РЕШЕЊА ЗАДАТАКА(1-26)

1.

*ако тачка припада правој онда њене координате задовољавају ј-ну праве

a) б)

P 2,0p : 2x 3y 4 02 2 3 0 4 0

4 4 00 0P p

P 4,4p : x 3y 6 04 3 4 6 0

14 0P p

2.

АПСЦИСА –> х-координата тачке

a) б)

p : 7x 2y 8 0x 27 2 2y 8 02y 6y 32, 3

p : 7x 2y 8 01

x2

17 2y 8 0

27 9 9

2y 8 y2 2 4

1 9,

2 4

3.

1,1 Ax 2y 3 0A 1 2 1 3 0A 1

4.

1, 1 Ax By 8 0

A 1 B 1 8 0A B 8

5,1 Ax By 8 0

A 5 B 1 8 05A B 8

A B 85A B 84A 16 A 4

B A 8 B 12

1.

2.

4.

3.

5.

ABC

A 0,2 ,B 3,2 ,C x,y

1(1)P 9 због =>два случаја

2поступак : (2)C 2x y 3 0

(3)решењесистема (1) и (2) x,y

0 2 1 0 2

(1) 3 2 1 3 2 2x 3y 6 2x 3y 6 3 y 2

x y 1x y1 1.случај: y 2 6

P 3 y 2 9 3 y 2 18 y 2 62.случај : y 2 62

(2)C 2x y 3 0

(3) 1.случај

1

y 2 62x y 3 0y 82x 8 3 0

11x

211

C ,82

2.случај

1

y 2 62x y 3 0y 42x 4 3 0

1x

21

C , 42

6.

p:6x-4y-3=0 *пресек праве са х-осом: y=0 =>x=?

*пресек праве са y-осом: x=0 => y=?

(1)пресек са х-осом:y 06x 4y 3 06x 0 3 06x 3

1x

21

A ,02

(2)пресек са у-осомx 06x 4y 3 00 4y 3 0

4y 33

y43

B 0,4

6.

5.

7.

*пресечне тачке се добијају решавањем система једначина

x y 1 0 1x 2y 4 0

3y 3 0 y 1A 2,1

x 1 1 0 x 2

A

8.

a:x+5y-7=0

b: 3x-2y-4=0

c: 7x+y+19=0

*координате темена су пресечне тачке страница=>добијају се решавањем система

A A

B B

C C

(1)A b c(2)B a c(3)C a b

поступак : x y 11

(4)P ; x y 12

x y 1

(1)3x 2y 4 07x y 19 0 217x 34 0 x 23 2 2y 4 0

2y 10 y 5A 2, 5

(2)x 5y 7 07x y 19 0 5

34x 102 0 x 33 5y 7 0

5y 10 y 2B 3,2

(3)x 5y 7 0 33x 2y 4 0

17y 17 0 y 1x 5 7 0x 2C 2,1

(4)2 5 1 2 5

3 2 1 3 2 4 10 3 15 2 4 17 17 34

2 1 1 2 11

P 172

7.

8.

9.

Експлицитни облик ј-не праве : y=kx+n

k=tg(угао који права гради са позитивним делом х-осе)=>k tg 14

Ј-на праве кроз једну тачку

M My y k x x

y 2 1 x 3y 2 x 3

p : y x 1

10.

Ј-на праве кроз две тачке:

B A

B A

A A B B

y yk

x x

p : y y k x x (ili y ,x )

A 2, 1 ,B 2,3

3 1 4k /

2 2 0

k не постоји , односно не постоји тангенс угла између праве и позитивног дела х-осе=> угао

између праве и х-осе је 90° => ј-на тражене праве је x=2.

****

*ако обе тачке имају исту х-координату: А(а,у1),В(a,у2)=>φ=90°=> ј-на праве је х=а

*ако обе тачке имају исту у-координату:А(х1,а),В(х2,а)=> φ=0°(права је паралелна са х-осом)=> =>ј-на праве је у=а

11. A(5,0),B(0,-2) ; P(15,4), Q(-5,-4)

B A

B A

A A B B

y yk

x x

поступак : p : y

1 ј на пра

y

ве која садржи т

k x x (ili y

ачке A

,x )

P p?

