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LA INTEGRAL DE BOCHNER

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CÁLDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓNPROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

JUAN DAVID LEAL CAMPUZANO

Bogotá D. C.2017

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CÁLDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

LA INTEGRAL DE BOCHNER

JUAN DAVID LEAL CAMPUZANO

Trabajo de Grado presentado como parte delos requisitos para la obtención del títulode Matemático por la Universidad DistritalFrancisco José de Cáldas.

Director:MILTON DEL CASTILLO LESMES ACOSTA

Bogota, D.C2017

Índice general

Introducción 7

Justificación 9

Objetivos 110.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Integral de Lebesgue 131.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Definición, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Integral de Bochner 212.1. Definición de la integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Propiedades de la integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Teorema de medibilidad de Pettis . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones 43

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6 ÍNDICE GENERAL

Introducción

En la historia yace la necesidad del uso del símbolo de la integral como un ope-rador antiderivada con Newton y Leibniz, los cuales introducen los infinitesimoscon sus respectivos usos en en el cálculo, continuamente la necesidad de medirlongitudes, áreas y volúmenes dieron paso a la integral de Riemann, las cuales conalgunas falencias tuvieron algunos avances hasta encontrar funciones las cualesla integral de Riemann no podía medir, en a necesidad de querer medir aquellasfunciones y con ayuda de Emille Borel, se da paso a la integral de Lebesgue y conel a la teoría de la medida que actualmente se ve y se estudia, en 1933 Von Neu-mann y Salomón Bochner escriben basados en la teoría de Lebesgue, un artículoacerca de medidas vectoriales a través de integrales sobre espacios vectoriales,con el fin de caracterizar funciones a través de sus del análisis de Fourier comouna forma de medir las funciones sobre espacios más complejos.El presente trabajo está basado en la obra de Jan Mikusinski del libro Bochnerintegral. En el primer capítulo se retomara la teoría de la integral de Lebesgue consu respectivos teoremas, en el segundo capítulo se dará a conocer la definiciónformal de la integral de Bochner con distintas propiedades que la caracterizan ypara terminar en el capítulo 3 se mostrarán unos ejemplos para entender mejorcomo funciona la integral de Bochner.

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8 ÍNDICE GENERAL

Justificación

El fin es entender a cabalidad la integral de Lebesgue como una medida enRn y observar la ampliación de la teoría hacia una forma de medir en espaciosvectoriales y más aun espacios de Banach a través de la integral de Bochner.

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10 ÍNDICE GENERAL

Objetivos

0.1. Objetivo general

Identificar la integral de Bochner como una generalización de la integral de Le-besgue y analizar sus propiedades.

0.2. Objetivos específicos

1.) Definir la integral de Bochner como una medida vectorial sobre un espacio deBanach

2.) Comparar las propiedades de la integral de Bochner con las propiedades dela integral de Lebesgue

3.) Ejemplificar funciones medibles sobre espacios de Banach desde la integral deBochner

11

12 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Integral de Lebesgue

1.1. Historia

Hacia finales del siglo XIX, el matemático alemán Bernhard Riemann instauró unanoción de integral que acogía funciones altamente discontinuas. Sin embargo, lanoción de integral de Riemann llevaba a contradicciones. Justamente, el matemá-tico Camille Jordan intentó una salida a los problemas de la integral de Riemanna través de la noción de contenido. A pesar de ser una salida bastante sutil, en-caminaba el problema en la dirección de una teoría abstracta de la medida,queempieza a ventilarse con los trabajos de Émile Borel. Ese es justamente el puntode partida de Lebesgue.En su tesis doctoral de 1902 Integral, Longitud, Área.Lebesgue se da cuenta que para establecer una noción rigurosa de integral debíavolver a los fundamentos primigenios de la geometría de los antiguos; concreta-mente debía convertir el concepto de medida relativa, implícito en la geometríaeuclidiana,en una noción de medida absoluta. En este sentido Lebesgue entiendeque una fundamentación rigurosa de la noción de integral se da como proyecciónde los fundamentos sobre los que reposa la geometría.Para Lebesgue, el problemade la medida consiste en asignarle a cada conjunto acotado un número mayor oigual a cero, que se denomina su medida, bajo las siguientes premisas:

1. Existe un conjunto cuya medida es diferente de cero.

2. La medida es invariante bajo traslaciones.

3. La medida de la unión de un número finito o numerable de conjuntos,disjuntos dos a dos, es la suma de las medidas de los conjuntos.

Para Lebesgue, estas tres propiedades sintetizan el desarrollo histórico de la acti-vidad de medir.

13

14 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE

1.2. Definición, propiedades y ejemplos

Definición 1. Sea X un conjunto arbitrario, entonces la familia X de subconjuntos de Xse llama una σ− álgebra si solo si cumple las siguientes propiedades:

∅ y X estan en X.

si A ∈ X entonces Ac∈ X.

Para una sucesión de conjuntos En en X, entonces⋃∞

n=1 En pertenece a X

Definición 2. Sea un conjunto X y sea X una σ− álgebra sobre X, se define µ una medidacomo una función de X en R+ que cumple lo siguiente:

µ(∅) = 0

µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ X.

