1..prvi_dio

7/23/2019 1..PRVI_DIO

http://slidepdf.com/reader/full/1prvidio 1/62

JU UNIVERZITET U TUZLI

Rudarsko-geološko-građ evinski fakultet

Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornostmaterijala sa teorijom elastič nosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na

Rudarsko-geološko-građ evinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24.

1

7/23/2019 1..PRVI_DIO




1. Prostorno stanje napona

Zadatak 1.1

Za prizmu prikazanu na slici 1. odrediti sile koje djeluju u pravcu osa (x,y,z), ako su poznatedilatacije u pravcu ovih osa (x,y,z).ε y=0,718⋅ε x ε z =0,155⋅ε x ε x =0,000224a=10cm E=21000kN/cm2 µ=0,33ε x =0,000224ε y=0,718⋅ε x =0,718⋅0,000224=0,000161ε z =0,155⋅ε x =0,155⋅0,000224=0,0000348

Slika 1.Određivanje napona u prizmi:

εx⋅E=σx-µσy-µσz

εy⋅E=σy-µσx-µσz

εz⋅E=σz-µσx-µσy

σx-µσ

y-µσ

z=ε

x⋅E

σy-µσx-µσz=εy⋅Eσz-µσx-µσy=εz⋅E

z

2a

a

a

FxFx

Fy

Fy

Fz

Fz

x

y

σx-µσy-µσz=0,000224⋅21000

σy-µσx-µσz=0,000161⋅21000

σz-µσx-µσy=0,0000348⋅21000

σx-µσy-µσz=4,7

2

7/23/2019 1..PRVI_DIO




σy-µσx-µσz=3,38

σz-µσx-µσy=0,73

σx-0,33σy-0,33σz=4,7

σy-0,33σx-0,33σz=3,38

σz-0,33σx-0,33σy=0,73

σx-0,33σy-0,33σz=4,7

-0,33σx +σy-0,33σz=3,38

-0,33σx-0,33σy+σz =0,73

6015,03267,00718,0109,0109,0109,00359,00359,0133,0

1

33,0

33,0

33,0

1

133,033,0

33,0133,0

33,033,01

133,033,0

33,0133,0

33,033,01

=−−−−−−−=−

−

−

−

−−

−−

−−

=

−−

−−

−−

=

D

D

985,524,0512,011,10368,00795,07,4

33,0

1

33,0

73,0

38,3

7,4

133,073,0

33,0138,3

33,033,07,4

133,073,0

33,0138,3

33,033,07,4

=+−+++=

−

−

−

−

−−

=

−

−

−−

=

x

x

D

D

2/95,96015,0

985,5cmkN

D

D x x ===σ

554,5368,024,055,124,0512,038,3

73,0

38,3

7,4

33,0

33,0

1

173,033,0

33,038,333,0

33,07,41

173,033,0

33,038,333,0

33,07,41

=−++++=

−

−

−

−−

−

=

−

−−

−

=

y

y

D

D

2

/2,96015,0

554,5

cmkN D

D y

y ===σ

194,455,1115,10795,0511,0368,073,0

33,0

1

33,0

33,0

33,0

1

73,033,033,0

38,3133,0

7,433,01

73,033,033,0

38,3133,0

7,433,01

=++−++=

−

−

−

−

−−

−

−

=

−−

−

−

=

z

z

D

D

3

7/23/2019 1..PRVI_DIO




2/97,66015,0

194,4cmkN

D

D z z ===σ

kN a F

aa

F

kN a F

aa

F

kN a F

aa

F

z z

z z

y y

y

y

x x

x x

69710297,62

2

18401022,92

2

199010295,92

2

22

22

22

=⋅⋅=⋅=⋅

=

=⋅⋅=⋅=⋅

=

=⋅⋅=⋅=⋅

=

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Zadatak 1.2

U nekoj tač ki napregnutog tijela imamo napone:σ x =2kN/cm2;

τ xy=0;τ xz =1kN/cm2;

τ yx =0;σ y=2kN/cm2; τ yz =1kN/cm2; τ zx =1kN/cm2; τ zy=1kN/cm2; σ z =1kN/cm2 .-Utvrditi o kakvom se stanju napona radi, tj. dokazati da li je naponsko stanje ravno ili je prostorno.-Odrediti pravce i veli č ine glavnih napona.-Odrediti kosinuse pravaca glavnih napona.-Odrediti maksimalni napon smicanja.

Formiramo tenzor napona:

=

111

120

102

S

Ako je veličina determinante matrice tenzora napona različita od nule, stanje napona je prostorno, a

ako je jednaka nuli, radi se o ravnom naponskom stanju.

Pored toga bar jedan od njenih minora mora biti različit od nule.

0

0220004

11

20

02

111

120

102

=

=−−−++==

D

D

40420

021 =−== D

Dakle, vrijednost determinante je jednaka nuli, a jedan od minora je različit od nule.

Prema tome u pitanju je ravno stanje napona.

4

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Veličine glavnih napona σ i (i=1,2,3), dobijamo rješavanjem sekularne jednačine karakteristične

jednačine (*).

.....(*)....................032

2

1

3 =−⋅+⋅− I I I iii σ σ σ

Ovdje su I 1 , I 2 i I 3 , invarijante stanja napona.

21 5122cm

kN I z y x =++=++= σ σ σ

4

2

2

222

2

6110211222cm

kN I

I zx yz xy x z z y y x

=−−−⋅+⋅+⋅=

−−−⋅+⋅+⋅= τ τ τ σ σ σ σ σ σ

0001212122

2

3

222

3

=+−⋅−⋅−⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅=

I

I yz xz xy xy z zx y yz x z y x τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

Uvrštavanjem invarijanti u karakterističnu jednačinu, dobijamo:

22

21

2

2,1

2

23

22

4

32

6

2

1

2

56

2

5

2

5

065

1065

cm

kN

cm

kN

ii

i

iii

==

==

±=−

±=

=+⋅−

⋅=⋅+⋅−

σ

σ

σ

σ σ

σ σ σ σ

03 =σ jer je u pitanju ravno naponsko stanje.

Da bi našli kosinuse uglova koje glavni napon σ i zatvara sa koordinatnim osama, postavljamo uvjet

u vidu proporcije:

( )( ) ( )

( )

( )( )i z zy

yz i y

i

zy zx

i y yx

i z zx

yz yx

i z zy

yz i y

A

k

σ σ τ

τ σ σ

τ τ

σ σ τ

γ

σ σ τ

τ τ

β

σ σ τ

τ σ σ

α

−

−=

=−=−

=−

−111 coscoscos

5

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( )

( )

2221

iii

zy zx

i y yx

i

i z zx

yz yx

i

C B Ak

C

B

++±=

−=

−=

τ τ

σ σ τ

σ σ τ

τ τ

Pošto je i=1,2,3, najpogodnije je da se račun predstavi tabelarno (nakon izračunavanja) za

23

cm

kN =σ računamo Ai , Bi i C i.

( )( )

( )

( )1

11

320

1311

10

112311

132

1

1

1

−=−

=

−=−=

=−=−

−=

C

B

A

22 2cm

kN =σ

( )( )

( )

( )0

11

220

1211

10

1211

122

2

2

2

=−

=

−=−

=

−=−

−=

C

B

A

03 =σ

( )

( )

( )

( )2

11

020

1011

10

1

011

102

3

3

3

−=−

=

−=−

=

=

−

−=

C

B

A

6

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Tabela 1. Kosinusi pravaca glavnih napona

i Ai Bi Ci 2

i A 2

i B 2

iC 222iii C B A ++ cosαi cosβi cosγi

1 1 -1 -1 1 1 1 33

1±

3

1±

3

1±

2 -1 -1 0 1 1 0 22

1±

2

1± 0

3 1 -1 -2 1 1 4 66

1±

6

1±

6

2±

Maksimalni napon smicanja:

( ) ( )231max 5,103

2

1

2

1

cm

kN =−⋅=−⋅= σ σ τ

Stanje glavnih napona u posmatranoj tački, predstavljeno je Morovim krugovima.

Slika 2.

Uσ =1(kN/cm )=2cm2

τ (kN/cm2)

σ (kN/cm2)σ3

σ1

τ m a x

σ2

Zadatak 1.3

U nekoj tač ki napregnutog tijela, date su komponente deformacije:

555

555

108110011050

105010021001

−−−

−−−

⋅=⋅−=⋅=

⋅=⋅=⋅−=

,γ; ,γ; ,γ

; ,ε; ,ε; ,ε

zx yz xy

z y x

Traži se:-Tenzor deformacija.-Veli č ine i pravci glavnih dilatacija.-Stanje glavnih dilatacija prikazati grafi č ki preko Morovih krugova dilatacija.

7

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Tenzor deformacija:

−−

−

=

= −

5,05,09,05,0225,0

9,025,00,1

10

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

5

z zy zx

yz y yx

xz xy x

D

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

Karakteristična jednačina glasi:

*).........(....................032

2

1

3 =−⋅+⋅− I I I iii ε ε ε

I 1 , I 2 i I 3 su prva, druga i treća invarijanta stanja deformacija.

