2 dinamika materijalne tacke
DESCRIPTION
Dinamika mat tackeTRANSCRIPT
![Page 1: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/1.jpg)
2 DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE
2.1 Newtonovi zakoni
Newtonovi zakoni su temelji mehanike. Na osnovu ovih zakona izvedeni su
zakoni i principi kao što su rad, potencijalna i kinetička energija, količina
kretanja, impuls, moment količine kretanja i moment impulsa.
a) Prvi Newtonov zakon glasi: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili
jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod djelovanjem sila nije
prinuđeno da to stanje promijeni.
Iz ovog slijedi da materijalna tačka ne može sama po sebi izmijeniti stanje
kretanja. Ovaj zakon ukazuje na osnovno svojstvo materije da sama po sebi
ustraje u određenom stanju kretanja. Ovo svojstvo materije naziva se
inercija.
Prema ovom zakonu za izoliranu tačku ili sistem sila u ravnoteži vrijedi:
(2.1)dv
a 0dt
![Page 2: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/2.jpg)
b) Drugi Newtonov zakon glasi: Promjena kretanja prporcionalna je sili koja
djeluje na tijelo i vrši se na pravcu i smjeru djelovanja sile.
Masa je faktor prporcionalnosti.
(2.1)
U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za
(2.2)
Ako silu i ubrzanje razložimo na pravougle koordinate možemo napisati:
(2.3)
dvF m m a
dt
F 0 a 0 v const
x
y
x
F m x
F m y
F m z
![Page 3: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/3.jpg)
U slučaju krivolinijskog kretanja silu razlažemo na tangencijalnu i normalnu
komponentu.
Slika 2.1 Krivolinijsko kretanje
U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za
Za kružno kretanje:
(2.4) (2.5)
2
t t 2
2
n n
d sF m a m
dt
vF m a m
r
t t
2
n n
F m a m r
F m a m r
![Page 4: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/4.jpg)
Kada tijelo slobodno pada u vakumu sila kojom ga privlači Zemlja je:
S obzirom da Zemlja ima oblik kugle i ubrzanje zemljine teže se mijenja u
funkciji položaja tačke na Zemlji. Na nivou mora ubrzanje se može izračunati
na osnovu izraza:
(2.6)
Za sjevernu hemisveru može se usvojiti g=9,81 m/s2
Drugi Newtonov zakon može se napisati i u obliku:
(2.7)
koji je općenitiji jer obuhvata promjenu mase.
(2.8)
G m g
2 2
2
mg 9,78049 1 0,0052884sin 0,0000059sin 2
s
d m vF
dt
0
2
2
mm
v1
c
![Page 5: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/5.jpg)
c) Treći Newtonov zakon glasi: Akciji je uvijek suprotna reakcija, ili uzajamna
djelovanja dva tijela uvijek su jednaka i suprotnog su smjera.
Masa je faktor prporcionalnosti.
(2.9)
Slika 2.2 Međudjelovanja dva tijela
(2.10)
2 1F F
2 11 21 2
1 21 2
1 2
2 1
F m a F m a
m a m a
a m
a m
![Page 6: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/6.jpg)
2.2 Zadaci i metode dinamike
Zadaci dinamike mogu biti:
1) Prvi zadatak dinamike: je da se na osnovu poznatog kretanja materijalne
tačke zadane mase odredi sila koja djeluje na tačku u svakom trenutku
djelovanja.
Kretanje tačke je dato jednačinom koja daje zavisnost koordinata tačke
vremena u vektorskom obliku.
(2.11)
Jednačina (2.11) može se raspisati za različite koordinatne sisteme.
