14

2

DISTRIBUSI PELUANG

DAN

UJI HIPOTESIS

Sebagaimana dalam penelitian pada umumnya, di dalam eksperimen fisika kita juga

sering dihadapkan pada uji hipotesis. Di dalam Bab 2 ini kita akan mempelajari macam-

macam distribusi peluang dan penerapan distribusi normal untuk menyeleksi data dan uji

hipotesis. Dengan memahami materi dalam bab ini diharapkan kita dapat mengolah data serta

mengambil kesimpulannya dengan tepat.

Sebelum mempelajari Bab 2 ini diharapkan kita sudah memahami statistik distribusi,

karena pengetahuan tersebut merupakan dasar dari pembicaraan bab ini.

2.1. DISTRIBUSI PELUANG

Teori peluang adalah bagian integral dari ilmu statistik, dan merupakan salah satu

bagian yang penting dalam teori statistik inferensial. Statistik inferensial berkaitan dengan

metode pendugaan dan penarikan kesimpulan terhadap karakteristik suatu populasi

berdasarkan informasi yang diperoleh dari sample. Dalam proses pendugaan atau penarikan

kesimpulan tersebut terkandung unsur ketidak pastian, karena pada kenyatannya suatu

proses jarang sekali didukung oleh informasi atau input yang sempurna. Secara statistik

derajat/tingkat ketidak pastian tersebut dikuantisasikan dengan menggunakan teori peluang.

Distribusi peluang (probability distribution) bagi suatu variabel acak X pada dasarnya

merupakan distribusi dari suatu populasi. Distribusi peluang bagi X tersebut merupakan suatu

daftar yang memuat nilai peluang bagi semua nilai variable acak X yang mungkin terjadi.

Distribusi peluang bagi variable acak diskrit dapat disajikan dalam bentuk tabel, grafik atau

rumus yang mengaitkan nilai peluang dengan setiap nilai variable acaknya.

Dari macam-macam variable dalam penelitian , kita kenal beberapa jenis distribusi

peluang.

2.1.1. Distribusi Binomial

Salah satu karakteristik penting dari percobaan binomial adalah bahwa percobaan

hanya mungkin menghasilkan dua kejadian. Secara konvensional, kedua kejadian tersebut

15

biasa dikatagorikan sebagai berhasil dan gagal. Suatu percobaan binomial mempunyai ciri-ciri

sebagai berikut :

a. Percobaan binomial terdiri dari n ulangan yang identik

b. Dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian, yaitu berhasil atau

gagal.

c. Peluang untuk berhasil dalam setiap ulangan adalah p, dan nilai p bersifat konstan.

d. Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan yang lain, artinya hasil dari suatu

ulangan tidak mempengaruhi hasil ulangan yang lain.

Contoh dari percobaan binomial adalah pelemparan mata uang yang seimbang

sebanyak 15 kali. Dalam setiap pelemparan hanya ada dua kemungkinan, yaitu tampaknya

sisi muka (berhasil) dan tampaknya sisi belakang (gagal). Dengan asumsi simetris, maka

peluang tampaknya sisi muka pada setiap pelemparan adalah p = 0,5. Variabel acak yang

dihasilkan dari suatu percobaan binomial disebut dengan variable acak binomial. Pada kasus

tersebut, variable acak yang menjadi perhatian kita adalah misalnya jumlah sisi muka yang

tampak pada ke 15 lemparan tersebut. Oleh karena itu, variable acak binomial adalah variable

acak diskrit yang hanya dapat bernilai 0, 1, 2, n. Distribusi peluang dari variabel

binomial, disebut distribusi peluang binomial bagi tampaknya sisi muka (berhasil) sebanyak

x kali dari n ulangan.

Jadi pokok-pokok pengertian dalam distribusi binomial adalah sebagai berikut: apabila

timbulnya suatu gejala yang kita harapkan kita sebut berhasil kita beri simbul p, sedangkan

tidak timbulnya gejala kita sebut gagal dan kita beri simbul q (q = 1 p dan p = 1 q), maka

probabilitas timbulnya gejala berhasil sebanyak x kali dalam n kejadian (artinya x kali akan

berhasil dan n x kali akan gagal) dinyatakan dengan rumus sebgaia berikut :

xnX

B qpxnx

npnxP

!!

!,, (2.1)

dengan x = semua bilangan dari 0 sampai n

Mean dari distribusi binomial dinyatakan dengan

n

X

xnx npppxnx

nx

0

1!!

! (2.2)

Standar deviasi diberikan dengan persamaan

n

x

xnx pnpppxnx

nx

0

22 11!!

! (2.3)

16

Contoh 2.1

Misal kita melempar 10 koin ke udara 100 kali. Tiap lemparan kita akan mengamati

jumlah koin dengan gambar kepala, ditandai dengan x. i adalah jumlah lemparan,

sehingga i berharga satu sampai 100 dan xi adalah bilangan bulat dari nol sampai 10.

