Σχολή  Εφαρμοσμένων  Μαθηματικών  και  Φυσικών  Επιστημών  Εθνικό  Μετσόβιο  Πολυτεχνείο  

Διηλεκτρικές,  Οπτικές,  Μαγνητικές  Ιδιότητες  Υλικών  

Λιαροκάπης  Ευθύμιος  Κεφάλαιο  2:  Διηλεκτρικά  

Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  υπόκειται  σε  άδειες  χρήσης  Crea%ve  Commons.      Για  εκπαιδευτικό  υλικό,  όπως  εικόνες,  που  υπόκειται  σε  άδεια  χρήσης  άλλου  τύπου,  αυτή  πρέπει  να  αναγράφεται  ρητώς.  

Άδεια  Χρήσης  

ΙΙ-1

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

Οι εξισώσεις του Maxwell ορίζουν ότι o

Ediv ερ=

r, όπου ρ είναι η πυκνότητα

φορτίων. Όμως, στην περίπτωση ενός υλικού, τα φορτία που ορίζουν την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου θα δίνονται από το σύνολο των φορτίων, εξωτερικών και εσωτερικών. Μολονότι στις πιο πολλές περιπτώσεις το συνολικό εσωτερικό φορτίο είναι μηδέν, η χωρική κατανομή τους είναι δυνατόν να δημιουργεί μια διπολική ροπή διάφορη του μηδενός. Αυτό προκύπτει εύκολα από τον νόμο του Coulomb για κατανομή φορτίων:

∑−

=Σ

io

i

rRq

rrπε

φ4

, όπου ),,( ZYXR =r

και ),,( iiii zyxr =r .

Από το ανάπτυγμα των όρων irR rr

−

1 γύρω από ένα σημείο orr εσωτερικό των

φορτίων qi, θα προκύψει ότι ( ) ( )

Krr

rrrr

rrrr +−

−⋅−+

−=

− 3

11

i

ooi

oi rR

rRrrrRrR

και επομένως

( ) ( ) ( )Krr

rrr

rrKrr

rrrr

rr +−

−⋅+

−=+

−

−⋅−+

−= ∑Σ

io

o

ooio

ooii

oo rRrRp

rRQ

rRrRrrq

rRQ

πεπεπεπεφ ολολ

4444, όπου

( )∑ −= oii rrqp rrr είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή.

Όταν το 0≠ολQ , πρώτος όρος είναι ο πιο σημαντικός. Αν όμως 0=ολQ τότε, αφ’ ενός μεν η ηλεκτρική διπολική ροπή έχει τιμή ανεξάρτητη της αρχής των αξόνων, αφ’ ετέρου δε αποτελεί τον πλέον σημαντικό όρο για τον υπολογισμό του δυναμικού εξ αιτίας των εσωτερικών φορτίων ενός υλικού. [Αν συμβεί 0=p , τότε ο πλέον σημαντικός όρος θα είναι ο επόμενος όρος στο ανάπτυγμα (τετραπολική ροπή)]. Επομένως, μπορούμε να λάβουμε υπόψη την ύπαρξη των εσωτερικών φορτίων, μέσω της διπολικής ροπής και αν υπάρχουν και εξωτερικά φορτία, θα προστεθεί η επίδρασή τους. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου εξ αιτίας διπόλου pr στην θέση R

r

θα δίνεται από την σχέση ( )

5

234

1R

pRRRpEo

p

rrrrr −⋅=

πε.

Για συνεχή κατανομή φορτίων η αντίστοιχη σχέση για το δυναμικό θα είναι

R

R-ri

qi

ri ro

ΙΙ-2

( )Krr

rrr

rr +−

−⋅+

−= ∫∫ 3

44 rR

dVrRPrR

dV

oo

ext

πεπερ

φ

Όπου ∑= ipdVP rr ορίζει την πόλωση του υλικού μέσω της σχέσης

∑∑ == iii pN

dVp

P rr

r .

Το iN εκφράζει των αριθμό των μορίων τύπου i ανά μονάδα όγκου, ενώ το ipr είναι η μέση διπολική ροπή μορίων τύπου i. Με τα δεδομένα αυτά, μπορούμε γράψουμε

( )

( )∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫

−

⋅∇−=

−

⋅∇−

−=

=−

⋅∇−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−∇+

−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−∇⋅+

−=

−

−⋅+

−=

rRdVP

dVrRP

rRdV

dVrRPdV

rRP

rRdV

dVrR

PrR

dV

rR

dVrRPrR

dV

o

ext

oo

ext

ooo

ext

oo

ext

oo

ext

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rrr

r

rrrr

rrr

rr

περ

πεπερ

πεπεπερ

πεπερ

πεπερ

φ

441

4

41

41

4

14444 3

Γιατί ο δεύτερος όρος μηδενίζεται αφού μετασχηματίζεται σε επιφανειακό ολοκλήρωμα σε μια επιφάνεια που περικλείει το υλικό, όπου η πόλωση μηδενίζεται. Επομένως, το δυναμικό είναι σαν να δημιουργείται αφ’ ενός μεν από τα εξωτερικά φορτία και αφ’ ετέρου από ισοδύναμα φορτία λόγω της πόλωσης Pp

rr⋅∇−≡ρ .

Τελικά η εξίσωση του Maxwell θα λάβει την μορφή o

pextEdivε

ρρ +=

r, που μπορεί να

γραφτεί και με την μορφή oo

ext

o

p PdivEdivEdivεε

ρερ

rrr+==− ή ισοδύναμα με την

( ) exto PEdiv ρε =+rr

.

Ορίζουμε την ποσότητα PED o

rrr+= ε , που ονομάζεται ηλεκτρική μετατόπιση και η

παραπάνω εξίσωση λαμβάνει την γνωστή μορφή extDdiv ρ=r

.