Za pravougli sistem:
(2.12)
2
2
dv d rF m a m m
dt dt
2
x 2
2
y 2
2
z 2
d xF m
dt
d yF m
dt
d zF m
dt
![Page 7: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/7.jpg)
Za cilindrični koordinatni sistem:
(2.12)
Za sferni koordinatni sistem:
(2.13)
22
r 2
2
2
2
z 2
d r dF m r
dt dt
dr d dF m 2 r
dt dt dt
d zF m
dt
2 22
r 2
2
2
2 2
c
d d dF m cos
dt dt dt
1 d d dF m cos sin
dt dt dt
1 d dF m cos
cos dt dt
![Page 8: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/8.jpg)
Za prirodni koordinatni sistem:
(2.14)
Za izračunavanje sile koja djeluje na neslobodnu materijalnu tačku
primjenjujemo izraz:
(2.15)
t
2
n
dvF m
dt
vF m
r
i NF F m a
![Page 9: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/9.jpg)
2) Drugi zadatak dinamike: odnosi se na određivanje zakona kretanja
materijalne tačke zadane mase, ako su poznate sile koje djeluju na tačku.
Rješavanje drugog zadatka dinamike svodi se na integraciju diferencijalnih
jednačina kretanja.
Za rješenje diferencijalnih jednačina pored sile potrebno je poznavati i
početne uslove kao što su početni položaj tačke i početna brzina tačke.
U opštem slučaju integracijom diferencijalnih jednačina potrebno je izračunati
šest integracionih konstanti na osnovu početnih uslova x0, y0, z0, y0x, v0y, v0z.
U slučaju kretanja u ravnini imamo četiri konstante: x0, y0, y0x, v0y.
(2.16)
2
2
0
0 0
F td ra f t
dt m
v v f t dt
r r v t f t dt dt
![Page 10: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/10.jpg)
3) Treći zadatak dinamike: može biti takav da je za njih poznato nešto o
silama, a nešto o kretanju, pa treba odrediti i dio kretanja i dio sila.
Takav problem se naziva miješani problem dinamike.
Primjer takvog problema je kada se radi o neslobodnoj materijalnoj tački kod
koje je poznata trajektorija kretanja i ukupna aktivna sila, a traži se zakon
kretanja i sile veza.
Pri rješavanju zadataka dinamike treba utvrditi:
1) O kakvom se kretanju radi, šta je poznato a šta nepoznato;
2) Koji su parametri dinamike poznati a koje treba odrediti;
3) Je li dinamički proces sastavljen od više faza ili je isti;
4) Trenutak kada dinamički proces počinje i završava ili njegova pojedina
faza.
![Page 11: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/11.jpg)
2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke
Pri pravolinijskom kretanju materijalne tačke inercijalne sile su sile koje se
suprostavljaju promjeni stanja kretanja.
Slika 2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke
Ako je poznata sila koja djeluje na materijalnu tačku treba odrediti zakon
kretanja materijalne tačke.
(2.17)x
2
x 2
m x X m a
d xm y Y a x
dt
m z Z
![Page 12: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/12.jpg)
(2.18)
Dvostrukom integracijom dolazi se do puta:
(2.19)
Početni uslovi se definišu u slijedećem obliku:
(2.20)
Iz početnih uslova određuju se integracione konstante C1 i C2, pa opšte
rješenje (2.19) ima oblik:
(2.21)
0 0 0t 0 x x x x v
2
2
d xx f t,x,x
dt
1 2x f t,C ,C
0 0x f t,x ,v
![Page 13: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/13.jpg)
2.3.1 Kretanje materijalne tačke kada je sila konstantna
Ako na materijalnu tačku djeluje konstantna sila F, tada je i ubrzanje tačke
konstantno a=const.
(2.22)
Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:
(2.23)
Izrazi za brzinu i put su:
(2.24)
(2.25)
dxm F X
dt
x a const
1
Fx t C
m
2
1 2
F tx C t C
2 m
![Page 14: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/14.jpg)
Ako su zadati početni uslovi:
(2.26)
Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:
(2.27)
(2.28)
Kod razmatranja pravolinijskog kretanja slobodne materijalne tačke pod
uticajem sile teže na malim visinama smatramo privlačnu silu konstantnom.
Ovdje imamo tri zadatka:
-vertikalni hitac naviše;
-vertikalni hitac naniže;
-slobodni pad.
