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CINEMATICA DE LA PARTICULA:

Conceptos fundamentales del movimiento: trayectoria, velocidad, aceleracin. Tipos de movimiento. Descripcin del movimiento de una partcula referida a diferentes sistemas de coordenadas: cartesianas, normales, tangenciales y cilndricas. Cinemtica del movimiento relativo de una partcula.

1. Introduccin:

En esta parte del curso de Mecnica se estudia el anlisis de los cuerpos en movimiento, siendo este el objeto de estudio de la Dinmica.

La dinmica incluye:

La cinemtica, es la parte de la Mecnica que se encarga de estudiar el movimiento de partculas y cuerpos rgidos, sin considerar las causas que lo originan. Puede considerarse como el estudio de la geometra del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento.

La cintica, estudia a su vez las relaciones entre los factores que causan el movimiento y el movimiento mismo, es decir, estudia la relacin que existe entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de ste. La cintica se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas que actan sobre un cuerpo, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento especfico.

2. Nociones bsicas:

2.1. Sistemas de referencia:

Se dice que un cuerpo en el espacio est en movimiento relativo respecto a otro cuerpo u objeto cuando su posicin relativa a ste vara con el tiempo.

La primera caracterstica que se desprende de la nocin de movimiento es su relatividad. En efecto, ste depende del objeto al cual est referido. A este objeto se le denomina observador, de manera que distintos observadores aprecian en general distintos movimientos para un mismo objeto. Por ejemplo, el movimiento de una pelota que dejamos caer desde un auto es visto de manera diferente por un observador ligado a tierra que por otro ligado al auto.

El siguiente problema que se plantea una vez definido el observador, es como se realiza matemticamente la descripcin del movimiento, lo cual es el objeto de la Cinemtica. Para ello, se debe profundizar un poco ms en la naturaleza del observador definiendo a ste como un slido rgido o sistema de puntos materiales cuyas distancias relativas permanecen siempre constantes. A pesar de que en la naturaleza no existen cuerpos totalmente rgidos, esta simplificacin se puede aplicar a los sistemas materiales en los cuales la variacin en las distancias relativas de sus partculas es despreciable desde el punto de vista macroscpico. En todo caso, para el desarrollo de la teora se puede considerar siempre la existencia de slidos ideales para descripcin del movimiento.

El ejemplo de observador comnmente utilizado y con el que nos encontramos identificados es la propia tierra. La concepcin del movimiento est ligada a nuestras observaciones realizadas desde la superficie terrestre.

Dado un slido rgido cualquiera, se denomina sistema de referencia al conjunto formado por un punto O del slido y una recta dos tres del mismo que pasan por O. A este punto se le denomina origen del sistema de referencia.

Cuando las dos tres rectas son ortogonales, el sistema de referencia se denomina rectangular.

Como la eleccin del origen es arbitraria, un observador puede definir infinitos sistemas de referencia. Por otro lado, cada sistema de referencia est ligado a un nico observador.

Por otro lado, si bien el slido real tiene una extensin finita, cualquier sistema de referencia asociado a un cuerpo rgido define un slido que tiene infinitos puntos, cada uno de ellos ocupando una posicin fija respecto al mismo.

Un sistema de coordenadas es una regla concreta que permite asignar a cada punto P del espacio un conjunto de uno, dos tres nmeros que definen buinvocamente su posicin respecto a un sistema de referencia.

2.2. Vector de posicin radio vector:

Se puede definir la posicin de un punto P, escogiendo un punto de referencia O y representando el vector de posicin r de O a P, , (Fig. 1.a)

(a) (b) (c)

Fig. N 1

Suponiendo que el punto P se encuentra en movimiento con respecto al punto O, de manera que r es una funcin del tiempo t (Fig. 1.b), esto se puede expresar de la siguiente forma:

r = f(t) = r(t)

La ecuacin que liga al vector con el tiempo t se llama Ecuacin del Movimiento o Ley del Movimiento de P.

Como el vector r es funcin del tiempo t, las componentes del mismo tambin son funcin del tiempo, por lo tanto, la expresin anterior es equivalente a la siguiente:

2.3. Curva indicatriz trayectoria:

En cinemtica, la trayectoria es el conjunto de todas las posiciones por las que pasa un cuerpo en movimiento, o sea, es el lugar geomtrico de los extremos del vector de posicin.

De acuerdo a la expresin:

Las componentes del vector de posicin x,y y z, son tambin funcin del tiempo, por lo cual:

a estas expresiones se les conoce como las ecuaciones paramtricas de la trayectoria ecuaciones cartesianas del movimiento.

