Construcción del Modelo Variográfico

1. Propósitos

Definir el o los modelos variográficos para cada unidad de estimación que serán utilizados para

estimar los recursos mineros. Estos modelos junto con la cantidad mínima y máxima de

compósitos conformaran lo que se denomina plan de estimación, los cuales serán

posteriormente validados con el propósito de determinar el óptimo de ellos.

2. Responsabilidades

Es responsabilidad del Ingeniero Jefe de la Unidad de Evaluación y Diseño de Mina, velar por la

difusión y cumplimiento de este procedimiento a todo el personal relacionado con la ejecución

del control de calidad y de la validación de los resultados obtenidos, tanto trabajadores propios

como contratistas de empresas de servicios, el presente instructivo y/o procedimiento.

3. Definiciones

3.1 Variograma Experimental

El variograma experimental o semivariograma es una herramienta que permite analizar el

comportamiento espacial de una variable sobre un área definida, obteniendo como resultado la

influencia de los datos a diferentes distancias. Es posible calcular el variograma experimental

mediante la expresión:

𝛾(ℎ) =1

2𝑛∑(𝑧(𝑥𝑘) − 𝑧(𝑥𝑘 + ℎ))2

𝑛

𝑘=1

Donde 𝑧 corresponde a la variable ley de hierro, 𝑛 es el número de pares de compósitos y ℎ es

la longitud del lag o paso.

3.2 Modelos de Variograma

El variograma experimental proporciona bastante información del comportamiento espacial de

la variable. Sin embargo, es necesario ajustar una función para cuantificar el grado y escala de

variación espacial. Existen numerosos modelos que se utilizan en geoestadística, siendo el más

comúnmente usado el modelo esférico. El ajuste a una función permite extraer una serie de

parámetros que son los que van a ser usados para el kriging y que definen la correlación espacial.

Estos parámetros son el alcance (𝑎), el efecto pepita o nugget (𝑐0) y la meseta o sill (𝑐1 + 𝑐0). El

alcance es la distancia a la que la varianza deja de aumentar, por lo tanto, indica la distancia a

partir de la cual las muestras son espacialmente independientes unas de las otras. El efecto

pepita es la varianza no explicada por el modelo, es decir, la varianza que existe cuando la

distancia es cero. La varianza máxima encontrada entre los pares de puntos se conoce como sill

y debe coincidir con la varianza de la población, este parámetro nos indica el grado de

incertidumbre a la hora de interpolar puntos en el espacio.

El modelo esférico está definido por una función cóncava que presenta un comportamiento

lineal en el origen disminuyendo progresivamente su pendiente hasta que alcanza una meseta

para valores mayores al alcance, matemáticamente se expresa como:

𝛾(ℎ) = {𝑐𝑜 + 𝑐1 (

3

2

ℎ

𝑎−

1

2(

ℎ

𝑎)

3

) 𝑠𝑖 ℎ < 𝑎

𝑐0 + 𝑐1 𝑠𝑖 ℎ ≥ 𝑎

4. Consideraciones

El modelo variográfico debe estar orientado en la dirección de mayor continuidad espacial

representada en el variograma experimental. Pueden definirse varios modelos de variogramas

para cada unidad de estimación y luego se determinará el mejor de ellos utilizando la técnica de

validación cruzada.

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100 150 200 250

Figura 1. Modelo esférico con efecto pepita 10, alcance 200 m y sill 55.

5. Descripción de la Actividad

5.1 Construcción de los variogramas

Para crear un variograma, herramienta que nos indicará la correlación espacial entre los

compósitos, debemos ir a la opción Applications, Statistical Processes, Variograms y finalmente

Calculate.

Dentro de la rutina variograma, en la pestaña Files se debe ingresar el archivo que contiene los

datos de los compósitos en el campo IN y se debe asignar un nombre al archivo de salida en el

campo OUT.

Figura 1. Rutina para el cálculo de variogramas.

Figura 2. Interfaz para el cálculo de un variograma.

En la pestaña Fields debe ingresar el nombre de las coordenadas X,Y,Z del compósito dentro del

archivo, por defecto tienen el mismo nombre. En el campo F1 se ingresa la variable a analizar su

correlación espacial mediante un variograma, en nuestro caso hierro (FE).