Probabilitas distribusi fungsi mendapatkan harga x diberikan dengan distribusi binomial

(2.1). Distribusi induk tidak dipengaruhi oleh i percobaan. Distribusi induk PB(x,10,1/2)

seperti dilukiskan pada Gambar 2.1. Sedangkan meannya adalah

= 10(1/2) = 5

Standar deviasi dinyatakan dengan

58,15,22

1

2

110

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12

P (

x, 10, 1/2

)

Gambar 2.1. Distribusi binomial fungsi PB(x, 10, ) dengan = 5 dan =1,6

Contoh 2 .2

Misal kita melempar 10 dadu. Berapakah probabilitas x dadu yang terletak dengan angka

satu diatas. Jika melempar satu dadu, probabilitas untuk mendapatkan dadu tersebut

terletak dengan angka satu di atas adalah p = 1/6. maka

xx

xxxP

10

6

5

6

1

)!10(!

!10

6

1,10,

Mean : 67,16

10

Standar deviasi = 18,1

17

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 5 10 15

P (

x, 10, 1/6

)

Gambar 2.2. Distribusi binomial fungsi PB(x, 10, 1/6) dengan = 1,67 dan =1,2. Distribusi tidak simetri disekitar mean

Contoh 2.3

Andaikan suatu pabrik lilin (untuk ski), menyatakan bahwa lilin produksinya dapat

mengurangi gesekan antara ski-salju. Untuk menguji hal tersebut perlu dilakukan

percobaan perlombaan 10 pasang ski, tiap pasangan satu ski diberi lilin sedangkan

yang lain tidak diberi lilin. Berapakah kebolehjadian ke10 ski berlilin memenangkan

lomba ?

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dirumuskan dulu hipotesis statistik, dalam hal ini

yang paling sederhana adalah hipotesis nol, yaitu mengandaikan bahwa lilin tidak memberi

efek apapun.

Kebolehjadian tiap ski berlilin menang p = , kalah q = Kebolehjadian n ski berlilin

memang dalam sepuluh (10) perlombaan.

P (x, n, p) )10(

)!10(!

!10 nnqpnn

= 10

2

1

)!10(!

!10

nn

Kebolehjadian 10 ski berlilin menang.

%1,02

1

2

1

)!1010(!10

!10)

2

1,10,10(

1010

P

Sangat kecil

18

Contoh 2.4

Distribusi binomial ini dapat digunakan untuk menggambarkan kejadian peluruhan.

Andaikan ada N partikel. Kebolehjadian setiap partikel meluruh (p) dan tidak meluruh q =

1 p.

Nomor partikel : 1,2,3 n-1, n, n+1 N

Kebolehjadian n partikel pertama meluruh.

P = pn q

(N-n) untuk satu partikel

Jika partikel tak terbedakan

)(

)( !!

!),(

nNnN

n

nNn

qpC

qpnnN

NNnP

P = probabilitas meluruh dari n partikel

q = probabilitas tidak meluruh

N = jumlah partikel

n = probabilitas yang dicari

Distribusi Binomial untuk mencari n rata-rata

N

1

),( n

NnPnn ingat ! :

)(

)(

xfx

dxxxfxx

nqpCN

n

nNnN

n

1

)(

Dengan mensubstitusikan

m = n 1 n = m + 1

M = N 1 N = M 1

nqpmmM

Mn mMm

N

n

)()1(1

)!1()!(

)!1(

mMmN

m

qpmmM

MPN

)!()!(

!1

0

Distribusi binomial dalam m

Jadi pNn

Standar deviasi :

Npp

pNqS

)1(

19

2.1.2. Distribusi Poisson

Distribusi ini diturunkan dari distribusi binomial untuk N besar. Jika kejadian yang

diharapkan muncul adalah x, dan x

20

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 5 10 15

P (

x, 1,6

7)

Gambar 2.3. Distribusi Poisson PP(x,) Untuk = 1,67 cacah/10 secon dan = 1,29

2.1.3. Distribusi Normal / Gaussian

Dalam macam-macam distribusi yang dibicarakan di atas, semua variable acaknya

bersifat diskrit. Sekarang kita beralih pada distribusi dengan variable acak kontinu. Distribusi

dengan variable acak kontinu yang kita bicarakan di sini adalah distribusi normal atau yang

disebut juga distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan

banyak digunakan. Dalam distribusi normal, jika terdapat N buah data X1, X2 XN.

kebolehjadian mendapatkan hasil pengukuran Xi adalah

2

2

2

1)(

X

exf (2.10)

dengan merupakan rata-rata distribusi dan adalah simpangan baku untuk

distribusi, dan dengan X mempunyai batas - < X < , maka dikatakan bahwa variable acak

X berdistribusi normal.

