- 40 -

(2) １歳以上の粗死亡率の計算

ア 手順のフレーム

１歳以上の各歳別粗死亡率を、 xq （死亡率）と xp （生存率）の関係式 xq ＝１－ xpを利用して求める。 xp を求めるにあたり、日本人人口と死亡数を用いるが、死亡数については、以下にあるレキシスの図の考え方に従って集計する必要がある。

イ 使用データ

① 平成 17年国勢調査の日本人人口 ② 平成 17年の日本人死亡数

ウ Lexis（レキシス）の図

（ア）図の概念

数式に入る前に、Lexis(レキシス)の図について説明する。Lexisの図は、数式の意味を理解するために必要となり、生命表では必ず用いられる。 Lexisの図とは、簡単に言うと一人の生涯を線分で表したものである。具体的には、図２のとおりである。縦軸に年齢を、横軸に暦日をとる。 この図で使う用語は、２つある。生命線と死亡点である。生命線は、各個人の出

生点と死亡点とを結んだ線分である。いずれの線分も全て平行である。死亡点は、

各個人が死亡した点であり、生命線はそこで途切れる。死亡点は図上に散在する。

＜図２ Lexis（レキシス）の概念図＞

1+x

x

1−x

年 齢

平成17年 平成18年暦日（年）

平成17年中にｘ歳で死亡した人の数

生命線

死亡点

- 41 -

（イ）生命表での使い方

Lexis の図の、生命表での使い方について説明する。ここでは、平成 17 年の x歳の人の死亡数を以下の図３のとおり４区分に分ける。 図２を 10月１日で分けて、更に、ちょうど１月１日生まれの生命線（右斜め 45度の

対角線）で上下に分けたものが図３である。なお、図３の各図形と死亡の月などとの

関係は次頁の表２のとおりである。

＜図３ Lexisの図（死亡数を４区分に分けたもの）＞

1+x

1−x

x

xe xd

1+xβ

xβ

xα

1−xα 1−xa

xa

平成18年1月1日 平成19年1月1日平成17年1月1日

平成17年10月1日

（年齢）

Ｃ

Ｅ

Ｇ

ＪＩ

ＨＤ

ＦＢ

Ａ

平成18年10月1日

1+xb

平成16年10月1日

xb

◎平成 17年国勢調査の日本人人口

α x ：同年１月１日に既に x歳で 10～12月生まれの人の数 β x ：同年中に x歳になる１～９月生まれの人の数 α 1−x ：同年１月１日は既に x－１歳で 10～12月生まれの人の数 β 1+x ：同年中に x＋１歳になる１～９月生まれの人の数

◎生命線の数 Ｎ(ＡＢ：暦日)：平成 17年１月１日時点で、 x歳である人の数（静態人口）

- 42 -

Ｎ(ＡＨ：年齢)：平成 17年中に、 x歳の誕生日を迎えた人の数 （動態人口） Ｎ( H I：暦日)：平成 18年１月１日時点で、 x歳である人の数 （静態人口）

Ｎ( B I：年齢)：平成 17年中に、 x＋１歳の誕生日を迎えた人の数 （動態人口）

＜表２ 図３における、各図形と死亡の月などとの関係＞

図３の該当図形 （死亡数）

死亡の月 死亡日と平成 17年の誕生日との順番

（どちらを先に迎えたか）

台形ＡＢＦＥ（ xe ） 死亡日を、17年の誕生日より先に迎えた

三角形ＡＤＥ（ xb ） 平成 17年１～９月

17年の誕生日より後に、死亡日を迎えた

三角形ＥＦＩ（ xa ） 死亡日を、17年の誕生日より先に迎えた

台形ＤＥＩＨ（ xd ） 平成 17年 10～12月

17年の誕生日より後に、死亡日を迎えた

線分 AH を横切る生命線の数は、平成 17 年中に x歳の誕生日を迎える人の数であ

る。これを N(AH)と表す。同様に、線分ＨI を横切る生命線の数 N(HI)は、平成 17年に x歳を迎え、同年末まで生存した人の数となる。 平成 17年中に x歳を迎えた人が、同年末、さらに翌年 18年１月 1日を経て 18年

