1uvod - unizg.hrgibanja na sinopti ckoj skali za odredenu geografsku sirinu. promatramo poreme caje...

1 Uvod

1.1 Skalna analiza

Skalna analiza (eng. scaling analysis; scaling) - prikladna tehnika za odredivanje

magnitude razlicitih clanova u osnovnim jednazbama za odredeni tip gibanja. U skalnoj

analizi se odreduju tipicne ocekivane vrijednosti sljedecih velicina:

1. magnitude varijabli polja

2. amplitude fluktuacija

3. karakteristicne skale duljine, visine/dubine i vremenske skale (pri kojima se ove

fluktuacije odvijaju)

Ove tipicne vrijednosti se koriste za usporedbu magnitude razlicitih clanova u osnovnim

jednadzbama.

Skalna analiza je postupak koji se primijenjuje u teorijskim analizama i u atmosferskom

modeliranju, a provodi se tako da se u jednadzbama koje opisuju promatrane procese ili

pojave analiziraju skale pojedinacnih clanova koji cine jednadzbu. Na taj nacin stjece se

uvid u to koliko pojedini clan (odnosno pojedini fizikalni mehanizam ili proces) doprinosi

jednadzbi u cjelini. Nakon provedene analize skala, clanovi ciji su redovi velicina bitno

manji od redova velicina preostalih clanova, izbacuju se iz jednadzbe. Time se promatrana

jednadzba pojednostavljuje (cime se olaksava i njeno rjesavanje). Nadalje, iz rjesenja se

eliminiraju (filtriraju) doprinosi koji su posljedica procesa nebitnih za promatrani prob-

lem, te stoga u promatranom slucaju u rjesenju predstavljaju sum ili smetnju.

Primjer: Fluktuacije tlaka u tipicnoj cikloni umjerenih sirina su oko 10 hPa na

horizontalnoj udaljenosti od 1000 km. Ako amplitudu horizontalnih fluktuacija tlaka

oznacimo s δp, horizontalne (Kartezijeve) kordintate s x i y te horizontalnu skalu duljine

1

Dinamicka meteorologija III Uvod

Slika 1.1: Primjeri horizontalnih skala razlicitih tipova gibanja u atmosferi (Holton 2004).

s L, mozemo procijeniti magnitudu horizontalnog gradijenta tlaka:

(∂p

∂x,∂p

∂y

)∼ δp

L= 10hPa/103 km (10−3 Pa m−1) (1.1)

Fluktuacije tlaka slicnih magnituda se javljaju i u drugim sustavima koji su potpuno

drukcije skale, kao npr. u tornadima, tzv. squall lines i uraganima → horizontalni gradi-

jent tlaka moze varirati nekoliko redova velicine u razlicitim meteoroloskim sustavima.

Prema tome, dominantni clanovi u osnovnim jednadzbama ovise o horizontalnim skalama

gibanja. Primjerice, gibanja koja imaju horizontalne skale od nekoliko kilometara ili

manje imaju i krace vremenske skale pa clanovi koji ukljucuju utjecaj rotacije Zemlje su

zanemarivi, dok ce u velikim sustavima biti vrlo vazni.

Osobine atmosferskih gibanja jako ovise o horizontalnoj skali, pa ova skala predstavlja

prikladnu metodu za klasifikaciju sustava gibanja.

1.2 Potpuni diferencijal

Zakoni ocuvanja sadrze izraze za stopu promjene gustoce, impulsa ili energije. Da

bismo mogli primijeniti ove zakone u Eulerovom sustavu nuzno je naci vezu izmedu stope

2


promjene varijable polja koja slijedi gibanje (potpuni diferencijal, oznacavamo ga s D/Dt)

i stope promjene u fiksnoj tocki (lokalni diferencijal - parcijalna derivacija u vremenu).

Da bismo nasli vezu izmedu potpunog i lokalnog diferencijala, koristit cemo temperaturu

T (varijabla polja). Za danu cest zraka, polozaj (x, y, z) je funkcija vremena t tako da

imamo: x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Ako slijedimo cest, T se moze smatrati samo funkcijom vremena i njena stopa promjene

odgovara potpunom diferencijalu DT/Dt. Da bismo povezali potpuni diferencijal i lokalnu

promjenu u fiksnoj tocki → balon koji se giba nosen vjetrom mjeri temperaturu:

U pocetnom trenutku t0, mjerena temperatura iznosi T0 na polozaju (x0, y0, z0). Ako

se u vremenu δt balon pomakne u novi polozaj x0 + δx, y0 + δy, z0 + δz, promjena

temperature δT se moze prikazati razvojem u Taylorov red:

δT =

(∂T

∂t

)δt+

(∂T

∂x

)δx+

(∂T

∂y

)δy +

(∂T

∂z

)δz + (higher order terms) (1.2)

Buduci da je δT promjena temperature koja slijedi gibanje, imamo da je:

DT

Dt= lim

δt→0

δT

δt

pa slijedi da je za limit δt → 0 (jednadzbu 1.2 dijelimo s δt) stopa promjene T slijedeci

gibanje:

DT

Dt=∂T

∂t+

(∂T

∂x

)Dx

Dt+

(∂T

∂y

)Dy

Dt+

(∂T

∂z

)Dz

Dt(1.3)

Komponente brzine u x, y, z smjeru su jednake

DxDt≡ u, Dy

Dt≡ v, Dz

Dt≡ w

pa slijedi da je:

Dt

Dt=∂T

∂t+

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y+ w

∂T

∂z

)(1.4)

3


Koristeci vektorsku notaciju, izraz 1.4 mozemo pisati u obliku:

∂T

∂t=DT

Dt−U · ∇T (1.5)

gdje je U = ui + vj + wk vektor brzine.