N

i

)(rerata

N

XiX

(2.11)

Deviasi standar deviasi induk (N tak hingga)

22 )(1

XiN

Untuk distribusi sampel N berhingga, Deviasi standarnya :

1

)( 222

N

XXis

(2.12)

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah:

1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar X

21

2. Bentuknya simetri terhadap X =

3. Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodial, tercapai pada X = sebesar

3989,0

4. Grafiknya mendekati sumbu datar X dimulai dari 3X ke kanan dan

3X ke kiri

5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Untuk tiap pasang dan , sifat-sifat tersebut selalu terpenuhi, hanya bentuk kurvanya

yang berbeda-beda, Jika makin besar kurvanya makin rendah (platikurtik), dan jika makin

kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Gambar 2.4. menunjukkan dua kurva normal. (a) kurva normal dengan = 10 dan

= 5, sedangkan (b) kurva normal dengan = 20 dan = 7

Gambar 2. 4

Sifat (5) dapat dinyatakan dengan persamaan

12

1)(

2

2

`

dxedxxfX

(2.13)

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P(a

22

Distribusi normal standart adalah distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan

simpangan baku = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :

2

21

2

1)(

zezf

(2.15)

Untuk z dalam daerah min tak hingga sampai dengan tak hingga. Mengubah distribusi normal

umum (2.12) menjadi distribusi normal baku (2.13) dapat digunakan transformasi:

Xz (2.16)

Perubahan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 2.5

(a) (b)

Gambar 2.5.a). Normal umum : rata-rata = 0, simpangan baku 1

b).normal standart : rata-rata = 0, = 1

Setelah kita mempunyai distribusi normal baku yang diperoleh dari distribusi normal

umum dengan transformasi persamaan (2.15), maka daftar distribusi normal baku dapat

digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari.

Caranya adalah sebagai berikut :

1. Hitung z sampai dua desimal

2. Gambarkan kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada Gambar 2. 5.

3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical hingga memotong kurva.

4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak

di titik nol

5. Dalam Daftar F, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal

dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.

6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka

diperoleh bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang diperoleh harus

ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal)

-3 -2 - + +2 +3 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

23

Karena seluruh luas sama dengan 1 dan kurva simetrik terhadap = 0, maka luas dari garis

tegak pada titik nol ke kiri atau ke kanan adalah 0,5.

Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah

sebaliknya. Misal jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke

pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai diperoleh batas z di

dapat 6. Maka harga z = 2.46.

Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan rata-rata dan simpangan

baku tertentu dengan mudah dapat ditentukan. Jika sebuah fenomena berdistribusi normal,

maka dari fenomena tersebut dapat diartikan

1. Kira-kira terdapat 68,27 % berada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata,

yaitu antara dan +

2. Terdapat 95,45 % terletak dalam daerah dua simpangan baku, yaitu antara 2 dan

+2

3. Terdapat 99,73 % terletak dalam daerah tiga simpangan baku, yaitu antara 3 dan

+3

Penggunaan distribusi normal untuk penolakan dan penerimaan data

Setelah kita melakukan pengukuran, kita sering menjumpai bahwa dalam satu seri

pengukuran terdapat satu atau beberapa data yang menyimpang. Kita harus dapat

memutuskan apakah penyimpangan itu berasal dari suatu kesalahan dan harus ditolak ataukah

tidak perlu ditolak.

Contoh 2.6

Misal hasil pengukuran dari suatu periode ayunan yang dilakukan enam kali adalah: 3,8;

3,5; 3,9; 3,4; 3,9; 1,8 (dalam detik). Kita lihat bahwa 1,8 sangat menyimpang dari hasil

yang lain. Perlukah harga 1,8 tersebut kita tolak?

Penyelesaian

Dengan perhitungan nilai rata-rata diperoleh

0,8 dan

4,3

6

8,1394,39,35,38,3

24

Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara :

1) xX dan %68 xX ; atau %68 xx XXXP

2) xX 2 dan %952 xX ; atau %9522 xx XXXP

Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah :

1) %32%68%100 xx XdanX

2) 20

1%5%95%10022 xx XdanX

Data 1,8 ternyata terletak pada xx XXXP 22 dengan kebolehjadian

penyimpangan hasil ukur 5% atau 1/20. Ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan

hanya ada satu penyimpangan hasil pengukuran.

Kesimpulan :

1) Jika hanya terbatas ada 6 data maka data 1,8 dicurigai sebagai data yang salah,

sehingga data tersebut perlu ditolak

2) Jika dimungkinkan menambah data sampai 20, data 1,8 tidak perlu ditolak, karena hal

tersebut adalah kejadian yang normal.

Penolakan data berdasarkan kriteria Chauvenet

Kriteria Chauvenet menyatakan sebagai berikut : data akan ditolak, jika

kzzP

2

1dan

atau k

P o4

1)(

dengan k = cacah data

XXz

1

Contoh 2. 7

Dilakukan 10 kali pengukuran terhadap suatu besaran dengan nilai rata-rata adalah

X = 5 dan x = 2. salah satu hasil adalah 8. Ditolak atau diterimakah 8 ini?

