HÌNH HỌC 9

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

§2 Đường kính và dây của đường tròn

Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu2. Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.Định hướng thực hiện các hoạt độngĐánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định líChép lại các chú ý, nhận xétThực hiện các hoạt động vào vở

4. Thực hiện bài tập lần 15. Viết thu hoạch sáng tạoPhần: Bài giảng nâng cao1. Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”4. Thực hiện bài tập lần 25. Viết thu hoạch sáng tạo

§2 ®êng kÝnh vµ d©y cña ®êng trßn

bµi gi¶ng theo chbµi gi¶ng theo ch¬ng tr×nh chuÈn¬ng tr×nh chuÈn

1. so s¸nh ®é dµi cña ®êng kÝnh vµ d©y

ThÝ dô 1: (Bµi to¸n/tr 102 sgk): Gäi AB lµ d©y cung bÊt k× cña ®êng trßn (O; R). Chøng minh r»ng AB 2R.

Gi¶i Häc sinh tù vÏ h×nhTa xÐt hai trêng hîp:

Trêng hîp 1: NÕu AB lµ ®êng kÝnh th× AB = 2R. (1)

Trêng hîp 2: NÕu AB kh«ng lµ ®êng kÝnh th× trong OAB ta cã:AB < OA + OB = R + R = 2R. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra AB 2R.

Nh vËy lµ cã kÕt qu¶:§Þnh lÝ 1: §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn.

1

2. quan hÖ vu«ng gãc gi÷a §êng kÝnh vµ d©y

ThÝ dô 2: §êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB vu«ng gãc víi d©y CD. Chøng minh r»ng AB ®i qua trung ®iÓm cña CD.

Gi¶i Häc sinh tù vÏ h×nhTa xÐt hai trêng hîp:

Trêng hîp 1: NÕu CD lµ ®êng kÝnh th× hiÓn nhiªn AB ®i qua trung ®iÓm O cña CD.

Trêng hîp 2: NÕu CD kh«ng lµ ®êng kÝnh th× gäi I lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD, trong OCD ta cã:

OC = OD = R OCD c©n t¹i O OI lµ ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn IC = ID, ®pcm.

Nh vËy lµ cã kÕt qu¶:§Þnh lÝ 2: Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× chia d©y Êy ra hai phÇn b»ng nhau (Nãi c¸ch kh¸c: §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy).

Yªu cÇu: TiÕp theo, chóng ta ®i xÐt bµi to¸n ngîc l¹i víi c©u hái "H·y ®a ra mét vÝ dô ®Ó chøng tá r»ng ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cã thÓ kh«ng vu«ng gãc víi d©y Êy".

ThÝ dô 3: (H§ 1/tr 102 sgk): §êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB ®i qua trung ®iÓm I cña d©y CD. Chøng minh r»ng AB vu«ng gãc víi CD.

Gi¶i Häc sinh tù vÏ h×nhTrong OCD ta cã:

OC = OD = R OCD c©n t¹i O OI lµ ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn OI CD AB CD, ®pcm.

Nh vËy lµ cã kÕt qu¶:§Þnh lÝ 3: Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (kh«ng qua t©m) th× vu«ng gãc víi d©y Êy.

ThÝ dô 4: (H§ 2/tr 104 sgk): Cho h×nh 67. H·y tÝnh ®é dµi d©y AB, biÕt OA = 13cm, AM = BM, OM = 5cm.

Gi¶i Sö dông h×nh 67/tr 104 SgkTõ gi¶ thiÕt AM = BM, suy ra:

OM AB OM AM OAM vu«ng t¹i M.do ®ã, theo ®Þnh lÝ Pytago ta ®îc:

AM2 = OA2 OM2 = 132 52 = 144 AM = 12 AB = 2AM = 2.12 = 24cm.

Chó ý: ThÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ viÖc sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ trªn cho bµi to¸n cùc trÞ.

ThÝ dô 5: Cho mét ®êng trßn (O) vµ ®iÓm P ë bªn trong ®êng trßn. Chøng minh r»ng trong tÊt c¶ c¸c d©y cung ®i qua P th× d©y cung vu«ng gãc víi b¸n kÝnh qua P lµ d©y cung ng¾n nhÊt.

