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Page 1: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9

El modelo atómico planetario de Bohr II

Para un átomo hidrogenoide, el modelo planetario de Bohr nos indica que la energía delelectrón (la cual tomaremos como la energía del átomo) se puede escribir de la siguientemanera:

en donde se han hecho sucesivamente los reemplazos ħ = h/2π y k = 1/4πε0.

De este modo, en el sistema de unidades SI (MKS), la energía de un electrón en un átomo dehidrógeno para el cual su número atómico es Z = 1 y el cual está situado en la primera capacuyo número cuántico principal es n = 1 se puede escribir de la siguiente manera:

Se ha encontrado que el resultado predicho teóricamente con la fórmula anterior noconcuerda del todo con el resultado obtenido experimentalmente. Esto se debe a que en laderivación de la fórmula correcta tenemos que utilizar no la masa del electrón me sino la

masa reducida μ del átomo. Para un sistema de dos partículas, uno con masa M y el otrocon masa m (como lo es el caso del átomo de hidrógeno formado por un protón y unelectrón), la masa reducida del par de partículas se define formalmente de la siguientemanera:

que podemos reescribir de la siguiente manera:

Para fines prácticos, usualmente se considera que el núcleo del átomo, cargadopositivamente, tiene una masa tan grande comparada con la del electrón que puedeconsiderarse infinitamente pesado para fines de cálculo, o lo que es lo mismo, suponemosque se encuentra en reposo total con el electrón girando a una distancia fija con respecto alcentro geométrico del núcleo. Pero si consideramos que el núcleo tiene una masa M,entonces su energía cinética será mV²/2 = P²/2M en donde P = MV es el momentum. Si setiene en cuenta que la masa del núcleo es finita y suponemos que el momentum total delátomo es igual a cero, entonces el momentum del núcleo atómico y del electrón deben seriguales. La energía cinética total debe ser entonces igual a:

S E G U I D O R E S

A R C H I V O D E L B L O G

▼ 2009 (136)▼ agosto (136)

Indice

Prólogo

El modelo atómico planetario de Bohr I

El modelo atómico planetario de Bohr II

La espectroscopía de rayos-X

La extraña ecuación de Max Born

Vectores y matrices I

Vectores y matrices II

El análisis de Fourier

La regla de multiplicación de Heisenberg

Observables compatibles eincompatibles

Oscilador armónico simple: soluciónmatricial

Matrices y probabilidad

El principio de incertidumbre I

El principio de incertidumbre II

El experimento Stern-Gerlach

El spin del electron

Momento angular: tratamiento matricialI

Momento angular: tratamiento matricialII

Momento angular: tratamiento matricialIII

La energía rotacional

Matrices y sub-matrices

Solución matricial del átomo dehidrógeno

Funciones matriciales

De la mecánica clásica a la mecánicamatricial

La matriz momentum como generadora

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La Mecánica Cuántica

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Page 2: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

en donde aparece inevitablemente la masa reducida simbolizada con la letra griega μ. Laenergía cinética resulta ser entonces ligeramente diferente de la energía del electrón porquela masa reducida μ es ligeramente diferente. Los resultados obtenidos previamente para elmodelo atómico planetario de Bohr en donde se había supuesto un núcleo de masainfinitamente grande pueden ser aplicados directamente para el caso de un núcleo atómicode masa M si reemplazamos a la masa del electrón en las ecuaciones por la masa reducida μ.La corrección obtenida equivale a tan sólo una parte en 2,000 para el caso del hidrógeno, yes aún menor para átomos con núcleos más pesados. Para el hidrógeno se tiene que la masadel núcleo que podemos tomar como la masa total del átomo es aproximadamente 1836veces mayor que la masa del electrón, o sea m/M = 1/1836.

Si queremos una concordancia mayor entre los resultados predichos teóricamente y losresultados obtenidos experimentalmente, debemos entonces reemplazar en la fórmula deBoh a la masa del electrón por la masa reducida del átomo:

PROBLEMA: Utilizando las siguientes constantes físicas obtenidas con experimentos dealta precisión:

me = 9.109534·10-31 kilogramo

μ = 9.10457 6·10-31 kilogramo

e = 1.6021892·10-1 9 coulomb

ε0 = 8.854187 82·10-1 2 coulomb²/newton·metro²

h = 6.62617 6·10-34 joule segundo

obténgase la energía de un átomo de hidrógeno en el estado basal (1) utilizando la fórmulade Bohr con la masa del electrón, y (2) utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducidadel átomo.

