2-1 點、直線、圓之間的位置關係

教學者：林俐孜 老師

台北縣立正德國民中學九十九學年度第一學期

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本章你將會學到

點與圓的位置關係

• 我們可以用點到圓心的距離與半徑的比較得知：

圓外

圓上

圓內 ‧‧

‧

點與圓的位置關係

點與圓的位置關係 點在圓內 點在圓上 點在圓外

圖示

點到圓心距離與半徑的比較

＜ r ＝ r ＞ rOA OB OC

點與圓的位置關係 隨堂練習 p.58

1. 根據右圖，判斷各紅色的點與圓 O 的位置關係：(1) 在圓外的點是： 。(2) 在圓上的點是： 。(3) 在圓內的點是： 。

D 、E

B 、C A

點與圓的位置關係2. 承第 1 題，若此圓的半徑為 r ，分別作 、 、 、 、 五條線段，比較這五條線段與半徑的大小關係。 ( 空格中請填入＞、＜或＝ )

(1) 　　 　　 r 。　　(2) 　　 　　 r 。　　(3) 　　 　　 r 。(4) 　　 　　 r 。　　(5) 　　 　　 r 。

AO BO CO DO EO

AO

BO

CO

DO

EO

＜＝＝＞＞

直線與圓的位置關係

直線 L與圓O不相交

直線M與圓O .相交於一點

直線 N與圓O .相交於兩點

‧

‧

‧

M L

N

N：割線

M：切線

P：切點

直線與圓的位置關係直線與圓的位置關

係

直線 L 與圓 O

不相交直線 L 與圓 O 相

切直線 L 與圓 O 交

於兩點

圖示

圓心到直線的距離與半徑的比較

＞ r ＝ r ＜ rOP OP OP

已知圓 O 的半徑 ＝ r ，且 L ⊥ 於 A 點。依據右圖，在下列各空格中填入適當的答案。(1) 直線 L 與圓 O 有　　 　　個交點。 直線 M 與圓 O 有　　 　　個交點。 直線 N 與圓 O 有　　 　　個交點。(2) 哪一條直線是圓 O 的切線？　　 　　。 哪一條直線是圓 O 的割線？　　 　　。

OA OA

1

2

0

L

M

隨堂練習p.61

(3) 設圓心 O 到直線 M 、 N 的距離分別為 r1、 r2，則 r 、 r1、 r2

的長短順序為　　 　　＞　　 　　＞　 　　。(4) 完成下表對於直線與圓位置關係的描述。

直線與圓的位置關係

直線與圓不相交 直線是圓的切線 直線是圓的割

線

直線與圓的交點數

( 填數字 )

直線與圓心的距離

( 填大於、小於或等於半

徑 )

0 1 2

小於半徑

r2 r r1

等於半徑大於半徑

• 例 1 直線與圓的位置關係　 已知圓 O 的直徑為 15 公分，而圓心 O 到四條直線 L 、M 、 N 、 H 的距離分別為 15 公分、 10 公分、7.5 公分、 5 公分，那麼此四條直線分別和圓 O 有幾個交點？哪幾條是切線？哪幾條是割線？

∵圓 O 的直徑為 15 公分→ ∴半徑是 7.5 公分

(1) 圓心到直線 L 、 M 的距離都大於半徑→∴沒有交點

(2) 圓心到直線 N 的距離等於半徑

→∴只有一個交點，且為切線

(3) 圓心到直線 H 的距離小於半徑

→∴有二個交點，且為割線

例 2

OB AB

求切線段的長　 如下圖，若直線 AB 為圓 O 的切線，切點為 A ，且圓 O 半徑為 5 ， ＝ 13 ，則 為多少？

連接 OA

Ans: 12AB

(1) 如圖 ( 八 ) ， P 為圓 O 外一點， 與 為圓 O的兩條切線， M 、 N 為切點。 連接 、 與 在△POM 與△PON 中 ∵ ( 皆為圓 O 的半徑 )

∠PMO ＝∠PNO ＝ 90°

( 公共邊 )

∴△POM △PON(RHS 全等性質 )