0 x 0t 0 x x v v
2
0 0
1 Fx t v t x
2 m
0 2 x 0 1x x C x v v C
![Page 15: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/15.jpg)
Ako transformižemo koordinate može se napisati:
(2.29)
Ubrzanje teže je:
(2.30)
(2.31)
Znak (-) odnosi se na kretanje naviše, a znak (+) naniže.
2
0 0
1 Fy y v t t
2 m
Fg
m
2
0 0
1 Fy y v t t
2 m
![Page 16: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/16.jpg)
2.3.2 Slobodan pad u vazdušnom prostoru
Pad u sredini sa otporom nijeisti kao u vakumu, pa stoga jednačinu kretanja
treba korigovati. Otpor sredine zavisi od gustine medija, brzine i oblika tijela.
(2.32)
gdje je:
c-koeficijent oblika tijela;
ρ-gustina medija (kg/m3);
A-površina projekcije tijela u rani normalnoj na pravac kretanja;
v-brzina tijela.
Slika 2.4 Pad kroz sredinu sa otporom
2
wF c A v
![Page 17: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/17.jpg)
Na tijelo djeluju slijedeće sile:
(2.33)
Diferencijalna jednačina prevolinijskog kretanja je:
(2.34)
Ako uvedemo prikladnije označavanje dobijamo jednostavniji oblik jendačine
(2.34).
(2.35)
(2.36)
2
i wY G F my G c A y my 0
2my G c A y
y y y
y
dv dv dvdyy v
dt dy dt dy
2G dvv G c A v
g dy
![Page 18: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/18.jpg)
Uvođenjem oznake :
(2.37)
I množenjem jednačine (2.36) sa g/G dobijamo:
(2.38)
Razdvajanjem promjenjivih jednačina (2.38) poprima oblik:
(2.39)
Integracijom dobijamo:
(2.40)
2 Ga
c A
2
2
dv vv g 1
dy a
2 2 2
vdv gdy
a v a
2 2
12
gln a v 2 y C
a
![Page 19: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/19.jpg)
Ako su početni uslovi:
(2.41)
(2.42)
Brzina je:
(2.43)
Iz izraza se vidi da sila Fw ne može biti veća od G.
2
0 0 1y y 0 v 0 C lna
2 2
2 2
a v gln 2 y
a a
2
g2 y
av a 1 e
2 2
gr
Ga v
c A
![Page 20: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/20.jpg)
2.3.3 Sila koja djeluje na materijalnu tačku je promjenjiva u
vremenu
Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:
(2.44)
Integracijom dobijamo:
(2.45)
Gdje su C1 i C2 integracione konstante, a dobijaju se iz početnih uslova.
x xmx F t F X
x
1
x
1 2
F tx dt C
m
F tx dt dt C C
m
![Page 21: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/21.jpg)
2.3.4 Sila koja djeluje na materijalnu tačku zavisi od rastojanja
Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:
(2.46)
Ubrzanje se prikladnije može napisati:
(2.47)
(2.48)
Integracijom dobijamo:
(2.49)
(2.50)
Rješavanjem (2.50) po x dobijamo jednačinu kretanja tačke.
(2.51)
xmx F x
dx dxx
dx dt
xF txdx dx
m
2x x
1 1
F x F xxdx C x 2 dx C
2 m m
2
x
1
dxdt x,t t x,t dx C
F x2 dx C
m
1 2x f C ,C ,t
![Page 22: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/22.jpg)
2.3.5 Sila koja djeluje na materijalnu tačku zavisi od brzine
Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:
(2.52)
Prikladnije za integraciju se može napisati:
(2.53)
Integracijom dobijamo:
(2.54)
Rješavanjem (2.54) po v i ponovnom integracijom dobijamo jednačinu
kretanja tačke.
xmx F x
x x
dx dxm 1 m dt
dtF x F x
1
x
dxt m C x,t
F x
![Page 23: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/23.jpg)
2.4 Kosi hitac u vakumu
Ovaj problem svodi se na određivanje kretanja materijalne tačke izbačene sa
površine zemlje početnom brzinom v0 pod uglom α.