中に x＋１歳の誕生日を迎えるまで生存する確率は)(

)(AHNIJN になる。

これを計算するためには平成 18 年にまたがって人口動態を観察しなければならない。今回の生命表は平成 17年のものであり、ここで用いる資料は、17年中に発生したものでなければならない。 そこで、平成 17年の x歳の生存率は、以下の(a)と(b)の積で求める。 (a) 平成 17年中に x歳を迎える人が、同年末まで生存する確率 (b) 平成 17年 1月 1日に生存していた人が、同年中に x＋１歳を迎えるまで生存する確率

図３によると、(a)が)()(

AHNHIN 、(b)が

)()(

ABNBIN になる。

- 43 -

ウ 数式

（ア）生命線の数（生存数）

各線分を通る生命線の数は、次のようにして求めることができる。 Ｎ(暦日) ： Ｎ(ＡＢ) ＝α x ＋β 1+x ＋ xe ＋ 1+xb

Ｎ(ＨＩ) ＝α 1−x ＋β x － 1−xa － xd （※）Ｎ(ＡＢ) の求め方について、平成 17年 1月 1日時点の生存数を、10月から遡っていくと考える。

10月時点の日本人人口α x ＋β 1+x に９月までの死亡数 xe ＋ 1+xb を足し合わせる。

Ｎ(年齢) ： Ｎ(ＡＨ) ＝α 1−x ＋β x － 1−xa ＋ xb Ｎ(ＢＩ) ＝α x ＋β 1+x － xa ＋ 1+xb

（※）Ｎ(ＡＨ) の求め方について、平成 17年中に誕生日を迎える人数を、９月までと 10月以降に分ける。

まず 9月までに迎えた人Ｎ(ＡＤ) は、10月時点の日本人人口β x に９月までの死亡数 xb を足す。

次に 10月以降のＮ(ＤＨ) は、10月時点の日本人人口α 1−x から 10月以降の死亡数 1−xa を引く。

（イ）粗死亡率について

粗死亡率 xq′の求め方は、次のとおりである。

xq′ = １－)()(

AHNHIN ×

)()(

ABNBIN

（ x歳の誕生日を迎えた後の生存率と、 x＋１歳の誕生日を迎えるまでの生存率を掛け合わせる。）

(3) １歳以上の死亡率の計算

ア 手順のフレーム

（２）の粗死亡率 xq′について、補整を行う。補整を行う目的は、粗死亡率にみられる偶然変動（偶発的な要因によって死亡が増減すること）を取り除くことである。不規則性

を除去して動きを滑らかにしたものが、死亡率 xq となる。 なお、補整にあたっては、Greville(グレビル)(1979)の３次９項補整式を用いる。

イ 使用データ

① （２）で求めた１歳以上の粗死亡率

ウ 数式

x歳の死亡率 xq を求めるにあたり、 x－4歳（４期前）から x＋4歳（４期後）までの計９時点の粗死亡率を使う。 なお、４歳以下については（イ）、99歳以上については（ウ）のとおりの外挿を別

途行う。

- 44 -

（ア）98 歳までの死亡率

xq ＝ －0.040724 4−′xq －0.009873 3−′xq ＋0.118470 2−′xq ＋0.266557 1−′xq ＋0.331140 xq′ ＋0.266557 1+′xq ＋0.118470 2+′xq －0.009873 3+′xq －0.040724 4+′xq ( x =1、2、.......、98)

（イ）計算上使う、－３歳～－１歳及び０歳の粗死亡率（外挿）

実在しない－３歳から－１歳及び０歳の粗死亡率 xq′については、形式的に下式のとおりとする。これを（ア）式の該当する項（ 3−′q ～ 0q′ ）に外挿する。

なお、求める順について、まずは０歳、続いて－１歳、－２歳、－３歳の順になる。 0q′を用いて 1−′q を求め、 0q′と 1−′q を用いて 2−′q を求めていくからである。

xq′＝ 1.352613 1+′xq ＋0.114696 2+′xq －0.287231 3+′xq －0.180078 4+′xq ( x =0,－1,－2,－3) （ウ）99 歳以上の粗死亡率（外挿）

xq′＝ 1.352613 1−′xq ＋0.114696 2−′xq －0.287231 3−′xq －0.180078 4−′xq ( x =99、100、101、102) なお、厚生労働省では「第 19 回完全生命表（平成 12 年）」から、99 歳以上の死