( )

( )44

1

4

1

222

3

222

2

1

zx yz xy

xy z zx y zy x z y x

zx yz xy x z y z y x

z y x

I

I

I

γ γ γ γ ε γ ε γ ε ε ε ε

γ γ γ ε ε ε ε ε ε

ε ε ε

⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=

++⋅−⋅+⋅+⋅=

++=

Voditi računa da je po zakonu konjugovanosti:

xz zx zy yz yx xy γ γ γ γ γ γ === ;;

( ) 55

1 105,1105,021 −− ⋅=⋅++−= I

( ) ( ) ( )

⋅+⋅−+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−= −−−−−−−−− 252525555555

2 108,1101105,04

1101105,0102105,0102101 I

10

2 106225,2 −⋅−= I

( ) ( ) ([ ]( )

)

4

108,1101105,0

105,0105,0108,11021011014

1105,0102101

555

255255255555

3

−−−

−−−−−−−−−

⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−= I

15151515

3 10626,210225,0104012,1101 −−−− ⋅−=⋅−⋅−⋅−= I

Karakteristična jednačina glasi:

010626,2106225,2105,1 1510253 =⋅+⋅⋅−⋅⋅− −−−iii ε ε ε

Za rješavanje prethodne sekularne jednačine trećeg stepena, slijede matematske upute.

8

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Matematske osnove potrebne za rješavanje zadatka.

Tabela 2. Tabela smijena

pr =

p<0

032 ≤+ pq

3cos

r

q=ϕ

3cos23 ⋅⋅−= r y

−°⋅⋅=

360cos21

ϕ r y

+°⋅⋅=

360cos22

ϕ r y

Jednač ina trećeg stepena u obliku:

03 =+⋅+⋅+⋅ d xc xb xa

rješava se uvođ enjem nove varijable:

a

b x y

⋅+=

3

Zatim vršimo zamjenu:

32

2

2

23

3

3

33

327

22

pq D

a

bca p

a

d

a

cb

a

bq

+=⋅−⋅⋅

=⋅

+⋅⋅

−⋅⋅

=⋅

Za diskriminantu D 0, postoje 3 realna rješenja. Kako za probleme rješavanja «karakteristič ne

jednač ine (*)» imamo uvijek takav sluč aj, dalje rješavanje jednač ine će se odvijati uz ovu predpostavku (D<0) i (p<0).

≤

Kada izrač unamo y1; y2 i y3 , vratimo se na «staru» varijablu:a

b x y

⋅+=

3 , te za (y1 ), izrač unamo

(x1 ), za (y2 ), izrač unamo (x2 ) i za (y3 ), izrač unamo (x3 ), i to su konač na rješenja.

15

10

5

23

3

10626,2

106225,2

105,1

1

327

22

−

−

−

⋅=

⋅−=

⋅−=

=

+⋅⋅

−⋅⋅

=⋅

d

c

b

a

a

d

a

cb

a

bq

( ) ( ) ( )[ ]

( )15

1515

1510535

1053237,0

1006475,110626,231125,125,02

10626,23

106225,2105,1

27

105,122

−

−−

−−−−

⋅=

⋅=⋅+−−=⋅

⋅+⋅−⋅⋅−

−⋅−⋅

=⋅

q

q

q

Nova varijabla:

a

b y ii ⋅

+=3

ε

( ) ( )

1010

102510

2

2

10124167,13

103725,3

3

101175,10

3

105,1106225,23

3

33

−−

−−−

⋅−=⋅

−=

⋅−=

⋅−−⋅⋅−=

⋅−⋅⋅

=⋅

p

a

bca p

9

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Diskriminanta:

0101372,11042064,1102834,0 30303032 <⋅−=⋅−⋅=+= −−− pq D

Pošto je diskriminanta manja od nule, sekularna jednačina ima tri realna korjena:

510 10060267,110124167,1 −− ⋅=⋅== pr

°=

=⋅⋅

== −

−

47,63

44665,0101919176,1

1053237,0cos

15

15

3

ϕ

ϕ r

q

55

33

55

3

104776,1103

5,1

9776,13

109776,13

47,63cos10060267,12

3cos2

−−

−−

⋅−=⋅

+−=−=

⋅−=°

⋅⋅⋅−=⋅⋅−=

b

y

r y

ε

555

22

55

2

555

11

55

1

10826,0103

5,1

10326,03

10326,03

47,6360cos10060267,12

360cos2

101514,2103

5,11065145,1

3

1065145,13

47,6360cos10060267,12

360cos2

−−−

−−

−−−

−−

⋅=⋅+⋅=−=

⋅=

°+°⋅⋅⋅=

+°⋅⋅=

⋅=⋅+⋅=−=

⋅=

°−°⋅⋅⋅=

−°⋅⋅=

b

y

r y

b y

r y

ε

ϕ

ε

ϕ

Dakle, glavne dilatacije iznose:

ε 1=2,1514⋅ 10-5

ε 2=0,826 ⋅ 10-5

ε 3=-1,4776 ⋅ 10-5

Prethodna 3 rješenja su korijeni karakteristične (sekularne) jednačine.Određivanje kosinusa smijerova glavnih dilatacija:

( )

( )

( )

−

−

−

=

i z zy zx

yz i y yx

xz xyi x

D

ε ε γ γ

γ ε ε γ

γ γ ε ε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

Minore Ai , Bi i C i, određivat ćemo za i=1,2,3; tj. ε 1 , ε 2 i ε 3.

10

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Za:

ε 1=2,1514⋅ 10-5

ε x=-1,0⋅ 10-5→ zadato

ε y=2,0⋅ 10-5→ zadato

ε z =0,5⋅ 10-5→ zadato

( )

( )

( ) 1025

1

1

1

1

10000202,0106514,15,0

5,01514,0

2

12

1

−− ⋅=⋅−−

−−=

−

−=

A

A

z zy

yz y

ε ε γ

γ ε ε

( )

( ) 1025

1

1

1

1003715,0106514,19,0

5,025,0

2

12

1

2

1

−− ⋅=⋅−

−=

−

=

B

B

z zx

yz yx

ε ε γ

γ γ

( )

( )1025

1

1

1

1001126,0105,09,0

1514,025,0

2

1

2

12

1

−−

⋅=⋅−

−

=

−=

C

C

zy zx

y yx

γ γ

ε ε γ

Pošto je:

1coscoscos

coscoscos

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

=++

===

γ β α

γ β α k

C B A

0052,0cos

03882,0

10000202,010cos

03882,0

10

03882,010

1

01126,003715,0000202,010

1

1

1

1010

11

10

1022210

2

1

2

1

2

1

=

⋅⋅=⋅=

=

⋅=

++⋅

=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

C B Ak

11

7/23/2019 1..PRVI_DIO




957,0cos

03882,0

1003715,010cos

1

1010

11

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

29,0cos

03882,0

1001126,010cos

1

1010

11

=

⋅⋅=⋅=

−

γ

γ C k

( )

( )

( ) 1025

2

2

2

2

106327,010326,05,0

5,0174,1

2

12

1

−− ⋅−=⋅−−

−=

−

−=

A

A

z zy

yz y

ε ε γ

γ ε ε

( )

( ) 1025

2

2

2

103685,010326,09,0

5,025,0

2

12

1

2

1

−− ⋅=⋅−

−=

−=

B

B

z zx

yz yx

ε ε γ

γ γ

( )

( ) 1025

2

2

2

101816,1105,09,0

174,125,0

2

1

2

121

−− ⋅−=⋅−

=

−=

C

C

zy zx

y yx

γ γ

ε ε γ

( ) ( )

( )

455,0cos

39,1

106327,010cos

39,1

10

39,1101

1816,13685,06327,0101

1

2

1010

22

10

1022210

2

2

2

2

2

2

−=

⋅−⋅=⋅=

=

⋅=−++−⋅=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

C B Ak

12

7/23/2019 1..PRVI_DIO




265,0cos

39,1

103685,010cos

2

1010

22

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

( )

85,0cos

03882,0

101816,110cos

2

1010

22

−=

⋅−⋅=⋅=

−

γ

γ C k

( )

( )

( ) 1025

3

3

3

3

1011273,7109776,15,0

5,04776,3

2

12

1

−− ⋅=⋅−

−=

−

−=

A

A

z zy

yz y

ε ε γ

γ ε ε

( )

( ) 1025

3

3

3

10944,0109776,19,0

5,025,0

2

12

1

2

1

−− ⋅=⋅−

=

−=

B

B

z zx

yz yx

ε ε γ

γ γ

( )

( ) 1025

3

3

3

102548,3105,09,0

4776,325,0

2

1

2

12

1

−− ⋅−=⋅−

=

−=

C

C

zy zx

y yx

γ γ

ε ε γ

( )

903,0cos

8778,7

101127,710cos

8778,7

10

8778,710

1

944,02548,31127,710

1

1

3

1010

33

10

1022210

2

3

2

3

2

3

=

⋅⋅=⋅=

=

⋅

=

+−+⋅

=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

C B Ak

13

7/23/2019 1..PRVI_DIO




12,0cos

8778,7

10944,010cos

3

1010

33

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

( )

413,0cos

8778,7

102548,310

cos

3

1010

33

−=

⋅−⋅

=⋅=

−

γ

γ C k

Dakle uglovi koje zaklapaju pravci glavnih dilatacija sa koordinatnim osama su:

α→sa osom (x); β→sa osom (y); γ→sa osom (z).

