قواعد التكامل غير احملدود

يجهز

حيث عدد ثابت

مع مراعاة عند تطبيق هذه القاعدة عدم وجود كسر او جذرمثال :

0797721499أ. خالد العزازمة

1

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

[ s h s] h+ = ⋅

[ s2 s] 2+ = ⋅ 1 1

[ s s]3 3

− −+ = ⋅

[ s5 s] 5+ = ⋅ S S

[ sg s] g+ = ⋅ ( )g

1 kks

[ s] s1 k

+

+ = ⋅+ 1 k− ≠

k

h

s

l ksS

ks h

− l

k s

65s

[ s] s6

+ = ⋅ 3

4s[ s] s

3

−−+ = ⋅−

3 1

2 22[ s s] s

3+ = ⋅

5 22 33 33

[ s s] s s] s5

+ = ⋅ = ⋅ S

34

4

s 1[ s] s s]

3 s

−−+ = ⋅ = ⋅−

( ) ( )s] s R h s] s Rh⋅ = ⋅

مثال :

مثال : 4

3s2[ s] s2

4+ = ⋅

4s

[2

+ = 1

3

3

2[ s2 s]

s

−

+ = ⋅ S

2

3 3[ s

2+ 2× =

2

3[ s3+ =

قواعد التكامل غير احملدود

0797721499أ. خالد العزازمة

2

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

تكامل االقترانات املثلثية

( ) ( )f sh[ s] f sh

h

++ = +

( ) ( )f sh[ s] f sh

h

+ −+ = +

( ) ( )2f sh[ s] f sh

h

++ = +

13 2

مالحظة مهمة :

بصورة اخرى :

اذا ظهر داخل رمز التكامل جتاس ظاس او ظاس جتاس يحول الى جاس ثم نكامل 1

اذا ظهر داخل رمز التكامل يحول الى ثم نكامل

2

h

s 2s h 2 اذا ظهرت داخل رمز التكامل يحول الى في البسط2

s 2s

مثال :

( ) ( )1 s2[ s] 1 s2

2

−+ = −

s معامل

( ) ( )s5[ s] s5

5

−+ = ( ) ( )2s2 1

[ s] s2 12

−+ = −−

s6

s]s6

s6[ s]s6

6

−+ = = =

2

2s]s3 ( ) ( )2s3 2

[ s] s3 23

+ =

قواعد التكامل غير احملدود

0797721499أ. خالد العزازمة

3

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

( ) ( ) ( ) ( )( )s] s i s] s R s] s i s R± = ±

أي أن التكامل يتوزع على اجلمع والطرح فقطاذا ظهر الضرب او القسمة داخل رمز التكامل يجب حتويله الى جمع او طرح عددة اقترانات

قسمةضربجمع وطرح فقطمثال :

( )s] 3 s2− 2

s2[ s3

2+ − =

2[ s3 s+ − =

( )2 2s] s3 s4−

3s3 s4

[3 4

+ − =

3 s4[ s

4+ − =

( )s] 4 s s2− ( )2

s] s8 s2− 2 3

s8 s2[

2 3+ − =

32 s2

[ s43

+ − =

2

2

ss] s s

s

+

2 2

2

ss] s s s

s× + ×

( )3s] s s+

مثال :

4s

[ s4

+ + =

املقام حد واحد فقطوزع البسط على املقام

مع مراعاة

املقام فيه جمع او طرحنفكر بالتحليل

kl k

l

ss

s

− =

مثال :مثال : 3

2

5 ss]

s

− 3

2 2

5 ss]

s s

−

( )2

s] s5 s− −

1 2s5 s

[1 2

−

+ − =−

24 s

s]2 s

−−

( )( )2 s 2 ss]

2 s

+ −−

( )s] 2 s+ 2

s[ s2

2+ + =

العالقة بني التكامل واالشتقاق

0797721499أ. خالد العزازمة

4

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

( ) ( )[ s R s] s R+ = اذا كان

( )s] s R w=: فإن

( ) w]s] s R

s]=

اشتقاق التكامل غير احملدود هو الغاء رمز التكامل باالضافة لـ

للحصول على مقدار موجود داخل رمز التكامل(او التخلص من رمز التكامل غير احملدود نشتق الطرفني)

اذا كان املقدار املوجود داخل رمز التكامل

نشتق مرتنينشتق مرة واحدة فقط

املطلوب منيز بأن املطلوب اشتقاق او تكامل من خالل املطلوب ( اذا كان املطلوب

) هنا املطلوب اشتقاق

( )s]