25

Penyelasaian

5,12

58

XXz

5,125,15,1 PP Dari daftar z

P (-1,5 < < 1,5) = 86,64%

Kebolehjadian menyimpang

%68,62

%64,86%1005,1

P

Karena k

P4

15,1

%5,240

1

4

110

kk maka 8 diterima

Penggunaan distribusi normal untuk mengetahui factor bobot

Dalam N buah hasil pengukuran yang berasal dari distribusi induk Gaussian. Keboleh

jadian memperoleh hasil pengukuran Xi adalah (persamaan 2.14)

2

2

1exp

2

1

i

i

i

i

XXP

dengan adalah nilai rata-rata populasi (tidak diketahui). Jika adalah nilai rata-rata dari

hasil eksperimen, maka dihipotesakan distribusi induk dengan nilai rata-rata dan deviasi

standar , maka kebolehjadian mendapatkan hasil ukur Xi adalah :

2

'

2

1exp

2

1

i

i

i

i

XXP

(2.17)

Kebolehjadian mendapatkan suatu set pengukuran yang terdiri dari X 1, X2, XN adalah

i

N

iPP

1

2

1

'

2

1exp

2

1

i

i

i

N

i

XP

Kebolehjadian ini akan berharga maksimum jika

26

2

1

1 '

2

1

Xadalah minimum (2.18)

Atau 0'

d

d

0'

2

i

iX

0'22

ii

X

2

2

1

'

i

i

iX

(2.19)

Dari rumus perambatan ralat

2

2 ''

i

iX

2

2

2

2

1

1

1

'

i

i

i

i

i

ii

X

XX

maka

2

2

2

2

2

2

2

22

'

1

1

1

1

i

i

i

i

i

2

2

'

1

1

i

(2.20)

i

i

w2

1

disebut factor bobot

Jika deviasi masing-masing pengukuran sama besar, maka besarnya factor bobot masing-

masing pengukuran adalah sama

27

Nw

Nw

Xw

ww

i

i

1

'

'

(2.21)

Dari penjelasan di atas dapat kita lihat bahwa makin kecil standar deviasi, makin besar factor

bobot, yang berarti pula kebolehjadian untuk suatu hasil pengukuran akan berharga

maksimum.

2.2. DISTRIBUSI NORMAL DAN UJI HIPOTESIS

2.2.1. Menguji Rata-Rata : uji dua pihak

Misal kita mempunyai sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata

dan simpangan baku . Kita akan menguji parameter rata-rata . Untuk ini kita ambil sample

acak berukuran n, lalu kita lakukan hitung statistik X dan . Untuk keperluan uji rata-rata

ini kita bedakan hal-hal sebagai berikut:

a) Jika diketahui

Pasangan hipotesis : H0 : = 0

H1 : 0

Dengan 0 adalah sebuah harga yang diketahui. Untuk pengetesan hipotesis digunakan

statistik

n

XZ o

(2.22)

Statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan criteria pengujian,

digunakan daftar distribusi normal baku. H0 kita terima jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)

Dengan z1/2(1-) diperoleh dari daftar normal baku dengan peluang 1/2(1-). Dalam hal

lainnya H0 ditolak.

Contoh 2.8

Suatu perusahaan membutuhkan fiber dengan daya patah normal 150 psi. Pengalaman

sebelumnya menunjukkan bahwa simpangan baku daya patah fiber merk X adalah 3 psi.

Sebelum menggunakan fiber merk X, dilakukan empat kali eksperimen secara acak, dan

28

diobservasi. Ternyata daya patah rata-ratanya adalah 148 psi. Dengan = 0,05 (taraf

kepercayaan 95 %), diterimakah fiber merk X tadi ?

Penyelesaian

Diketahui : X = 148 psi

o = 150 psi

= 3 psi

n = 4

Perumusan hipotesis : 150: oH

150:1 H

Ditentukan = 0,05 ; z1/2(1-) = Z0,475 = 1,960 (table harga Z)

Terima Ho jika -1,960

29

Contoh 2.9

Perusahaan OHP mengatakan bahwa lampunya dapat tahan pakai sampai 800 jam.

Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut berubah. Untuk

menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 lampu. Ternyata rata-

ratanya adalah 792 jam, dari sample diperoleh s = 55 jam. Selidikah dengan taraf nyata

0,05, apakah kualitas lampu itu telah berubah atau belum.

Penyelesaiaan

Diketahui

X = 792

8000

s = 55

n = 50

Dengan menerapkan persamaan (2.23) maka diperoleh 029,15055

800792

t

Dari daftar distribusi Student, dengan = 0,05 dan dk = 49 untuk uji dua pikak didapat t0,975 =

2,01. Kriteria pengujian terima H0 jika t terletak anatata 2,01 dan 2,01 sedangkan dalam han

lainnya H0 ditolak. Jadi dalam taraf nyata 0,05, penelitian menunjukkan bahwa masa pakai

lampu masih sekitar 800 jam, belum berubah.