Utilizando la fórmula de Bohr con la masa del electrón, el cálculo en el sistema SI-MKS deunidades es el siguiente:

Utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducida del átomo, el cálculo en el sistema SI-MKS de unidades es el siguiente:

de traslación

La matriz generadora de rotación

Rotaciones de las matrices de Pauli

El aspecto estadístico de la MecánicaMatricial

Evolución temporal de los sistemasfísicos

Matrices continuas

Ondas de materia

La ecuación de Schrödinger

Solución matemática de la ecuación deonda

Solución numérica de la ecuacion deSchrödinger

Interpretación probabilista de ψ I

Interpretación probabilista de ψ II

Operadores y esperanzas matemáticas I

Operadores y esperanzas matemáticas II

Oscilador armónico simple: soluciónondulatoria

La función delta de Dirac

Transmisión y reflexión de partículas I

Transmisión y reflexión de partículas II

Transmisión y reflexión de partículas III

Transmisión y reflexión de partículas IV

El potencial delta de Dirac

Ondas de simetría circular y esférica

La notación bra-ket de Dirac

El espacio de Hilbert I

El espacio de Hilbert II

Operadores Hermitianos

Los operadores escalera I

Los operadores escalera II

El principio de incertidumbre,revisitado

El acto de medición

Momento angular orbital: análisisondulatorio I

Momento angular orbital: análisisondulatorio II

Momento angular orbital: funciones deonda I

Momento angular orbital: funciones deonda II

Polinomios de Legendre: aspectosmatemáticos

La función de onda radial

La función de onda del momento angulardel spin

El principio de exclusión de Pauli

El proceso de construcción Aufbau

El acoplamiento LS

La suma de momentos angulares

Las reglas de selección

Técnicas de aproximación I

Técnicas de aproximación II

Técnicas de aproximación III

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Page 3: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

Este último valor está más cercano al valor obtenido en el laboratorio en experimentos dealta precisión al medirse mediante un parámetro conocido como el potencial de ionizacióndel átomo de hidrógeno, en el estado basal. De este modo, aunque la diferencia en loscálculos teóricos entre el utilizar la masa del electrón y la masa reducida del átomo espequeña, los experimentos de alta precisión confirman que la fórmula basada en la masareducida del átomo es la correcta.

Lo anterior también nos permite modificar la constante de Rydberg para obtener:

que, ya usando valores, resulta ser para el átomo de hidrógeno:

RH = (1.097 37 ·10-3/Å)/[1 + (1/1836)]

RH = 1.0968·10-3/Å

Este valor esta en buena concordancia con el valor experimental R = 1.0967 7 58·10-3/Å

PROBLEMA: La medición experimental de las líneas Hα del deuterio y del hidrógeno son,

respectivamente, 6561.01 Å y 6562.80 Å. Calcular la relación entre las masas del deuterioy del hidrógeno.

La fórmula de Rydberg en función de la masa reducida del átomo es:

siendo m la masa del electrón y M la masa del núcleo. Para una misma transición de estadosy para un mismo Z, esto implica que λ es proporcional a 1 + (m/M), o sea:

A partir de esto podemos obtener lo siguiente:

El método de aproximación WKB I

El método de aproximación WKB II

El método de aproximación WKB III

El método de aproximación WKB IV

El enlace molecular I

El enlace molecular II

La hibridación de los orbitales atómicos

La teoría de los orbitales moleculares

Teoría del campo cristalino

Operadores clase T

El espacio-posición y el espacio-momentum I

El espacio-posición y el espacio-momentum II

El espacio-posición y el espacio-momentum III

El espacio-posición y el espacio-momentum IV

La partícula libre I

La partícula libre II

La ecuación de movimiento deHeisenberg

Mecánicas Matricial y Ondulatoria:equivalencia

Evolución temporal de las ondas demateria I

Evolución temporal de las ondas demateria II

El operador de traslación

El operador de evolución del tiempo

Las representaciones de Heisenberg ySchrödinger

Operadores de rotación I

Operadores de rotación II

Los grupos de rotación I

Los grupos de rotación II

Los grupos de rotación III

La simetría como piedra angular

Representaciones irreducibles I

Representaciones irreducibles II

Los coeficientes Clebsch-Gordan I

Los coeficientes Clebsch-Gordan II

Los coeficientes Clebsch-Gordan III

Operadores tensoriales

El momento de cuadripolo

El teorema Wigner-Eckart I

El teorema Wigner-Eckart II

Mecánica Estadística Cuántica I

Mecánica Estadística Cuántica II

Mecánica Estadística Cuántica III

Mecánica Estadística Cuántica IV

Mecánica Estadística Cuántica V

Mecánica Estadística Cuántica VI

La matriz densidad I

La matriz densidad II

El láser

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Page 4: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

