2 2 2 2 ( ) - fizika - halapa

1

Zadatak 121 (Tictac, gimnazija)

Odredite a tako da zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f(x) = x2 + a ∙ x – 2 ∙ (a + 1) bude najmanji.

Rješenje 121

Ponovimo!

( )2 2 2 2

2 , 0 .,a b a a b b a a R+ = + ⋅ ⋅ + ≥ ∈

Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi

( ) .0f x =�

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe 2

0x b x c+ ⋅ + = zadovoljavaju Vièteove formule:

, 1 .1 2 2x x x xb c+ = − ⋅ =

Odredimo koeficijente funkcije f.

( ) ( )( ) ( )

( )

21 2 12 2 1 .1 , , 2 1

f x x a x af x x a x a

a b a c a

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ − ⋅ +

= = = − ⋅ +

Zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f je

( )2 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x x x x x x x+ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

( ) ( )1 2

1 2

2 2 22 2 21 2 1 2

x x b

x x cx x x x b c b c

= + − ⋅ ⋅ = = − − ⋅ = − ⋅ =

+ = −

⋅ =

( )( )( ) ( ) ( )

22 2 22 2 1 4 1 .2 1

4 4 2a ab a

c aa a a a a

= = − ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ + = +

=

= − ⋅ +

Zaključujemo da je zbroj najmanji za 2 0 2.a a+ = = −

Vježba 121

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 122 (Trio, maturanti)

Vrijednosti kvadratne funkcije f(x) = a ∙ x2 + b ∙ x zadane su u sljedećoj tablici.

x f(x) – 1 8 1 – 4

Kojom je formulom zadana ta funkcija?

( ) ( )2 2. 2 6 . 4 4A f x x x B f x x x= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

( ) ( )2 2. 6 10 . 8 12C f x x x D f x x x= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

Rješenje 122

Ponovimo! Sve je jasno!

2

1.inačica

Uvrstimo zadane vrijednosti u formulu.

( )( )

( )

( ) ( )2

8 1 1 824

1 , 8

1 , 4 24 1 1

a b a bf x a x b x

a ba

f

x fb

x x

x

= − =

=

= ⋅ − + ⋅ − = − = ⋅ + ⋅

− = + ⋅− −= = ⋅ +

metoda suprotnih/: 2

koeficijenat

82 4 2 4 2.

a4

a ba a a

a b

− = ⋅ = ⋅ = = + = −

Računamo b. 2

2 4 4 2 6.4

ab b b

a b

= + = − = − − = −

+ = −

Funkcija je zadana formulom

( ) ( )2 22 66

.2

f x a x b xa

xb

f x x =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = −

Odgovor je pod A.

2.inačica

Ponuđene su 4 formule. U svaku uvrstimo vrijednosti iz tablice i promatramo koji je odgovor točan. Od 4 ponuđena odgovora samo jedan je istinit.

Prva je formula ( ) 22 6 .f x x x= ⋅ − ⋅

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

21 2 61 2 1 61 122 6

2 1 2 611 2 1 6 1

fx fx x

ffx

f x

− = +− = ⋅ − − ⋅ − = −

=

= ⋅ − ⋅

= − = ⋅ − ⋅

( )

( )

1 8.

1 4

f

f

− =

= −

Odgovor je pod A.

Vježba 122

Vrijednosti kvadratne funkcije f(x) = a ∙ x2 + b ∙ x zadane su u sljedećoj tablici.

x f(x) – 1 8 1 0

Kojom je formulom zadana ta funkcija?