Gi¶iGäi AB lµ d©y cung qua P vµ vu«ng gãc víi OP vµ CD lµ d©y cung

bÊt kú ®i qua P.H¹ OH vu«ng gãc víi CD, ta cã ngay:

OH OP, v× trong tam gi¸c vu«ng c¹nh gãc vu«ng nhá h¬n c¹nh huyÒn AB CD AB lµ d©y cung ng¾n nhÊt.

bµi tËp lÇn 12

O

A BPH

C

D

Bµi tËp 1: Cho ABC, c¸c ®êng cao BD vµ CE. Chøng minh r»ng:a. C¸c ®iÓm B, E, D, C thuéc mét ®êng trßn.b. DE < BC.

Bµi tËp 2: Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, d©y CD kh«ng c¾t ®êng kÝnh AB. Gäi H vµ K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn CD. Chøng minh r»ng CH = DK.

Bµi tËp 3: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét d©y cung AB = 2a (a < R). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. Tia OI c¾t cung t¹i M. TÝnh ®é dµi cña d©y cung MA.

Bµi tËp 4: Cho ®êng trßn (O, R) vµ hai b¸n kÝnh OA, OB. Trªn c¸c b¸n kÝnh OA, OB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho OM = ON. VÏ d©y CD ®i qua M vµ N (M n»m gi÷a C vµ N).a. Chøng minh r»ng CM = DN.b. Gi¶ sö = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho:

CM = MN = ND.Bµi tËp 5: Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB. Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung

®iÓm cña OA vµ OB. Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB).a. Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt.b. Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh

ch÷ nhËt CDFE.Bµi tËp 6: Cho mét ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm P kh¸c O ë bªn trong ®êng trßn.

Dùng mét d©y cung AB ®i qua P sao cho PA = PB.Bµi tËp 7: Cho ®êng trßn (O; R). T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña c¸c d©y AB sao

cho = 1200.

bµi gi¶ng n©ng cao

A. Tãm t¾t lÝ thuyÕt

1. so s¸nh ®é dµi cña ®êng kÝnh vµ d©y

§êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn.

2. quan hÖ vu«ng gãc gi÷a §êng kÝnh vµ d©y

Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× chia d©y Êy ra hai phÇn b»ng nhau. §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (kh«ng qua t©m) th× vu«ng gãc víi

d©y Êy.

B. ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n

D¹ng to¸n 2: Gi¶i b¸i to¸n ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh lîng

VÝ dô 1: (Bµi 10/tr 104 Sgk): Cho ABC, c¸c ®êng cao BD vµ CE. Chøng minh r»ng:a. C¸c ®iÓm B, E, D, C thuéc mét ®êng trßn.b. DE < BC.

Híng dÉn: Ta lÇn lît: Víi c©u a), sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c vu«ng. Víi c©u b), sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 1.

Gi¶ia. Trong ABC, ta cã:

BD AC = 900 D thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC.CE AB = 900 E thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC.

VËy bèn ®iÓm B, D, E, C thuéc ®êng trßn cã ®êng kÝnh BC.

3

E

C

A

B

D

O

b. V× BC lµ ®êng kÝnh cßn DE lµ mét d©y nªn lu«n cã DE < BC.

VÝ dô 2: (Bµi 11/tr 104 Sgk): Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, d©y CD kh«ng c¾t ®-êng kÝnh AB. Gäi H vµ K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn CD. Chøng minh r»ng CH = DK.

Híng dÉn: KÎ OM v«ng gãc víi CD.

Gi¶i Häc sinh tù vÏ h×nhKÎ OM vu«ng gãc víi CD, ta cã nhËn xÐt:

MC = MD TÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y. (1)OM // AH // BK OM lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABDC MH = MK. (2)

Trõ theo vÕ (2) cho (1) ta ®îc:MH MC = MK MD CH = DK, ®pcm.

VÝ dô 3: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét d©y cung AB = 2a (a < R). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. Tia OI c¾t cung t¹i M. TÝnh ®é dµi cña d©y cung MA.