Για ισότροπα υλικά τα Dr

και Er

θα είναι παράλληλα και στη γραμμική προσέγγιση, ανάλογα. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι ED o

rrεε= , όπου με το

ε ορίζουμε την διηλεκτρική συνάρτηση. Συνήθως ονομάζεται σταθερά, αλλά όπως θα δούμε εξαρτάται από την συχνότητα του ΗΜ κύματος. Οπότε προκύπτει ότι

( ) EEP oo

rrrχεεε =−= 1 , όπου με χ έχουμε ορίσει την διηλεκτρική επιδεκτικότητα.

Στην περίπτωση μη-ισότροπων υλικών (αλλά πάλι στη γραμμική προσέγγιση) θα ισχύει η πιο γενική σχέση jijo

jjijoi EED εεεε == ∑ (με την σύμβαση του

Einstein).

ΙΙ-3

Οριακές συνθήκες στην διεπιφάνεια διηλεκτρικών Οι οριακές συνθήκες που ικανοποιούν στην διαχωριστική επιφάνεια δύο

διηλεκτρικών τα μεγέθη DErr

, είναι 21 tt EE = , 21 nn DD = (όταν δεν υπάρχουν εξωτερικά φορτία), extnn DD σ=− 21 (για επιφανειακά φορτία πυκνότητας σext), που προκύπτουν εύκολα από τις εξισώσεις του Maxwell. Με n και t ορίζονται η κάθετη και παράλληλη στην διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσες του εκάστοτε διανύσματος. Για την πόλωση προκύπτει στην διαχωριστική επιφάνεια διηλεκτρικού με το κενό, μέσω ολοκλήρωσης της σχέσης Pp

rr⋅∇−≡ρ πάνω σε έναν μικρό όγκο που

περιλαμβάνει επιφάνεια δS του διηλεκτρικού με απειροστό πάχος μέσα και έξω από το διηλεκτρικό. Προκύπτει τότε η αντίστοιχη οριακή συνθήκη pnP σ= , όπου σp ορίζει την επιφανειακή πυκνότητα των φορτίων πόλωσης που δημιουργείται στο διηλεκτρικό. Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή

Για να κατανοήσουμε τον μικροσκοπικό μηχανισμό, ας θεωρήσουμε το παράδειγμα του επίπεδου πυκνωτή με φορτία επιφανειακής πυκνότητας σ σταθερά.

Εξ αιτίας του στατικού ηλεκτρικού πεδίου τα φορτία που βρίσκονται μέσα στο υλικό ανακατανέμονται και ανάλογα αν το υλικό είναι μέταλλο ή διηλεκτρικό συμπεριφέρονται διαφορετικά. Στα μεν μέταλλα τα φορτία συγκεντρώνονται στην επιφάνεια του υλικού και θωρακίζουν πλήρως το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον αγωγό, με αποτέλεσμα το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο μέταλλο να είναι μηδέν, όπως παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα. Δηλαδή θα

ισχύει ότι 0=−=−= oooo

EEEεσ

εσ (πλήρης

θωράκιση).

Στα διηλεκτρικά (μονωτικά υλικά), τα φορτία είναι δεσμευμένα και δεν δύνανται να αποσπαστούν, αλλά μπορούν να

μετακινηθούν από την θέση ισορροπίας τους, δημιουργώντας ένα επιπρόσθετο ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο διηλεκτρικό. Το αποτέλεσμα είναι να υπάρχει κάποιο ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο μονωτικό υλικό, που θα είναι διαφορετικό από το εξωτερικό πεδίο που εφαρμόστηκε. Όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα, τα φορτία που επάγονται θα είναι λιγότερα από τα αρχικά και απλά θα μειώνουν το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο διηλεκτρικό.

Δηλαδή θα έχουμε ότι

oo

o

PEEεε

σσ π −=+

= . Όμως EP oχε= . Οπότε

+ + + +

+ + + +

+

+ + + + + + + + +

-σ -σ σ σ

+ + + +

+ + + +

+

+

+

+

+

+

σπ -σ σ

ΙΙ-4

EEEEo >=+= εχ )1( .

Η απόκριση του υλικού στο εξωτερικό πεδίο θα είναι μια ανακατανομή των φορτίων και δημιουργία ηλεκτρικών διπόλων, είτε ο προσανατολισμός των τυχόν υπαρχόντων μόνιμων διπολικών ροπών σε σχέση με το ηλεκτρικό πεδίο που εφαρμόζεται.

Στην περίπτωση όμως εναλλασσόμενου πεδίου (ΗΜ κύματος) η απόκριση του υλικού θα είναι διαφορετική και θα εξαρτάται από την συχνότητα του πεδίου, ως προς τις χαρακτηριστικές συχνότητες του υλικού. Επίσης, στα μέταλλα δεν θα μηδενίζεται το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον αγωγό, αλλά οι ελεύθεροι φορείς θα τίθενται σε παλινδρομική κίνηση, χωρίς την ανάγκη συγκέντρωσης στην επιφάνεια και την πλήρη θωράκιση του υλικού. Ατομική-μοριακή πολωσιμότητα Υπό την επίδραση ενός σταθερού ηλεκτρικού πεδίου, τα φορτία των ατόμων ή των μορίων που απαρτίζουν τα μονωτικά (διηλεκτρικά) υλικά θα ανακατανεμηθούν και, εφ’ όσον τα άτομα ή μόρια δεν διαθέτουν ήδη μια ηλεκτρική διπολική ροπή, θα δημιουργήσουν διπολική ροπή. Αυτή η διπολική ροπή pr σε πρώτη προσέγγιση (περίπτωση μικρού ηλεκτρικού πεδίου) θα είναι ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου που νοιώθει το άτομο (ή μόριο). Επομένως, για να δούμε την συμπεριφορά των ατόμων ή μορίων του διηλεκτρικού υλικού στο στατικό πεδίο, θα πρέπει να υπολογίσουμε το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο locE στην θέση του ατόμου ή μορίου. Δηλαδή θα ισχύει ότι

locEaprr

=

Όπου το α θα εκφράζει την ατομική (ή την μοριακή) πολωσιμότητα. Ο υπολογισμός του α μπορεί να γίνει κλασικά ή κβαντικά.