( ) ( )2 2. 2 6 . 4 4A f x x x B f x x x= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

( ) ( )2 2. 6 10 . 8 12C f x x x D f x x x= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

Rezultat: B. Zadatak 123 (Mario, maturant)

Kolika je vrijednost diskriminante kvadratne funkcije ( ) ( )2

4 2 5?f x x= ⋅ + −

Rješenje 123

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ +

Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik

( ) 2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Jednadžba oblika

3

0,2

a x b x c⋅ + ⋅ + =

(a ≠ 0, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe. Diskriminanta kvadratne jednadžbe

20a x b x c⋅ + ⋅ + =

je broj 2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 24 2 5 4 4 4 5 4 16 16 5f x x f x x x f x x x= ⋅ + − = ⋅ + ⋅ + − = ⋅ + ⋅ + −

( ) ( ) 24 16 1124 16 114 , 16 , 11

2 4f x x x

f x x xb

a ca

D bc

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = = == − ⋅ ⋅

216 4 4 11 256 176 80.D D D = − ⋅ ⋅ = − =

Vježba 123

Kolika je vrijednost diskriminante kvadratne funkcije ( ) ( )2

2 2 1?f x x= ⋅ + −

Rezultat: 8. Zadatak 124 (Bob Rock, maturant)

Funkcija ( ) 2 7 4f x a x x a= ⋅ − ⋅ + ⋅ je negativna za svaki x ako vrijedi:

7 7. 0 . 0 . .

4 4A a B a C a D a< > < − >

Rješenje 124

Ponovimo! 1

, 0, , .n m n m

a a a a a a b c a c b c+

= ⋅ = < < ⋅ > ⋅ Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi │x│= x. Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0, je │x│= – x.

2 i, .x a x a x a x a x a= = > < − >


( ) 2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Graf kvadratne funkcije

( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja.

4

Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore. Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje. Diskriminanta kvadratne jednadžbe

20a x b x c⋅ + ⋅ + =

je broj 2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅

Diskriminanta Jednadžba Parabola

D > 0 Jednadžba ima dva različita realna rješenja. Parabola siječe os apscisa (os x). D = 0 Jednadžba ima dvostruko realno rješenje. Parabola dira os apscisa (os x).

D < 0 Jednadžba nema realnih rješenja, rješenja su konjugirano kompleksni brojevi.

Parabola ne siječe, niti dira os apscisa (os x).

Funkcija f negativna je za svaki x, ako je a < 0 i D < 0.

( ) ( ) 2 7 42 7 4, ,

4 07

2

4

f x a x x af x a x x a

a a b ca

ab c

= ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = = −− ⋅ ⋅ <

= ⋅

( )2 2 2 27 4 4 0 49 16 0 16 49 16

64

1/9

1a a a a a − − ⋅ ⋅ ⋅ < − ⋅ < − ⋅ < − − ⋅ < −

⋅ −

749 49 49 7 72 2 4 uvje

.716 16

t/

016 4 4

4

a

a a a a a

aa

< −

> > > > < −<

>

Odgovor je pod C.

Vježba 124

Funkcija ( ) 2 7 4f x a x x a= ⋅ − ⋅ + ⋅ je pozitivna za svaki x ako vrijedi:

7 7. 0 . 0 . .

4 4A a B a C a D a< > < − >

Rezultat: D. Zadatak 125 (TNT, maturant)

Kojom je formulom zadana kvadratna funkcija čiji je graf prikazan na slici?:

5

( ) ( )1 12 2. 2 6 . 2 62 2

A f x x x B f x x x= − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ − ⋅ −

( ) ( )2 2. 2 6 . 2 6C f x x x D f x x x= − − ⋅ + = − + ⋅ −

Rješenje 125

Ponovimo!

,1

, .an m n m

a a a a aa c

cb b

+= ⋅ =

⋅⋅ =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) .0f x =�

Graf kvadratne funkcije

( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore. Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje. Jednadžba oblika

0,2

a x b x c⋅ + ⋅ + =

(a ≠ 0, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe. Kvadratna jednadžba sa rješenjima x1 i x2 glasi

( ) ( )2 ,01a x x x x⋅ − ⋅ − =

gdje je a ≠ 0 po volji određen broj.

