2. Συναρτήσεις - Μαθηματικά κατεύθυνσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ – ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχν. κατεύθυνσης Πειραματικό Γενικό Λύκειο Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1ο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

2

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 1Ο

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ



3

Κεφάλαιο 1ο

I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και x1 , x2 Δ . Αν x1 = x2 , τότε και f(x1) = f(x2) .

Ξ

Σ Λ

2. Για τη συνάρτηση f (x) = lnx, x > 0, ισχύει f (x.y) = f (x) + f (y) για κάθε x, y > 0.

Σ Λ

3. Για τη συνάρτηση f (x) = ex, x Ξ R, ισχύει f (x + y) = f (x) f (y) για κάθε x , y Ξ R.

Σ Λ

4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.

Σ Λ

5. Δίνεται η συνάρτηση y = f (x). Οι τετμημένες των σημείων τομής της Cf με τον άξονα x΄x μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση.

Σ Λ

6. Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια x Ξ R, ώστε να ισχύει

f (x) = g (x).

Σ Λ

7. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία.

Σ Λ



4

8. Αν η συνάρτηση f είναι 1 - 1, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει f (g(x)) = f (h(x)) για κάθε x Ξ R, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες.

Σ Λ

9. Η συνάρτηση f (x) =2x

x, x Ή 0, είναι

σταθερή.

Σ Λ

10. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.

Σ Λ

11. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο

τιμών το (0, +¥ ). Τότε η συνάρτηση 1f

είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Σ Λ

12. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα

διάστημα Δ. Αν ο λόγος 1 2( )f

1 2

( )x fx x

--

x είναι

θετικός για κάθε x1, x2 Ξ Δ, με x1 Ή x2, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Σ Λ

13. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Σ Λ

14. Η συνάρτηση 1( )f xx

= είναι γνησίως

φθίνουσα στο σύνολο (-¥ , 0) Θ (0, + ¥ ).

Σ Λ



5

15. Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο - x0.

Σ Λ

16. Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακρότατου στο σημείο - x0.

Σ Λ

17. Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι 1 - 1.

Σ Λ

18. Αν μια συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε είναι πάντοτε περιττή.

Σ Λ

19. Η συνάρτηση f (x) = xν, ν Ξ Ν* είναι: i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος ii) Περιττή, αν ο ν είναι περιττός.

Σ ΛΣ Λ

20. Αν η συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε ισχύουν: i) f (f -1 (x)) = x για κάθε x που ανήκει στο σύνολο τιμών της f

ii) f -1 (f (x)) = x για κάθε x Ξ Df.

Σ Λ

Σ Λ

21. Έστω η συνάρτηση f (x) = x2, x Ξ [0, +¥ ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των Cf και Cf

-1 ανήκει στην ευθεία y = x.

Σ Λ

22. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της. Σ Λ

23. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει ότι:

i) fog = f.g Σ Λ



6

ii) fog = gof

Σ Λ

24. Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και μια συνάρτηση h, για την οποία ισχύει h(x) = x, για κάθε x Ξ R. Τότε ισχύει

(hof) (x) = (foh) (x), για κάθε x Ξ R. Σ Λ

25. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είναι: i) γνησίως αύξουσα, αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας

ii) γνησίως φθίνουσα , αν οι f , g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας.

Σ Λ

Σ Λ

26. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με f (x) < 0 για κάθε x Ξ Δ, τότε η

συνάρτηση 2f είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα Δ.

Σ Λ

27. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η συνάρτηση gof είναι 1 - 1 στο R. Σ Λ

ΣΧΟΛΙΟ: Αν η σύνθεση της g με την f , δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε: 1) Η g είναι απαραιτήτως 1-1. 2) Η f δεν είναι απαραιτήτως 1-1. Απόδειξη 1) Έστω x1 , x2 Ξ Ag με g(x1)=g(x2) . Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η fog , έπεται ότι f(g(x1))=f(g(x2)) και επειδή η fog είναι 1-1 προκύπτει x1=x2. Άρα η g είναι 1-1. 2) Έστω x1 , x2 Ξ Af με f(x1)=f(x2). Αν υπάρχουν ω1 , ω2 Ξ Αg τέτοια ώστε g(ω1)=x1 και g(ω2)=x2 , προκύπτει f(g(ω1))=f(g(ω2)) και επειδή η fog είναι 1-1 προκύπτει ω1=ω2. Άρα g-1(x1)=g-1(x2) και επειδή η g-1 είναι 1-1 προκύπτει x1=x2 δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f είναι 1-1 Αν υπάρχουν ω1 , ω2 Ξ Αg τέτοια ώστε g(ω1)=x1 και g(ω2)=x2 (δηλαδή εξαρτάται από το σύνολο τιμών της g). Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα , τις συναρτήσεις f(x)=x2 και g(x)= x-1 κ.λπ.



7

Ασκήσεις για λύση

1. Έστω η συνάρτηση f (x) = x2 - 3x + 2. f (2)

ονες

. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά

α)

α) Να βρείτε τις τιμές f (1) , f (0) , f (-3) ,β) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξγ) Να βρείτε τις τιμές f (t) , f (xt) , f (x + h) , x, t, h Ξ R.

2από τις παρακάτω συναρτήσεις:

( )f x = 24 -

( - 1) 1x

x x + η) ( )f x = 1

1xx

-+

β) ( )f x = 2 - 2 - 1x

+ 34 - - x x

θ) ( )f x = 2 1xs un -

γ) ( )f x = 2 -

- 2 - 1x x

x + 1

3 - 4 - x x ι) ( )f x = ln(1 )x-

δ) ( )f x = ln1 ln

xx- κ) ( )f x = ln( 1)x - + 2

14-

x

ε) ( )f x = + lo 2log( 2)x x+ - g 33 - x

x+

στ) ( )f x = 2 - 1

xx

s unhm

+ 1- 1xef

, x Ξ [0, 2π]

ζ) ( )f x = - 1xe + 1 - ln x

. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 1.

τήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με

f1 (x) =

3α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτη συνάρτηση f.

f2 (x) = 3

2

x 1x - x 1

++

2x - 1

x - 1 f3 (x) = ( )2

x 1+

1x

+ 1) f5 (x) = lnex+1 f6 (x) = eln (x+1) f4 (x) = x (



8

) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω

. Δίνονται οι συναρτήσεις

f1 (x) =

βσυναρτήσεις είναι όλες ίσες.

4

f3 (x) =

11 - x11 x

+ x - 1

x 1+ x 1

x 1-+

f2 (x) =

f6 (x) = x 1x 1 x 1

-- +

f5 (x) = 2

x 1x 1

--

2

2

(x - 1)x - 1

f4 (x) =

) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. .

οποίο οι παραπάνω

5. i) Δίνονται οι συναρτήσεις

αβ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεωνγ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στοσυναρτήσεις είναι όλες ίσες.

, g (x) = 22 2

22( 1)x x

xa a+ +-

1( )1

xf xx

+=-

, α R .

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g. ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R ;

ii) Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε οι συναρτήσεις

f(

Ξ

β) Για ποια τιμή του α ισχύει f = g , στο

( )3 1a x a- +

x ) = 22a x a1 a+ -

και g(+ x ) = x x a+

να είναι ίσες .

. Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) =

6

2 1 , 2x xμ + £οο , 2x xνο >

και g (x) = ln , 0 3

- 2 3 , 3x x

x xμ < <οονο + ³οξ

οξ

Να βρείτε τις συναρτήσεις:

γ) fg

α) f + g β) f . g



9

7. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = log

1 - x

1 x+.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

1 2

1 2

x x1 x x

ζ φ+ χη χη χη χη +θ ψβ) Να αποδείξετε ότι f (x1) + f (x2) = f για κάθε x1, x2 του πεδίου

8. Δίνεται f (x) =

ορισμού της.

η συνάρτηση1

ln xx . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

για άθε x του πεδίου ορισμού της. ς f.

9. αν:

α

β) Να αποδείξετε ότι f (x) = e κγ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση τη

Να βρείτε τις συναρτήσεις gof και fog ότ

) ( ) - 3 ( ) 2f x x g x xk a i= = +

2( ) 1- ( ) - 4f x x g x xk a i= = β)

γ) ( ) 5 - ( ) ln( - 5) f x x g x xk a i= =

)

- 2 , 2

( ) 2 4 ( )2 , 2 x x

f x x g xx x

a nk a i

a nμ < -οο= + = νο ³ -ο

δ

ξ

0. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 1]. Ποιο είναι το εδίο ορισμού των συναρτήσεων:

11. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α].

1π

α) h1= f (x2) β) h2= f (x - 4) γ) h3= f (lnx) δ) h4(x)= f(ημx)



10

Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες

στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

12. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες

παίρνουν θετικές τιμές για κάθε x Ξ 1 1f g

+ είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

13. μ ίας (είαύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα.

. 14 f(y) , για κάθε

κ

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως ονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτον ναι και οι δύο γνησίως

β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.

γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f (x) = ln [ln (x)] , x > 1

. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(x+y) = f(x) + πραγματικό αριθμό x , y. Αποδείξτε ότι:

α) f(0) = 0 β) Η f είναι πάρτη . γ) f(κx) = κf(x) , για κάθε φυσικό αριθμό Ή 0.

η h(x) = f(1-x2) και Αf = (-3,1).Να βρεθεί το πεδίο ρισμού της h .

2

7. Αν f(x) = 1 + ex και (gof)(x) = x + e1-x , να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g .

15. Έστω η συνάρτησο 16. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f(2x+1) = 4x + 2 για κάθε πραγματικό αριθμό x , να βρεθεί ο τύπος της f. 1 18. Nα βρεθεί μια συνάρτηση f , ώστε να ισχύει ) = ( )(og f x xs un , x ΞR

αι 2( ) 1g x x= -κ .

9. Αν f(

) = 2 x 21 x – 1 και (fog)( x ) = συν2 x , αποδείξτε ότι ένας τύπος της g είναι ο g( x ) = xs un .



11

0. Δίνεται η συνάρτηση f(

) = 102 x5 2

xx

a- . Αποδείξτε ότι αν ισχύει (fof)(-

x ) = x

τότε είναι α = 5 . 21. Αν ( ) 3g x x= + και ( ( )) 2f 3g x= +x , αποδείξτε ότι ( ) 3 7f x x= - .

2. Θεωρούμε τη συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύουν 2f(f( x ) = x + 3 και f(f(f( x ))) = 8 x x ) = 2 x 4 + 7 . Aποδείξτε ότι f( + 1 .

3. Για τη συνάρτηση

2 : (0, )f R+∞ → ισχύει ( ) 2 1xf e x= + . Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών ,α β ισχύει ( ) 2ln 2ln 1f αβ α β= + + .

) = 1) = 4 x 224. Δίνονται οι συναρτήσεις f( x –4 x +1 και g( x x2

- - . Να

η τ ίναι σημείο . αποδείξετε ότι η γραφική παράστασ ης gof ε

2 + x – 4 και g(25. Δίνονται οι συναρτήσεις f( x x x 3 x - x ) = - ) = . Αποδείξτε ότι δεν ορίζεται η gof . 26. Να γράψετε τη συνάρτηση f(x) = x , x 0 , ως σύνθεση δύ

x > ο συναρτήσεων

7. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [2,8]. Να βρείτε το 2

8. Έστω η συνάρτηση

2πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = f (x+8) – f (9-x ) . 2 f με πεδίο ορισμού το R , η οποία είναι γνησίως αύξουσα και f (2) = 3 .

i) Να λυθεί ως προς α η εξίσωση 1ζf a

aφχη + χη χηθ ψ = 3.

ος α η ανίσωσηii) Να λυθεί ως πρ 1ζf a

aφχη + χη χηθ ψ > 3.

συνάρτησiii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ης ( ) ( ) 3g x f x= - .

ισμού το ποία είναι γνησίως φθίνουσα .

29. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορ R η ο



12

εωρούμε τη συνάρτηση g(x) = 2f(x) – (fof)(x) +2006 , x R.

) Να λυθεί η ανίσωση 2[f(x2)-f(1)] > (fof)(x2) –(fof)(1) .

μού το R για τις οποίες είναι

Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 .

ι βρείτε την αντίστροφη των συναρτήσεων

Θ Ξ i) Αποδείξτε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα . ii 30. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισfog)(x) = x+1 , για κάθε πραγματικό αριθμό x . (

i) ii) Να λύσετε την εξίσωση g(4x – 2x+1 + 4) = g(2x+2 - 4) 31. Να εξετάσετε ως προς το 1-1 κα

i) ( )x

1 x

ef xe

=+

, ii) ( ) ln 1g x x= + , iii) ( ) 5 2h x x= + -

iv) 2( )1

xk xx

=-

, v) 1( ) ln1x

exe

x

f -=+

, vi) 2( ) 2 ( 2)f x x= + - με 2x ³ .

vii) 3( )f x x= .

ΠΑΡΑΤΗ Αν η συνάρτησ με πολλαπλό τύποιδιαίτερη προσοχή στη μελέτη του 1-1. Δεν αρκεί να εξετάσουμε μόνον κάθε

χωριστά. Για να είναι 1-1 πρέπει να αποκλείσουμε ότι για διαφορετικά x κύπτουν ίδιες τιμές για τη συνάρτηση. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει τα

επιμέρους σύνολα τιμών των κλάδων της συνάρτησης να είναι ξένα μεταξύ τους.

32. ΡΗΣΗ: η δίνεται , χρειάζεται

κλάδοπρο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ:

1) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση 2 3 , 0

( )5 , 0

x xf x

x xμ - ³οο= νο- + <οξ

δεν είναι 1-1.

) Δίνεται η συνάρτηση f (

) = 1

xx +

. 2 x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 - 1. β) Να βρείτε την f -1.



13

33. και h (x) = 1x 2+

1x

Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = με κοινό πεδίο

ορισμού το διάστημα Δ = (0, +¥ ).

εση φof = h.

) Να εξετάσετε αν g-1of -1 = h-1 (δικαιολογήστε την απάντησή σας). 34.

Α. α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστ fog = h. β) Να βρείτε μια συνάρτη φ ώστε

B. α) Να βρείτε τις f -1, g-1, h-1 (αντίστροφες των f, g, h). β) Να βρείτε τις f -1og-1 και g-1of -1. γ

Εστω συνάρτηση f : R® R , για την οποία ισχύει f(f(x)) + f 3(x) = 2x+3,

Α. Αποδείξτε ότι: i) Η f είναι συνάρτηση 1-1.

(x) = f(x) + x -3

3 +8x – 8 .

i) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα .

η αντίστροφή της έχει το ίδιο

μονοτονίας.

iv) Αποδείξτε ότι f (-8)=0.

ν ανίσωση f –1(x) < 1 .

6. Δίνεται η συνάρτηση

για κάθε πραγματικό αριθμό x .

ii) Ισχύει 2f –1 3

Β. Να λυθεί η εξίσωση f(2x3+x) = f(4-x).

5. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3

ii) Να λύσετε την ανίσωση f(f(x)) < 1.

iii) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και ότι

–1

v) Να λύσετε τη

3( ) 1f x x x= + -3 .

i) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται.

ημεία των ii) Να βρείτε τα κοινά σ fC 1f

C -και .

ΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε παρατήρηση 12 σελ. 42. ΠΑΡ



14

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Κεφάλαιο 1ο Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις ος” του τύπου “Σωστό-Λάθ

1. Σ 11. Σ 20. i) Σ 2. Σ 12. Σ 20. ii) Σ 3. Σ 13. Σ 21. Σ 4. Λ 14. Λ 22. Λ 5. Σ 15. Σ 23. i) Λ 6. Λ 16. Σ 23. ii) Λ 7. Σ 17. Λ 24. Σ 8. Σ 18. Λ 25. i) Σ 9. Λ 19. i) Σ 25. ii) Σ

1 10. Σ 9. ii) Σ 26. Σ 27. Σ

Απαντήσεις - υποδείξ τις κήσ ις εις σ ασ ε . α) , β) γ) δ) [1,e) , ε)

στ

( 1,1) (1, 2]- Θ (2,3) (3, 4]Θ , [0,1) , ( 3, 2) (1,3)- - Θ 2

) 5 5 3, , , , ,

6 4 2 6 4 2x

p p p p p pΉ , ζ) (0,e] , η) ) , θ) 2κπ-π/3 x 2κπ+π/3

ι) (-

( , 1) [1,- ¥ - Θ + ¥ £ £

, κΞ Ζ. ¥ ,0] , ,2) (2, + κ) (1 ). Θ ¥ 3. α) f2, f5 β) (1, +( 1, 0) (0,1)- Θ Θ ¥ )

4. α) D1 = (- ¥ , - 1) [1, +Θ ¥ ) D2 = [1, + ¥ ) D3 = (- ¥ , - 1) , +Θ [1 ¥ )

¥ ) D4 = (- ¥ , - 1) Θ (1, + ¥ ) D6 D5 = D4 = (1, +β) f1=f3 γ)D=(1,+ ¥ ). Στο αυτό λες οι συναρτήσεις διάστημα ό έχουν τύπο

2 ( 5. R 1, R -

β) ιθμητής της g να έχει παράγοντα το x + 1, άρα α = 2 , επομένως αν α=2 είναι f=g για κάθε

f (x) = f x).

i) α) Df = - Dg = -1,1 Θα πρέπει ο αρ

x Ξ R--1,1. ii) α=1/2



15

6. το τος είναι το διάστημα (0, + Πεδίο ορισμού υ αθροίσμα ¥ ) και ο τύπος είναι

nx 2x 1, 0 x 2

x nx, 2 x 3+ < <οον 3

+ + < £μοο

οο

(f + g) (x) =

x - 2x 3, x + ³οο

l

και για τις f.g και

l

ξ

g Ομοίως εργαζόμαστε f

7. 1 1)

β) Καταρχήν αποδεικνύουμε ότι το

α) Πρέπει (1 - x) (1 + x) > 0, άρα Df = (- ,

x + x1 21 + x x

(- 1, 1) ως εξής: Αν |x1| < 1 και |x2| < 1 τότε και 1 2

Ξ

x + x1 21 + x x

< 1 1 2

Ϋ (x1 + x2)2 < (1 + x1x2)2 Ϋ …

ια έχουμε: f (x1) + f (x2) = log 1- x 1- x1 2

1 + x 1 + x1 2

ζ φ Στη συνέχε Χ χχχχχθ

ηηηη ψ και

f

x + x1 21 - 1+ x x1 2x + x1 21 +

1 + x x1 2

ζ φχη χη χη χηx + xζ1 2

1 + x x1 2

φχ (1 -x ) (1 -x )η χχ ηη χχη χχηθ ψ = log = … = log η χη χχη χη χχηηθ ψ

1 2(1 +x ) (1 +x )1 2

8. α) Df = (0, 1) (1, + β) y = x nx1l Ϋ l ny = nx

nx1

ll

Θ ¥ ) = 1 Ϋ y = e

9. α) ( ) ( )[3 ) gof (x)= x + gofA = + ¥ , , , -3 2 [1, ) , ¥ ( ) 1fog x xfogA = + = -

ορίζεται η συνάρτηση gof ( )[4,5] , ( ) 5fog x xfogA =β) Δεν , = -

( )( , 20) , gof (x)=ln( 5-x -5) gofA = - ¥ - , γ)

( )5(5,5 ] , ( ) 5 ln( 5)e fog x xfogA = + = - -

δ)

2x , αν x< 2(fog)(x)=

4x+4 , αν x 2

-

³ -

μοονοοξ,

2x+2 , x< 3(gof)(x)

4x+8 , x 3 -

³ -

μοονοοξ



16

10. α) [-1,1] , β) [4,5] , γ) [1,e] , δ) 2κπ£ x +π , κΞΖ

11. Αν - β x1 < x2 - α, τότε α - x2 < - x1 β με f (- x2) < f (- x1)

12. . Αν x1 < x2, τότε f (x1) < f (x2), άρα

£ 2κπ .