En la pestaña Parameters (Figura 4) se deben ingresar los parámetros para la construcción de o

los variogramas experimentales. En el campo LAG se debe ingresar la distancia (ℎ) del paso del

variograma, es decir, cada cuantos metros va a buscar datos, generalmente se usa 10 m. El

campo LAGTOL se ingresa la tolerancia del lag (∆ℎ) es decir entre que intervalos de distancia

del lag buscará datos. Por defecto el programa utiliza la mitad del lag. En el campo NLAGS se

ingresa la cantidad de pasos que se realizaran, se recomienda utilizar 25 pasos, lo que significa

que en total se buscaran puntos hasta una distancia máxima de 250 metros (considerando que

el lag es 10 m). En el campo AZI se ingresa la primera dirección en forma azimutal donde se

calculará el variograma, se recomienda empezar desde 0°. En el campo HORANG se debe

ingresar la tolerancia angular en grados alrededor de la dirección para buscar los datos, se

recomienda usar 15°. En el campo HORINC se debe ingresar el valor del siguiente azimut para

realizar el variograma, se recomienda usar 30°, que corresponde a dos veces la tolerancia

angular. En el campo NUMHOR se ingresa la cantidad de direcciones o azimut donde se calculará

el variograma, para cubrir los 360° se requieren 14 variogramas. En el campo DIP se ingresa el

ángulo de manteo del primer variograma, se recomienda el valor de 0°. En el campo VERANG se

ingresa la tolerancia angular en la vertical, se recomienda 15°. En el campo VERINC se ingresa la

siguiente dirección vertical donde se calculará el variograma, se recomienda 30°. En el campo

NUMBER se ingresa la cantidad de variogramas a realizar en la dirección vertical, para cubrir

toda la vertical se requieren 4 variogramas. Finalmente en el campo KEYMETH ingresar la opción

1. Presione Aceptar.

Figura 3. Interfaz para el cálculo de un variograma.

El software calculará cada variograma y luego nos preguntará si continuar, para aceptar debe

hacer click sobre el ticket verde, deberá hacerlo aproximadamente 55 veces hasta que aparezca

el mensaje VGRAM COMPLETE.

Una vez terminado el proceso se creará un archivo con el nombre asignado. Las filas asignadas

con un guión ( - ) en las columnas azimut y dip corresponden al variograma omnidireccional. Las

columnas AVE.DIST (N) y VGRAM (N) corresponden a la distancia (ℎ) y la varianza (𝛾(ℎ))

respectivamente.

Figura 4. Interfaz para el cálculo de un variograma.

Figura 5. Proceso para el cálculo de los variogramas

Figura 6. Tabla del variograma generada.

Para visualizar gráficamente el variograma debemos ir a la opción Applications, Statistical

Processes, Variograms, Fit Model en la barra de herramientas.

Aparecerá la ventana mostrada en la figura 8. En el campo IN ingresar el archivo creado

anteriormente y en la opción OUT ingresar un nombre al archivo de salida. Luego presione

Aceptar.

Figura 7. Visualización del variograma.

Cuando comience a ejecutarse la rutina le preguntará si desea continuar, presione el ticket verde

una vez, tal como lo hizo para calcular el variograma. Luego se generará una lista con todos los

variogramas numerados, el software le pedirá que ingrese el número del variograma que desea

visualizar. Para mostrar el variograma omnidireccional que es el primero de la lista, el valor 1 en

el cuadro de comandos y presionamos Enter.

Automáticamente nos preguntará si deseamos también visualizar el variograma 2, para poder

entonces solo visualizar el variograma omnidireccional debemos presionar la cruz roja y se

desplegará la imagen siguiente.

Figura 8. Visualización del variograma.

Figura 9. Interfaz de visualización del variograma.

Figura 10. Interfaz de visualización del variograma.

La versión 3.0.1742.6 del software presenta una interfaz de visualización limitada. Versiones

superiores han mejorado esta opción. Si sólo dispone esta versión del software recomiendo

copiar los datos generados en la tabla variograma (figura 6) a Microsoft Excel y graficar

individualmente los variogramas calculados en cada dirección.