6

Na slici vidi se da su nultočke x1 = – 2, x2 = 6, a za x = 0 vrijedi f(0) = 6. Budući da se kvadratna

funkcija može prikazati u obliku ( ) ( ) ( ) ,1 2f x a x x x x= ⋅ − ⋅ − slijedi:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )0 0 6

2 , 61 26 0 2 0 61 2

x f

x xf x a x x x x a= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − −

= =

= − =⋅ −

( ) ( ) ( )6 0 2 6 6 2 6 6 12 12 6a a a a = ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ = −

( )6 6

/ : 11

12 6 .12

22 21

a a a a ⋅ = − = − = − = −−

Funkcija glasi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

2

1

2

21

2

1 2 26

6

a

f x a x x x x x f x x x

x

= −

= −= ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − − ⋅

=

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 6 6 2 12

2 2f x x x f x x x x = − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ −

( ) ( ) ( )1 12 2

4 12 2 6.2 2

f x x x f x x x = − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ + ⋅ +

Odgovor je pod A.

Vježba 125

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 126 (Marina, gimnazija)

Koja od navedenih kvadratnih funkcija nema realnih nultočaka?

( ) ( ) ( ) ( )2 2

. 8 13 . 8 13A f x x B f x x= − + = + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

. 13 8 . 8 13C f x x D f x x x= ⋅ − = + ⋅ +

Rješenje 126

Ponovimo!

1 0 .2

, , 0i a b a b a a− = ⋅ = ⋅ = =

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = = Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi

( ) .0f x =�

Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:

I .Re m,x z y z= = Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika

,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi. Analiziramo svaki ponuđeni odgovor.

7

A.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

8 13 8 13 0 8 130f x x xf xx= − + − + = − = − =

( )8 132

8 13 8 13 8 13/8 13

x ix x x i

x i

− = ⋅ − = − − = ± − − = ± ⋅

− = − ⋅

8 131 .8 132

x i

x i

= + ⋅

= − ⋅

Nultočke su kompleksni brojevi. Odgovor je pod A.

Ostale odgovore možemo provjeriti vježbe radi. B.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

8 13 8 13 0 8 130f x x xf xx= + − + − = + = =

( )8 132

8 13 8 13 8 138 13

/x

x x xx

+ = + = + = ± + = ±

+ = −

8 131 .8 132

x

x

= − +

= − −

C.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 /:12 2 2

13 8 13 8 0 13 8 0 3f x x x xf x= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = =

( )2

8 0 8.1,2x x − = =

D.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 0

8 13 8 13 013

00

xf x x x xf x x

x

+ = = + ⋅ + + ⋅ + = =

= +

81 .132

x

x

= −

= −

Vježba 126

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 127 (Sanja, gimnazija)

Zadana je funkcija ( ) 2 .f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + Pokažite da je 2 2

b bf x f x x

a a

− = − −

⋅ ⋅ za

svaki .x R∈

Rješenje 127

Ponovimo!

( ) , ,2 2

.2 1

,2n

an m n m n ma b a a b b a a a a a am

a

+ −− = − ⋅ ⋅ + = ⋅ = =

( ) ( )2 2 2 2

.2, ,b a c a d b c

a a a b a b a a b ba b d b d

⋅ − ⋅⋅ = − − = + = + ⋅ ⋅ + − =

⋅

8

( ), .n n

a a n n na b a bn

b b= ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

• Izračunamo .2

bf x

a

−

⋅

( )2

22 2 2 2

b b b bf x f x a x b x c

a a af x a x b x c

a

− = − = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ +

2 22

22 24

b b b bf x a x x b x c

a a aa

− = ⋅ − ⋅ + + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 22 2

2 4 2 2 4 2

b b b b b bf x a x b x b x c f x a x c

a ab x b x

a a a a

− = ⋅ − ⋅ + + ⋅ − + − ⋅ + ⋅− = ⋅ + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 222 22 4 2 2 4

b b b b b bf x a x c f x a x c

a a a a a

− ⋅ − = ⋅ + − + − = ⋅ + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 .