£ £ £ £

- f (x2) < - f (x1), άρα f (x2) > f (x1)

)(x f1

)(x f1 > . Όμοια για την g.

1 2

Επομένως )(x f

1 + 1 )(x g

1 > 1 )(x f

1)(x g

1

2

2 +

13. α) Αν f, g γνησίως αύξουσες στο R, τότε αν x1 < x2 g (x1) < g (x2) (g (x2), άρ g γνησίως αύξουσα. Ομοίως αν f, g γνησίως φθίνουσες

) Επειδή η f έχει την ίδια μονοτονία με την f από το (α) … κ.λ.π. ) Η f (x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα, άρα από το (β) … κ.λ.π.

15. (-2

6. f

f (g (x1)) < f α foή ή

βγ

,0)Θ (0,2)

21 (x) = x -2x+3 , xΞR .

1

e

x -17. g(x) = ln(x-1) + , x (1,+Ξ ¥ ).

18. Μία συνάρτηση f είναι η f(x) = ημx ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Η παραπάνω συνάρτηση δεν είναι η

μοναδική αφού και οι συναρτήσεις f(x) = - ημx , ή

f(x) = , f(x) =, 0

, 0

x x

x x

hm

hm

>

- £

μοονοοξ xhm κ.λ.π. είναι λύσεις

26. f(x) = exlnx

27.

του προβλήματος.

, -1]

, iii) [2,

7[- 28. i) α=1 , ii) (0,1) (1, )a Ξ Θ + ¥ + ¥ )

30. ή

x=1 x=2 .



17

31. i) 1( ) ln1

xx

xf - = (0,1) iii) , με1 2( ) 10 27h x x x- = - + x Ξ x Ξ

- , με [5 ,+ ¥ )

, με R iv) 1( )2

xk x

x- =

+2( 1)1( ) xx eg -- = x Ξ , με x Ξii) R--2 .

1 1( ) ln

1

x

xe

xe

fv) - με +

=-

, x 1( ) 2 2 , f x x- = + -<0 . vi) 2x ³ με

31

3

, 0( )vii)

, 0x x <

x xf x- ³

=- -

μοονοοξ

3 ) Γράφουμε τη συνάρτηση ε πολλαπλό τύπο κ.λ.π. (Σύμφωνα με την παρατήρηση).

2. 2. α σ

x, - 1 < x 0

1+x

x, 0 < x < 1

1 - x

£μοοοοοονβ) Είναι f -1 (x) = οοοοοοξ

33. Α. α) g (x) = x + 2, Dg = Δ , β) φ (x) = x

1 + 2x , Dφ = Δ

Β. α) f -1 = f , g -1 = x - 2 , x (2, + ) , h -1 = x2x - , x 1 Ξ (0, Ξ ¥

21

β) (f og ) (x) =

)

-1 -1

2 -x , x Ξ1 (2, +¥ ) , (g -1of -1) (x) =

x , x Ξ (0, 2x - 1

21 )

γ) Είναι ίσες, , (γενικά ισχύει (fog)-1 = g-1of -1). 34. Β) χ=1

υ μέρους . v) x<1. 35. ii) x<1 iv) Bλέπε παρατήρηση 11 του δεύτερο



18

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ



19

II. ΟΡΙ0 – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0, έναν

πραγματικό αριθμό l . Αναγκαστικά το x0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Σ Λ

2. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f, όταν το x παίρνει τιμές κοντά στο x0, συμπίπτουν πάντοτε.

Σ Λ

3. Το όριο μιας συνάρτησης f στο x0 εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό.

Σ Λ

4. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό.

Σ Λ

5. Αν 0

limx x®

0

lim

f (x) = l , τότε υπάρχει συνάρτηση φ

με x x®

φ (x) = 0 και f (x) = l + φ (x).

Σ Λ

6. Αν 0

limx x®

(f (x) + g (x)) = l , τότε οι συναρτήσεις f, g

έχουν πάντοτε όριο στο x0.

Σ Λ

7. Αν για τις συναρτήσεις f, g : A ® R υπάρχει το

0

limx x®

[f (x) .g (x)], τότε πάντοτε

0

limx x®

[f (x) .g (x)] = 0

limx x®

f (x) .0

limx x®

g (x)

Σ Λ

8. Έστω η συνάρτηση f (x) = xx

- 1.

Ισχύει f (x) = 0 = f (x). 0

limx +® 0

limx -®

Σ Λ



20

9. Μια συνάρτηση f έχει στο x0 = 2004 όριο το - 2004.

Τότε η f παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια x κοντά στο 2004.

Σ Λ

10. Αν 0

limx x®

f (x) = l , l Ή 0, τότε πάντοτε ισχύει

0

limx x®

f (x) = . l Σ Λ

11. Αν το 0

limx x®

f (x) είναι θετικός αριθμός , τότε η f

παίρνει θετικές τιμές κοντά στο x0.

Σ Λ

12. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που περιέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε

0limx®

f (x) = f (0).

Σ Λ

13. Αν limx a®

f (x) = β, limx b®

g (x) = γ και f (x) Ή β κοντά

στο α , τότε limx a®

g (f (x)) = γ.

Σ Λ

14. Ισχύει ότι 0

limx®

ημ (αx)x

= 1 με α Ή 0 , 1.

Σ Λ

15. Αν 0

limx®

f (x)x

= , τότε l0

limx®

f (3x)x

= 3 . l

Σ Λ

16. Αν 0 £ f (x) £ 1x

+ e -x , για κάθε x Ξ R , τότε

ισχύει : f (x) = 0. limx® + ¥

Σ Λ

17. Αν 0

limx x®

f (x) = +¥ και g (x) < 0 κοντά στο x0,

τότε πάντοτε ισχύει 0

limx x®

(f (x). g (x)) = -¥ .

Σ Λ



21

18. Αν 0

limx x®

f (x) = +¥ , τότε 0

limx x®

1f (x)

= 0.

Σ Λ

19. Αν 0

limx x®

f (x) = 0 και f (x) > 0 κοντά στο x0, τότε

0

limx x®

1f (x)

= + ¥ .

Σ Λ

20. Αν 0

limx x®

f (x) = l Ή 0, τότε 0

limx x®

1f (x)

= 1l

.

Σ Λ

21. Αν η συνάρτηση f : [0, +¥ ) ® R είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει f (x) = + lim

x® + ¥¥ . Σ Λ

22. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], η εξίσωση f (x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ Ξ (α, β) ώστε f (ξ) < 0, τότε θα ισχύει f (x) < 0 για κάθε x Ξ (α, β).

Σ Λ

23. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f (x1), f (x2) με x1, x2 Ξ [α, β], τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (x1) και f (x2).

Σ Λ

24. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f (x1) = 1 και f (x2) = 4, τότε υπάρχει x0 Ξ (x1, x2) τέτοιο ώστε

f (x0) = e.

Σ Λ

25. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (α), f (β)].

Σ Λ

26. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (β), f (α)].

Σ Λ



22

27. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] με

f (α) Ή f (β), παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β).

Σ Λ

28. Aν (1 - x) (1 + 5x) £ f (x) £ (3x + 1)2, τότε η f είναι συνεχής στο 0.

Σ Λ

29. Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, +¥ ), τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (

0limx®

f (x), limx® + ¥

f (x)).

Σ Λ

30. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Αν η f είναι 1 - 1 στο [α, β], τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [α, β].

Σ Λ

31. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 με f (x0) Ή 0, τότε κοντά στο x0 οι τιμές της f είναι ομόσημες του f (x0).

Σ Λ

32. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f (Δ).

Σ Λ

33. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι συνεχής και 1 - 1 στο Δ, τότε η συνάρτηση f -1 είναι συνεχής στο f (Δ).

Σ Λ

34. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Σ Λ



23

35. Έστω η συνάρτηση ( )f x = 2

1 , 1

2 - , 1

x x

x x

μ + <οονο ³οξ.

Ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο R - 1.

Σ Λ

36. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράστα-ση φαίνεται στο σχήμα, είναι συνεχής στο Df.

y

y´

0 xx´

Σ Λ

37. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο x0 , τότε και η συνάρτηση f+g δεν είναι συνεχής στο x0 .

38. Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο

x0 του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

Σ Λ

39. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε και η f 2 είναι συνεχής στο x0. Σ Λ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι ερωτήσεις με τις πράξεις των ορίων . π.χ. i) Αν υπάρχουν στο R τα

0

lim( ( ) ( ))x x

f x g x®

+ και 0

lim ( )x x

f x®

, τότε υπάρχει και το 0

lim ( )x x

g x®

Η πρόταση αυτή είναι Σωστή . (Η απόδειξη γίνεται με τις ιδιότητες των ορίων). ii) Αν υπάρχουν στο R τα

0

lim( ( ). ( ))x x

f x g x®

και 0

lim ( )x x

f x®

( )

, τότε υπάρχει και το .

Η πρόταση αυτή είναι Λάθος. ( Γιατί το 0

lim ( )x x

g x®

0

limx x

f x®

μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν).

Πρέπει βεβαίως να προσέχουμε αν το όριο είναι το ± ¥ , γιατί μπορεί να προκύπτει μία απροσδιόριστη μορφή . (βλέπε σελίδα 179 του σχ. βιβλίου).



24

Ασκήσεις για λύση

• ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 0x R∈

1. Αποδείξτε ότι : α) 3

22

8lim5 6x

xx x®

-- +

= -12 στ) 1

3 1lim4 4x

xx®

+ --

2 = 316

β) 2

22

4lim6x

x xx x®

- ++ -

4 = 0 ζ) 25

4 5lim25x

xx®

+ --

5 = 125-

γ) 3

22

8lim4x

xx®

--

= 3 η) 23

1 2li = m9x

xx®

- --

112-

δ) ( )( )3 2

22

5 8lim2 4x

x x xx x®

- + -- -

4 = 14

θ) 2

4

8lim2x

x xx®

--

= 24

ε) 3

6 3lim3x

xx®

+ --

= 16

ι) 27

2 3li = m49x

xx®

- --

156-


5 4lim1x

xx®

+ --

3 = 512

γ) 3

1

2lim1x

x xx®

+ --

= 56

β) 2

4

6lim2 8x

x xx x®

- ++ -

8 = 43

δ) 2

1lim

1x

x xx®

--

= 3


1 2lim1 1x x x®

ζ φχη - χη χηθ ψ- - = 1

2 γ)

1

1lim1x

xx

m

n®

--

= mn

μ,ν Ξ Ν*

β) ( )( )

3

23

1 8lim

2 1 3x

xx® -

+ +- - 2

= - 34

δ) ( )1

1

1 1lim

1x

x xx

nn n+

®

- + +-

=

= ν2 - 1



25


2 3 9lim

4x

x xx® -

- + - --

= 12

β) 2

23

3 3lim

9x

x x xx-®

- + --

= 13

- γ) 7 3 5 2

20

5 2 2 4 2lim 2

2x

x x x x xx x→

− + − + − −=

−

δ) 3 2

21

2lim3 2x

x x xx x-®

- ++ -

= 23

ε) 2 2

2

5 6 2lim

3 5x

x x xx+®

- + + -+ -

x = 3

5. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια.

α) 2

3

3 9lim

3x

x xx®

- + --

γ) 2 2

22

4 3 12lim

3 2x

x x

x x®

- + -

- +

β) 2

1

3 2lim

1 2x

x xx®

- ++ -

δ) 21

2 1limx

x xx x®

+ + - --

3

6. Αποδείξτε ότι :

α) 2

20

1limx

xxs un

®

- = 1 δ) ( )0

1lim1 1x

xx x

s un®

-+ -

= 1

β) 0

3limx

2x xx

hm hm®

+ = 5 ε) 0

4lim4 9x 3

xxhm

® + - = 6

γ) 20

1limx

xxs un

®

- = 12

στ) 2

(3 6)lim5 10x

xx

hm®

--

= 35

7. Θεωρούμε τη συνάρτηση

2

2

4 , 2 22 2( )

5 2 , 2

x xxf x

x x x

μ -ο - < <οο + -ο= νοοο + + ³οξ

Αποδείξτε ότι

2lim ( ) 16x

f x®

= .



26

8. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

2

7 3 , 7 22( )

3 2 , 22 8

x xxf x

x x xx x

μο + -ο - £ <οο -ο= νο - +ο >οο + -οξ

Αποδείξτε ότι 2

1lim ( )6x

f x®

= .

9. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε 2 23 ( ) 3x x f x x- £ £ + x , για κάθε x ΞR.

Αποδείξτε ότι 20

( ) (0)lim 3x

f x fx x®

- =+

.

10. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε 2 24 3 ( 1) ( ) 8 5x x x f x x x+ £ - + £ + 3

για κάθε x RΞ . Αποδείξτε ότι 21

( 1) ( )lim 23 2x

x f x xx x

hmp p®

- + = -- +

.

11. Αν 0

2 3 ...lim 28x

x x x xx

hm hm hm hmn®

+ + + + = , νΞΝ*,

αποδείξτε ότι ν = 7.

12. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R και περιττή. 1,1- -

Αν 1

(1 ) ( )2lim 2

1x

xx f x

x

ps unp

®

- +=

- , να αποδείξετε ότι

1lim ( )

2xf x p

® -= - .

13. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R , για την οποία ισχύει

. Αποδείξτε ότι 1

lim ( ) 9x

f x®

=2

1

( ) ( ) 8 ( )lim 54

( ) 3x

f x f x f x

f x®

- -=

- .


0

( )lim 2x

f xx®

= . Αποδείξτε ότι 2 20

(2 ) ( ) 3lim = 102x

x f x f x xx x

hmhm®

- --

.



27


20

( ) 2 -1lim 31 1x

f x x x xx

hm hm s un®

+ =+ -


lim ( ) 1x

f x®

=


2( ) 2f x x x xhm - £ , για κάθε x RΞ . Αποδείξτε ότι :

i) , ii) 0

lim ( ) 2x

f x®

=0

( )lim 32x

x f x xx x

hmhm®

+ =-

.

17. Έστω συναρτήσεις f , g , ορισμένες στο σύνολο R , για τις οποίες ισχύουν :

3

( )lim 23x

f xx® -

=+

και . 2

3lim ( )(2 5 3) 14x

g x x x® -

ι ω+ - = -κ ϊλ ϋ

Αποδείξτε ότι . [ ]3

lim ( ) ( ) 4x

f x g x® -

= 18. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R , για την οποία ισχύει


2lim ( ) 2 3x

f x x x®

ι + - + =κλωϊϋ

2

22

( ) 2 ( ) 3lim = 2( ) 1x

f x f xf x®

- --

ωϊϋ

.

19. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R , για την οποία ισχύει . Αποδείξτε ότι : 2

1lim 2 ( ) 2 6x

f x x x®

ι + - + =κλ

i) , ii) 1

lim ( ) 2x

f x®

=( )21

2 ( ) 2lim ( ) 4x

f xf x®

--

= 18

.

20. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 2( ) 2xf x x xhm- £ , για κάθε x , κοντά στο x0 =0 , αποδείξτε ότι

0lim ( ) 2x

f x®

= . 21. Έστω συναρτήσεις f , g , ορισμένες στο σύνολο R , για τις οποίες ισχύουν : και . Αποδείξτε ότι:

1lim (4 ( ) ( )) 7x

f x g x®

- =1

lim ( ( ) 3 ( )) 5x

f x g x®

+ =



28

i) , ii) , iii) 1

lim ( ) 2x

f x®

=1

lim ( ) 1x

g x®

= 21

( 1) ( ) ( ) 2+lim =( 1) ( ) ( ) 2-x

x f x xx g x x

hm p phm p p®

- -- +

.

• ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 0x R∈ 22. Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια:

α) 2

22

1lim 4 4x

xx x®

+- +

ε) 2

3 2lim

2x

xx®

+ --

β) 2

3 21

1lim 3 3x

x x1x x x®

+ +- + -

στ) 0

16 4lim x

xx x®

+ -

γ) 2

22

2lim 2x

xx x+®

+-

ζ) 2

lim 1x

xxp

phm®

--

δ) 2

21

3 1lim2 1x

xx x®

- +- +

η) 2

0

3 2lim (5 3)x

xx xhm®

-+

23. Έστω συνάρτηση f , για την οποία ισχύουν:

( ) 3 , f x Ή κοντά στο 0x =3 και 3

( ) 5lim = +( ) 3x

f xf x®

+ ¥-

. Αποδείξτε ότι

. 3

lim ( ) = 3x

f x®

24. Aν 2

2lim 3

2x

x xxa b

®

- + =-

, να υπολογιστούν τα α , β RΞ .

25. Αν 3

3lim R3x

xx

a®

+ - Ξ-

, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α.

26. Έστω η συνάρτηση 2 2( )( ) =

( 2)( 7 3xf x

x xa-

- + - ) . Να υπολογίσετε την τιμή

του πραγματικού αριθμού α αν .

2lim ( ) = 96x

f x®



29

27. Έστω η συνάρτηση 2 6( ) =

2x xf x

xl- +-

. Να υπολογίσετε τον πραγματικό

αριθμό l αν το

2lim (x)x

f®

είναι πραγματικός αριθμός .

28. Έστω η συνάρτηση 3 2

3

9( ) 9

x x xf xx x

l- + +=-

. Να υπολογίσετε τον

πραγματικό αριθμό l αν το

3lim (x)x

f®

είναι πραγματικός αριθμός .

29. Έστω η συνάρτηση 2 (2 3 ) 3 1( ) =

2 2x xf x

xa b a+ - + - -

- , α , β RΞ .

Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α , β , αν είναι γνωστό ότι .

1lim ( ) 4x

f x®

= - • ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 30. Να αποδείξετε ότι :

α) 2

2 3

( 2)( 5)lim =3 6 1 2x

x xx x x® + ¥

- + -- + -

1 2

ε) 25 9 2

lim 3 6x

x xx® + ¥

- - - +-

= - ¥

β) 15 18

2 15

( 1) ( 2)lim = +( 3)x

x xx x® + ¥

- + ¥- +

στ) 4

2 1 3 4 2lim

5 2x

x xx® - ¥

- - - ++

1 = 0

γ) 3 6 1 2

lim = 25x

x xx® + ¥

- - - +-

ζ) 2lim 3x

xx x

hm® + ¥ +

= 0

δ) 10

( 1)( 2)...( 10)lim = 1( 2004)x

x x xx® + ¥

- - --

η) 3lim 5x

x xx x

hms un® + ¥

++

= 15

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε το σχόλιο στη σελίδα 39.



