

α

ασσ

L

uuE yield

o

残留応力についての力のつり合いから，棒２の残留応力は，

0cos2*

2

*

1 =+ AA σασ

0cos2)( *

122

*

2 <−=∆+= ασσσσ o

残留応力発生原理の直観的理解

P = 0

P >0

塑性変形塑性変形塑性変形塑性変形

弾性変形弾性変形弾性変形弾性変形

弾塑性弾塑性弾塑性弾塑性変形変形変形変形

引張り自然状態実際の除荷状態（残留応力）

P = 0

σ ∗ > 0σ ∗ < 0

トラス接合部を分離・除荷した場合

母材繊維

σc = 0 σc >0

引張り自然状態実際の除荷状態（残留応力）

接合面を分離・除荷した場合

弾性変形弾性変形弾性変形弾性変形弾塑性変形弾塑性変形弾塑性変形弾塑性変形 塑性変形塑性変形塑性変形塑性変形

σc = 0

σ ∗ > 0σ ∗ < 0

残留応力について

• 弾塑性構造体の内部に不均一な大きさの塑性ひずみが生じた後に完全除荷されると，残留応力は必ず発生する．

• 構造体の強度（とくに疲労強度）に対して残留応力は大きく左右する．とくに引張り残留応力は強度を低下させるので注意が必要である．

• 熱処理やショットピーニングにより構造体表面に圧縮の残留応力を発生させることで，疲労強度を高めることができる．

※ショットピーニングとは：http://www.shotpeening.gr.jp/shotpeening/index.html

仮定

1. ベルヌーイ・ナヴィアの仮説

2. 微小変形（公称応力，公称ひずみを使用）

yyε κ

ρ= =

弾性→降伏開始→弾塑性→全域塑性

ひずみ分布

応力分布

その３．弾完全塑性はりの曲げ

5

弾完全塑性はりの曲げ

弾性変形

弾性→降伏開始

ひずみ分布

応力分布

弾性変形から降伏開始まで

（外表面最大応力＝降伏応力）

max( )2

E E y

hM EI ZE Z

σ ε κ

κ κ σ

= =

= = =

3 2

,12 6

bh bhI Z= =

max

max

2

2yield

yield

h YE Y

Eh

M Z ZY

σ κ κ

σ

= = → =

= =

降伏開始

弾完全塑性はりの曲げ

弾塑性変形

弾塑性変形→全域塑性

ひずみ分布

応力分布

弾塑性変形から全域塑性まで(1)

2

2

c YY E c

Eκ

κ= → =

（弾性域・塑性域境界y=±c/2での応力＝降伏応力）

32 2

22

( )12 4

11

4 3

bc YbM E h c

bh cY

h

κ= + −

= −

弾完全塑性はりの曲げ

弾塑性変形→全域塑性

ひずみ分布

応力分布

弾塑性変形から全域塑性まで(2)

弾塑性曲げモーメントの続き

22

2

2

1 21

4 3

3 11

2 3

2,

6

yield

yield

yield yield

bh YM Y

Eh

M

bh YM ZY Y

Eh

κ

κ

κ

κ

= −

= −

= = =

弾完全塑性はりの曲げ

全域塑性（全断面塑性）

弾塑性変形→全域塑性

ひずみ分布

応力分布

弾塑性変形から全域塑性まで(3)

2 3

4 2ult yield

bhM Y M= =

極限曲げモーメント

（弾性領域なし→ c =0, κ →∞）

曲げモーメントと曲率の関係

A→B

弾性変形降伏開始

B→C

弾塑性変形

C (κ→∞)

全域塑性A

B

C (κ→∞)

EI

弾完全塑性はりの場合

2 3

4 2ult yield

bhM Y M= =

極限曲げモーメント

yieldM ZY=2

6

bhY=

2yield

Y

Ehκ =

曲げ剛性

κ)(EIM =

−=

2

3

11

2

3

κ

κ yield

yieldMM

曲げモーメントと曲率の関係

A→B

塑性変形

A

B

(κ→∞)