Στην πραγματικότητα, η γραμμική σχέση ισχύει μόνο για ελεύθερα άτομα, αφού στα στερεά οι δυνάμεις ανάμεσα στα άτομα θα επηρεάσουν την κίνηση των ηλεκτρονίων. Έτσι η πολωσιμότητα θα έπρεπε να εκφραστεί μέσω ενός τανυστή δευτέρας τάξης (έναν πίνακα 3×3) που θα υποδηλώνει ότι τα pr και locE

vδεν είναι

κατ’ ανάγκη παράλληλα.

Ας αγνοήσουμε όμως αυτή την εξάρτηση και ας παραδεχθούμε ότι για κάποια υλικά η σχέση είναι απλά αναλογία, δηλαδή υπάρχει ένας μόνον α που εκφράζει την ατομική πολωσιμότητα. Είναι φανερό ότι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο locE

v δεν θα είναι ίσο με το

εξωτερικό zEE oo ˆ=r

. Έτσι θα πρέπει να βρούμε την σχέση ανάμεσα στο τοπικό πεδίο και το εξωτερικό. Μπορούμε να γράψουμε ότι

doloc EEErrr

+= , όπου το επί πλέον

πεδίο dEr

θα δημιουργείται από την πόλωση του υλικού.

+ + + +

+ + + +

+

+

+

+

+

+

σπ -σ σ

+

+

+ R θ

Εο

Ρο

z

ΙΙ-5

Επειδή ο υπολογισμός του locEv

καθίσταται δύσκολος εξ αιτίας της ανάγκης να υπολογίσουμε την επίδραση των φορτίων από ολόκληρο το υλικό (και επομένως από την επιφάνειά του) ο Lorentz πρότεινε μια μέθοδο υπολογισμού του πεδίου dE

r, με το

να χωρίσουμε αυτό το πεδίο σε τρία μέρη 321 EEEEd

rrrr++= , όπου το 1E

r

δημιουργείται από τα φορτία της επιφάνειας του διηλεκτρικού, το 2Er

από τα φορτία πόλωσης της επιφάνειας μιας μικρής σφαίρας ακτίνας R γύρω από το άτομο (ή μόριο ή ιόν) και ένα τελευταίο 3E

r που θα υπολογιστεί από τα δίπολα που βρίσκονται μέσα

στη σφαίρα αυτή ακτίνας R. Το πεδίο 1E

r υπολογίζεται εύκολα γιατί είναι το αποτέλεσμα των

επιφανειακών φορτίων πόλωσης πυκνότητας σp και θα είναι ίσο προς

o

p PzEεε

σ rr

−=−= ˆ0

1 (ομοιόμορφο πεδίο).

To 2Er

δημιουργείται από τα φορτία στην επιφάνεια της σφαίρας. Γνωρίζουμε από τον ΗΜ ότι ένα διηλεκτρικό σε εξωτερικό ομογενές ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί εξ επαγωγής στην επιφάνειά του κατανομή φορτίων πυκνότητας θσ cosPp −= .

Είναι προφανές από την συμμετρία του προβλήματος, ότι το συνολικό πεδίο 2Er

θα είναι κατά τον άξονα z. Επομένως, θα πρέπει να ολοκληρώσουμε την συνισταμένη του ηλεκτρικού πεδίου στον άξονα z. Αυτή θα είναι

( )( )oo

po

PdPdRR

Eε

θθπθπε

σθπε

ππ

3)sin2(cos

41cos

41

0

22

022 =−=Ω−= ∫∫

Η συνεισφορά των διπόλων μέσα στην σφαίρα ακτίνας R θα πρέπει να υπολογιστεί αναλυτικά, βάσει της συνεισφορά κάθε διπόλου, ήτοι ως το άθροισμα

( )∑ −⋅=

m m

mmmmm

o RpRRRp

E 5

2

33

41

rrrrr

πε. Στην γενική περίπτωση θα δίνει κάποια τιμή

διάφορη του μηδενός. Όμως στην περίπτωση κυβικού κρυστάλλου (ή άμορφου) αποδεικνύεται ότι δίνει τιμή μηδέν. Ας δεχτούμε ότι έχουμε χωροκεντρωμένο κυβικό σύστημα, τότε zkayjaxiaRm ˆˆˆ ++=

r (όπου i,j,k ακέραιοι). Τότε η x συνιστώσα του

ηλεκτρικού πεδίου θα είναι ίση προς,

( ) ( ) ( )( )

( )( )∑

∑∑

++

++−=

=++

++−++=

−⋅=

kji

xx

o

kji

xzyx

om m

mmmmm

ox

kji

pkjipikji

pkjiikpjpipR

pRRRpE

,,2/5222

2222

,,5222

2222

5

2

34

1

34

134

1

πε

πεπε

rrrr

Αφού οι όροι ij, jk, ki θα μηδενιστούν δεδομένου ότι λαμβάνουμε εξ ίσου θετικές και αρνητικές τιμές για τον κάθε δείκτη.

