2Agregação Dinâmica de Modelos de Estabilizadores

2.1

Introdução

A agregação dinâmica de modelos de estabilizadores consiste na obtenção

dos parâmetros de um modelo equivalente, a partir do modelo de estabilizador

utilizado em cada unidade geradora de um determinado grupo coerente. Um

grupo coerente é composto por unidades geradoras que apresentam oscilações

idênticas para um determinado distúrbio no sistema.

Nesta dissertação, é utilizada a metodologia desenvolvida por Germond &

Podmore [12] para resolver o problema da agregação dinâmica de unidades

geradoras coerentes, que considera separadamente os parâmetros lineares e os

limites não-lineares dos modelos de unidades geradoras. Os ajustes numéricos

dos parâmetros lineares do modelo equivalente são feitos pelo método de

Levenberg-Marquardt [13,14] por ser eficiente na resolução de problemas de

mínimos quadrados. O erro a ser minimizado, obtido da relação entre as respostas

em freqüência da função de transferência agregada (FTA) e a função de

transferência equivalente (FTE), calculada numa faixa de freqüências discretas de

0,01Hz a 10Hz, é representado pela eq. (2.1) que calcula a soma dos quadrados do

módulo da diferença.

( ) ( )( )∑−

i2

i

2

ieq

i

jωG

jωGjωG (2.1)

sendo: G(jωi) – Função de transferência agregada dos modelos considerados.

Geq(jωi) – Função de transferência equivalente.

Essa metodologia pode ser aplicada a todos os componentes da unidade

geradora, ilustrados na figura 2.1, formando um modelo equivalente para cada um

destes componentes: máquina síncrona, sistema de excitação, estabilizador,

24

regulador de velocidade e turbina, e dinâmica do rotor. No entanto, para a

dinâmica do rotor, a equação mecânica da unidade geradora equivalente é igual à

soma das equações dos geradores individuais, porque as unidades do grupo

apresentam o mesmo desvio de velocidade.

O diagrama da figura 2.1 representa a relação funcional entre as variáveis de

saída, potência elétrica (Pe) e potência mecânica (Pm), com as respectivas

variáveis de entrada, tensão terminal (Vt) e velocidade (ω), para um modelo de

unidade geradora individual. Para o modelo de unidade geradora equivalente, as

potências elétrica e mecânica são iguais às totais de cada grupo coerente [12].

Figura 2.1 - Modelo de unidade geradora

Para um grupo coerente com unidades geradoras equipadas com

estabilizadores aplicados aos sistemas de excitação, o modelo equivalente de

estabilizador é determinado após a obtenção dos modelos equivalentes de

máquina síncrona e de sistema de excitação.

O enfoque desta dissertação é a agregação dinâmica de estabilizadores de

sistema de potência aplicados em reguladores de tensão.