La función es contablemente aditiva, es decir para un sucesión de elementos En deX,

µ

∞⋃n=1

En

=

∞∑n=1

µ(En)

A la tripla (X,X, µ) se le llama un espacio de medida.

Definición 3. Sea un espacio de medida (X,X, µ) y sea A ⊆ X y A ∈ X, se dice que Atiene medida σ- finita si es unión contable de elementos de la sigma álgebra y tiene medidafinita.

Definición 4. Sea un espacio de medida (X,X, µ) y sea Ω ⊆ Rn, dada una funciónarbitraria f : X → Ω, decimos que f es una función simple si f (X) es numerable yf −1(x) es X −medible para todo x ∈ X.

En las definiciones anterior se puede tomar a X como un subconjunto deRn y a µcomo la medida de Lebesgue con su respectiva σ−álgebra; como particularidad,la medida de Lebesgue tiene la propiedad de invarianza bajo traslaciones, esoquiere decir que dado un conjunto A ∈ X y una n−tupla r de Rn se define

A + r =y ∈ Rn; y = x + r, x ∈ A

. la invarianza se caracteriza por µ(A) = µ(A + r).A continuación se trabajará con funciones del tipo f : I→ J donde I, J son interva-los de la recta real, y con la medida de Lebesgue denotada por µ con su respectiva

1.2. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS 15

σ-álgebra para el caso de la integral de Lebesgue. Los conceptos más necesariosse refieren a funciones simples y medibilidad fuerte entre otros, con el uso delos teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada usados en lateoría de la medida [1, pag. 31, pag. 44].

Para entender la definición formal de una función Lebesgue medible. Definase lafunción característica de R en R:

χ(a,b)(x) =

1 a < x < b0 E.O.C.

Para comodidad de notación se utilizaráχ(a,b)(x) comoχ(a, b); Utilizando la medidade Lebesgue sobre los reales, así se tiene queL(χ(a, b)) = b−a. EL siguiente ejemplomostrará como funciona la integral de Lebesgue sobre el espacio de los reales.

Ejemplo 1. Sea la función triángulo, simétrica en el intervalo [−1, 1]:

f (x) =

x + 1 − 1 ≤ x < 0−x + 1 0 ≤ x ≤ 10 E.O.C.

(1.1)

Figura 1.1: Función triángulo simétrica en el intervalo

veamos que es Lebesgue integrable.


La función triángulo simétrica se puede escribir como la suma de dos funcionesde la siguiente manera:

f (x) = (x + 1)χ[−1, 0] + (−x + 1)χ(0, 1]

tómese f1(x) = (x + 1)χ[−1, 0] y f2(x) = (−x + 1)χ(0, 1] así f = f1 + f2, tomando2i particiones del intervalo [−1, 1] para cada función f1 y f2 se puede tomar unasucesión de funciones simples tal que fn1 y fn2 converjan a f1 y f2 respectivamente.Las funciones son:

fn1(x) =

n∑i=0

12i+1

2i−1∑

k=0

χ

(−2i+1 + 2k + 1

2i+1 ,−2i+1 + 2k + 2

2i+1

)(1.2)

fn2(x) =

n∑i=0

12i+1

2i−1∑

k=0

χ

(2k

2i+1 ,2k + 1

2i+1

)(1.3)

como cada sucesión de funciones es una suma de funciones características en-tonces se puede definir fn como la suma de fn1 y fn2, así fn converge a la funcióntriangulo. Algunas imágenes de las gráficas para n = 1, n = 2, n = 3 se muestrana continuación

fig 1 Función para n = 1


fig. 2 Función para n = 2

fig. 3 Función para n = 3

Así la función es Lebesgue integrable ya que por el teorema de convergenciamonótona, como fn → f y fn medible para cada n entonces f Lebesgue medible y∫

f dµ = lım∫

fndµ = 1

Las anteriores gráficas muestran como se comporta la sucesión de funcionessimples al acercarse a la función original pero no necesariamente la sucesión defunciones es única, se puede acercar tanto por ”abajo” como por ”arriba” y de


otras varias maneras, sin interferir en el resultado final, este hecho lo enuncia elsiguiente lema mostrado en [1, pag. 13], el cual tiene una gran importancia.

Lema 1. Sea f una función µ−medible, entonces existe una sucesión φn de funcionessimples µ−medibles tal que φn → f en casi todo punto y además φn ≤ φn+1 para todon ∈N.

Demostración. [1, pag. 13]

Los dos siguiente ejemplos se dan gracias a Johann Peter Lejeune Dirichlet,elprimer ejemplo es una función la cual no era Riemman integrable, llamada lafunción de Dirichlet precisamente llamada así por quien la formuló.

Ejemplo 2. Sea f como

f (x) =

0 si x ∈ I ∩ [0, 1]1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]

se desea hallar la integral de Lebesgue de la función en el intervalo cerrado [0, 1].