30

31. Να αποδείξετε ότι :

α) 1 2

3

3 5lim 3 5

x x

x xx

+ +

+® + ¥

-+

= 15

- β) 3 5 7lim =2 3 5

x x x

x x xx® + ¥

+ + + ¥+ +

γ) 2 3lim = 12 3

x x

x xx® - ¥

+-

δ) 3 2lim 34.2

x x

x xx

ee® + ¥

- =+

ε) 1

2 1

2 3lim =2 3

x x

x xx

+

+ +® - ¥

-+

12

στ) 3 3lim 13 3

x x

x xx

-

-® + ¥

- = -+

ζ) 1

1

5 3lim 95 3

x x

x xx

+

-® - ¥

- = -+

η) ( )1lim ln( 1) ln( 2) 5 6x x

xe e+

® + ¥+ - + + =

θ) [ ]lim ln(5 2) 3ln( 1)

xx x

® + ¥- - + = - ¥

32. Θεωρούμε τη συνάρτηση 1 22( ) , > 0

2

x x

x xf x a aa

+ +-=+

. Να υπολογίσετε

για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού α το lim ( )

xf x

® + ¥

33. Αποδείξτε ότι :

α) 2lim ( 2 ) 1x

x x x® + ¥

- - = - ζ) 2 1lim ( 1 ) 2x

x x x® + ¥

ι ω+ - =κ ϊλ ϋ

β) 2

4 3lim 27x

xx x® + ¥

- + = -+ +

η) 2 1lim 0

1x

x xx x® + ¥

+ - =- +

γ) 2 2 3lim ( 2 3 ) 2x

x x x® + ¥

+ - + = - θ) 1lim 11x

x xx x® + ¥

- - =- +

δ) 2lim ( 2 3 ) 1x

x x x® + ¥

+ + - =

ε) lim 2 1 ( 2 3 2 5) 1x

x x x® + ¥

ι ω+ + - + =κ ϊλ ϋ -

στ) ( )2 1lim 4 2 10 2 2x

x x x® - ¥

+ + + = -



31

34. Αποδείξτε ότι : α) ( )2 2lim 1 4 2 1 3 1

xx x x x x

® + ¥+ + + + + - =

β) ( )2 2 1lim 3 1 2 2x

x x x x® - ¥

+ + + + + = -

γ) ( )2lim 1 x

xe x x xhm

® - ¥+ + - = + ¥

35. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 3 2f x x x m= - + - x . Να υπολογίσετε το lim ( )

xf x

® - ¥, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ .

36. Δίνεται η συνάρτηση 23 2 4( )

1x xf x x

xl- + -= -

-m- . Να υπολογίσετε

τους πραγματικούς αριθμούς λ , μ αν lim ( ) 0x

f x® + ¥

= .

37. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1f x x x a= + - - x . Να υπολογίσετε τους

πραγματικούς αριθμούς α , β αν ισχύει lim ( )2x

f x b® - ¥

= .

38. Δίνεται η συνάρτηση 22 3 1( )4 3

x xf x xx

a+ += -+

b+ . Να υπολογίσετε

τους πραγματικούς αριθμούς α , β αν ισχύει 19lim ( )8x

f x® + ¥

= .

39. Δίνεται η συνάρτηση 3

2

1( )1

xf x xx

a b += + -+

. Να προσδιορίσετε τους

πραγματικούς αριθμούς α , β αν ισχύει lim ( ) 4x

f x® + ¥

= . 40. Δίνεται συνάρτηση f τετοια ώστε . Αποδείξτε ότι lim ( )

xf x

® + ¥= + ¥

2

2

( ) 2 ( )lim 1 ( ) ( ) 2 ( ) 3x

x f x f x xx f x x f x f x® + ¥

+ + =+ + -



32

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε oxότι η f είναι συνεχής στο , όταν ox

→ o ox xlim f(x) = f(x )

Για παράδειγμα, η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0, αφού f(x) =|x|

→ →χ 0 χ 0lim f(x) = lim|x|= 0 = f(0) .

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε

ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: ox

α) Δεν υπάρχει το όριο της f στο ή ox

β) Υπάρχει το όριο της f στο , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, oxοf(x ), στο σημείο ox .

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ

Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε ∈ox R ισχύει:

→ o ox xlim P(x) =P(x ).

Κάθε ρητή συνάρτηση PQ

είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ox

ορισμού της ισχύει: → o

ox x

o

P(x )P(x)lim = .Q(x) Q(x )

Οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς, αφού για κάθε f(x) =ημx g(x) =συνx∈ox R ισχύει: και ( )

oημx =ημx

→ ox xlim ( ) oνx =συνx .→ ox xlim συ



33

Οι συναρτήσεις και , xf(x) =α

αg(x) =log x 0<α 1≠ είναι συνεχείς.

Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα:

ox

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο , τότε είναι συνεχείς στο ox

ox και οι συναρτήσεις:

g f, , όπου c∈R, ⋅c ⋅f g , f , |f και | ν f f+g

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το . ox

Για παράδειγμα οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων.

f(x) =εφx g(x) =σφx

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής oxστο , τότε η σύνθεσή τους είναι συνεχής στο . of(x ) gof ox

φ(x)=συνy=συν(ημx)

y=ημx

g g o f

f x Για παράδειγμα, η συνάρτηση

είναι συνεχής σε κάθε

σημείο του πεδίου ορισμού της ως

σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων

και .

φ(x) =συν(ημx)

=f(x) ημx g(x) =συνx

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α , β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του . (σχ. 1) (α , β)

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α ,β] , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του και επιπλέον (α , β)

→=+χ α

lim f(x) f(α) και →

=-χ βlim f(x) f(β) (σχ. 2)



34

y

( ) O

(σχ. 1) β a x

y

[ ] O β a x

(σ χ . 2 )

Προσοχή!!! Η συνέχεια στo κλειστό διάστημα [α,β] ΔΕΝ εξασφαλίζει τη συνέχεια στα α , β.

Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ 1. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια στο x = οι συναρτήσεις: o 0

α) ⎧⎪⎨⎪⎩

ημx , x 0f(x)= x 1 , x=0

≠ β) ⎧⎪⎨⎪⎩

1-συν2x , x 0f(x)= x

1 , x=0

≠ γ)

⎧ ⋅⎪⎨⎪⎩

1ημx ημ , x>0f(x)= xσυνx , x 0≤

ΛΥΣΗ

α) Είναι → →x 0 x 0

ημxlim f(x) = lim =1 = f(0)x

, άρα η f είναι συνεχής στο ox =0.

β) Είναι → → → →

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

2

x 0 x 0 x 0 x 0

1-συν2x 2ημ x ημxlim f(x) = lim = lim = lim 2ημx =2 0 1 = 0 fx x x

(0) ,

άρα η f δεν είναι συνεχής στο ox =0.

γ) Για x> έχουμε 0 ⋅ ⋅ ≤ ⋅1 1ημx ημ = ημx ημ x 1 = x = xx x

, οπότε − ≤ ⋅ ≤1x ημx ημ x.x

Είναι άρα από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι

( )

+→ →−

x 0 x 0lim x = 0 = lim x,

+

+→x 0lim f(x) = 0.

Για x< έχουμε 0− −→ →

= =x 0 x 0lim f(x) lim συνx 1 .

Παρατηρούμε ότι − +→ →

≠x 0 x 0

1 = lim f(x) lim f(x) = 0, δηλαδή δεν υπάρχει το όριο

→x 0lim f(x), άρα η f δεν είναι συνεχής στο ox =0.



35

2. Αν , να βρεθούν τις τιμές των για τις οποίες ⎧⎪⎨⎪⎩

2 3

2

α x x 2β, x 1f(x)=

lnx β x , x+ − <

− ≥1α,β R∈

η συνάρτηση f είναι συνεχής. ΛΥΣΗ • Η f είναι συνεχής στο διάστημα −∞( , 1) , ως πολυωνυμική.

• Η f είναι συνεχής στο διάστημα +∞(1, ) , ως άθροισμα συνεχών.

• Για να είναι η f συνεχής συνάρτηση πρέπει και αρκεί η f να είναι συνεχής και στο x = δηλαδή o 1,

2

α

.− +→ →x 1 x 1

lim f(x) = limf(x) = f(1)

Έχουμε: − −→ →

2 3 2

x 1 x 1lim f(x) = lim(α x +x-2β) =α +1-2β.

+ +→ →

2 2

x 1 x 1limf(x) = lim(lnx -β x) =ln1-β = -β .

2 2f(1) =ln1-β = -β .

Επομένως πρέπει και αρκεί ( )= ⇔ ⇔22 2 2+1-2β -β α + β -1 = 0 α = 0 και β =1.

3. Έστω η συνεχής συνάρτηση η οποία για κάθε ικανοποιεί f : R R,→ x R∈τη σχέση xf(x) = 1+ημx-1 . Να βρεθεί το f(0). ΛΥΣΗ

Για κάθε ισχύει ∗∈x R .1 + ημx - 1f(x) =x

Η f είναι συνεχής στο , οπότε ox =0

( )( )( )→ → →

=x 0 x 0 x 0

1 + ημx -1 1 + ημx + 11 + ημx -1f(0) = lim f(x) = lim = limx x 1 + ημx + 1

( )→ →

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠x 0 x 0

1 + ημx -1 ημx 1 1= lim = lim = 1 =x 21 + ημx + 1x 1 + ημx + 1

12

4. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση η οποία για κάθε f : R R,→ x R∈ ικανοποιεί τη σχέση . ( )x+ημx f(x) = x-ημx

ΛΥΣΗ

Για κάθε ισχύει ∗∈x R x-ημxf(x) =x+ημx

.



36

Η f είναι συνεχής στο , οπότε ox =0

→ → → →x 0 x 0 x 0 x 0

x ημx ημx- 1 -x-ημx 1x x xf(0) = limf(x) = lim = lim = lim = = 0.x ημx ημxx+ημx 1+ 1 +x x x

-1+1

Επομένως ⎧ ≠⎪⎨⎪ =⎩

x-ημx , x 0x+ημxf(x) =

0 , x 0

5. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ικανοποιεί τη f : R R→ ox =1σχέση ( ) για κάθε 2x-1 f(x) x -3x+2≤ x R∈ , να βρεθεί το f(1). ΛΥΣΗ Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , ισχύει ox =1 .

+ −→ →x 1 x 1f(1) = limf(x) = lim f(x)

Για κάθε ∈ ∞x (1 , + ) είναι ⇔2x -3x +2x) f(x) x -2,

x -1≤ ≤f(

−

οπότε

(1) + + +→ → →

≤ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤x 1 x 1 x 1limf(x) lim(x 2) limf(x) 1 f(1) 1

Για κάθε ∈ −∞x ( , 1) είναι ≥ ⇔ ≥2x -3x +2x) f(x) x -2,

x -1f(

−

οπότε

(2) + + +→ → →

≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥x 1 x 1 x 1limf(x) lim(x 2) limf(x) 1 f(1) 1

Από (1) και (2) έχουμε ότι −f(1) = 1.

6. Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και για κάθε f : R R,→ ox =0 ικανοποιεί τη σχέση . Να βρεθεί το x R∈ 2 2ημx-x xf(x) ημx+x≤ ≤ f(0). ΛΥΣΗ

Για κάθε είναι ∈ ∞x (0 , + ) ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤2 2ημx-x ημx + x ημx ημxf(x) -x f(x) + x

x x x x.

Είναι +→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠x 0

ημxlim -x =1x

και +→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠x 0

ημxlim + x =1x

, οπότε από το Κριτήριο

Παρεμβολής έχουμε ότι και . +→x 0

lim f(x) =1

Επεδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x = , ισχύει άρα

o 0

+→x 0f(0) = lim f(x)

f(0) =1.



37

7. Έστω συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σχέση f : R R,→ f(x+y) =f(x)+f(y) για x,y R κάθε ∈ (1). Να αποδειχθεί ότι: α) f(0) =0. β) Αν η f είναι συνεχής στο τότε η f είναι συνεχής στο R. ox =0, γ) Αν η f είναι συνεχής στο ox =α , α R,∈ τότε η f είναι συνεχής στο R. ΛΥΣΗ α) Για x=y=0 έχουμε ⇔f(0) = f(0) +f(0) f(0) = 0. (2)

β) Η f είναι υνεχής σ ⇔(2)

(0) σ το οπότε → →x 0 x 0

limf(x) = f limf(x) = 0. (3) ox =0,

ox , Έστω τυχαίο ∈ox R. Αρ να αποδείξ εχής στοκεί ουμε ότι η f είναι συν

δηλαδή →

ox xlim f( (x ). Θέτουμε ox=x +h, οπότε όταν → ox x το →h 0.

o

x) = f

Έχουμε → → →

⎡ ⎤⎣ ⎦o

(1)

o ox x h 0 h 0lim f(x) =limf(x +h) = lim f(x ) +f(h) =

o→ →

(3)

o oh 0 h 0= limf(x )+limf(h) = f(x ) +0 = f(x )

Επομένως η f είναι συνεχής στο R.

γ) Η f είναι συνεχής στο οπότε

→x αlimf(x) = f(α). (4) ox =α,

Έστω τυχαίο ∈ox R. Αρκ α αποδεί f είναεί ν ξουμε ότι η ι συνεχής στο ox ,δηλαδή

→ ox xlim f(x) = f(x έτουμε ox=x +h-α, οπότε όταν → ox x το →h α. o). Θ

Έχουμε o

o

→ → → → →⎡ ⎤⎣ ⎦

o

(1) (4)

o ox x h α h α h α h αlim f(x) =limf(x +h-α) = lim f(h) +f(x -α) =limf(h)+limf(x -α) =

(1)

o o= f(α) + f(x -α) = f(α +x -α) = f(x ).

Επομένως η f είναι συνεχής στο R.



38

Β Α Σ Ι Κ Α Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Ν Ε Χ Ω Ν Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ω Ν Θεώρημα του Bolzano

το διπλανό σχήμα έχουμε τη ούς

να

τέμ ον

ιπόν το παρακάτω

Ε Ω Ρ Η Μ Α

Σ

′′οx ′

οx οx

y

B(β,f(β)

Α(α,f(α)) f(a)

f(β)

O β a

x

γραφική παράσταση μιας συνεχσυνάρτησης f στο [α ,β] . Επειδή τα σημεία A(α,f(α)) κα , f(β)) βρίσκον έρωθ′x x , η γραφική παράσταση της f νει τον άξονα σε ένα τουλάχιστ

ι B(βεν ται εκατ του άξο

σημείο. Ισχύει λοθεώρημα. Θ

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α , : β] . Αν

• η f είναι συνεχής στο [α ,β] και

• ⋅f(α) f(β) < 0

τότε υπ τοάρχει ένα υλάχιστον ∈ο τοιο, ώστε f(xx (α , β) τέ ο) = 0 .

Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον της εξίσωσης ρίζα στο ανοικτό f(x) = 0διάστημα (α , β) .

Α Ρ Α Τ Η Ρ Η Σ Ε Ι Σ

Για να ισχύει το Θεώρημα Bolzano πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο

Αν μια τουλάχιστον από τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzanο δεν

Π

προϋποθέσεις του.

ισχύει, τότε αυτό δε σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι δεν υπάρχει ∈οx (α , β)

τέτοιο, ώστε

οf(x ) = 0 .



39

Το Θεώρημα Bolzano εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση

διαστημάτων.

Το Θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας

της εξίσωσης f(x) = 0 . Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν και

περισσότερες από μία ρίζες, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα.

Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος Bolzano, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δηλαδή η ύπαρξη μιας ρίζας δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της συνάρτησης f στο ούτε ότι οι τιμές και [α ,β] f(α) f(β)

είναι ετερόσημες. Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ 1. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 2x ημx =συνx− έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο διάστημα (0 , ).π

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση − −f(x) =2x ημx συνx, ∈x R και παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στο διάστημα ως άθροισμα συνεχών

συναρτήσεων.

[0 , π]

• ⋅ − ⋅ − −f(0) f(π) = ( 1) (2π +1) = 2π 1 < 0.

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση έχει ⇔ −f(x) =0 2x ημx =συνx

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0 , π) .



40

2. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ⋅x =x συν x

x1

+ π έχει μια τουλάχιστον

θετική ρίζα.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση − ⋅1f(x) = x + x συνπx,x

∈ ∞x (0 , + ) και παρατηρούμε

ότι:

• Η f είναι συνεχής στο , ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών


[1 , 4]

• ⎛ ⎞⋅ ⋅ − = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

7 21f(1) f(4) = 3 0 .4 4

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση ⇔ ⋅1f(x) =0 x + =x συν xx

π έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα δηλαδή μια τουλάχιστον

θετική ρίζα.

(1 , 4) ,

3. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες 56 2219x +3x =2

στο

διάστημα ( 1,1).−

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση 56 22f(x) =19x +3x -2, ∈x R και παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στα διαστήματα −[ 1 , 0] και [0 ως πολυωνυμική. , 1]

• και ( )− ⋅ ⋅ − = − <f( 1) f(0) =20 2 40 0 ( )⋅ − ⋅ = − <(0) f(1) = 2 20 40 0 .f

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση

f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ⇔ 56 2219x +3x =2 −( 1 , 0) και

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα δηλαδή δύο τουλάχιστον ρίζες στο

.

(0 , 1)

−( 1 , 1)



41

4. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση με έχει μια ( )2lnx+ x α =0,− α 1≠

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0 ,1).

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )2f(x) =lnx + x -α , ∈ ∞x (0 , + ).

Είναι , άρα +→

− ∞x 0lim f(x) = <f(x) 0 κοντά στο από μεγαλύτερες τιμές, ox =0

δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (0 με , β) <β 1 τέτοιο, ώστε <f(x) 0 για

κάθε x ( οπότε ∈ 0, β), <f(κ) 0 για ∈κ (0, β).

Παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στο ( ]⊆[κ , 1] 0 , 1 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

• (αφού < >

⋅ ⋅1232

0 0

f(κ) f(1) = f(κ) (1-α) < 0 ≠α 1 ) Ισχύει το Θεώρημα Bolzano,

άρα η εξίσωση έχει μιατουλάχιστον ρίζα στο ( )lnx+ x-α⇔f(x) =0 2=0

διάστημα άρα μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) (⊆κ , 1 0 ), 1 , ( ).10 ,

5. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 8 12x +1 x +2+ =x 1 x 2− −

0 έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα ( 1 ,2). ΛΥΣΗ 1ος τρόπος (γενικός τρόπος)

Θεωρούμε τη συνάρτηση − −

8 12x +1 x +2f(x) = + ,x 1 x 2

∈x (1 , 2).

