2-2 二元一次方程式的圖形 二元一次方程式的解的圖

形 二元一次聯立方程式的幾何意義

p60 溫故啟思1. 利用下表列出二元一次方程式 x－2y＝0的

三組解。

x 2 6

y 2

2. 承 1.，將三組解分別以有序數對表示：

A ( 2 , )、B ( , 2 )、

C ( 6 , )。

41 3

1 43

3. 承 2. ，在坐標平面上標示出 A 、 B 、 C 三點的位置

A B C

x

y

O

1

1

二元一次方程式 的一組解

直角坐標平面 的一個點=相

同意義

結論：

二元一次方程式的解的圖形（舉例說明）p61 探索活動： x－ y＝ 0 的解的圖形1. 試在下表列出方程式 x－y＝0 的幾組解，同時將各組解分別 以有序數對 ( x , y ) 表示，再將 對應的點 ( x , y ) 標示在右圖的 坐標平面上。

2

(－ 2,－2 )

(－ 3,－3 )

(－ 4,－4 )

3 42 3 4

( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , 4 ) － 2 － 3 － 4－ 2 － 3 － 4

x

y

O 1

1

(4,4)(3,3

)(2,2)

( － 2, － 2)( － 3, － 3)

( － 4, － 4)

x y

( x , y ) x y

( x , y )

2. 若再將更多組解以有序數對標示在 上圖的坐標平面上， 則所有的點可能會呈現出什麼樣的圖形？

3. 在上圖所標示的幾個點中， 如果任意選出兩點畫一直線 L， 那麼直線 L會通過其餘各點嗎？ 其他同學的結果是否也跟你一樣呢？

一直線

會 是

一個二元一次方程式的圖形就是直線

一個二元一次方程式有 解無限多組

無限多個點

相連得到的圖形為

x ＝ ay ＝ b

(a , b)

結論：

記為： L： ax＋ by＝ c

直線

如何畫出二元一次方程式的圖形

畫一條直線

因為通過 即可畫出一條直線所以只要找出就可以畫出二元一次方程式的圖形

最好找兩坐標軸上的點，即求 x 0

y 0

結論：

不同的兩點不同的兩個解

(0 , b) (a , 0) b

a

p62 隨堂練習

1. 試列出方程式 x ＋ 2y ＝ 0 的四組解，　並標示在坐標平面上。

(－ 4 , 2 )

x

y

O 1

1

L ： x＋ 2y＝0

x －4

－2

2 4

y 2 1 －1

－2

(－ 2 , 1 )( 2 ,－ 1 )

( 4 ,－ 2 )

2. 承 1. ，任取兩點畫一直線 L ， 則直線 L 是否會通過其餘各點？是

是3. 承 2. ，直線 L 是否會通過原點？

由 x － y ＝ 0 、 x ＋ y ＝ 0 或 x ＋ 2y ＝ 0等例子可知

因為 x ＝ 0 ， y ＝ 0 必為 ax ＋ by ＝ 0 的一組解

所以 ax ＋ by ＝ 0 的圖形必通過原點 O ( 0 , 0 )

且反之亦然！( a 、 b 不全為 0 )

p63 隨堂練習（找兩組解畫直線）

在坐標平面上畫出方程式 2x ＋ y ＝ 0 的圖形。 x 0 1

y 0 －2

x

y

1 O 1 (0,0)

(1,－2)

2x ＋ y ＝ 0

p64 隨堂練習（點＝解）

已知直線 L ： x ＋ 2y ＝ 0 ，試問：(1)若 P 點坐標為 ( － 100 , 50 ) 則 P 點是否在直線 L 上？

(2) 若直線 L 通過點 Q ( 30 , k ) ，則 k 值為何？

是

x ＝ 30 ， y ＝ k 為 x ＋ 2y ＝ 0的解

即 30 ＋ 2k ＝ 0 ，故 k ＝－15

＝

若 (2 , a) 、 ( － 3 , b) 、 (c , 8) 、 (d , － 4) 都在二元一次方程式 x ＋ 2y ＝ 6 的圖形上 求 a ＋ b ＋ c ＋ d ＝？

a ＝ 2 ， b ＝ 4.5 ， c ＝－ 10 ， d ＝ 14

10.5

加分題

p65 隨堂練習（ ax ＋ by ＝ c 的圖形）

在坐標平面上畫出方程式 3x － 4y ＝ 12 的圖形。 x 0 4

y －3 0

x

y

1 O

1

(0, － 3)