亡率についても外挿せずに、（２）で求めた xq′を直接（ア）式に代入して求めている。この方法には、99歳～106歳までの各歳別死亡数が、一定数以上必要となる。

(4) 死力の計算

ア 手順のフレーム

定義式 dxd x

xx

l

l⋅−=

1µ xx

ll

′⋅−=1

を計算していく。

生存数 xl は（３）の死亡率から得られる。この xl を微分して x'l を求めればよい。

ところで、微分するためには工夫が必要になる。生存数 xl は日齢、月齢、年齢ご

との値しかなく（これを離散点という）、微分可能な連続関数（曲線）の形になっていない

からである。

まずは、点在している xl の値から、連続関数の形を推定する必要がある。この推

定の方法が Lagrange（ラグランジュ）補間である。 次に、推定した連続関数を一階微分し、 x

'l を求める。

その上で、点在している xl と理論的に求めた x'l を用い、 xµ を計算していく。

- 45 -

＜図４ 補間のイメージ図＞

イ 使用データ

① （１）で求めた１歳未満の死亡率 ② （３）で求めた１歳以上の死亡率

ウ 数式

（ア）点在している xl の値

点在している生存数の求め方は、表３のとおりである。 １歳未満の生存数について、（１）で求めた死亡率に従っている。また、１歳以上

の生存数は、（３）で求めた死亡率に従っている。なお、高齢者についても、全ての

年齢とも（３）で求めた死亡率に基づくとしている。

＜表３ 生存数、死亡数＞

日齢、月齢、年齢 生 存 数 死 亡 数

０w（週） １w（〃） ２w（〃） ３w（〃） ４w（〃）

000,1000 =l

0101 pww ×= ll

0202 pww ×= ll

0303 pww ×= ll

0404 pww ×= ll

ww d 1001 ll −=

wwww d 2111 ll −=

wwww d 3221 ll −=

wwww d 4331 ll −=

mwwwm d 24442 ll −=−

２m（月） ３m（〃） ６m（〃）

0202 pmm ×= ll

0303 pmm ×= ll

0606 pmm ×= ll

mmmm d 3221 ll −=

mmmm d 6333 ll −=

mmmm d 12666 ll −=

（前） 点のみ散在 （後） 点を線で結ぶ＝補間

- 46 -

日齢、月齢、年齢 生 存 数 死 亡 数

１ （年）

x （〃）

1+x （〃）

001 p×= ll

11 −− ×= xxx pll

xxx p×=+ ll 1

211 ll −=d 1+−= xxxd ll

211 +++ −= xxxd ll

（イ） xl の連続関数の形の推定

Lagrangeの補間公式にもとづき、 xについての４次式にする。

141312101

43200

40302010

4321

))()()(())()()((

))()()(())()()((

aax aaaaaaaaaxaxaxax

aaaaaaaaaxaxaxax

lll−−−−

−−−−+

−−−−−−−−

=

343231303

42102

42321202

4310

))()()(())()()((

))()()(())()()((

aa aaaaaaaaaxaxaxax

aaaaaaaaaxaxaxax

ll−−−−

−−−−+

−−−−−−−−

+

434241404

3210

))()()(())()()((

aaaaaaaaaaxaxaxax

l−−−−

−−−−+

（ウ） x'l の計算

ⅰ 一階微分の一般解

040302010

432431421321

))()()(())()(())()(())()(())()((

ax aaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax

ll−−−−

−−−+−−−+−−−+−−−=′

141312101

432430420320

))()()(())()(())()(())()(())()((

aaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax

l−−−−

−−−+−−−+−−−+−−−+

242321202

431430410310

))()()(())()(())()(())()(())()((

aaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax

l−−−−

−−−+−−−+−−−+−−−+

343231303

421420410210

))()()(())()(())()(())()(())()((

aaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax

l−−−−

−−−+−−−+−−−+−−−+

434241404

321320310210

))()()(())()(())()(())()(())()((

aaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax

l−−−−

−−−+−−−+−−−+−−−+

- 47 -

上式（ⅰ）を用いて、日齢、月齢、年齢別の x'l を求めていく。

求めるにあたり、 xを当期に、 0a 、 1a 、 2a 、 3a 、 4a を５時点（２期前、１期前、当期、１期後、２期後）に対応させる。具体的には次のとおりである。