Είναι , άρα κοντά στο από μεγαλύτερες τιμές, +→

+ ∞x 1limf(x) = 1x =1>f(x) 0

δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής τέτοιο, ώστε για κάθε (1 , α) >f(x) 0∈x (1 , α), οπότε για >f(κ) 0 ∈κ (1, α).

Είναι , άρα −→

− ∞x 2lim f(x) = <f(x) 0 κοντά στο από μικρότερες τιμές, 2x =2

δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής με τέτοιο, ώστε (β , 2) >β α <f(x) 0 για κάθε x ( οπότε ∈ β , 2), <f(λ) 0 για ∈λ (β , 2).



42


• Η f είναι συνεχής στο ( )⊆[κ , λ] 1, 2 ως ρητή συνάρτηση.

• > <

⋅ <0 0

f(κ) f(λ) 0 .

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση ⇔− −

8 12x +1 x +2f(x) =0 + =0x 1 x 2

έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) ( )⊆κ , λ 1, 2 , άρα μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ).1, 2

2ος τρόπος (ειδικός τρόπος)

Για κάθε ∈ −x R 1,2 είναι ( )( ) ( )( ) .⇔8 12

8 12x +1 x +2+ = 0 x-2 x +1 + x -1 x +2 = 0x-1 x -2

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )( )8 1f(x) = x -2 x +1 + x -1 x +2 ,2 ∈R x και παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στο διάστημα [1 ως πολυωνυμική. , 2]

• ⋅ − ⋅ <12f(1) f(2) = ( 2) (2 +2) 0.

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈ξ 1, 2

τέτοιο, ώστε ( )( ) ( )( )( )

( )( )

∈⇔ ⇔

ξ 1 , 2

8 12ξ-1 ξ-28 12 ξ +1 ξ +2f(ξ) =0 ξ-2 ξ +1 + ξ-1 ξ +2 =0 + =0 .

ξ-1 ξ-2

)

(1)

Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός επαληθεύει την

αρχική εξίσωση

(∈ξ 1, 28 12x +1 x +2+ =

x-1 x -20 .

Επομένως η αρχική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1 , 2) .

6. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 2x = x + ασυνx , α R∈π έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ ]0, .π ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση − −2f(x) = x πx ασυνx, ∈x και παρατηρούμε ότι: R

• Η f είναι συνεχής στο [ ]0 , ,π ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.



43

• ⋅ − ≤2f(0) f(π) = α 0 .

Διακρίνουμε περιπτώσεις: ( i ) Αν ≠α 0 τότε ⋅ <f(0) f(π) 0 , οπότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈ 0, πξ f( έτσι, ώστε ξ) = 0.

(i i) Αν τότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται α = 0

( )⇔ ⇔2x = πx x x π = 0 x = 0 ή x= π .−

Επομένως για κάθε η εξίσωση x = έχει μια τουλάχιστον ∈α R 2 πx + ασυνxρίζα στο διάστημα [ ]0 , .π 7. Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη f:[α ,β] R→ ,σχέση Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( )α +1 f(a ) = 0.( )2 2) + β +1 f(βf(x) =0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ ]α , β . ΛΥΣΗ

Είναι ( ) ( ) ⇔ −2

2 22

α +1α +1 f(a) + β +1 f(β) = 0 f(β) = f(a)β +1

(1)

Παρατηρούμε ότι: • Η f είναι συνεχής στο [ ]α , β , από υπόθεση.

• ⋅ − ⋅ ≤22(1)

2α +1f(α) f(β) = f (a) 0 .β +1

Διακρίνουμε περιπτώσεις: ( i ) Αν τότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση ⋅ <f(α) f(β) 0f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) .,βα

(ii) Αν τότε ή , οπότε ρίζα της εξίσωσης είναι το α ή το β.

⋅f(α) f(β) = 0 f(α) = 0 f(β) = 0f(x) = 0 Επομένως η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα f(x) = 0[ ]α , .β 8. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει μια ακριβώς xe + x-2= 0πραγματική ρίζα. ΛΥΣΗ



44

Θεωρούμε τη συνάρτηση xf(x) = e + x-2 , ∈x και παρατηρούμε ότι: R

• Η f είναι συνεχής στο διάστημα ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

[0 , 1]

• ⋅ − ⋅ − − <f(0) f(1) = ( 1) (e 1) =1 e 0.

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση έχει μια ⇔ xf(x) =0 e +x-2 =0

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα άρα έχει μια τουλάχιστον (0, 1),

πραγματική ρίζα.

( ) >x xf (x) = e + x-2 = e +1 0,΄ ΄ άρα η f είναι γνησίως αύξουσα Για κάθε ∈x R είναι

στο R, οπότε η εξίσωση έχει μια ακριβώς πραγματική ⇔ xf(x) =0 e +x-2 =0

ρίζα.

9. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

( )( ) ( )( ) ( )( )α x-β x-γ +β x-γ x-α + γ x-α x-β = 0 με 0 α β γ< < <

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )( ) ( )( )f(x) = α x -β x - γ +β x - γ x -α + γ x -α x -β , ∈x Rκαι παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [ και [ ως πολυωνυμική. α ,β] β , γ]

• και ( ) ( )( )0 0 0 0< > < <

⋅ − <14243123123

2f(α) f(β) = αβ α -β β -γ α -γ 0 ( ) ( )( )0 0 0 0< > > >

⋅ − <14243123123

2f(β) f(γ) = βγ β - γ β -α γ -α 0

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση

( )( ) ( )( ) ( )( )⇔f(x) =0 α x-β x-γ +β x-γ x-α +γ x-α x-β =0 έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

δηλαδή δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες.

(α , β) (β , γ),

Όμως η εξίσωση ( )( ) ( )( ) ( )( )α x-β x-γ +β x-γ x-α +γ x-α x-β =0 είναι

πολυωνυμική 2ου βαθμού, οπότε έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.



45

Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι

και άνισες μεταξύ τους αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

10. Έστω συνεχής συνάρτηση με f:[α ,β] R→ , f(a) f(β).≠ Να αποδειχθεί

ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ox (α , β)∈ τέτοιο, ώστε οκf(α)+λf(β)f(x ) =

κ+λ,

όπου με κ, λ R∈ ⋅κ λ 0.>

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )g(x) = κ+λ f(x)-κf(α)-λf(β), και ∈x [α ,β]

παρατηρούμε ότι:

• Η g είναι συνεχής στο , ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών


[α ,β]

• αφού και ⋅ − − <⎡ ⎤⎣ ⎦2

g(α) g(β) = κλ f(α) f(β) 0, >κλ 0 ≠f(α) f(β).

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈ox (α , β)

τέτοιο, ώστε ( )⇔ ⇔o o οκf(α)+λf(β) .g(x ) =0 κ+λ f(x )-κf(α)-λf(β) =0 f(x ) =

κ+λ

Π Ρ Ο Τ Α Σ Η

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται

σ’ αυτό, δηλαδή για κάθε ≠f(x) 0 ∈x Δ , τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε

∈x Δ ή είναι αρνητική για κάθε ∈x Δ , δηλαδή διατηρεί σταθερό

πρόσημο στο διάστημα Δ.

Απόδειξη

Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, τότε θα υπάρχουν

∈κ , λ Δ <κ λμε τέτοια, ώστε ≤f(κ)f(λ) 0.



46

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν =f(κ)f(λ) 0 τότε =f(κ) 0 ή =f(λ) 0 που είναι άτοπο γιατί ≠f(x) 0 για κάθε

∈x Δ .

Αν < και επειδή η f είναι συνεχής στο ⊆ ισχύει το

Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈ έτσι, ώστε

=f

f(κ)f(λ) 0 [κ , λ] Δ

ξ (κ, λ)

(ξ) 0, που είναι άτοπο γιατί ≠f(x) 0 για κάθε ∈x Δ . Άρα η f διατηρεί

σταθερό πρόσημο στο Δ.

Σ Χ Ο Λ Ι Ο Από το θεώρημα του Bolzano και την προηγούμενη Πρόταση προκύπτει ότι:

Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα

διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

x

y

ρ5 ρ4 ρ3 ρ2 ρ1

+

− − +

− +

Ο

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f. β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ 1. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f(x)=ημ2x- 2συνx , για τις διάφορες τιμές του x [0 , ].∈ π



47

ΛΥΣΗ Βρίσκουμε τις ρίζες της f. •

Είναι ( )⇔ ⇔ ⇔f(x)=0 ημ2x- 2συνx =0 2ημxσυνx- 2συνx =0 συνx 2ημx- 2 =0⇔

⎧ ⎧⎧⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩⎪⎩

π x =κπ + συνx = 0 συνx = 0 2 ή ή ή , κ Z

π π 3π2 ημx =ημ x =2κπ + ή x =2κπ + ημx = 4 4 42

∈

Επειδή ∈x [0 , π] οι ρίζες της εξίσωσης είναι: πx =4

, πx =2

και 3πx =4

.

• Οι ρίζες της f χωρίζουν το διάστημα [0 στα υποδιαστήματα: , π]

⎡ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

π π π π 3π 3π0 , , , , , , , π .4 4 2 2 4 4

⎤⎦

Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε ένα •

τυχαίο αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

Στο διάστημα ⎡ ⎞⎟

π0 , ,4

επιλέγουμε τον αριθμό ⎢⎣ ⎠π6

και έχουμε:

−⎛ ⎞ − − ⋅ <⎜ ⎟⎝ ⎠π π π 3 3 3 6f =ημ 2συν = 2 =6 3 6 2 2 2

0,

άρα για κάθε <f(x) 0 .⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠πx 0 ,4

Στο διάστημα ⎛ ⎞⎜ ⎟π π, , επιλέγουμε τον αριθμό

⎝ ⎠4 2π3


−⎛ ⎞ − − ⋅ >⎜ ⎟⎝ ⎠π 2π π 3 1 3 2f =ημ 2συν = 2 =3 3 3 2 2 2

0,

άρα για κάθε >f(x) 0 .⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠π πx ,4 2

Στο διάστημα ⎛ ⎞⎜ ⎟

3π, , επιλέγουμε τον αριθμό ⎝ ⎠π2 4

2π3




48

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2π 4π 2π 3 1 3 2f =ημ 2συν = 2 =3 3 3 2 2 2

0,

άρα για κάθε <f(x) 0 .⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠π 3πx ,2 4

Στο διάστημα ⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦34π , π , επιλέγουμε τον αριθμό 5π

6 και έχουμε:

⎛ ⎞ − +⎛ ⎞ − − − ⋅ − >⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5π 5π 5π 3 3 3 6f =ημ 2συν = 2 =6 3 6 2 2 2

0,

άρα για κάθε >f(x) 0 .⎛ ⎤∈⎜ ⎥⎝ ⎦3πx , π4

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. •

Δ ι ά σ τ η μ α

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

π0 ,4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π π,4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π 3π,2 4

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦3π , π4

Ε π ι λ ε γ μ έ ν ο ς α ρ ι θ μ ό ς

ox

π6

π3

2π3

5π6

( )of x

−3 62

−3 22

− +3 22

− +3 62

Π ρ ό σ η μ ο

−

+

−

+

2. Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη

σχέση

f:R R,→

για κάθε 3 2 6f (x)-3x f(x) + x +1= 0 x R∈ (1).



49

α) Να αποδειχθεί ότι f(x) 0≠ για κάθε x R∈ .

β) Να βρεθεί το f(0).

γ) Να αποδειχθεί ότι f(x) 0< για κάθε x R∈ .

ΛΥΣΗ

α) Έστω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈ox R τέτοιο, ώστε (2). of(x ) = 0

Για x = από την (1) έχουμε: ox

⇔ ⇔ −(2)

3 2 6 6 6o o o o o of (x ) -3x f(x ) + x +1 = 0 x +1 = 0 x = 1

το οποίο είναι άτοπο, άρα ≠f(x) 0 για κάθε ∈x R .

β) Για x = από την (1) έχουμε: 0

⇔ − ⇔3 3f (0) +1 = 0 f (0) = 1 f(0) = 1−

γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο R, οπότε διατηρεί

σταθερό πρόσημο στο R. Επειδή − <f(0) = 1 0 συμπεραίνουμε ότι <f(x) 0 για

κάθε ∈x R.

3. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f: η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις R R,→ και για κάθε f(1) 1> 2 xf (x)-2xf(x)-e = 0 x R.∈ ΛΥΣΗ Για κάθε ∈x R έχουμε: ⇔ ⇔2 x 2 xf (x) -2xf(x) - e = 0 f (x) -2xf(x) = e

( )⇔ ⇔22 2 x 2f (x) -2xf(x) + x = e + x f(x) - x = e + xx 2

2

(1) , όπου g( ⇔ 2 xg (x) = e +x x) = f(x) -x.

Για κάθε ∈x R είναι και επειδή η

συνάρτηση g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο

στο R.

> ⇔ > ⇔ ≠x 2 2e +x 0 g (x) 0 g(x) 0



50

Για έχουμε οπότε g( για κάθε x =1 >g(1) = f(1) -1 0, >x) 0 ∈x R .

Αφού για κάθε >g(x) 0 ∈x R, από (1) ισοδύναμα έχουμε ⇔x 2g(x) = e +x

⇔x 2 x 2f(x) -x = e +x f(x) = x + e +x , ∈x R .

• Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και

είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ . Αν: α ,β]

• η f είναι συνεχής στο [ και α ,β]

• ≠f(α) f(β)

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, f(α) f(β)τουλάχιστον τέτοιο, ώστε . ∈οx (α , β) οx ) =ηf(

Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι , τότε θα <f(α) f(β)

ισχύει θεωρούμε τη < <f(α) η f(β).

συνάρτηση , –g(x) = f(x) η ∈x [α ,β].


• Η g είναι συνεχής στο [ και α ,β]

• . ( ) ( )⋅ ⋅14243 14243

g(α) g(β) = f(α) -η f(β) -η 0<0 >0

<

′′οx ′

οx οx

y

B(β,f (β))

Α(α,f (α)) f(a)

f(β)

η

β a

y=η

x O

Ισχύει λοιπόν το θεώρημα Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

∈οx (α , β) τέτοιο, ώστε ⇔ ⇔ο ο οg(x ) = 0 f(x ) -η = 0 f(x ) =η .



51

ΣΧΟΛΙΟ

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα , τότε δεν

παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

[α ,β]

• Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι:

Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής f(Δ)συνάρτησης f είναι διάστημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο , τότε η f παίρνει στο μια [α ,β] [α ,β]

μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Δηλαδή, υπάρχουν τέτοια, ώστε, ∈1 2

x ,x [α ,β]

y

[ ] O β a x x1 x2

Μ

m m Μ

αν και , να ισχύει 1

m = f(x )2

M = f(x )

, για κάθε ≤ ≤m f(x) M ∈x [α ,β] .

ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω Θεώρημα και το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ είναι το κλειστό διάστημα [m , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

α ,β], M]

Επομένως:

• Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το , δηλαδή το σύνολο τιμών της για το διάστημα αυτό δίνεται στον παρακάτω πίνακα.

f(Δ) f



52

Δ

[α , β]

[ )α , β

( ]α , β

(α , β)

( ) ( )⎡ ⎤⎣ ⎦f α , f β

→

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠-x β

f(α) , limf(x)

→

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦+x αlim f(x) , f(β)

f(Δ)

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ -x α x β

limf(x) , lim f(x)

Δ

( ]∞- , α

∞(- , α)

[ )∞α , +

∞(α , + )

( → ∞

⎤⎥⎦x -

lim f(x) , f(α)

f(Δ)

→ ∞ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠-x - x α

lim f(x) , lim f(x)

)→ ∞

⎡⎢⎣ x +f(α) , lim f(x)

→ ∞→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ x +x α

limf(x) , lim f(x)

Δ

∞ ∞(- , + )

f(Δ) ( )→ ∞ → ∞x - x +

lim f(x) , lim f(x)

• Aν μια συνάρτησ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το f(Δ) , δηλαδή το

η f σύνολο τιμών της για το διάστημα

αυτό δίνεται στον παρακάτω πίνακα. f

Δ

[α , β]

[ )α , β

( ]α , β (α , β)

f(Δ)

( ) ( )⎡ ⎤⎣ ⎦f β , f α

→

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦-x βlim f(x) , f(α)

→

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠+x α

f(β) , limf(x)

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠- +x β x α

lim f(x) , limf(x)



53

Δ

( ]∞- , α

∞(- , α)

[ )∞α , + ∞(α , + )

f(Δ)

)→ ∞

⎡⎢⎣ x -f(α) , limf(x)

→ ∞→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠- x -x α

lim f(x) , lim f(x)

( → ∞

⎤⎥⎦x +

lim f(x) , f(α)

→ ∞ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+x + x α

lim f(x) , limf(x)

Δ ∞ ∞(- , + )

f(Δ)

( )→ ∞ → ∞x + x -lim f(x) , limf(x)

Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ

1. νάρτηση f: R με ( )f -1 =1, η οποί η σχΈστω συνεχής συ R→ α ικανοποιεί τ έση

για κάθε f(f(x))+x6 f(x) =0 x R∈ . Nα βρεθούν οι τιμές ( )f 1 και ( )f 0 .

Η ΛΥΣ

Για ό τη δοθείσα σχέση έχουμε:

x = –1 απ

⇔ ⇔1) = 0 f(1) +1 = 0 f(1) = -

Είναι ( ) ( )< <f 1 = -1 0 1 = f -1 και η f είναι συνεχής στο

6f(f(-1))+(-1) f(- 1

[ ] -1 , ε από

Εν

1 ,

ένα ∈ο

οπότ

Θεώρημ θα υπάρχει τουλάχιστον τέτοιο, ώστε

Για πό τη δοθείσα σχέση έχουμε:

α διαμέσων Τιμών

( )x -1 , 1

οf(x ) = 0.

οx = x α

⇔ ⋅ ⇔6 6ο ο ο οf(f(x ))+x f(x ) = 0 f(0) +x 0 = 0 f(0) = 0.



54

2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση [ ]→f: 0 ,1 R με ( )f 0 =1 και ( )f 1 =3, η

κάθεοποία ικανοποιεί τη σχέση 3f (x)-4f(x) 2= x +1 για [ ]x 0∈ ,1 . Nα αποδειχθεί

ότι η f δεν είναι συνεχής.

ΛΥΣΗ

Υποθέτ ι συνεχής συνάρτηση.

Είναι ( ) ( )≠1 = f 0 f 1 =3 και επειδή η f είναι συνεχής στο [

ουμε ότι η f είνα

] 0 , 1 , ισχύει το

α Εν ων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλε ς μεταξύ των

αι

Θεώρημ ς διαμέσ

κ

τις τιμέ

( )f 0 =1 ( )f 1 =3 , άρα

θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε

Για τη δοθείσα σχέση έχουμε:

Η εξίσωση όμως είναι αδύνατη στο R, άρα και στο διάστημα

∈ο ( )x 0 , 1

οf(x ) = 2.

οx = x από

⇔ ⋅ ⇔3 2 3 2 2ο ο ο ο οf (x = x +1 2 -4 2 = x +1 x +1 = 0.

