§2 第二型曲线积分

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第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系


一、第二型曲线积分的定义变力沿曲线作功 .

设一质点受如下变力作用 )),(,),((),( yxQyxPyxF

沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ，求力 F ( x, y ) 所作的功常力沿直线作功：

力 · 位移

x

y

A

B


x

y

O

1. 分割 :

2. 近似代替

1M

iM

nM

0M1iM

),( ii ),( iiF

iiiii MMFW 1),(

),(),( 111 iiiiiiii yxyyxxMM

niyxM iii ,,2,1,0),,(

其中 ii yx , 分别是曲线段

在 x 轴与 y 轴上的投影

（此投影不一定是非负的）于是

iiiiii

iiiii

yQxP

MMFW

),(),(

),( 1

插入分点

ii MM 1

)),(,),((),( yxQyxPyxF


4. 取极限

n

iiiii MMFW

11),(

3. 求和

n

iiiii

TMMFW

11

0||||),(lim

其中is 是第 i 个小弧段的弧长 .},{max||||

1i

nisT

n

iiiiiii

TyξQxP

10||||

),(),(lim

n

iiiiiii yξQxP

1

),(),(


定义 1 设函数 P (x,y) 与 Q(x,y) 定义在

平面有向可求长度曲线 L: ,AB对 L 的任一分割 T

它把 L 分成 n 个小曲线段： ii MM 1 ni ,,2,1

其中 M0 = A ， Mn = B . 记各小曲线段 ii MM 1

的弧长为 ,is 分割 T 的细度 ,max||||1

ini

sT

分点 Mi 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 ,1 iii xxx

,1 iii yyy ),,2,1( ni 在每个小曲线段 ii MM 1

上任取一点 ),,( ii 若极限


n

iiii

T

n

iiii

TyQxP

10||||

10||||

),(lim),(lim

存在，则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y), 沿有向曲线 L

的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为dy),(d),( yxQxyxP

L 或 dy),(d),( yxQxyxP

AB

也记为 LL

yyxQxyxP d),(d),(

或 ABAB

yyxQxyxP d),(d),(

简记为 dyd QxPL


若 L 为封闭曲线，则记为 L

QxP dyd

若记 )),,(),,((),( yxQyxPyxF

),d,d(d yxs

则记 LL

sddyd

FQxP

于是，力 )),,(),,((),( yxQyxPyxF

沿有向曲线 L

对质点所作的功为dy),(d),( yxQxyxPW

L


)),,(,),,(,),,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxF

)d,d,(dd zyxs

类似地 ,

沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为

其中


第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时，每一小曲线段的

方向都改变，从而小曲线段的投影 ii yx , 也随之改变符号，故有

dy),(d),(dy),(d),( yxQxyxPyxQxyxPBAAB

而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线 L 的方向无关 . 这是两类曲线积分的一个重要区别 .


第二型曲线积分的性质：

,dydL 11 QxP1. 若第二型曲线积分

L 22 dyd QxP

存在，则

L 2121L 22L 11 )dy()d(dyddyd QQxPPQxPQxP

LLL

dyddyd QxPQxP

其中 , 为常数 .


2. 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧

L

yyxQxyxP d),(d),(

k

iL i

yyxQxyxP1

d),(d),(

则

• 定积分是第二类曲线积分的特例 .

说明 :• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !


在有向光滑曲线

tty

txL

)(

)(:

)](),([ ttP )(t )(t td)](),([ ttQ

上连续 , t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点，则

二、第二型曲线积分的计算


对空间有向光滑曲线 L:

)(t

)(t

)(t)](,)(),([ tttQ

)](,)(),([ tttR td

)](,)(),([ tttP

,

)(

)(

)(

t

tz

ty

tx

参数 t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点，则


例 1 计算 ,d)(d L

yxyxxy 其中 L 分别

沿如图所示路线

)1,1(A

)3,2(B

x

y

1 2

1

3

⑴ 直线 AB

解直线 AB 的参数方程为

ty

tx

21

110 t

所以 L

yxyxxy d)(d

1

0)21)(1[( tt 1 t td]2

6

25



yxyxxy

其中 L 为

)1,1(A

)3,2(B

x

y

1 2

1

3

⑵ ACB ( 抛物线： y = 2( x – 1)2 + 1 )