Clan −U · ∇T se zove advekcija temperature. Temperaturna advekcija opisuje

doprinos lokalnoj promjeni temperature zbog gibanja zraka.

Primjer:

• Vjetar puse iz hladnijeg prema toplijem podrucju → −U · ∇T ce biti negativno

(hladna advekcija), te clan advekcije ima negativan doprinos lokalnoj promjeni

temperature

Prema tome, lokalna promjena temperature je jednaka stopi promjene temperature uslijed

gibanja (npr. zagrijavanje ili hladenje individualnih cesti zraka) plus advektivna stopa

promjene temperature (1.5).

Primjer: Povrsinski tlak se smanjuje za 3 hPa/180 km prema istoku. Brod koji plovi

prema istoku brzinom od 10 km/h mjeri pad tlaka od 1 hPa/3 h. Kolika je promjena

tlaka na otoku pored kojeg brod prolazi?

1.3 Jednadzbe gibanja u sfernim koordinatama

Vektorski oblik jednazbe gibanja u sfernom koordinatnom sustavu:

DU

Dt= −2Ω×U− 1

ρ∇p+ g + Fr (1.6)

gdje je U brzina u relativnom sustavu (brzina koju vidi opazac sa Zemlje), Ω je kutna

brzina rotacije Zemlje, g je akceleracija sile teze, Ftr je akceleracija sile trenja, ρ je

gustoca, a p je tlak. Jednadzba 1.6 predstavlja drugi Newtonov zakon u sustavu koji rotira

(relativnom, neinercijalnom sustavu). Ona pokazuje da je akceleracija prateci relativno

gibanje u sustavu koji rotira jednaka rezultanti akceleracija koje postoje zbog djelovanja

4


Coriolisove sile (−2Ω×U), sile gradijenta tlaka (−1ρ∇p), sile teze (g) i sile trenja (Fr). To

je jedna od temeljnih jednadzbi u dinamickoj meteorologiji, a naziva se jos i jednadzba

gibanja ili jednadzba impulsa. U njoj je drugi Newtonov zakon gibanja izrazen preko

totalne promjene impulsa po jedinici mase prateci gibanje. Isti zakon katkad se izrazava

i preko totalne promjene impulsa po jedinici volumena.

Izvod jednadzbe gibanja u koordinatnom sustavu koji rotira: http://jadran.gfz.

hr/pdfs/jednadzba_g_s_k_r.pdf

Katkad je u teorijskim razmatranjima i za potrebe numerickih prognoza pogodno

jednadzbu gibanja u sustavu koji rotira prikazati u skalarnom obliku:

Du

Dt− uv tanφ

a+uw

a= −1

ρ

∂p

∂x+ 2Ωv sinφ− 2Ωw cosφ+ Frx (1.7)

Dv

Dt+u2 tanφ

a+vw

a= −1

ρ

∂p

∂y− 2Ωu sinφ+ Fry (1.8)

Dw

Dt− u2 + v2

a= −1

ρ

∂p

∂z− g + 2Ωu cosφ+ Frz (1.9)

Clanovi koji su proporcionalni s 1/a (a = Rz, Rz je radijus Zemlje) se zovu clanovi za-

krivljenosti, a postoje zbog zakrivljenosti Zemlje. Kako u sebi sadrze umnoske zavisnih

varijabli (komponente vektora brzine medusobno su zavisne varijable), nelinearni su, te

stoga otezavaju teorijske analize jednadzbi 1.7−1.9. Medutim, za gibanja u umjerenim

sirinama na sinoptickoj skali clanovi zakrivljenosti su zanemarivo mali u odnosu na ostale

clanove u jednadzbama gibanja. Ipak, i nakon zanemarivanja clanova zakrivljenosti, jed-

nadzbe 1.7−1.9 i dalje ostaju nelinearne, jer se nelinearni clanovi nalaze u advektivnim

clanovima totalnih diferencijala komponenti brzine.

Izvod jednadzbe gibanja u sfernim koordinatama: http://jadran.gfz.hr/pdfs/

jednadzba_g_s_k.pdf

1.4 Skalna analiza jednadzbi gibanja

Sustav jednadzbi 1.7−1.9 opisuje sve tipove i skale atmosferskih gibanja. Da bismo

pojednostavili ovaj sustav za gibanja sinopticke skale, definiramo slijedece karakteristicne

5

http://jadran.gfz.hr/pdfs/jednadzba_g_s_k_r.pdf

http://jadran.gfz.hr/pdfs/jednadzba_g_s_k_r.pdf

http://jadran.gfz.hr/pdfs/jednadzba_g_s_k.pdf

http://jadran.gfz.hr/pdfs/jednadzba_g_s_k.pdf


skale na temelju mjerenih vrijednosti u sinoptickim sustavima umjerenih sirina:

U ∼ 10 ms−1 horizontalna skala brzine

W ∼ 1 cm−1 vertikalna skala brzine

L ∼ 106 m skala duljine

H ∼ 104 m skala dubine

δp/ρ ∼ 103 m2s−2 skala horizontalnih fluktuacija tlaka

L/U ∼ 105 s vremenska skala

Vremenska skala je zapravo advektivna vremenska skala, sto je prikladno za sinopticke

sustave koji se priblizno gibaju brzinom horizontalnog vjetra kao sto je primijeceno za

sinopticke skale gibanja. Prema tome, L/U je vrijeme potrebno da bi se presla udaljenost

L brzinom U , te za potpuni diferencijal vrijedi D/Dt ∼ U/L kod takvih gibanja.