2 4

b bf x a x c

a a

− = ⋅ − +

⋅ ⋅

• Izračunamo .2

bf x

a

− −

⋅

( )2

22 2 2 2

b b b bf x f x a x b x c

a af x a x b x c

a a

− − = − − = ⋅ − − + ⋅ − − + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

2

2 2 2

b b bf x a x b x c

a a a

− − = ⋅ + + ⋅ − − +

⋅ ⋅ ⋅

2 22

22 24

b b b bf x a x x b x c

a a aa

− − = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅

2 22

2 4 2

b b bf x a x b x b x c

a a a

− − = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − +

⋅ ⋅ ⋅

2 22

2 4 2b

b bx b x

bf x a x c

a a a

− − = ⋅ + − +

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅

+

2 2 2 222 22 4 2 2 4

b b b b b bf x a x c f x a x c

a a a a a

− ⋅ − − = ⋅ + − + − − = ⋅ + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 .

2 4

b bf x a x c

a a

− − = ⋅ − +

⋅ ⋅

Konačno dobijemo:

9

22

2 4.

2 2 222 4

b bf x a x c

a a b bf x f x

a ab b

f x a x ca a

− = ⋅ − + ⋅ ⋅

− = − − ⋅ ⋅

− − = ⋅ − + ⋅ ⋅

Vježba 127

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 128 (Krešo, tehnička škola)

Znajući da su α i β rješenja jednadžbe 2 0x x m− + = pojednostavnite izraz 3 3 2 2 3 2 2 34 4 .α β α β α β α β α β+ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( )2 2 2. 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1A m B m C m D m⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −

Rješenje 128

Ponovimo!

( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 3 2.

2 13 ,3 ,a b a a b a b b a b a b a a b b a a+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + = + ⋅ − ⋅ + =

( ), .: ,1

n nn m n m n na a a n a b a b

−= = ⋅ = ⋅

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .a b a a b b a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


0a x b x c⋅ + ⋅ + = zadovoljavaju Vièteove formule:

, 2 .1 2 1b c

x x x xa a

+ = − ⋅ =

Vièteove formule daju:

1 21

22 0 10

1 , 1 ,11 2

bx x

a

cx x

a

x x mx x m

ma b c m

α β

α β

+ = −−

+ = −− + =

− + = = = − =

== ⋅⋅

1.

m

α β

α β

+ =

⋅ =

1.inačica 3 3 2 2 3 2 2 34 4α β α β α β α β α β+ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

3 2 2 3 2 2 3 2 2 33 3 4 4 4 4α α β α β β α β α β α β α β= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )3 2 24 4α β α β α β α β α β= + − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 24 4 1 4 1 4 1

1m m

mα β α β α β α β α

ββ

α β

α

+ = = + − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ =

( )22 21 4 4 4 4 1 2 1 .m m m m m= − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ −

10

Odgovor je pod B.

2.inačica 3 3 2 2 3 2 2 34 4α β α β α β α β α β+ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24α β α α β β α β α β α β α β= + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + =

( ) ( )2 2 2 24α β α α β β α β α β= + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 22 4 4 4 4α β α α β β α β α β α β α β α β α β = + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( )22 2 21 1 4 4 4 4 1

12 1 .m m m

mm m

α β

α β

= = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅

+ =− ⋅ + = ⋅

=−

⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 128

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 129 (ZoroX, ekonomska škola)

Dvije ceste sijeku se pod pravim kutom. Na prvoj se nalazi autobus A koji vozi brzinom v1 = 60 km / h, a na drugoj automobil B čija je brzina v2 = 80 km / h. Oba vozila gibaju se prema križanju i u 8 sati autobus je udaljen od njega d1 = 10 km, a automobil d2 = 20 km. Nakon koliko će vremena udaljenost među njima biti najmanja?

Rješenje 129

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

,s v t= ⋅ gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ + Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a > 0. Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a < 0.