Όμως εξ αιτίας τα κυβικής συμμετρίας θα έχουμε επίσης ότι

( ) ( ) ( )∑∑∑ ++=

++=

++ kjikjikji kjik

kjij

kjii

,,222

2

,,222

2

,,222

2

Επομένως, 0=xE . Το ίδιο θα ισχύει και για τις άλλες δύο συνιστώσες του πεδίου.

ΙΙ-6

Οπότε θα έχουμε ότι 03 =Er

και επομένως ooo

olocPEPPEEεεε 33

rr

rrrr

+=+−= , όπου Ev

είναι το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο διηλεκτρικό, όπως υπολογίζεται από την σχέση ED o

rrεε= (παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή). Επειδή EEP oo

rrr)1( −== εεχε

προκύπτει το πεδίο του Lorentz EEEloc

rrr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

31

32 χε

.

Αν είναι pr η διπολική ροπή του κάθε μορίου (ή ατόμου), τότε pNP rr= θα

είναι η πόλωση για Ν άτομα (ή μόρια ) ανά μονάδα όγκου. Επειδή η διπολική ροπή εξαρτάται από τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, θα ισχύει ότι locEap

rr= , όπου με το α ορίσαμε

την ατομική (ή μοριακή) πολωσιμότητα. Έτσι

EENa

NaPPNaENaPENaENaP o

o

ooloc

rrrrrr

rrrχε

εεε

=−

=⇒+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

3133

o

o

Na

Na

ε

εεχ

31

1−

=−= ⇒ 21

3 +−

=εε

ε o

Na

Οπότε προκύπτει η εξίσωση των Clausius και Mossotti 213

+−

=εεε

Na o που εκφράζει

την σχέση της ατομικής πολωσιμότητας με την μακροσκοπικά μετρούμενη διηλεκτρική σταθερά.

Όταν υπάρχουν πολλών ειδών άτομα, τότε η σχέση γράφεται ∑ +−

=i

iio

aN21

31

εε

ε.

Επειδή στις οπτικές συχνότητες 2n=ε (όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης),

προκύπτει η σχέση των Lorentz και Lorenz (1880) 213

2

2

+−

=nn

Na oε .

Αν ρ είναι η πυκνότητα του υλικού, ΝΑ ο αριθμός του Avogadro και Μ το

μοριακό βάρος, τότε MNN Aρ= και επομένως

213

+−

=εεε

ρ A

o

NMa , που αποδεικνύει ότι

ρεε a∝+−

21 , και για σταθερό α (π.χ. διάλυμα) ρ

εε

∝+−

21 (αναλογία με την

πυκνότητα διαλύματος). Αιτίες πολωσιμότητας

Η πολωσιμότητα μπορεί να προκαλείται από διάφορες αιτίες.

(1) Η ηλεκτρονική πολωσιμότητα οφείλεται στην σχετική μετατόπιση των ηλεκτρονίων ενός ιόντος ή ατόμου ως προς τον πυρήνα, υπό την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Είναι προφανές ότι αυτή η αιτία θα υπάρχει σε όλα τα υλικά.

ΙΙ-7

(2) Η ιοντική πολωσιμότητα εμφανίζεται στα μόρια όπου υπάρχουν ιοντικοί δεσμοί. Τότε τα αντίθετα φορτισμένα ιόντα μετατοπίζονται από την θέση ισορροπίας τους υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου δημιουργώντας μια διπολική ροπή.

(3) Είναι δυνατόν να υπάρχει μια μόνιμη ηλεκτρική διπολική ροπή στα μόρια που αποτελούν ένα υλικό. Με την απουσία εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, οι διπολικές ροπές θα είναι τυχαία προσανατολισμένες. Όταν όμως εφαρμοστεί κάποιο πεδίο, θα προσανατολιστούν και θα δημιουργήσουν μια πόλωση στο υλικό. 1) Ηλεκτρονική πολωσιμότητα

Ένας πολύ προσεγγιστικός υπολογισμός θεωρεί το άτομο ως σημειακό φορτίο και το ηλεκτρόνιο ως ένα νέφος ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου. Υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου θα μετατοπιστούν τα κέντρα των φορτίων με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί κάποια δύναμη επαναφοράς (ελκτική).

Αν απομακρυνθεί το κέντρο του νέφους κατά z από την αρχική του θέση, τότε θα δημιουργηθεί μια δύναμη στο σημειακό φορτίο του πυρήνα από το μέρος του φορτίου που περικλείεται στη σφαίρα ακτίνας z. Αυτή θα είναι ίση προς

kzzr

ez

rzee

Foo

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 3

2

2

3

3

44 πεπε

Και θα δημιουργήσει μια ιδιοσυχνότητα

ταλάντωσης 3

2

4 mre

mk

oo πε

ω == , ενώ η

δύναμη απομάκρυνσης θα είναι ίση προς zmkzFeE oloc2ω=== , ήτοι

ezm

E oloc

2ω= .

Οπότε 2

2

oloclocel m

eEez

Epa

ω=== .

Για 529,0== oar Å (ακτίνα του Bohr) και emm = προκύπτει 4010156,0 −×=ela Cm2/V, ενώ ο ακριβής κβαντομηχανικός υπολογισμός δίνει

0,704×10-40 Cm2/V και το πείραμα 0,73×10-40 Cm2/V. 2) Ιοντική πολωσιμότητα

Ένα απλό μοντέλο για να υπολογιστεί η συνεισφορά της ιοντικής πολωσιμότητας θεωρεί την περίπτωση μιας μονοδιάστατης διατομικής αλυσίδας ιόντων αντίθετου φορτίου ± e.

M1 M1 M2 M2 f f f f f

→u →u →υ →υ

Ε

_

+ z

ΙΙ-8

Υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου τα αντίθετα φορτία θα μετακινηθούν με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν δυνάμεις επαναφοράς της μορφής

0)(2 =+−− loceEvuf για το ένα σώμα και 0)(2 =−−− loceEuvf για το άλλο.

