2 fungsi dan model - handout
DESCRIPTION
powerpoinTRANSCRIPT
![Page 1: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNGSI DAN MODEL
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63
![Page 2: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/2.jpg)
Topik Bahasan
1 Fungsi
2 Jenis-jenis Fungsi
3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama
4 Model Matematika
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 63
![Page 3: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/3.jpg)
Fungsi
Pengertian Fungsi
Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain.
Contoh
1 Populasi manusia P bergantung pada waktu t.
2 Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w.
3 Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r.
Definisi (Fungsi)
Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturanyang memadankan setiap elemen x ∈ A dengan tepat satu elemeny = f (x) ∈ B.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 63
![Page 4: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi
Ilustrasi Fungsi
Notasi: f : A→ B
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 63
![Page 5: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi
Catatan:
1 Dalam kalkulus biasanya A, B ⊂ R.2 Aturan pemadanan fungsi: y = f (x)
x variabel bebasy variabel takbebas, bergantung pada x
3 Daerah asal fungsi:
Df = A = {x : fungsi f terdefinisi}
4 Daerah hasil fungsi:
Wf ={
y ∈ B : y = f (x) , x ∈ Df}
5 Grafik fungsi: {(x, y) : x ∈ Df , y = f (x)
}
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 63
![Page 6: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/6.jpg)
Fungsi
Ilustrasi Grafik Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 63
![Page 7: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/7.jpg)
Fungsi
ContohSketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerahhasilnya.
1 y = 2x+ 1.2 y = x2 − 1.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 63
![Page 8: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/8.jpg)
Fungsi
Uji Garis Tegak
Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jikatidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 63
![Page 9: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/9.jpg)
Fungsi
Contoh
Diberikan sketsa grafik persamaan y = x+ 1 dan x = y2 − 2y.
Periksa grafik manakah yang merupakan grafik suatu fungsi menggunakanuji garis tegak.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 63
![Page 10: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/10.jpg)
Fungsi
Penyajian Fungsi
Secara verbal: dengan uraian kata-kata
Secara numerik: dengan tabel
Secara visual: dengan grafik
Secara aljabar: dengan aturan/rumusan eksplisit
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 63
![Page 11: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/11.jpg)
Fungsi
Contoh (Penyajian fungsi secara verbal)
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B (w). Aturan yangdigunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalahRp 1.000,- untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,- untuk setiapons tambahan sampai 5 ons.
Contoh (Penyajian fungsi secara numerik)
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons) Biaya B (w) (rupiah)0 < w ≤ 1 1.0001 < w ≤ 2 1.2502 < w ≤ 3 1.5003 < w ≤ 4 1.7504 < w ≤ 5 2.000
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 63
![Page 12: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi
Contoh (Penyajian fungsi secara visual)
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 63
![Page 13: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi
Contoh (Penyajian fungsi secara aljabar)
Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.
B (w) =
1.000, jika 0 < w ≤ 1,1.250, jika 1 < w ≤ 2,1.500, jika 2 < w ≤ 3,1.750, jika 3 < w ≤ 4,2.000, jika 4 < w ≤ 5.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 63
![Page 14: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi
ContohSalah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberiantingkat diskon (D) dalam persen atas banyaknya belanja iklan (x) dalamjuta rupiah sebagai berikut. Belanja iklan kurang dari 500 juta rupiahdiberi diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampai dengan 1 miliarrupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari 1 miliar rupiah diberidiskon 30%. Nyatakan hubungan D dengan x secara numerik, visual(grafik fungsi D), dan aljabar.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 63
![Page 15: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/15.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Polinom
Aturan fungsi:
y = f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0
an, . . ., a1, a0 konstanta, (an 6= 0), n = derajat polinom
Daerah asal: Df = R
Daerah hasil bergantung pada bentuknya
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 63
![Page 16: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/16.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi PolinomFungsi Konstan (Polinom Berderajat 0)
Aturan fungsi: y = f (x) = aa konstantaDaerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = {a}Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 63
![Page 17: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/17.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi PolinomFungsi Linear (Polinom Berderajat 1)
Aturan fungsi: y = f (x) = ax+ ba dan b konstanta, (a 6= 0)a = kemiringan garis (gradien/slope)b = perpotongan garis dengan sumbu-y (intersep)Daerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = R
Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 63
![Page 18: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/18.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Contoh
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 63
![Page 19: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/19.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi PolinomFungsi Kuadratik (Fungsi Polinom Berderajat 2)
Aturan fungsi: y = f (x) = ax2 + bx+ ca, b, dan c konstanta, (a 6= 0)Diskriminan: D = b2 − 4ac
Titik maksimum/minimum: (x, y) =(−b
2a,−D4a
)Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 63
![Page 20: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/20.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
ContohTentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
1 y = x2 + 2x− 1.2 y = −2x2 + 2x− 4.3 y = x2 + 4x+ 5, −6 ≤ x ≤ 7.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 63
![Page 21: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/21.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Pangkat
Aturan fungsi:y = f (x) = xn, n ∈N
Daerah asal: Df = [0, ∞)Daerah hasil:Jika n ganjil (misalnya, f (x) = x dan f (x) = x3), Wf = R
Jika n genap (misalnya, f (x) = x2 dan f (x) = x4), Wf = [0, ∞)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 63
![Page 22: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/22.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 63
![Page 23: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/23.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Akar
Aturan fungsi:
y = f (x) = n√
x, n = 2, 3, 4, . . .