ε1→ (α1; β1; γ1 )

ε2→ (α2; β2; γ2 )

ε3→ (α3; β3; γ3 )

Tabela 3. Tabelarni prikaz kosinusa smijerovai

iα cos i β cos iγ cos ε1

1 0,0052 0,957 0,29 2,1514⋅10-5

2 -0,455 0,265 -0,85 0,826⋅10-5

3 0,903 0,120 -0,413 -1,4776⋅10-5

Morov krug dilatacija

14

Slika 3.

Uε=1⋅10 =2cm-5

ε1

ε2 ε⋅10-5

½ ⋅γ⋅10

½ ⋅ γ m a x

-5

ε3

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 1.4

Stanje deformacije u nekoj tač ki kvadra, ima tenzor deformacije:

00005,000005,000009,0

00005,00002,0000025,0

00009,0000025,00001,0

−

−

−

= D

Elasi č ne konstante materijala su: E=21000kN/cm2 ,µ

=1/3. Napisati tenzor napona za istu tač ku, i odrediti prvu invarijantu tenzora napona.

Modul klizanja:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

)6....(................................................................................

)5....(................................................................................

)4....(................................................................................

)3.......(....................1211

)2.......(....................1211

)1.......(....................1211

78772333,01

21000

21 2

zx zx

yz yz

xy xy

y x z z

x z y y

z y x x

G

G

G

E

E

E

cm

kN E G

γ τ

γ τ

γ τ

ε ε µ ε µ µ µ

σ


σ


σ

µ

⋅=

⋅=

⋅=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

=⋅+

=⋅+

=

15

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) 0000335,000005,067,01

000134,00002,067,01

000067,00001,067,01

000033,00002,00001,033,0

0000165,00001,000005,033,0

0000825,000005,00002,033,0

67,01

452,066,0133,01211

=⋅=⋅−

=⋅=⋅−

−=−⋅=⋅−

=+−⋅=+⋅

−=−⋅=+⋅

=+⋅=+⋅

=−

=−⋅+=⋅−⋅+

z

y

x

y x

x z

z y

ε µ

ε µ

ε µ

ε ε µ

ε ε µ

ε ε µ

µ

( ) ( )

[ ]

[ ]

[ ]2

2

2

09,3000033,00000335,018,46460

459,50000165,0000134,018,46460

72,00000825,0000067,018,46460

18,46460452,0

21000

211

cm

kN

cm

kN

cmkN

E

y

y

x

=−⋅=

=−⋅=

=+−⋅=

==−⋅+

σ

σ

σ

µ µ

( )

2

2

2

41,100009,027877

788,000005,027877

394,0000025,027877

cm

kN cm

kN

cm

kN

zx

yz

xy

=⋅⋅=

−=−⋅⋅=

=⋅⋅=

τ

τ

τ

Tenzor napona:

2

09,3788,041,1

788,0459,5394,0

41,1394,072,0

cm

kN S

S

z zy zx

yz y yx

xz xy x

−

−=

=

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

Prva invarijanta tenzora napona:

21 269,909,3459,572,0cm

kN I z y xn =++=++= σ σ σ

16

7/23/2019 1..PRVI_DIO




17

7/23/2019 1..PRVI_DIO






18

7/23/2019 1..PRVI_DIO




2. Dvoosno naponsko stanje

Zadatak 2.1

Kvadar prikazan na slici 4. optereć en je silama: F x ; F y; F T .

Odrediti normalne i napone smicanja u presjeku koji stoji pod uglom: ϕ=43,5o .Odrediti pravce i intenzitete glavnih napona. Analiti č ki dobijene rezultate provjeriti preko Morovog naponskog kruga. a=10cm

a/2

FTFx

Fy

yFy=100kN

Fx=333kN=100kN

a

2 / 3 a

Slika 4.

Analitič ko rješenje zadatka

22

1

22

3

502

100

22

33,333

100

33

2

2

cmaa

a A

cmaaa

A

===⋅=

===⋅=

222

3

222

1

222

3

3100

300300

3

100

2100

200200

2

100

10

100

10001000

3

333

cm

kN

aa A

F

cm

kN

aa A

F

cm

kN

aa A

F

T xy

y

y

x x

=====

−=−

=−

=−

=−

=

=====

τ

σ

σ

19

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Za pozitivan smičući napon:

( ) ( )

2222222282,7

100

2,7282,72899,0

300052,0

2001000

2

12001000

2

1

2sin2cos2

1

2

1

cm

kN

aaaaaan

xy y x y xn

===⋅+

++

−=

+−++=

σ

ϕ τ ϕ σ σ σ σ σ

99,05,43cos2sin

052,05,43cos2cos

==

==o

o

ϕ

ϕ

( ) ϕ τ ϕ σ σ τ 2cos2sin2

1 xy y xnl +−−=

2222222 784,5100

4,5784,5786,15594052,030099,0200100021

cmkN

aaaaaanl −=−=−=+−=⋅+

+−=τ

o

o

y x

xy

arctg

tg

28,13

;56,262

5,02

2

=

=

=+

=

α

α

σ σ

τ α

22424

2

4

2

22,18,670400

2

6,134140030041200

2

1400

aaaaaaa±=±=⋅+±=σ

221 78,10100

8,10708,1070

cm

kN

a===σ

222 708,2100

8,2708,270

cm

kN

a−=−=−=σ

20

7/23/2019 1..PRVI_DIO




21

Provjera preko Morovog kruga

Grafič ko rješenje τ

σ2=-2,7kN/cm2 σ1=10,7kN/cm2Uσ=1kN/cm2=1cm

-σ =2kN/cm

2

σx=10kN/cm

2

(2)

(1)

τxyα=13,28o

σ

-τxy

τnl=-5,8kN/cm2

(2)

σn=7,3kN/cm2

Slika 5.

Zadatak 2.2

Tanka ploč a (slika 6.) je zategnuta u pravcu ose x i u pravcu ose y. Glavna naponska osa (1),stoji pod uglom =26,5°, u odnosu na osu (x). U nekom kosom presjeku ove ploč e poznati sunaponi:

σn=13,9kN/cm2;τnl =-0,95kN/cm2 . Takođ e je poznat napon smicanja:

τ xy=4kN/cm2 .Odrediti:-Glavne napone

σ1 i σ2 .-Ugao ( ϕ ), pod kojim stoji kosi presjek.-Napone u pravcu osa x i y ( σ x i σ y ). Izvršiti provjeru alternativnom metodom.

7/23/2019 1..PRVI_DIO




22

y

σy

τyx

τxy

ϕ σx σx

x

Slika 6.σy

Grafič ko rješenje

Polupriječnik Morovog kruga može se izraziti i preko relacije: τ xy /R=2sinα

R=τ xy /2sinα =4/0,798=5kN/cm2. AO =R

Pošto su zadati: τ nl i σ n; nanesemo σn i na kraju iz tačke A/ nanesemo -τ nl .

Pošto smo izračunali « R», uzmemo u šestar dužinu «R», i iz tačke A presječemo osu σ . To je tačka «O» centar Morovog kruga, koji sada možemo nacrtati, a sa njega dobiti tražene

veličine.

σ O

Uσ=1kN/1cm2=1cm

σ =13,9kN/cm2

σ1=14kN/cm2

σx=12kN/cm2

σy=6kN/cm2σ2=4kN/cm2

τ n l

A

Aβ

- τ x y

τ x y = 4 k N / c m 2

(2)

(1)

2αϕ=32o

α=26,5o

R

τ

Slika 7.

Odgovor: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm

2; σ1=14kN/cm

2; σ2=4kN/cm

2; ϕ=32

o

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Analitič ka provjera rješenja

24

327,125,26

22

cm

kN

tg

tg

xy

o

y x

xy

=

==

−=

τ

α α

σ σ

τ α

( )

).......(..........6327,1

8

42327,1

22

2a

cm

kN

tg

y x

y x

xy y x

==−

⋅=−⋅

=−⋅

σ σ

σ σ

τ σ σ α

Pošto je:2

95,0cmkN

nl −=τ

( )

)1....(..........2cos33,1317,02sin

2cos21,412sin15,3

2cos21,42sin15,31

95,0

12cos42sin395,0

)1(2cos42sin395,0

2cos42sin62

195,0

2cos2sin2

1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ τ ϕ σ σ τ

⋅+=

⋅+=⋅

⋅−⋅=

⋅⋅−⋅=

−⋅⋅+⋅−=−

⋅+⋅⋅−=−

⋅+⋅−−= xy y xnl

β α =−

β τ

2sin= R

nl (vidi se na Morovom krugu)

°−=°−=

−=−

=

48,595,102arcsin

19,0

5

95,02sin

β β

β

°=+= 32α β

44,02cos

9,02sin

=

=

ϕ

9,0438,033,1317,02sin =⋅+= što zadovoljava jednačinu (1)

23

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Iz jednačine (a) : y x σ σ += 6

( ) ( )

( ) ( )

( ) y y y

y y y y

xy y x y xn

σ σ σ

σ σ σ σ

ϕ τ ϕ σ σ σ σ σ

+=+++=++⋅+⋅=

⋅+⋅−+⋅+++⋅=

⋅+⋅−⋅++⋅=

9,76,33,136,33,1262

19,13

9,0444,06216

219,13

2sin2cos2

1

2

1

269,79,13

cm

kN y =−=σ

Pošto je:2

12666cm

kN y x =+=+= σ σ

Dakle: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm

2; ϕ=32

o; što se u potpunosti slaže sa grafičkim rješenjem.