剛硬化塑性はりの場合

nCσ ε=n乗硬化則

/ 2

0

2

2 ( )

2

2 2

hn

n

n

M C y ybdy

Cb h

n

κ

κ+

=

= +

∫

極限曲げモーメントMultは存在しない

6

弾完全塑性はりの３点曲げ

降伏開始 （最大曲げモーメント＝降伏曲げモーメント）

曲げモーメント ( )2

PM l x= −

max 0 2yieldx

PlM M M

== = =

2 yield

yield

MP

l=降伏開始荷重

2

PlBMD

2

3

bhY

l=

３点曲げにおける塑性域の進展

位置 xc における弾塑性境界

22

( )2

11

4 3

c

PM l x

bh cY

h

= −

= −

2 ( )3 c

yield

P l xc

h P l

−= −

３点曲げにおける塑性域の進展

塑性変形が生じる範囲 xp

xp

2 ( )3 1

p

yield

P l xc

h P l

−= − =

1yield

p

Px l

P

= −

３点曲げにおける塑性関節

全断面降伏 （最大曲げモーメント＝極限曲げモーメント）

max 0 2ultx

PlM M M

== = =

2 ultult

MP

l=

極限荷重

2

2

bhY

l=

曲げにおけるスプリングバック

曲げた後，手を離すと変形が少し元に戻る． スプリングバックは

弾性変形

曲げ部の曲げモーメントと曲率の関係で示すと−

∆∆∆∆M

曲げにおけるスプリングバック

曲げたとき(A)の曲げモーメント，中立面曲率

Mo, κ o

スプリングバック時の曲げモーメント変化，中立面曲率変化(A→R)

∆M, ∆κ

残留変形，残留曲率

*0,o oM M κ κ κ+ ∆ = + ∆ =

残留曲率

スプリングバックは弾性変形

o

o

M M EI

M

EI

κ

κ

∆ = − = ∆

∆ = −

∆∆∆∆M

7

曲げにおけるスプリングバック

曲げたとき(A)の応力，ひずみ

σ o, ε o

スプリングバック時の応力変化，ひずみ変化(A→R)

残留応力，残留ひずみ

∆σ, ∆ε * *,o oσ σ σ ε ε ε+ ∆ = + ∆ =

,oM

E E yEI

σ ε κ κ∆ = ∆ = ∆ ∆ = −

,o oM M

y yI EI

σ ε∆ = − ∆ = −

残留応力 残留ひずみ

スプリングバック時の応力・ひずみ

-Y

+Y

σ o

ε

σ

0

Y

E

ε

σ

0

Eσ*

σ*

σo

σo

ε* εo

ε* εo

スプリングバック後の残留応力分布

スプリングバック時の応力変化は中立面位置からの距離yに比例している

* *,o oσ σ σ ε ε ε+ ∆ = + ∆ =

,o oM M

y yI EI

σ ε∆ = − ∆ = −

曲げ時の応力は中立面位置からの距離yに比例しない(弾完全塑性はりの場合，塑性域では±Yで一定)

以上の結果，スプリングバック後の残留応力は右図の黒線で示すような複雑な分布になる

-Y

+Y

σ o

曲げにおけるスプリングバック

スプリングバック前・後(A・R)の中立面曲率半径，曲げ角度

ρ o, θ o

曲げ角度変化

スプリングバックによる曲げ角度変化率

ρ *, θ *

*

*

1 1oo

o

M

EIκ κ κ

ρ ρ+ ∆ = → − =

* *

*1 1

o o oo

o o o o

M

EI

θ θ θ θ ρ κρ

θ θ θ ρ κ∆ − ∆

= = − = − = =

* *o oρ θ ρ θ= (中立面長さ不変)