Sea Q = Q ∩ [0, 1], dado que es numerable entonces se puede definir a Q =a1, a2, a3, ... donde ai < a j para i < j; tómese el intervalo (ai, ai+1) y sea una sucesiónbin tal que bin → ai, además que bi1 = ai+1 y que bik+1 > bik para todo i, k ∈N. Se tieneque |ai − bi1 | < 2−i por la densidad de Q en R.Ahora tómese la sucesión de funciones

fn(x) = 1 −n∑

k=1

∞∑i=1

χ([bik , bik+1)

Entonces fn(x)→ f (x)

Ahora dado que bin → ai para todo ε > 0 existe Ni ∈N tal que si n ≥ Ni entonces

|bin − ai| < ε2−i

para todo i natural; así tómese N = maxi Ni y si n ≥ N entonces


∣∣∣∣∣∣∣∫ 1

0|1 −

n∑k=1

∞∑i=1

χ([bik , bik+1)|dµ −∫ 1

0f dµ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∫ 1

0|

∞∑i=1

χ((bin , ai)|dµ

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∞∑

i=1

ai − bin

∣∣∣∣∣∣∣≤

∞∑i=1

|ai − bin |

< ε∞∑

i=1

2−i

= ε

por lo tanto es integrable Lebesgue y∫ 1

0f dµ = 0.

El segundo ejemplo es por decirlo así el complemento de la función de Dirichlet,es decir

Ejemplo 3. Sea f como

f (x) =

1 si x ∈ I ∩ [0, 1]0 si x ∈ Q ∩ [0, 1]

se desea hallar la integral de Lebesgue de la función en el intervalo cerrado [0, 1].

Sea Q = Q ∩ [0, 1], dado que es numerable entonces se puede definir a Q =a1, a2, a3, ... donde ai < a j para i < j; se puede notar que an → 1 si n→∞. Por otrolado sea la sucesión de funciones fn(x) definidas de la siguiente manera:

fn(x) =

1 si x ∈ (an, an+1)0 si E.O.C.

Así definida∑n

i=1 fi(x)→ f (x) si n→∞. Ahora observe que lımn→∞

∫[0,1]| f (x) − fn(x)| =

0. En efecto dado que an → 1, para todo ε > 0 existe N ∈N tal que si n ≥ N entonces|1 − an| < ε; ahora


∣∣∣∣∣∫ | f − fn|dµ∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∫| f −

n∑i=1

fi(x)|dµ

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∫|

∞∑i=n

fi(x)|dµ

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣1 −n∑

i=1

fi(x)

∣∣∣∣∣∣∣= |1 − an|

< ε si n ≥ N

Así f (x) es Lebesgue integrable y∫

f (x)dµ = 1 Los dos ejemplos anteriores escla-recen aún un poco más como funciona la integral de Lebesgue. Se puede observarque las integrales de las estas funciones nos definen la medida de los conjuntosdonde están definidas las funciones; el ejemplo 1 define la medida de Lebesguede los racionales en el intervalo [0, 1] y el ejemplo 2 define la medida de Lebesguede los irracionales en el mismo intervalo intervalo.

Definición 5 (Continuidad absoluta). Sea un espacio de medida (X,X, µ) y sea unamedida v : X→ R, se dice que v es absolutamente continua con respecto a µ si para todoA ∈ X tal que v(A) = 0 implica que µ(A) = 0

Capítulo 2

Integral de Bochner

2.1. Definición de la integral de Bochner

Esta sección está dedicada al examen de la integral de Bochner. Algunos la co-nocen como ”integral de Dunford y Schwart” y otros como ”Primera integral deDunford”. La integral de Bochner es una abstracción directa de la integral deLebesgue, dicha integral fue introducida por Salomon Bochner en 1933. Se podríadecir que la integral de Bochner es solamente la integral de Lebesgue donde el va-lor absoluto ha sido reemplazado por la norma en el espacio de Banach. Aunqueesto ocurre frecuentemente, tal comentario constituye una valoración errónea dela integral de Bochner. De hecho, la falla del Teorema de Radon-Nikodym para laintegral de Bochner es la base de algunos de los resultados más sorprendentes enla teoría de medidas vectoriales y en la teoría de estructura de espacios de Banach.Por lo pronto se dará su definición y algunas propiedades que obtiene y otras quehereda de la integral de Lebesgue.

Definición 6. Sea un función f : X → E donde X es un espacio de medida σ-finito(X,X, µ) y E es un espacio de Banach, entonces f es fuertemente µ-medible si existe unasucesión de funciones simples fn : X→ E que converge a f en casi todo punto.

La definición de medibilidad fuerte da la concepción de lo que es la integral deBochner de una función de un espacio de medida σ- finito a un espacio de Banach.

Definición 7 (Integral de Bochner). Sea un función f : I → E de un intervalo I de Rcon la medida de Lebesgue, y E un espacio de Banach, entonces f es Bochner medible oBochner integrable si es fuertemente medible y

lımn→∞

∫I‖ fn − f ‖E dµ = 0 (2.1)

21

22 CAPÍTULO 2. INTEGRAL DE BOCHNER

En ese caso se define la integral de f como∫f = lım

n→∞

∫I

fndµ (2.2)

En general Las funciones Lebesgue medibles son funciones también Bochnermedibles, los ejemplos 2 y 3 son ejemplos de ella y, aún más las funciones Riemannson Bochner integrables. Para el ejemplo 1 se tiene que

lımn→∞

∫[0,1]| f (x) − fn(x)| = lım

n→∞

12n

=0

y por lo tanto también es Bochner medible. Al conjunto de las funciones Bochnerintegrables se denotará como B( fI).