5.2 Análisis de los variogramas

Luego de graficar cada uno de los variogramas y analizar su comportamiento los vamos a

clasificar según la siguiente metodología propuesta por el autor. A cada variograma se le

asignará un número que indicará la calidad de la correlación de los datos seguido entre

paréntesis del alcance del variograma. Si en una dirección no existe correlación espacial de los

datos y/o la varianza crece indefinidamente se clasificará el variograma como tipo 0. Si existe

una tendencia poco definida y la varianza tiene un máximo en algún punto pero no se mantiene

relativamente constante a medida que aumenta la distancia se le clasificará de tipo 1. Si existe

una tendencia relativamente definida de la varianza y se mantiene constante a partir de cierta

distancia con sólo algunos puntos que no se ajustan a la tendencia se le clasificará de tipo 2. Y

finalmente si el variograma presencia una varianza constante a partir de cierta longitud y el

alcance está bien definido lo clasificaremos como tipo 3. La figura 11 muestra un ejemplo de los

distintos tipos de variograma.

La clasificación de los variogramas seguido del alcance entre paréntesis serán registrados en la

tabla mostrada en la figura 12. Para determinar la orientación principal del variograma

elegiremos los variogramas que son de la mejor calidad (tipo 3) o en su ausencia del tipo 2 y los

seleccionares de mayor a menor alcance. Para el primer punto determinaremos las direcciones

perpendiculares a él de mejor calidad y con mayor alcance. No podrán seleccionarse aquellas

direcciones que tengan un variograma de tipo 0. Podemos repetir el proceso para seleccionar

varias direcciones principales del modelo variográfico que constituirán los distintos planes de

estimación.

Dip\Azi 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330°

0°

30°

60°

Omnidireccional Vertical Figura 12. Registro de los variogramas.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250

Tipo 0

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250

Tipo 1

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250

Tipo 2

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200 250

Tipo 3

Figura 11. Categorización de los variogramas.

5.3 Análisis de caso

Para establecer el modelo variográfico de la unidad de estimación UE 45 se analizaron los

variogramas experimentales utilizando la metodología propuesta según lo muestra la tabla 1.

Dip\Azi 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 0° 0 1(50) 2(75) 1(50) 1(50) 0 0 1(30) 2(75) 1(50) 1(50) 0

30° 0 1(75) 0 1(50) 2(75) 2(75) 0 1(30) 1(30) 0 2(50) 0

60° 1(75) 0 1(40) 2(40) 1(30) 1(30) 0 0 1(30) 2(100) 2(100) 3(60)

Omnidireccional 3(125) Vertical 0

Tabla 1. Análisis variográfico para la tabla UE 45.

Se encontraron 3 modelos variográficos con buenas correlaciones y alcances, los cuales fueron

coloreados. Los modelos naranja y morado corresponde a la misma dirección, por lo que solo se

utilizará uno de ellos. La tabla 2 resume los modelo de variograma esférico ajustados para cada

dirección.

Modelo Eje Mayor Eje Medio Eje Menor

Dirección Alcance Varianza Dirección Alcance Varianza Dirección Alcance Varianza

1 240°/0° 75 90 150°/30° 75 100 330°/60° 60 110

2 300°/60° 100 100 120°/30° 75 100 30°/0° 50 100

3 - 125 100 - - - - - -

Tabla 2. Resumen ajuste variogramas experimentales mediante un modelo esférico.

Al considerar una anisotropía geométrica el modelo variográfico debe tener el mismo efecto

pepita y meseta, sólo varía el alcance para las distintas direcciones. Por lo que se deberán ajustar

estos parámetros para conformar el modelo final.

5.4 Planes de estimación

Los planes de estimación corresponden a los distintos modelos variográficos propuestos junto

con la cantidad mínima y máxima de compósitos utilizados en la estimación. El modelo óptimo

será encontrado luego mediante validación cruzada, procesos que consiste en estimar el valor

de un compósito utilizando los demás y luego comparar la diferencia entre la estimación y el

valor real.

Para los planes de estimación se recomienda utilizar como mínimo 8 compósitos y un máximo

de 24. No obstante el usuario puede incluir planes para un mismo modelo variográfico

modificando estas cantidades.