Početni uslovi su:
(2.55)
Slika 2.5 Krivolinijsko kretanje materijalne tačke
0 0 0
0x
0y 0
0z 0
x y z 0
v 0
v v cos
v v sin
![Page 24: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/24.jpg)
Diferencijalne jednačine kretanja kosog hitca su:
(2.56)
Integracijom prve jednačine dobijamo:
(2.57)
Iz početnih uslova za
(2.58)
Ponovnom integracijom dobijamo
(2.59)
2
2
2
2
2
2
d xX m
dt
d yY m
dt
d zZ m m G
dt
x 1
dxv C
dt
0x 1t 0 v 0 C 0dx
0dt
2 0 2x C t 0 x 0 C 0
x 0
![Page 25: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/25.jpg)
Integracijom druge jednačine dobijamo:
(2.60)
Iz početnih uslova za
(2.61)
Ponovnom integracijom dobijamo
(2.62)
Iz početnih uslova za
(2.63)
y 3
dyv C
dt
0y 0 3 0t 0 v v cos C v cos
0 4t 0 y 0 C 0
0
dyv cos
dt
0 4y v tcos C
0y v tcos
![Page 26: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/26.jpg)
Integracijom treće jednačine dobijamo:
(2.64)
Iz početnih uslova za
(2.65)
Ponovnom integracijom dobijamo
(2.66)
Iz početnih uslova za
(2.67)
z 5
dzv g t C
dt
0z 0 5 0t 0 v v sin C v sin
0 6t 0 z 0 C 0
0
dzg t v sin
dt
2
0 6
tz g v t sin C
2
2
0
tz g v t sin
2
![Page 27: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/27.jpg)
Jednačine kretanja materijalne tačke u ravnini 0yz su:
(2.68)
Eliminisanjem vremena iz jednačina (2.68) dolazimo do jednačine
paraboločne trajektorije.
(2.69)
0
2
0
y v tcos
g tz v t sin
2
2
2 2
0
gz tg y y
2v cos
![Page 28: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/28.jpg)
2.5 Inercijalne sile
Inercijalna sila je naziv za silu kojom se materija suprostavlja svakoj promjeni
kretanja.
Inercijalna sila se pojavljuje pri pravolinijskom i krivolinijskom kretanju.
Slika 2.6 Inercijalna sila na tijelu
(2.70)
Tijelo se odupire promjeni intenziteta brzine inercijalnom silom, zbog čega je
i potrebno upotrijebiti aktivnu silu.
Prema zakonu akcije i reakcije vrijedi:
(2.71)
iR F T F m a
in iF F m a
![Page 29: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/29.jpg)
Pri krivolinijskom kretanju inercijalne sile će se javljati kao otpor promjeni
intenziteta brzine (tangencijalno ubrzanje) i kao otpor promjeni pravca
(normalno ubrzanje).
(2.72)
Slika 2.7 Inercijalne sile kod krivolinijskog kretanja
Za kružno kretanje:
(2.73)
in inT inN
inT T
inN N
F F F
F m a
F m a
inT
2
inN
dvF m
dt
vF m
r
inT
22
inN
dvF m m r
dt
vF m m r
r
![Page 30: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/30.jpg)
2.6 D’alembertov princip
Prema ovom principu sistem sila koje djeluje na materijalnu tačku,
dodavanjem inercijalnih sila, svodi na sistem sila u ravnoteži.
Na taj način zadatak dinamike se svodi na sistem sila u ravnoteži.
Ova metoda naziva e još i kinetostatička metoda.
Slika 2.8 Dodavanje inercijalnih sila
(2.74)
Objasniti D’alembertov princip na primjeru.
R iF F 0
![Page 31: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/31.jpg)
2.7 Opšti teoremi dinamike materijalne tačke
Svi opšti teoremi dinamike materijalne tačke iz osnovnog zakona dinamike,
drugog Newtonovog zakona.