( ) ( ) w]s i s R

s]

مثال :

) اذا كان )s] s s−

w=جد w]

s]

نشتق الطرفني :

نشتق الطرفني :

( )s] s s− w]

s]=

s s− = اذا كان

( )2

4s] s R1 s

=+

جد ( )1 R

( )2

4s] s R1 s

=+

( )2

4s R

1 s=

+

( )42 1 R2

= =

( )s R ( )s R ( )s R

اذا كانمثال :مثال :

) جد )s Rنشتق مرة واحدة فقط

( )24 s3 s R− =

( )24 s3 s] s R− =

( )3s4 s s] s R− =

اذا كان

( )3s4 s s] s R− =

) جد )s Rنشتق مرتني

نشتق مرة اخرى ( )s6 s R=

مالحظةاذا كان مهمة :

( )f

h

s] s R: فإن w]

s]=

مشتقة التكامل احملدود صفر دائمااذا كانمثال :

( )f

2

h

s] s4 s w− =جد w]

s] w]

s]=

احلل :

احلل :

احلل :احلل :

صفر

( )24 s3 s] s R− =

( )24 s3 s R− =

التكامل احملدود وخصائصه

0797721499أ. خالد العزازمة

5

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

تعريف التكامل احملدود :

بصورة اخرى :

( ) ( ) ( ) ( )ff

hh

h R f R s R s] s R− = =

( ) ( ) ( )f

h

s] s R h R f R= −ما ينطبق على التكامل غير احملدود ينطبق علىمالحظة :

التكامل احملدود كالقواعد

مثال :

) اذا كان ) ( )3 4 R 6 2 R− = =جد

( )4

2

s] s R

( ) ( ) ( ) ( )44

22

9 6 3 2 R 4 R s R s] s R− = − − = − = =

) اذا كانت )s2 s R= جد ( ) ( )1 R 2 R−

احلل :

احلل :

( ) ( ) ( )2

1

s] s R 1 R 2 R= − 22 2

1 1

s2s]s2

2

= = ( ) ( )2 2

1 2− = 3 1 4= − =

طرق حساب التكامل احملدود

توزيع التكاملمباشر(يجب تطبيق اخلصائص)(على قواعد التكامل)

غير ضروري تطبيق اخلصائص

اذا لم يوجد داخل رمزالتكامل رمز اقتران

اذا وجد داخل رمزالتكامل رمز اقتران

مثال :

( )3

1

s] 1 s2+ مثال :

( )( )2

1

s] 3 s R2−

( )3

0

s] s i3

−

0797721499أ. خالد العزازمة

6

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاتهطرق حساب التكامل احملدود

بأ اذا كان السؤال على توزيع التكامل (على اخلصائص)اذا كان السؤال تكامل (مباشر) على قواعد التكامليجب مراعاة املالحظات اآلتية قبل اجراء التكامل

ال نستطيع التكامل في احلاالت اآلتية :

القسمةالضرباجلذرالكسر

12

34

عند التعويض (بعد اجراء التكامل) يجب مراعاة املالحظات اآلتية :

ال نستطيع التعويض اذا وجد بعد التكامل

أس كسريأس سالب جنهزk عدد

s− × l

k s

l ksS

ks

عدد

ال بد من وجود معطيات في السؤال ، يجب علينا اوالالتأكد من املعطيات

معطى

غير جاهزجاهزال يوجد أي عملية

حسابية مع رمز االقترانيوجد عملية حسابية

مع رمز االقتران

معطى غيرجاهز لطيف

معطى غيرجاهز زنخ

يوجد مع رمزاالقتران ضرب

او قسمة فقط

يوجد مع رمز االقتران جمع

او طرحمثال :مثال :

( )2

1

15 s] s R3=

( )5

0

s i3 s]

2=

( )( )3

1

10 s] 5 s R3= −

( )( )2

0

s i2 s] s2

2= −

الصورة العامة :

عدد

( )f

h

s] s R=

0797721499أ. خالد العزازمة

7

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاتهخصائص التكامل احملدود

اخلاصية اخلطية : 1

2

3

4

( ) ( )f f

h h

s] s R [ s] s R[= (أ)

(ب)

( ) ( )f

h

s] s i s R±

( ) ( )f f

h h

s] s i s R± = خاصية قلب احلدود :

اذا كان

( )f

h

g s] s R= فإن :