Si en las ecuaciones paramtricas de la trayectoria se elimina el parmetro t, se obtiene la ecuacin cartesiana de la misma, que en general responder a la forma:

Segn la mecnica clsica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre ser una lnea continua. Sin embargo, la fsica moderna ha encontrado situaciones donde esto no ocurre as. Por ejemplo, la trayectoria de un electrn dentro de un tomo es probabilstica, y corresponde a un volumen.

La trayectoria puede ser recta o aproximarse a una curva continua; en el primero de los casos estamos en presencia de un movimiento rectilneo y en el caso de una trayectoria curva se habla de un movimiento curvilneo

La trayectoria curvilnea puede ser bidimensional (plana) o tridimensional (con torsin). En las trayectorias curvas es importante determinar la clase o grado de diferenciablidad, si la curva es k veces diferenciable y las derivadas k-simas son continuas, se dice que la curva es al menos de clase Ck [una curva es de clase Cp si la curva es al menos de clase p pero no es de clase p+1]. La clase de una curva da una idea de la suavidad o progresividad de sus aceleraciones y la variacin de las fuerzas sobre la partcula.

Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociarlas con estos nombres:

Movimientos circulares

Movimientos elpticos

Movimientos parablicos

Movimiento pendular

Movimiento oscilatorio

Movimientos ondulares

2.4. Espacio recorrido y vector desplazamiento:

Trayectoria es la lnea determinada por las sucesivas posiciones del mvil en el curso de su movimiento.

Espacio recorrido es el camino que realiza el mvil medido sobre la trayectoria.

Vector desplazamiento es el vector definido por la posicin inicial, que ser el origen del vector, y la posicin final, que ser su extremo. Su smbolo es .

En el grfico se observa que si un mvil se desplaza entre los puntos P y Q de la trayectoria, efecta un desplazamiento y recorre un arco de longitud S. Observar el carcter escalar del arco frente el al vectorial del desplazamiento.

Donde: es el vector desplazamiento.

2.5. Velocidad:

La velocidad es la magnitud fsica que expresa la variacin de la posicin de un objeto en funcin del tiempo, o el desplazamiento del objeto por unidad de tiempo. Se suele representar por la letra. La velocidad puede distinguirse segn el lapso considerado, por lo cual se hace referencia a la velocidad instantnea, la velocidad media, etc.

La unidad de velocidad, en el Sistema Internacional de Unidades, es el metro por segundo (m/s).

En el Figura N 1.c, el vector desplazamiento que indica el cambio de posicin del punto P, es: , por lo tanto la velocidad de P respecto a O en el tiempo t se define como:

Donde:

es el cambio de posicin o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo

As la velocidad es la razn de cambio de la posicin P respecto a O, o sea la derivada del vector desplazamiento con respecto al tiempo, lo que indica que el vector velocidad es tangente a la trayectoria

La ecuacin anterior equivale a las cartesianas siguientes:

; ;

Como expresin analtica de la velocidad se puede decir:

La magnitud de la velocidad se denomina rapidez y su valor se determina mediante la frmula:

Otra forma de esta expresin es:

En la cual S representa la longitud descrita, o sea, una distancia medida sobre la trayectoria.

Las componentes del vector velocidad nos indican en que forma est ocurriendo el movimiento, el valor positivo de la componente indica que la correspondiente coordenada crece, o sea, que la proyeccin del mvil sobre dicho eje se aleja del origen; un valor negativo indica que la correspondiente coordenada decrece y, por ltimo, un valor nulo indica una coordenada estacionaria, o sea, que la proyeccin del mvil se halla en reposo.

2.5.1. Hodgrafa:

La curva indicatriz que se obtiene trazando por el origen un vector correspondiente a la velocidad del mvil en cada instante, desempea un importante papel en las aplicaciones, esta curva es denominada hodgrafa.

Las ecuaciones cartesianas de la hodgrafa pueden deducirse de las ecuaciones paramtricas de la velocidad eliminando entre ellas el parmetro t.[

2.6. Aceleracin:

La aceleracin es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con que aumenta o disminuye la velocidad de un mvil en funcin del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo2 y como unidades, segn el sistema internacional, se utiliza el m/s2.

Se puede definir tambin la aceleracin como el vector derivada de la velocidad con relacin al tiempo, o sea, la segunda derivada del vector de posicin con respecto al tiempo.