Sada mozemo procijeniti magnitudu svakog od clanova u jednadzbama 1.7−1.9 za

gibanja na sinoptickoj skali za odredenu geografsku sirinu. Promatramo poremecaje koji

su centrirani na φ0 = 45o te uvodimo notaciju f0 = 2Ω sinφ0 = 2Ω cosφ0∼= 10−4 s−1.

Slika 1.2: (Holton 2004).

1.4.1 Geostroficka ravnoteza i geostroficki vjetar

Iz Tablice 2.1 je ocigledno da je za poremecaje sinopticke skale umjerenih sirina Cori-

olisova sila (clan B) u pribliznoj ravnotezi sa silom gradijenta tlaka (clan F). Zadrzavajuci

samo ova dva clana u jednqdzbama 1.7 i 1.8 dolazimo do prve aproksimacije : geostroficka

6


ravnoteza: ravnoteza izmedu Coriolisove sile i horizontalne komponente sile gradijenta

tlaka

− fv ≈ −1

ρ

∂p

∂x; fu ≈ −1

ρ

∂p

∂y(1.10)

gdje f ≡ 2Ω sinφ oznacava Coriolisov parametar. Jednadzba 1.10 predstavlja dijag-

nosticki izraz koji daje pribliznu vezu izmedu polja tlaka i horizontalne brzine u sinoptickim

sustavima umjerenih sirina.

Po analogiji, mozemo definirati horizontalno polje brzine, Vg ≡ ugi + vgj koje zovemo

geostroficki vjetar.

Geostroficki vjetar je teorijsko horizontalno strujanje koje je rezultat geostroficke

ravnoteze. Geostroficki vjetar je neubrzan i nedivergentan (∇ · Vg = 0). Usmjeren je

paralelno s izobarama odnosno s izolinijama geopotencijala 1 tako da mu je na sjevernoj

hemisferi nizi tlak, odnosno manji geopotencijal 2 s lijeve strane. Na juznoj hemisferi

ulijevo od vektora geostrofickog vjetra tlak (geopotencijal) je visi.

Izraz za geostroficki vjetar dobivamo polazeci od jednadzbe gibanja u sustavu koji

rotira 1.6

DV

Dt= −2Ω×U− 1

ρ∇p+ g + Fr

Kako je geostroficko strujanje neakcelerirano i horizontalno te je bez trenja, jed-

nadzba 1.6 prelazi u jednadzbu koja opisuje ravnotezu horizontalnih komponenti Cori-

olisove sile i sile gradijenta tlaka:

−2Ω×Vg −1

ρ∇hp = 0

1 Izolinije geopotencijala su krivulje koje spajaju tocke s jednakim geopotencijalom.2 Geopotencijal je potencijal sile teze. Cest koja se nalazi u polju Zemljine sile teze, posjeduje poten-

cijalnu energiju. Prikazemo li tu potencijalnu energiju po jedinici mase cesti, dobivamo geopotencijal Φ(J kg−1): Φ =

∫∞0

gdz, gdje je z geometrijska visina tijela mjerena od srednje razine mora (m), a g jeakceleracija sile teze. Geopotencijal je numericki jednak radu potrebnom da se jedinicna masa podignesa srednje razine mora na zadanu geometrijsku visinu z. U meteorologiji je uobicajeno prikazivati poljegeopotencijala na odabranoj izobarnoj plohi. Tako dobivamo kartu apsolutne topografije.

7


Odatle se dobije

Vg =1

ρfk×∇hp (1.11)

gdje je f Coriolisov parametar. Geostroficki vjetar definiran je u svakoj tocki osim u

tockama duz ekvatora (gdje je f = 0). Pravocrtno atmosfersko strujanje sinoptickih razm-

jera se moze dobro aproksimirati geostrofickim strujanjem. Tu aproksimaciju nazivamo

geostroficka aproksimacija. Geostroficka aproksimacija je to bolja sto je Rossbyjev

broj manji. Nadalje, geostroficka aproksimacija ne vrijedi za male zemljopisne sirine niti

za atmosferska strujanja sa zakrivljenim strujnicama poput strujanja u cikloni ili anticik-

loni.

1.4.2 Rossbyjev broj

Da bismo imali prognosticke jednadzbe potrebno je zadrzati akceleraciju u jednadzbama

1.7 i 1.8. Rezultirajuce priblizne jednadzbe horizontalnog impulsa su:

Du

Dt= fv − 1

ρ

∂p

∂x= f(v − vg) (1.12)

Dv

Dt= −fu− 1

ρ

∂p

∂y= −f(u− ug) (1.13)

Buduci da su clanovi akceleracije proporcionalni razlici izmedu stvarnog i geostrofickog

vjetra, oni su otprilike red velicine manji nego Coriolisova sila i sila gradijenta tlaka, zbog

cega ce male pogreske u mjerenju brzine ili gradijenta tlaka dovesti do velikih pogreski

pri procjeni akceleracija. Stoga se pogodna mjera magnitude akcelaracije u odnosu na

Coriolisovu silu moze dobiti iz omjera karakteristicnih skala: Rossbyjev broj je omjer

magnitude horizontalne akceleracije i horizontalne komponente akceleracije zbog Cori-

olisove sile:

R0 ≡ U/(f0L)

8


gdje je U skala horizontalne brzine, L je horizontalna skala duljine, a f0 skala Coriolisovog

parametra (f0 = 10−4 s−1). Sto je R0 manji to je strujanje blize geostrofickom. (Vidi

analizu skala).