( )h

f

g s] s R− =

خاصية االضافة :

( ) ( ) ( )f [ f

[ h h

s] s R s] s R s] s R+ =

( ) ( ) ( )f f [

h [ h

s] s R s] s R s] s R= + او

خاصية تساوي احلدود :

( )h

h

s] s R= صفر

0797721499أ. خالد العزازمة

8

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاتهالتكامل بالتعويض

حالة(١)

اقتران مركباقتران ×

( قوةاقتران ( ما داخل املركب غير خطي

ما داخل املركبنفرض :مشتقة املقدار

w= w]s]=

حالة(٢)

تكامل االقترانات املثلثيةهنا نهتم بالزاوية

الزاوية خطيةتكامل مباشرعلى القواعد

الزاوية غير خطيةتكامل بالتعويض

مثال :

( )s] s2

s2[

2+ =

الزاوية=w نفرض : w]

s]=مشتقة الزاوية

s2مثال :

2s] s

2w]

s] s ws2

= =

غير خطية

حالة(٣)

( )( ) ( )s s i R s i×

( )s Rليست

( )s Rليست

مثال :

( )2

2

1

s] 1 s Rs2+ ما داخلنفرض ( )w R

2w]s] 1 s w= + =املشتقة

( )2

3 2

0

s] 1 s R s+

ما داخلنفرض ( )w R

3w]s] 1 s w= + =املشتقة

حالة(٤)

( )ks] خطي

( )ks] f sh+ 1 k− ≠

يحل على القاعدة(اسهل)

يحل بالتعويض

( )( ) ( )

1 k

kf sh[ s] f sh

h 1 k

+ ++ = +× +

1 k− ≠

w=ما داخل االقواس f sh w+ =

0797721499أ. خالد العزازمة

9

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاتهتطبيقات التكامل

التطبيقات الهندسية

يكون املعطى ميل املماس او ويكون املطلوب جد قاعدة االقتران

( )s R

اذا كان املعطى

ميل املماس ( )s R

( )s Rيعني

يحل السؤال بثالث خطوات

نأخذ التكامل للطرفني 1

2

3

) جند قيمة من خالل املعطى )[

) مير بالنقطة )1 1w sاو

( )1 1w s R=

نكتب القاعدة مع مراعاة املطلوب

مثال :

اذا كان ميل املماس ملنحنى عند يساوي وكان منحنى مير بالنقطة اكتب قاعدة االقتران

R ( )w s ( )2

4 s3− R

( )2 1 ( )s Rاحلل :

امليل ( )2

4 s3 s R− = 2

4 s3− = 1

( ) ( )2s] 4 s3 s] s R− =

( )3s3

[ s4 s R3

+ − = ( )3[ s4 s s R+ − = ⇐

جند قيمة من خالل 2 ( )[ ( )2 1 ( )2 1 R=

[ 4 1+ − = 5 [ [ 3= ⇐ + − =

3 ( )3

5 s4 s s R+ − =

أ

( ) ( ) ( )3[ 14 1 1 R+ − =

0797721499أ. خالد العزازمة

10

مخططات الوحدة الرابعة : التكامل وتطبيقاته

املساحةالتطبيقات الفيزيائية

اذا كان املعطى السرعة ال بد ان يكوناملطلوب (موقع اجلسيم)

اذا كان املعطى التسارع

السرعة

يحل السؤال بثالث خطوات (نكامل مرة واحدة فقط)

نأخذ التكامل للطرفني 1

2

3

) جند قيمة )[

نكتب القاعدة مع مراعاة املطلوب

( )k u ( )k t

( )k j

ب

وكان املطلوب

( )k uاملسافة ( )k tنكامل مرة واحدة

فقط بثالث خطواتمع مراعاة املطلوبفي اخلطوة االخيرة

نكامل مرتني بستةخطوات مع مراعاةاملطلوب في اخلطوة

االخيرة

الى معطيات السؤال اذا كان املعطى شكل ننظر اوال

اذا كان املعطى

مساحة منطقة واحدة فقط يكون املطلوب تكامل

نحول املساحة الى تكامل

اذا كان املعطى

اذا كانت املنطقة

فوق محورالسينات

يكون التكاملموجب

حتت محورالسينات

يكون التكاملسالب

تكامل منطقةواحدة فقط

املطلوب مساحةنحول التكامل الى مساحة

وذلك بأخذ القيمة املطلقةجلواب التكامل