Svaki od tih teorema daje zavisnost između osnovnih dinamičkih
karakteristika kretanja, pa time pruža mogućnost analize kretanja.
Slika 2.9 Trajektorija kretanja materijalne tačke
![Page 32: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/32.jpg)
2.7.1 Impuls sile i količina kretanja
Iz osnovnog zakona dinamike proizilazi:
(2.75)
Vektor čiji je intenzitet jednak proizvodu mase i brzine naziva se količina
kretanja, a ekvivalentan vektor, koji je jednak proizvodu sile i vremena njenog
djelovanja , je impuls sile.
U opštem slučaju ako je masa promjenjiva izraz (2.75) postaje:
(2.76)
Iz izraza (2.76) se može reći da je diferencijal količine kretanja jednak
elementarnom impulsu sile.
(2.77)
dvm F m dv Fdt
dt
d mv Fdt
t
0
0
mv mv Fdt
![Page 33: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/33.jpg)
Promjena količine kretanja jednaka je impulsu sile u istom intervalu.
Projekcije na ose pravouglog koordinatnog sistema daju skalarne jednačine:
(2.78)
Ako je F=0 može sa napisati:
(2.79)
Ako je F=const može sa napisati:
(2.80)
Ako vrijeme t vrlo malo, onda promjenu količine kretanja može izazvati
veoma velika sila, što se javlja kod udarnih opterećenja:
(2.81)
t
x 0x
0
t
y 0y
0
t
z 0z
0
mv mv Xdt
mv mv Y dt
mv mv Zdt
0mv mv 0
0mv mv F t
t
0
0
1v v Fdt
m
![Page 34: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/34.jpg)
2.7.2 Kinetički moment (zamah)
Po analogiji na statički momenat sile u odnosu na tačku možemo naći
momenat bilo koje vektorske veličine.
Ako količinu kretanja posmatramo kao vektorsku veličinu onda će moment
količine kretanja u odnosu na tačku 0 iznositi:
(2.82)
Slika 2.10 Kinetiči moment
Vektor ovog momenta je okomit na ravninu u kojoj leže vektori r i v.
0K r mv
![Page 35: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/35.jpg)
Deriviranjem kinetičkog momenta po vremenu dobijamo:
(2.83)
Vektori v i mv su kolinearni te je njihov proizvod jednak nuli.
(2.84)
Derivacija kinetičkog momenta u odnosu na neku po vremenu, jednaka je
momentu sile u odnosu na istu tačku.
Isto važi i za osu.
(2.85)
0
0
dK d dr dr mv mv r mv
dt dt dt dt
dKv mv r F
dt
00F
dKr F M
dt
yx zx y z
dKdK dKM M M
dt dt dt
![Page 36: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/36.jpg)
2.7.3 Mehanički rad sile
Ako se materijalna tačka pod djelovanjem sile F pokrene po svojoj putanji za
ds, onda je mehanički rad što ga je izvršila sila:
(2.86)
Slika 2.11 Rad sile
Ukupan mehanički rad sile na putu od s1 do s2 biće:
(2.87)
dA F ds cos
2
1
s
s
A F cos ds
![Page 37: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/37.jpg)
U vektorskom obliku mehanički rad je:
(2.88)
(2.89)
Slika 2.12 Rad sile
Rad smatramo pozitivnim ako vektori sile i brzine zatvaraju ugao α<π/2.
Rad je negativan kada je α>π/2. ako je α=π/2 rad je jednak nuli.
Ao su sila i ugao konstantni na konačnom putu s, rad se može napisati:
(2.90)
dA F ds
2
1
s
s
A Fds
A F cos s Nm
![Page 38: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/38.jpg)
Ako na materijalnu tačku djeluje više sila ukupan rad se može napisati kao
zbir svih radova od pojedinačnih sila.
(2.91)
(2.92)
Slika 2.12 Rad sistema sile
Na isti način možemo rad sile izraziti preko njenih komponenata na
koordinatnim osama.