由以上可知 即 P 點到圓 O 的兩條切線 、 會等長。

PM PN

OM ON OP

ONOM

OPOP

PNPM PM PN

若 P 為圓 O 外一點， 、 為圓 O 的兩條切線，M 、 N 為切點，則：

1. 。2. 平分∠MPN 。3. 垂直平分 。

PNPM

PNPM

OP

OP MN

利用△ POM △PON(RHS全等性質 )

(3) 是根據等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊的性質

例 3 圓切線段長的性質　 如下圖， P 為圓 O 外一點， 與 為圓 O 的切線， M 、 N 為切點。已知圓 O 半徑為 5 公分， ＝ 10 公分，∠MOP ＝ 60° 。試求：(1) 四邊形 OMPN 的周長。(2)∠MPN 的度數。(3) 的長度。

PNPM

OP

MN

∴∠OMP ＝∠ONP ＝ 90°

(1) ∵ 與 為圓 O 的切線， M 、 N 為切點PNPM

依據勾股定理 222OPPMOM

222 105 PM

75251002

PM

( 負不合 )35PM

得 35PM

又 35PMPN

∴四邊形 OMPN 的周長＝ 353555

( 公分 )31010 ＝

解

∵∠MOP ＝ 60° ，∠OMP ＝ 90°

∴∠MPO ＝ 180° － 60° － 90° ＝ 30°

∠MPN ＝ 2∠MPO ＝ 2×30° ＝ 60°

∴△MPN 為正三角形故 ( 公分 )

35 NPMPMN

MN(3) 連接

在△OMP 中

∵∠MPN ＝ 60° ， NPMP

解 (2) 求∠ MPN 的度數。

隨堂練習P.66

如右圖， P 為圓 O 外一點， 與 為圓 O 的切線， M 、 N 為切點。若圓 O 半徑為 8 公分， ＝ 12 公分，則：(1) ＝？(2) ＝？

PM PN

PM

OP

MN

(1)

(2)

13420814464128 22 OP

1313

48

134

1282

MN

如右圖，若四邊形 ABCD 各邊分別與圓相切於 E 、 F 、 G 、 H 四點，此時這個四邊形稱為圓外切四邊形，而這個圓稱為四邊形 ABCD 的內切圓。我們可以利用切線的性質找出圓外切四邊形邊長的關係。

說明：∵四邊形 ABCD 各邊分別與圓相切 ∴ ， ， ， 則

AHAE BFBE CGCE DHDG )()( DGCGBEAECDAB

BCAD

)()( CFBFDHAH )()( DHCFBFAH

圓外切四邊形的性質若一個四邊形為圓外切四邊形，則此四邊形兩個對邊的和會相等。

AB CD BCAD 左 + 右 = 上 + 下

如右圖，四邊形 ABCD 各邊分別與圓 O相切於 E、 F、G、 H四點，若 ＝ 10 ， ＝ 9，則四邊形ABCD 的周長為多少？

AB CD

∵四邊形 ABCD 為圓外切四邊形∴ ＝ 10 ＋ 9 ＝ 19故周長＝

CDABBCAD ＝

38192 BCADCDAB

隨堂練習P.67

重點複習• 點與圓的位置關係

點在圓內 點在圓上 點在圓外

＜ r ＝ r ＞ rOA OB OC

1

重點複習• 直線與圓的位置關係2

直線與圓的位置關係

直線 L與圓 O不相交

直線 L為圓 O的切線

直線 L為圓 O的割線

交點個數 0 1 2

圖示

直線與圓心的距離

＞ r ＝ r ＜ rOP OP OP

重點複習圓的切線性質P 為圓 O 外一點，直線 PA 、直線 PB 切圓 O 於 A 、 B 兩點，則：(1) 圓心與切點的連線必和切線垂直。 ⊥ ， ⊥ 。(2) 圓心到切線 ( 或切點 ) 的距離等於半徑。 。(3) 過圓外一點 P 對此圓所作的兩切線段長相等。 。(4) 圓外一點 P 與圓心的連線會平分過此點的兩切線夾角。 ∠APO ＝∠BPO 。(5) 圓外一點 P 與圓心的連線會垂直平分過此點的兩切線切點 所連接的弦。 ⊥ ， 。

OA PA OB PB

rOBOA

PBPA

OP AB BCAC

3

謝謝聆聽回去請記得複習喔！！明天會有個小考 ^^