Usando m/MH = 1/1836 y reemplazando con los valores experimentales proporcionados:

Simplificando y resolviendo obtenemos entonces:

MH/MD ≈ 0.5

MD/MH ≈ 2.0

Esto nos revela que el deuterio tiene una masa atómica igual al doble de la masa delhidrógeno. Fue precisamente a través de mediciones de este tipo como se descubrió eldeuterio.

PROBLEMA: Demuéstrese que la fracción de cambio en la longitud de onda λ de unalínea espectral ocasionada por un pequeño cambio en la masa reducida μ del átomo estádada por la siguiente relación:

Δλ/λ = - Δμ/μ

Para comprobar la relación proporcionada, podemos tomar como punto de partida lafrecuencia Rydberg del átomo de Bohr, la cual está dada por:

De esta frecuencia podemos obtener la longitud de onda de una línea espectral:

Para experimentos de alta resolución y precisión, se vuelve necesario reemplazar en estaúltima relación a la masa del electrón por la masa reducida μ del átomo:

Diferenciando a λ con respecto a μ:

Para variaciones pequeñas en la masa reducida, como frecuentemente es el caso, podemosreemplazar a los diferenciales que aparecen arriba por incrementos pequeños Δ, con lo cualtenemos entonces:

El teorema virial

Espectroscopías de resonanciamagnética I

Espectroscopías de resonanciamagnética II

Espectroscopías de resonanciamagnética III

Espectroscopías de resonanciamagnética IV

Esparcimiento clásico de partículas

Esparcimiento de las ondas de luz

Aspectos matemáticos de las ondasesféricas

El método de las ondas parciales

La aproximación de Born I

La aproximación de Born II

El teorema óptico

La ecuación Lippmann-Schwinger

El teorema adiabático I

El teorema adiabático II

La Mecánica Cuántica Relativista

Recursos de software

Constantes fundamentales y factores deconversión

Bibliografía

D A T O S P E R S O N A L E S

A R M A N D O M A R T Í N E ZT É L L E Z

V E R T O D O M I P E R F I L

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Page 5: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

PROBLEMA: El modelo atómico planetario de Bohr se basó en la suposición de que lafuerza de atracción eléctrica entre el protón en el núcleo del átomo y el electrón orbitandoen torno al núcleo variaba de acuerdo a la ley de Coulomb, en razón inversa del cuadradode la distancia de separación entre ambas cargas eléctricas. Obténganse los niveles deenergía permisibles en caso de que la atracción eléctrica sea proporcional a la inversa deuna potencia de tres-medios de la distancia entre ambas cargas.

Para que pueda haber una órbita estable, la fuerza de atracción eléctrica que en este casosería:

debe ser balanceada por una fuerza centrípeta de igual magnitud, lo que impone lacondición:

Ahora bien, la energía potencial eléctrica a una distancia fija de la carga central se puedecalcular de la siguiente manera:

La energía total es igual a la energía cinética del electrón sumada a la energía potencial queacabamos de calcular, o sea:

Combinando todo lo anterior en forma parecida a como se hace en el caso ordinario cuandola fuerza de atracción eléctrica varía en razón inversa del cuadrado de la distancia entre lascargas, obtenemos:

Si el momento angular del electrón ha de seguir cuantizado, entonces debemos seguirteniendo:

L = nħ

o bien, siendo el momento angular orbital igual a L = rp = mvr:

mvr = nħ

debe seguir siendo válida. Combinándolo todo obtenemos para el radio de una órbitaestable para cada valor de n:

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Page 6: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

Con esto obtenemos finalmente los niveles de energía permisibles:

Muy desde el principio en el que fue postulado el modelo atómico planetario de Bohr, sedescubrió que un solo número cuántico no era suficiente para poder explicar todas laslíneas de emisión y absorción de los elementos observadas en el laboratorio, especialmentecuando los gases eran sometidos a un campo magnético que producía la aparición denuevas líneas en los espectros. Con el fin de explicar esas líneas adicionales, ArnoldSommerfeld introdujo en 1916 el modelo elíptico en el cual, además de las órbitas circularespostuladas por Bohr, el electrón se podía mover en torno al núcleo atómico siguiendoórbitas elípticas, en forma muy parecida a como ocurre con los movimientos planetarios entorno al Sol de acuerdo con las leyes de Kepler. De este modo, era posible postular laexistencia de dos números cuánticos en lugar de uno solo, un número cuántico radial nr

relacionado con la distancia del electrón hacia el núcleo atómico, y un número cuánticoangular nθ relacionado con la velocidad angular de la trayectoria elíptica. Las órbitas

elípticas tenían que ser consistentes también con la condición de que el momento angulartenía que estar cuantizado a lo largo de una trayectoria cerrada. Así, en lugar de haber unasola condición de cuantización, había ya dos condiciones, enunciadas por Sommerfeld de lasiguiente manera:

en donde L es la cantidad del movimiento angular o momento angular, y pr es la cantidad de

movimiento lineal, y h es la constante de Planck. El círculo puesto en medio del signointegral indica que la integral se debe tomar sobre una trayectoria cerrada, o lo que es lomismo, sobre un ciclo o período completo del movimiento. Se acostumbra resumir ambascondiciones en una sola recurriendo a coordenadas generalizadas:

Esta condición es también conocida como la regla de cuantización Bohr-Sommerfeldy también como la regla de cuantización Wilson-Sommerfeld. El uso de esta regla noestá limitado a problemas en los cuales el recorrido se lleva a cabo sobre trayectoriaselípticas como lo veremos a continuación.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización para una partícula moviéndose enun campo de fuerza central siguiendo una órbita circular.

La condición de cuantización para este problema es:

Puesto que a lo largo de una trayectoria circular el momento angular permanece constante,

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lo podemos sacar fuera de la integral:

La integración angular sobre una trayectoria completa es igual a 2π, con lo cual:

Esta es precisamente la condición que fué descubierta por Bohr.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización de energía para un osciladorarmónico simple mediante la regla de cuantización de Sommerfeld.

La ley del movimiento de Newton F = ma aplicada a una masa conectada a un resorte conuna constante de fuerza K es igual a:

Una solución para esta ecuación diferencial de segundo orden es la siguiente:

x = A sen(ωt)

en donde A es la amplitud del movimiento y ω es la frecuencia angular:

ω = 2πf = √K/m

La suma de la energía potencial, Kx²/2, y la energía cinética, P²/2m, en donde P es lacantidad de movimiento lineal del oscilador, debe ser constante por el principio de laconservación de la energía, e igual al valor máximo de cualquiera de ambos:

Usando la solución a la ecuación diferencial, podemos calcular dx y el momentum P de lasiguiente manera:

dx = ωAcos(ωt) dt

P = m(dx/dt) = mωAcos(ωt)

En este problema, la regla de cuantización de Sommerfeld nos dará lo siguiente:

Usando mω²A² = 2E, obtenemos:

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Page 8: 2. El Modelo Atómico Planetario de Bohr II

Puesto que la velocidad angular ω, que se mantiene constante, es igual al ángulo θ porunidad de tiempo, o sea ω = θ/t, podemos hacer θ = ωt y llevar a cabo la integración sobreun ciclo angular completo de θ = 0 a θ = 2π:

Esto nos lleva finalmente a la siguiente cuantización de la energía del oscilador armónicosimple de acuerdo a la regla de Sommerfeld:

E = nħω

Esta es precisamente la condición utilizada por Planck para la cuantización de lososciladores con los cuales pudo explicar correctamente la radiación términa del cuerponegro.

PROBLEMA: Una partícula se mueve unidimensionalmente hacia atrás y hacia adelantedentro de una caja de longitud L. Suponiendo que no hay fuerzas actuando sobre lapartícula excepto cuando rebota contra las paredes siendo el choque perfectamenteelástico, encontrar la energía que puede tener la partícula de acuerdo a la regla deSommerfeld.