2.2.2. Menguji Kesamaan Dua Rata-Rata : uji dua pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau dua

populasi. Misal perbandingan produk dua cara produksi, kelenturan dua macam batang baja,

daya rekat dua macam lem dan sebagainya. Untuk keperluan ini akan digunakan dasar

distribusi sampling mengenai selisih statistik, missal selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misal kita mempunyai dua populasi normal, masing-masing dengan rata-rata 1 dan 2

sedangkan simpangan bakunya 1 dan 2. Secara independen dari populasi pertama diambil

sample acak berukuran n1, sedangkan dari populasi kedua sample acak berukuran n2. Dari

kedua sample ini diperoleh 11, sX dan 22 ,sX . Akan diuji tentang rata-rata 1 dan 2

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya adalah :

H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

30

Untuk ini kita bedakan hal-hal sebagai berikut :

a). 1 = 2 = dan diketahui

Statistik yang digunakan jika H0 benar adalah

21

21

11

nn

XXz

(2.24)

Dengan taraf nyata , maka criteria pengujian adalah : terima H0 jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)

Dengan z1/2(1-) diperoleh dari daftar normal baku dengan peluang 1/2(1-). Dalam hal

lainnya H0 ditolak.

Contoh 2.10

Dua tipe plastik diperkirakan cocok digunakan oleh suatu pabrik elektronik. Untuk ini

daya patah plastik perlu diketahui. Diketahui bahwa 1 = 2 = 1,0 psi. dari sample yang

diambil secara acak n1 = 10 dan n2 = 12 diperoleh X1 = 162,5 psi dan X2 = 155,0 psi.

Perusahaan menentukan bahwa tidak akan mengambil plastik 1 jika daya patahnya tidak

melebihi plastik 2 paling tidak 10 psi. Berdasarkan informasi dari sample, apakah

perusahaan mengambil plastik 1 (gunakan taraf kepercayaan 99 %)

Penyelesaian

Diketahui : 1 = 162,5 psi n1 = 10

2 = 155,0 psi n2 = 12

1 = 2 = 1,0 psi

Perumusan hipotesis :

psiH

psiHo

10:

10:

211

21

Kriteria penerimaan H0, terima H0 jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)

Dari table

57,2495,001,01

2

1

ZZ

839,5

12

1

10

1

105,7

110,1

10

21

21

nn

yyZo

Ternyata 495,0ZZ , jadi Ho ditolak, berarti dengan = 0,01, pengusaha pabrik tidak

menggunakan plastik jenis 1.

31

b). 1 = 2 = tetapi tidak diketahui

Dalam banyak hal jarang sekali 1 dan 2 diketahui besarnya. Untuk hal yang demikian

statistik yang digunakan jika H0 benar adalah

21

21

11

nns

XXt

p

(2.25)

Dengan

2

11

21

2

22

2

112

nn

snsnsp (2.26)

Dengan s1 dan s2 adalah varians sample pertama dan kedua

1

)( 22

n

XXis

Statistik t di atas (Persamaan 2.25) berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 2). Kriteria

pengujian adalah : terima H0 jika t(1- ) < t < t(1- ) . dengan t(1- ) diperoleh dari

daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 2) dan peluang (1- ) . Untuk harga-harga t

lainnya H0 ditolak.

Contoh 2.11

Kekuatan tegangan ikat dari semen adalah karakteristik yang penting dari suatu produk

semen. Seorang peneliti tertarik untuk membandingkan kekuatan tegangan ikat dari

formula yang telah dimodifikasi dengan suatu cara, dengan formula yang belum

dimodifikasi. Peneliti mengadakan 10 penyelidikan untuk formula yang telah

dimodifikasi dan 10 untuk formula yang belum dimodifikasi. Pada Tabel 2.1. kita lihat

dua perbedaan hasil pengukuran sebagai akibat dua perlakuan. Apakah tegangan ikat dari

dua macam semen tersebut berbeda ?. Gunakan 05,0

Tabel 2.1. Data hasil pengukuran kekuatan tegangan ikat dari dua macam formula semen

J Formula yang telah dimodifikasi

(X1j)

Formula yang belum dimodifikasi

(X2j)

1 16,85 17,50

2 16,40 17,63

3 17,21 18,25

4 16,35 18,00

5 16,52 17,86

32

6 17,04 17,75

7 16,96 18,22

8 17,15 17,90

9 16,59 17,96

10 16,57 18,15

Penyelesaian:

Dalam permasalahan di atas peneliti akan menolah H0 jika mean salah satu populasi lebih

besar dari pada mean populasi yang lain. Jadi pasangan hipotesisnya adalah

Hipotesis nol H0 : 1 = 2

Hipotesis alternatif H1 : 1 >2

terima H0 jika t(1- ) < t < t(1- )