1.4.3 Hidrostaticka aproksimacija

Na slican nacin mozemo skalnu analizu primijeniti na vertikalnu komponentu jed-

nadzbe gibanja 1.9 za gibanja sinopticke skale. Hidrostaticka aproksimacija je aproksi-

Slika 1.3: (Holton 2004).

macija koja se temelji na pretpostavci da je horizontala skala puno veca od vertikalne skale,

tako da se vertikalni gradijent tlaka moze prikazati pomocu hidrostaticke jednadzbe. Skali-

ranje upucuje da je polje tlaka u hidrostatickoj ravnotezi: ravnoteza izmedu vertikalne

komponente sile gradijenta tlaka i sile teze. Prikazuje se hidrostatickom jednadzbom:

∂p

∂z= −ρg,

gdje je p tlak, a ρ gustoca, a z je vertikalna koordinata. Hidrostaticka ravnoteza daje

izvrsnu aproksimaciju vertikalne ovisnosti polja tlaka u realnoj atmosferi. (Samo u sus-

tavima manje skale, kao sto su tornada ili u olujnim prugama (squall lines) potrebno je

ukljuciti odstupanja od hidrostaticnosti). Integrirajuci gornji izraz od visine z do vrha

atmosfere dobijemo

p(z) =∫ ∞z

ρgdz (1.14)

te vidimo da je tlak u bilo kojoj tocki na Zemlji jednak tezini jedinicnog presjeka stupca

zraka iznad te tocke. Srednji povrsinski tlak zraka po=1013.25 hPa je zapravo prosjecna

9


tezina ukupnog stupca zraka u atmosferi po kvadratnom metru.

Buduci da je dΦ = gdz, mozemo hidrostaticku jednadzbu izraziti preko geopotencijalne

visine.

dp = −ρgdz = −ρdΦ

(p = ρRT )

dΦ = −1

ρdp = −RT

p

dΦ = −RTd ln p

Integrirajuci gornji izraz dolazimo do hipsometrijske formule:

Φ(zz)− Φ(z1) = g0(Z2 − Z1) = R∫ p1

p2Td ln p (1.15)

gdje Z ≡ Φ(z)/g0 oznacava geopotencijalnu visinu, a g0 = 9.80665 ms−2 je globalni

srednjak ubrzanja sile teze na srednjoj razini mora. Hipsometrijsku formulu mozemo

pisati i kao:

ZT ≡ Z2 − Z1 =R

g0

∫ p1

p2Td ln p (1.16)

te ZT predstavlja debljinu atmosfere izmedu dvije izobarne plohe p1 i p2.

Pri hidrostatickoj ravnotezi izobarne plohe u fluidu su horizontalne te se podudaraju

s izopiknim, odnosno izosternim plohama.

1.5 Jednadzba kontinuiteta

Jednadzba kontinuiteta (zakon sacuvanja mase) - jedan od tri osnovna fizikalna zakona

koji upravljaju gibanjima u atmosferi. (Preostala dva su zakon sacuvanja impulsa i zakon

sacuvanja energije.)

Zakon sacuvanja mase formalno prikazujemo jednadzbom kontinuiteta. Tu jednadzbu

10


mozemo izvesti na dva nacina: Lagrangeovim i Eulerovim pristupom3:

1. U prvom pratimo promjene gustoce materijalne cesti fluida unutar kontrolnog vol-

umena, koji je zbog strujanja fluida promjenjiv. Dakle, promjene pratimo prateci

gibanje materijalnog elementa, odnosno u Lagrangeovom sustavu.

2. Eulerovim pristupom promjene mase pratimo unutar fiksnog elementa volumena,

odnosno pratimo ih u Eulerovom sustavu.

Langrageov nacin:

∇ ·V =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z(1.17)

Eulerov nacin:

∂ρ

∂t+∇ · (ρV) = 0 (1.18)

Jednadzba 1.18 predstavlja oblik jednadzbe kontinuiteta koji se naziva divergencija

mase. Alternatvni oblik jednadzbe kontinuiteta se moze dobiti primijenjujuci identitet

∇ · (ρV) ≡ ρ∇ ·V + V · ∇ρ, (1.19)

te vezu

D

Dt≡ ∂

∂t+ V · ∇ (1.20)

da bismo dobili

1

ρ

Dρ

Dt+∇ ·V = 0. (1.21)

Jednadzba 1.21 predstavlja oblik koji se naziva divergencija bzine.

3 Izvod na http://jadran.gfz.hr/pojmovnik.html: Jednadzba kontinuiteta (zakon sacuvanja mase)

11

http://jadran.gfz.hr/pojmovnik.html


1.5.1 Skalna analiza jednadzbe kontinuiteta

Ako ukupno polje gustoce prikazemo kao

ρ(x, y, z, t) = ρ0(z) + ρ′(x, y, z, t), (1.22)

gdje ρ′ predstavlja odstupanje od standardne gustoce ρ0(z), sto odgovara horizontalno

usrednjenom polju gustoce na svakoj visini, te pretpostavimo da je ρ′/ρ0 puno manje od

jedan tako da mozemo pisati

(ρ0 + ρ′)−1 ∼=1

ρ0(1− ρ′/ρ0).