2

) -4f(x )

οx +1 = 0 ( )0, 1 , οπότε η f δεν είναι συνεχής.

όλες τις συνεχείς εις οι οποίες ικανοποιούν

3. Να βρείτε συναρτήσ R f: R,→

τη σχέση για κάθε . 2f (x)-4f(x)-5=0 x R∈

ΛΥΣΗ 1ος τρόπος

( )( )4f(x) -5 = +1 = 0, άρα για Για κάθε ∈x R είναι ⇔2f (x) - 0 f(x) f(x) -5 ∈οx R ισχύει ( )( )ο οf(x )+1 f(x )-5 =0 , οπότε ή −οf(x ) = 1 ή οf(x ) =5 , (επειδή μια συνάρτηση

σε ένα οx δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει άρτηση f στο -1 ή το 5. η συν οx είναι ή το

∈x R Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε ισχύει ή ή , δηλαδή

η f είναι σταθερή συνάρτηση.

−f(x) = 1 f(x) =5



55

Αν υπο υμε ό υν 2 (χ της νικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι

θέσο τι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχο

∈1 2x , x R με ωρίς βλάβη γε≠1x x <1 2x x ),

Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνεχής στοτέτοια ώστε −1f(x ) = 1 και 2f(x ) =5 .

[ ] 1 2x , x και ,

άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές

μεταξύ τω ι α τουλάχιστον που είναι άτοπο.

− ≠1 21 = f(x ) f(x ) =5

ν −1f(x ) = 1 κα 5 , οπότε θα υπάρχει έν 2f(x ) =

οf(x ) =2 ( )∈ 1 2x , x τέτοιο, ώστε οx

∈x R Επομένως ή −f(x) = 1 για κάθε ή για κάθε ∈x R .

ος τρόπος

f(x) =5

2 Για κάθε είναι

⇔

∈x R ⇔ ⇔2 2 2(x) -4f(x) -5 = 0 f (x) -4f(x) =5 f (x) -4f(x) + 4 =9 f

( )⇔ ⇔

2 2f(x) -2 =9 g (x) =9 (1) , όπου g(x) = f(x) -2. Για κάθε ∈x R είναι > ⇔ ≠2g (x) 0 g(x) 0 και επειδή η συνάρτηση g είναι υνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. σ

Άρα για κάθε είναι∈x R θα ή <g(x) περιπτώσεις: 0 ή >g(x) 0. Διακρίνουμε

• Αν για κάθε ∈x R είναι <g(x) 0 , τότε από (1) έχουμε

− ⇔ − ⇔g(x) = 3 f(x) -2 = 3 f(x) = 1 .− • Αν για κάθε είναι >g(x) 0 , τότε από (1) έχουμε

∈x R ⇔ ⇔g(x) =3 f(x) -2 =3 f(x) =5.

∈x R Επομένως ή −f(x) = 1 για κάθε ή για κάθε ∈x R .

f(x) =5



56

4. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1f(x) =ημx

x− , ⎛ ⎤

⎜ ⎥⎝ ⎦2

α

πx 0 , .∈

β) Ν αποδείξετε ότι η εξίσωση xημx=1 x− έχει μια ακριβώς ρίζα στο ⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

π0 , .2

ΛΥΣΗ

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

π= 0 , ,2

ως α) Η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ διαφορά συνεχών.

⎛ ⎤∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦1 2

πx , x 0 ,2

Για κάθε με <1 2x x είναι:

1 11 1 1 1

+< <⎧ ⎧

⎪ ⎪⇔ − < − ⇔⎨ ⎨> − < −⎪ ⎪

<⇒1 2 1 2

1 2 1 21 2

ημx ημx ημx ημxημx ημx f(x ) f(x ) ,

x xx x x x

⎩ ⎩1 2 1 2

άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

π0 , .2

Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι

→

⎛ ⎤ ⎛ ⎤⎛ ⎞ ∞⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎥ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎦⎝ ⎦+x 0

π π -22 π

f(Δ) = lim f(x) , f = - , .

β) Για κάθε ⎛∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦πx 0 ,2

⎤ είναι:

−− ⇔ ⇔ − ⇔ − − ⇔ −

1 x 1 1xημx =1 x ημx = ημx = 1 ημx = 1 f(x) = 1x x x

.

Ο αριθμός , άρα θα υπάρχει ένα − ∈1 f(Δ) ⎛ ⎤π και μάλιστα ∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦

ξ Δ = 0 ,2

μοναδικό, αφού γνησίως αύξουσα στο Δ τέτοιο, ώστε

Επομένως η εξίσωση

η f είναι− ⇔ −= 1 ξημξ =1 ξ . f(ξ)

− ⇔ −f(x) = 1 xημx =1 x έχει μια ακριβώς ρίζα στο

⎛ ⎤⎜⎝ ⎥⎦

π0 , .2

⎡5. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης , 2f(x) =εφx+x ⎞⎟⎢⎣ ⎠

πx 0 , .2

∈

⎡ β) Να λύσετε την εξίσωση ( )2x +1 συνx+ημx=0 στο ⎞⎟⎢⎣ ⎠

π0 , .2



57

ΛΥΣΗ

α) Η f είναι συνεχής στο διάστημα ⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

π= 0 , ,2

Δ ως άθροισμα συνεχών.

Για κάθε ⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠1 2

πx , x 0 ,2

με <1x x2 είναι:

2 22 2 1 2

1 2

+<⎧⎪ + < + ⇔ <⎨<⎪⎩

⇒1 2

1 2 1 2

εφx εφxεφx x εφx x f(x ) f(x ) ,

x x

άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ⎡ ⎞

⎟⎢ ⎠π0 , .2

⎣

Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι ( ) [ )→

⎡ ⎞∞⎟⎢ ⎟⎢⎣ ⎠

-πx2

f(Δ) = f 0 , lim f(x) = 0 , + .

β) Για κάθε ⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠

πx 0 ,2

είναι:

( ) ( )•

•

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔2 2 2 2συνx

x +1 συνx+ημx =0 x +1 συνx = ημx x +1= εφx εφx+x = 1 f(x) = 1.−

Ο αριθμός , άρα δεν υπάρχει − ∉1 f(Δ) ⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠π= 0 ,2

ξ Δ τέτοιο, ώστε f(ξ) = -1.

Επομένως η εξίσωση ( )− ⇔ 2f(x) = 1 x +1 συνx +ημx = 0 είναι αδύνατη στο ⎡ ⎞

⎟⎢⎣ ⎠π0 , .2

6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]α , β και [ ]ν1 2x ,x ,...,x α , β∈ . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ]ξ α τέτοιο, ώστε , β∈

ν1 2f(x )+f(x )+...+f(x )

f(ξ)= .ν

…… ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]α , β , οπότε ισχύει το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης Τιμής, άρα η f παίρνει στο [ ]α , β μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m και ισχύει ≤ ≤m f(x) M για κάθε ∈x [α ,β] . Επομένως για [ ]∈ν1 2

x ,x ,...,x α , β έχουμε:



58

......

......................

+

≤ ≤ ⎫⎪

+ +≤ ≤ ⎪≤ + + ≤ ⇔ ≤⎬

⎪⎪≤ ≤ ⎭

⇒

1

ν1 22ν1 2

ν

m f(x ) Mf(x ) +f(x ) f(x )m f(x ) M

νm f(x ) +f(x ) f(x ) νM m Mν

m f(x ) M

≤

Διακρίνουμε περιπτώσεις: • Αν , τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Έστω ότι , m =M f(x) = c ∈c R , τότε ισχύει , οπότε ν1 2

f(x ) = f(x ) = ... = f(x ) =c m =c =M.

Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει [ ]∈ξ α , β τέτοιο, ώστε c+c+...+c νcf(ξ) = = =c,

ν ν

που ισχύει για οποιοδήποτε [ ]∈ξ α , β . • Αν , τότε το σύνολο τιμών της f είναι ( ) [[ ] ]<m M f α , β = m, M και επειδή

ο αριθμός ν1 2f(x )+f(x )+... +f(x )

ν ανήκει στο σύνολο τιμών της f θα υπάρχει

ένα τουλάχιστον [ ]∈ξ α , β τέτοιο, ώστε ν1 2f(x )+f(x )+... +f(x )

ξ) = .ν

f(

7. Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]α , β . Να αποδείξετε

ότι υπάρχει μοναδικό ( )ξ α , β∈ τέτοιο, ώστε ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ 2α+βf(α)+

⎠ξ)=f(β)+f

3f( . ……

ΛΥΣΗ Είναι < <

α +βa β2

και επειδή η f είναι και γνησίως αύξουσα στο [ ]α , β θα

ισχύει ⎛ ⎞< <⎜ ⎟⎝ ⎠α +β

2f(a) f f(β) , οπότε έχουμε:

+

< ⎫⎪⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞< < < <⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪< ⎭

⇒α +β α +β2 2

f(a) = f(a) f(β)

f(a) f f(β) 3f(a) f(a) + f +f(β) 3f(β)

f(a) f(β) = f(β)

⇔

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⇔ < <2

α +β f(a) + f +f(β)f(a) f(β)

3



59

Η f είναι συνεχής στο [ ]α , β και ≠f(a) f(β) , οπότε ισχύει το Θεώρημα

Ενδιαμέσων Τιμών. Επειδή ο αριθμός ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠αf f(a)+ +β2

+f(β)

3 είναι μεταξύ των

και f( , θα υπάρχει ένα

f(α)

β) ( )∈ξ α , β και μάλιστα μοναδικό, αφού η f είναι

γνησίως αύξουσα στο [ ]α , β τέτοιο, ώστε ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠α +βf

2 f(a)+ +f(β)

f(ξ) =3

.

8. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ )f: 0 , 4 R→ με ( )f 0 =1, , ( )f 1 =3 ( )f 3 = 2− και

Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο x 4lim f(x) =2.

−→f [ ]0,1 , γνησίως φθίνουσα

στο [ ]1,3 και γνησίως αύξουσα στο [ )3,4 , τότε να βρείτε:

α) Το σύνολο τιμών της f.

β) Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης στο διάστημα [ f(x) =0 ) .0,4

ΛΥΣΗ

α) Διακρίνουμε περιπτώσεις: • Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]

1Δ = 0 , 1 , οπότε είναι

( ) ( ) ( ) [ ].⎡ ⎤⎣ ⎦1f Δ = f 0 , f 1 = 1 , 3

• Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [ ]

2Δ = 1 , 3 , οπότε είναι

( ) ( ) ( ) [ ].−⎡ ⎤⎣ ⎦2f Δ = f 3 , f 1 = 2 , 3

• Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , οπότε είναι [ )

3Δ = 3, 4

( ) ( ) ) [ ).→

⎡ −⎣ -3 x 4f Δ = f 3 , lim f(x) = 2 , 2

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης , όπου είναι: →f :Δ R [ )Δ = 0 , 4 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] .= −U U

1 2 3f Δ = f Δ f Δ f Δ 2, 3

β) Διακρίνουμε περιπτώσεις: • Το 0 f άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο διάστημα ( ) [ ]∉

1Δ = 1 , 3 , f(x) = 0



60

[ ]1

Δ = 0 , 1 . • Το 0 f άρα η εξίσωση έχει μια λύση στο

διάστημα

( ) [ ]∈ −2

Δ = 2 , 3 , f(x) = 0

[ ]2

Δ = 1 , 3 και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

2

Δ .

• Το 0 f άρα η εξίσωση f( έχει μια λύση στο

διάστημα και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο

Επομένως η εξίσωση f( έχει δύο ακριβώς λύσεις στο διάστημα

( ) [ )∈ −3

Δ = 2 , 2 , x) = 0

[ )3

Δ = 3, 4

3Δ . x) = 0 [ )0 , 4 .



61

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 41. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β , ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.

i) 3 2 3 , 11( )

11 , 1

x x xxf x

x xa

μο + -ο <οο -= νοοο + ³οξ

ii) 2

, 1 ( ) 3 1 , 1

3 , 1

x xf x x

x x

a baa b

μο + <οοο= - = -νοοο - >ο

-

-ξ

iii)

3 , 0( ) , 0

2 3 2 , 0

x xxf x x

x x x

hm

a

μοο <οοο= ν =οοοο + + >οξ

iv)

2 ( 1) 6 , 33( )

7 , 3

x x xxf x

x

a bμο + - +ο Ήοο -= νοοο =ο

ξ

v)

3

2

( 8) , 22

( ) 2 , 2

3 4 4 , 22 4

x xx

f x x

x x xx

a

a b

μ -ο <οο -οοοοοοοο= ν + =οοοοοοο - -ο >οο -οξ

2. Δίνεται η συνάρτηση

2 ,

( )

,

x x xx

f xx x

hm a pp

a b p pp

μοο + - <οο -οοο= νοοοο + - ³οοοξ

4



62

Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της να

τόπος των σημείων Μ(α,β).

43. Αν για κάθε

βρεθεί ο γεωμετρικός

κοντά στο 0 ισχύει ( ) 8 4 16x x f x xhm + £ £ + - x( ) , 0f x x

μοο( )g x x

Ήο= νοο αποδείξτε ότι η συνάρτηση

2 , 0x =οξ

είναι συνεχής στο 0 .

Όπου f συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R. 44. Η συνάρτηση f είναι ορισμ ιεί τις συνθήκες ένη στο R και ικανοπο

2

2

lim 2x

k R®

= Ξ-

και (2) 4( )x f xx+ f = - . Αποδείξτε ότι η συν fάρτηση

είναι συνεχής στο 2 .

45. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

f για την οποία ισχύει ( )0 1 1x x x® + -

( )lim 2f x xhm = .

Αποδείξτε ότι (0) 0f = . 46. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R για

2( ) ( ) 1xf x f x x- = - , για κάθε 1 την οποία ισχύει

xΉ . Αποδείξτε ότι (1) 2f = .

7. Δίνεται συνάρτηση

4 f ορισμένη και συνεχής στο R για την οποία ισχύει ( ) 2xf x x xhm+ = . βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.

Να

8. Δίνεται συνάρτηση 4 f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει ( ) ( ) )(f x y f x f y+ = + , για κάθε ,x y RΞ . Αν η συνάρτηση f είναι

R.

συνεχής στο 0 , αποδείξτε ότι είναι συνεχής σε όλο το

2 , 01 2( )

x

xο +ο= ν49. Έστω η συνάρτηση

xeοοο , 0

x

xf

x

μοο £ο

>

1 xeο +οξ



63

α) Αποδείξτε ότι η

f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

.

β) Αποδείξτε ότι lim 1x x

( ) 0 , lim ( )f x f x® - ¥ ® + ¥

= =

50. Έστω συνάρτηση f ν:

Είναι συνεχής στο 1 , είναι περιττή και

ορισμένη στο R , για την οποία ισχύου

1

( ) 5lim 10 1x x®

=-

.

Αποδείξτε ότι : α

f x -

) (1) 5f = . β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο -1.

γ) 1

lim 101x x® -

=+

. ( ) 5f x +

αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ως προς

), 2

x xphm hma- = -x 51. Να έχει μία

λάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα 0,2pζ ωη ϊηη ϊθ ϋ

. του

52. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον

3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

( ) 11 2 1xx ++ = πραγματική ρίζα στο διάστημα (-1,0).

2000 20011 2 01

52-

x xx x

+ ++ =-

έχει μία τουλάχιστον

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει δύο τουλάχιστον

(-1,1).

πραγματική ρίζα στο διάστημα (1,2).

3 23 1x x- + =5 πραγματικές ρίζες στο διάστημα 55. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β] και ισχύει

( ) ( )2 21 ( ) 1 )a f a fb b+ + + 0= , να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0f x = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α , β]. 56. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και ισχύει

0 ( ) 1f x£ £ για κάθε [0,1]xΞ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα 2 2

τουλάχιστον

τέτοιο ώστε να ισχύει 00 [0,1]x Ξ 0 0 0( ) ( )f x f x x+ = + x .



64

7. Αν α , β θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να αποδείξετε ότι η εξίσωση x

5

a xs un b+ = , έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα , που δεν υπερβαίνει τον

η συν

a b+ . 58. Αν άρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,3] με (1) 0f Ή , να

ει αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (1,3)x Ξ τέτοιο ώστε να ισχύ0

0

( ) (1)f (3) 1 2

x fx

+=-

η

f .

2 2001

2 2xe

x x+ =

- -, έχει μί59. Να αποδείξετε ότι εξίσωση 4 5x - α τουλάχιστον

0. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

πραγματική ρίζα. 6 f :[α,β]® [α,β] , Να 0ab > .

αποδείξετε ότι υπάρχει [ ,a ]x bΞ , τέτοιο ώστε ( )fax b

x= .

61. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση , έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (0,2).

3 1 0x x+ - =

62. Αν η συνάρτηση f είνα ς και γνησίως στι συνεχή φθίνουσα ο διάστημα με f (e)=e , να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ln 2f x x x= + [1,e] έχει

ημα (1,e).

3. Αν η συνάρτηση

μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστ 6 f είναι συνεχής στο διάστημα [0,π/2] και f (0)= f (2),

να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( ) (2 )f x f xs un hm= - , έχει μία τουλάχιστον ι

4. Αν η συνάρτηση

ρίζα στο δ άστημα [0,π/2]. 6 f είναι συνεχής στο διάστημα [1,2] με f (2)Ή6 και f (1) + f (2)=8 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,2x Ξ τέτο ιο

0

0 ) , ώστε να είναι 2

0 0( )f x x= + x .

5. Έστω συνάρτηση

6 f ορισμένη και συνεχής στο σύνολο R για την οποία ισχύει 2 4 2 2( ) 5 2x f x x xhm- = - , για κάθε x x RΞ .



65

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

f . β) Να υπολογίσετε το lim ( )f x

x® - ¥

γ) Αποδείξτε ότι η ίσωση ( ) 0

.

εξ f x = έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

66. Έστω η συνάρτηση ( )( ) 28

f x hm p= -3

5 , [ 2,2]x x x+ Ξ - . Να εξετάσετε

αν η f παίρνει την τ ιμή 11/2.

67. Η συνάρτηση

f είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και η γραφική της πό το σημείο Α(0,3). Έστω ότι ισχύει παράσταση διέρχεται α

1

( ) 1lim 5f x - = . Αποδείξτε ότι f 1x x® -

η γραφική παράσταση της τέμνει την

ευθεία με εξίσωση σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο

1y x= + διάστημα (0,1). 68. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [-4,4] και υποθέτουμε ότι

χύει ισ ]20041 17- = . Αποδείξτε ότι η [2 ( )x f x+ f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστη . μα (-4,4)

9. Η συνάρτηση 6 f είναι συνεχής στο R και υποθέτουμε ότι ισχύει

[ ]5 3( ) ( ) 2f x f x x x+ = + - , για κάθε x RΞ . Αποδείξτε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι συνάρτηση 1-1. β) Ισχύει ( ) 0f x < , για κάθε x ( 1,1).Ξ - 70. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα (1,+ ¥ ) .

Υποθέτουμε ότι ισχύει: 2) 1 1(1

f x - - - , για κάθε x xΞx

=+

(1, )+ ¥ .