Dari Tabel 2.1. kita peroleh

Formula yang telah dimodifikasi : 1X = 16,76 kgf/cm2

S12 = 0,100

S1 = 0,316

n1 = 10

Formula yang belum dimodifikasi : 2X = 17,92 kgf/cm2

S22 = 0,061

S2 = 0,247

n2 = 10

Dan

2

11

21

2

22

2

112

nn

snsnsp

081,0

21010

)051,0(9)100,0(9

Sp = 0,284

Selanjutnya dihitung tes statistik dengan persamaan (2.25)

21

21

11

nns

XXt

p

33

13,9

10

1

10

1284,0

92,1776,16

Dengan derajat kebebasan (n1+n2-2) =18 maka t(1- ) = t0,975 = 2,10. Jadi karena

10,213,9 975,00 tt maka kita menolak H0. Artinya kekuatan tegangan ikat dua macam

produk semen adalah berbeda.

c) 1 2 dan keduanya tidak diketahui

Jika kedua simpangan baku tidak sama, tetapi kedua populasi berdistribusi normal,

sampai sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup

memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t sebagai berikut :

2

2

2

1

2

1

21'

n

S

n

S

XXt

(2.27)

Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika

-21

2211

21

2211 'ww

twtwt

ww

twtw

(2.28)

Dengan 1

2

11

n

sw dan

2

2

22

n

sw

1.

2111 1

n

tt

1.

2112 2

n

tt

mt , diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang dan dk = (n-1) Untuk harga-

harga t yang lain, H0 ditolak.

Contoh 2.12

Semacam barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah dua

proses itu menghasilkan hal yang sama atau tidak terhadap kualitas barang itu ditinjau dari

rata-rata daya tekannya. Untuk itu diadakan percobaan sebanyak 20 kali terhadap hasil

proses pertama dan 20 kali pula terhadap hasil proses kedua. Rata-rat dan simpangan

34

bakunya berturut-turut adalah 1X = 9,25 kg, s1 = 2,24 kg 2X = 10,40 kg, s2 = 3,12 kg.

Dengan taraf nyata 0,05, selidikilah hasilnya !

Penyelesaian

Hipotesis H0 dan tandingannya H1 adalah

H0 : 1 = 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang sama

H1 : 1 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang berbeda

Uji statistiknya adalah

339,1

20

7344,9

20

0176,5

4,1025,9'

t

2509,0

20

0176,51 w

; 4867,0

20

7344,92 w

09,219,975,01 tt dan

09,219,975,02 tt

Sehingga

09,2

4867,02509,0

09,24867,009,22509,0

21

2211

ww

twtw

Kriteria pengujian adalah : Terima H0 jika 2,09

35

H1 : 2 0

2

Untuk pengujian digunakan statistik Chi-kuadrat

2

0

22 1

sn (2.29)

Jika dalam pengujian digunakan taraf nyata , maka criteria pengujian adalah : Terima H0

jika 2

1122

21

2 dengan

211

2

21

2dan di[peroleh dari daftar distribusi Chi-

kuadrat dengan dk = (n-1) dan masing-masing dengan peluang dan (1 ). Dalam hal

lainnya H0 ditolak.

Contoh 2.13

Simpangan baku dari massa hidup lampu yang diproduksi oleh suatu pabrik X adalah =

60 jam. Dengan sample berukuran 50 diperoleh s = 55 jam. Jika massa hidup lampu

berdistribusi normal, benarkah = 60 jam dalam taraf nyata = 0,05 ?

Penyelesaian

Untuk menyelidiki benar atau tidaknya harga ini, maka kita berhadapan dengan pasangan

hipotesis

H0 : 2

= 3600 jam

H1 : 2 3600 jam

Dengan persamaan (2.29) dan n = 50 ; s2 = 3025, maka

174,41

3600

30251502

Dengan dk = 49 dan peluang 0,025 dan 0,975, dari daftar distribusi Chi- kuadrat berturut-turut

didapatkan 025.02 = 32,4 dan 975,02 = 71,4

Kriteria pengujian : Terima H0 jika 2 antara 32,4 dan 71,4. Untuk harga harga

lainnya H0 ditolak. Dari perhitungan harga 2 = 41,174, harga ini terletak antara 32,4 dan

71,4 maka hipotesis diterima. Kesimpulan = 60 jam dapat diterima dengan resiko 5% akan

terjadinya penolakan hipotesis.

2.3.2. Uji Satu Pihak

Dalam kenyataan, sering sekali dikehendaki varians yang berharga kecil. Untuk ini

pengujian yang diperlukan merupakan uji pihak kanan

36

H0 : 2

= 02

H1 : 2 > 0

2

Statistik yang digunakan adalah tetap 2 dengan persamaan (2.29). Kriteria pengujian

dalam hal ini adalah : Tolak H0 jika 2 2 1- , dan

2 1- diperoleh dari daftar Chi-kuadrat

dengan dk = (n-1) dan peluang (1-). Dalam hal lainnya H0 diterima.