(4,0)

3x － 4y ＝ 12

p66 隨堂練習（點＝解）

已知直線 L ： x ＝ 2y － 6 ，試問：(1)若 Q 點坐標為 ( 0 , 0 ) ， 則 Q 點是否在直線 L 上？

(2) 若直線 L 通過點 P ( － 10 , k ) ，則 k 值為何？

否

x ＝－ 10 ， y ＝ k 為 x ＝ 2y－ 6 的解

即 － 10 ＝ 2k － 6 ，故 k ＝－2

＝

p67 隨堂練習（ ax ＋ c ＝ 0 的圖形）

將方程式 x ＋ 2 ＝ 0 改寫為 x ＋ 0y ＋ 2 ＝0 ，試找出此方程式的兩組解，並畫出圖形。

x －2 －2 y 0 1

x

y

1 O

1

( － 2,0)

( － 2,1)

x ＋ 2 ＝ 0

p68 隨堂練習（ by ＋ c ＝ 0 的圖形）

x 0 1 y 5 5

x

y

1 O

1

(0,5)

(1,5) y ＝ 5

1. 已知直線 L ： y ＝ 5 ，試畫出直線 L 的圖形。

2. 承 1 ，若 Q 點坐標為 ( 5 , 0 )則 Q 點是否在直線 L 上？ 3. 承 1 ，若直線 L 通過點 P ( － 23 , k )則 k 值為何？

否

5

結論： 方程式 ax ＋ c ＝ 0 的圖形是一條

而方程式 x ＝ 0 的圖形 即為 y 軸

與 x 軸垂直與 y 軸平行的

鉛直線

方程式 by ＋ c ＝ 0 的圖形是一條

而方程式 y ＝ 0 的圖形 即為 x 軸

與 x 軸平行與 y 軸垂直

的水平線

下列二元一次方程式的圖形，哪些通過原點？ (A)3x ＋ 2y ＝ 0 　 (B)y ＝ x ＋ 2 　 (C)5x ＝ 3y 　 (D)2 （ x ＋ 2y ＋ 2 ）＝ 3x ＋ 2y ＋ 4

(A) 、 (C) 、(D)

加分題

直角坐標平面上通過一點（ 3 , 6 ）且垂直 x 軸的方程式為何？

x － 3 ＝ 0ax ＋ c ＝ 0

加分題

p69 隨堂練習（ 判斷直線通過的象限）

方法一：畫圖檢查 方法二：係數判斷直線 L ： 2x － 3y ＝ 12 不通過哪一個象限？

x 0 6 y －4 0

x

y

1 O1

不通過第二象限！

2x － 3y ＝ 12 正 正 正數 × ？－數 × ？≠ 數

x 為負數 y 為正數

難題說明 係數為符號時的判斷作法設 a 、 b 均代表數，若 a ＋ b ＜ 0 ， ab ＞0 ，則直線 ax ＋ by ＋ ab ＝ 0 不通過第幾象限？

a ＜ 0b ＜ 0

方法一：畫圖檢查 方法二：係數判斷x 0 －b y －a 0

x

y

1 O1

不通過第三象限！

ax ＋ by ＋ ab ＝ 0 負 負 正數 × ？＋數 × ？＋數 ≠ 0

x 為負數 y 為負數

＞ 0

＞ 0

邏輯練習題有四人參加田徑比賽，已知結果如下，請問四人誰是冠軍？ 甲不是第一名 甲如果不是第二名，乙就不是第一名 乙不是第三名的話，丙就不是第四名 丙是第三名的話，則丁的名次比甲前面 乙名次比丙前面

二元一次方程式 直線圖形

之前工作

現在問題x 軸或平行 x 軸的直線y ＝ k

y 軸或平行 y 軸的直線x ＝ h

過原點之斜直線y ＝ ax

y ＝ ax ＋ b 一般之斜直線

p70 隨堂練習（ 求直線方程式）

已知點 P ( 0 , 7 ) 在直線 L ： 9x ＋ by ＝ 7 上，

試求 b 值。 x ＝ 0 ， y ＝ 7 為 9x ＋ by ＝ 7 的解

即 7b ＝ 7 ，故 b ＝ 1 ＝

p71 隨堂練習（ 求直線方程式）如右圖，已知直線 L ： y ＝ mx ＋ k 通過 A 、 B 兩點，試求直線 L 的方程式。

x

y

O

1

1

L

A(－3,0)