(2.93)
1 2 ndA dA dA ... ... dA
1 2 nA dA dA ... ... dA
dA X dx Y dy Z dz
A Xdx Ydy Zdz
![Page 39: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/39.jpg)
Mehanički rad sile na putu s može se grafički prikazati pomoću površine
dijagrama FT=f(s).
Slika 2.13 Dijagram sila-put
Ukupan rad obavljen na putu s2-s1 jednak je površini omeđenom apcisom i
funkcijom f(s).
![Page 40: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/40.jpg)
2.7.4 Rad momenta sile
Opši izraz za mehanički rad sile je:
(2.94)
Slika 2.14 Rad momenta sile
(2.95)
(2.96)
ds rd
A F cos ds
A F cos r d
![Page 41: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/41.jpg)
(2.97)
(2.98)
Ako se intenzitet momenta sile ne mijenja rad je:
(2.99)
F tM F r F cos r
F 2 1A M
2
1
FA M d
![Page 42: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/42.jpg)
2.7.5 Deformacioni rad
Ako opteretimo oprugu silom F, ona će se izdužiti za x.
(2.100)
Slika 2.15 Deformacioni rad
Sila F nije konstantna, već se linearno mijenja u funkciji deformacije.
2
1
x
x
A Fdx
![Page 43: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/43.jpg)
(2.101)
Slika 2.16 Dijagram F-x
C- elastična konstanta opruge [N/m]
(2.102)
(2.103)
F c x
2
2
1
1
x 2 22x 2 1x
x
x xxA c xdx c c c
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
cA x x x x
2
1F F x x
2
![Page 44: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/44.jpg)
2.7.6 Rad sile teže
Materijalna tačka se pod djelovanjem sile teža G pomiče iz položaja M1 u
položaj M2.
(2.104)
(2.105)
Rad je pozitivan ako se visina tačke smanjuje. Ne ovisi o putanji.
Slika 2.17 Rad sile teže
2
1
z
2 1 1 2
z
A Gdz G z z G z z
dA X dx Y dy Z dz
Z G
dA Gdz
![Page 45: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/45.jpg)
2.7.7 Rad centralnih sila
Centralne sile su one čiji pravac djelovanja prolazi kroz jednu tačku, centar
sila.
Slika 2.18 Centralne sile
(2.106)
(2.107)
(2.108)
(2.109)
F f r
dA F dscos F,v
ds cos F,v dr
dA F dr f(r) dr
![Page 46: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/46.jpg)
(2.110)
Znak + odnosi se na odbojnu silu, a znak – na privlačnu silu.
Rad ne zavisi o obliku putanja, već samo o krajnjim položajima tačke r1 i r2.
2
1
r
r
A f(r)dr
![Page 47: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/47.jpg)
2.7.8 Kinetička energija
Množeći osnovnu jednačinu skalarno s dr dobijamo:
(2.111)
(2.112)
(2.113)
Polovina proizvoda mase i kvadrata brzine naziva se kinetička energija.
Diferencijal kinetičke energije jednal je elementarnom radu sile koja djeluje
na materijalnu tačku.
dvF m dr v dt
dt
dvF dr m v dt
dt
F dr m v dv
2vF dr d m
2
![Page 48: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/48.jpg)
Ako integriramo lijevu i desnu stranu dobijamo:
(2.114)
Položajima Ai B odgovaraju brzine v1, v2, i putev s1, s2.
(2.115)
Promjena kinetičke energije na određenom putu, koji prevali materijalna
tačka, jednaka je radu što ga na tom putu obave sile koje djeluju na
materijalnu tačku.
B B B
A A A
m v dv F dr X dx Y dy Z dz
2 2
1 1
v s
v s
2 2
2 1
m v dv Fcos ds
mv mvA
2 2
![Page 49: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/49.jpg)
(2.116)
Derivacija kinetičke energije po putu, jednaka je tangencijalnoj komponenti
sile koja djeluje na materijalnu tačku.