11

Kvadratna funkcija

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

ima ekstrem u točki s apscisom: 2

.b

xa

= −⋅

�

Nakon t sati vožnje udaljenost vozila od križanja iznosi: • vozilo A je udaljeno

10 601 1 1s d v t t= − ⋅ = − ⋅

• vozilo B je udaljeno 20 80 .2 2 2s d v t t= − ⋅ = − ⋅

s2

s1

B

A

Uočimo pravokutan trokut i uporabimo Pitagorin poučak

( ) ( )2 2 2 22 2 10 60 20 801 2AB s s AB t t= + = − ⋅ + − ⋅

2 2 2100 1200 3600 400 3200 6400AB t t t t = − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅

( )2 22 210000 4400 500 100 100 44 5 .AB t t AB t t = ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ +

Riječ je o kvadratnoj funkciji

( ) 2100 44 5.f t t t= ⋅ − ⋅ +

Odredimo joj koeficijente.

( )

( )

100244 .

2100 44 5 5

af t a t b t c

b

f t t t c

= = ⋅ + ⋅ + = −

= ⋅ − ⋅ + =

Budući da je a > 0, minimalna vrijednost iznosi

44 44 11.

2 2 100 20

4

0 50

4

200

bt t t t t h

a

−= − = − = = =

⋅ ⋅� � � � �

Udaljenost među vozilima bit će najmanja nakon 11

.50

h

Vježba 129

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 130 (Kiki, gimnazija)

Raste li funkcija ( )1 12

216 4

f x x x= ⋅ + ⋅ − na intervalu 4, 7 ?−

Rješenje 130

12

Ponovimo!

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a > 0. Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a < 0. Kvadratna funkcija

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +


.b

xa

= −⋅

�


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( ) ( )Funkcija : je na ako vrijedi , , .1 2strogo rastuća 1 2 1 2x x ff D R D x x D x f x< <→ ∈

( ) ( )Funkcija : je na ako vrijestrogo pad di , ,ajuća 1 2 .11 2 2f D R D x x x f xx D f x→ <∈ >

Budući da je 1

016

a = > , funkcija ima najmanju vrijednost u točku x0 koja iznosi:

1 1 184 4 4

1 1 1

184

1 4216116

2 426 8

bx x x x x x

a

b

a

= − = − = − = − = − = − ⋅

=

= ⋅ ⋅

� � � � � �

2.x = −�

Dakle, zadanom intervalu pripada vrijednost x = – 2 za koju funkcija prima minimum. Funkcija f ne

raste na intervalu 4, 7 .−

Vježba 130

Pada li funkcija ( )1 12

216 4

f x x x= ⋅ + ⋅ − na intervalu 4, 7 ?−

Rezultat: Ne. Zadatak 131 (Kiki, gimnazija)

Za koju vrijednost od x prima kvadratna funkcija ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

f x x a x b x c= − + − + −

najmanju vrijednost?

Rješenje 131

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +

13


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a > 0. Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a < 0. Kvadratna funkcija

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +


.b

xa

= −⋅

�

Preoblikujemo zadanu funkciju.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

f x x a x b x c= − + − + −

( ) 2 2 2 2 2 22 2 2f x x a x a x b x b x c x c = − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +

( ) ( )2 2 2 23 2 .f x x a b c x a b c = ⋅ − ⋅ + + + + +⋅

Budući da je 3 0a = > , funkcija ima najmanju vrijednost u točku x0 koja iznosi:

( ) ( )2 2 2 23 2f x x a b c x a b c= ⋅ − ⋅ + + + + +⋅

( ) ( )

( )

2 2 2 23 2

2 2 23 , 2 , 2

f x x a b c x a b c

a b a b c c a b c

bx

a

= ⋅ − ⋅ + + ⋅ + + +

= = − ⋅ + + = + +

= −⋅

�

( ) ( )22.

2 3 3 32

a b c a b c a b cx x x

− ⋅ + + ⋅ + + + + = − = =

⋅ ⋅� � �

Vježba 131

Za koju vrijednost od x prima kvadratna funkcija

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

f x x a x b x c x d= − + − + − + − najmanju vrijednost?