B(0,－2)

x ＝－ 3 ， y ＝ 0 和 x ＝ 0 ， y＝－ 2 為 y ＝ mx ＋ k 的解

即 0＝－3m＋k－2＝k

m＝－

2 3

k＝－2

故直線 L的方程式為 y＝－2

3 x－2

已知方程式 ax ＋ by ＝ 2 的圖形為 通過 A （ 2 , 0 ）、 B （－ 1 , － 1 ）兩點的直線 求出這條直線所代表的方程式

將（ 2 , 0 ）、 （－ 1 , － 1 ）代入 ax ＋ by＝ 2

2a ＝ 2－ a － b ＝2

a ＝ 1 ， b ＝－ 3

x － 3y ＝ 2

加分題

p72 探索活動：線上一點的位置承例題 11 ，若 P ( 5 , n ) 在直線 AO 上，則：(1) n 值為何？

(2) C 點位在 P 點的上方還是下方？ 兩者的距離為何？

y＝5

12 x 25 12

( 5 , 2 )

1 12

下方

p73 隨堂練習（ 三點共線的判斷）如右圖，已知 A ( 7 , 3 ) 、 C ( － 5 , － 2 ) ，且設通過 A 、 O 兩點的直線方程式為y ＝ mx ＋ k ，試求：(1) m 、 k 之值。

(2) 直線 AO 是否通過 C 點？

y

x O E

D

A

B C m＝

3 7 ，k＝0

否

3 ＝ 7m ＋ k0 ＝ k

y＝3 7 x

1. 已知某二元一次方程式的圖形 為通過 A （ 1 , － 1 ）、 B （ 1 , 2 ）兩點的直線 則此方程式為何？2. 已知某二元一次方程式的圖形 為通過 A （－ 2 , － 6 ）、 B （ 2 , 6 ）兩點的直線 則此方程式為何？

x ＝ 1

y ＝ 3x

加分題

鉛直線

通過原點的直線

二元一次聯立方程式的幾何意義舉例說明

x － y ＝1x ＋ 2y＝ 4

圖形

解x ＝ 2y ＝ 1

兩條直線交點

結論：

二元一次聯立方程式 兩條直線

兩條直線的 交點

代數形式 幾何意義

二元一次聯立方程式的 解

二元一次方程式 直線

p75 隨堂練習（聯立方程式恰有一解 ＝兩直線交於一點）

1. 求聯立方程式 2x－y＝1x＋3y＝4 的解。

2x － y ＝ 12x ＋ 6y ＝ 8

－： 7y ＝ 7

y ＝ 1x ＝ 1

A ： x ＝ 1 ， y ＝ 1

2. 承 1.，在坐標平面上圖示兩直線

L：2x－y＝1與M：x＋3y＝4，

並說明其相交情形。

x

y

O 1

1

(1,1)

(4,0)

(－1,－3)

L：2x－y＝1

M：x＋3y＝4

相交於一點（ 1 , 1 ）

3. 檢驗 1.的解是否為直線 L與M的交點。

x ＝ 1 ， y ＝ 1 （ 1 , 1 ）

是！

p76 隨堂練習（聯立方程式有無限多組解 ＝兩直線重合）1. 求聯立方程式

5x－y＝102y＝10x－20 的解。

÷2 ： y ＝ 5x － 10 5x － y ＝ 10＝

A ：無限多組解

2. 承 1.，在坐標平面上圖示兩直線

L：5x－y＝10與 M：2y＝10x－20，

並說明其相交情形。

x

y

O 1

1 (2,0)

(1,－5)

L：5x－y＝10

M：2y＝10x－20

重合

p77 隨堂練習（聯立方程式無解 ＝兩直線平行）1. 求聯立方程式

x＝63x－8＝0 的解。

和矛盾x ＝38

A ：無解

2. 承 1.，在坐標平面上圖示兩直線

L：x＝6與M：3x－8＝0，並說明

其相交情形。

x

y

O 1

1

(8 3 ,5)

(8 3 ,2)

(6,3)

(6,－3)