ότι η συ Αποδείξτε νάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα .

71. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις

(1, )+ ¥

f , g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες x για κάθε ισχύει ( ) ( ) 1f xe g x+ = - x RΞ . Α παράσταση ν η γραφική της

f τέμνει τον άξονα 'x x σε δ ο σημεία Α και Β εκατέρωθεν της αρχής τωνύ αξόνων α αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα

g , ν

'x x σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των Α , Β .



66

72. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύου, ν f ( ) 0f x = .(0 σης ) = -1 , και -1 , 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσω Να

υπολογίσετε το 3

2

(2) 5 13lim27x

x f xx® + ¥

- ++

.

73. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστη . μα [0,2]

ρχει ένα τουλάχιστον Αποδείξτε ότι υπά x (0,2)Ξ ώστε να ισχύει

(0) (1) (2)( )

3f f ff x + += .

74. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ύ το διάστημα [α ορισμο ,β].

η f 1 2 3x x x< < Ξ Αν είναι γνησίως αύξο α καιυσ [α,β], αποδείξτε ότι υπάρ- χει x Ξ (α,β) , τέτοιο ώστε 3( ) ) 6 ( )1 22 ( ) 3 (f x f x f x f x+ + = .

75. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,7) για την

ισ οποία χύει 2 2 ( ) 7x f x x+ = , για κάθε (0,7)xΞ . α i) Η εξίσωση

α) Να ποδείξετε ότι: ( ) 0f x = δεν έχει πραγματικές ρίζες στο διάστημα (0,7).

ii) H

f έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα (0,7). f β) Αν είναι γνωστό ότι ισχύει (1) = 6- , να βρεθεί ο τύπος της f .

f γ) Να γίνει η αση της γραφική παράστ .



67

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Κεφάλαιο 1Ο ΙΙ. ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ 11. Σ 21. Λ 32. Σ 2. Λ 12. Λ 22. Σ 33. Σ 3. Λ 13. Σ 23. Σ 34. Λ 4. Σ 14. Λ 24. Σ 35. Σ 5. Σ 15. Σ 25. Σ 36. Σ 6. Λ 16. Σ 26. Σ 37. Σ 7. Λ 17. Λ 27. Λ 38. Λ 8. Λ 18. Σ 28. Σ 39. Σ 9. Σ 19. Σ 29. Σ

1 0. Λ 20. Σ 30. Σ 31. Σ

Απαντήσεις - υπ ς στις οδείξει ασκήσεις

2. α) ε

γ ζ

2 + ¥ ) + ¥ β) Δεν υπάρχει στ) + ¥ ) + ¥ ) - ¥

¥ δ) - η) Δ

εν υπάρχει

επαλήθευση ).

( ευση .

(

υση ).

24. α =1 , β= -2 ( Να μη ξεχνάμε την 25. α=6 Να μη ξεχνάμε την επαλήθ ) 26. α=4 Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 27. λ=5 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 28. λ= -9 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 29. α=4 , β=22 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθε



68

Αν α>2 είναι

32. Αν 0<α<2 είναι lim 4

x= -

® + ¥

Αν α=2 είναι lim 1

x= -

® + ¥

lim ax

=® + ¥

35. Αν μ>-1 είναι lim

x= + ¥

® - ¥

32

limx

=® - ¥

Αν μ= -1 είναι

xΑν μ<-1 είναι

7. α= -1 , β= -1

α=1 , β=4

iii) α=3

iv) α=3 , β= -10

v) α=1/6 , β=5/3 .

2.

7.

lim = - ¥® - ¥

36. λ= -3 , μ= -1

3 38. α= 1/2 , β=2 39. 41. i) α= -6 ii) α=1/2 , β=1 4 1 0x y- + =

4 2x hm-μοοο , 0

( )

, 0

xx

f x xx

Ή=

=ν

1 οοοξ

Πρέπει

48. lim ( ) ( )0

0f x f x

x x=

® , για κάθε 0x RΞ .

lim ( ) lim ( )0 00 0

f x f x xx x x x

= - +® ®

x , εφαρμόζουμε τη συναρτησιακή σχέση κ.λ.π.

1 , 52 , 53. Εργαζόμαστε με το θεώρημα Bolzáno . 5



69

άνουμε διάσπαση του διαστήματος κ

6 , 57 , 58 , 59 , 60. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno.

1. Το ακριβώς μία ρίζα το αποδεικνύουμε με την μονοτονία …

τηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno.

5. α)

54. Κ αι εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno . 55. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno. 5 6 62 , 63 , 64. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρ

6

222 xhmμοο

21 5 , 0( )

1 , 0

x xf x

x

- + Ή=

- =

ο

οxνοοξ

β)

66. Αρκεί να υπάρχει τέτοιο ώστε

+ ¥

0 ( 2, 2)x Ξ - 011

( )2

f x = … εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno.

ορούμε να εργαστούμε και με το θεώ ν .

7. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,1).

(Μπ ρημα ενδιαμέσων τιμώ )

6

( ) 1f x x= +

68. Έστω ότι η f δεν θερό πρόσημο . άρχουν 1 2, ( 4, 4)x x Ξ - τέτοια ώστε διατηρεί στα Τότε θα υπ

σε άτοπο ). 1 2( ) ( ) 0f x f x < . ( Έργαζόμαστε με το θεώρημα Bolzáno και καταλήγουμε

69. α) Έστω 1 2( ) ( )f x f x= άρα και [ ]5( )f x προσθέτουμε και προκύπτει [ ]51 2( )f x =

β) Αποδεικνύουμε ότι η

3 31 1 2 22 2x x x x+ - = + - κ. λ. π.

f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-1,1) και για x=0 είναι f (0)<0.

72. Βρίσκουμε f (2)<0 . Το όριο είναι - ¥ . 73. Εργαζόμαστε με το Θ.Ε.Τ. ( Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ).

5. β)

2( ) 7 , (0, 7)f x x x x= - - Ξ . 7

ΣΧΟΛΙΟ: Ως γνωστόν το lim xx

hm® ± ¥

δεν ορίζεται . Το limx

x x

hm ορίζεται και είναι ίσο με το

ηδέν. Απόδειξη:

® ± ¥μ

1x 1 1x

x x

1lim 0Ισχύει

x x£ άρα

hm

x- και επειδή

hm£ £

x® σύμφωνα με το κριτήριο

x=

± ¥

παρεμβολής προκύπτει 0limx

x x

hm=

® ± ¥.



70

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 1Ο ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Βασικές προτάσεις και παρατηρήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Ανάλυσης του χολικού βιβλίου.

ασικές Προτάσεις:

σ Β

συναρτήσεις με το ίδιο είδος μονοτονίας η σύνθεση που ροκύπτει είναι γν. αύξουσα ,ενώ αν έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας

ρτηση. Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται στον

1) Μονοτονία και σύνθεση συναρτήσεων. Όταν συνθέτουμε δύοππροκύπτει γν. φθίνουσα συνάαρακάτω πίνακα. π

f g fog gof

Απόδειξη: Έστω f

έχουμεκαι γν. αύξουσες συναρτήσεις των οποίων ορίζεται η σύνθεση.

Τότε Έστω g : 1 2 , fogx x A∈ με

1 2x< g⎯⎯→ 1 2( )g x< f( )g x ⎯⎯→ 1 2( ( )) ( ( ))f g x f g x< .x Άρα fog . Ομοίως ται και τα υπόλοιπα.

2) τί φσυ ην ευθεία y

αποδεικνύον

Οι αν στρο ες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι μμετρικές ως προς τ = χ .

Απόδειξη: Έστω σημείο Μ (α,β) της fC τότε ισχύει: ( ) ( ) Δηλαδήσημείο Μ΄( β , α) ανήκει στη 1

1f a a fb b-= Ϋ = . το

fC - τα Μ , Μ΄ είναι συμμετρικά ως προς την

ευθεία = χ .

y



71

3) να σημείο τότε αυτό β

διχ Απόδειξη:

Αν οι Cf , 1Cf−

έχουν έ μόνο κοινό ρίσκεται στη

οτόμο y =x.

Aν Μ(α, β) κοινό σημείο των C υπήρχε f 1f

, C − , και το Μ δεν ανήκε στην ευθεία

ήτανy=x τότε θα οπότε οι C ,C α β≠ 1ff − θα είχαν και άλλο κοινό σημείο το Ν(β,

) (το συμμετρα ικ Μ ως άτοπο αφού οι δύο γραφικές έχουν μόνον ένα κοινό σημείο.

στη διχοτόμοανήκ

ό του προς την y=x )παραστάσεις 4) Αν ένα σημείο ανήκει στην Cf και y = x τότε το σημείο αυτό

ει και στη Cf

Απόδειξη:

1− .

Aν Μ(α, β) κοινό σημείο των Cf και y = x τότε είναι β = f(α) και

β = α., οπότε α β1 1f (β) α f (α) β Μ(α,β) C=− −

1f −= ⇔ = ⇔ ∈ .

τίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως ε το ίδιο είδος μονοτονίας.

5) α) Η ανονότονη μμ

Απόδειξη: Έστω f γν. αύξουσα .

ποθέτουμε ότι η 1f - δεν είναι γν. αύξουσα, τότε θα υπάρχουν ) 1 2, (y y f AΞ Υμε 1 2y y< για τα οποία θα ισχύει ( ) ( )( ) (( ))1 1 1 1

1 2 1( ) 2f y f y f f y f f- - - -³ ή ³(επειδή η

y f γν. αύξουσα) άρα 1y y³ 2 ΑΤΟΠΟΝ.

β) Αν η f είναι συνεχήςαντίστροφή της, είναι συ

σε διάστημα Δ και αντιστρέφεται τότε και η νεχής στο ( )f D .

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν η f είναι συνεχής σε ένωση διαστημάτων καιαντιστρέφεται δεν εξασφαλίζεται υνέχεια της

η σ 1f - .

2) Η δεν είναι απαραιτήτως 1-1.

Απ

6) Αν η σύνθεση της g με την f , δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε: 1) Η g είναι απαραιτήτως 1-1. f

όδειξη:



72

ζεται η 1 2 1=x2.

ι 1-1.

) Έστω x1 , x2 Af με f(x1)=f(x2). Αν υπάρχουν ω1 , ω2 Αg τέτοια ώστε (ω1)=x1 και g(ω2)=x2 , προκύπτει f(g(ω1))=f(g(ω2)) και επειδή η fog είναι

ω1

g 1 1 2 2 της g).

2 ι

1) Έστω x1 , x2 Ξ Ag με g(x1)=g(x2) . Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίog , έπεται ότι f(g(x ))=f(g(x )) και επειδή η fog είναι 1-1 προκύπτει xfΆρα η g είνα 2 Ξ Ξ g1-1 προκύπτει =ω2. Άρα g-1(x1)=g-1(x2) και επειδή η g-1 είναι 1-1 προκύπτει x1=x2 δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f είναι 1-1 Αν υπάρχουν ω1 , ω2 Ξ Α τέτοια ώστε g(ω )=x και g(ω )=x (δηλαδή εξαρτάται πό το σύνολο τιμώναΘεωρείστε ως αντιπαράδειγμα , τις συναρτήσεις f(x)=x κα g(x)= x-1 κ.λ.π. 7) Αν η f είναι αντιστρέψιμη και περιττή, τότε και η 1f − είναι περιττή. Απόδειξη: Από την υπόθεση η f είναι αντιστρέψιμη οπότε για κάθε y∈ υπάρf (A) χει οναδικό ώστεμ x A∈ f (x) y= (1). Επίσης η f είναι περιττή, τότε για κάθε x A∈

θα είναι και το x A− ∈ , (1)

f ( x) f (x) y− =− =− (2). Επειδή f ( x) f (A)− ∈

1 1f (f ( x))− − − =

. Από την (2) προκύπτει Έτσι (3)

y f (A)− ∈ . 1( y) (f f )( x) x−− = − =−of

Αλλά ισχύει: 1f (x) y x f (y)−= ⇔ = τότε από την (3) προκύπτει ότι 1− 1−1 .y)− Πράγματι η ff ( y) f (− = − είναι περιττή.

διαπιστώνουμ ότ Εύκολα ε ι:

είναι αντιστρέψιμη τότε δεν

β) Αν η f δεν είνα η, αι γνησίως μονότονη.

f δεν είναι άρτια.

α) Αν η f δεν η f είναι «1-1».

ι αντιστρέψιμ τότε η f δεν είν γ) Αν η f είναι «1-1» τότε η δ) Τα κοινά σημεία των 1f f

C ,C−

εφόσον υπάρχουν έχουν συντεταγμένες που

προσδιορίζονται από τις λύσεις του συστήματος

y f (x)1y f (x)−=

⎧⎪

= (Σ). Το σύστημα (Σ) είναι ισοδύναμο⎨

⎪⎩

με τα συστήματα



73

(Σ1) και (Σ2)

ν ξέρουμε τον τύπο της f επιλύουμε το (Σ1) ενώ αν ξέρουμε τον τύπο της

y f (x)

x f (y)⎨⎪⎩

=

=

1x f (y)−⎧⎪⎨

=⎧⎪

1y f (x)−⎪⎩=

1f − Αεπιλύουμε το (Σ2).

ΠΡΟΣΟΧΗ

! Τα κοινά σημεία των C 1f f

,C−

άρτηση

δεν ονται πάντοτε στη διχοτόμο y = x.

ια παράδειγμα, η συν

βρίσκ

1f (x) 1 1f (x) έχει αντίστροφη την Γ = x xόλα τα σημεία των C ,C είναι κοινά αλλά μόνο δύο από αυτά τα (1, 1) και

− = , οπότε

υν Επίσης η

1f −

y = x.

f

στην 1f (x) x−= έχει αντίστροφη την 1 1f (x) x

− −=(–1, –1) ανήκο

Αν όμως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε αποδεικνύεται ότι οι ουν κοιν

γν

οπότε οι 1fC ,C−

έχο ους τα σημεία κοινά αλλά κανένα δεν ανήκει στην

y = x.

C ,C−

εφόσον έχ ά σημεία, θα βρίσκονται στη διχοτόμο y = x.

Δηλαδή ισχύει: 8) Αν η f είναι ησίως αύξουσα συνάρτηση στο Α τότε ισχύει η ισοδυναμία:

fυν όλα τ

1f f

1f(x) f (x) f (x) x,−= ⇔ = x B A f(A)∈ = ∩ .

Απόδειξ

η:

πειδή η f είναι

γνησίως αύξουσα στο Α θα είναι 1-1 άρα θα υπάρχει η συνάρτηση –1

• Αν και θα δείξουμε ότι

Εf η οποία θα είναι και αυτή γνησίως αύξουσα στο f(A). • Αν x B∈ και f(x) = x προκύπτει 1x f )−= άρα 1f (x) f x)−= . (x (

x B∈ 1f (x) f (x)− = f (x) x= .

( )1 1f f (x) f (x)− −> ή ή άτοπο. 1x f (x)−> x f (x)>Έστω f(x) > x τότε

Έστω f(x) < x τότε ( )f f (x) f (x) ή x f (x) ή x f (x)< άτοπο. Άρα f(x) = x.

1 1− −< 1−<

Σχόλιο Αν μία συνάρτηση f :A→

ρίζουμεείναι 1-1 τότε ορίζε αι η 1f :τ , αλλά ότι υπάρ η

f (A)− →

1f − πολλές φορές ενώ γνω χει δεν ρίσουμε υμβαίνει γιατί η εξίσωση y = f(x ν μπορε

πάντα ως προς x. Για παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη

μπορ προσδιοούμε νατον τύπο της. Αυτό σ ) δε ί να λυθεί αλγεβρικά



74

ση 5 ,f (x) x x 1= + − x∈ συνάρτη η οποία είναι γνήσια αύξουσα άρα είναι και εν «1-1» οπότε ορίζετ τροφη της συνάρτησης f − Όμως δ

μπορούμε να βρούμε τον τύπο της, αφού η εξίσωση 5 ,y x x 1αι η αντίσ 1 :f (A)→ .

= + − δεν λύνεται αλγεβρικά ως προς x. Επομένως, για να βρούμε τα κοινά σημεία των

και C χρησιμοποιούμε την προηγούμενη πρόταση. C 1−f fΈτσι έχουμε: x= ⇔ 5x x 1 x x 11f (x) f (x) f (x)− = ⇔ + − = ⇔ = . Παρατηρήσεις

νάρτηση με π. ορισμού το Α και 1x , 2x ΞΑ 1x = 2x 1) Αν f συ με τότε 2( ) (1 )f x f=

x

2) Έστω συναρτήσεις ,f g με π. ορισμού Α , Β αντιστοίχως. Στις πράξεις με τις συναρτήσεις ,f g πρ βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο που

η. στη

διαίρεση

ώτα προκύπτει. Αν AΗB = Ζ , δεν ορίζεται πράξ Ιδιαίτερη προσοχή

, ο οπf υ πρεπει 0gg

≠ .

3) Γενικά δεν ισχύει: f g g f= o .

4) Η ισότητα 2

o

f ( )2 x hm= x έχει άπειρες λύσεις

π.χ

( ) ( ) ( ), , f x x f x x f xhm hm hm= = - = x ημ x , x >0

( )f x = μ - η x , x ≤ 0

5) Αν μια συνάρτηση

κ.τ.λ.

f είναι γνησίως αύξουσα ( φθίνουσα) σε δύο διαστήματα Α και Β πεδίου ορισμού της σημαίνει ότι ητου , δεν f

π.χείναι

α μάτων. . γνησίως αύξουσ (φθίνουσα) και στην ένωση των διαστη

( ) 2f xx

= .

ς 6) Έστω οι συναρτήσει ,f g με πεδίο ορισμού το R. H ισότητα

( ) ( ) 0f x g x =Χ δεν συνεπάγεται κατ’ ανάγκη ( ) 0f x = ή ( ) 0g x = για κάθε

x RΞ .



75

) Αν μια συνάρτηση7 f είναι 1-1 τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μία του

( )y f x= λύση για κάθε στοιχείο y συνόλου τιμών της f .

8) Κάθε ευ παράλληλη

θεία στον άξονα χ΄χ τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1 – 1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

μού της ε 9) Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο π. ορισ ίναι και 1 – 1. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Υπάρχουν1 – 1 αλλά όχι γνησίως μονότονες στο π. ορισμού

συναρτήσεις που είναι της .

π .χ η ( ) 1f xx

= .

10) i) Η συνάρτηση ( )f x xa= , όπου αΟZ , ορίζεται για

x ≥ 0 όταν α > 0 και για

x > 0 όταν α < 0 .

ii) Είναι λάθος

η ισότητα 2

3 2 3x x= . Το σωστό είναι 223 2 ( )3 3x x x= = ή

13 2 2 3x x= .

11) Άρτια συνάρτηση:

f Σε συμμετρικά ως προς το Ο ( ν αξόνων) διαστήματαρχή τω α η έχει

Αν η

αντίθετο είδος μονοτονίας.

f παρουσιάζει στο α μέγιστο τότε στο – α παρουσιάζει πάλι μέγιστο, το ( )f a .(αντιστοίχως για το ελάχιστο).