Provjera glavnih napona:

( ) ( )

( ) ( ) 59446122

1612

2

1

42

1

2

1

22

2,1

22

2,1

±=⋅+−±+=

+−±+=

σ

τ σ σ σ σ σ xy y x y x

;4;142221

cm

kN

cm

kN == σ σ

Dakle, i glavni naponi se u potpunosti slažu sa grafičkim rješenjem.

Zadatak 2.3

Zadate su veli č ine glavnih napona: σ1=12,9kN/cm2; σ2=-4,9kN/cm2 i napona smicanja koji leži ukosoj ravnini pod uglom ϕ=30o . τnl =-4,9 kN/cm2 -Odrediti najpogodnijom metodom napone:

σ x , σ y , τ xy i σn .-Odrediti ugao ( ) i odrediti ose (1) i (2)

-Provjeriti drugom metodom tač nost rezultata dobijenih po prvoj metodi.

Najpovoljnija metoda je grafička metoda, primjenom Morovog naponskog kruga.

Očitane tražene veličine: σx=12kN/cm2; σy=-4kN/cm

2; σn=11,4kN/cm

2; τxy=4kN/cm

2; α=13,35

o

24

7/23/2019 1..PRVI_DIO




25

τ Uσ=2kN/cm2=1cm

(1)

τ x y = 4 k N / c m 2

α=13,35°

σ

τ n l = - 4 , 9 k N / c m 2

ϕ=30°

σn=11,4kN/cm2

σy=-4kN/cm2 σx=12kN/cm2

σ2=-4,9kN/cm2 σ1=12,9kN/cm2

(2)

Slika 8.

Analitič ka provjera

Unesene su očitane veličine: σ x=12kN/cm2; σ y=-4kN/cm2; τ xy=4kN/cm2

( ) ( )

( ) ( ) 9,84444122

1412

2

1

42

1

2

1

22

2,1

22

2,1

±=⋅++±−=

+−±+=

σ


;9,49,84;9,129,842221

cm

kN

cm

kN −=−==+= σ σ

S obzirom da smo dobili zadate veličine za σ 1 i σ 2, dobijeni parametri grafičkom metodom su tačni.

( )

( )2

9,45,04866,04122

1

2cos2sin2

1

cm

kN nl

xy y xnl

−=⋅+⋅+−=

+−−=

τ

ϕ τ ϕ σ σ τ

Iz prethodnog zaključujemo, da je i po drugoj provjeri tačan grafički način određenih, traženih

veličina.

Provjera očitanog ugla “α”

7/23/2019 1..PRVI_DIO




o

o

y x

xy

arctg

tg

3,13

6,262

5,0412

4222

=

=

=+⋅

=−

=

α

α

σ σ

τ α

što se takođe slaže sa očitanom veličinom.

( ) ( )

( ) ( )2

46,11866,045,04122

1412

2

1

2sin2cos2

1

2

1

cm

kN n

xy y x y xn

=⋅+⋅+⋅+−⋅=

⋅+⋅−⋅++⋅=

σ

ϕ τ α σ σ σ σ σ

Dakle, očitana veličina i izračunata veličina (σ n) na bazi očitanja, identične su, pa je zaključak, da

su sve tražene veličine, dobijene grafičkom metodom, tačne.

Zadatak 2.4

Mjernim trakama postavljenim po pravcima (a), (b) i (c) na č eli č noj ploč i (slika 9. ) ustanovljenesu dilatacije:εa=0,00097εb= 0,00103εc=0 ,0011 Prema pravcima sila, oč ekuju se normalna naprezanja na zatezanje, a naprezanje na smicanjeć e takođ e imati pozitivan predznak.Odrediti naprezanja u pravcu ose (x) σ x , u pravcu ose (y) σ y i naprezanje na smicanje τ xy . takođ eodrediti glavne napone, kao i njihov položaj. E=21000kN/cm2; G=7875kN/cm2

26

Slika 9.

θ1=17°

θ2=22,5°

θ3=45°

(c)

(b)

(a)

θ3

θ2

θ1

x

y

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( )( ) )3..(..........2sin2cos2

)2..(..........2sin2cos2

)1..(..........2sin2cos2

33

22

11

θ γ θ ε ε ε ε ε



⋅+⋅−++=⋅

⋅+⋅−++=⋅

⋅+⋅−++=⋅

y x y xc

y x y xb

y x y xa

;00194,02 =⋅ aε ;00206,02 =⋅ bε ;0022,02 =⋅ cε

;0,02cos

;707,02cos

;829,02cos

3

2

1

=

=

=

θ

θ

θ

;0,12sin

;707,02sin

;559,02sin

3

2

1

=

=

=

θ

θ

θ

γ ε ε

γ ε ε ε ε

γ ε ε ε ε

++=

⋅+⋅−⋅++=

⋅+⋅−⋅++=

y x

y x y x

y x y x

0022,0

707,0707,0707,000206,0

559,0829,0829,000194,0

)3.....(........................................0022,0

)2.(..........707,0293,0707,100206,0

)1..(..........559,0171,0829,100194,0

γ ε ε

γ ε ε

γ ε ε

++=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

y x

y x

y x

Formiramo determinante i razvijemo ih po Sarusu, te određujemo dilatacije εx i εy, kao i ugao

smicanja (klizanja) (γ).

138,01638,0293,1292,0954,0121,05359,0

1

293,0

171,0

1

707,1

829,1

111

707,0293,0707,1

559,0171,0829,1

111

707,0293,0707,1

559,0171,0829,1

−=−−−++=

==

D

D

000098,0

1

293,0

171,0

0022,0

00206,0

00194,0

110022,0

707,0293,000206,0

559,0171,000194,0

110022,0

707,0293,000206,0

559,0171,000194,0

−=

==

x

x

D

D

00071,0138,0

000098,0=

−−

== D

D x

xε

27

7/23/2019 1..PRVI_DIO




28

00006,0

0022,01

00206,0707,1

00194,0829,1

10022,01

707,000206,0707,1

559,000194,0829,1

10022,01

707,000206,0707,1

559,000194,0829,1

−=

==

y

y

D

D

00044,0138,0

00006,0=

−−

== D

D y

yε

000139,0

11

293,0707,1

171,0829,1

0022,011

00206,0293,0707,1

00194,0171,0829,1

0022,011

00206,0293,0707,1

00194,0171,0829,1

−=

==

γ

γ

D

D

001,0138,0

000139,0=

−−

== D

D yγ

Naponi:

( ) ( )

( ) ( )

2

222

222

87,7001,07875

89,1533,01

00071,033,000044,021000

1

15,2033,01

00044,033,000071,021000

1

cm

kN G

cm

kN E

cm

kN E

xy

x y

y

y x

x

=⋅=⋅=

=−

⋅+⋅=

−

⋅+=

=−

⋅+⋅=

−

⋅+=

γ τ

µ

ε µ ε σ

µ

ε ε σ

Položaj glavnih osa napona:

0

0

42,37

85,742

69,389,1515,20

87,7222

=

=

=−⋅

=−

=

α

α

σ σ

τ α

arctg

tg y x

xy

( ) ( )

( ) ( ) 15,802,1887,7489,1515,202

189,1515,20

2

1

421

21

22

2,1

22

2,1

±=⋅+−±+=

+−±+=

σ


;87,915,802,18;17,2615,802,182221

cm

kN

cm

kN =−==+= σ σ

;87,9;17,262min22max1

cm

kN

cm

kN ==== σ σ σ σ

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 2.5

Odrediti prvu, drugu i treć u invarijantu tenzora napona, napisati matricu (tenzor napona) zakvadar, optereć en kao na slici. a=10cm

FT

A3

A2A1

Fx

Fy

y

Fy=50kN

=50kN

Fx=100kN

3a

2 a

0,75a

Slika 10.