L：x＝6

M：3x－8＝0

平行

已知二元一次方程式 ax ＋ 2y ＝ 4與 x ＋ by ＝ 11的圖形交於A （ 2 , 3 ） 求 a 、 b 的值

若二元一次聯立方程式

的解為 x ＝ 2 ， y ＝ 3 求 a 、 b 的值

ax ＋ 2y ＝4x ＋ by ＝11

－ 1 3－ 1 3

以前的問題 現在的問題

結論：二元一次聯立方程式解的形式

無限多組解

無解

恰有一組解

兩條直線相交的情形

相交於一點

重合

平行

無限多組解

2

1

a

a2

1

b

b2

1

c

c＝ ＝ 重合

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

＋ ＝＋ ＝

補充結論：

無解2

1

a

a2

1

b

b2

1

c

c＝ ≠ 平行

恰有一組解

2

1

a

a2

1

b

b≠ 相交於

一點

在坐標平面上，將直線 4x－y＋6＝0

向右移動 4個單位，所得新的直線方程式為何？

難題說明

x 0 －1.5 y 6 0

原本通過的兩點為 x 4 2.5

y 6 0

新直線通過的兩點將是

直線方程式y ＝ mx ＋ k若過此兩點將會滿足6 ＝ 4m ＋ k

0 ＝ 2.5m ＋ km ＝ 4k ＝－ 10

y ＝ 4x － 10

加分題

試求兩直線 L ： y ＝－ x ＋ 4 與 M ： y ＝ 2 ( x－ 1 ) 在坐標平面上與 x 軸所圍區域面積。

3

x

y

1 O

1

L ： y ＝－ x ＋ 4

M ： y ＝ 2 ( x － 1 )

交點坐標為（ 2 , 2 ）

面積＝ 3 × 2 ÷ 2 ＝ 3

p78 自我評量

1. 如右圖，試問下列哪一點的坐標是方程式 x － y ＋ 3 ＝ 0 的解？

　 (A) A (B) B (C) C (D) D　 　　　

x

y

O 1

1

A

B C

D

x－y＋3＝0

(B)

2. 下列哪些點在直線 y＝－3上？

A ( 0 ,－3 )、B (－14 ,－3 )、C ( 8.5 ,－2 )、

D ( 3 ,－3 )、E (－3.6 , 3 )、F ( 60 , 3 )、

G (－2 3 ,－3 )、H (－3 , 0 )。

3. 在坐標平面上，畫出下列各二元一次方程式的

圖形：

(1) L：5x－3y＝15 (2) M：x＝0

x

y

O 1

1

(3,0)

(0,－5)

L： 5 x－ 3 y＝ 1 5

x 0 3

y －5 0

x 0 0

y 4 －4

x

y

O 1

1

(0,4)

(0,－4)

M：x＝0

4. 下列何者為 直線 4x － y ＝ 3 和直線 x ＋ 6y － 7 ＝ 0 的交點坐標？　　　　　　　　　　　

(A) ( 0 , － 3 ) 　　 (B) ( 1 , 1 ) 　　(C) ( 2 , 5 ) 　　 (D) ( － 1 , － 4 ) 　

(B)

5. 已知直線 L ： x － 4y ＋ 4 ＝ 0 ，則：　 (1) 直線 L 不通過第幾象限？ 　 (2) 直線 L 與兩軸的交點坐標為何？

(3) 直線 L 與兩軸所圍成的三角形面積為何？

第四象限

與 x 軸交於 ( － 4 , 0 )與 y 軸交於 ( 0 , 1 )

x

y

O 1

1 (－4,0) (0,1)

L:x－4y＋4＝0

面積＝ 4 × 1 ÷ 2 ＝ 2

2

6. 如右圖，已知直線 L ： y ＝ mx ＋ k 通過 A 、B 兩點

試求直線 L 的方程式。　　　 　 　

x

y

O 1

1

L

A(0,2)

B(3,－2)

2 ＝ k－ 2 ＝ 3m ＋ k

m ＝－k ＝ 2

34

y ＝－ x ＋ 234

7. 圖示下列各聯立方程式，並求解：

(1) x＝－3y＝2

x

y

O 1

1

(－3,2) y＝2

x＝－3

A ： x ＝－ 3 ， y ＝2

(2) 2x＝3yx－y＝2y－x

2x ＝ 3y

x

y

1

1 O

(3,2)

(0,0)

2x＝3y

x－y＝2y－x

A ：無限多組解

(3) x＝－3y＋62 ( y－1 )＝1－y－ x x ＝－ 3y ＋ 3

x

y

O 1

1

(0,2) (3,1)

(3,0) (0,1)

2(y－1)＝1－y－x

x＝－3y＋6

A ：無解