Su expresin analtica ser:

Los valores de , componentes de la aceleracin segn los ejes coordenados, se deducen de las ecuaciones del movimiento por el proceso de derivacin.

Como se puede apreciar, la aceleracin no es, en general tangente a la trayectoria: ella es tangente a la hodgrafa.

Es importante el hecho de que no basta que la velocidad sea constante en magnitud para que su derivada, o sea la aceleracin sea nula. Un cambio en direccin de la velocidad lleva consigo una variacin en alguna de sus componentes, por lo menos, lo cual implica una aceleracin.

Anlogamente a lo expresado para las velocidades, un valor negativo de una componente de la aceleracin indica que la componente de la velocidad sobre tal eje disminuye; un valor positivo es signo de que la correspondiente de la velocidad aumenta, mientras que un valor nulo de la aceleracin para un instante dado corresponder a un valor de la velocidad que es un mximo o un mnimo. En el diagrama de los espacios, el instante para el cual la aceleracin es nula, corresponde a un punto de inflexin.

2.7. Interpretacin geomtrica:

Las frmula fundamentales y tienen un significado geomtrico.

La primera frmula expresa que la velocidad en cualquier instante es igual a la pendiente de la curva x-ten el mismo instante. La segunda indica que la aceleracin es igual a la pendiente de la curva v-t, Estas dos propiedades pueden utilizarse para determinar de manera grfica las curvas v-t y a-t de un movimiento cuando se conoce la curva x-t.

3. Anlisis del movimiento:

En algunos casos se conoce la posicin S, de algn punto del cuerpo como funcin del tiempo, para ello se utilizan mtodos como el radar y la tecnologa laser para medir posiciones en funcin del tiempo, en estos casos se pueden obtener por diferenciacin la velocidad y la aceleracin como funciones del tiempo.

Sin embargo, es ms comn conocer la aceleracin de un cuerpo que su posicin, porque la aceleracin de un cuerpo se puede determinar con la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actan sobre l. Una vez conocida la aceleracin se pueden determinar por integracin la velocidad y la posicin.

3.1. La aceleracin es una funcin dada del tiempo t,

Aplicando la definicin de aceleracin, se tiene:

Despejando:

Integrando ambos miembros de la ecuacin, para y para , se tiene:

la cual produce la velocidad v en funcin del tiempo t.

Por otra parte:

De la definicin de velocidad se tiene:

Despejando:

Integrando:

la cual produce la posicin S en funcin del tiempo t.

3.2. La aceleracin es una funcin dada de la posicin S,

3.3. La aceleracin es una funcin dada de la velocidad v,

4. Movimiento curvilneo:

En el movimiento rectilneo, los vectores de posicin, velocidad y aceleracin, estn descritos por sus respectivos escalares:

En el caso del movimiento curvilneo se debe especificar adems de las magnitudes, las direcciones de stos vectores, por lo cual se requiere de un sistema coordenado para expresarlos en funcin de sus componentes escalares.

Coordenadas cartesianas:

Sea el vector de posicin de un punto Pde coordenadas P(x,y,z):

Si el sistema coordenado no gira, para la velocidad se tiene:

lo que es lo mismo:

Donde:

; ;

La aceleracin de P es:

Donde:

; ;

Caso de un proyectil:

Si un cuerpo se dispara al aire y la resistencia de ste es insignificante, su aceleracin ser igual a la aceleracin de la gravedad g.

De acuerdo al Principio de independencia de movimientos, formulado por Galileo Galilei, el lanzamiento de un proyectil se puede estudiar como resultado de la composicin de dos movimientos:

1. Uniforme a lo largo del eje X

2. Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

En el grfico ax = 0, ay = - g , az = 0.

Suponiendo que en el tiempo t = 0, el proyectil se encuentra en el origen O, tiene velocidad V0 y forma un ngulo 0 sobre la horizontal; se tiene:

Velocidad, aceleracin y posicin en el eje X:

;

Velocidad en el eje X

Aceleracin en eje X

Pero:

, por tanto:

Posicin en el eje X

Velocidad, aceleracin y posicin en el eje Y:

En t = 0, y = 0 y

pero:

Aceleracin en eje Y

Posicin en el eje Y

Ecuacin de la trayectoria:

Despejando el parmetro t, se tiene:

sustituyendo el valor de t en la ecuacin de y

5. Movimiento angular:

5.1. Generalidades:

La posicin de una lnea L en un plano particular respecto a una lnea de referencia L0 en el mismo plano, se puede especificar por medio del ngulo .