222

1

222

2

222

1

2251025,225,275,03

150105,15,1275,0

600106632

cmaaa A

cmaaa A

cmaaa A

=⋅==⋅=

=⋅==⋅=

=⋅==⋅=

Naponi:

222

2

222

3

222

2

333,0

100

3,333,33

5,1

50

222,0100

2,222,22

25,2

50

667,0100

7,667,66

5,1

100

cm

kN

aa A

F

cm

kN

aa A

F

cm

kN

aa A

F

T xy

y

y

x

x

=====

−=−

=−

=−

=−

=

=====

τ

σ

σ

−=

−=

000

0222,0333,0

0333,0667,0

000

02,223,33

03,337,66

22

22

aa

aa

S

29

7/23/2019 1..PRVI_DIO




0;0;0;0 ==== zx yz xy z τ τ τ σ

22221

1

445,0100

5,445,442,227,66

cm

kN

aaa I

I y x z y x

===−=

+=++= σ σ σ σ σ

4

2

4

2

2222

2222

2

258964,010000

64,258964,25893,332,227,66

cm

kN

aaaa I

I xy y x zx yz xy x z z y y x

−=−

=−

=

−

−⋅=

−⋅=−−−⋅+⋅+⋅= τ σ σ τ τ τ σ σ σ σ σ σ

02222

3 =⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅= yz xz xy xy z zx y yz x z y x I τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

30

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost

materijala sa teorijom elastič nosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građ evinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 62 do 73.

31

7/23/2019 1..PRVI_DIO




3. Jednoosno naponsko stanje

Zadatak 3.1

Za štapni sistem prikazan na slici 11. odrediti sile u štapovima (1), (2) i (3). Popreč ni presjeci

štapova su: A1=2,075cm2; A2=5cm2; A3=2cm2 . Takođ e odrediti pomijeranje tač ke (C), poddjelovanjem sile G=100kN. Štapovi su od č elika. Težinu štapova zanemariti. l 2=200cm.

321

BA

C

G

35o 30o

l 3

l 2

l 1

S3

S2

S1

y

321

BA

C

G=100kN

35o30o

x

Slika 11. Slika 12.

331

31

15,1

30sin

35sin

035sin30sin

S S S

S S S

o

o

oo

x

⋅=⋅=

=⋅−⋅=Σ

0819,0866,0

035cos30sin

0

321

321

=−⋅++⋅

=−⋅++⋅

=Σ

GS S S

GS S S

S

oo

y

GS S

GS S S

=+⋅

=⋅++⋅⋅

23

323

81,1

819,0866,015,1

C/

Slika 13.

∆ l 2

∆ l 3

S3

S2

S1

C

35o30o

x35o

23 552,025,55 S S ⋅−=

23

2

3

0

2

3

819,0

819,0

35cos

l l

l

l l

l

∆⋅=∆

=∆∆

=∆

∆

2

222

3

333 ;

A E

l S l

A E

l S l

⋅⋅

=∆⋅⋅

=∆

32

7/23/2019 1..PRVI_DIO




oo

o l l

l l

l 35cos;

30cos;30cos 2

32

1

1

2 === l

( )

kN S

S

S S

S S

A E

l S

A E

l S l

o

37,67

25,5582,0

268,0552,025,55

5

819,0

819,02

552,025,55

819,0

35cos

552,025,55

2

2

22

22

2

22

3

223

=

=⋅

⋅=⋅−

⋅=⋅

⋅−

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅−=

∆

kN S 05,1837,67552,025,553 =⋅−=

kN S S 76,2005,1815,115,1 31 =⋅=⋅=

omijeranje tačke ( C ):

-C/=∆l2

P

C

cml l

l

A E

l

1282,0200000641,0000641,0

521000

37,67

22

2

2

22

=⋅=⋅=∆

⋅⋅

=⋅

S l 2 ⋅=∆

adatak 3.2

a stati č ki sistem prikazan na slici 15., odrediti dilatacije u štapovima

Z Z C A i C B , ako su isti od

g na eza :

z

Slika 14.

č elika. Štapove dimenzionirati na osnovu sila u štapovima i dozvoljeno pr nja na istezanje

σ

de=12kN/cm2 . Štapovi su okruglog popriječ nog presjeka. Greda A-B, č iju težinu trebaanemariti, optereć ena je silama F 1=60kN i F 2=30kN.

lA

B

C

l/2

l/2

l

α

α=60o

1

2l=2m

α

F2 F1

33

7/23/2019 1..PRVI_DIO




roz tačku (A) postavimo koordinatni sistem i postavimo uvjete ravnoteže:

prva dva uvjeta odredimo sile u štapovima (kao funkcije ugla ϕ), a iz trećeg odredimo ugao (ϕ).

Slika 15.

K

0;0;0 =Σ=Σ= B y x M F F Σ

IzUgao (ϕ) je ravnotežni ugao. Zatim izračunamo sile FA i FB, i izvršimo dimenzioniranje štapova.

Kada su poznati popriječni presjeci štapova, određuje se njihova deformacija (∆li) i dilatacija (εi).

C BC A60cos

=°

==

F2

l

B

C

F1

l/2

l/2

l60o

60o

2

ϕ

FB

x

F 1+F 2=G=90kN

ml

45,0

2=

1

y

FA

A

ϕ

( )

( )

)3.(....................0cos2

3sin2

)2(........................................0cossin

)1(........................................0sincos

21 =⋅⋅

⋅+−⋅⋅⋅=Σ

=⋅−⋅+=Σ

=⋅−⋅−=Σ

ϕ α

ϕ α

α

l F F l F M

G F F Y

G F F X

A B

B Ai

B Ai

jednačine (1):Iz

α cossin⋅=− G F B A F

jednačine (2):Iz

α sin

cos⋅=+

G F B A F

34

7/23/2019 1..PRVI_DIO




α α

α ϕ α ϕ

α α

α ϕ α ϕ

α

ϕ

α

ϕ

α

ϕ α

ϕ

α

ϕ

α

ϕ

α

cossin2

)coscossin(sin

cossin

coscossinsin

sin

cos

cos

sin2

sin

cossin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

sin

⋅⋅⋅+⋅⋅

=

⋅⋅⋅+⋅⋅

=⋅

+⋅

=⋅

−⋅

=

−⋅

=⋅

−

⋅−=

−⋅

=−

G F

GGGG F

F G

F

F GG

F

G F F

F G

F

A

A

A B

A A

A B

A B

Matematske smjene:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )ϕ α ϕ α α ϕ α ϕ

ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α α ϕ α ϕ

ϕ α ϕ α ϕ α

α α α

ϕ α ϕ α α ϕ

ϕ α ϕ α α ϕ

−=−⋅=⋅+⋅

++−++−−⋅=⋅+⋅

⋅+⋅=−

=⋅⋅

++−⋅=⋅

+−−⋅=⋅

coscos

2

2coscossinsin

coscoscoscos2

1coscossinsin

sinsincoscos)cos(

2sincossin2

coscos2

1coscos

coscos21sinsin

( )α

α

2sin

cos G F A

⋅−=

Analogijom slijedi:

( )α

α

2sin

cos G F B

⋅+=

Uvrštavanjem (FA) u jednačini (3), slijedi:

( )0cos

2

3sin2

2sin

cos21 =⋅⋅

⋅+−⋅⋅⋅−⋅

ϕ α α

ϕ α l F F l

G

Zamjenom poznatih veličina slijedi:

35

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( )( )

°=

=

=⋅+

⋅=⋅+⋅

⋅+⋅=⋅+⋅=−

⋅=−

47,5

096,0

583,0cos

sin866,05,0

cos583,0sin866,0cos5,0

sin866,0cos5,0sinsincoscoscos

cos583,0cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ α

ϕ ϕ α

tg

( )kN F A 3,60

866,0

2,52

120sin

9047,560cos==

°⋅°−°

=

( )kN F

B2,43

866,0

36,37

120sin

9047,560cos==

°

⋅°+°=

Dimenzioniranje štapa (1)

2

1

1

025,512

3,60cm

F A

A

F

d

A

A

d

===

=

σ

σ

cmd

d A

53,2

14,3

025,54

4

1

2

11

=⋅

=

= π

Usvaja se d1=26mm.

Dimenzioniranje štapa (2)

2

2

2

6,312

2,43cm

F A

A

F

d

B

B

d

===

=

σ

σ

cmd

d A

14,214,3

6,34

4

2

2

2

2

=⋅

=

= π

Usvaja se d2=22mm.

cmC BC Al l 40021 ====

36

7/23/2019 1..PRVI_DIO


7/23/2019 1..PRVI_DIO




38

( )

( )

( )

( )

z ⋅=−

2,0100

2040

( )

( ))(126,0

14,304,

14,32,020

22

2

2

cm z z

z

z

⋅+

⋅⋅

⋅⋅+

z h

r R z x

z

x

h

r R

dz h

r R x

dz h

r Rdx

⋅=−

⋅=

=−

⋅−

=

⋅−

=

∫

Tabela 4. Tabelaizračunatog pritiska

za z→0 do 100z

(cm)

A

(cm2)σ p

(kN/cm2)

0 1256 7,96

10 1520 6,6

20 1808 5,5

30 2123 4,7

40 2462 4,0

50 2826 3,54

60 3215 3,1

70 3630 2,75

80 4069 2,45

90 4534 2,2

100 5024 2,0

( )

12,251256

08202

2

A

z A

xr A

x

x

x

⋅+=

+⋅+=

=⋅+= π

Zakonitosti promjene napona:

π ⋅

⋅

−+=

∫

2

0

dz

h

r Rr A

z

x

⋅

⋅

−+

==

∫22

0

cm

kN

dz h

r Rr

F

A

F

z x

x

π

σ Veličina (z) ima vrijednost od 0 do h.