REGULADOR DE VELOCIDADE

+TURBINA

DINÂMICA DO

ROTOR

ESTABILIZADOR DE SISTEMA

DE POTÊNCIA

SISTEMA DE

EXCITAÇÃO

MÁQUINASÍNCRONA

MODELODE

REDE

+

+

+ ∑

∏

∑

VT

VT

VT

Vd

Vq

Id

Iq

IT

u

VS

VREF

efd

VT

δ δ

Pm

Pe

Pe

ωREGULADOR DE

VELOCIDADE +

TURBINA

DINÂMICA DO

ROTOR

ESTABILIZADOR DE SISTEMA

DE POTÊNCIA

ESTABILIZADOR DE SISTEMA

DE POTÊNCIA

SISTEMA DE

EXCITAÇÃO

MÁQUINASÍNCRONA

MODELODE

REDE

+

+

+ ∑

∏

∑

VT

VT

VT

Vd

Vq

Id

Iq

IT

u

VS

VREF

efd

VT

δ δ

Pm

Pe

Pe

ω

25

2.2

Sistema de excitação

A qualidade da energia fornecida aos consumidores, sob o aspecto de

controle de tensão, é efetuado pelo sistema de excitação, além de outros

equipamentos como banco de capacitores, reatores, compensadores síncronos e

estáticos, etc.. O sistema de excitação tem como principal função controlar a

tensão terminal do gerador síncrono através da alimentação em corrente contínua

para o enrolamento de campo do gerador síncrono. Através do ajuste da tensão de

campo é possível controlar a tensão e o fluxo de potência reativa proporcionando

melhoria da estabilidade do sistema. O controle de tensão é mais eficiente nas

proximidades da unidade geradora. Dada a necessidade de suporte de potência

reativa solicitada pelo sistema para manter a tensão controlada, outra função

importante do sistema de excitação está relacionada à proteção dos limites de

capacidade de corrente de campo, corrente máxima do estator e fator de potência.

O sistema de excitação deve responder rapidamente às solicitações do sistema

elétrico causadas por grandes ou pequenos distúrbios, de forma a proporcionar um

bom desempenho durante a estabilidade transitória.

O modelo de sistema de excitação das unidades geradoras do sistema em

estudo, New England, utilizado nas simulações é do tipo DC1A do IEEE [17],

apresentado na figura 2.2. Este modelo foi implementado e testado no programa

EDINCO [16].

+ ∑ VRVREF Efd=(Tefd)

F

F

sTsK+1

tV∆+ ∑

A

A

sTK+1

VRMIN

VRMÁX

EE sTK +1∑

( )fdEfSE =

+

+VS

VT

Figura 2.2 - Modelo de sistema de excitação tipo 1 do IEEE (DC1A)

26

2.3

Estabilizadores de sistemas de potência

Um sistema de potência tem a capacidade de responder a pequenas

oscilações que variam numa faixa de freqüência de aproximadamente 0,2 Hz a

2,5 Hz, porém, quando o amortecimento é insuficiente o sistema pode perder a

estabilidade. Estas oscilações de baixa freqüência resultam em pequenas

variações de ângulo, velocidade e torque no sistema de potência.

Os estabilizadores de sistema de potência têm a função de aumentar o

amortecimento das oscilações do rotor do gerador, causadas por distúrbios no

sistema, através da aplicação de um sinal adicional estabilizante no sistema de

excitação. Este sinal adicional é gerado a partir de um sinal de entrada, que pode

ser de desvio de velocidade, desvio de freqüência, variação da potência elétrica ou

da potência acelerante, produzindo uma componente de torque elétrico em fase

com o desvio de velocidade do rotor [19].

Os estabilizadores de sistemas de potência apresentam duas estruturas

básicas quanto ao número de entradas. Podem ter entrada simples, ou dupla

entrada [17].

- Estabilizadores com sinal de entrada de desvio de velocidade (∆ω):

O sinal de velocidade é obtido através de um taquímetro colocado junto ao

regulador de velocidade, ou em pontos do eixo da máquina isentos de oscilações

torcionais.

Este tipo de estabilizador apresenta problemas de desempenho para os

modos de oscilação nas freqüências mais altas (modos torcionais, modo da

excitatriz, ruído dos transdutores, etc), podendo limitar bastante o ganho do PSS e

reduzir a sua eficiência para amortecer os modos locais e interáreas. Para reduzir

os problemas com as altas freqüências, costuma-se utilizar filtros passa-baixa na

entrada do sinal estabilizador.

27

- Estabilizadores com sinal de entrada de desvio de freqüência (∆f):

O sinal de desvio da freqüência é obtido por intermédio de um transdutor

eletrônico que pode utilizar como entrada a tensão terminal da máquina, a tensão

do barramento de alta da usina ou a tensão sobre o eixo em quadratura da

máquina, calculada a partir de valores da corrente e da tensão terminal.

Os sinais estabilizadores derivados de ∆f têm características de

desempenho semelhantes aos derivados de ∆ω. A principal diferença no uso da

freqüência como sinal de entrada é a sua maior sensibilidade às oscilações do

rotor `a medida que o sistema de transmissão torna-se mais fraco (maior

impedância externa), tornando a ação do sinal estabilizador mais efetiva quando

mais necessária. Uma vantagem deste tipo de sinal é a sua maior sensibilidade aos

modos de oscilação interáreas que o sinal derivado de ∆ω. Assim como o

estabilizador de desvio de velocidade, também enfrenta problemas com ruídos,

sendo necessário à utilização de filtros torcionais.