De acuerdo al grfico anterior, la velocidad angular de la lnea L respecto a L0 est definida por:

Y la aceleracin angular respecto a L0, por:

La analoga entre el movimiento en lnea recta y el movimiento angular se observa en el siguiente cuadro:

Movimiento en lnea recta

Movimiento angular

Si se expresa en radianes, se tiene:

Por otra parte:

5.2. Rotacin de un vector:

Los vectores unitarios cartesianos , son constantes siempre y cuando que el sistema no gire.

En otros sistemas coordenados los vectores unitarios usados para describir el movimiento de un punto, giran conforme se mueve el punto. Para obtener expresiones de la velocidad y aceleracin en tales sistemas coordenados, se deben conocer las derivadas respecto al tiempo de un vector unitario en rotacin.

Se puede describir el movimiento angular de un vector unitario en un plano de la misma forma como se describi el movimiento angular de una lnea.

En tal sentido, como se indica en el siguiente grfico, la direccin del vector unitario , respecto a una lnea de referencia L0, se especifica con el ngulo y la razn de cambio de rotacin de respecto a L0, se especifica con la velocidad angular .

La derivada del vector con respecto al tiempo se define por:

En el grfico se observa que el tringulo cuyos lados son:, y , es un tringulo issceles, por lo tanto:

Incluyendo un vector unitario que seale la direccin de , se tiene:

Sustituyendo sta expresin en la derivada de se obtiene:

Para evaluar este lmite se multiplica por

El vector unitario es perpendicular al vector y seala en la direccin positiva de .

5.3. Componentes normal y tangencial de la aceleracin:

Al describir el movimiento curvilneo se especifica la posicin de un punto por su ubicacin medida a lo largo de su trayectoria y se expresan la velocidad y la aceleracin en sus componentes tangencial y normal a la trayectoria.

Considerando un punto P que sigue una trayectoria plana curvilnea (Fig. a), el vector de posicin r especifica la posicin de P sobre su trayectoria respecto a un punto O.

La velocidad de P respecto a O es:

Donde:

= distancia recorrida entre t y t + t

= vector unitario apuntando en la direccin de r

Cuando , la expresin se convierte en: y el vector unitario es tangente a la trayectoria en el punto P y se denota como:

Por lo tanto:

Esta expresin indica que: la velocidad de un punto en movimiento curvilneo es un vector cuya magnitud es igual a la razn de cambio de la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria en un intervalo de tiempo y su direccin es tangente a sta

Si la trayectoria no es una lnea recta, el vector unitario, , gira cuando P se mueve, en consecuencia la derivada con respecto al tiempo de , no es igual a cero.

Para determinar la aceleracin de P, se deriva con respecto al tiempo de la siguiente forma:

La derivada de un vector unitario en rotacin se determin anteriormente y es igual a:

Para aplicar sta frmula se define el ngulo de trayectoria , (Ver grfico) que significa la direccin de respecto a una lnea de referencia.

Por lo tanto la aceleracin ser:

En sta expresin se tiene que es la componente tangencial de la aceleracin y representa la razn de cambio de la magnitud de la velocidad con respecto al tiempo, por otra parte el trmino que es perpendicular a la trayectoria representa el cambio de direccin del vector velocidad en el tiempo t.

5.4. Expresiones de la aceleracin tangencial y la aceleracin normal en funcin de los vectores velocidad y aceleracin:

Como se demostr anteriormente los vectores aceleracin tangencial,, y aceleracin normal, , son perpendiculares entre s, y forman con el vector aceleracin, , un ngulo , como se indica en la siguiente figura.

De acuerdo al grfico, se tiene:

y

Si se multiplican escalar y vectorialmente los vectores velocidad, , y aceleracin,, se obtiene:

y

Por lo tanto, las componentes normal y tangencial de la aceleracin sern:

y

5.5. Radio de curvatura:

Se puede expresar la aceleracin en otra forma que a menudo es ms conveniente. La siguiente figura muestra las posiciones sobre la trayectoria alcanzadas por P en los tiempos t y t+t. Si la trayectoria es curva, las lneas rectas que se extienden perpendicularmente desde esos puntos se cortan en un punto como indica la figura. La distancia desde el punto de interseccin de las lneas a la curva indicatriz o trayectoria se denomina radio de curvatura instantneo de la trayectoria.

El ngulo d es el cambio en el ngulo de la trayectoria y ds es la distancia recorrida entre t y t+t.