Jika hipotesis nol dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, maka pasangan

hipotesis tersebut adalah

H0 : 2

= 02

H1 : 2 < 0

2

Maka criteria pengujiannya adalah sebaliknya, yaitu tolak H0 jika 2 12 , dan

12 diperoleh dari daftar Chi-kuadrat dengan dk = (n-1) dan peluang . Dalam hal lainnya

H0 diterima.

Contoh 2.14

Proses pengisian suatu jenis makanan kedalam kemasan plastik oleh mesin, paling tinggi

mempunyai varians 0,50 g. Akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi kemasan telah

mempunyai variabilitas yang lebih besar. Setelah diteliti 20 kemasan dan isinya

ditimbang. Ternyata sample ini menghasilkan simpangan baku 0,90 g dengan = 0,05.

Perlukah mesin pengisi distel ?

Penyelesaian

Pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai

H0 : 2 = 0,50

H1 : 2 > 0,50

Dengan s2 = 0,81 dan n = 20 serta 2 = 0,50, maka dengan persamaan (2.29)

diperoleh

78,30

50,0

81,01202

Dari daftar Chi-kudrat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh 95,02 = 30,1

Karena Chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak pada taraf 5%. Ini

berarti bahwa variasi isi kemasan telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk

menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata.

37

2.2.3. Menguji Kesamaan Dua Varians

Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan dua rata-rata, kita mempunyai

asumsi bahwa kedua populasi mempunyai varians yang sama. Jika varians berbeda, sampai

saat ini hanya digunakan cara-cara pendekatan. Oleh karena itu dirasa perlu untuk melakukan

pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi dengan varians yang sama

besar dinamakan populasi dengan varians homogen. Dalam hal lainnya disebut populasi

dengan varians heterogen.

Misal kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 12

dan 22 . Jika kita

akan menguji kesamaan dua varians tersebut (uji dua pihak), maka pasangan hipotesis H0 dan

tandingannya H1 adalah

H0 : 12

= 22

H1 : 12 2

2

Berdasarkan sample acak yang diambil secara independen dari masing-masing populasi,

sample dari populasi kesatu berukuran n1 dan dengan varians s12 dan sample dari populasi

kedua berukuran n2 dan dengan varians s22, maka untuk menguji hipotesis digunakan

persamaan

2

2

2

1

s

sF (2.30)

Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika 1,12

111211

nnn FFF untuk taraf nyata ,

dengan F(m,n) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang = m dan dk

penyebut =n. Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Contoh 2.15

Ada dua macam cara pengukuran kelembaban udara. Cara pertama dilakukan 10 kali

pengukuran dengn s2 = 24,7 dan dengan cara kedua dilakukan 13 kali dengan s

2 = 37,2.

Dengan = 0,01 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians

yang homogen ?

Penyelesaian

Dengan persamaan (2.30) diperoleh

506,14,27

2,37F

38

Derajat kebebasan untuk pembilang = 12 dan untuk penyebut = 9. Dengan = 0,01dari daftar

distribusi F di dapat F0,005 (12,9) = 3,07

Dari penelitian didapat F = 1,506 dan ini lebih kecil dari 3,07. Jadi H0 : 12 = 2

2

Diterima dan H1 : 12 2

2 ditolak. Atau kedua cara pengukuran dapat dikatakan mempunyai

varians yang sama.

Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak, yaitu uji pihak kanan, maka

hipotesis nol dan tandingannya adalah

H0 : 12

= 22

H1 : 12 > 2

2

Statistik yang digunakan sama dengan persamaan (2.30)

Untuk uji pihak kanan, criteria pengujian adalah : tolak H0 jika 1,1 21 nnFF sedangkan

untuk uji pihak kiri,

H0 : 12

= 22

H1 : 12 < 2

2

Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 jika 1,11 21 nnFF . Dalam hal lainnya H0 diterima.

Contoh 2.16

Penelitian terhadap dua mesin pengisi minuman botol menghasilkan s12 = 25,4 cc dan s2

2

= 30,7 cc. Sampel yang diambil berukuran 13. Ada anggapan bahwa pengisian dengan

mesin pertama mempunyai variabilitas yang lebih kecil. Betulkah hal tersebut ?

Penyelesaian

Hipotesis yang akan diuji adalah

H0 : 12

= 22

H1 : 12 > 2

2

Dengan persamaan (2.30) diperoleh

21,14,25

7,30F

39

Dari daftar distribusi F didapat F0,05(12,12) = 2,69. Karena 1,21 < 2,69, maka dalam taraf nyata

0,05 H0 kita terima. Atau cara pengisian mesin kesatu mempunyai variabilitas yang sama

dengan mesin kedua.

SOAL-SOAL

1. Dalam suatu eksperimen dilakukan 15 kali pengukuran terhadap suatu besaran, rata-rata

hasil adalah x = 7 dengan deviasi standar sama dengan 2. Jika salah satu hasil adalah x1 =

9, ditolak atau diterimakah hasil pengukuran x1 tersebut ?