Híng dÉn: Sö dông ®Þnh lÝ Pytago cho c¸c tam gi¸c vu«ng t¬ng øng.

Gi¶iTrong AMI, ta cã:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2. (1)MÆt kh¸c:

MI = OM – OI = R – OI.Trong OAI, ta cã:

OI2 = OA2 AI2 = R2 a2 OI =

MI = R . (2)

Thay (2) vµo (1), ta ®îc:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + (R )2

= a2 + R2 – 2R + R2 a2 = 2R2 – 2R

AM = .

VËy, ®é dµi d©y cung AM = .

NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn ®Ó tÝnh ®é dµi d©y cung AM chóng ta lùa chän ph¬ng ph¸p tr×nh bµy theo híng ph¸t sinh yªu cÇu råi thùc hiÖn yªu cÇu nµy ®Ó ®¹t ®îc môc ®Ých cuèi cïng lµ AM, cô thÓ:

AM2 = AI2 + MI2 = a2 + MI2 cÇn x¸c ®Þnh MI.MI = OM OI = R OI cÇn x¸c ®Þnh OI.OI ®îc x¸c ®Þnh dùa vµo OAI.

Tõ ®ã, thay ngîc l¹i kÕt qu¶ ®Ó nhËn ®îc AM.C¸ch tr×nh bµy nh vËy sÏ rÊt dÔ hiÓu, tuy nhiªn nã l¹i tá ra dµi dßng, chÝnh v× lý do nµy mµ c¸c em häc sinh h·y lu trö nã trong suy nghÜ cßn khi tr×nh bµy lêi gi¶i th× tr×nh bµy theo kiÓu ngîc l¹i, cô thÓ:

Suy nghÜ Tr×nh bµy

4

O

A B

M

I

1. §Ó tÝnh AM cÇn x¸c ®Þnh MI.

2. §Ó tÝnh MI cÇn x¸c ®Þnh OI.

3. OI ®îc x¸c ®Þnh dùa vµo OAI.

Trong OAI, ta cã:OI2 = OA2 AI2 = R2 a2 OI =

Suy ra MI = OM OI = R

Trong AMI, ta cã:AM2 = AI2 + MI2

= a2 + (R )2.

AM = .

C¸c em häc sinh cã thÓ luyÖn tËp b»ng viÖc gi¶i l¹i vÝ dô trªn trong trêng hîp R = 5cm vµ a = 3cm.

VÝ dô 4: Cho ®êng trßn (O, R) vµ hai b¸n kÝnh OA, OB. Trªn c¸c b¸n kÝnh OA, OB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho OM = ON. VÏ d©y CD ®i qua M vµ N (M n»m gi÷a C vµ N).a. Chøng minh r»ng CM = DN.b. Gi¶ sö = 900, h·y tÝnh OM, ON theo R sao cho:

CM = MN = ND.

Híng dÉn: Ta lÇn lît: Víi c©u a), sö dông ®Þnh lÝ TalÐt cïng mèi quan hÖ gi÷a v«ng gãc vµ song song ®Ó

sö dông ®îc kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 2. Víi c©u b), sö dông ®Þnh lÝ Pytago cho c¸c tam gi¸c vu«ng t¬ng øng.

Gi¶ia. H¹ OE vu«ng gãc víi AB c¾t CD t¹i F.

Trong OAB c©n t¹i O, ta cã:

MN // AB OF MN vµ MF = NF.

Ta cã nhËn xÐt thªm:OF MN OF CD CF = DF.

Khi ®ã:CM = CF – MF = DF – NF = DN, ®pcm.

b. §Æt MF = x, suy ra:CF = CM + MF = MN + MF = 3MF = 3x.OF = x, v× OMF vu«ng c©n t¹i F.

Trong OCF, ta cã:

OF2 = OC2 – CF2 x2 = R2 – 9x2 10x2 = R2 x = .

Khi ®ã, ta ®îc:

ON = OM = OF = . = .

VËy, víi ON = OM = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

VÝ dô 5: Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB. Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB. Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB).c. Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt.d. Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh

ch÷ nhËt CDFE.

Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dô 4.