Rezultat: .4

a b c dx

+ + +=�

Zadatak 132 (Kiki, gimnazija)

Odredite a tako da zbroj kvadrata nula x1, x2 funkcije ( ) ( )22 1f x x a x a= + ⋅ − ⋅ + bude

najmanji.

Rješenje 132

Ponovimo!

( )2 2 2

, .2

2 0 ,,1

na b a a b b n a a R+ = + ⋅ ⋅ + = ≥ ∈

14

Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen, nula) funkcije f ako vrijedi

( ) .0f x =�


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


0a x b x c⋅ + ⋅ + = zadovoljavaju Vièteove formule:

, 2 .1 2 1b c

x x x xa a

+ = − ⋅ =

Vièteove formule daju:

( ) ( )( ) ( )

( )

122 12

2 11 , , 2 1

2

1 2

f x x a

bx x

a

cx x

x af x x a x a

a b a a

a

c

= + ⋅ − ⋅ += + ⋅ − ⋅ +

= = = −

+ =

=⋅

−

⋅+

( ) ( )

1 2 1 1 2.

2 1 2 11 21 2 1

ax x x x a

a x x ax x

+ = − + = −

− ⋅ + ⋅ = − ⋅ +⋅ =

Sada je

( )2 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x x x x x x x+ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2

2 2 2 1 4 11 2 1 2x x x x a a a a= + − ⋅ ⋅ = − − ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + =

( )22

4 4 2 .a a a= + ⋅ + = +

Dakle,

( )22 2

21 2x x a+ = +

pa je taj zbroj najmanji za 2 0 2.a a+ = = −

Vježba 132

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 133 (Rex1, maturant)

Kojom je formulom zadana kvadratna funkcija čiji je graf prikazan na slici?

15

( ) ( )1 12 2

. 2 6 . 2 62 2

A f x x x B f x x x= − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ − ⋅ −

( ) ( )2 2. 2 6 . 2 6C f x x x D f x x x= − − ⋅ + = − + ⋅ −

Rješenje 133

Ponovimo!

,1 .n m n ma a a a a

+= ⋅ =


( ) .0f x =�


( ) 2 ,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma. Kvadratna funkcija čije su nultočke x1 i x2 ima oblik

( ) ( ) ( ) , 01 .2f x a x x x x a= ⋅ − ⋅ − ≠

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. ( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Na slici vidimo nultočke funkcije su x1 = – 2 i x2 = 6, a njezin graf prolazi točkom T(0, 6). Iz tih podataka možemo izračunati koeficijent a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21

622 61 2f x a x x x x f x a x x

x

x= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ −

= −

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 6 6 2 12f x a x x f x a x x x = ⋅ + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ −

16

( ) ( )24 12 .f x a x x = ⋅ − ⋅ −

Budući da za x = 0 je f(0) = 6. slijedi:

( ) ( )26 0 4 0 12 6 12 12 6

1/

1212 6a a a a= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅⋅ = − ⋅ = −

6 1.

1 2

6

2 12a a a = − = − = −

Tražena kvadratna funkcija glasi:

( ) ( ) ( ) ( )1

2

12 24 12 4 12

2f x a x x f x xa x= ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − = −

( )1 2

2 6.2

f x x x = − ⋅ + ⋅ +

Odgovor je pod A.

Vježba 133

Odmor!


Odredite sve realne brojeve a za koje graf funkcije ( ) 23 2f x a x x= ⋅ + ⋅ − siječe os apscisa u

dvjema točkama.

Rješenje 134

Ponovimo!

, 0 .a b

a b cc c

> > >


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore. Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a ∙ x2 + b ∙ x + c = 0 je broj

24 .D b a c= − ⋅ ⋅





Graf funkcije f siječe os apscisa u dvjema točkama, ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe pozitivna.