Proposición 1. Sea f una función simple, entonces f es Bochner integrable y∫I

f dµ =

n∑i=1

µ(Bi ∩ I)xi

Donde Bi ∩ B j = ∅ si j , i y además⋃n

i=1 Bi = I

Demostración. Dado que f es simple entonces f (I) = xini=1, así f se puede definir

como

f (x) =

n∑i=1

χ(Bi∩I)xi

por lo tanto como es una sumatoria finita se tiene que∫I

f dµ =

n∑i=1

∫χ(Bi∩I)dµxi

∫I

f dµ =

n∑i=1

µ(Bi ∩ I)xi

Ejemplo 4. Sea g : I → R Lebesgue medible, y b ∈ E, entonces la función F(x) = g(x)bes fuertemente medible dado que existe una sucesión gn de funciones simples que convergea g, por lo tanto definida la sucesión Fn(x) = gn(x)b, se da que Fn(x) converge a F(x).

2.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE BOCHNER 23

2.2. Propiedades de la integral de Bochner

Algunas propiedades importantes de la integral de Bochner son su linealidad, ladesigualdad triangular entre otras.En primer lugar si una función f es Bochner integrable entonces existe una suce-sión de funciones simples tal que f = f1 + f2 + f3 + ... y por lo tanto∫

f =

∫f1 +

∫f2 +

∫f3 + ... < ∞

De lo anterior se puede deducir el siguiente lema

Lema 2. Dadas dos funciones f y g con integral de Bochner finita y α un número realentonces ∫

f + g =

∫f +

∫g < ∞ α

∫f =

∫α · f < ∞ (2.3)

Demostración. Tomando a a f y g como f = f1 + f2 + f3 + ... y g = g1 + g2 + g3 + ...entonces f + g = ( f + g)1 + ( f + g)2 + ( f + g)3 + ... y así:

∫f + g =

∫( f + g)1 +∫

( f + g)2 +∫

( f + g)3 + ... < ∞ y α∫

f =∫α f1 +

∫α f2 +

∫α f3 + ... < ∞ y así por

las propiedades de las funciones simples∫

f + g =∫

f +∫

g y α∫

f =∫α · f

Lema 3. Dadas dos funciones Bochner integrables f , g y α un número real, entoncesf + g(x) y α f (x) es Bochner integrable

Demostración. Dado que f y g son Bochner integrables existen fn y gn tal quefn → f y gn → g, por lo tanto si se toma hn = fn + gn entonces hn → ( f + g)(x) y sise toma ln(x) = α fn entonces ln(x)→ α f (x).Ahora veamos que

∫‖ f + g − ( fn + gn) ‖E= 0 y que

∫‖ α f − α fn ‖E= 0

Sea ε > 0, para fn y gn existen N1 y N2 tal que∫‖ f − fn ‖E< ε/2 y

∫‖ g − gn ‖E< ε/2 si n > N1 y n > N2 resp.

Así tomando N = max N1,N2:∫‖ f + g − ( fn + gn) ‖E ≤

∫‖ f − fn ‖E + ‖ g − gn ‖E

≤

∫‖ f − fn ‖E +

∫‖ g − gn ‖E

<ε


Sea ε > 0, para fn existe N tal que∫‖ f − fn ‖E< ε/|α| si n > N

Así ∫‖ α f − α fn ‖E =

∫|α| ‖ f − fn ‖E

=|α|

∫‖ f − fn ‖E

<ε

Teorema 1. El espacio de las funciones Bochner integrables B( f ) es un espacio vectorial.

Demostración. Sabiendo que el espacio de las funciones es un espacio vectorialentonces por los Lemas 1 y 2 queda mostrado

Para el el espacio de las funciones Bochner integrables se define la norma L1,

Teorema 2. El par (B( fI),L1) donde µ(I) < ∞ es un espacio de Banach.

Demostración. Ya se tiene queL1 es un norma, solamente falta ver que es completo,sea fn ∈ B( f ) un sucesión de cauchy y sea ε > 0, entonces existe N1 ∈N tal que sin,m ≥ N entonces ∫

‖ fn − fm ‖E dµ < ε/2

Por otro lado como E es un espacio de Banach entonces existe f : I → E tal quefn → f por ser completo, por lo tanto existe N2 ∈N tal que si n ≥ N entonces

‖ fn − fm ‖E< ε/2µ(I)

Tomese N = max N1,N2, entonces si n ≥ N∫‖ fn − f ‖E dµ ≤

∫‖ fn − fm ‖E dµ +

∫‖ f − fm ‖E dµ

≤ ε/2 +ε∫

Idµ

2µ(I)< ε

Por lo tanto f ∈ B( fI), así (B( fI),L1) es completo y por ende un espacio de Banach.