Promjena količine kretanja jednaka je impulsu sile:
(2.117)
Ako izraz (2.117) pomnožimo sa v i sa v0 a zatim ih saberemo dobijamo:
(2.118)
2
T
kT
vd m dA F ds
2
dEF
ds
t
0
0
mv mv Fdt
2 2
2 10
2 202 1
mv mv 1v v
2 2 2
mv mv v v
2 2 2
![Page 50: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/50.jpg)
2.7.9 Potencijalna energija
Dio prostora unutar kojeg djeluje sila na materijalnu tačku smještenu u tom
dijelu prostora, naziva se polje sila.
Tako npr. imamo polje sila oko Zemlje usljed sile zemljine teže.
Pretpostavimo da polje sila ispunjava slijedeće uslove:
- veličina, pravac i smjer sile F u polju sila zavisi samo o položaju tačke;
- rad sile F pri premještanju iz položaja 1 u položaj 2, ne zavisi o putanji
tačke, već o njenim krajnjim položajima.
Polje sa navedenim osobinama naziva se potencijalno polje sila.
Ako u potencijalnom polju fiksiramo jednu tačku M0, onda je rad što ga obavi
sila pri premještanju materijalne tačke iz položaja M u nulti položaj, jednak
potencijalnoj energiji ma terijalne tačke u položaju M.
(2.119)
Pretpostavimo da potencijalna energija tačke u položaju M ima vrijednost C.
(2.120)
p pE E x,y,z
pE x,y,z C
![Page 51: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/51.jpg)
Slika 2.19 Ekvipotencijalna površina polja
Ekvipotencijalne površine se međusobno ne sijeku.
Rad sile u potencijalnom polju jednak je razlici potencijala početne i završne
tačke.
(2.121)
Slika 2.20 Rad sile u potencijalnom polju
p1 p2A E E
![Page 52: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/52.jpg)
Po teoremi o kinetičkoj energiji, rad sila u potencijalnom polju jednak je
promjeni kinetičke energije materijalne tačke.
(2.122)
Odavde proizilazi da je:
(2.123)
Zbir kinetičke i potencijalne energije u potencijalnom polju je konstantan.
Zajednički naziv za kinetičku i potencijalnu energiju je mehanička energija.
Izraz (2.123) predstavlja zakon održanja mehaničke energije.
Ovaj zakon važi za konzervativne sile kao što su sila teže, sila opruge,
magnetskog polja i druge sile elastičnih tijela.
Ako na tijelo djeluju i druge sile, onda se ukupna energija mijenja s veličinom
rada nekonzervativnih (disipativnih sila).
k1 p1 k2 p2E E E E const
2 2
2 1p1 p2
mv mvA E E
2 2
![Page 53: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/53.jpg)
2.7.10 Snaga
Mehanički rad sile u jedinici vremena naziva se snaga ili efekat sile.
(2.124)
U opštem slučaju je:
(2.125)
Ako je sila konstantna:
U praksi se koristi jedinica za snagu – konjska snaga [KS]
(2.126)
A Nm JP W
t s s
dAP
dt
Fcos dsP F v
dt
1KS 735,5W
![Page 54: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/54.jpg)
Snaga izazvana djelovanjem momenta sile proizilazi iz izraza za elementarni
rad:
(2.127)
Pri pretvaranju jednog oblika energije u drugi nastaju gubici. Stvarna
(efektivna) snaga je uvijek manja od teoretske.
Odnos efektivne i teoretske snage se izražava faktorom korisnosti:
(2.128)
F
F
F
dA M d
P M
P M 2 n
ef
t
P
P
![Page 55: 2 Dinamika Materijalne Tacke](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050805/55cf9502550346f57ba5e99b/html5/thumbnails/55.jpg)
Na primjeru vodene turbine ako visinu pada vode na lopatice označimo sa H
[m], a protok Q [m3/s], teoretska snaga će biti:
(2.129)
Efektivna snaga je:
(2.130)
(2.131)
tP H Q g
0,75 0,95
eP H Q g