- Estabilizadores com sinal de entrada de potência elétrica (Pe):

O sinal de potência elétrica é obtido por intermédio de um transdutor

eletrônico que utiliza como entrada tensão e corrente terminais da máquina.

Este tipo de sinal estabilizador apresenta um bom desempenho para os

modos locais de oscilação, com forte rejeição aos modos de alta freqüência,

porém tem problemas de desempenho frente a distúrbios de baixa freqüência, tais

como amplificação das oscilações de natureza mecânica na potência elétrica e

sensibilidade às tomadas rápidas de carga na unidade geradora.

- Estabilizadores com sinal de entrada de potência acelerante (∆Pω):

Basicamente existem duas formas de se obter a síntese da potência

acelerante utilizada nos sinais estabilizadores de potência.

Uma forma é a utilização dos sinais de potência elétrica e potência

mecânica. A potência elétrica é obtida diretamente através de transdutores e a

potência mecânica pode ser calculada através da medida da abertura do

28

distribuidor. O sinal de potência acelerante é resultante da diferença entre os sinais

de potência mecânica e elétrica.

Outra forma utiliza como entrada o sinal de potência elétrica e o sinal de

desvio da velocidade angular, ou da freqüência, e calcula a potência acelerante a

partir destes sinais.

A relação entre os desvios de potência elétrica, mecânica e a da velocidade

do rotor pode ser vista na eq. (2.2):

( )dtPPM emeq ∫ ∆−∆=∆ 1ω (2.2)

onde:

M - constante de inércia, 2H

∆Pm - desvio na potência mecânica de entrada

∆Pe - desvio na potência elétrica de saída

∆ωeq - desvio de velocidade equivalente

Colocando-se a integral do desvio de potência mecânica em função do

desvio de velocidade e da integral do desvio de potência elétrica, tem-se:

dtPMdtP eeqm ∫∫ ∆+∆⋅=∆ ω (2.3)

Passando para o domínio da freqüência, obtém-se a seguinte função de

transferência para o desvio de velocidade resultante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∆+∆

⋅+∆

−=∆ sMssP

sGMssP

s eeeq ωω (2.4)

onde :

G(s) - Função de transferência que representa um possível filtro utilizado para

eliminar sinais indesejáveis

29

Esta expressão do estabilizador do tipo ∆Pω pode ser representada pelo

seguinte diagrama de blocos da figura 2.3.

∑ ∑++

+ -

Ms1

)(sGω∆

eqω∆

Pe∆

Estabilizador

Figura 2.3 – Diagrama de blocos do estabilizador de potência acelerante

Os estabilizadores com entrada simples que utilizam sinais de desvio de

velocidade e freqüência apresentam bom rendimento em baixas freqüências. Para

os estabilizadores com sinais de entrada de potência elétrica ou acelerante, o

melhor desempenho ocorre em altas freqüências. Em virtude destes problemas,

uma alternativa atraente é do estabilizador de dupla entrada, que pode processar os

sinais de freqüência e potência elétrica de forma a garantir melhor desempenho

para faixa de freqüência mais ampla. No Apêndice 2 é apresentada uma relação

dos tipos de PSS utilizados em algumas unidades geradoras do sistema elétrico

brasileiro.

2.3.1

Componentes do estabilizador

O estabilizador de entrada simples possui 3 partes principais, que também

fazem parte da estrutura do estabilizador com duplo canal de entrada, sendo

descritas a seguir:

- Compensador de avanço de fase

Os circuitos de avanço de fase são representados pelas duas compensações

de primeira ordem, que servem para compensar o atraso entre a saída do

estabilizador e o torque elétrico resultante. Com isso é produzido um componente

30

de torque elétrico em fase com o desvio de velocidade do rotor, que apresenta um

efeito atenuante nas oscilações do mesmo. A compensação de fase deve ser

projetada de tal forma que o estabilizador introduza amortecimento dos modos de

oscilação locais e sistêmicos, cobrindo uma ampla faixa de freqüência. Deve ser

selecionada uma característica aceitável para as diferentes condições de operação

do sistema.