Proposición 2. Sea b ∈ E y una sucesión bm tal que bm → b y sea f (x) una funciónLebesgue integrable acotada, entonces lo siguiente se cumple:

f (x)bm es Bochner integrable para todo m ∈N

f (x)bm → f (x)b

f (x)b es Bochner integrable.

Demostración. i)Sea ε > 0 como bm → b entonces existe N1 ∈ N tal que si n ≥ N1

entonces‖ bm − b ‖E< ε

, como f (x) Lebesgue integrable entonces por el lema 1 existe una sucesión fn(x)→f (x) creciente tal que para ε > 0 existe N2 ∈N y se cumple que∫

| fn(x) − f (x)|dµ < ε/||bm||E

para cada m ∈N fijo y para n ≥ N2. Así fn(x)bm → f (x)bm para un m fijo y además

∫I‖ fn(x)bm − f (x)bm ‖E = ||bm||E

∫I| fn(x) − f (x)|

< ||bm||Eε/||bm||E = ε

Por lo tanto f (x)bm es Bochner integrable para todo m.ii) Sea ε > 0 dado que f acotada existe K ∈ R+ tal que | f | ≤ K, bm → b entoncesexiste N ∈N tal que si n ≥ N entonces

‖ bm − b ‖E< ε/K

, así

∫I‖ f (x)bm − f (x)b ‖E = | f (x)|

∫I|bm − b|

< || f (x)||ε/K< ε

iii) Por el lema 1 existe una sucesión fn(x) → f (x) creciente y existe bm → b.definase la sucesión de funciones

gn(x) = bn fn(x)


Sea ε > 0 existe N1 tal que si n ≥ N1 entonces

| fn(x) − f (x)| <ε

2(ε + ||b||E)

y existe N2 tal que si n ≥ N2 entonces

||bn − b||E < ε/2|K|

Ahora tómese N = max N1,N2 entonces:

‖ fn(x)bn − f (x)b ‖E ≤ ||bn||E| fn(x) − f (x)| + | f (x)| ‖ bn − b ‖E

< (ε + ||b||E)ε

2(ε + ||b||E)+ |K|

ε2|K|

< ε

Por lo tanto gn(x) converge a f (x)b, además

∫I‖ fn(x)bn − f (x)b ‖E dµ ≤ ||bn||E

∫I| fn(x) − f (x)|dµ+ ‖ bn − b ‖E

∫I| f (x)|dµ ‖ bn − b ‖E

< (ε + ||b||E)ε

2(ε + ||b||E)+ |K|µ(I)

ε2|K|µ(I)

< ε

Por lo tanto f (x)b es Bochner integrable

La propiedad de expresar una función Bochner integrable como una serie defunciones simples permite tener la propiedad∥∥∥∥∥∫ f

∥∥∥∥∥ ≤ ∫|| f ||Edµ (2.4)

Proposición 3. Una f : I→ E función es Bochner integrable si solo si || f ||E : I→ R+ esLebesgue integrable.

Demostración. ⇒ Sea f Bochner integrable entonces existe una sucesión de fun-ciones fn simples tal que fn → f , definase la sucesión || fn||E, entonces || fn||E a || f ||Epor la desigualdad:

|| fn|| − || f ||E ≤ || fn − f ||E

Además dado que fn es integrable para cada n, entonces∫|| fn||Edµ =

∑kni=1 µ(Bi ∩ I)||xi||E

para Bi subconjuntos de I con intersección vacía 2 a 2


por lo tanto || fn||E son Lebesgue integrables y por el teorema de convergencia mo-nótona se tiene que || f ||E es integrable Lebesgue.⇐ Sea f una función tal que || f ||Ees integrable Lebesgue, Sea fn una sucesión de funciones simples que convergena f en casi todo punto, definase gn(x) = fn(x) si y sólo si || fn(x)||E ≤ 2|| f (x)||E ygn(x) igual a 0 en otro caso. Entonces, puesto que ||gn||E ≤ 2|| f ||E, se sigue que||gn|| es integrable y por la proposición 1 gn es una sucesión de funciones sim-ples Bochner-integrables y además converge a f . Finalmente por la desigualdadtriangular

|| f − gn||E + ||gn||E ≤ ||gn − f ||E + || f ||E|| f − gn||E ≤ ||gn − f ||E − ||gn||E + || f ||E

≤ ||gn − f − gn||E + || f ||E≤ 3|| f ||E

Como por hipótesis || f ||E es integrable podemos aplicar el teorema de convergenciadominada de Lebesgue y deducir que:

lımn→∞‖

∫Ign − f dµ ‖= 0

Lo cuál quiere decir que

lımn→∞

∫Igndµ =

∫f dµ

Por lo tanto f es Bochner integrable.

Corolario 1. Dada una función f Bochner integrable, se tiene que la integral de Bochneres una medida absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, es decir,

lımµ(M)→0

∫M

f dµ = 0 (2.5)

Para algún M ∈ X

Demostración. Dado que f es Bochner integrable se tiene que || f ||E es Lebesgueintegrable y por ende lımµ(M)→0

∫M|| f ||Edµ = 0 por el teorema anterior, y de la

desigualdad triangular∥∥∥∫

Mf∥∥∥ ≤ ∫

M|| f ||Edµ se obtiene lo deseado.