Jednadzbu kontinuiteta 1.21 mozemo aproksimirati kao

1

ρ0

(∂ρ′

∂t+ V · ∇ρ′

)+w

ρ0

dρ0dz

+∇ ·V ≈ 0 (1.23)

A B C

Za gibanja na sinoptickoj skali vrijedi da je ρ′/ρ0 ∼ 10−2, pa koristeci karakteristicne skale

slijedi da je magnituda clana A

1

ρ0

(∂ρ′

∂t+ V · ∇ρ′

)∼ ρ′

ρ0

U

L≈ 10−7s−1

Za gibanja kod kojih je skala dubine H usporediva sa skalom visine gustoce, d ln ρ0/dz ∼

H−1, clan B se skalira

w

ρ0

dρ0dz∼ W

H≈ 10−6s−1

Ako clan C napisemo u Kartezijevim koordinatama, slijedi

∇ ·V =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z

12


Za gibanja na sinoptickoj skali clanovi ∂u/∂x i ∂v/∂y imaju istu magnitudu ali su

suprotnog predznaka:

(∂u

∂x+∂v

∂y

)∼ 10−1

U

L≈ 10−6s−1

te je

∂w

∂z∼ W

H≈ 10−6s−1

Prema tome, slijedi da clanovi B i C su u ravnotezi u jednadzbi kontinuiteta. Stoga

mozemo pisati:

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z+ w

d

dz(ln ρ0) = 0

ili u vektorskom obliku

∇ · (ρ0V) = 0 (1.24)

Prema tome, za gibanja na sinoptickoj skali tok mase je nedivergentan. Ova aproksimacija

je slicna idealiziranoj nekompresibilnosti, koja se cesto koristi u mehanici fluida. Medutim,

za nekompresibilan (nestlaciv) fluid gustoca je konstantna prateci gibanje

Dρ

Dt= 0

Za nekomprasibilan fluid, divergencija brzine iscezava (∇ ·V = 0) u jednadzbi 1.21, a to

nije isto sto i izraz 1.24. Aproksimacija 1.24 pokazuje da se za cisto horizontalno strujanje

atmosfera ponasa kao nekompresibilan fluid. Medutim, kada postoje vertikalna gibanja

kompresibilnost povezana s ρ0(z) se mora uzeti u obzir.

13


1.6 Jednadzba energije termodinamike

• Prvi zakon termodinamike

– promatramo sustav koji je u termodinamickoj ravnotezi, tj. sustav koji je

pocetno bio u mirovanju, te se nakon izmjene topline s okolisem i rada ucinjenog

na sustavu ponovno vratio u stanje mirovanja

Jednadzba energije termodinamike:

cvDT

Dt+ p

Dα

Dt= J, (1.25)

gdje je cv(=717 Jkg−1K−1) specificna toplina pri konstantnom volumenu, α je specificni

volumen (pα = RT ). Drugi clan na lijevoj strani predstavlja stopu rada sustava (po

jedinici mase), tj. predstavlja konverziju izmedu termalne i mehanicke energije. Ovaj

proces omogucava da sunceva energija pokrece gibanja u atmosferi.

1.7 Termodinamika suhe atmosfere

Uzmimo potpuni diferencijal jednadzbe stanja (idealnog plina):

pDα

Dt+ α

Dp

Dt= R

DT

Dt(1.26)

Ako u jednadzbu 1.25 primijenimo relaciju cp = cv + R, gdje je cp(=1005 Jkg−1K−1)

specificna toplina pri konstantnom tlaku, te koristeci gornji izraz, prvi zakon termodi-

namike mozemo pisati u obliku

cpDT

Dt− αDp

Dt= J (1.27)

14


Ako 1.27 podijelimo s T , te ponovno iskoristimo jednadzbu stanja (α/T = R/p), dolazimo

do prvog zakona termodinamike izrazenog preko entropije sustava

cpD lnT

Dt−RD ln p

Dt=J

T≡ Ds

Dt, (1.28)

gdje s oznacava entropiju sustava.

1.7.1 Potencijalna temperatura

Za idealni plin koji je podvrgnut adijabatskom procesu, tj. reverzibilnom procesu

u kojem nema izmjene topline s okolisem (J = 0), prvi zakon termodinamike se moze

napisati u diferencijalnom obliku

cpD lnT −RD ln p = D(cp lnT −R ln p) = 0

cp

∫ T

θD lnT −R

∫ p

psD ln p = 0

cp ln(T

θ

)= R ln

(p

ps

)

−cp ln

(θ

T

)= −R ln

(psp

)

ln

(θ

T

)cp= ln

(psp

)R

Slijedi da je izraz za potencijalnu temperaturu

θ = T

(psp

)R/cp, (1.29)

gdje ps oznacava standardni (povrsinski) tlak (obicno 1000 hPa), R je specificna plinska

konstanta (R = 287 Jkg−1K−1). Izraz 1.29 se jos naziva i Poissonova jednadzba. Poten-

cijalna temperatura je temperatura koju bi imala suha cest zraka kad bi se s tlaka p i

temperature T adijabatskim procesom (adijabatskom kompresijom ili sirenjem) dovela na

tlak od 1000 hPa. Stoga svaka cest ima jedinstvenu vrijednost potencijalne temperature i

ova velicina je ocuvana za suho-adijabatska gibanja. Buduci da su gibanja na sinoptickoj

15


skali priblizno adijabatska u podrucjima izvan oborinskih podrucja, θ je kvazi-ocuvana

velicina za takva gibanja.