и

Q

2

p

B

3

2.начин:

y kx nk 1M 3,2 y kx n2 1 3 n n 1y kx n y x 1

9.

10.

11.

.

(1)

2 0 2k

0 5 52

p : y 0 x 55

2p : y x 2

5

(2) (3)

P 15,42

p : y x 25

24 15 2 6 2 4 P p

5

Q 5, 42

p : y x 25

24 5 2 2 2 4 Q p

5

12.

a: 3x-5y-11=0

b: 4x+y-7=0

P(4,3)

Q Pp

Q P

P P

(1)Q a by y

поступак : (2)k ;x x

p : y y k x x

(1) (2)

a : 3x 5y 11 0b : 4x y 7 0 523x 46 0 x 26 5y 11 0 5y 5 0 y 1Q 2, 1

p

1 3 4k 2

2 4 2p : y 3 2 x 4p : y 3 2x 8

p : y 2x 5

2.начин:

p : y kx nA 5,0 p 0 5k n

B 0, 2 p 2 n

2n 2систем: n 2,k

5k n 0 52

p : y kx n p : x 25

12.

13.

a:2x-y-1=0 i b:x-y+7=0

c:x-7y-1=0 i d:2x-5y+1=0

Q Pp

Q P

P P

(1)P a b(2)Q c d

y yпоступак : (3)kx x

p : y y k x x

(1)2x y 1 0 1x y 7 0

x 8 0 x 88 y 7 0 y 15P 8,15

(2)x 7y 1 0 22x 5y 1 0

19y 3 0 y

37 4

x 1 0 x3 3

4 1Q ,

3 3

(3)1 46

1546 233 3k

4 28 28 148

3 323

p : y 15 x 814

23 92p : y x 15

14 7

23 13

p : y x14 7

14 p: 2x-y+8=0

q: 2x+5y-4=0

1

2

2 1

2 1

поступак :k k

3 t

1 p k

2

g

q

k

k

1 k

13.

14.

1

(1)p : 2x y 8 0

y 2x 8y 2x 8k 2

2

(2)q : 2x 5y 4 05y 2x 4 : 5

2 4y x

5 52

k5

2 1

2 1

(3)

k ktg

1 k k

2 122

5 5tg 1212

1 255

arctg12

p:2x-3y+6=0

1

B A2

B A

2 1

1 2

(1)p ky y

поступак : (2)kx x

k k(3)tg

1 k k

1

(1)2x 3y 6 0

3y 2x 6 : 32

y x 232

k3

2

(2)2 5

k 13 4

(3)2 5

13 3tg 5

2 11 1

3 3arctg5

16.

а)

1 2

1

2 2

P 2 P

p : 3x 2y 2 0;P 2, 3

P q,p q k k

(1)p kпоступак : (2)k k

q: y y k x x

1

1 3x 2y 2 0

2y 3x 2 : 22

y x 133

k2

2 1

32 k k

23

q : y 3 x 22

3q : y x 3 3

23

q : y x 62

15.

16.

б)

1 2

1

1 2

P 2 P

p : 7x 4y 3 0;P 2, 3

P q,p q k k 1

(1)p kпоступак : (2)k k 1

q: y y k x x

1

1 7x 4y 3 0

4y 7x 3 : 47 3

y x4 47

k4

2 1 2

42 k k 1 k

74

q : y 3 x 27

4 8q : y x 3

7 74 13

q : y x7 7

17.

B A1

B A

2 1

Q 2 Q

y y(1)k

x x

поступак : (2)p AB k k

p : y y k x x

1

2

1 6 51 k

2 2 45

(2)k4

5p : y 1 x 1

45 5

p : y x 14 4

5 9p : y x

4 4

18.

****Ј-на праве која садржи координатни

почетак: y=kx ( n = 0)

17.

18.

1

1 2 2

2

p : 3x 4y 2 0

(1)p kпоступак : (2)k k 1 k

(3)q : y k x

1

(1)3x 4y 2 04y 3x 2 : 4

3 1y x

4 23

k4

1 2 2

4(2)k k 1 k

34

(3)q : y x3

19.