Dijagram pritiska

Slika 18.

F

r

h

σmax

R

UL=10cm=1cm

Uσ=2kN/cm =1cm2

—

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 3.4

Stub od betona u obliku zarubljene kupe prikazane na slici 19., optereć en je silom F=40kN. zapreminska masa stuba:

ρ

=2,5t/m3 . Stub se oslanja na č vrstu podlogu koja je od istogmaterijala kao i stub. Postaviti jednač inu za napon u proizvoljnom presjeku, a zatim nacrtati

dijagram napona za č itav stub, po visini.

y

F

R1=20cm;

R2=40cm z

R 2

h = 8 m

R 1 F=40kN

R 2

h = 8 m

R 1

∆y

Slika 19. Slika 20.

z y R R

z y

z y

z

y

h

R R

⋅+=∆+=

⋅=∆

⋅

−

=∆

∆=

−

025,02,0

025,0

8

2,04,0

1

12

( ) ( ))(00196,00314,0126,014,3000625,001,004,014,3025,02,0

22

222

m z z A z z z R A

⋅+⋅+= ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+=⋅= π

Težina štapa dužine (z)

22

1

222

11

00098,00157,0126,02

00196,00314,0252,0

2

126,014,32,0

z z z z A A

A

m R A

sr ⋅+⋅+=⋅+⋅+

=+

=

=⋅=⋅= π

39

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zapremina posmatranog dijela:

32 00098,00157,0126,0 z z z z AV sr ⋅+⋅+⋅=⋅=

Težina:

32 024,038,01,3

5,2481,95,2

z z z G

V V V G

⋅+⋅+⋅=

⋅=⋅⋅=⋅⋅= ρ

Opća formula napona za bilo koju veličinu (z)

( )

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

−=+

−=22

32

00196,00314,0126,0

024,038,01,340

m

kN

z z

z z z

A

G F pσ

Za dijagram napona, uzete su veličine za (z). z=0; 2; 4; 6; 7 i 8m, i izračunati su naponi koji su prikazani tabelarno i nacrtani na dijagramu napona.

Tabela 5.

z (m) Ai (m2) (F+G) (kN) σi (kN/m

2)

0 0,126 40 -317,46

2 0,197 47,9 -243,6

4 0,283 60 -211,7

6 0,385 77,5 -201,3

7 0,441 88,5 -200,68

8 0,5024 101,4 -202,0

R 1 F=40kN

σmax=-317,46kN/cm2

h = 8 m

UL=100cm=1cm

Uσ=100kN/cm =1cm2

R 2 z Slika 21.

40

7/23/2019 1..PRVI_DIO






41

7/23/2019 1..PRVI_DIO




4. Momenti inercije

Zadatak 4.1

Za lik prikazan na slici 22. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne

polupriječ nike inercije i nacrtati elipsu inercije.

Slika 22. Slika 23.

10

1 5 c m

1 5 c m

6 0 c m

20cm

30cm

x

y

X3=33,3

X2=25

A3

A2

A1

X1=13,3

y 3 = 5 5

y 2 = 3 0

y 1 = 5

Određivanje položaja težišta lika:

Tabela 6.

Br. Površina

(cm2)

xi(cm) yi(cm) Sx

(cm3)

Sy

(cm3)

1 150 13,3 5 750 1995

2 600 25 30 18000 15000

3 75 33,3 55 4125 2497,5

Σ 825 - - 22875 19492,5

Koordinate težišta:

cm A

S x

cm A

S y

y

T

xT

6,23825

5,19492

7,27825

22875

==Σ

Σ=

==ΣΣ

=

42

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Pošto je određen položaj težišta, određuju se momenti inercije za težišne ose.

4

223333

3191755589777293187593770846112327

3,27757,2215036

1520

36

1510

3

7,2710

3

3,3210

cm I

I

x

x

=+++++=

⋅+⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

2 7 , 3

A2/V

A2/

A2

///

x

y

xT=23,6cm

A3

A2//

A1

3 2 , 3 c m

y T = 2

7 , 7 c m

2 2 , 7

6,43,6

Slika 24.

4

223333

3289670571591333344165243933

7,9753,1015036

2015

36

1015

3

4,660

3

6,360

cm I

I

y

y

=+++++=

⋅+⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

Napomena:

Kada se traži ( I x), onda su za sopstvene momente inercije trokutova (1) i (3) baze paralelne osi ( x);

tj. a1=20cm; a3=10cm. Za ( I y) a1=15cm; b3=15cm.36

3ha I xs

⋅=∆

Centrifugalni momenat inercije

Svaku segmentarnu površinu: A1; A2

/

; A2

//

; A2

///

; A2

/V

i A3 množimo sa koordinatama težišta te površine u odnosu na težište integralnog lika, vodeći računa o predznacima koodinata u pojedinim

kvadrantima.

A1=150cm2; A2

/ =116,3 cm

2; A2

// =206,7 cm

2;

A2 ///

=99,7 cm2; A2

/V =177,3 cm

2; A3=75 cm

2;

Sopstveni centrifugalni momenat inercije pravouglog trokuta:72

22 ha I xys

⋅−=

43

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4

22

22

2,5529878585,248512505,350713381106825,3127,19860

85,132,33,17772

152085,138,17,99

7,223,1015015,168,13,11615,162,37,20672

15103,277,975

cm I

I

xy

xy

=−+−+−+−=

−⋅⋅+⋅

−−⋅−⋅+

+−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅

−⋅⋅=

Položaj glavnih osa inercije:

o

o

y x

xy

I I

I tg

5,10

;12,212

386,032896319175

2,55298222

−=

−=

−=−

⋅−=

−

−=

α

α

α

Glavni momenti inercije:

( ) ( )

( ) ( )

153450176035

2,552984328963191752

132896319175

2

1

42

1

2

1

2,1

22

2,1

22

2,1

±=

⋅+−⋅±+⋅=

⋅+−⋅±+⋅=

I

I

I I I I I I xy y x y x

44

;22585;329485 4

2

4

1 cm I cm I ==

cm A

I i

cm A

I i

2,5825

22585

;20825

329485

22

11

==Σ=

==Σ

=

Elipsa inercije:

Slika 25

0

(2)

(1)

i2 D

C

B

A

i

x

y

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 4.2

Za lik prikazan na slici 26. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječ nike inercije i nacrtati elipsu inercije. R=10cm

Slika 26. Slika 27.

A3

y

A2

A4

3R

4 R

xA1 R

R

3R

4 R

Određujemo težište i zadati lik postavljamo u koordinatni sistem

Tabela 7.

R

y 1

y 1

Br. A(cm2) xi(cm) yi(cm) Sx

(cm3)

Sy

(cm3)1 157 10 5,8 910,6 1570

2 1200 10 40 48000 12000

3 600 35 60 36000 21000

4 157 54,2 60 9420 8509

Σ 2114 - - 94330 43079Slika 28.

44

11

11,0;8

58,0;42,0

R I R

I

R y R y

x y ⋅=⋅

=

⋅=⋅=′

π

Koodinate težišta:

R xilicm A

S x

R yilicm A

S y

T

y

T

T

x

T

⋅≅==Σ

Σ=

⋅≅==ΣΣ

=

2202114

43079

46,46,442114

94330

45

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Za težišne ose x i y određujemo momente inercije:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

444

44444444

2

24

22

32

24

33

832000103,823,82

7,34,01426,2311,06,279,10

54,128

54,16

12

2388,3

211,0

3

46,32

3

54,22

cm R I

R R R R R R R R I

R R R R R

R R R

R R

R R R R I

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

π π

π

A2

A3 A4

3R

3 , 8 8 R

x

y

2 , 5 4 R

1 , 5 4 R

3,42R

4 , 4 6 R

R

3 , 4 6 R

A1

Slika 29.

( ) ( )( )

444

444444

42

22

24

33

545000105,545,54

4,057,14,1811,01816

8242,3

211,0

3

32

3

26

cm R I

R R R R R R I

R R

R R

R R

R R R R I

y

y

y

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅

⋅+⋅⋅

⋅+⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

π π π

( ) ( ) ( )

444

44444

2

22

337000107,337,33

61245,63,886,13

88,32

73,1)(46,32

27,1)(254,242,354,125,154,16

cm R I

R R R R R I

R R R

R R R R

R R R R R R

R

R R R I

xy

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅−⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅=π

π

46

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Položaj glavnih osa simetrije:

o

o

o

y x

xy

arctg

R R

R

I I

I tg

8,33

;58,672

58,672

42,25,543,82

7,33222

44

4

−=

−=

−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−

⋅−=

α

α

α

α


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

;319000109,319,31

;1049000109,1049,104

5,364,680,732

5,543,822

7,3345,543,822

15,543,82

2

1

42

1

2

1

444

2

444

1

44

44

2,1

2424444

2,1

22

2,1

cm R I

cm R I

R R R R I

R R R R R I


=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=⋅±+⋅=

⋅⋅+⋅−⋅⋅±⋅+⋅⋅=

+−⋅±+⋅=

cm28,122114

= A

I i

cm A

I i

319000

;27,222114

1049000

22

11

=Σ

=

==Σ

=

Elipsa inercije:(2)

i 2

α=-33,8°

i1

(1)

Slika 30.

