2 electrostatica en el vacio miguel delgado leon 1
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Cap2
Electrostática en el Vacío
Ley de Coulomb
Si dos cargas en reposo
’ (fuente) y
(carga de campo) se localizan en el espacio. Aparece una fuerza
eléctrica sobre dado por
→ 14′ .
′ vector posición relativa
es la permitividad del espacio libre
En el SI 8.854×10− /
Campo Eléctrico
lim→ →
14
<>
Distribución de Cargas Continuas
Lineal
Se define la densidad de carga lineal
La carga total
∫
Superficial
Se define la densidad de carga superficial
La carga total
∬
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Volumétrica
Se define la densidad de carga superficial
La carga total
∭
Principio de Superposición
14
El campo total
14 ∫
Problemas:
1) Una línea infinita tiene una carga eléctrica con densidad lineal constante , determine el
campo eléctrico
2)
Una espira circular tiene una radio ay una densidad de carga lineal constante , determine
en el eje de la espira
3)
El campo eléctrico de una placa infinita con densidad de carga superficial uniforme
Solución 1)
14 14
Nos damos cuenta que la que la resultante tiene la dirección radial
c os
14
El campo total
4 ∫ +
−
∫
+
− 1
+
2 √ +
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→ ∞ ≫ ⟹ 2
Solución 2)
1
4
1
4
1
4
∅
c os
14∅
El campo total
4 ∫ ∅ +
2 +
Solución 3)
2 +
2 +
2 ∫ +
2
( 1
+
)
0
2 1 1√ +
→ ∞ ⟹ 2
Línea de transmisión de placas paralelas
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Ley de Gauss
14
La integral de superficie
∮ ∙ ∮ 14 ∙
∮ ∙ ∮ 14 ⊥
⊥ Ω
∮ ∙
4 ∫
∮ ∙
Ley de Gauss
∮ ∙ 1 ∫
Forma diferencial de la Ley de Gauss
∮ ∙ 1 ∫
Teorema de la divergencia
∭ ∇ ∙ 1 ∫
∇ ∙ 1
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Potencial Escalar o Electrostático
14
+ +
Es fácil descubrir que:
∇ 1
∇ 1√ + +
4 ∇ 1
∇ 4
∇
4
Es el potencial electrostático debido a una carga puntual
El campo eléctrico es irrotacional ∇ × 0
Demostración
∇ × ∇ × ∇ ∇ × ∇ 0
Ejemplo:
Potencial electrostático de una carga lineal infinita con densidad de carga lineal uniforme
Solución
El Potencial de una carga puntual
′4
4
4
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4 ∫ −
4 ∫ +
−
∫ + − ln + +
4 ln + √ + + √ +
Para carga lineal infinita → ∞
4 lim→ ln + √
+
+ √ +
(Desarrollado en el Texto Wagness)
Relación entre Potencial Eléctrico y Campo Eléctrico
∇
Por otro lado
∇ ∙
∙
Integrando
∫
∫ ∙
∫ ∙
Resolvemos el ejemplo anterior mediante esta fórmula
2
∫ 2 ∙
2 ln
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Se debe escoger un punto de referencia (a parte del infinito) donde el sea cero. Porque si
se escoge ∞ saldría un absurdo, y no llegaríamos a una solución.
2 ln
Cuando la distribución de carga es infinita, debe escogerse un punto de referencia diferente del
∞
(punto de referencia) donde sea cero.
Problemas de Ley de Gauss (U de Chicago y U de Berkeley)
1)
Una distribución de carga volumétrica con densidad de carga (constante) se distribuye en
una región esférica de radio excepto en un agujero esférico de radio con centro a una
distancia del centro de la región esférica de radio como se muestra en la figura.
