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Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik 2 7.2-1
2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung
2.1 Grundlagen
2.2 Mathematisches Pendel
2.3 Selbstzentrierung
Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik 2 7.2-2
2.1 Grundlagen
● Für ein Anfangswertproblem 2. Ordnung müssen folgende Daten gegeben sein:– Eine Differentialgleichung 2. Ordnung:
– Die Anfangsbedingungen:
– Das zu untersuchende Zeitintervall:
x t = f [ x t , x t , t ]
x 0=x0 , x 0= x0
t∈[0, t E ]
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2.1 Grundlagen
● Beispiel:– Für das mathematische Pendel lautet die Bewegungsglei-
chung:
– Mit gilt also:
– Um den Winkel φ im Intervall [0, tE ] berechnen zu können,
muss der Winkel φ0 und die Winkelgeschwindigkeit zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben sein.
x= f [ x t , x t , t ]= f [t ]=−glsin
=−glsin
0
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2.1 Grundlagen
● Rückführung auf ein Anfangswertproblem 1. Ordnung:– Mit den neuen Variablen
geht die Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung über:
z1t =x t , z2t = x t
z1 = z2z2 = f [ z1 , z2 , t ]
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2.1 Grundlagen
● Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung:– Ein Differentialgleichungssystem 2. Ordnung hat die Form
– Dazu kommen die Anfangsbedingungen
– Für die neuen Variablengilt:
– Das ist ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung der doppelten Dimension.
x t = f [x t , x t , t ]
x 0=x0 , x0= x0
z1t =x t , z2t = x t
z1 = z2z2 = f [ z1 , z2 , t ]
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2.2 Mathematisches Pendel
● Gleichungssystem:– Die Bewegungsgleichung lautet
– Neue Variablen:– Zu lösendes Gleichungssystem:
● Anfangsbedingungen:– Die Gleichungen werden gelöst für die Anfangsbe-
dingungen
=−glsin
z1= , z2=
z1 = z2
z2 = −glsin z1
z10=0 und z20=0=0
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2.2 Mathematisches Pendel
● Daten:– Pendellänge: l = 1m– Anfangswinkel:
● Lösungsverfahren:– Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge-
Kutta-Verfahren gelöst.
0=30 ° , 0=90 ° und 0=150°
# Funktion
global c = g / l;
function y = f(x, t) global c; y(1) = x(2); y(2) = - c * sin(x(1)); end
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2.2 Mathematisches Pendel
# Startwerte
phi0 = 150; z(1, 1) = phi0 * pi / 180; z(1, 2) = 0;
# Runge-Kutta-Verfahren
for i = 1 : n k1 = f(z(i, :), t(i)); k2 = f(z(i, :) + k1 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k3 = f(z(i, :) + k2 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k4 = f(z(i, :) + k3 * dt, t(i) + dt); k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6; z(i + 1, :) = z(i, :) + k * dt; end
● Ergebnisse:– Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen den
Winkel als Funktion der Zeit sowie das Phasendiagramm.
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2.2 Mathematisches Pendel
– Winkel :t
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2.2 Mathematisches Pendel
– Phasendiagramm :
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2.3 Selbstzentrierung
● Aufgabenstellung:– Der Anfahrvorgang für den Schleudergang einer Waschma-
schine soll untersucht werden.
z
y
c/4
c/4
c/4
c/4
m
O O S
ex
y
Ω
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2.3 Selbstzentrierung
● Mitrotierendes Koordina-tensystem:– Der Ursprung B liegt auf
der z-Achse des ortsfes-ten Koordinatensystems, um die sich die Trommel dreht.
– Am Mittelpunkt M greifen die Lagerkräfte an.
B = O
M SrBM
rBS
u
v
ξ
η
e
Ω
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2.3 Selbstzentrierung
● Bewegungsgleichung:– Der zeitliche Verlauf der Drehzahl Ω(t) ist vorgegeben.– Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsglei-
chung:
– Für die Relativbeschleunigung gilt:– Damit die Trommel die statische Gleichgewichtslage er-
reicht, muss Dämpfung berücksichtigt werden.– Die resultierende äußere Kraft enthält also neben der Fe-
derkraft zusätzlich eine Dämpferkraft:
mar=FF fFc
ar=u bv b
F=FFFD
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2.3 Selbstzentrierung
– Für die Federkraft gilt:
– Die Dämpfungskräfte in den Dämpferelementen hängen von der Absolutgeschwindigkeit des Mittelpunkts ab, an dem die Lagerkräfte angreifen.
– Für die Absolutgeschwindigkeit gilt:– Mit
und dem Ortsvektor des Mittelpunkts
folgt:
FF=−c u bv b
vMa=vMr×r BMvMr=u bv b , =b
rBM=u bv b
vMa=u bv bb×u bv b = u−v b vu b
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2.3 Selbstzentrierung
– Damit gilt für die Dämpfungskraft:
– Da die Winkelgeschwindigkeit der Trommel nicht konstant ist, enthält die Führungskraft neben der Zentrifugalkraft noch den Beitrag der Winkelbeschleunigung:
– Mit und folgt:
FD=−d u−v b−d vu b
F f=−m×rBS−m××rBS
= b
F f=m [v b−eu b ]m2[ eu bv b ]
=m [v2eu ]b−m [ eu −
2 v ] b
=ddt
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2.3 Selbstzentrierung
– Für die Corioliskraft gilt:
– Damit lauten die Bewegungsgleichungen:
– Mit und folgt schließlich:
F c=−2m× vSB
=2m v b−u b
mu = −cu−d u−v m [v2eu ]2m v
m v = −c v−d vu −m [ eu −2 v ]−2mu
c /m=c2 d /m=2
u = 2−c
2 u2 v−2 u2 v2e
v = −2 u2−c
2 v−2u−2 v−e
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2.3 Selbstzentrierung
– Mit
gilt:
– Dazu kommen die Anfangsbedingungen:
z10=z20=0, z30=z40=0
z1=u , z2=v , z3=u , z4=v
[z1z2z3z4]=[
0 0 1 00 0 0 1
2−c
2 2 −2 2
−2− 2−c
2−2 −2
][z1z2z3z4][
00
2e
− e]
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2.3 Selbstzentrierung
● Daten:– Die Trommel wird bis zum Erreichen der Nenndrehzahl N
mit der konstanten Winkelbeschleunigung α = 15s-2 beschleunigt.
– Nenndrehzahl: N = 1600min-1
– Winkelgeschwindigkeit bei Nenndrehzahl:
– Zeit bis Erreichen der Nenndrehzahl:
N=
30N=167,6 s−1
t N=N
=11,17 s
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2.3 Selbstzentrierung
– Zeitlicher Verlauf der Winkelgeschwindigkeit:
=cD=1,5 s−1
– Kritische Winkelge-schwindigkeit: Ω
c = 30s-1
– Exzentrizität: e = 0,005m– Lehrsches Dämpfungs-
maß: D = 5%– Abklingkonstante:
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2.3 Selbstzentrierung
● Lösungsverfahren:– Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge-
Kutta-Verfahren gelöst.● Ergebnisse:
– Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen die Ver-schiebungen als Funktion der Zeit sowie die Bahn, die der Mittelpunkt der Trommel beschreibt.
– Es ist deutlich zu sehen, wie der Mittelpunkt in die Ruhe-lage wandert.
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2.3 Selbstzentrierung
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2.3 Selbstzentrierung