La siguiente condición nos da una condición clave para reconocer una funciónBochner integrable Se conoce el teorema de convergencia dominada de Lebesguey su gran importancia, a continuación se dará una versión para la medida deBochner


Teorema 3 (Convergencia Dominada). Sea una sucesión fn : I → E de funciones queconvergen a f : I → E en casi todo punto de I. Si existe una función g : I → R Lebesgueintegrable tal que || fn||E ≤ |g| para todo n natural entonces f es Bochner integrable y∫

If dµ = lım

n→∞

∫fndµ

Demostración. Dado que f : n→ f entonces || fn||E → || f ||E y como || fn||E ≤ |g|, paracada n || fn||E es integrable y por teorema anterior es Bochner integrable, así por elteorema de Convergencia Dominada e Lebesgue ||f|| es Lebesgue integrable y denuevo por el teorema anterior f es Bochner integrable.

Para ver que lımn→∞

∫I

fndµ =∫

f dµ, en efecto dado que fn → f para todo ε > 0existe N natural tal que si n ≥ N entonces

|| fn − f ||E < ε/µ(I)

así tomese ese N, y si n ≥ N entonces por desigualdad triangular

‖

∫I

fndµ −∫

If dµ ‖E ≤

∫I‖ fn − f d ‖E µ

< ε/µ(I)∫

Idµ

< ε

Así ∫I

f dµ = lımn→∞

∫I

fndµ

El siguiente teorema exhibe una propiedad fuerte de la teoría de la integral deBochner que no tiene análogo no trivial en la teoría de integración de Lebesgue.

Teorema 4. Sean f : I→ E Bochner integrable y F un espacio de Banach sea el operadorlineal acotado T : E→ F, entonces T f : I→ F es Bochner integrable y∫

IT f = T(

∫I

f )

Demostración. Si f es simple entonces

f (x) =

n∑i=1

χBixi


con xi ∈ E, así como T es lineal, se define

T( f (x)) =

n∑i=1

χBi∩IT(xi)

y por lo tanto ∫T( f (x))dµ =

n∑i=1

µ(Bi)T(xi)

y por la linealidad de T se tiene que

n∑i=1

µ(Bi)T(xi) = T(n∑

i=1

µ(Bi)xi)

= T(∫

f dµ)

Ahora suponga que f Bochner integrable, entonces existe sucesión de funcionessimples fn tales que fn → f y

lımn→∞

∫‖ fn − f ‖E dµ = 0 lım

n→∞

∫fndµ =

∫f dµ

Sea ε > 0,

‖ T∫

If dµ − T

∫I

fndµ ‖F =‖ T(∫

If dµ

∫I

fndµ) ‖F

≤‖ T ‖‖∫

If dµ

∫I

fndµ) ‖E

≤‖ T ‖∫

I‖ f − fn ‖E dµ

y dado que∫

I‖ f − fn ‖ dµ→ 0 entonces existe N ∈N tal que si n ≥ N entonces∫

I‖ f − fn ‖E dµ < ε/||T||F

entonces

‖ T∫

If dµ − T

∫I

fndµ ‖F< ε


así

T∫

Ifndµ→ T

∫I

f dµ

Además

T∫

If dµ = T lım

n→∞

∫I

fndµ

= lımn→∞

∫IT( fn)dµ

=

∫IT( f )dµ

Así∫

T f dµ es Bochner integrable.

2.2.1. Teorema de medibilidad de Pettis

En la teoría de integración sobre espacios de Banach y por sobretodo espaciosvectoriales el matemático Billy James Pettis hizo fuertes contribuciones sobre lamedibilidad de funciones definidas partiendo desde teorías ya establecidas porDimitri Egorov y Carlo Severini los cuales mostraban las condiciones suficientespara la convergencia puntual y uniforme de una función sobre espacios de Banachy sobre espacios vectoriales normados, el siguiente teorema que se debe a él ymuestra la propiedad de Pettis acerca de las consecuencias de que una funcióndefinida de un subconjunto conexo de Rn a un espacio de Banach sea medible yademás integrable; los conceptos necesarios ya se han venido usando, como loson la medida de Lebesgue, la medibilidad fuerte, lo que es una función simple,etc. así enuncia el teorema de medibilidad de Pettis

Teorema 5 (Teorema de medibilidad de Pettis). Sea una función f : I → E esLebsegue medible o fuertemente medible entonces existe M ∈ X con µ(M) = 0 y tal quef (I/M) es un subconjunto separable de E

Demostración. Suponga que f es Lebesgue medible, por lo tanto existe una suce-sión de funciónes simples fk tal que

lımk→∞‖ fk − f ‖E= 0 (2.6)

en casi todo I. Definase para n,m naturales el conjunto

En m =

∞⋃k=n

x ∈ I; ‖ fk(x) − f (x) ‖E> 1/m

(2.7)