P Q P Q

Q Pp PQ PQ

Q P

M p M

x x y y(1)M s PQ M ,

2 2

y yпоступак : (2)p PQ k k 1;k

x x

(3)p : y y k x x

PQ p

3 5 2 3 2(1)M 4, (2)k k (3)p : y x 4

2 2 5 2 52 8 3 2 1

p : y x =>p : y x5 5 2 5 10

20.

1

2 12

1 2

P 2 P

1 3x 4y 0 k

k kпоступак : 2 tg 1 због постоје два решења за k

1 k k 4

3 p : y y k x x

1

1 3x 4y 04y 3x

3 3y x k

4 4

19.

20.

2

2

3k

42 13

1 k4

=>

2

2

2 2

2 2

3k

42.1 13

1 k4

3 3k 1 k

4 47 1 1

k k4 4 7

2

2

2 2

2 2

3k

42.2 13

1 k4

3 3k 1 k

4 41 7

k k 74 4

1

3.11

y 3 x 471 4

y 3 x7 71 25

p : y x7 7

1

3.2

y 3 7 x 4y 3 7x 28p : y 7x 25

21.

P PР Р 2 2

ax by cрастојање од тачке Р х ,у до праве ах+by+c=0:d=

a b

2 2

p : x 2y 4 0P 2,1

2 2 1 4 4 5 4 5d

55 51 2

22.

1

1 2 2

P 2 P

1 р : 4x 5y 3 0 к

2 PR p k k 1 kпоступак :

3 PR : y y k x x

4 Q PR p

1

1 p : 4x 5y 3 05y 4x 3

4 5 4y x k

5 3 5

1 2

2 2

2 k k 14 5

k 1 k5 4

5

3 PR : y 4 x 64

PR : 4y 16 5x 30PR : 5x 4y 14 0

21.

22.

4 Q PR p

4x 5y 3 0 55x 4y 14 0 4

20x 25y 15 020x 16y 56 0

41y 41 0 y 1Q 2, 1

4x 5 3 0 x 2

23.

1

1 2 2

P 2 P

P R P RQ Q

R R

1 р : 2x 3y 3 0 к

2 PR p k k 1 k

3 PR : y y k x x

поступак : 4 Q PR p

x x y y5 Q s PR x ,y

2 2R x ,y

1

1 p : 2x 3y 3 03y 2x 3

2 2y x 1 k

3 3

1 2

2 2

2 k k 12 3

k 1 k3 2

3

3 PR : y 13 x 52

PR : 2y 26 3x 15PR : 3x 2y 11 0

4 Q PR p

2x 3y 3 0 33x 2y 11 0 2

6x 9y 9 06x 4y 22 0

13y 13 0 y 12x 3 3 0 x 3

Q 3,1

P R R

Q R

P R RQ R

5

x x 5 xx 3 x 11

2 2 R 11, 11y y 13 x

y 1 x 112 2

24.

23.

24.

A B A BM M

B AAB

B A

n AB n

P n P

41 AM : MB 4 : 7 ;

7x x y y

x ;y1 1

y yпоступак : 2 k

x x3 n AB k k 1 k

4 n: y y k x x

M

M

4 13 5

17 71 x4 11 11

17 7

4 337 4

7 7y 34 11

17 7

1M ,3

11

AB

n n

4 7 112 k

5 3 8

11 83 k 1 k

8 118 1

4 n : y 3 x11 11

8x 8n : y 3

11 1218 371

y x11 121

A(-3,1), B(5,-1), C(6,5)

*дужина висине hc је растојање од тачке С до праве АВ.

B AAB A AB A

B A

1 1 1

1 C 1 C 1C 2 2

1 1

1 j на АВ:

y yk ;АB : y y k x x

x xпоступак : у имплицитном облику : a x b y c 0

a x b y c2 h d C,AB

a b

AB

1 1 11 k

5 3 41

AB : y 1 x 34

AB : 4y 4 x 3AB : x 4y 1 0

C 2 2

6 4 5 1 25 17 25 172 h d C,AB

1717 171 4

A(-3,7),B(5,-4)

25.

26.

=>

3x 4y 12 03x 4y 12 : 12x y

1 a 4;b 34 3

3 4P 6

2

*сегментни облик ј-не праве:

26.