Επομένως f

eEvu loc

2=−

Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης στο κέντρο της ζώνης Brillouin ( 0≅q ) θα είναι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

112MM

foω

Οπότε locoo

loc EM

eMM

eEvu 2

212

11ωω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=− , όπου

21

21

MMMMM+

= η ανηγμένη μάζα.

Η επαγόμενη διπολική ροπή θα είναι ίση προς loco

EM

evuep 2

2

)(ω

=−= , οπότε

Meao

ion 2

2

ω= , που προκύπτει περίπου το 10% της ηλεκτρονικής.

3) Διπολική πολωσιμότητα

Κατά τα γνωστά, η δυναμική ενέργεια διπόλου pr σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E

r δίνεται από την σχέση

EpUrr

⋅−=

Επομένως, η ενέργεια θα ελαχιστοποιείται όταν τα δίπολα είναι παράλληλα στο εξωτερικό πεδίο. Στην θερμοκρασία Τ=0 Κ θα είναι όλα προσανατολισμένα. Αλλά σε θερμοκρασία Τ > 0 Κ θα τείνουν να αποπροσανατολιστούν εξ αιτίας της θερμικής τους διέγερσης. Η μέση τιμή της διπολικής ροπής θα είναι (λόγω συμμετρίας) παράλληλη στο ηλεκτρικό πεδίο. Για να την υπολογίσουμε αρκεί

να βρούμε την μέση τιμή της διπολικής ροπής στην κατεύθυνση του πεδίου,

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=Ω⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

∫

∫

∫

∫θθθ

θθθθ

θ

θθθ

dTkpE

dTkpE

pdTk

pE

dTkpE

ppp

B

B

B

B

sincosexp

sincosexpcos

cosexp

cosexpcoscosr

και τελικά

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫

− uupdu

dudpp 1coth)(coscosexpln

1

1

θθr

→ Ε θ Ρ

+q

-q

ΙΙ-9

όπου Tk

pEuB

≡

Η συνάρτηση u

uuL 1coth)( −≡ ονομάζεται συνάρτηση του Langevin και έχει την

μορφή του σχήματος και

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TkpEpLpB

Για 1)0( →→∞→ LTu .

Όταν 0)(0 →∞→→ LTu Στην περίπτωση που 1<<u ,

31

6

211)( 3

2

uuuu

u

ueeeeuL uu

uu

≅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

++

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

= −

−

Επομένως για 1<<u (υψηλές θερμοκρασίες) TkEpp

B3

2

= και Tk

paB

d 3

2

= .

H συνολική πολωσιμότητα θα είναι ίση προς

( ) ( )Tk

paaaaaaB

ioneldionel 3

2

++=++= (εξίσωση των Langevin-Debye)

Οι δύο πρώτοι όροι δεν εξαρτώνται από την θερμοκρασία, ενώ ο τρίτος εξαρτάται. Έτσι η θερμοκρασιακή μελέτη μπορεί να μας ορίσει το άθροισμα ( )ionel aa + καθώς και το 2p .

Οι διπολικές ροπές εκφράζονται σε μονάδες Debye = 10-29 Cm, που προκύπτει από δίπολο φορτίο περίπου ενός ηλεκτρονίου (10-19 C) σε απόσταση 1 Å. Δυναμική περίπτωση - ΗΜ κύματα Ηλεκτρονική πολωσιμότητα

Στο απλό μοντέλο της ηλεκτρονικής πολωσιμότητας το άτομο αποτελείται από ένα θετικά φορτισμένο ιόν και ένα αρνητικό φορτίο που συγκρατείται γύρω από το ιόν μέσω ενός ελατηρίου εκτελώντας ταλάντωση ιδιοσυχνότητας ωο. Αν συμπεριλάβουμε και απώλειες μέσω κάποιας «τριβής» (δύναμη ανάλογη της ταχύτητας) η εξίσωση της κίνησης υπό την επίδραση εναλλασσόμενου ηλεκτρικού πεδίου ti

oeEE ω−=rr

στην θέση του ατόμου, θα έχει την μορφή

tioo eEeEerm

dtrdm

dtrdm ωω −−=−=+Γ+

rrrrr

22

2

Θέτοντας στη μόνιμη κατάσταση ti

oertr ω−=rr )( προκύπτει η λύση

u

L

1

ΙΙ-10

Γ−−−=

ωωω iE

mer

o

oo 22

rr

Η διπολική ροπή που επάγεται θα είναι ίση προς

)()()(1)()( 22

2

tEptEim

etretpo

rrrrr ωωωω

=Γ−−

=−=

Επομένως, η ηλεκτρονική πολωσιμότητα θα δίνεται από την σχέση

Γ−−=

ωωωω

imea

oe 22

2 1)(

Όταν ω=0, η παραπάνω λύση οδηγεί στην στατική τιμή 22

ome

ω .