解抛物线 ACB 的方程为21 x

所以 L

yxyxxy d)(d

2

1

2 ]1)1(2[{ xx 1 ]1)1(2[ 2 xx xx d)]1(4

2

1

23 d)12353210( xxxx

y = 2( x – 1)2 + 1

3

10



yxyxxy 其中 L 为

)1,1(A

)3,2(B

)1,2(D

x

y

1 2

1

3

⑶ ADBA ( 三角形周界 )

解直线 AD 的参数方程为)21(1, xyxx

所以 AD

yxyxxy d)(d

ADxxy d

2

1d1 xx

2

3

直线 DB 的参数方程为)31(,2 yyyx

所以 DB

yxyxxy d)(d

DB

yxy d)( 3

1dy)2( y 0


沿直线 BA 的线积分：

BA

yxyxxy d)(d

AB

yxyxxy d)(d6

25

所以

ADBA

yxyxxy d)(d

2

30 )

6

25(

3

8

BADBAD


例 2 计算 ,dd L

xyyx 这里 L ：

⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B

解 ⑴x

y

1

2

O

)2,1(B

)0,1(A

⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ;⑶ 沿封闭曲线 OABO

L

xyyx dd

1

0

2 d)24( xxxx 2

⑵ L

xyyx dd 1

0d)22( xxx 2

⑶ L xyyx dd BOABOA0 2 02


例 3 计算第二型曲线积分,dd)(d 2

LzxyyxxxyI

L 是螺旋线： x = a cos t , y = a sin t , z = b t

从 t = 0 到 t =π 上的一段 .


例 . 设在力场作用下 , 质点由沿 L 移动到

解 : (1)

ttkR 2

0

22 d)(

(2) L 的参数方程为

AB

zzyxxy ddd k

zz2

0d

试求力场对质点所作的功 .

其中 L 为


o

z

yx

例 . 求其中

从 z 轴正向看为顺时针方向 .

解 : 取的参数方程 ,sin,cos tytx )02:(sincos2 tttz

ttt cos)sincos22(

tt d)cos41( 22

0

2


三、两类曲线积分的联系设 L 为从 A 到 B 的有向光滑曲线，以弧长 s 为参数，

的参数方程为

其中 l 为曲线 L 的长度 .

设曲线 L 上每一点的切线方向

则 L 切向量的方向余弦为s

y

s

x

d

dcos,

d

dcos

指向弧长增加的一方 .

A

B


于是两类曲线积分有如下联系

L

yyxQxyxP d),(d),(

ssysxQsysxPl

dcos)](),([cos)](),([0

L

syxQyxP dcos),(cos),(

即 L

yQxP dd L

sQP dcoscos

其中 cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .


在三维空间上，有

L

zRyQxP ddd

L

sRQP dcoscoscos

其中 cos,cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .


1. 定义

kkkk

n

k

yQxP

),(),(lim kk10

2. 性质(1) L 可分成 k 条有向光滑曲线弧

iL

k

i

yyxQxyxP d),(d),(1

(2) L －表示 L 的反向弧

L

yyxQxyxP d),(d),(

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

内容小结


3. 计算,

)()(

:

tytx

L :t

tttQttP d )](),([ )](),([

)(t )(t

• 对有向光滑弧

• 对有向光滑弧

baxxyL :,)(:

xxxQxxPb

ad )](,[)](,[ )(x


:,)()()(

ttztytx

)](,)(),([ tttP )(t)(t

)(t4. 两类曲线积分的联系

L

yQxP dd

zRyQxP ddd

)](,)(),([ tttQ

)](,)(),([ tttR td

• 对空间有向光滑弧 :

§2 第二型曲线积分

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