( ) ( )24

23 2 2

3 4 2 00 9 8 0, 3 , 2

f x a x xa a

a a b

a c

c

b − ⋅= ⋅ + ⋅ −

− ⋅ ⋅ − > + ⋅ > = = = −

⋅ >

1/

98 9 8 9 ,

80.

8a a a a⋅ ⋅ > − ⋅ > − > − ≠

17

Vježba 134

Odmor!


Kvadratna funkcija ( ) 24 11f x x x c= − ⋅ + ⋅ + ima samo jednu nultočku. Koja od navedenih

tvrdnja vrijedi za koeficijent c?

. 11 . 11 4 . 4 25 . 25A c B c C c D c< − − < < − − < < >

Rješenje 135

Ponovimo!


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore. Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a ∙ x2 + b ∙ x + c = 0 je broj

24 .D b a c= − ⋅ ⋅






( ) .0f x =�

Graf funkcije f dira os apscisa, ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe jednaka nuli.

( ) ( )24

24 11 2

11 4 4 0 121 16 04 , 1 ,

01

f x x x cc c

a b c

b

c

a c− ⋅= − ⋅ + ⋅ +

− ⋅ − ⋅ = + ⋅ = = − =

==

⋅

16 121 16 121 7.56 11 7.56 4 11 4.1

/16

c c c c ⋅ = − ⋅ = − = − − < − < − − < < −⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 135

Odmor!

Rezultat: … Zadatak 136 (Matrix, maturant)

Što od navedenoga vrijedi za kvadratnu funkciju ( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + čiji je graf prikazan

na slici?

18

. 0, 0 . 0, 0 . 0, 0 . 0, 0A a c B a c C a c D a c< < > < < > > >

Rješenje 136

Ponovimo!


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja. Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore. Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje.

Parabola je otvorom okrenuta prema dolje što znači a < 0. Dakle, mogući odgovor je pod A ili C. Za x = 0 sa slike vidi se

( ) ( )20 0 0 00 .f a b c f c= ⋅ + ⋅ + = >

Odgovor je pod C.

Vježba 136

Odmor!

Rezultat: …

19

Zadatak 137 (Matrix, maturant)

Grafu koje je od navedenih funkcija os simetrije pravac s jednadžbom x = 4?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 6 . 2 6A f x x x B f x x x= − ⋅ − = + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 6 . 2 6C f x x x D f x x x= + ⋅ − = − ⋅ +

Rješenje 137

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠

je parabola 2

y a x b x c= ⋅ + ⋅ + pri čemu je

2

bx

a= −

⋅

apscisa točke u kojoj funkcija ima ekstrem.

Parabola je simetrična obzirom na pravac 2

.b

xa

= −⋅

Nultočka kvadratne funkcije ( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + je realni broj x za koji vrijedi f(x) = 0.

Oblik parabole ovisi o predznaku i iznosu vodećeg koeficijenta a: 0 parabola ima ''otvor prema gore''a• > 0 parabola ima ''otvor prema dolje''.a• <

Ako su x1 i x2 nultočke kvadratne funkcije onda se apscisa točke u kojoj funkcija ima ekstrem dobije formulom

2.1 2x x

x+

=

1.inačica

Uočimo da su nultočke funkcije ( ) ( ) ( )2 6f x x x= − ⋅ − x1 = 2 i x2 = 6. Tada je os simetrije pravac s

jednadžbom

2 6 81 2 42

.2 2 2

8x xx x x x x

+ += = = = =

Odgovor je pod A.

2.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 6 6 2 12 8 12f x x x f x x x x f x x x= − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ + = − ⋅ +

( ) 82 8 88 124.

2 1 21 , 8 , 1 2 22

f x x xx x x x

a b c

bx

a= −

−= − ⋅ + = − = = =

⋅= = − ⋅=

Dakle, za graf funkcije ( ) ( ) ( )2 6f x x x= − ⋅ − os simetrije je pravac s jednadžbom x = 4.

Odgovor je pod A.

Vježba 137

Odmor!

Rezultat: …

2 2 2 2 ( ) - fizika - halapa

Documents