Στο όριο ∞→ω , 0→ea Εύκολα προκύπτει ότι

( ) ( ))()()(

22222

2

22222

222

ωωωωω

ω

ωωω

ωωω ee

oo

oe aia

mei

mea ′′+′=

Γ+−

Γ+

Γ+−

−=

Με τις δύο συνιστώσες ee aa ′′′ , να παρουσιάζουν τις κλασικές μορφές (σχήμα από τις Σημειώσεις Σ. Παπαδόπουλου)

Για τα υλικά που ακολουθούν την σχέση του Lorentz EEloc

rr

32+

=ε θα προκύψει ότι

tioelocee eENaENaP ω−==rrr

Ενώ θα ισχύει επίσης ότι

ΙΙ-11

locooe EEPrrr

23)1()1(+

−=−=ε

εεεε

Από τον συνδυασμό των δύο θα έχουμε ότι 21

3 +−

=εε

ε o

eNa

Οπότε προκύπτει ότι

oe

o

Na

N

ε

εε

31

1−

+=

Και με αντικατάσταση της τιμής του αe θα έχουμε ότι

)()(

3

11)(2

22

2

ωεωεωω

εω

εωε ′′+′=

Γ−−−+= i

imNem

Ne

oo

o

( ) 222221

221

2

1)(ωωω

ωωε

ωεΓ+−

−+=′

omNe

( ) 222221

2

)(ωωω

ωε

ωεΓ+−

Γ=′′

omNe

Όπου θέσαμε

oo m

Neε

ωω3

222

1 −≡

Προφανώς, η απορρόφηση θα εκφράζεται από το ε ′′ και θα είναι ανάλογη της ποσότητας Γ. Ιοντική πολωσιμότητα

Θα υπολογίσουμε την ιοντική συνεισφορά στην πολωσιμότητα μέσω ενός απλού μοντέλου διατομικής γραμμικής αλυσίδας, στην περίπτωση μεγάλου μήκους κύματος ως προς τις διαστάσεις της μοναδιαίας κυψελίδας. Έστω θετικά και αρνητικά φορτισμένα ιόντα (φορτίου ±Ze) που αλληλεπιδρούν σε πρώτους γείτονες με ίδιες σταθερές ελατηρίου k. Αν ±ur είναι οι μετακινήσεις των ιόντων από την θέση ισορροπίας τους και ±a οι ατομικές πολωσιμότητές τους, τότε υπό την επίδραση ενός τοπικού ηλεκτρικού πεδίου locE

r θα δημιουργηθούν διπολικές ροπές

locEauZerr

++ + και locEauZerr

−− +− .

Αν υπάρχουν Ν ζεύγη ιόντων ανά μονάδα όγκου, τότε θα δημιουργηθεί πόλωση

( ) ( )[ ] ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=++−= −+−+−+−+

oloc

PEaauuZeNEaauuZeNPε3

rrrrrrrr

Επομένως,

ΙΙ-12

( ) ( )[ ]EaauuZeNaa

NP

o

rrrr−+−+

−+

++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=

ε31

Θέτουμε ( )−+ −≡ uuNMw rrr

Όπου 21

21

MMMMM+

≡ είναι η ανηγμένη μάζα

Και tioeEE ω−=rr

, tioePP ω−=rr

και tioeww ω−=rr οι χρονικές εξαρτήσεις των μεγεθών.

Έχουμε

ooo EbwbPEbwbPrrrrrr

22212221 +=⇒+=

Με τον ορισμό

( )−+ +−≡

aaNMNZe

b

oε31

21 και ( )( )−+

−+

+−

+≡

aaNaaNb

oε31

22

Από την μετακίνηση των θετικών και αρνητικών ιόντων θα προκύψει μια δύναμη επαναφοράς της μορφής ( )−+ − uuk rr , όπου το k στην γενική τρισδιάστατη περίπτωση θα ήταν ένας τανυστής 2ας τάξης.

Επειδή υπάρχουν και ηλεκτροστατικές δυνάμεις από το ηλεκτρικό πεδίο, οι εξισώσεις κίνησης θα είναι της μορφής

( ) locEZeuukuMrrrr

&& +−−= −+++

( ) locEZeuukuMrrrr

&& −−= −+−−

Που οδηγούν στην εξίσωση σχετικής κίνησης

( ) ( ) locEZeuukuuMrrrr

&&r&& +−−=− −+−+

Που ισοδυναμεί με την εξίσωση

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=− −+−+

o

PEZeuukuuMε3

rrrrr

&&r&&

Από την αντικατάσταση των Pr

και wr καταλήγουμε στην

( )

( ) ( )EbwbE

aaNMNZe

waaN

MZeN

Mkw

oo

orrrrr

&& 1211

2

31

31

3+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−=

−+−+ εε

ε

Όπου ορίσαμε τα μεγέθη

ΙΙ-13

( )

( )−+ +−+−≡

aaNMZeN

Mkb

o

o

ε

ε

31

3

2

11 και ( )−+ +−

≡aaN

MNZe

b

oε31

12

Παρατηρούμε ότι 1221 bb =

Από την αντικατάσταση της χρονικής εξάρτησης των μεγεθών θα προκύψει ότι

( ) 0122

11 =++ oo Ebwbrrω

Επομένως, oo Eb

bwrr

211

12

ω+−=

Με αντικατάσταση στην άλλη εξίσωση προκύπτει επί πλέον ότι

( ) 211

2112

22222

11

21122221 11

ωε

εεεε

ω +−+=⇒−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=+=

b

bbbEEb

bbbEbwbP o

oo

rrrrr

Παρατηρούμε ότι

[ ]1)(22 −∞= εε ob και με αντικατάσταση της b22 έχουμε ότι

( )

( )−+

−+

+−

++=∞

aaN

aaN

o

o

ε

εε

31

1)(

Που γράφεται ισοδύναμα με την σχέση Clausius-Mossotti

( )2)(1)(

3 +∞−∞

=+Ν

−+ εεαα

εο

Όπου )(∞ε ορίζει την διηλεκτρική σταθερά σε (οριακά) άπειρη συχνότητα.

Ας ορίσουμε για λόγους που θα εξηγηθούν παρακάτω 211 Tb ω−= , οπότε θα έχουμε

για την εξίσωση της διηλεκτρικής συνάρτησης

1

)0()()()(

2

2

−

−∞+∞=

Tωω

εεεωε

Επί πλέον έχουμε ότι

2)0(2)(

2)(2)0( 2222

++∞

=⇒+∞+

=Μ

= ΤΤ εεωω

εεωκω οο

Και

ΙΙ-14

[ ]( )−+

Τ

+−=∞−

aaNM

NeZ

oε

εεεω ο

31

)()0(

22

2

Για να βρούμε την φυσική σημασία του ωΤ, ας θεωρήσουμε επίπεδα κύματα της μορφής rki

oeDDrrrr⋅= , rki

oeEErrrr⋅= και rki

oePPrrrr⋅= .