47

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 4.3

Za lik prikazan na slici31. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječ nike inercije i nacrtati elipsu inercije. =1cm

1 0 δ1

1 0 δ

5

5δ10δ 10δ

15δ 5δ

2

2 5 δ

1 0 δ 3

4

5δ 10δ

Slika 31.Određivanje težišta lika:

Tabela 8.Br. A(cm2) xi(cm) yi(cm) Sx (cm3) Sy (cm3)

1 250⋅δ2=250 12,5⋅δ=12,5 30⋅δ=30 7500⋅δ3=7500 3125⋅δ3=3125

2 75⋅δ2=75 12,5⋅δ=12,5 17,5⋅δ=17,5 1312,5⋅δ3=1312,5 937,5⋅δ3=937,5

3 100⋅δ2=100 10⋅δ=10 5⋅δ=5 500⋅δ3=500 1000⋅δ3=1000

4 25⋅δ2=25 3,33⋅δ=3,33 3,33⋅δ=3,33 83,25⋅δ3=83,25 83,25⋅δ3=83,25

5 25⋅δ2=25 26,67⋅δ=26,67 28,33⋅δ=28,33 708,25⋅δ3=708,25 666,75⋅δ3=666,75

Σ 475⋅δ2=475 - - 10104⋅δ3=10104 5812,5⋅δ3=5812,5

Koodinate težišta:

cm A

S x

cm AS y

y

T

x

T

3,2113,213,21475

10104

2,1212,122,12475

5,5812

2

3

2

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Σ

Σ=

=⋅=⋅=⋅⋅=

ΣΣ=

δ δ

δ

δ δ δ

Momenat inercije za osu (x). Lik je podijeljen na 6 segmenata.

48

7/23/2019 1..PRVI_DIO




5δ

x

y

5

4

3

2

6

15δ

y T = 2 1 , 3

δ

1 0

δ

1 0

δ

1 0 δ

25δ

10δ

15δ 5δ

xT=12,2δ 2,8δ

Slika 32.

( )

( )( ) 422

3

)2(

4

3

)1(

210067,825012

1025

4,843

7,35

δ δ δ δ δ

δ δ δ

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

I

I

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

444

444444

)6()5()4()3()2()1(

422

3

)6(

422

3

)5(

422

3

)4(

4

3

)3(

6047316047360473

821213641370116106210064,84

821297,172536105

136472536

105

137013,165012

105

161063

3,215

cm I

I

I I I I I I I

I

I

I

I

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

+++++=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ

49

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Momenat inercije za osu (y). Lik je podijeljen na 7 segmenata.

1 5 δ

12,8δ

7

7,2δ

x

y

5

4

3

2

6

1

5δ

1 0 δ

1 0 δ

12,2δ

10δ

15δ 2δ

y T =

2 1 , 3

δ

1 0 δ

2,

2,8δxT=12,2δ

Slika 33.

( )

( ) 4

3

)2(

4

3

)1(

5,69903

8,1210

8,60523

2,1210

δ δ δ

δ δ δ

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

I

I

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )

444

4444444

)7()6()5()4()3()2()1(

422

3

)7(

422

3

)6(

4

3

)5(

4

3

)4(

4

3

)3(

8,2226818,222688,22268

7,526622288,15218,1552,535,69908,6052

7,526647,142536

510

222837,92536

510

8,15213

7,710

8,1553

8,23,21

2,533

2,215

cm I

I

I I I I I I I I

I

I

I

I

I

y

y

y

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

++++++=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

δ

δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

50

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Centrifugalni momenat inercije za težišne ose. Lik je podijeljen na 9 segmenata.Segmenti (9) i (8) imaju i sopstvene centrifugalne momente inercije.

( ) ( )

( ) ( )422

)9(

422

)8(

4

22

)8()9(

6,24977,3447,14725

3,39457,3497,1786,825

7,3472

105

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ

⋅=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−

==

xy

xy

sopstveni xy sopstveni xy

I

I

I I

9

8

1 5 δ

7

7,2δ

x

5

4 3

2

6

1

1 0 δ

1 0 δ

12,2δ

10δ

15δ 2δ

2,8δ

y T = 2 1 , 3

δ

2,

1 0 δ

5δ

xT=12,2δ

12,8δ

Slika 34.

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) 4

)7(

4

)6(

4

)5(

4

)4(

4

)3(

4

)2(

4

)1(

42253,166,3102,7

5,1541,165,52,23,11

2,8894,165,108,23,21

3,1785,118,17,32,2

8,2685,14,17,38,2

5,64741,67,8102,12

71274,67,8108,12

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

⋅=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

I

I

I

I

I

I

I

)9()8()7()6()5()4()3()2()1( xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy I I I I I I I I I I ++++++++=

51

7/23/2019 1..PRVI_DIO




444

444444444

5,1056015,105605,10560

6,2497394542255,1542,8893,178,265,64747127

cm I

I

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=

δ

δ δ δ δ δ δ δ δ δ


o

o

o

y x

xy

arctg

I I

I tg

47,14

;93,282

93,282

5528,08,2226860473

5,10560222

44

4

−=

−=

−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=−

−=

α

α

α

δ δ

δ α

Glavni centralni momenti inercije:

( ) ( )( ) ( ) ( )

11954419544

;6319816319863198

2182741371

58,1056048,22268604732

18,2226860473

2

1

42

1

2

1

44

2

444

1

44

2,1

2424444

2,1

22

2,1

I

cm I

I

I


⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅⋅±⋅+⋅⋅=

⋅+−⋅±+⋅=

δ

δ

δ δ

δ δ δ δ δ

;19544 4cm=

cm;

cm A

I i

A

I i

4,6475

19544

5,11475

63198

22

11

==Σ=

==Σ

=

(2)

y

Elipsa inercije:

α=-14,47° x

i 1

(1)

i2

Slika 35.

52

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 4.4

Za popriječ ni presjek nosač a prikazanog na slici 36. odrediti momenat inercije za težišnu osu (x). R1=4

; R2=2

; R3=8

; R4=6

; =1cm.

-x x

R 1R 2

R 4 R 3

2 0 δ

2δ

Slika 36.

53

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Određivanje težišta popriječnog presjeka

R1=4 ; R2=2 ; R3=8 ; R4=6 ;

=1cm

5

2

3

1

2δ

2 0 δ

R 2R 1 4

x

R 4

R 3

Slika 37.

Površina (1):222

1 4014040220 cm A =⋅==⋅⋅⋅= δ δ δ

Površina (2): 222222

32 5,10015,1005,100

2

14,38

2cm

R A =⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅= δ

δ π

Površina (3):222

222

43 5,5615,565,56

2

14,36

2cm

R A −=⋅−=⋅−=

⋅⋅−=

⋅−=− δ

δ π


14 2512525

2

14,34

2cm

R A =⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅= δ

δ π


25 3,613,63,6

2

14,32

2cm

R A −=⋅−=⋅−=

⋅⋅=

⋅−=− δ

δ π

Površina presjeka:

2222222

54321

7,1027,1023,6255,565,10040 cm A

A A A A A A

=⋅=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=Σ

−+−+=Σ

δ δ δ δ δ δ

Koordinate površina (1,2,3,4,5):

x1=7⋅δ=7⋅1=7cm; y1=14⋅δ=14⋅1=14cm;

x2=14⋅δ=14⋅1=14cm; y2=(20⋅δ+4⋅δ+0,42⋅R 3)= 27,4⋅δ=27,4⋅1=27,4cm;

x3=14⋅δ=14⋅1=14cm; y3=(20⋅δ+4⋅δ+0,42⋅R 4)= 26,5⋅δ=26, 5⋅1=26,5cm;

x4=4⋅δ=4⋅1=4cm; y4=0,57⋅R 1=2,3⋅δ=2,3⋅1=2,3cm;

x5=4⋅δ=4⋅1=4cm; y5=(2⋅δ+0,57⋅R 2)= 3,14⋅δ=3,14⋅1=3,14cm;

54

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Statički momenti površina:

3332

222

3332

111

7,275317,27537,27534,275,100

56015605601440

cm y AS

cm y AS

x

x

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

δ δ δ

δ δ δ

333

54321

3332

555

3332

444

3332

333

4,185414,18544,1854

8,1918,198,1914,33,6

5,5715,575,573,225

14971149714975,265,56

cmS S S S S S

cm y AS

cm y AS

cm y AS

x x x x x x

x

x

x

=⋅=⋅=−+−+=Σ

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

cm A

S y x

T 18118187,102

4,18542

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=ΣΣ

= δ δ

δ

3332

222

3332

111

1407114071407145,100

2801280280740

cm x AS

cm x AS

y

y

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

δ δ δ

δ δ δ

333

54321

3332

555

3332

444

3332

333

8,97018,9708,970

2,2512,252,2543,6

1001100100425

7911791791145,56

cmS S S S S S

cm x AS

cm x AS

cm x AS

y y y y y y

y

y

y

=⋅=⋅=−+−+=Σ

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

cm A

S x

y

T 45,9145,945,97,102

8,9702

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Σ

Σ= δ

δ

δ

Momenti inercije:

Slika 38.xT=9,45δ

R1=4 R2=2 R3=8 R4=6

=1cm

T 6 δ

y

x

1 4 δ

T = 1 8 δ

55

7/23/2019 1..PRVI_DIO




( ) ( )( )

( ) ( )

( )

444

444

4444444

22

34

2

22

14

1

22

44

4

22

34

3

33

1231511231512315

13828,18,6685

2840985,14288025,4501829144

242,014211,0

442,0142

11,0642,062

11,0

842,062

11,03

142

3

62

cm I

I

R

R

R R

R R

R R I

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅−⋅−⋅+

+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅

⋅

−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

δ

δ δ δ


δ δ

π

δ δ π

δ δ π

δ δ π δ δ δ δ

Zadatak 4.5

Nacrtati elipsu inercije za presjek prikazan na slici 39. =2cm

56

Slika 39.3δ

1 0 δ

7,5δ 3 δ

δ

δ

δ

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Određivanje koordinata težišta:

A4

A3

A2

A1

x1

x2

y 3 y 2

y 1

x3

x4

y 4

´ 1=3δ 2;

´ 2=6,5δ 2;

´ 5=2δ 2;

1=4,2δ ;

2=3,2δ ;

5=6,8δ

y 3

A/5

A/4

A/3

A/2

A/2

7 , 3

δ

y 2

y 1

4,45δ

y 5

3 , 7

δ

y 4

Slika 40. Slika 41.

A1=3⋅δ 2=3⋅ 2

2=12cm

2; x1=10⋅δ =10⋅ 2=20cm; y1=11,5⋅δ =11,5⋅ 2=23cm;

A2=7,5⋅δ 2=7,5⋅ 2

2=30cm

2; x2=5,75⋅δ =5,75⋅ 2=11,5cm; y2=10,5⋅δ =10,5⋅ 2=21cm;

A3=9⋅δ 2=9⋅ 2

2=36cm

2; x3=2,5⋅δ =2,5⋅ 2=5cm; y3=5,5⋅δ =5,5⋅ 2=11cm;

A4=3⋅δ 2=3⋅ 2

2=12cm

2; x4=1,5⋅δ =1,5⋅ 2=3cm; y4=0,5⋅δ =0,5⋅ 2=1cm;

A= A1+A2+A3+A3= 22,5⋅δ 2=22,5⋅ 2

2=90cm

2

cm y

A

y A y A y A y A y

cm x

A

x A x A x A x A x

T

T

T

T

6,1423,73,7

5,22

5,035,595,105,75,113

9,8245,445,4

5,22

5,135,2975,55,7103

2

222244332211

2

222244332211

=⋅=⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=⋅+⋅+⋅+⋅

=

=⋅=⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=

δ

δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ

δ


57

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Određivanje momenata inerercije za težišne ose:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

44

444444444

22

4444

2222

4

2

5

/

5

33332

2

/

2

2

1

/

1

3

599225,374

5,37448,9217,07,12985,1654,06,799,5225,2

8,62122

3389

365,50

125,65,35,62,43

1227

12

2

3

3,7

3

7,3

12

5,6

12

3

cm I

I

I

y A y A y A I

x

x

x

x

=⋅=

⋅=+++++++=

⋅+++++⋅+⋅+=

⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅+⋅+⋅

=

δ δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )3

45,1

3

05,555,53

12

395,111

12

1145,3

12

233

223

223

2/

5

3δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ ⋅

+⋅

+⋅+⋅

+⋅+⋅

+⋅+⋅

= A I y

44

444444444

8,326028,203

8,20393,424,9225,08,4192,08,237,0

cm I

I

y

y

=⋅=

⋅=+++++++= δ δ δ δ δ δ δ δ δ

44

4444444

22

2222

8,308428,192

8,19292,4695,5134,1334,372,4093,69

)8,6()45,3(2)95,1()65,3(3,7

)95,1(85,17,3)72,0(2,345,152,22,305,555,52,43

cm I

I

I

xy

xy

xy

=⋅=

⋅=++−−+=

−⋅−⋅+−⋅−⋅+

+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=


δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

Glavni centralni momenti inercije:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

;2,125122,782,78

;8,799628,4998,499

8,2100,289

8,19248,2035,3742

18,2035,374

2

1

4

2

1

2

1

444

2

444

1

44

2,1

2424444

2,1

22

2,1

cm I

cm I

I

I


=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅±⋅+⋅=

+−±+=

δ

δ

δ δ

δ δ δ δ δ

Polupriječnici inercije:

;6,328,18,15,22

2,78

;4,927,47,45,228,499

2

4

22

2

4

11

cm A

I i

cm A I i

=⋅=⋅=⋅⋅

==

=⋅=⋅=⋅⋅==

δ δ

δ

δ δ δ

58

7/23/2019 1..PRVI_DIO





°−=

°−=°−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−

−=

06,33

;12,66212,662

258,28,2035,374

8,192222

44

4

α

α α

δ δ

δ α

arctg

I I

I tg

y x

xy

Elipsa inercije:

i2 i 1

(2)

(1)

y

x

Slika 42.

59

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Zadatak 4.6

Za lik prokazan na slici 43. odrediti glavne momente inercije kao i položaj glavnih osa inercije.=2cm

x

2,5δ

2 0 , 5

δ

10δ

y

δ δ

δ

1 5 , 7 5 δ

6 , 7 5 δ

1 0 δ

6δ2δ

11,5δ

1

2

3

T

4

4,25δ

10δ δ δ

2δ

5 δ

2 0 δ

δ

Slika 43. Slika 44.

Određivanje težišta lika:

222

4

222

3

222

2

222

1

8022020

4021010

20255

20255

cm A

cm A

cm A

cm A

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

δ

δ

δ

δ

cm y

y

T

T

5,31275,1575,1540

2002055,1125,112

40

2010105,2055,2255,222

2222

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

=

⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

δ δ δ δ δ

δ


60

7/23/2019 1..PRVI_DIO




cm x

x

T

T

5,8225,425,440

50605,575,2

40

205,210655,115,052

2222

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

δ δ δ δ δ

δ


Slika 45.

y

x

2,5δ

4 , 7 5 δ

7,25δ 3,75δ

2δ

6 , 7 5 δ

1 5 , 7 5 δ

δ

1 5 , 7 5 δ

6 , 7 5 δ

7 , 8 7 5 δ

4,25δ

2,5δ

1,75δ

4

, 2 5 δ

2 , 1

2 5 δ

3,25δ 6,75δ

Momenat inercije za osu (x):

( ) ( ) ( )( ) ( )2

322

333

75,41012

1075,652

12

52

3

25,4

3

7,15δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ ⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅= x I

244

444444

6,3248926,20306,2030

6,22583,06,455216,251302

cm I

I

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

δ

δ δ δ δ δ δ

61

7/23/2019 1..PRVI_DIO




Momenat inercije za osu (y):

( ) ( )( )

( ) ( )

244

44444444

223

22

322

333

81762511511

617,126342,03,7042,05,1024,11

75,12012

2025,75

12

575,35

12

5

3

75,6

3

25,3

cm I

I

I

y

y

y

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅++⋅⋅

+⋅⋅⋅+

+⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=

δ


δ δ δ δ

δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

Centrifugalni momenat inercije:

( ) ( )

( ) ( )

444

444444

22

22

22

8,643623,4023,402

7,2441082178,1525126

25,775,6537,375,475,6

75,1)875,7(75,1575,1125,225,4

62,175,425,375,675,35

cm I

I

I

xy

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−=

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅+

+⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅=

δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ


( ) ( )

( ) ( ) ( )

;6,657721,4111,411

;34080221302130

7,8598,1270

3,40245116,20302

15116,2030

2

1

42

1

2

1

4442

444

1

44

2,1

2424444

2,1

22

2,1

cm I

cm I

I

I


=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅±⋅+⋅=

+−±+=

δ

δ

δ δ

δ δ δ δ δ

Polupriječnici inercije:

;4,622,32,340

1,411

;58,14229,729,740

2130

2

4

22

2

4

11

cm A

I i

cm A

I i

=⋅=⋅=⋅⋅

==

=⋅=⋅=⋅⋅

==

δ δ

δ

δ δ

δ


xy I tg 5290

3,402222

4

=⋅⋅−

=−

=δ

α

1..prvi_dio

Documents