- Filtro (Washout)

Funciona como um filtro passa alta, cujo valor da constante de tempo T0

deve ser tal que permita a passagem inalterada de sinais associados com as

pequenas oscilações do rotor em regime permanente. Deve responder apenas para

grandes variações do sinal de entrada. Geralmente a constante de tempo T0 possui

valores na faixa de 1,5 a 5,0 segundos.

- Ganho (K)

É ajustado de forma a proporcionar maior amortecimento das oscilações do

rotor.

- Limitadores

O limite máximo deve estar dentro da faixa de 0,1 a 0,2 pu, para garantir

maior contribuição durante grandes oscilações. O limite mínimo deve ser

ajustado entre -0,05 e -0,1 pu, para fornecer resposta transitória satisfatória.

A verificação dos ajustes dos parâmetros é feita com o auxílio de programas

apropriados para analisar a resposta do controle para pequenas perturbações,

estabilidade transitória e de longo termo em sistemas de energia elétrica.

2.4

Aplicação do método de agregação a estabilizadores

O método de agregação dinâmica utilizado nesta dissertação permite apenas

a agregação de estabilizadores com o mesmo tipo de sinal de entrada e mesmo

ponto de atuação na entrada do regulador de tensão. No trabalho de Germond &

31

Podmore [12] foi considerada a agregação dinâmica de modelos de estabilizadores

com uma única entrada.

Para a obtenção dos parâmetros do estabilizador equivalente, é necessário

que os parâmetros do modelo equivalente do sistema de excitação já tenham sido

previamente identificados. Esta identificação é feita inicialmente sem a presença

do estabilizador. Em seguida, o modelo de estabilizador equivalente é inserido no

modelo de sistema de excitação equivalente, a fim de representar a influência do

sinal de entrada do estabilizador na tensão de campo. Esta relação pode ser

visualizada no diagrama da figura 2.4.

ESTABILIZADOR

++

∑Efd

SINALADICIONAL

VS

VREF ∆VT ( )sGeqE

( )sGeqS

u

SISTEMA DEEXCITAÇÃO

VT

Figura 2.4 - Diagrama de blocos do sistema de excitação e estabilizador equivalentes

Do diagrama de blocos, temos:

GeqS(s) - Função de transferência do modelo de estabilizador equivalente.

GeqE(s) - Função de transferência do modelo de sistema de excitação equivalente.

u - Sinal de entrada do estabilizador, que pode ser ∆ω, ∆f e ∆Pa.

Vref - Tensão de referência

VT - Tensão terminal do gerador

VS - Tensão de saída do estabilizador

∆VT - Sinal de erro de tensão que entra no sistema de excitação

Efd - Sinal de saída do sistema de excitação

O modelo equivalente de estabilizador deve apresentar uma resposta em

freqüência similar à do grupo que irá substituir. Os procedimentos para a

agregação dos estabilizadores, com mesmo sinal de entrada, de unidades

32

geradoras coerentes de um grupo, são iniciados com o cálculo do valor da função

de transferência de cada modelo de estabilizador do grupo coerente, para cada

freqüência discreta na faixa de 0,01 Hz a 10 Hz. A seguir, é realizado o produto

de cada função de transferência do estabilizador pela função de transferência de

cada sistema de excitação e o correspondente fator de ponderação de tensão de

campo. A função de transferência agregada (FTA) representa a soma dos

resultados anteriores obtidos para cada unidade geradora coerente do grupo, como

pode ser verificado pela eq. (2.5).

( )( ) ( ) ( ) ( )sGsGsWsusEFTA SjEj

jj

FD ∑=∆= (2.5)

O processo de ajuste baseia-se inicialmente nos valores obtidos no cálculo

das estimativas iniciais, no qual os ganhos são calculados por uma média

aritmética dos ganhos de cada modelo individual, e as constantes de tempo através

do inverso da média aritmética dos inversos das constantes de cada estabilizador.