＜表４ 各５時点の対応の仕方と、実際に代入する数値＞

２期前＝ 0a １期前＝ 1a 当期＝ 2a , x １期後＝ 3a ２期後＝ 4a

0 日 ７日 14 日 21 日 28 日 日齢０日～14日

０ ７／365 14／365 21／365 28／365

７日 14 日 21 日 28 日 ２月 日齢 21日

７／365 14／365 21／365 28／365 １／６

21 日 28 日 ２月 ３月 ６月 月齢２月

21／365 28／365 １／６ １／４ １／２

２月 ３月 ６月 １歳 ２歳 月齢６月

１／６ １／４ １／２ １ ２

６月 １歳 ２歳 ３歳 ４歳 ２歳

１／２ １ ２ ３ ４

2−x 歳 1−x 歳 x歳 1+x 歳 2+x 歳 x歳 2−x 1−x x 1+x 2+x

以下は、具体的に数値を代入した結果である。 ⅱ 日齢別の値

wwww 432100' 03571429.1352380952.6942857143.15657142857.20863095238.108 llllll ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=

wwwww 432101' 34523810.407142857.2621428571.7845238095.4303571429.13 llllll ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−=

wwww 43102' 34523810.476190476.3476190476.3434523810.4 lllll ⋅−⋅+⋅−⋅=

mwwwww 243213' 07593623.008653614.2190824866.1634926284.4443041427.6 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅=

mmwwww 324324' 11249079.021437035.132678346.6139400953.7796534650.14 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅=

- 48 -

ⅲ 月齢別の値

mmmwwm 632432' 05241561.070949945.427993119.595635355.2301933852.14 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅=

163243' 01251236.061407767.043741765.1260380711.1556482415.2 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= mmmwm

216326' 00865801.040000000.033333333.414285714.941818182.4 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= mmmm

ⅳ １歳、２歳の値

321631' 02727273.028571429.083333333.120000000.310822511.1 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= mm

432162' 07142857.060000000.016666667.000000000.130476190.0 llllll ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= m

ⅴ ３歳以上の値 ３歳以上の一般項は次のとおりになる。

12)(8 2211' +−−+ −+−

= xxxxx

lllll

（エ） xµ の計算

x

xx

l

l '

−=µ

xl ：（ア）で求めた値 x'l ：（ウ）で求めた値

(5) 高齢者の死亡率の計算（補整）

ア 手順のフレーム

高齢者の死亡率は、（３）で偶然変動を取り除いても依然として動きの変動は激しい。そのため、高齢者の死亡率について、（３）の Grevilleの補整値を再補整する。 再補整にあたっては、高齢者の死力は指数関数に沿った動きをすると仮定し、