曲げにおけるスプリングバック

スプリングバックによる曲げ角度変化率

強度（降伏強さ）が高いほど，曲げ半径が大きいほど，ヤング率が小さいほど，はり高さ（厚み）が小さいほど，スプリングバックによる曲げ角度変化率は大きい．

2

6

o

yield

bhM M Yα α= =

矩形断面の弾完全塑性はりの場合，塑性変形における除荷前の曲げモーメントは次のように書ける．

)5.11( << α

oo

o EI

Mρ

θθ

=∆

Eh

Y

Ebh

Ybh oo ρ

αρα

2

12

63

2

==

Eh

Y o

o

ρα

θθ

2=∆

降伏開始

極限

薄肉円筒のねじり

トルク，比ねじれ角とせん断応力，せん断ひずみ

2,

2m

m

Tr

r tτ γ θ

π= =

せん断ひずみの弾塑部分と塑性部分

e pγ γ γ= +

e pε ε ε= +（単軸引張の場合と同様）

その４．ねじりとせん断変形（単純せん断）

8

せん断変形（単純せん断）

単軸引張との比較

弾性域応力-ひずみ関係

降伏応力

せん断降伏応力は垂直降伏応力の約半分

,

2(1 )

E G

EG

σ ε τ γ

ν

= =

=+

→強度設計においてせん断降伏応力が基準強度となることがある

~ kkY 23=

せん断変形（単純せん断）各種塑性体における単純せん断・単軸引張の比較

引張の応力-ひずみ曲線とせん断の応力-ひずみ曲線には定まった関係がある．

完全塑性体 線形硬化塑性体 非線形硬化塑性体

kk

pkp

HHH

d

dH

d

dH

′′=′

=′=′

43

,γτ

εσ

~

弾完全塑性丸棒のねじり

弾性変形

弾性変形

A

GIp

B

C

(θ→∞)

(A→B)

クーロンの仮説仮定

0

4

0

max 0

,2

p p

p

r rp

G G r

rT GI I

Tr

I

Tr

I

τ γ θ

πθ

τ

τ τ=

= =

= =

=

= =

弾完全塑性丸棒のねじり

降伏開始

（外表面最大せん断応力＝せん断降伏応力）

降伏開始

3

0 ,T r k

A

GIp

B

C

(θ→∞)

(B)

0

0

3

0

0

,

2

Gr

k

r

IZkZT

krr

kIT

yield

p

ppyield

p

yield

=

==

==

θ

π

弾完全塑性丸棒のねじり

A

B

C

(θ→∞)

(B→C)弾塑性変形

弾塑性変形から全断面降伏まで(1)

（弾性域・塑性域境界(r = c)

でのせん断応力＝せん断降伏応力）

04 2

4 3 3

0

22

2( )

2 3

r

cT Gc r kdr

Gc k r c

πθ π

πθ π

= +

= + −

∫

弾性域 塑性域 ただし，k

cGθ

=

弾完全塑性丸棒のねじり

A

B

C

(θ→∞)

弾塑性トルクの続き

弾塑性変形から全断面降伏まで(2)

全断面降伏

極限トルク

（弾性領域なし→ c =0, θ→∞）

(C, θ→∞)

3

0

2 4

3 3ult yieldT kr Tπ= =

3

0

2 11

3 4

yieldT kr

θπ

θ

= −

3

9

剛硬化塑性丸棒のねじり

A

B(θ→∞)塑性変形 (A→B, θ→∞)

n乗硬化則

極限トルク Tult は存在しない

'' nCτ γ=

0 ' 2

0

' ' 3

0

'( ) 2

2'

' 3

rn

n n

T C r r dr

C rn

θ π

πθ +

=

=+

∫

トルクと比ねじれ角の関係T

GIp

A

R

O

1θ

∆T

∆θ

To

θoθ*

ねじりにおける残留変形

ねじったとき(A)のトルク，比ねじれ角

To, θ o

除荷時(A→R)のトルク変化，比ねじれ角変化

∆T, ∆θ

比ねじれ角の変化

残留比ねじれ角

除荷時の変形は弾性変形

*0,o oT T θ θ θ+ ∆ = + ∆ =o

p

o

p

T T GI

T

GI

θ

θ

∆ = − = ∆

∆ = −

τ

G

A

(= k )