Como fk y f son medibles entonces ‖ fk(x) − f (x) ‖E es medible por proposición 3y así En m es medible para cada m,n ∈ N; además la sucesión de conjuntos En m

es decreciente para todo n ∈ N, es decir En+1 m ⊂ En m para todo n y dado quefk(x)→ f (x) en casi todo I, existe M tal que µ(M) = 0 y además M∩ (

⋂∞

n=1 En m) = ∅.Dado que µ(I) < ∞ entonces

µ(∞⋂

n=1

En m) = 0

Ahora sea δ > 0 y tómese para cada m ∈N un km tal que

µ(Ekm m) < δ/2m

y defínase Eδ =⋃∞

m=1 Ekm m, también se tiene que Eδ es Lebesgue medible y además

µ(Eδ) ≤∞∑

m=1

µ(Ekm m)

<∞∑

m=1

δ2m

= δ

Así si x < Eδ entonces no pertenece a En m para cada m y n, por lo tanto

‖ fk(x) − f (x) ‖E< 1/m

para k ≥ km, de lo anterior se da que fk(x) converge uniformemente en I/Eδ y asíqueda demostrado (2.6)Ahora dado que fk(x) es simple para cada k ∈N entonces la imagen de I por fk tienedimensión finita y por lo tanto es un conjunto acotado es decir fk(I) =

⟨x1, x2, ...xrk

⟩,

como la dimensión del rango para cada k natural es finita entonces la dimensiónde fk(I/En) es de dimensión finita para todo n, k ∈ N. Sea z = f (w) ∈ f (I/En) yε > 0 como fk(w) converge uniformemente a f (w) existe N ∈N tal que si n ≥ N

‖ f (w) − fk(w) ‖E< ε

entonces tómese xrk = fk(w) ∈ f j(I/En) con j ≥ k, así

‖ z − xrk ‖E< ε

f (I/En) es separable y por ende f(I/

⋃∞

j=1 E j

). Es separable quedando demostrado

el teorema.


2.3. Ejemplos

El siguiente ejemplo nos dará una noción de integrabilidad de Bochner a funcionesdiscontinuas en conjuntos relativamente grandes

Ejemplo 5. Sea el subespacio de l∞, c0 el conjunto de todas las sucesiones que convergena 0 el cual es cerrado sobre l∞ y por lo tanto completo, con la norma del sup es un espaciode Banach, sea el conjunto Q = Q∩ [0, 1] el cual es contable; Q = α1, α2, α3, ..., definasela función:

f (x) =

ek x = αk, αk ∈ Q0 E.O.C.

(2.8)

Para solucionar este ejemplo se necesita entender que es una función característicaen general dada una función entre dos espacios vectoriales, A y B. Sea M ⊆ A ysea β ∈ B, entonces

f (x) =

β x ∈M0 E.O.C.

Y se denotará como f (x) = βχ(M).

Al tener esto, para α ∈ co y a ∈ [0, 1] definase la función fα : [0, 1]→ c0 como

fα(x) =

α x = a0 E.O.C.

(2.9)

veamos que fα es Bochner integrable y que su integral es∫ 1

0f = 0. En efecto,

sea una sucesión decreciente an de números reales que converja a a tal que elsupn∈N |an − a| ≤ 1 y definase fαn : [0, 1]→ c0 como

fαn(x) = αχ([an+1, an])

Así la serie de funciones queda de la siguiente manera:

fα1 −

n∑i=1

fαi

Esta serie converge a la función 2.9. Por otro lado, si an → a entonces dado ε > 0existe N ∈N tal que si n ≥ N entonces

|an+1 − a| < ε/||α||

2.3. EJEMPLOS 33

entonces:

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∥∥αχ([a, a1]) −n∑

k=1

αχ([an+1, an]) − fα

∥∥∥∥∥∥∥ dµ =

∫ 1

0‖α‖

∣∣∣∣∣∣∣(χ([a, a1]) −n∑

k=1

χ([an+1, an]))

∣∣∣∣∣∣∣ dµ= ‖α‖

∫ 1

0

∣∣∣∣∣∣∣χ([a, a1]) −n∑

k=1

χ([an+1, an])

∣∣∣∣∣∣∣ dµ≤ ||α|||an+1 − a|< ε

Por lo tanto es Bochner integrable y su integral es 0 ∈ c0.Ahora para continuar en el ejemplo (2.8), dado que el conjunto Q es contable, seapara cada αi ∈ Q la función

fei(x) =

ei x = αi

0 E.O.C.

y sea una sucesión decreciente αin ∈ E tal que αin → αi y que además αi1 − αi < 2−i

para cada i ∈N; y definase

fn(x) =

n∑i=1

eiχ([αi, αi1]) −n∑

i=1

n∑k=1

eiχ([αik+1 , αik])

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∥∥n∑

i=1

eiχ[αi, αi1] −n∑

i=1

n∑k=1

eiχ[αik+1 , αik] − f (x)

∥∥∥∥∥∥∥ =

∫ 1

0

∥∥∥∥∥∥∥n∑

i=1

eiχ(αi, αi1] −n∑

k=1

eiχ[αik+1 , αik]