Si seleccionamos nuestro sistema de coordenadas de modo tal que la partícula empiece sumovimiento hacia la derecha justo cuando acaba de rebotar en la pared izquierda, iniciandocon ello el ciclo de su recorrido hasta regresar nuevamente a golpear en la pared izquierda,la trayectoria completa de la partícula consta de dos tramos, su recorrido de izquierda aderecha y su recorrido de derecha a izquierda. En tal caso, la regla de cuantización deSommerfeld nos resulta en lo siguiente:

Revirtiendo nuevamente al momentum lineal P = mv:

Suponiendo que la partícula se está desplazando a una velocidad lo suficientemente bajacomo para que no apliquen en ella las correcciones requeridas cuando la partícula semueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la energía que puede tener lapartícula estará entonces cuantizada de acuerdo a:

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Sommerfeld hizo mucho más que darle una formulación matemática elegante a lospostulados de Bohr. Al introducir el concepto de las órbitas planetarias elípticas,Sommerfeld fue el primero en llevar a cabo también una curiosa combinación de las dosramas principales de la física moderna: la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad.Un resultado de la mecánica Newtoniana clásica aplicable a los movimientos planetarios esel de que en un campo de fuerza que varía en razón inversa al cuadrado de la distancia (leyde la gravitación universal de Newton) la energía depende únicamente del semieje mayor dela elipse y no de la excentricidad de la elipse, no habiendo por lo tanto cambio alguno amenos de que la fuerza de atracción difiera de la relación usual de la inversa del cuadradode la distancia o de que la mecánica Newtoniana sea modificada. Sommerfeld consideró elefecto de tomar en cuenta a la Teoría Especial de la Relatividad (no a la Teoría General de laRelatividad que incluye el estudio de los fenómenos de la gravedad) en el modelo de Bohr.Puesto que las correcciones relativistas deben ser del orden de v²/c², para Sommerfeld eralógico esperar que una órbita altamente excéntrica requiriera una mayor corrección en loscálculos porque la velocidad v se vuelve mayor al estar el electrón más cercano al núcleodel átomo. Aunque los cálculos efectuados por Sommerfeld son algo elaborados, podemosestimar el orden de magnitud del efecto relativista calculando el valor de v/c para laprimera órbita de Bohr en el hidrógeno.

PROBLEMA: Estimar el valor de v/c para la primera órbita en el modelo atómicoplanetario de Bohr para un átomo de hidrógeno.

Para la primera órbita con n = 1 tenemos lo siguiente de la condición de cuantización delmomento angular:

L = nħ

mvr0 = ħ

v = ħ/mr0

Por otro lado, ya habíamos visto que el radio para la primera órbita de Bohr está dado por:

En el caso del hidrógeno cuyo número atómico es Z = 1, el radio de la primera órbita vienesiendo:

Entonces:

v = ħ/mr0

v = Ke²/ħ

Dividiendo ambos miembros entre la velocidad de la luz:

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Usando las constantes físicas:

ke² = 14.4 eV·Å

ħc = 197 0 eV·Å

tenemos entonces que la corrección relativista v/c resulta ser:

v/c = (14.4 eV·Å)/(197 0 eV·Å)

v/c ≈ 1/137

Este último resultado adimensional frecuentemente es designado con la letra α, y haresultado ser algo de importancia fundamental que ha sobrevivido inclusive al abandonoactual del modelo de Sommerfeld. Aunque v²/c² es muy pequeño, un efecto de estamagnitud es observable. Utilizando espectroscopios de alta resolución se puede observarque lo que parece ser una sola línea resulta ser varias líneas con espaciamientos muycercanos entre ellas. Esto es explicado en la teoría de Sommerfeld de la siguiente manera:para cada órbita circular de radio rn y energía En existe un conjunto de n órbitas elípticas

con igual semieje mayor pero con diferentes excentricidades y por lo tanto energíasligeramente diferentes. Entonces la energía radiada cuando el electrón cambia de órbitadepende no solo de los ejes mayores sino también en menor grado de las excentricidades dela órbita inicial y final como. La subdivisión en los niveles de energía es llamada subdivisiónde estructura fina, mientras que la constante adimensional α:

α = 1/137 .03599967 9

es mejor conocida como la constante de estructura fina de Sommerfeld osimplemente como constante de estructura fina, la cual tiene varias interpretacionesaunque generalmente es identificada hoy en día como la constante de acoplamiento quecaracteriza a la fuerza de la interacción electromagnética. En la electrodinámica cuántica laconstante de estructura fina desempeña el papel de una constante de acoplamiento,representando la fuerza de la interacción entre electrones y fotones. Su valor no puedepredecirse por la teoría, y debe utilizarse uno basado en resultados experimentales. Este esun resultado que, pese a que fue obtenido con lo que hoy se conoce como la “mecánicacuántica vieja” de la cual el modelo de Sommerfeld forma parte, sigue siendo válido hoy endía.