R

O

1γ

∆τ

∆γ

τ o

τ*

γ o

γ*

ねじりにおける残留変形

ねじったとき(A)の応力，ひずみ

τ o, γ o

除荷時(A→R)の応力変化，ひずみ変化

残留応力，残留ひずみ

∆τ, ∆γ 残留応力 残留ひずみ

* *,o oτ τ τ γ γ γ+ ∆ = + ∆ =

,o

p

TG G r

GIτ γ θ θ∆ = ∆ = ∆ ∆ = −

,o o

p p

T Tr r

I GIτ γ∆ = − ∆ = −

トルク除荷後の残留応力分布

塑性変形

弾性変形 ＋

ー

金属材料の降伏強度は温度上昇とともに急激に低下し，降伏しやすくなる

温度と降伏強度の関係

温度上昇によって生じる熱応力のため，材料が降伏することがある

その５．熱弾塑性問題 熱弾塑性問題

両端拘束の弾完全塑性棒の加熱→冷却

加熱時（温度上昇TR →TH ）

, / ,t e pT Eε α ε σ ε= ∆ =熱ひずみ， 弾性ひずみ，塑性ひずみ

温度TH における棒の圧縮降伏応力: -YH

( 0)t e pε ε ε ε= + + =

( ) 0

( ) 0

pHH R

p HH R

YT T

E

YT T

E

ε α ε

ε α

= − − + =

= − − + <

10

熱弾塑性問題

両端拘束の弾完全塑性棒の加熱→冷却

冷却時（温度低下TH →TR ）

室温なので熱ひずみ=0

温度低下により降伏応力はYR に増加するため，再降伏せず弾性的に変形

*

0

0

t

e p p

E

ε

σε ε ε ε

=

= + = + =

*

*

( ) 0

( )

p

H R H

R

E E T T Y

Y

σ ε α

σ

= − = − − >

≤室温での残留応力

熱弾塑性変形・残留応力の直観的理解

初期状態

冷却・除荷と残留応力の発生

右壁面を分離・加熱した場合

冷却による収縮量

L

TR

1

1

加熱・加熱・加熱・加熱・熱膨張熱膨張熱膨張熱膨張

TH

TH -YH

圧縮降伏応力−YH により圧縮弾塑性変形

冷却・冷却・冷却・冷却・収縮収縮収縮収縮

除荷除荷除荷除荷

圧縮負荷圧縮負荷圧縮負荷圧縮負荷

TR

除荷による弾性回復量

)( RH TTL −α

ELYH /

右壁面に結合するた右壁面に結合するた右壁面に結合するた右壁面に結合するための引き伸ばし量めの引き伸ばし量めの引き伸ばし量めの引き伸ばし量 δδδδ

ELYTTL HRH /)( −−= αδδ

残留応力残留応力残留応力残留応力

LE /* δσ =

熱弾塑性変形の応用

※出典：http://www.fesco.or.jp/winner/h15/19.php ほか

厚板の線状加熱−冷却による曲げ加工（撓鉄）ぎょうてつ

熱弾塑性変形の応用厚板の線状加熱−冷却による曲げ加工（撓鉄）

撓鉄における曲げ変形の直観的理解

両端拘束棒の加熱・冷却で引張残留応力が発生

冷 却 後 ， 壁 面 は棒により引張られている

加熱部加熱部加熱部加熱部

非加熱部非加熱部非加熱部非加熱部

TR

TH

加熱部加熱部加熱部加熱部

非加熱部非加熱部非加熱部非加熱部

TR

TH加熱部・非加熱部に分けて単純化

冷却後，残留応力により曲げモーメント発生

まとめ●外力増加

→物体内の応力が大きいところから順次降伏が開始・進展

●弾完全塑性体の構造物弾性変形→降伏開始→弾塑性変形→塑性崩壊弾完全塑性はりの不均等曲げでは塑性関節

●垂直降伏応力 Y とせん断降伏応力 k の関係

引張の応力−ひずみ曲線とせん断の応力−ひずみ曲線の間にも定まった関係（加工硬化挙動）

●外力や熱などにより物体や構造の一部分が塑性変形→除荷後に残留応力が生じる

~ kkY 23=