Jika n genap (misalnya, f (x) = 2√
x =√
x dan f (x) = 4√
x)Daerah asal: Df = [0, ∞)Daerah hasil: Wf = [0, ∞)Jika n ganjil (misalnya, f (x) = 3
√x dan f (x) = 5
√x)
Daerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = R
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 63
![Page 24: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/24.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Grafik:
ContohTentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
1 y =√
x− 1.
2 y =√−x2 + 3x− 2.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 63
![Page 25: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/25.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Rasional
Aturan fungsi:
y = f (x) =P (x)Q (x)
P dan Q adalah fungsi polinomDaerah asal: Df = R− {x : Q (x) = 0}Daerah hasil bergantung pada bentuknya
Contoh
1 Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi rasional berikut.
y =x+ 1x− 1
2 Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut.
y =x− 2x2 − 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 63
![Page 26: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/26.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi RasionalFungsi Kebalikan
Aturan fungsi:
y = f (x) =1x, x 6= 0
Daerah asal: Df = R− {0}Daerah hasil: Wf = R− {0}Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 63
![Page 27: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/27.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Aljabar
Definisi (Fungsi aljabar)
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat denganmenggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan,perkalian, pembagian, dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
ContohBerikut merupakan fungsi-fungsi aljabar.
1 f (x) =√
x+ 1x− 1
2 f (x) =√
x− 2x2 − 1
+ (x− 2) 3√
x+ 1
Catatan:Fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, dan fungsi rasionalmerupakan fungsi aljabar.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 63
![Page 28: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/28.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi TrigonometriFungsi Sinus
Aturan fungsi:
y = f (x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = [−1, 1]Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 63
![Page 29: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/29.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi TrigonometriFungsi Kosinus
Aturan fungsi:
y = f (x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = [−1, 1]Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 63
![Page 30: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/30.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi TrigonometriFungsi Tangen
Aturan fungsi:
y = f (x) = tan x =sin xcos x
, x dalam radian
Daerah asal: Df = R−{
π2 + nπ : n ∈ Z
}Daerah hasil: Wf = R
Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 63
![Page 31: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/31.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi TrigonometriFungsi Sekan, Kosekan, dan Kotangen
Fungsi sekanAturan fungsi:
y = f (x) = sec x =1
cos x, x dalam radian
Fungsi kosekanAturan fungsi:
y = f (x) = csc x =1
sin x, x dalam radian
Fungsi kotangenAturan fungsi:
y = f (x) = cot x =1
tan x, x dalam radian
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 63
![Page 32: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/32.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri
1 −1 ≤ sin x ≤ 12 −1 ≤ cos x ≤ 13 sin x = sin (x+ 2π)
4 cos x = cos (x+ 2π)
5 tan x = tan (x+ π)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 63
![Page 33: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/33.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Eksponen
Bentuk:y = f (x) = ax, a > 0
Daerah asal: Df = R
Daerah hasil: Wf = (0, ∞)Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 63
![Page 34: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/34.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Logaritma
Bentuk:y = f (x) = loga x, a > 0
Daerah asal: Df = (0, ∞)Daerah hasil: Wf = R
Grafik:
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 63
![Page 35: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/35.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Transenden
Definisi (Fungsi transenden)
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, inverstrigonometri, eksponen, dan logaritma.
ContohGolongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
1 f (x) = 4√
x+ 1
2 f (x) =x− 6x+ 6
3 f (x) = log10 x4 f (x) = 10x
5 f (x) = x10 +log10 x2x− x2
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 63
![Page 36: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/36.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function)
Definisi (Fungsi sesepenggal)
Fungsi sesepenggal adalah fungsi dengan banyak aturan dengan setiapaturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.
Contoh
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dan g berikut,kemudian buatlah sketsa grafiknya.
f (x) = |x| ={
x, x ≥ 0−x, x < 0
Catatan: f disebut fungsi nilaimutlak.
g (x) =
x+ 4, −5 ≤ x < −31, −3 ≤ x < −1x2, −1 ≤ x < 3
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 63
![Page 37: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/37.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
ContohDidefinisikan untuk setiap bilangan real x:[[x]] = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dengan
f (x) = [[x]] ,
kemudian buatlah sketsa grafiknya.Catatan: f disebut fungsi bilangan bulat terbesar.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 63
![Page 38: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/38.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Definisi (Fungsi genap)
Jika fungsi f memenuhi f (−x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerahasalnya, maka fungsi f disebut fungsi genap.
Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 63
![Page 39: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/39.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Definisi (Fungsi ganjil)
Jika fungsi f memenuhi f (−x) = −f (x) untuk setiap x di dalam daerahasalnya, maka fungsi f disebut fungsi ganjil.
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 63
![Page 40: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/40.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Contoh
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi genap, fungsi ganjil, ataubukan keduanya.
1 f (x) = 1− x4.
2 f (x) = x2 + cos x.3 f (x) = x+ sin x.4 f (x) = 2x− x2.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 63
![Page 41: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/41.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi (Fungsi naik dan fungsi turun)
1 Fungsi f disebut naik pada interval I jika
f (x1) < f (x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2 Fungsi f disebut turun pada interval I jika
f (x1) > f (x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 63
![Page 42: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/42.jpg)
Jenis-jenis Fungsi
Contoh
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun padainterval I.
1 f (x) = x2, I = [0, ∞).2 f (x) = sin x, I = [π, 2π].
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 63
![Page 43: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/43.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1 Transformasi fungsiPergeseran, peregangan, dan pencerminan
2 Operasi aljabar fungsiPenjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
3 Komposisi fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 63
![Page 44: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/44.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Transformasi FungsiPergeseran (Translasi)
Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik:
1 y = f (x) + c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke atas2 y = f (x)− c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke bawah3 y = f (x− c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kanan4 y = f (x+ c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kiri
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 63
![Page 45: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/45.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 63
![Page 46: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/46.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Transformasi FungsiPeregangan (Dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1 y = cf (x), regangkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c
2 y =1c
f (x), mampatkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c
3 y = f (cx), mampatkan grafik y = f (x) secara mendatar denganfaktor c
4 y = f(
1c
x), regangkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan
faktor c
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 46 / 63
![Page 47: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/47.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 47 / 63
![Page 48: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/48.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Transformasi FungsiPencerminan (Refleksi)
Untuk memperoleh grafik
1 y = −f (x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-x2 y = f (−x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-y
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 48 / 63
![Page 49: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/49.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 49 / 63
![Page 50: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/50.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Contoh
Gambarkan grafik fungsi f berikut dengan menggunakan sifat transformasifungsi.