2 Sejenis alat laboratorium sekolah mempunyai kebolehjadian untuk memenuhi syarat

yang ditentukan oleh pengawas sekolah. Kini ada 4 alat seperti itu yang diperiksa

persyaratannya.

Berapa kebolehjadian bahwa jumlah alat yang memenuhi syarat adalah :

a) tidak ada

b) 2

3. Sepuluh % dari semacam batuan tergolong kedalam katagori A. Sebuah sample berukuran

30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sample tersebut berisikan batuan berkatagori

A:

a. semuanya

b. sebuah

c. dua buah

d. paling sedikit sebuah

e. paling banyak dua buah

f. tentukan rata-rata terdapatnya katagori A

4. Hasil pengukuran panjang suatu benda adalah : 45, 48, 44, 38, 45, 47, 52, 44, 46, 45 cm.

Selidikilah apakah ada data yang harus ditolak atau tidak ?

5. Diameter pipa baja yang dihasilkan oleh suatu pabrik mempunyai simpangan baku =

0,0001 inc. Dari 10 sampel yang diambil secara acak, diperoleh diameter rata-rata 0,2545

inc. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa mean diameter pipa adalah 0,255 inc.

Gunakan = 0,05.

40

6. Waktu layak konsumsi dari suatu minuman adalah suatu criteria yang penting. 10 botol

yang diambil secara acak di tes, hasilnya adalah sebagai berikut :

Hari

108 138

124 163

124 159

106 134

115 139

Jika hipotesis alternatif adalah mean waktu layak konsumsi lebih besar dari 125 hari,

dapatkah hipotesis nol H0 = = 125 hari ditolak ? Gunakan waktu layak konsumsi yang

benar mempunyai interval kepercayaan 95 %

7. Waktu pakai peralatan elektronik merupakan variable yang terdistribusi normal diukur

dalam jam. Waktu pakai dari 16 peralatan yang dipilih secara acak, adalah sebagai

berikut :

Jam

159 280 101 212

224 379 179 264

222 362 168 250

149 260 485 170

Benarkah mean waktu pakai lebih besar dari 225 jam ?. Tentukan interval kepercayaan

mean waktu pakai yang benar 95%.

8.Dua buah mesin digunakan untuk mengisi botol plastik yang bervolume netto masing-

masing 16. Proses pengisian dianggap normal dengan standart deviasi masing-masing 1

= 0,015 dan 2 = 0,018. Balai Peneraan mempunyai assumsi bahwa dua mesin tersebut

mengisi dengan volume netto yang sama. Apakah assumsi Balai Peneraan tersebut benar

?. Sampel yang diambil secara acak merupakan hasil pengukuran volume sari pengisian

masing-masing mesin.

41

Mesin 1 Mesin 2

16,03 16,01 16,02 16,03

16,04 15,96 15,97 16,04

16,05 15,98 15,96 16,02

16,05 16,02 16,01 16,01

16,02 15,99 15,99 16,00

9. Berikut ini adalah waktu nyala dua jenis lilin yang berbeda merk yang dinyatakan dalam

menit

Jenis 1 Jenis 2

65 82 64 56

81 67 71 69

57 59 83 74

66 75 59 82

82 70 65 79

a. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa dua varians adalah sama. Gunakan = 0,05

b. Berdasarkan hasil a, ujilah bahwa mean waktu nyala dua jenis lilin tersebut adalah

sama.

10. Diameter sebuah bola diukur oleh 12 orang yang masing-masing menggunakan dua

macam spherometer. Hasil pengukurannya adalah sebagai berikut

Spherometer 1 Spherometer 2

0,265 0,264

0,265 0,265

0,266 0,266

0,267 0,267

0,267 0,268

0,225 0,264

0,267 0,265

0,267 0,265

0,265 0,267

0,268 0,268

0,268 0,269

0,265 0,264

Apakah ada perbedaan antara dua mean dari populasi pengukuran yang dilakukan dengan

dua alat tersebut ? Gunakan = 0,05

42

DAFTAR PUSTAKA

Abdulrahman Ritongga, 1993. Statistik Terapan untuk Penelitian, Jakarta : FE. UI

Bevington, Philip R, 1992. Data Reduction And Error Analysis for the Physical Sciences.

New York : Mc Graw Hill.

Douglas c. Montgomery. 1984. Design And Analysis Of Experiments. New York : John

Willey and Sons

Ernest Rabinowicz. 1970. An Introduction To Experimentation. Massachusetts: Addison-

Wesley Publishing Company

Kusminarto, Dr. 1993. Metode Fisika Eksperimen. Yogyakarta : Fakultas Matematika Dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada

Sudjana, Prof, Dr, MA, MSc. 1996. Metoda Statistika (edisi ke enam). Bandung : Penerbit

Tarsito