Περιττή συνάρτηση:

Σε συμμετρικά ως προς το Ο ( αρχή των αξόνων) διαστήματα η f έχει το

Αν η

ίδιο είδος μονοτονίας

f παρουσιάζει στο α μέγιστο τότε στο – α παρουσιάζει ελάχιστο, το - ( )af .

Δηλαδή η άρτια συνάρτηση διατηρεί τα ακρότατα και η περιττή την μονοτονία.

12) Οι πράξεις στα όρια εφαρμόζονται εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια .



76

13) Μποόρια των υναρτήσεων.

ι συναρτήσεις

ρεί να υπάρχει το όριο μιας πράξης συναρτήσεων χωρίς να υπάρχουν τα επιμέρους σ

Π.χ.

( ) 121

f x xx

= +-

και ( ) 2 11

g x xx

= --

δεν έχουν όριο στο Ο

0x =1.Το όριο όμως του αθροίσματός των υπάρχει :

( ) ( )( ) ( )2

1 1lim lim 2 3x x

f x g x x x® ®

+ = + = Πράγματι

14

) Αν οι συναρτήσεις ,f g έχουν όριο στο 0x και ισχύει: ( ) ( )f x g x< κοντά

το , τότε: ( ) ( )0 0

lim mx x x

lix

f x g 0xσ x® ®

£ .

5) Δεν υπάρχουν τα 1 lim

xxhm

® ± ¥ και lim

xxs un

® ± ¥ .

Απόδειξη: Α) Έστω η συνάρτηση ( )f x xσυν= .

ο με ότι ισχύει α) Απ δεικνύου ) 2(2 2 ( ) 1f x f x − = β) Αν υποθέσουμε ότι lim ( )

xf x

→±∞l= χρη ντασιμοποιώ ς το (α) βρίσκουμε

ει 22 1 0l l− − = , από το οποίο προκύπτ 1l = ή 12

l −= , που είναι άτοπο ,διότι

ικό.

υνάρτηση

αν υπάρχει το όριο είναι μοναδ Β) Αν θεωρήσουμε τη σ ( )f x xημ= , χρησιμοποιούμε τον τύπο

22 1 2x xσυν ημ= − ο οποίος μπορεί να καιγραφεί 2( 2 ) 1 22

x xπημ ημ+ = − , άρα

ισχύει 2( 2 ) 1 2 ( )2

f x f xπ+ = − και θεωρώντας ότι υπάρχει το lim ( )

xf x

→±∞

καταλήγουμε σε άτοπο. 16) Μια πράξη συναρτήσεων μπορεί να είναι συνεχής στο 0x χωρίς να είναι

ς στο 0x συνεχή οι επιμέρους σ

θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει.

υναρτήσεις. 17) Το αντίστροφο του



77

Δηλαδή η ύπαρξη μιας ρίζας της εξίσωσης ( ) 0f x = στο [α , β] δεν εξασφαλίζει ην συνέχεια της συνάρτησης στο [ α , β οι τιμές] ούτε ότι ( ) ( ),f a f b f τ είναι

8) Αν μια τουλάχιστον από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano δεν χύει, αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκην ότι δεν υπάρχει

ετερόσημες. 1

0x Ξισ ( α , β) ώστε ( )0 0f x = .

19) Αν μια συνάρτηση f δεν ναι συνεχής σε ένα διάστημα παίρναπαραίτητα

εί [α , β ] δεν ει όλες τις μεταξύ τωντιμές ( )f a και ( )f b .

20) Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] δεν είναι κατ’ ανάγκη συνεχής στο α ή στο β.



78

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑ 1Ο Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης και συνεχούς συνάρτησης

:f R R® διέρχεται από τα σημεία Α( 2 , 5 ) και Β ( - 1 , 3 ). i) (2) , ( 1)f f= - Να συμπληρώσετε τις ισότητες: =

τι η i) Αποδείξτε ό f i είναι γνησίως αύξουσα

Εξετάσ iii) τε αν η f αντιστρέφεται iv) Να λύσετε τις εξισώσεις: (2 ) ( )1 5f x- f= και ( )( ) ( )5f f x f= v) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( )1 5 f - = ( ) , 3f =1-

ξ

( ( ))1 1x- + =3f f+vi) Να λύσετε την ε ίσωση: 5

ΕΜΑ 2

ΟΘ

5 ( ) 1f x x x= + +Δίνεται η συνάρτηση Αποδείξτε ότι η ( )1 3f - f αντιστρέφεται i) και να υπολογίσετε το

τι η

-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ώσεις:

fii) Αποδείξτε ό

( ) ( )135 , 2f x f x-= =iii) Να λύσετε τις εξισ iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία των fC και 1f

C - με την ευθεία y = x . v) Να λύσετε την εξίσωση :( )52 1 2 1x xhm hm- + =

( )( ) ( )1 1 11 1 1f f x f- - -+ - < . vi) Να λύσετε την ανίσωση:



79

Ο

ΘΕΜΑ 3 Έστω η συνεχής συνάρτηση :f R R® για την οποία ισχύει:

( ) 2 1x f x x xx

hm hmΧ + = Χ , για κάθε x ≠ 0.

Να βρείτε τον τύπο της

f για κάθε x RΞi) .

iii) Αποδείξτε ότι η εξίσ

) Αποδείξτε ότι ( )limx f x® + ¥

ωση ( )

ii 1= .

02 1

xf x - =x+

έχει μια τουλάχιστον θετική

ρίζα. ΘΕΜΑ 4Ο Αν η συνάρτηση :f R R® είνα χύει: ( )( )ι συνεχής και ισ ( )( )1 3 0f x f xΧ- + = , για κάθε x RΞ ,

) Αποδείξτε ότι η

f i είναι σταθερή.

ί ε ότι : , για κάθε i) Αποδε ξτ ( ) 1f x = x RΞ i

ή , για κάθε

( ) 3f x = - x RΞ

ΕΜΑ 5Ο Θ

Δίνεται η συνάρτηση f , η ο υνεχή στο διάστημα [ 1 , 5 ] και για την

για κάθε ποία είναι σ ς

οποία ισχύουν : (f ( ) (( )f x f f xΧ x 1,5ι ωλ ϋΞ)5 1= και ) 7= .

) Να υπολογίσετε το

( )( )

3

2 1 2lim

5 3x1f x x

f xΧ

® - ¥ Χ- +

+ i

ii) Αν ( )

1lim 7x

f x®

= αποδείξτε ότι η fC διέρχεται από σημείο με τεταγμένη 3.

iii) Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )13 , 1,5g x x f x x xs un p ι ωλ ϋ= Χ - Ξ



80

Αποδείξτε ότι η gC τέμ σητετμημένη στο διάστημα

νει σε ένα τουλάχιστον μείο τον άξονα χ΄χ με ( 4 , 5 ).

Α 6Ο

ΘΕΜ Έστω η συνεχής συνάρτηση f

ifμε πεδίο ορισμού το διάστημα α , β ] και οι

[

μιγαδικοί αριθμοί ( ) ( )a w ifb b= + = - με αβ ≠ 0 και ( ) ( ) 0f a f bΧ Ή , για τους οποίους ισχύει:

2 2 , z aw z w z+ = - .

i) αποδείξτε ότι ο αριθμός w zΧ είναι φανταστικός.

ii) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( ) ( )3

2 m 3x f x f a xb- ¥ + - .

τι η

5li f a x f xb®

- +

iii) Αποδείξτε ό fC τέμνει τον άξονα χ΄χ ν σ τουλάχιστο ε ένα σημείο. ΘΕΜΑ 7Ο Έστω μιγαδικός αριθμός z i με κ ≠ 0 , λ ≠ 0 . Δίνεται συνεχής συνάρτηση

k l= + : ,f a Rbι ωλ ϋ® με ( ) 0f x Ή για κάθε ,x a bι ωλ ϋΞ .

Θεωρούμε ότι ( )1z f az

+ = . Αποδείξτε ότι:

i) 1z = .

ς ( )i i zwi z

+=-

ii) Ο αριθμό είναι πραγματικός .

στο διάστημα

ΜΑ

iii) Η εξίσωση ( ) )2 0x f a xf+ - = έχει μία τουλ( ) άχιστον ρίζα( 0 , 1) .

(fb b

ΘΕ 8Ο Δίνονται οι μιγα οί ,z z για τους οποίδικοί αριθμ ους ισχύει1 2 : 1 2 1z z= = .

ξτε ότι

11

1zz

= .i) Αποδεί



81

ν εικ .

iii) Έστω η συνάρτηση

ii) Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος τω όνων του μιγαδικού w= 1 2z +

1. 1 , 1 ( ) 1

α , 1

x zxf x xx

μ -οο Ήοο= ν -οο =οοξ

να υπολογίσετε τον α RΞ αν η f είναι συνεχής στο 0x = 1.

iv) Έστω η συνάρτηση

1 2 1x z zx

Χ + - x , ≠ 0

( )= g x 1 , x = 0 Αν η g είναι συνεχής στο 0x = 0 αποδείξτε ότι 1 2z z= . ΘΕΜΑ 9Ο Θεωρούμε τη συνάρτηση :f R R® για την οποία ισχύει: , ια κάθε

( ) ( )3 2f x f x x+ = + x RΞ .

Αποδείξτε ότι η

γ i) f είναι 1 - 1

δ ίξετε ότι η αντίστροφη τηςii) Να απο ε f έχει τον τύπο .

αποδείξτε

( )1 3 2f x x x- = + - iii) Με απαγωγή σε άτοπο ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα.

iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες χ΄χ και y΄y . v) βρείτε τα κοινά σημεία των Να fC και 1

fC - .

ΘΕΜΑ 10Ο Δίνεται η συνάρτηση [ ]: ,f Ra b ® υνεχής στο [α , β ] με σ ( )f x 0Ή για κάθε

[ ],x a bΞ και μιγαδικός αριθμός z ε

μ ( ) ( ) 0z z Ή ι ( ) ( )Re Imz z>Re ImΧ κα .



82

Αν ( )1z f+ = az

και ( )2 22

1z fz

b+ = , αποδείξτε ότι:

i)

1z =

( ) ( )2 2f f ab < ii) iii) η ( )f a + τουλάχιστον μια ρ εξίσωση έχει ίζα στο ( - 1 , 1 )

( ΘΕΜΑ Ιούλιος 2004 ) ΕΜΑ 11Ο

( )3 0x f b = Θ Δίν εται η συνεχής συνάρτηση f

wστο [α , β ] με 0< α < β και έστω οι μιγαδικοί

και αριθμοί z a= ( )2 ifb b- . Αν για τους z και ω ισχύει ( )2 if a+ =

z zw w- αποδείξτε+ < ότι: ) ( )Re 0z wΧ < i

ii) Υπάρχ ιστον ιος ώστε ει ένας τουλάχ ξ τέτο ( , )a bΞ ( ) 0f x = ΕΜΑ 12Ο Θ

fΈστω η συνεχής στο [ α , β ] συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί

γ ς ισχύει: ( )z a i f a= + Χ και iw b= + Χ ια τους οποίου ( )f b z zw w+ = -

ποδείξτε ότι : Α

( )Re 0z wΧ = i)

άρχει ον 0 ( )0 0f x = .ii) Αν β < 0 , υπ ένας τουλάχιστ x Ξ( α , β ) ώστε να ισχύει: ΘΕΜΑ 13Ο Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]: ,f a Rb ®

( ) iebb + . Αν και οι μιγαδικοί αριθμοί

και ( )1a if a= +z e 2z f= ( ) ( )1 2Im Re 0z zΧ Ή και

2 2 2z z z z+ = - αποδείξτε ότι: 1 2 1

2 ,



83

i ) ( ) ( )

0f a f b

+ = , ae eb

ii) Η fC τέμνει τον ά ουλάχιστον σημείο με τετμημένη ξονα χ΄χ σε ένα τ

( )0 ,x a bΞ . ( ΘΕΜΑ )

ΘΕΜΑ 14Ο

Δίνετα συνεχής συνάρτηση :ι η f R R® και οι μιγαδικοί αριθμοί

( ), .f x x RΞ xz x i= + Χ

( )Im 1xz = για κάθε x RΞα) Αν αποδείξτε ότι:

i)( )20 Rex

xz® ι ωλ ϋlim 1x xn

=

)

z s u-

( )lim 0xiix® +

z x¥

- =

ν

[ ]1 1 , 0,2xz x- = Ξ β) Α τότε:

) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0f x = i ii) Να βρείτε τον τύπο της f όταν ( )Im 0xz > .

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της

f iii) . ( ΘΕΜΑ )

ΘΕΜΑ 15Ο

f Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ) ανήκει διάστημα [ 0 , 1 ] , και τιμές στο R* . Θεωρούμε ότι το σημείο Α ( 1 , 1

στη fC .

( ) ( )1 1 2g x

f x x= - + , ( )0,1xΞ είναι γνησίως i) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση

α ύξουσα .



84

ii) Αποδείξτε ότι το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα ( ) ,2- ¥ .

( ) ( )1 2f x

fiii) Αποδείξτε ότι η εξίσωση xx

= + έχε οναδική ).

ΕΜΑ 16Ο

ι μ λύση στο ( 0 , 1

Θ στω η συνεχής συνάρτηση :f R R® για την οποία ισχύειΈ :

( ) 23x f x x xhmΧ + = , για κάθε x RΞ . i) Να βρείτε τον τύπο της f .

τε ότι

( )limx

f x® + ¥

= + ¥ ii) Να αποδείξ

( ) xf x = e- έχει τουλάχιστον μiii) Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ια θετική ρίζα.

(ΘΕΜΑ)

ΕΜΑ 17

ΟΘ Α. Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις , :f g R R® . ποδείξτε ότι οι συναρτήσεις f g+ και f g Α o

είναι γνησίως αύξουσες.

. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ( ) 1h x x nx= + + Β l ως προς τη μονοτονία.

άρτηση

:f R R® είναι γνησίως αύξουσα και ( ) 0f x > β) Αν η συν για κάθε x RΞ , αποδείξτε ότι: i) Η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,x f x f x x RF = + Ξ είναι αντιστρέψιμηn +l .

) Αν ηii fC τέμνει τον άξονα y΄y στο 1 , να λύσετε την ανίσωση ( ) ( )1 f xf x e -< . ΘΕΜΑ 18Ο Δίνεται η συνάρτηση

1/ , 0x x 1 xe

Ή+



85

1 ,

α +

( )f x = 0x =

ικός αριθμός α ώστε η

f i) Να βρεθεί ο πραγματ να είναι συνεχής στο

) Να βρεθεί το

0 0x = .

( )

limx

f x® - ¥

ii

iii) οδείξτε ότι η εξίσωση ( )( )2005

f x k= , έχει μία τουλάχιστον πραγματική Απρίζα για κάθε Rk Ξ .

ΕΜΑ 19Ο

Θ

:f R R® Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

( )( ) ( ) 3f f x f x- = και ( )= .1f

) Να υπολογίσ όριο:

4

ετε το ( )( )

3

2

1 2 14 2x

f x xf x x® - ¥

Χ + -Χ - +

limi

ii) Αν ( )

58

x®= fC lim f x , αποδείξτε ότι η διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη 6 .

iii) Θεωρούμε τη συ ση

( ) ( ) ( )30g x x f x xs un pΧ - Χνάρτη = . Αποδείξτε ότι η gC τέμνει τον άξονα χ΄χ σε ένα τουλάχιστον σημείο με

).

iv) ότι υπάρχει

τετμημένη στο διάστημα ( 4 , 7

( )1,7x Ξ Αποδείξτε , τέτοιο ώστε να ισχύει 0

( ) ( ) ( ) ( )0 210 2 3 3 5 5f x f= Χ Χf fΧ + Χ +

ΘΕ

ΜΑ 20Ο Έστω

η συνάρτηση

2 2 12 , 1a x x xb+ - <

( )f x = 5 , x = 1 , όπου α , β , 1ax xb+ > RΞ

) Να βρεθούν οι τιμές f να είναι συνεχής στο 0xΑ των α , β ώστε η = 1.



86

η

είναι συνεχής και ( )limx

f x® + ¥

= - ¥ fΒ) Με δεδομένο ότι ,

συνάρτηση ( ) ( ) ( ),g x+ όπου ( ) ( )1n x= -h x f x= g x li) Να βρεθεί η .

) Αποδείξτε ότι η τέμνει τον άξονα χ΄χ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

και η ευθε = κ , κ

C ii h

iii) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) ((x f xF = ία y))2005

RΞ κοινόέχουν ένα τουλάχιστον σημείο για κάθε κ RΞ .



87

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

ii) Αφού η συνάρτηση

i)

(2) 5f = , ( 1) 3f - = .

f είναι γν. μονότονη και ισχύει 2 1 (2)f f> - ή > ( 1) - είναι γν. αύξουσα , άρα και 1-1 επ

)

= -

ομένως αντιστρέφεται.

3 , 2x x= = . iv

v) 1(5)f - = 12 , (3) 1f - .

i) v 2x = . ΕΜΑ 2Ο Θ

i) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει

αντίστροφη μιας γν. μονότονης νάρτησης είναι γν. μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. (Βλέπε παρατήρηση 11 σελ. 41 ).

i)

1(1) 3 1 (3)f f -= Ϋ = . ii) Η συ ii ( ) 35 ( ) (2)f x f x= Ϋ = f και επειδή η συνάρτηση f είναι 1-1 προκύπτει

στημα

2x = . 1( ) 2f x- = Ϋ (2) 35x f x= Ϋ = .

iv) Λύνουμε το σύ y x=μοο

5νο 1y x x= + +οξ ... 1xΫ = - .

ΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η συνάρτηση

Π f είναι γν. αύξουσα ,τα κ ινά σημεία της Cο f κ Cαι της 1f -

βρίσκονται στην ευθεί

v) Θέτουμε οπότε η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

Βρίσκουμε

y x= .α

2 1xhm w- = ( ) 1 ( ) (0) 0f f fw w w= Ϋ = Ϋ = .

2 , 2 , 6 6

.x xp p

k p k p p k= + = + - Ξ Z .

vi) Η συνάρτηση 1f - είναι γν. ξουσα άρα η ανίσωση ισοδύναμα γράφετααύ ι

1 1( 1) 1 1 ( 1) 2f x f x+ - < Ϋ + < 1 1( 1) (35) 34f x f x- - - -Ϋ + < Ϋ < .



88

ΘΕΜΑ 3Ο

12

( ) , 0f x x= Ήοον

1 , 0

x xxx

x

hm hm-

- =

μοοοοοοοο

i)

ξ

Αφού η f είναι συνεχής ισχύει (0) lim ( )0

f f xx

=®

.

τη συνάρτηση

( ) ( )2 1

xh x f x

x= -

+. Είναι

1(0) 1 , lim ( )

2h h

x= - =

® + ¥. iii) Θεωρούμε x

ρα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [0,Μ], όπου Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός.

ΘΕΜΑ 4Ο

Ά

Έστω ότι η συνάρτηση f i) δεν είναι σταθερή.