A partir destas estimativas são feitos os ajustes dos parâmetros através do método

de Levemberg-Marquardt [13-14] de forma a minimizar o erro entre as resposta

em freqüência da FTE e da FTA. A função de transferência que representa o

modelo equivalente pode ser representada por:

( )( ) ( ) ( )sGsGsusEFTE eq

SeqE

eqFD =∆= (2.6)

Os limites do estabilizador equivalente são calculados aplicando-se,

simultaneamente em cada sistema de excitação do grupo coerente, um degrau na

entrada de cada sistema de excitação do grupo de valor igual ao limite de cada

estabilizador [12].

Aplicando-se o teorema do valor final, obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )00 j

jEE

A

jSLIMjjEj

jSLIMjs

WSK

KVsWsGVLim ⋅

+

= ∑∑→ (2.7)

33

O limite do estabilizador equivalente é definido como :

( ) ( ) ( )000 jEjj

SLIMjeqE

eqSLIM WGVGV ∑= (2.8)

2.5

Implementação de modelos de estabilizadores

O modelo de estabilizador tipo PSS1A (IEEE), apresentado na figura 2.5,

foi implementado no programa EDINCO em trabalho desenvolvido anteriormente

[20].

2

1

11sTsT

++

4

3

11sTsT

++

SLIMV

SV0

0

1 sTsTK+u

SLIMV−

Figura 2.5 - Diagrama de blocos do modelo 1 de estabilizador

A estrutura do diagrama de blocos do estabilizador 1 foi alterada a fim de

proporcionar maior flexibilidade ao mesmo, de modo a representar diferentes

modelos do sistema elétrico brasileiro. O bloco washout do modelo 1 anterior foi

substituído pelo bloco (A0+sT0)/(1+sT0). A figura 2.6 mostra o novo modelo de

entrada simples implementado no programa EDINCO.

2

1

11sTsT

++

4

3

11sTsT

++

K

maxSTV

STV

STmínV

0

00

1 sTsTA

++ω∆

Figura 2.6 - Diagrama de blocos do modelo 1 modificado de estabilizador

34

Esta modificação se fez necessária para atender a contento a implementação

do modelo de estabilizador de dupla entrada, tipo PSS2A (IEEE), no programa

EDINCO [16], além de permitir a modelagem do maior número possível de

estabilizadores com entrada simples existentes no sistema elétrico brasileiro.

Abaixo temos a estrutura que será usada para representar o modelo do

estabilizador de dupla entrada.

∑ ∑++

+ -

maxSTV

STV

STmínV

( D )

( C )

( B )

( A ) ( E )∆ω∆ω∆ω∆ω

Pe

Figura 2.7 - Diagrama de blocos do modelo 2 genérico de estabilizador

No Apêndice 3 é apresentada uma análise com as variações estruturais

encontradas para este tipo de estabilizador em algumas usinas do sistema elétrico

brasileiro, e as faixas de valores dos parâmetros de cada bloco.

Os blocos do diagrama acima possuem a seguinte estrutura:

Bloco (A) :

76

65

4

43

21 1111

11 A

sAsAA

sAsAA

sAsA×

++

×

++

×

+

×

+

Bloco (B) :

+

×

++

×

++

×

+ 7

6

5

54

3

32

1 11111

sBB

sBsBB

sBsBB

sB

Bloco (C) : Normalmente é igual a 1.

35

Bloco (D) (opção 1):

++

×

+

×

+

×

+

×

+ 4

3

2111 141

11

11

11

11

sDDs

sDsDsDsD

Ou a (opção 2):

+

+×

+

×

+

×

+ 1

1

111 141

11

11

11

sDDs

sDsDsD

Esta última opção é utilizada pela maioria dos modelos do sistema elétrico

brasileiro.

Bloco (E) :

++

×

++

×

++

×4

3

2

1

0

00

11

11

1 sTsT

sTsT

sTsTA

K

Foram feitas as seguintes considerações com o objetivo de simplificar o

modelo do PSS2A:

Bloco (A): A2 = A6 = 0; A5 = A7 =1

++

×

+ 4

43

1 111

sAsAA

sA

Bloco (B): B2=B4=1; B3=B5=0

+

×

+ 7

6

1 111

sBB

sB

onde

765,0 BH

B ×=

Bloco (C): Igual a 1.

