2 geometria plana - triangulos e quadrilateros
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GEOMETRIA
PLA
NA
TRIÂ
NGULOS E
QUADRILÁTE
ROS
PR
OF E
SS
OR
A J
UL I A
NA
SC
HI V
AN
I
TIPOS DE TRIÂNGULOS
Teorema do ângulo externo
e
+ + = 180
e + = 180
+ + = e +
+ = e
ÁREA DO TRIÂNGULO
E QUANDO NÃO SE TEM
BASE NEM ALTURA?????
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
hα
sen α = h / a => h = a ∙ sen α
β
sen β = h / b => h = b ∙ sen β
A = c ∙ a ∙ sen α 2
A = c ∙ b ∙ sen β 2
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO
a b
c
A = a ∙ b ∙ sen ab 2 ab
TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO
Ver vídeos com a demonstração
TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO
P = 9 + 7 + 14 2
= 30 2
= 15
A² = 15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A² = 15 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 1
A² = 720
A = √720 ≈ 26,8 cm²
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA
ab
c
r
rr
A = ar + br + cr 2 2 2
=> A = ar + br + cr 2
=> A = r (a + b + c) 2
A = p r
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA
r
a
c
b
A
C
B
Pela lei dos senos: a sen A
b sen B
c sen C
= = = 2R
a = sen A ∙ 2Rb = sen B ∙ 2Rc = sen C ∙ 2R
Pela área do triângulo em função dos senos:
A = a ∙ b ∙ sen ab 2 Substituindo (1) em (2):
A = sen A ∙ 2R ∙ sen B ∙ 2R ∙ sen C 2
= 4R² ∙ sen A ∙ sen B ∙ sen C 2
=> sen A = a/ 2R=> sen B = b/ 2R=> sen C = c/ 2R
A = 4R² ∙ a/2R ∙ b/2R ∙ c/2R 2
= 4R² ∙ abc/8R³ 2
= abc/2R 2
= abc 4R
ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA
EXERCÍCIO
Marque a alternativa que representa a área da região do plano limitada pelo triângulo equilátero, com lados medindo a, e pela circunferência inscrita nesse triângulo. A parte escura da figura abaixo ilustra essa região.
A ( ) a²(2√3 – π)/12
B ( ) a²(3√3 – π)/12
C ( ) a³(3√2 – π)/12
D ( ) a³(2√2 – π)/12
Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses
lados, segmentos proporcionais.
BC//PQ Se
QCAQ
PBAP
DESIGUALDADE TRIÂNGULAR
Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles:
a
b
c|b – c| < a < b + c|a – b| < c < a + b|a – c | < b < a + c
DESIGUALDADE TRIÂNGULARExemplo: Determine os possíveis valores de x para que forme um triângulo.
a = 2x + 1b = 1c = 4
|4 – 1| < 2x + 1 < 4 + 1
3 < 2x + 1 < 5
2 < 2x < 4
1 < x < 2
BARICENTRO DO TRIÂNGULO
P
N M
C
BA
G
O baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão 2:1 no sentido do vértice para o lado.
AG = 2GMBG = 2GNCG = 2GP
O ponto G é o ponto de equilíbrio do triângulo.
EXERCÍCIO BÁSICO Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas seguintes. I) 10 cm; 8 cm; 6 cm.II) 9 cm; 15 cm; 12 cm.III) 12 cm; 15 cm; 12 cm.IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm.V) 10 cm; 10 cm; 21 cm. Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos.a) I, II, III e IV.b) I, II, IV e V.c) I, II e IV.d) I, II, e V.e) Em nenhum caso pode se formar triângulo.
V
VV
F
V
QUADRILÁTEROS
É todo polígono que possui apenas quatro lados.
D
C
B
AA
B
C
D
Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo
Em todo quadrilátero convexo temos: d = 2, soma dos ângulos internos e soma dos ângulos externos igual a 360 graus.
TRAPÉZIOSSão quadriláteros que possuem dois lados paralelos denominados bases.
B
C
D
A
AC // BD ABCD é trapézio.
B
b
TRAPÉZIOS
B
bB
b
TRAPÉZIOS
B + b
b + B
TRAPÉZIOS
Trapézios Isósceles É todo trapézio que possui dois lados não paralelos congruentes entre si.
a a
b b
a + b = 180º
As diagonais do trapézio isósceles são congruentes
Trapézio Escaleno É todo trapézio que possui dois lados não paralelos com medidas diferentes entre si.
Trapézio Retângulo É todo trapézio escaleno que possui um dos lados não paralelos perpendiculares às bases.
Todo trapézio retângulo é trapézio escaleno.a + b = 180º
b
a
PARALELOGRAMOS É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos entre si.
D C
BA
Nos paralelogramos valem as seguintes propriedades
A diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
Os lados opostos são congruentes.
Os ângulos opostos são congruentes.
Diagonais se cortam em seus respectivos pontos médios.
Nota: Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem dois lados paralelos.
PARALELOGRAMOS
D C
BA
b
b
PARALELOGRAMOS
b
b
É todo paralelogramo que possui os lados congruentes entre si. (equilátero).
D
C
B
A
Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:
As diagonais são bissetrizes e perpendiculares.
I I I
I I I
Todo losango é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.
LOSANGOS
LOSANGOS
É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes entre si. (eqüiângulo)
Nos retângulos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:
As diagonais são congruentes e os quatro ângulos são retos.
Todo retângulo é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.
BA
D C
RETÂNGULOS
RETÂNGULOS
5 quadrados preenchem a base
3 quadrados preenchem
a altura
5 * 3 = 15 quadrados preenchem o retângulo
É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes (é retângulo) e possui todos os lados congruentes (é losango)
No quadrado, valem todas as propriedades dos retângulos, e todas as propriedades do losango.
Todo quadrado é retângulo e losango e, portanto, também é paralelogramo e trapézio.
_ _
__
QUADRADOS
QUADRADOS
TRAPEZÓIDES
Todo quadrilátero que não for trapézio será trapezóide.
são quadriláteros que não apresentam paralelismo entre os lados. C
B
A D
quadriláteros
trapézios
paralelogramos
LosRet Q
BASES MÉDIAS
ΔABC ≈ ΔAMN =>
x
x y
y
2x
x= 2
Razão de Semelhança
BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO
2y
y
A
M N
B C
B2
Bm =
B
Bm
B + b
Base média – É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio.
D C
BA
A medida da base média é igual à semi-soma das medidas das bases.
VN
DN = NA e CV = VB NV é base média.
2
b
B
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Bm =
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Inicialmente, prolonguemos AM até encontrar DC no ponto E.
É fácil ver que ∆ABM ≡ ∆CME (ALA) ⇒ AB = CE.
Portanto, MN é base média do triângulo ADE.
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
DE2
MN = DC + CE2
DC + AB2
B + b2
= = =
Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
x
y
5,5
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais.
'C'B'B'A
BCAB
(Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?
(Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?
REFERÊNCIAS
http://www.rpm.org.br/5e/docs/mc11.pdf
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=12&ved=0CHgQFjAL&url=http%3A%2F%2Fwww.colegiounimax.com.br%2FImagens%2FBiblioteca%2FCKFinder%2F4%2FDownloads%2FGeometria%2520Plana%2520-%2520Quadril%25C3%25A1teros%2520e%2520Base%2520M%25C3%25A9dia.ppt&ei=3GaNUOGRMIHv0gGXqoGQBQ&usg=AFQjCNHL-94DpkZYrQ4-RfklXw6YbCj7Ow&sig2=Mo8jSJ98tf9OrMJFDRoQHg
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/formula-heron.htm