Για 1x x= από τη δοθείσα σχέση και 1 ανήκουν στο σύνολο τιμώ

προκύπτει Δηλαδή οι αριθμοί –3 ν της συνάρτησης

( ) 1 1f x = ή . Αφού η

( ) 3 1f x = - . f είναι συνεχής σύμφωνα με το θεώρημα

Ενδιαμέσων τιμών κάθε αριθμός μεταξύ των –3 και 1 θα είναι εικόνα κάποιου 0x .΄Εστω (f x ) 00 = .

. Επομένως

ρα δοθείσα προκύπτει άτοπον

σταθερή.

από τη ( )( ) 1f x

Άρα ( )f x = -( ( ) 30 0f x- +

3 για κάθε ) 0= δηλαδή (0-1)(0+3)=0 Ά

x R ή ( ) 1f x = Ξ για κάθε x R . Ξη συνάρτηση είναι ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε παρατήρηση 6 σελ. 40. ΘΕΜΑ 5Ο i) Για 5x = από τη δοθείσα προκύπτει (1) 7f = . Άρα το όριο το βρίσκουμε - ¥ . ii) Από το θεώρημα Ενδιαμέσων τιμ τει ότι θα υπάρχει 1ών προκύπ x (1,5) Ξ τ

φού το 3 ανήκει στο διάστημα (1,7) από το οποίο παίρνει τιμές η συνάρτηση.

i) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει

έτοιο ώστε ) = ,1( 3f x

α ii 0x (4,5)

εργαζόμαστε (1,5)Ξ

Ξ

)

0x

τέτοιο ώστε Εφαρμόζουμε το θεώρημα

υπολογισμό του ως εξής: άρα σύμφωνα με το εώρημα Ενδιαμέσων τιμών θα τέτοιο ώστε και από τη δοθείσα

ροκύπτει

( ) 00g x = .

Το 4 (1, 7Ξ ( )0f x

(4gυπάρχει

) 4=

Bolzano. Για τονθ

( ) 7( ) ( ) 7 (4)0 0f x f f x = = 4Ϋ (4)f 7= Ϋπ

4 ΘΕΜΑ 6Ο

f κ.λ.π.

w zi) Υψώνουμε στο τετράγωνο την ισότητ w z= - κα ράξεις προκύπτει α + ι μετά τις π wz wz= -

άρα ο αριθμός wz είναι φανταστικόςii) Αν αντικαταστήσουμε τους μιγαδικούς στην ισότητα

,

. αριθμούς wz wz βρίσκουμε

( ) ( )f fa b

= -

, άρα το όριο είναι

i) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την

2 2 0a b= - < + ¥ .

ii f στο διάστημα [α,β].



89

Ο

ΘΕΜΑ 7

i) Επειδή το f (α) είναι πραγματικός αριθμός θα είναι z Rz

+ Ξ1

άρα

1 ... 1z

ζ φχη χη χχηθ ψ+ = + Ϋ Ϋ = . (Είναι1 z zΉ z z

zzαπό την υπόθεση).

) Αρκεί να δείξουμε ότι w w= ( λαμβάνουμε υπόψη ότι 1

1z zz

= Ϋ = )ii .

i) Επειδή η συνάρτηση ii f

f

είναι συνεχής και για κάθε διατηρεί το πρόσημό της. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα τη

ΘΕΜΑ 8Ο

( ) 0f x Ή [0,1] για

[ , ]x a bΞ , συνάρτηση

2( ) ( b= + - . κ.λ.π. ) ( ) ( )h x x f xfa b

ii) Κύκλος με κέντρο Κ(2, ακτίνα ρ=1. 0) και

iv)

iii) α=1

( )

21 11 2 1 2 1 2li

xz z xz z z z

x

+ - + -

®1 2lim ( ) lim m ...

0 0 0 211 2

z zg x

x x x x xz z

+= = = =

® ® + +.

ρέπει

1 2z zΠ 1 2 1 21 2 ... 1 2

z z z zz z

+= Ϋ + = Ϋ Ϋ = .

ΘΕΜΑ 9Ο

2 2 1z z

i) 23 3( ) ( ) ( ) ( )1 2 1f x f x f x f x= ή =

2 21 2 1 2

, προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει

x x x x+ = + ή = .

ii) Εφαρμόζουμε την ισοδυναμία

i) Έστω ότι η συνάρτηση δεν είναι γν. αύξουσα. Τότε για

1( ) ( )y f x f y x-= Ϋ = .

( ) ( )1 2

1 2 3 3( ) ( )1 2

f x f xx x

f x f x

³< ή

³

μοοονοοοξ ii

προσθέτουμε 2 21 2 1 2x x x x³ κατά μέλη και προκύπτει + ³ + ή Άτοπον. iv) Α(-2,0) , Β(0,1)

v) Βλέπε παρατήρηση 12 σελ. 42. Λύνουμε το σύστημα

3 2

y x

y x x

=

= + -

μοονοοξ , βρίσκουμε Μ( 3 2 , 3 2 ).



90

ΘΕΜΑ 10Ο i) Βλέπε άσκηση 7(i).

) ii 2

1 1ζ φ 2 2 2 2 22( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )z f z f f f

za a b+ = Ϋ + + = Ϋ + =χη χη , άρα

i) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [-1,1] για τη συνάρτηση

a 2 2( ) ( )f fb a< .zχηθ ψ

3( ) ( ) ( )h x x f fa b= + . ii ΘΕΜΑ 11Ο

z zw w+ < - i) Υψώνουμε τη σχέση στο τετράγωνο και μετά τις πράξεις προκύπτει

0 z zw w+ < άρα 2Re( ) 0zw < . (Ι).

Αντικαθιστούμε στην (I) τους μιγαδικούς και βρίσκουμε Εφαρμόζουμε το θεώρημα ano για τη συνάρτηση

ii) ( ) ( ) 0f fa b < .

f Bolz στο διάστημα [α,β] κ.λ.π. ΘΕΜΑ 12Ο Εργαζόμασ με τρόπο ανάλογο του θέματος 11. τε ΘΕΜΑ 13Ο

Από την υπόθ ροκύπτει 2

z+2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z z z z z z= - Ϋ + = - - και μετά i) εση π

1 2 1 2 0z z z z+ = δηλαδή 1 22 Re( ) 0z z = . Αν αντ ε τους μιγαδικούς αριθμούς τις πράξεις ικαταστήσουμ

ροκύπτει π ( ) ( ) 0 0( ) ( )

ae eab

be f e f af a f

bb

+ = Ϋ + = (Ι).

ii) Από την (Ι) προκύπτει ( )

0f a e

b= - < δη( )

a

f ebλαδή και εφαρμόζουμε το θεώρημα

olzano για συνάρτηση

( ) ( ) 0f a f b <

f B τη στο διάστημα [α,β] κ.λ.π

ΘΕΜΑ 14

.

Ο

α) Αφού είναι i

Im( ) 1zx = z xx = +



91

[ ]

2

2 21

lim z

lim0 0Re( )

x x xx x xzx

s unx s i)

un+ -=

® ® πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή

αράσταση και προκύπτει

-

2xhm

π2

2

1lim 1

0 1x

x x xs un

+=

® + +.

ii)

( ) ( )2lim lim 1z x x xxx x- = + -

® + ¥ ® + ¥

παράσταση και προκύπτει

πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή

2

1lim ... 0

1x x x= =

® + ¥ + +.

2 ( ) (2 )f x x x= -β) Η σχέση 1 1zx - = με τιςτά την αντικατάσταση και πράξεις μας δίνει . (Ι)

Η εξίσωση λόγω της (Ι) είναι ισοδύναμη με την

είναι προκύπτει από την (Ι

i)

(2 ) 0 0 x x x- = Ϋ = ή 2x = .

ii) Αφού ) ( ) 0f x > (2 )( ) , [0, 2]x xf x x-= Ξ .

Ο

ΘΕΜΑ 15 i) Έστω 1 ,x με 1 22 [0,1]x Ξ x x< τότε αφού η συνάρτηση f είναι γν. φ θίνουσα θα ισχύει

1 2

1 1

1 2

1 1

( ) ( )f x f x< και

x x- < - . Προσθέτουμε ει < κατά μέλη προκύπτ

ρτηση g

) Το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα

και 1 2( ) ( )g x g x

δηλαδή η συνά είναι γν. αύξουσα.

lim ( ) , lim ( )0 1

g x gx x+ -® ®

ζxφχη χη χηθ ψ

=( ), 2- ¥ .ii

μην ξεχνάμε ότι η συνάρτηση f (Να είναι γν. φθίνουσα άρα ).

iii) Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την κ.λ.π. ΕΜΑ 16Ο

(0) (1) 1f f> =

( ) 0g x = .

Θ

ο(Βλέπε και Θέμα 3 )

3 , 0( )f x x= νοο 3 , 0

x x

x

- Ή

- =

ο

ο

xhmμοοi)

ξ iii) Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση

x( ) ( )h x f x e-= - στο διάστημα [0,Μ] , όπου Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός.



92

ΘΕΜΑ 17Ο Β. β γν. αύξουσα ως άθροισμα) i) Η συνάρτηση φ είναι γν. αυξουσών συναρτήσεων .

ii) Iσχύει

Ο

(0) 1f = .

ln( ( )) 1 ( ) ( ) ln( ( )) 1f x f x f x f xΫ < - Ϋ + < Ϋ

1 ( )( )

( ) ln( ( )) 1 2 ( ) (1) 1

f xf x e

f x f x x xf f

-<

Ϋ + + < Ϋ < Ϋ <

ΘΕΜΑ 18

i) 11

ζ φχη χηlim ( ) lim 00

x

f x xx

e+

= =®

+

χη χη χη χχηθ ψ. 1lim ( ) lim 0

0 01 x

x0

1x +®

f xx x

e- -

= =® ®

+

.

)

Άρα α= -1 ii ( )lim f x

x= - ¥

® - ¥

iii) Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής και η( )lim f x

x= + ¥

® + ¥ , f

έχει

f έχει σύνολο τιμών το

διάστημα ) . και η συνάρτηση , σύνολο τιμών το διάστημα

υπ χει πραγματικός

( ,- ¥ + ¥

)¥ . Επομένως

Άρα

άρ

( )2005( ) ( )h x f x= -

αριθμός 0

k

(- ,¥ + x τέτοιος ώστε 0( )h x 0= .

ΘΕΜΑ 19Ο Βλέπε Θέμα 5ο . Βρίσκουμε κ.λ.π.

) Εργαζόμαστε με το θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης τιμής. κ.λ.π.

0Ο

(4) 7f = iv

ΘΕΜΑ 2

) (α=4 , β

, είναι α = -3 , β = 8.

τημα ή σε ποιοδήποτε άλλο διάστημα επιλέξουμε ,υπό την προυπόθεση ότι ισχύει το θεώρημα.

i) Θεωρούμε τη συνάρτηση . Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο λύ μικρός αρνητικός αριθμός και Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός

ριθμός. ( Μπορούμε να εργαστούμε και όπως στο θέμα 18(iii) ).

Α

=1) ή (α= -3 , β=8)

Β) Επειδή lix®

( )m f x = - ¥+ ¥

i) ( ) 3 8 ln( 1) h x x x= - + + - . , 1x > ii) Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση h στο διάσ [2 , 1]e + ο

( )2005( ) ( )k x f x k= -ii

διάστημα [μ ,Μ], όπου μ ένας ποα



93

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΤΑΞΕΩΝ Α. Ταυτότητες

Β. Ιδιότητες απόλυτης τιμής

22α α= , αβ α β= , , 0αα β

β β= ≠

α β α β+ ≤ + (το ίσον ισχύει αν 0αβ ≥ )

χ θ θ χ θ≤ ⇔ − ≤ ≤ ,όπου 0θ > χ θ χ≥ ⇔ ≤ − θ ή χ θ≥ , όπου 0θ >

Γ. Πρόσημο τριωνύμου 2( ) , 0f χ αχ βχ γ α= + + ≠ 1) Αν Δ> μεταξύ ριζών είναι ετερόσημο του α, εκτός των ριζών είναι ομόσημο του α. 2) Αν Δ≤0 το τριώνυ πάντα ομόσημο του α.

2 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2 2 3

2 2

3 3 2 2

1 2 3 2 2 1

*

) 2) 2

( )( )

) 3 3( )

( )( )( )( ... )

( )

aa

a

ν ν ν ν ν ν ν

β α αβ β

β α αβ β

α β α β

β α α β αβ β

α αβ β

α β α β α αβ β

α β α β α α β α β αβ β

ν

− − − − −

+ = + +

− = − +

− = − +

− = − + −

− +

− = − + +

− = − + + + +

∈Ν

((α β

3 3 2 2 3( ) 3 3a β α α β αβ β+ = + + +

(3 3 ( )α β α β+ = +

0 τότε των

μο είναι



94

Δ. Βασικοί τύποι τριγωνομετρίας

2 2 1( )( )

( )( )

( ) , (εφα εφβεφ α β εφ αεφαεφβ+

+ = −− +

)1 1

1( ) , ( )

ημ α συν ασυν α β συνασυνβ ημαημβσυν α β συνασυνβ ημαημβημ α β ημασυνβ ημβσυναημ α β ημασυνβ ημβσυνα

εφα εφββεφαεφβ

σφασφβσφ α β σφ α βσφβ σφα

+ =+ = −− = +

+ = +− = −

−=

−+ = −

+2 2

2

2

1

2 2 , 2 2 1 1 2

σφασφβσφβ σφα

ημ α ημασυνα συν α συν α ημ α

συν α

ημ α

+=

−

= = −

= −

= −2

2

2 12 , 2

1 2εφα σφ αεφ α σφ αεφ α σφα

−= =

−

Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 2 2 2 2α β γ βγσυν= + − Α Τύπος εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ: 1

2βγημΕ = Α

Ε. Αριθμητική - Γεωμετρική πρόοδος

τρική πρόοδος Αριθμητική πρόοδος Γεωμε

1 ( 1)να α ν= + − ω 11

ννα α λ −=

1( 1) , 11

ν

να λ λλ

−Σ = ≠

− 1( )

2ν νν α αΣ = +

ΣΤ. Εκθετική συνάρτηση

( ) , >0 και 1xf x α α α= ≠ • ν α>1 για1) πεδίο ορισμού το R

την f αποδεικνύεται ότι: Αέχει



95

2) έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, )+∞ 3) είναι γνησίως αύξουσα στο R 4) Η Cf έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.

• Αν 0<α<1 για την f αποδεικνύεται ότι: 1) έχει πεδίο ορισμού R

το2) έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, )+∞ 3) είναι γνησίως φθίνουσα στο R

) Η Cf έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x. 4 Ζ. Ιδιότητες λογαρίθμων

1 2Αν α>0 , με α 1 και >0, 0, 0 τοτε :θ θ θ≠ > >

1. logχ

log3. aa θ

1 2 1 2

11 2

2

log 1 0

7. log log log

8. log log , κ

a

a a a

a a a

a a Rκ

2. loga xa

x

α θ χ θ= ⇔ =

α =

=θ4.5. log 1

. log ( ) log loga

6αθ θ θ θθ θ θθ

θ κ θ

=

= −

= ∈

10) lnx xe αα = , αφού lne αα =

=

= +

.

9. Τύπος αλλαγής βάσης: αν α,β>0 με α,β≠1, τότε για κάθε θ>0 ισχύει: logloglog

αβ

α

θθβ

=

Λογαριθμική συνάρτηση: *( στην ύλη είναι μόνο η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 10 ή το e , δηλαδή οι συναρτήσεις ( ) log , ( ) ln , 0f x x f x x x= = > ) 1) έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )+∞ 2) έχουν σύνολο τιμών το R 3) είναι γνησίως ξουσες στο διάστημα

αύ (0, )+∞

4) οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν ασύμπτωτο τον ημιάξονα Οy΄



96

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

στημα [0,1].

ν f(0)=2 και f(1)=4, να δείξετε ότι:

. η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με

1τε:

ΘΕΜΑ 3ο (ΘΕΤΙΚΗ 2000) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο κλειστό διά

Α

α

τετμημένη x0 ∈(0,1).

( )1 2 3 4f + f + f + f5 5 5 5f x =1 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ β. υπάρχει x ∈ (0,1), τέτοιο ώσ

ΘΕΜΑ 3ο (ΤΕΧΝ. 2000)

Δίνεται η συνάρτηση f με:

. Να βρεθούν τα

( )f x⎪⎪= ⎨

( ) ( )

2

2 2 5 x

x 8x 16 ,0 x 5

ln x 5 e 2( 1)e ,x 5−

⎧ − + < <

⎪ α +β − + + α + ≥⎪⎩

( ) ( )x 5

lim f x , lim f x+→

. Ax 5−→

Β. Να βρεθούν τα α, β ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x

0 = 5.

Γ. Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β να βρείτε το

∈R,

( )xlim f x→+∞

.



97

ΜΑ 3ο(ΕΣΠΕΡΙΝΑ 2000)

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:

ΘΕ2x - x

, x < 1f(x) = x - 1αx - 2α + 3 , x 1≥

⎧⎪⎨⎪⎩

α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι

συνεχής στο σημείο . 0x 1=

( ) ( )x 2

lim f x , limf x→

β. Να υπολογίσετε τα όρια x 2→−

ΘΕΜΑ 3ο (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την

οποία ισχύει: ( ) 2x

x 0 x→

f x e 1lim 5

− +2

=ημ

ΕΜΑ 3ο (2003)

σμού το ΙR .

ότι η g είναι 1-1.

ίσωση: g(f(x) + x3 - x) = g(f(x) + 2x -1)

έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.

ο .2002)

α. Να βρείτε το f(0).

Θ στω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο οριΈ

Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι 1-1.

α. Να δείξετε

β. Να δείξετε ότι η εξ

ΘΕΜΑ 2 (ΕΠΑΝ

Δίνεται η συνάρτηση ( )xe 1f x ,x−xe 1

= ∈ . +

αι και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f −1

.

.

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφετ

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f −1

(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα το μηδέν



98

f: [α, β] → IR ής στο διάστημα [α, β] µε

ΘΕΜΑ 3ο (ΕΠΑΝ.2004)

Δίνεται μια συνάρτηση συνεχ

f(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] και μιγαδικός αριθμός z µε Re(z) ≠ 0,

Ιm(z) ≠ 0 και ( ) ( )R z Im> .Αν z1

z + = f(α) και 2 1

z +z

22 = f (β)

z,

α αποδείξετε ότι: ν

z 1= α. β. f2(β) < f2(α)

διάστημα (–1, 1).

ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x-2)2 με x≥2.

ότι η f είναι 1-1.

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση

γ. η εξίσωση x3f(α) + f(β) = 0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο

ΘΕΜΑ 2 (2006)

α . Να αποδείξετε

1f − β της f

τον τύπο της .

. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

f και f - 1 με την ευθεία y=x.

και να βρείτε

γ

συναρτήσεων

2. Συναρτήσεις - Μαθηματικά κατεύθυνσης

Documents