36

Bloco (D) (opção 2):

+

+×

+

×

+

×

+ 1

1

111 141

11

11

11

sDDs

sDsDsD

Bloco (E): Sem alteração.

O bloco (E) foi apresentado no item anterior.

Obtém-se, portanto, a estrutura implementada no programa EDINCO:

Figura 2.8 - Diagrama de blocos do modelo 2 de estabilizador

Este modelo simplificado atende à modelagem de estabilizadores usados em

algumas usinas como:

- Água Vermelha, Ilha Solteira, Capivara

- Nilo Peçanha, Fontes, Pereira Passos;

- Paulo Afonso e Xingó

Verifica-se na figura 2.8 que esta estrutura fica reduzida ao modelo 1 de

estabilizador se desconsiderarmos o sinal de potência elétrica e considerarmos

A1=A4=D1=0 e A3=1.

O método de agregação dinâmica foi desenvolvido para tratar de modelos

com funções de transferência lineares. Para o sistema linear é válido o princípio

da superposição, onde a saída desse sistema, em resposta a várias entradas

conhecidas, é igual à soma de todas as saídas individuais [21]. Com isso, para a

implementação do modelo do PSS2 no programa EDINCO, a estrutura foi

( )41

1

141sDDs

+×+

0

00

1 sTsTA

++

2

1

11sTsT

++

K4

3

11sTsT

++

111sA+ ∑

ω∆

111sB+Pe

4

43

1 sAsAA

++

7

6

1 sBB

+

maxSTV

STV

STmínV

∑+

+

+

−( )4

1

1

141sDDs

+×+

0

00

1 sTsTA

++

2

1

11sTsT

++

K4

3

11sTsT

++

111sA+ ∑

ω∆

111sB+Pe

4

43

1 sAsAA

++

7

6

1 sBB

+

maxSTV

STV

STmínV

∑+

+

+

−

37

dividida em três, conforme apresentado na figura 2.9, sendo que uma delas

representa o próprio modelo de estabilizador do tipo PSS1 (figura 2.9-c).

( )41

1

141sDDs

+×+

111sA+ω∆ 4

43

1 sAsAA

++

ADV

(a)

-( )4

1

1

141sDDs

+×+

111sB+Pe 7

6

1 sBB

+

BDV-∑

+

−

(b)

-0

00

1 sTsTA

++

2

1

11sTsT

++

K4

3

11sTsT

++

maxSTV

STV

STmínV

u

(c)Figura 2.9 - Diagramas de blocos com a separação da estrutura PSS2

Duas funções de transferência foram, então, consideradas. A primeira

corresponde aos diagramas (a) e (c) da figura 2.9 (VST/∆ω), e a outra

correspondente aos diagramas (b) e (c) (VST/Pe). Os parâmetros do diagrama (c)

são determinados preliminarmente.

38

2.5.1

Modelo de estabilizador com entrada simples (PSS1)

Este modelo é representado pela seguinte função de transferência (figura

2.6):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Den

NumsTsTsTsTsTsTAK

uVST =

+×+×++×+×+×

=420

3100

11111

Numerador:

( ) ( ) 03001030310102

3103 KATATTAsKTTTTATTKsKTTTsNum +++++++=

Denominador :

( ) ( ) 14024042202

4203 +++++++= TTTsTTTTTTsTTTsDen

A referida FT pode ser representada por:

( )012

23

3012

23

3

asaasasbsbbsbssGS +++

+++=

onde:

( )( )

00

300101

30310102

3103

KAbTATTAKbTTTTATTKb

KTTTb

=++×=

++×==

10

4201

4042202

4203

=++=

++==

aTTTa

TTTTTTaTTTa

Considerando s=jω, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 012

23

3012

23

3

aajajajbbjbjbjjGS +++

+++=

ωωωωωωω

39

A função de transferência GS(jω) pode ser representada na forma

[A(ω)+jB(ω)]/C(ω), onde:

( ) ( ) ( ) 000220112

3113224

336 babababababababaA +−−+−−+= ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )0110300312213