1.7.2 Adijabatska stopa ohladivanja

Adijabatska stopa ohladivanja je iznos za koji se po jedinici visine smanji temperatura

cesti T pri adijabatskom dizanju. Veza izmedu stope ohladivanja temperature i stope

promjene potencijalne temperature s visinom se moze dobiti logaritmiranjem izraza 1.29

te diferenciranjem po visini z:

∂ ln θ

∂z=

∂ lnT

∂z+R

cp

∂

∂zln

(psp

)1

θ

∂θ

∂z=

1

T

∂T

∂z+R

cp

[1

ps

∂ps∂z− 1

p

∂p

∂z

]T

θ

∂θ

∂z=

∂T

∂z+g

cp

pri cemu smo koristili hidrostaticku jednadzbu i zakon idealnog plina. Za atmosferu u

kojoj je θ(z)=const (∂θ/∂z = 0), stopa ohladivanja iznosi

− dT

dz=

g

cp≡ Γd (1.30)

gdje je Γd suhoadijabatska stopa ohladivanja i iznosi 9.8 K km−1. Suhoadijabatska stopa

ohladivanja je priblizno konstantna kroz donju atmosferu. U suhoadijabatskoj, hidro-

statickoj atmosferi potencijalna temperatura ne varira s visinom pa se stoga temperatura

mora smanjivati s visinom.

Stvarna stopa ohladivanja u stupcu zraka se oznacava s

γ = −dTdz

(1.31)

i iznosi 6.5 K km−1.

Vidi vise o adijabatskim procesima na: http://jadran.gfz.hr/pdfs/adijabatski_

p.pdf

16

http://jadran.gfz.hr/pdfs/adijabatski_p.pdf

http://jadran.gfz.hr/pdfs/adijabatski_p.pdf


1.7.3 Staticka stabilnost

Staticka stabilnost atmosfere je povezana s vertikalnim temperaturnim gradijentom.

Ako je potencijalna temperatura funkcija visine, atmosferska stopa ohladivanja Γ ≡

−∂T/∂z ce se razlikovati od suhoadijabatske stope i slijedi da je

T

θ

∂θ

∂z= Γd − Γ.

Teθ

∂θ

∂z=

g

cp+∂Te∂z

(1.32)

• Ako je Γ < Γd (a θ raste s visinom): atmosfera je staticki stabilna ili stabilno

stratificirana

– Cest zraka adijabatski pomaknuta iz njenog ravnoteznog nivoa ce imati poziti-

van uzgon ako je pomaknuta prema dolje, a negativan uzgon ako je pomaknemo

prema gore te ce teziti da se vrati na ravnotezni nivo

Promatramo cest zraka koja dobije ubrzanje, tj. mali vertikalni pomak dz u okolisu

za koji vrijedi hidrostaticka ravnoteza 0 = − 1ρe

∂pe∂z− g

Dw

Dt=D2dz

Dt2= − 1

ρp

∂pe∂z− g pretpostavili smo da je ∂pp

∂z= ∂pe

∂z

Dw

Dt=D2dz

Dt2= − 1

ρp(−ρeg)− g =

ρeg

ρp− g

D2dz

Dt2= g

(ρeρp− 1

)koristimo zakon idealnog plina p = ρRT

D2dz

Dt2= g

(TpTe− 1

)pri cemu je pe = pp

D2dz

Dt2=

g

Te(Te − Tp) =

g

Te

(dTpdz− dTe

dz

)dz

D2dz

Dt2=

g

Te

[(−dTedz

)−(−dTpdz

)]dz

Sada uvrstimo izaze 1.30 i 1.31 u gornji izraz.

D2dz

Dt2=

g

Te(γ − Γd)dz

17


D2dz

Dt2+

g

Te(Γd − γ)dz = 0 obicna diferencijalna jedn. 2. reda

Iz izraza 1.32 slijedi da je

D2dz

Dt2+

g

Te

Teθ

∂θ

∂zdz = 0

D2dz

Dt2+g

θ

∂θ

∂zdz = 0

D2dz

Dt2+N2dz = 0 (1.33)

gdje N2 oznacava kvadrat uzgonske frekvencije. Uzgonska frekvencija 1 je frekvencija

vertikalnih oscilacija cesti staticki stabilnog (stratificiranog) fluida. Kvadrat uzgonske

frekvencije iznosi:

N2 =g

θ

∂θ

∂z= −g

ρ

∂ρ

∂z(1.34)

gdje je g akceleracija sile teze. Potencijalna temperatura θ i gustoca ρ su funkcije visine z.

Za prosjecne troposferske uvjete, N ≈ 1.2×10−1 s−1, te je stoga period uzgonskih oscilacija

τ = 2π/N oko 8 min. Opce rjesenje jedn. 1.33 se moze izraziti kao eksponencijalna

funkcija s kompleksnim argumentom:

dz = Aexp(±iNt) (1.35)

Karakteristike staticke stabilnosti atmosfere:

• Pomaknemo li cest duz vertikale, ona ce poceti vertikalno oscilirati samo ako je N

realan broj (D2

Dt(δz) = −N2δz). Uvjet N2 >0 ujedino znaci i da je ∂θ/∂z > 0,

odnosno ∂ρ/∂z < 0, dakle vertikalne oscilacije postoje samo u staticki stabilnom

fluidu.