1 f (x) = |x− 1|.2 f (x) = sin 2x.3 f (x) = x2 + 2x+ 1.4 f (x) = 1− cos x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 50 / 63
![Page 51: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/51.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Operasi Aljabar Fungsi
Definisi (Aljabar fungsi)
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsif + g, f − g, fg, dan f /g didefinisikan sebagai berikut
1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; Df+g = Df ∩Dg
2 (f − g) (x) = f (x)− g (x) ; Df−g = Df ∩Dg
3 (fg) (x) = f (x) g (x) ; Dfg = Df ∩Dg
4 (f /g) (x) = f (x) /g (x) ; Df /g = Df ∩Dg − {x : g (x) = 0}
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 51 / 63
![Page 52: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/52.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Contoh
Tentukan f + g, f − g, fg, dan f /g beserta daerah asal dan daerahhasilnya, jika
f (x) = x2; g (x) = 2x
Contoh
Tentukan f + g, f − g, fg, dan f /g beserta daerah asalnya, jika
f (x) =√
1+ x; g (x) = x− 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 52 / 63
![Page 53: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/53.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Komposisi Fungsi
Definisi (Komposisi fungsi)
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsikomposit f ◦ g didefinisikan sebagai berikut:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
dengan Df◦g ={
x : x ∈ Dg dan g (x) ∈ Df}.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 53 / 63
![Page 54: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/54.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Ilustrasi Komposisi Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 54 / 63
![Page 55: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/55.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Ilustrasi Komposisi Fungsi (2)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 55 / 63
![Page 56: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/56.jpg)
Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Contoh
Tentukan f ◦ g, g ◦ f , dan f ◦ f beserta daerah asalnya, jika
1 f (x) = x2; g (x) =√
x
2 f (x) =1x
; g (x) = x+ 1
Contoh
Tentukan f ◦ g dan g ◦ f beserta daerah asalnya, jika
f (x) = x2 + 1 ; x < 0g (x) = 2− x ; 0 < x ≤ 5
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 56 / 63
![Page 57: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/57.jpg)
Model Matematika
Model Matematika
Definisi (Model matematika)
Model matematika adalah representasi dari fenomena dunia nyata yangmelibatkan konsep atau formulasi matematik (sering kali menggunakanfungsi atau persamaan).
Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat perkiraantentang perilakunya di masa depan.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 57 / 63
![Page 58: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/58.jpg)
Model Matematika
Proses Pemodelan
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 58 / 63
![Page 59: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/59.jpg)
Model Matematika
ContohTempat penampungan air berbentuk silinder tanpa tutup. Jika tinggisilinder 2 kali garis tengah alas silinder, maka tentukan luas permukaantempat penampungan air sebagai fungsi dari jari-jari alas.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 59 / 63
![Page 60: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/60.jpg)
Model Matematika
ContohKapal tanker yang bermuatan minyak mentah menabrak karang, sehinggakapal bocor. Tumpahan miyak membentuk lingkaran. Jari-jari tumpahanminyak berkembang dengan laju tetap 2 km/jam.
1 Rumuskan jari-jari r sebagai fungsi dari waktu t.2 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari jari-jari r.3 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari waktu t.(Tentukan fungsi komposisi (L ◦ r) (t)).
4 Tentukan luas tumpahan minyak pada hari ke-10 setelah kapal bocor.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 60 / 63
![Page 61: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/61.jpg)
Model Matematika
ContohPada suatu medium, banyaknya bakteri mula-mula adalah 500 satuan.Perkembangan bakteri tersebut dipengaruhi oleh suhu t (dalam ◦C)sebagai berikut. Pada 0 < t ≤ 10, setiap penambahan 1◦C, bakteribertambah sebanyak 50 satuan. Tetapi pada 10 < t ≤ 30 bakteri hanyabertambah 10 satuan setiap penambahan 1◦C, bahkan pada t > 30 bakterimati dengan laju konstan 5 satuan per 1◦C. Rumuskan banyaknya bakteriP sebagai fungsi dari suhu t dan gambarkan grafiknya.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 61 / 63
![Page 62: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/62.jpg)
Model Matematika
Contoh
Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30+ v/2) $/mil jikadikemudikan dengan kecepatan konstan v mil/jam. Pengemudi trukmendapatkan upah 1400 $/jam. Rumuskan total biaya pengiriman barangdengan menggunakan truk tersebut ke kota A yang berjarak k mil, sebagaifungsi dari kecepatan v.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 62 / 63
![Page 63: 2 Fungsi Dan Model - Handout](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012313/5572135e497959fc0b922bdc/html5/thumbnails/63.jpg)
Model Matematika
ContohAturan pembayaran biaya berlangganan air PDAM sebagai berikut.Dikenai biaya Rp 7.000,- untuk pemakaian 10 m3 pertama. Tambahanbiaya Rp 1.000,- per m3 untuk pemakaian di atas 10 m3 sampai 20 m3 dantambahan biaya Rp 2.600,- per m3 untuk pemakaian di atas 20 m3.
1 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 16 m3,maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?
2 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 57 m3,maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?
3 Rumuskan biaya berlangganan air B sebagai fungsi dari banyaknyapemakaian air x, kemudian gambarkan grafik fungsinya.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 63 / 63