De acuerdo a la Teoría Especial de la Relatividad, la energía cinética de un cuerpo no estádada por la expresión clásica mv²/2 que no pone limitaciones al cuerpo para podermoverse a velocidades inclusive superiores a la velocidad de la luz, sino por la expresión:

Esto implica que la energía total de un electrón moviéndose en torno a un núcleo atómicocon una cantidad de Z cargas positivas (Z protones) debe estar dada por la relación:

Efectuando la substitución u = 1/r obtenemos lo siguiente:

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Para el momentum lineal pr y el momentum radial pφ del electrón en órbita (usaremos aquí

la notación de punto puesto encima de una variable para simbolizar la derivada de dichavariable con respecto al tiempo):

el cociente de los momentums será:

Esto nos permite escribir la siguiente ecuación de movimiento:

Esto último tiene la siguiente solución sencilla:

Con la regla de Sommerfeld quedan especificadas las siguientes condiciones cuánticas:

Esto nos lleva finalmente a la siguiente energía para el electrón bajo la regla de Sommerfeld:

Es precisamente en este resultado en donde aparece la constante adimensional α que nohabía aparecido entre los trabajos originales de Bohr, la constante de estructura fina.Históricamente, la primera interpretación física de la constante de estructura fina fueprecisamente como el cociente de la velocidad del electrón en la primera órbita circular delátomo de Bohr relativista con la velocidad de la luz en el vacío (v/c), y como hemos vistoaparece de forma natural en el análisis de Sommerfeld determinando el tamaño de laseparación o estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno. Pero aún másextraordinario resulta el hecho de que la ecuación relativista que se acaba de obtener es lamisma que el resultado que obtenemos con la ecuación de Dirac, la cual fue lograda

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introduciendo la Teoría Especial de la Relatividad no al modelo atómico planetario de Bohrsino a otra ecuación más fundamental de la Mecánica Cuántica, la ecuación de Schrödinger.

De esta forma, en el modelo de Sommerfeld para cada número cuántico principal excepto n= 1 en el modelo atómico planetario de Bohr existe otro número cuántico que describe lasfamilias de las órbitas elípticas permisibles. No todas las órbitas elípticas posibles desde elpunto de vista clásico son posibles en el modelo de Sommerfeld, y las órbitas en el modeloSommefeld poseen el mismo semieje mayor aunque excentricidades distintas como lomuestra la siguiente figura:

En la figura de arriba, para las órbitas elípticas mostradas se ha utilizado el siguiente códigocromático:

Como puede apreciarse, tenemos dos números cuánticos (n,l), y el número cuántico ldenota una sub-familia dentro de cada número cuántico principal n. Para n = 1 sólo esposible una órbita circular. Para n = 2 tenemos una órbita circular caracterizada por losnúmeros cuánticos (n,l) = (2,1) y una órbita elíptica caracterizada por los númeroscuánticos (n,l) = (2,0), ambas de color verde (una verde obscuro y la otra verde pálido).Para n = 3 tenemos una órbita circular caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (3,2)y dos órbitas elípticas caracterizadas por los números cuánticos (n,l) = (3,1) y (n,l) = (3,0).

Sin contar con el tratamiento relativista de Sommerfeld que hemos visto para el átomo deBohr, podemos poner la fórmula de Bohr para cada nivel de energía En del átomo de

hidrógeno en función de la constante de estructura fina α, y de hecho así es como seencuentra dicha fórmula en muchos libros de texto:

Sin embargo, a la constante de estructura fina α se le llama constante de estructura fina deSommerfeld, no constante de estructura fina de Bohr. ¿Por qué? Empezando por el hecho deque la constante de estructura fina no fué descubierta por Bohr sino por Sommerfeld. Laconstante de estructura fina α surge de modo natural e inevitable cuando se aplica al átomode Bohr la Teoría Especial de Relatividad, y una vez identificada se puede meter dentro delas fórmulas de Bohr como acostumbran hacerlo muchos textos. Sin embargo, sin laidentificación hecha por Sommerfeld, la introducción de α en las fórmulas originales deBohr resulta un tanto artificial e inclusive su empleo no está justificado sobre base filosóficaalguna. Por otro lado, la constante de estructura fina está directamente relacionada conesas líneas “extra” adicionales que se presentan en el espectro del átomo de hidrógeno y

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que no son predichas por el modelo de órbitas circulares de Bohr, líneas “extra” queSommerfeld atribuyó a órbitas elípticas en vez de órbitas circulares. La constante deestructura fina por sí sola no predice líneas adicionales en el modelo de Bohr basado enórbitas circulares.