• Pomaknemo li cest duz vertikale u staticki neutralnoj atmosferi (N2 = 0, odnosno

1 ponekad se naziva i Brunt-Vaisala frekvencija

18


∂θ/∂z = 0, odnosno ∂ρ/∂z = 0), ona ce ostati u novom polozaju.

• Cest pomaknuta vertikalno u staticki nestabilnoj atmosferi (N2 > 0, odnosno

∂θ/∂z > 0, odnosno ∂ρ/∂z < 0) nastaviti ce se sve vise udaljavati od pocetnog

polozaja - drugim rijecima, poremecenje ce se amplificirati.

1.8 Osnovni sustav jednadzbi u izobarnim koordinatama

Horizontalna jednadzba impulsa

DV

Dt+ fk×V = −∇pΦ (1.36)

gdje je ∇p horizontalni gradijent primijenjen za konstantni tlak p, a Φ je polje geopoten-

cijala.

Buduci da je p neovisna vertikalna koordinata, potpuni diferencijal pisemo:

D

Dt≡ ∂

∂t+Dx

Dt

∂

∂x+Dy

Dt

∂

∂y+Dp

Dt

∂

∂p(1.37)

=∂

∂t+ u

∂

∂x+ v

∂

∂y+ ω

∂

∂p(1.38)

Sada imamo ω ≡ Dp/Dt, tj. “omega” vertikalno gibanje predstavlja promjenu tlaka

uslijed gibanja, i u izobarnom k.s. ima istu ulogu kao i w u Kartezijevom.

Geostroficki vjetar u izobarnom koordinatnom sustavu glasi (iz jednadzbe 1.36):

Vg =1

fk×∇pΦ (1.39)

Hidrostaticka jednadzba

∂Φ

∂p= −α = −RT

p(1.40)

19


Jednadzba kontinuiteta

(∂u

∂x+∂v

∂y

)p

+∂ω

∂p= 0 (1.41)

Ovaj oblik jednadzbe kontinuiteta ne sadrzi gustocu i ne ukljucuje derivaciju u vremenu.

Jednostavnost izraza 1.41 je jedna od glavnih prednosti izobarnog koord. sustava.

Termodinamicka jednadzba energije

Prvi zakon termodinamike 1.27 ce u izobarnom koord. sustavu moze izraziti tako sto je

Dp/Dt = ω i koristeci raspis potpunog diferencijala u izobarnom koord. sustavu:

cp

(∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y+ ω

∂T

∂p

)− αω = J(

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)− ω

(RT

cpp− ∂T

∂p

)=

J

cp

Slijedi da je termodinamicka jednadzba energije u izobarnom koordinatnom sustavu

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y− Spω =

J

cp(1.42)

gdje je Sp ≡(RTcpp− ∂T

∂p

)= −T

θ∂θ∂p

parametar staticke stabilnosti u izobarnom koord.

sustavu.

1.9 Termalni vjetar

Na temelju hidrostaticke ravnoteze mozemo pokazati da postoji vertikalno smicanje

geostrofickog vjetra ukoliko postoje horizontalni gradijenti temperature. U izobarnom

koordinatnom sustavu izraz za geostroficki vjetar 1.39 rastavimo na komponente

vg =1

f

∂Φ

∂x, ug = − 1

f

∂Φ

∂p∂Φ

∂p= −α = −RT

ppa slijedi da je

∂vg∂p

=1

f

∂

∂p

∂Φ

∂x= − 1

f

∂

∂x

(RT

p

)

20


∂ug∂p

=1

f

∂

∂p

∂Φ

∂y=

1

f

∂

∂y

(RT

p

)

p

(∂ug∂p

+∂vg∂p

)= −R

f

(∂T∂x

)p

−(∂T

∂y

)p

U vektorskom obliku jednadzba termalnog vjetra glasi:

∂Vg

∂ ln p= −R

fk×∇pT (1.43)

Izraz termalni vjetar se odnosi na vektorsku razliku izmedu geostrofickog vjetra na dva

nivoa. Integrirajuci gornji izraz od p0 do p1, gdje je p1 < p0, slijedi da je

VT = Vg(p1)−Vg(p0) = −Rf

∫ p1

p0(k×∇pT )d ln p

Ako s 〈T 〉 oznacimo srednju temperaturu u sloju izmedu p0 i p1, mozemo pisati komepo-

nente termalnog vjetra

uT = −Rf

(∂〈T 〉∂y

)p

ln

(p0p1

)

vT =R

f

(∂〈T 〉∂x

)p

ln

(p0p1

)

Uz pomoc hidrostaticke jednadzbe, termalni vjetar mozemo izraziti i preko geopotencijala:

VT =1

fk×∇p(Φ1 − Φ0) ' −

R

f(k×∇p〈T 〉) ln

p1p0

(1.44)

Hipsometrijska formula glasi:

δz =1

gRTδ ln p (1.45)

21


te integrirajuci izraz 1.40 imamo da je:

Φ1 − Φ0 ≡ gZT = R〈T 〉 ln p0p1, ZT onacava debljinu sloja izmedu p0 i p1

Jednadzba termalnog vjetra je koristan dijagnosticki alat. Koristi se za procjenu srednje

horizontalne advekcije temperature u sloju. Iz vektorskog oblika jednadzbe termalnog

vjetra slijedi da je:

VT =1

fk×∇(Φ1 − Φ0) (1.46)

VT =g

fk×∇ZT =

R

fk×∇〈T 〉 ln p0

p1(1.47)

Na sjevernoj hemisferi termalni vjetar puse paralelno s izotermama, odnosno s izolinijama

reletivne topografije tako da se topliji zrak nalazi s desne strane.