Gompertz-Makehamの法則 (ゴムパーツ-メイカム：死力と生存率の関係を利用)を適用する。何

歳からこの法則を適用するかは、理論的に求める。 なお、適用の手順について、まずは（４）で求めた値を利用して死力を指数関数

化したときのパラメーターを推計し、それに基づいて死亡率を求める。

- 49 -

イ 使用データ

① （３）で求めた１歳以上の死亡率 ② （４）で求めた死力

ウ 数式

（ア）法則適用の開始年齢

⒜を基準に、⒝を加味して総合的に決めた。今回の「平成 17年東京都生命表」では、表５のとおりになる。

⒜ ：死亡率 xq と粗死亡率 xq′との標準誤差 xSE の２倍が、0.001を超える年齢。

x

xxx

x

xx

x

xx

qqqqSSEl

lll

22 )(2)(222′−

=′−

==× ＞ 0.001

xS ：標準偏差 xl ：生存数

⒝ ：平均余命 xeo

や 100歳の生存数 100l の計算結果。

＜表５ 適用を開始した年齢＞ 地域 男 女

東 京 都 ８１歳 ８７歳 区 部 ８１歳 ８７歳 多摩・島しょ ８１歳 ８７歳

（イ）死力のパラメーターの推計

下の①式を満たすような、死力のパラメーターＡ、Ｂ、Ｃを推計する。次の（ウ）で法則適用後の死亡率を求める際に必要となる。なお、推計値は表６のとおり。

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∑ 2)ˆ(minx

xx µµ ・・①

xµ̂ ：指数関数化した死力 理論式は xµ̂ ＝Ａ＋ cxBe とおく・・②

xµ ：粗死亡率 xq′を補整した死亡率 xq に基づき、（４）の方法で求めた値

＜表６ 今回推計したパラメーターＡ、Ｂ、Ｃの値＞ 地域 パラメーター 男 女

Ａ －0.0794990127 －0.1134889593

Ｂ 0.0008499980 0.0009940026 東京都

Ｃ 0.0627999000 0.0600000000

注）区部と多摩・島しょのパラメーターは、東京都とおおむね同じである。

- 50 -

（ウ）死亡率の算出

（イ）で求めたパラメーターＡ、Ｂ、Ｃを用いて死亡率 xq を求める。 手順として、まず生存率を対数変換して死力の式②が代入できるようにする。次

に死亡率の式を求め、死亡率の式にパラメーターＡ、Ｂ、Ｃの値を代入する。

ⅰ 生存率の対数変換

生存率の一般式 ： xxx pll =+1

右辺に lをまとめて ：x

xxp

l

l 1+= ・・③

上式③の対数をとり ： xexexe p ll logloglog 1 −= +

定積分の形にして ： dtdt

d tx

xt

l

l∫+

=1 1

dtx

x t∫+

−=1µ

以上より、死力と生存率の関係が得られる。 ∫+

=−1

logx

x txe dtp µ ・・④

ⅱ 死力の最適値の代入

上式④の右辺に死力の推計式②を代入

∫+

=−1

ˆlogx

x txe dtp µ

＝ dtBeAx

x

ct )(1

∫+

+ ＝ Ａ ＋ CB

( ce －１) cxe ・・⑤

上式⑤を指数関数の形にすると、死力の最適値と生存率の関係式が得られる。

xp ＝ exp [ － { A ＋ CB

( ce －１) cxe } ] ・・⑥

ⅲ 死亡率の計算

xx qp −= 1 及び⑥から、死亡率 xq は次のとおりになる。

xq ＝ １－ exp [ － { A ＋ CB

( ce －１) cxe } ]

Ａ、Ｂ、Ｃに表６で記載した値をそれぞれ代入すると、補整後の各歳別 xq の値が求まる。

- 51 -

（エ）Gompertz-Makeham（ゴムパーツ メイカム）の法則

最後に、これまで数式の中で用いてきた Gompertz-Makeham の法則について、

簡単に説明する。 生存率と死力との関係を利用したものである。この法則によると、生存率を求め

る際に必要となる生存数について、次のとおり指数関数の形で表される。

xcxGKSx =)(l ・・⑦

上式⑦が求められるまでの歴史的な経緯を、以下で述べていく。

ⅰ Gompertzによる死力の指数関数化 Benjamin Gompertz（ベンジャミン＝ゴムパ－ツ）は 1825年に、一論文を発表し

た。それによると、死力 xµ は次のように指数関数で与えられるとした。

xµ ＝ xBC− （Ｂ、Ｃは常数）

ⅱ Makehamによる修正と、法則の導出 その後、W．M．Makeham（メイカム）が、これをやや修正して次のようにし

た。

xµ ＝ Ａ ＋ xBC （Ａ、Ｂ、Ｃは常数）・・⑧

xµ = dx

xd e )(log l− を積分する際に、上式⑧を用いると次のようになる。

左辺と右辺を入れ替え： dxxd xe µ−=)(log l

両辺を積分して： ∫ +−= dxBCAx xe )()(log l

KcC

BAx ex

e

loglog

+−−= ( Kelog は積分常数 )・・⑨

ここで、定数Ａ、Ｂ、Ｃを次のように置き換える。

－Ａ＝ Selog 、 GC

Be

e

loglog

=−

上式⑨は次のように書ける： GCSxKx ex

eee logloglog)(log ++=l ・・⑩

上式⑩を指数関数化すると、⑦で記載した法則の式になる。 xcxGKSx =)(l