El modelo atómico planetario de Bohr, mejorado substancialmente por Sommerfeld, resultóser extremadamente exitoso para explicar las líneas espectrales causadas por los brincosdel electrón de una órbita energética a otra. Sin embargo, adolecía de ciertos defectos quealgunos científicos encontraron inadmisibles. La primera objeción presentada al modeloatómico planetario de Bohr venía directamente de la electrodinámica clásica, de acuerdocon la cual una carga eléctrica que esté siendo acelerada emite radiación electromagnética.Y aunque un electrón girando en torno al núcleo atómico se considera moviéndose siemprea la misma velocidad tangencial, por estar en una órbita circular está cambiandocontinuamente de dirección, lo cual es también una aceleración y por lo tanto una razónpara que el electrón radiase energía continuamente precipitándose con ello en espiral haciael núcleo atómico emitiendo en su caída un espectro continuo de radiación. De este modo,de acuerdo con la electrodinámica clásica, el átomo de Bohr no puede tener una existenciaestable, ni siquiera podría durar más allá de unos cuantos microsegundos.

PROBLEMA: Supóngase que un átomo de hidrógeno consiste de un núcleo fijo alrededor

del cual un electrón con carga eléctrica e = 4.8·10-1 0 esu (en el sistema Gaussiano deunidades, siendo el esu igual a un statcoulomb) se mueve en una órbita circular clásica de

radio a0 = 5.29·10-9 cm. Estímese la radiación electromagnética clásica de tal átomo

debida a la aceleración de la carga del electrón. La radiación de una carga eléctricaacelerada está dada por la fórmula de Larmor para órbitas circulares que es P =

2e²a²/3c3 en donde a es la aceleración de la carga y c es la velocidad de la luz. Usarunidades en el sistema Gauss-cgs para la resolución de este problema.

Obtendremos primero la velocidad tangencial del electrón al estarse moviendo a unadistancia a0 del núcleo:

mva0 = h/2π

v = h/2πma0

v = (6.624·10-27 erg·seg)/[2π(9.1·10-28 gr)(5.29·10-9 cm)]

v= 2.19·108 cm/seg

La aceleración radial centrípeta será entonces:

a = v²/r = (2.19·108 cm/seg)²/(5.29·10-9 cm) = 9.07 ·1024 cm/seg²

Por lo tanto, en el sistema cgs-Gaussiano de unidades:

P = 2e²a²/3c3

P = 2(4.8·10-1 0 esu)²(9.07 ·1024 cm/seg²)²/3(3·101 0 cm/seg)3

P = 0.468 ergs/seg

en donde hemos utilizado el hecho de que, dimensionalmente, en el sistema cgs-Gaussianode unidades:

Esta pérdida de energía radiada hacia el exterior se traduciría en una caída en espiral delelectrón hacia el núcleo atómico hasta colisionar con el mismo, lo cual daría fin a laexistencia misma del átomo:

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La incompatibilidad del modelo planetario atómico de Bohr con la electrodinámica clásicano era la única objeción puesta a la teoría. Estaba también el problema de que no eraposible predecir a partir de dicho modelo la intensidad de las líneas observadas delespectro ni siquiera para el hidrógeno, como tampoco podía ser utilizado para poderexplicar otros fenómenos de índole atómica. De hecho, lo único que podía explicar era laseparación relativa de las líneas espectrales de los elementos, y nada más. Eventualmente,se llegó a la conclusión de que ni siquiera dos números cuánticos como lo había propuestoSommerfeld serían suficientes para poder explicar todas las líneas espectrales que se ibandescubriendo.

El modelo de Bohr, pese a lo exitoso que fue en su explicación de las líneas espectrales delos elementos, era demasiado mecanístico para ser extendido a la explicación de otrosfenómenos propios de la física atómica. Desde esta perspectiva, su mayor debilidad era suinsuficiencia.

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