Vidi: http://jadran.gfz.hr/pdfs/termalni_v.pdf

On-line modul za ucenje: https://www.meted.ucar.edu/dynamics/thermal_wind/index.

htm

1.10 Vrtloznost

Vrtloznost je mikro mjera rotacije u fluidu. Apsolutna vrtloznost ωa je jednaka zbroju

relativne vrtloznosti ω = ∇×V i vrtloznosti zbog rotacije Zemlje 2Ω

ωa = ∇×Va = ∇× (V + Ω×R) (1.48)

ωa = ∇×V +∇× (Ω×R) (1.49)

ωa = ω + 2Ω (1.50)

gdje je V brzina u odnosu na Zemlju koja rotira, a Va je brzina u apsolutnom (inercijal-

nom) koordinatnom sustavu. U meterologiji je posebno vazna vertikalna komponenta

22

http://jadran.gfz.hr/pdfs/termalni_v.pdf

https://www.meted.ucar.edu/dynamics/thermal_wind/index.htm

https://www.meted.ucar.edu/dynamics/thermal_wind/index.htm


relativne vrtloznosti

ζ = k · (∇×V) =∂v

∂x− ∂u

∂y(1.51)

Slicno, vertikalna komponenta Zemljine vrtloznosti jednaka je Coriolisovom parametru f ,

2Ω · k = 2Ω sinφ = f (1.52)

gdje je Ω modul vektora kutne brzine rotacije Zemlje, a φ je zemljopisna sirina. Kako

promatrac sa Zemlje “vidi” samo relativnu vrtloznost, jednadzbe sadrze zasebno prikazanu

relativnu vrtloznost ω. U literaturi se najcesce izostavlja rijec “relativna” te se pod

pojmom vrtloznost podrazumijeva relativna vrtloznost. Nadalje, u literaturi se cesto pod

pojmom vrtloznost podrazumijeva samo vertikalna komponenta relativne vrtloznosti ζ.

1.11 Jednadzba vrtloznosti

1.11.1 U Kartezijevom koordinatnom sustavu

Za gibanja na sinoptickoj skali jednadzba vrtloznosti u Kartezijevom koordinatnom

sustavu se moze dobiti iz horizontalnih jednadzbi gibanja. Zonalnu komponentu derivi-

ramo po y, a meridionalnu po x:

∂

∂y

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z− fv = −1

ρ

∂p

∂x

)(1.53)

∂

∂x

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z+ fu = −1

ρ

∂p

∂y

)(1.54)

Oduzmemo 1.53 od 1.54 i uvazimo relaciju 1.51:

D

Dt(ζ + f) = −(ζ + f)

(∂u

∂x+∂v

∂y

)+

(∂w

∂x

∂v

∂z− ∂w

∂y

∂u

∂z

)+

1

ρ2

(∂ρ

∂x

∂p

∂y− ∂ρ

∂y

∂p

∂x

)(1.55)

Promjena apsolutne vrtloznosti (prateci gibanje) je opisana sumom tri clana na desnoj

strani koji redom odgovaraju clanu divergencije, tilting ili twisting clan i solenoidalni clan.

23


1.11.2 U izobarnom koordinatnom sustavu

Jednostavniji izraz za jedndzbu vrtloznosti dobijemo ako promatramo gibanje u izo-

barnom koordinatnom sustavu. Ovu jednadzbu mozemo izvesti u vektorskom obliku tako

sto na 1.36 primijenimo vektorski operator k ·∇×, gdje ∇ oznacava horizontalni gradijent

na plohi konstantnog tlaka.

∂V

∂t+ V · ∇V + ω

∂V

∂p+ fk×V = −∇pΦ

Prije nego primijenimo vektorski operator na gornji izraz, koristimo vektorski identitet

(V · ∇)V = ∇(V·V2

)+ ζk×V, gdje je ζ = k · (∇×V)

∂V

∂t= −∇

(V ·V

2+ Φ

)− (ζ + f)k×V − ω∂V

∂p(1.56)

slijedi

k · ∇ ×(∂V

∂t= −∇

(V ·V

2+ Φ

)− (ζ + f)k×V − ω∂V

∂p

)

Buduci da je za bilo koji skalar A, ∇ × ∇A = 0, te da za bilo koja dva vektora vrijedi:

∇× (a× b) = (∇ · b)a− (a · ∇)b− (∇ · a)b + (b · ∇)a mozemo eliminirati prvi clan na

desnoj strani, te pojednostaviti drugi clan, tako da na kraju jednadzba vrtloznosti glasi

∂ζ

∂t= −V · ∇(ζ + f)− ω∂ζ

∂p− (ζ + f)∇ ·V + k ·

(∂V

∂p×∇ω

)(1.57)

24

Bibliografija

Holton, J. R., 2004: An Introduction to Dynamic Meteorology. Elsevier Academic Press,

534 pp.

25

1uvod - unizg.hrgibanja na sinopti ckoj skali za odredenu geografsku sirinu. promatramo poreme caje...

Documents