23325 babababababababaB −+−+−+−= ωωωω

( ) ( ) ( ) 20

2120

231

22

423

6 22 aaaaaaaaC ++−+−+= ωωωω

Substituindo os parâmetros, temos:

( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

0

20003142

0434132214231042312

4321000432421431321

0431321432421

20314243324121

4

43212

06

KATTATTTT

ATTTTTTTTTTTTTTTTTK

TTTTATATTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

TTTTTTTTTTTTTK

TTTTTKA

+

+×++−−

+×++++−−+×++−−

+

+×−−++×−−+

+×−−+++

+=

ω

ω

ωω

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )0004231

0431321432421

00423143324121

04341322131422

031423

4321002

04324214313215

1

1

TAATTTTK

ATTTTTTTTTTTTTATTTTTTTTTTTT

TTTTTTTTTTTTTTTTTTK

TTTTTATTTTTTTTTTTTTKB

×−+×−−+

+

×++−−+×++−−−−

+×++++−−+×++−−

+×−+×−−+=

ω

ω

ωω

( ) ( ) ( ) ( ) 124

22

20

224

20

24

22

22

20

424

22

20

6 +++++++= TTTTTTTTTTTTC ωωωω

40

2.5.2

Modelo de estabilizador com dupla entrada (PSS2)

Cálculo da FT considerando apenas a presença do canal de desvio de

velocidade (Figura 2.9-a):

( )( )( )( )( )( )( )( ) Den

NumsDsDsDsDsAsA

DssAAVAD =++++++

++=

∆ 111141

143

11111141

ω

Numerador :

( ) 3413142 44 AADAsDAsNum +++=

Denominador :

( )( )( )( )( )

( ) 14446

4664

446

4

141

4111142

12

31

214

211141

3

41

314

311

2141

4

414

411

3141

5

4141

6

+++++++

++++

++++

+++

+=

AADsAADADADs

DDADADAAs

DDADADAAs

DADADAAs

DAAsDen

A referida FT pode ser representada por:

( )012

23

34

45

56

6012

2

asaasasasasasbsbbs

sGAD ++++++++

=

onde:

14

446

4664

446

4

44

0

1411

4111142

12

31

214

2111413

41

314

311

21414

414

411

31415

41416

30

4131

142

=++=

+++=

+++=

+++=

++=

=

=+=

=

aAADa

AADADADa

DDADADAAa

DDADADAAa

DADADAAa

DAAa

AbADAb

DAb

41

Considerando s=jω, temos:

( ) ( ) ( )( ) ( )13

35

502

24

46

6102

2

aaajaaaabjbbjGAD ωωωωωω

ωωω+−++−+−

++−=

Representando na forma G(jω)=[A(ω)+jB(ω)]/C(ω), temos:

( ) ( ) ( )( ) 00110220

2130422

4150624

626

8

bababababababababababaA

++−−

+−+++−−+=

ωωωωω

( ) ( ) ( ) ( )( )1001

1203213

1405235

25167

babababababababababaB

+−+−++++−−++−=

ωωωωω

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2

02

1202

312

24042

35142606

532

46282

564102

612

2

22222

222

aaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaC

++−

+−++++−−

+−+++−+=

ω

ωω

ωωωω

Substituindo os parâmetros, temos:

( )

( )3

412

42

134312

413

3143

3131

21431

2141

21

24

3144

5143

5131

41431

514

41

24

4141

31

2416

51

241

8

10

1520

2010101020

44

154151520

4

AAAADAAAA

DADAA

DAADAAADAADADA

DAADAA

DAAADADADAADAA

DAAA

++++−

+

−−

−−++

+

++

+−−−−

+=

ω

ω

ω

ωω

( ) ( )

( )( )43143

241

2131

2143

313

214

3

513

4143

4131

31431

414

31

24

3141

21

2415

51

24

5141

41

241

51431

7

10102010

41515

2015202010

44154

AAAAAAADAADAADADA

DADAADAA

DAAADADADAADAA

DADAADAADAAAB

+−−+−−−−

+

+++

+−−−−

++++−=

ωω

ω

ωω

42

( )( )( )( )( )( )

