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1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008
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FUNCIONES
El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real,
f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x).
Dom f(x) = {x ∊ R | existe y = f(x) ∊ R }
El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de
variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para
los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A).
Rec f(x) = {y ∊ R | existe x ∊ Dom f(x) con f(x) = y}
Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A (conjunto
original) le corresponde un único elemento de B (conjunto final), de la siguiente forma:
f: A B
x y = f(x)
y es la imagen por f de x
x es la antiimagen de y por f
Dada una función, f, para cada valor x ∊ A, existe un único elemento y = f(x) ∊ B. La afirmación inversa no
siempre es cierta.
Si f: A B y A y B son subconjuntos de R, la función se denomina función real de variable real.
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CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Funciones polinómicas
f(x) = p0
+ p1
x + p2
x2 + … + pn
xn
Dom f(x) = R
Funciones racionales
f(x) =
Dom f(x) = {x ∊ R | q(x) ≠ 0}
p(x)q(x)
Funciones definidas a trozos
Su expresión analítica es diferente
para distintos valores reales. El
dominio se determina uniendo
los diferentes subconjuntos para
los cuáles está definida.
Ejemplo: dom f(x) = (-∞, 2] U (5, +∞)
Funciones irracionales
f(x) =
• Si n es par Dom f(x) = {x ∊ R | g(x) ≥ 0}
• Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x)
n
g ( x )
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CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas.
Rec f(x) = R – {0}Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1]
Rec f(x) = Z Rec f (x ) = { - 2 } U [ - 1, 1
2 ] Rec f (x ) = ( -
∏
2 ,
∏
2 )
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CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I)
Signo de una función
Se trata de determinar para qué valores de
su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0.
• f(x) > 0 si su gráfica está situada por
encima del eje de abscisas
• f(x) < 0 si su gráfica está situada por
debajo del eje de abscisas キ
• f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x1
, x2
, con x2
> x1
, se
cumple que f(x2
) ≥ f(x1
). En caso de que f(x2
) > f(x1
), la función es
estrictamente creciente.
Monotonía
Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x.
• f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x1
, x2
, con x2
> x1
,
se cumple que f(x2
) ≤ f(x1
). En caso de que f(x2
) < f(x1
), la función
es estrictamente decreciente.
Periodicidad
Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f
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CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II)
Acotación
• Función acotada superiormente f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función
• Función acotada inferiormente f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función
• Función acotada |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente)
Simetrías
• Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas
• Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas
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OPERACIONES CON FUNCIONES
Potenciación de funciones
• (fg)(x) = [f(x)]g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f
• Dom fg = Dom f Dom g
Multiplicación de funciones
• (f · g)(x) = f(x) · g(x)
• Dom (f · g) = Dom f Dom g
• Tiene la propiedad asociativa, conmutativa,
elemento neutro f(x) = 1 (f1
) y distributiva
respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h]
Adición de funciones
• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Dom (f + g) = Dom f Dom g
• Tiene la propiedad asociativa, conmutativa,
elemento neutro f(x) = 0 y elemento
opuesto –f
Resta de funciones
• (f - g)(x) = f(x) + g(x)
• Dom (f - g) = Dom f Dom g
División de funciones
· Dom f
g = { Do m f Dom g } – { x Do m g | g ( x) = 0 }
· f
g ( x ) =
f ( x )
g ( x )
Composición de funciones
• f compuesta de g (g ◦ f)
x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x)
• Dom (g ◦ f) = Dom f f-1 (Dom g)
f g
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FUNCIÓN INVERSA
• Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su
recorrido son todos los números reales [Rec f = R]
• Función biyectiva si y solo si es inyectiva y
suprayectiva al mismo tiempo
• Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b
Cálculo de la función inversa
El procedimiento es el siguiente:
• Se hace que f(x) = y
• Se intercambian x e y
• Se despeja y en función de x
Dada una función inyectiva f(x), se denomina
función inversa, f-1(x), a aquella que cumple lo siguiente:
(f ◦ f-1)(x) = (f-1 ◦ f)(x) = x
La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de
nuevo x.