Determine
a)
El campo eléctrico en el centro del agujero
b) EL potencial escalar en el mismo punto
[Universidad Chicago y Berkeley]
2) Una distribución de carga uniforme existe en la región
′ , < < 0,
Determine el campo eléctrico en todo el espacio
Solución 1)
Usando Superposición
Ley de Gauss
∯ ∙
4 1
43 , >
4
3 , <
3 , > 3 , <
a)
3
3
b) El potencial debido a la primera esfera
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∫ ∙
0 → ∞
∫ 3 ∙
∫ 3 .
3 ∫ 1 3 ∫
3 1 ∞ 3 2
3 6
3 2 + 2
6 3
El potencial debido a la segunda esfera
6 3 0
El potencial es la suma
6 3 3
Solución 2)
Superficie gaussiana es un paralelepípedo
∯ ∙
∆ ∆ , 0 < < ∆ , >
, 0 < < , >
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Campos Electrostáticos en Medios Conductores
El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
+ 0
Las cargas polarizadas producen un campo que anula al campo inicial.
La carga neta dentro de un conductor es cero.
Se demuestra mediante la ley de Gauss en la superficie S
∯ ∙
0 ⟹ 0
La carga se distribuye en la superficie del conductor
El potencial dentro (y en la superficie) de un conductor es constante
∇ 0
0∇
EL campo eléctrico es normal a la superficie del conductor
Relación entre la densidad de carga y el campo eléctrico
Mediante la Ley de Gauss en la superficie del conductor
∯ ∙∆
∆ ∆
En general
∙
Ejemplo:
Capacitor de placas paralelas
≫
Piden Capacidad potencial dentro del capacitor
Puede considerarse como placas infinitas
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Calculado anteriormente
∫ ∙
0 ∫ ∙
La carga del conductor superior
Capacidad
0 ∫ ∙
Dipolo Eléctrico
Aislante o Dieléctrico
Potencial y campo eléctrico de un Dipolo
4 + 4
Simplificando
4
≈ ≈ ≈
cos4
∙ 4
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Se define el momento dipolar eléctrico
De manera que el Potencial de un Dipolo Eléctrico será
∙4
El Campo Eléctrico de un Dipolo
∇
∇ é
1
cos4 2 + sin4
4 2c os +s in
Es el campo eléctrico de un dipolo eléctrico
4 2c os +s in
Ejemplos:
1) El momento dipolar eléctrico de 2 cuerpos con densidad superficial + y; se coloca como
origen de coordenadas entre los cuerpos.
2
2 ∫
2)
En la región ∅ 0 , / 2 y 0, / 2 existe una carga con densidad superficial + ypara
∅ 0 , / 2 y
/ 2 , la densidad es
.
′ ′ sin ∅ 2c os
′
sin ∅2cos
2
∫ ∫ s i n
cos
∅
2
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Expansión Multipolar
14 ∫ ′
−
+
2∙
−
Extendiendo (Binomio de Newton) se llega
+ + +
Término potencial Monopolar
Término potencial Dipolar
Término potencial Cuadripolar
Donde:
4 14 ∫ ′
4 ∫ ′′ ∙4
141 ∑ ∑ =,,=,,
Donde
12 ∫ 3 ′
Tensor Momento Cuadripolar
1, 0, ≠
Ejemplo (Propuesto en el Milford)
Se tiene tres cargas puntuales 2 en el origen, en 0,0, y en 0,0,. Para || ≫ determine aproximado en esféricas. También determine el tensor momento cuadripolar.
Solución:
4 0 0
∙4
∫ ′′
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Para el ejemplo
∑′ + 0 ∙2 0
Término Cuadripolar
14 1 [ + + + ⋯ + + ⋯ + ] 12 ∑3′
12 3′ + 12 3′ + 12 3′
12 0
+12 02 +
12 0
12 ∑3 0
Nos damos cuenta
141 [ + + ]
Propiedad + + 2
Se verifica
12 ∑3′
12 2
+ 2
2
141 + + 2
14 + 2
s i n c o s ∅ s i n s i n ∅ c o s
14 3cos 1