El radio de curvatura est relacionado con ds por la siguiente frmula:

Dividiendo la expresin anterior por dt se obtiene:

Sustituyendo el valor de en la ecuacin de la aceleracin, se tiene:

El radio de curvatura puede ser expresado en funcin de los vectores de velocidad, , y de aceleracin, , en la siguiente forma:

Como se ha defini anteriormente:

y

Igualando estas dos expresiones se obtiene:

De donde el radio de curvatura es:

5.6. Coordenadas polares:

Aspectos generales:

Las coordenadas polares suelen usarse para describir el movimiento curvilneo de un punto.

En un sistema de coordenadas polares, un punto se localiza especificando su posicin relativa con respecto a una recta fija llamada eje polar y a un punto fijo de esa recta llamado polo.

eje polar

polo

ngulo , ngulo polar

coordenadas polares de P

radio vector

eje a 90, perpendicular a

El ngulo se mide de la misma forma que en trigonometra (+) en sentido contrario a las manecillas del reloj y (-) en el sentido horario. 0 360.

El radio vector puede ser positivo o negativo

Transformacin de coordenadas (Ecuacin polar Ecuacin rectangular):

Ecuaciones:

Ecuaciones de la posicin, velocidad y aceleracin:

Considerando un punto P en el plano X-Y de un sistema de coordenadas cartesianas, se puede especificar la posicin de P respecto al origen O por medio de sus coordenadas cartesianas (x,y) o por sus coordenadas polares (r,).

Para expresar vectores en coordenadas polares, se define un vector unitario que seale en la direccin de la lnea radial del origen O al punto P y un vector unitario , perpendicular a y que apunta en la direccin creciente de .

En trminos de estos vectores, el vector de posicin del vector ser:

Se puede observar que el vector no tiene componente en la direccin de .

Se puede determinar la velocidad de P en coordenadas polares derivando el vector de posicin con respecto al tiempo de la siguiente forma:

Ecuacin A

Cuando P se mueve en una trayectoria curvilnea, el vector gira con velocidad angular . Por lo tanto la expresin se puede expresar en funcin de como sigue:

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin A, se tiene:

En forma grfica la expresin anterior representa lo siguiente:

La aceleracin de P se obtiene derivando la velocidad del punto con respecto al tiempo, en la forma siguiente:

Pero:

y

Ecuacin B

De las ecuaciones A y B, se desprende:

Velocidad:

Donde:

componente radial de la velocidad

componente transversal de la velocidad

Aceleracin:

Donde:

componente radial de la aceleracin

componente transversal de la aceleracin

La componente radial, , de la aceleracin ser igual a:

donde:

aceleracin centrpeta

La componente transversal, , de la aceleracin ser igual a:

Donde:

aceleracin de Coriolis

6. Movimiento relativo:

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento de un solo punto, para lo cual se ha utilizando un solo sistema de referencia para describirlo. Sin embargo, suele no ser el movimiento de un punto individual lo que se debe considerar, sino el movimiento relativo entre ellos de dos o ms puntos; es el caso del aterrizaje de un avin en un portaaviones, el movimiento individual de dos patinadores con respecto al hielo o el de las gotas de lluvia que caen sobre un automvil en movimiento.

En todos los casos, se toma un sistema de referencia fijo generalmente respecto a la tierra (arbitrario) para definir el movimiento de cada partcula individualmente y un sistema de referencia mvil que permite definir el movimiento entre las partculas.

Supongamos que A y B son dos puntos cuyos movimientos individuales medimos respecto a un punto de referencia O, y analicemos como describir el movimiento de A respecto a B.

Sean rA y rB los vectores de posicin de los puntos A y B respecto al punto O. El vector rA/B es el vector de posicin de A respecto a B.

De acuerdo al grfico estos vectores se relacionan en la siguiente forma:

Cada vector especifica la posicin de la partcula en la forma siguiente:

posicin de A respecto a O

posicin de B respecto a O

posicin de A respecto a B

Derivando esta expresin respecto al tiempo, se obtiene:

Donde:

velocidad de A respecto a O

velocidad de B respecto a O

velocidad de A respecto a B

Derivando la ecuacin de la velocidad con respecto al tiempo se obtiene:

Donde:

aceleracin de A respecto a O

aceleracin de B respecto a O

aceleracin de A respecto a B

Las ecuaciones de los vectores de posicin, velocidad y aceleracin fueron deducidas bajo la premisa de que el sistema de referencia no gira.

7. Bibliografa:

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ING. ORLANDO F. OCHOA CH.Pgina 21

UNEFA-MECANICA-2009