Gi¶i

5

O

N

A B

C DM F

E

a. H¹ OP vu«ng gãc víi CD c¾t EF t¹i Q, suy ra:CP = DP, tÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y cung.OQ EF, v× EF // CD EQ = FQ, tÝnh chÊt ®êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y cung.

XÐt hai tam gi¸c vu«ng OPM vµ OQN, ta cã:

OM = OA = OB = ON

M¤P = N¤Q, v× ®èi ®Ønhdo ®ã:

OPM = OQN (c¹nh huyÒn vµ gãc nhän) OP = OQ CD = EF.Khi ®ã, tø gi¸c CDFE cã:

CD EF CDFE lµ h×nh b×nh hµnh.Trong h×nh b×nh hµnh CDFE, ta cã:

PQ lµ ®êng trung b×nh PQ // CE CD CE CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt.

b. Ta cã:SCDFE = CE.CD. (1)

Trong OPM vu«ng t¹i P, víi = 300, suy ra:

OP = OM = . OA = .

CE = PQ = 2OP = . (2)

Trong OPC vu«ng t¹i P, ta cã:

CP = = = .

CD = 2CP = . (3)

Thay (2), (3) vµo (1), ta ®îc:

SCDFE = . = .

D¹ng to¸n 3: Gi¶i b¸i to¸n dùng h×nh

VÝ dô 1: Cho mét ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm P kh¸c O ë bªn trong ®êng trßn. Dùng mét d©y cung AB ®i qua P sao cho PA = PB.

Híng dÉn: Sö dông kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ 3.

Gi¶iPh©n tÝch: Gi¶ sö ®· dùng ®îc d©y AB ®i qua P sao cho PA = PB, ta cã:

PA = PB OP AB.

C¸ch dùng: Dùng ®êng th¼ng (d) qua P vµ vu«ng gãc víi OP c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A, B.

Chøng minh: V×:OP AB PA = PB.

BiÖn luËn: Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh.

Lu ý: NÕu P O; bµi to¸n cã v« sè nghiÖm h×nh.

D¹ng to¸n 4: Gi¶i b¸i to¸n quü tÝch

VÝ dô 1: Cho ®êng trßn (O; R). T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña c¸c d©y AB sao cho = 1200.

6

O

A BP

O NA B

C

D

MF

E

P

Q

Híng dÉn: Víi AB kh«ng ®æi th× OM sÏ kh«ng ®æi. B»ng viÖc tÝnh ®îc ®é dµi cña OM = R1 ta sÏ nhËn ®îc kÕt luËn M(O; R1).

Gi¶iPhÇn thuËn: Gi¶ sö cã ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB sao cho = 1200.

Trong OAM, ta cã: = 600 = 300

OM = OA = M(O; ).

PhÇn ®¶o: LÊy mét ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng trßn (O; ), dùng d©y cung AB qua M vµ

vu«ng gãc víi OM. Ta ph¶i chøng minh = 1200.ThËt vËy, trong OAM vu«ng t¹i M, ta cã:

OM = OA O¢M = 300 = 600

= 2 = 1200.

KÕt luËn: Quü tÝch cña ®iÓm M lµ ®êng trßn (O; ).

bµi tËp lÇn 2Bµi 1:Cho ®êng trßn (O, R) ®êng kÝnh AB. Gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB. Qua M vµ N lÇn lît vÏ c¸c d©y CD vµ EF song song víi nhau (C vµ E cïng n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB).

a. Chøng minh tø gi¸c CDFE lµ h×nh ch÷ nhËt.

b. Gi¶ sö CD vµ EF cïng t¹o víi AB mét gãc nhän lµ 300, tÝnh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt CDFE.

Bµi 2:Cho ABC cã ba gãc nhän. ë phÝa ngoµi tam gi¸c vÏ c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB vµ AC. Qua A vÏ ®êng th¼ng (d) c¾t c¸c nöa ®êng trßn trªn thø tù ë E vµ F. Chøng minh r»ng.

a. NÕu (d) song song víi BC th× BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt.b. NÕu (d) vu«ng gãc víi trung tuyÕn AM cña ABC th× AE = AF.

7

O

A BM