Για ισότροπα υλικά θα ισχύει ότι και τα τρία διανύσματα PEDrrr

,, θα είναι παράλληλα. Από τις εξισώσεις του Maxwell (χωρίς εξωτερικά φορτία) θα προκύψει ότι

0=⋅=⋅∇ oDkDrrrr

οπότε είτε 0=Dr

, είτε kPEDrrrr

⊥,, .

Για μεγάλα μήκη κύματος το σύστημα συμπεριφέρεται ως ηλεκτροστατικό και επομένως θα ισχύει ότι

0=×=×∇ oEkErrrr

οπότε είτε 0=Er

, είτε kPEDrrrr

//,, .

Στις εγκάρσιες ταλαντώσεις kPEDrrrr

⊥,, , οπότε θα πρέπει 0=Er

, που συνεπάγεται ότι 22

Tωωε =⇒∞→ , που υποδηλώνει ότι η ωΤ αντιστοιχεί στις εγκάρσιες ταλαντώσεις.

Για τις διαμήκεις θα έχουμε ότι kPEDrrrr

//,, , επομένως θα πρέπει 0=Dr

, που συνεπάγεται ότι ε = 0 και PEo

rr−=ε , ενώ από την εξίσωση

01

)0()()()(

2

2 =−

−∞+∞=

Tωω

εεεωε έχουμε ότι )()0(22

∞=

εεωω TL που έχει πολύ μεγαλύτερη

ισχύ από την συγκεκριμένη προσέγγιση και ονομάζεται σχέση των Lyddane-Sachs-Teller.

Το ίδιο προκύπτει από την ανάλυση TL www rrr+= , οπότε για την διαμήκη συνιστώσα

θα ισχύει ότι 0=×∇ Lwrr

, ενώ για την εγκάρσια 0=⋅∇ Twrr

.

Από την απουσία εξωτερικών φορτίων προκύπτει ότι

( ) PEPEDo

o

rrrrrrrrr⋅∇−=⋅∇⇒=+⋅∇=⋅∇

εε 10 .

Επίσης ισχύει (για μεγάλα μήκη κύματος) ότι 0=×∇ Err

, δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι αστρόβιλο.

Όμως EbwbPrrr

2221 += , οπότε EbwbEoo

rrrrrr⋅∇−⋅∇−=⋅∇

εε2221 , ήτοι

L

o

o

o

o wb

b

wb

b

E rrrrrr⋅∇

+−=⋅∇

+−=⋅∇

ε

ε

ε

ε22

21

22

21

11

ΙΙ-15

Με προφανή μοναδική λύση την L

o

oL w

b

b

EE rrr

ε

ε22

21

1+−== αφού το πεδίο είναι

αστρόβιλο.

Έτσι προκύπτει ότι

TL

o

oL

o

oTLTL wbw

b

bb

bwb

bb

wbwbwww rrrrrr&&

r&&

r&& 11

22

2112

1122

2112

111111

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

+−+=+=

ε

ε

ε

ε

Που χωρίζεται σε δύο εξισώσεις, μια για την εγκάρσια συνιστώσα TT wbw rr&& 11= που

υποδηλώνει ταλάντωση ιδιοσυχνότητας 112 bT −=ω , και μια άλλη για την διαμήκη

LTLTL

o

oL www

b

bb

bw rrrr&&

)()0(

)()()0(

122

22

2112

11 ∞−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞

∞−−−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

εεω

εεεω

ε

ε που υποδηλώνει

ταλάντωση ιδιοσυχνότητας )()0(22

∞=

εεωω TL

Διηλεκτρική συνάρτηση μετάλλων

Ας θεωρήσουμε εξωτερικά φορτία ρext σε κάποιο μέταλλο. Αν ήταν μόνα τους θα δημιουργούσαν κάποιο δυναμικό, που υπολογίζεται από την εξίσωση του Poisson

o

extext

rr

ερ

φ)(

)(2r

r−=∇

Αν ορίσουμε ως φ το δυναμικό που δημιουργείται από τον συνδυασμό των εξωτερικών φορτίων και των εσωτερικών τότε

o

rrερφ )()(2r

r−=∇

Όπου )()()( rrr indextrrr ρρρ +=

Δεχόμαστε ότι ισχύει μια γραμμική σχέση ανάμεσα στα δύο δυναμικά (δηλαδή το extφ αντιστοιχεί στο D, ενώ το φ στο Ε)

∫ ′′′= rdrrrrextrrrrr 3)(),()( φεφ

Για ομοιόμορφο αέριο ηλεκτρονίων θα ισχύει ότι )(),( rrrr ′−=′rrrr εε , επομένως

∫ ′′′−= rdrrrrextrrrrr 3)()()( φεφ

Από μετασχηματισμό Fourier θα προκύψει ότι

ΙΙ-16

)()(

1)()()()( qq

qqqq extextr

rrrrr φ

εφφεφ =⇒= [μείωση εξωτερικού πεδίου κατά ε(q)]