14

446

4664

446

4

21

24

21

2

24

21

21

21

21

24

41

4

61

41

24

41

21

21

24

21

6

81

61

24

61

21

41

24

21

8

81

24

81

21

61

24

21

10

81

24

21

12

+++

++++

++++

++++

+++

+=

AAD

AADADAD

DDADADAA

DDADADAA

DADADAA

DAAC

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

Cálculo da FT considerando apenas a presença do canal de potência elétrica

(Figura 2.9-b):

z = y - x

y = x . D

x = Pe . B1 .B2

z = x .D - x = x.( D - 1 ) = Pe . B1 .B2.( D - 1 )

z /Pe = B1.B2.(D - 1)

Portanto,

−

+

+×

+

×

+

×

+

×

+

×

+

= 11

411

11

11

111

1

1

1

1117

6

1 sDDs

sDsDsDsBB

sBPeVBD

( )41

1

141sDDs

+×+

111sB+

Pe 7

6

1 sBB

+

∑+

−

( )1B ( )2B

( )D

x

y

x

x BDVz =

43

( )( )( )( )

−

+

+++

= 11

4111 4

1

1

71

6

sD

DssBsB

BPeVBD

Numerador:

( ) ( ) ( )216

2316

3416

4 64 DBsDBsDBsNum −+−+−=

Denominador:

( ) ( )( ) ( )

( ) 144464664

6444

711

7117112

12

1712

172

113

13

2171

317

311

41

43171

417

411

54171

6

+++++++++++

++++++++=

BBDsBBDBDBDsDBBDBDBDs

DBBDBDBDsDBBDBDBsDBBsDen

A referida FT pode ser representada por:

( )012

23

34

45

56

62

23

34

4

asaasasasasasbsbsbs

sGBD++++++

++=

onde:

2162

3163

4164

0

7111

7117112

12

1712

172

113

13

2171

317

311

414

417

3171

4115

41716

6

4

14

446

4664

644

4

DBb

DBb

DBb

aBBDa

BBDBDBDa

DBBDBDBDa

DBBDBDBDa

DBDBBDBa

DBBa

−=

−=

−=

=++=

+++=

+++=

++++=

++=

=

Considerando s=jω, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 012

23

34

45

56

62

23

34

4

aajajajajajajbjbjbjjGBD ++++++

++=

ωωωωωωωωωω

Representando a FT na forma G(jω)=[A(ω)+jB(ω)]/C(ω), temos:

44

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )20

2312240

4332442

6352644

846

10

babababa

bababababababaA

−+−+

++−−+−++−=

ωω

ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )( )3021

3322341

5342543

74536

9

baba

babababababababaB

−

++−−+−++−=

ω

ωωωω

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

02

1202

312

24042

35142606

532

46282

564102

612

222222

222

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaC

++−+−++++−−

+−+++−+=

ωωω

ωωωω

Substituindo os parâmetros, temos:

( ) ( )( )( )( )( )2

162

21761

3176

3161

416

4

616

41761

5176

5161

6

61761

816

8

81761

10

6.

6202021

42144

4

DB

DBBBDBBDBBDB

DBDBBBDBBDBB

DBBBDB

DBBBA

ω

ω

ω

ω

ωω

+−−−−

+−++

++−

+=

( ) ( )( )( )( )2

1762

1613

163

31761

4176

4161

516

5

6176

6161

51761

7

8176

8161

9

6620

2021214

444

DBBDBBDB

DBBBDBBDBBDB

DBBDBBDBBB

DBBDBBB

−−−

++++

+++−

++=

ω

ω

ω

ωω

( ) ( )( )

( )( )( )( ) 14

446

4664

644

4

27

21

21

2

21

27

27

21

21

21

41

4

21

27

21

41

27

41

21

61

6

41

27

21

61

27

61

21

81

8

81

27

61

27

21

81

21

10

81

27

21

12

+++

++++

++++

++++

+++

+=

BBD

DBBBDBD

DBBDBDBD

DBBDBDBD

DBDBBDB

DBBC

ω

ω

ω

ω

ω

ωω