Όπου

rdreq rqi rrr rr 3)()( ∫ ⋅−= εε και ( )

qdqer rqi rrr rr 33 )(

21)( ∫ ⋅= επ

ε

Από τις εξίσωσης του Poisson προκύπτει ότι

( ) ( )εφεφφερ

ερφ

ερ

φ−=−=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=1

)()(

)()(

22

2

2

qqqqq

qqq

oextoind

o

o

extext

rr

rr

Οπότε

)()(

1)( 2 qqq

qo

indr

rv

φερ

ε −=

Στην προσέγγιση που το δυναμικό φ είναι μια αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση της θέσης, τότε θα έχουμε ότι για q << kF θα ισχύει για την ενέργεια η σχέση

)(2

)(22

remkkE rhr

φ−=

Επομένως από την πυκνότητα καταστάσεων με μ χημικό δυναμικό θα προκύψει ότι

( )∫+−−

=12exp

14

)( 223

3

μφπ emk

kdrnh

rr

Οπότε

( )∫+−

=12exp

14

)( 223

3

μπμ

mk

kdnoh

r

Και

[ ]μ

φμφμρ∂∂

−≅−+−= oooind

nrenener )()()()( 2 rr

Αυτή η προσέγγιση της θωράκισης οφείλεται στους Thomas-Fermi και ισχύει αρκετά καλά όταν q << kF. Στην προσέγγιση αυτή προκύπτει για την διηλεκτρική συνάρτηση η σχέση

μεε

∂∂

+= o

o

nq

eq 2

2

1)( r

Ορίζοντας τον κυματαριθμό των Thomas-Fermi με ∂

∂= o

oo

nek2

2

Προκύπτει η σχέση 2

2

1)(qk

q o+=rε

ΙΙ-17

Παρατηρούμε ότι για q → 0 , ε → ∞.

Αν το εξωτερικό φορτίο ήταν σημειακό Q, τότε

2)(4

)(q

Qqr

Qro

exto

ext εφ

πεφ =⇒= , οπότε

( )22)()(

1)(oo

ext kqQq

qq

+==ε

φε

φ

Που οδηγεί σε ένα δυναμικό

( )rk

ooo

rqi oer

Qkq

Qeqdr −⋅ =+

= ∫ πεεπφ

4)2()( 223

3 rrr

τύπου Yukawa που αναπαριστά μια θωράκιση σε αποστάσεις μεγαλύτερες του 1/ko.

Αποδεικνύεται ότι ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

o

s

F

o

ar

kk 3

2

22

2

316π

, όπου rs ορίζει την ακτίνα μιας

σφαίρας με όγκο εκείνον του κάθε ηλεκτρονίου. Επειδή συνήθως rs/ao ~ 2-6 ⇒ ko ≈ kF, δηλαδή η ηλεκτρονική θωράκιση είναι αποτελεσματική και ενεργεί σε αποστάσεις ενδοσωματιδιακές.

Ο υπολογισμός του Lindhard για την θωράκιση διορθώνει τον όρο των Thomas-Fermi, αλλά εισάγει μια πολύ πιο σύνθετη σχέση. Για Τ = 0 Κ η σχέση αυτή είναι

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−

++=xx

xx

qmke

o

F

11ln

41

211

2

222

2

πεε

h

Στην περίπτωση του 0≅q η παραπάνω σχέση οδηγεί στην αντίστοιχη των Thomas-Fermi. Όταν Fkq 2→ το ε αποκλίνει.

Η αντίστοιχη διόρθωση για Fkq 2→ στις δυνάμεις Coulomb ανάμεσα στα ιόντα και η επαγόμενη θωράκιση εξ αιτίας των ηλεκτρονίων, οδηγεί σε μια αντίστοιχη απόκλιση που επηρεάζει την σχέση διασποράς των φωνονίων με απειρισμό του qr∂

∂ω στις τιμές του qr που αντιστοιχούν σε αντιδιαμετρικά σημεία

της επιφάνειας Fermi (ανωμαλία Kohn).

Αν λάβουμε υπόψη μας και τα ιόντα και δεν τα θεωρήσουμε αμετακίνητα, θα έχουμε και κάποια θωράκιση από τα ιόντα, που προσθέτει έναν όρο της μορφής

2

2

ωpΩ

− , όπου MZen

p

2)(4π=Ω είναι η συχνότητα πλάσματος των ιόντων.

Τελικά η διηλεκτρική συνάρτηση που συμπεριλαμβάνει συνεισφορές και από τους ελεύθερους φορείς και από τις ταλαντώσεις του πλέγματος (φωνόνια) θα λάβει την μορφή

2

2

2

2

1ω

ε po

qk Ω

−+=

ΙΙ-18

Συνολική πολωσιμότητα Η μεταβολή με την συχνότητα του πραγματικού μέρους της πολωσιμότητας (όπως και του πραγματικό μέρους της διηλεκτρικής συνάρτησης) συνήθως έχει την μορφή (τα δύο επόμενα σχήματα από το βιβλίο Fundamentals of Solid State Physics του J.R. Christman)

Η παρουσία των ελεύθερων φορέων και του ενεργειακού χάσματος στους ημιαγωγούς αλλάζει την εξάρτηση της απορρόφησης που λαμβάνει την μορφή

Χρηματοδότηση  •  Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  έχει  αναπτυχθεί  

στα  πλαίσια  του  εκπαιδευτικόυ  έργου  του  διδάσκοντα  

•  Το  έργο  «Ανοικτά  Ακαδημαϊκά  Μαθήματα  Ε.Μ.Π.»  έχει  χρηματοδοτήσει  μόνο  την  αναδιαμόρφωση  του  εκπαιδευτικού  υλικού.  

•  Το  έργο  υλοποιείται  στο  πλαίσιο  του  Επιχειρησιακού  Προγράμματος  «Εκπαίδευση  και  Δια  Βίου  Μάθηση»  και  συγχρηματοδοτείται  από  την  Ευρωπαϊκή  Ένωση  (Ευρωπαϊκό  Κοινωνικό  Ταμείο)  και  από  εθνικού  πόρους.