∥∥∥∥∥∥∥ dµ

≤

∫ 1

0

n∑i=1

∥∥∥∥∥∥∥eiχ(αi, αi1] −n∑

k=1

eiχ[αik+1 , αik]

∥∥∥∥∥∥∥dµ

≤

∫ 1

0

n∑i=1

‖ei‖

∣∣∣∣∣∣∣χ(αi, αi1] −n∑

k=1

χ[αik+1 , αik]

∣∣∣∣∣∣∣dµ≤

n∑i=1

∫ 1

0

∣∣∣∣∣∣∣χ(αi, αi1] −n∑

k=1

χ[αik+1 , αik]

∣∣∣∣∣∣∣ dµ≤

n∑i=1

|αin+1 − α|

< ε


Dado que αi1 − αi < 2−i para cada i ∈ N, entonces f(x) es Bochner integrable yademás

∫ 1

0f dµ = 0.

En el ejemplo anterior no se pudo denotar muy bien el teorema de medibilidadde Pettis dado que el rango era un conjunto numerable dada las circunstancias enlas que se define la función, en el siguiente ejemplo se podrá observar mejor.

Ejemplo 6. Sea el intervalo I = [−1, 1] y el espacio de Banach de las funciones acotadasdefinidas en I con la norma del sup B([−1, 1]) y sea la función f : I→ B([−1, 1]) como

f (k) =x + 11 + k

χ[−1, k) +1 − x1 − k

χ[k, 1) (2.10)

Ver que es Bochner integrable y encontrar su integral

La anterior función describe una familia de triángulos cuyos vértices se encuen-tran en los puntos (−1, 0), (k, 1), (1, 0) cuyas áreas siempre son 1. Como función deR2 en R genera la superficie mostrada en la siguiente figura si se fuera a medircon una integral esta superficie, se trabajaría con el volumen bajo la superficiees decir una integral de volumen o se trabajaría con la medida de la superficiecon una integral de superficie a lo cual esta integral nos arrojaría un numero realdefiniendo la medida sea cual sea el caso;

Lo interesante de esta teoría es que al integrar la función descrita (2.10) la medidade lo que nos arroja su integral ya no es un elemento de los reales, sino que es unelemento del espacio imagen como subconjunto del espacio de Banach de llegada,en este caso B([−1, 1]), y este caso la imagen serán una familia de funciones quedescribirán un área en el plano R2

2.3. EJEMPLOS 35

Veamos que la función descrita es fuertemente medible, tómese la siguiente su-cesión de conjuntos Sn =

k ∈ [−1, 1]; k = −1 + (2m + 1)2n,m ∈N y 0 ≤ m < 2n y

S−1 = −1, 1 los cuales son finitos para cada n natural, definase la siguiente suce-sión recursiva de funciones

g1(k) =

x + 1

2χ[−1, 1] si k = −1

1 − x2

χ[−1, 1] si k = 1

0 E.O.C.

g2(k) =

g1(k) si k ∈ −1, 1(x + 1)χ[−1, 0) + (1 − x)χ(0, 1] si k ∈ S0

0 E.O.C.

gn(k) =

gn−1(k) k ∈ Sn−3 n ≥ 2

x+1m2−n+2χ[−1,−1 + m2−n+2) + 1−x

2−m2−n+2χ[m2−n+2, 1] donde m = 2r + 1 y 0 ≤ r ≤ 2n−2

; si k ∈ Sn−2

(2.11)En principio veamos que gn es medible para cada n natural, en efecto se procederápor inducción, para n = 1 se tiene que

∫ 1

−1g1(k)dµ =

∫ 1

−1x+1

2 dµ∫ 1

−11−x

2 dµ

=

x2/2+x

2

∣∣∣∣1−1

x−x2/22

∣∣∣∣1−1

= 1 k ∈ S−1


Para n=2 se tiene que

∫ 1

−1g2(k)dµ =

∫ 1

−1g1(k)dµ∫ 1

−1(x + 1)χ[−1, 0) + (1 − x)χ[0, 1]dµ

=

1 k ∈ S−1(x2/2 + x)

∣∣∣0−1

(x − x2/2)

∣∣∣10

= 1 k ∈ S−1 ∪ S0

Supongase cierto para k = n − 1, entonces:

∫ 1

−1gn(k)dµ =

∫ 1

−1gn−1(k)dµ∫ 1

−1x+1

m2−n+2χ[−1,−1 + m2−n+2) + 1−x2−m2−n+2χ[m2−n+2, 1]dµ

=

1 k ∈⋃n−3

i=−1 Si Por hipótesis de inducción∫−1+m2−n+2

−1x+1

m2−n+2χ[−1,−1 + m2−n+2)dµ +∫ 1

−1+m2−n+21−x

2−m2−n+2χ[m2−n+2, 1]dµ

=

1 k ∈

⋃n−3i=−1 Si

(x2/2+x)m2−n+2

∣∣∣∣−1+m2−n+2

−1+ (x−x2/2)

2−m2−n+2

∣∣∣∣1−1+m2−n+2

=

1 k ∈

⋃n−3i=−1 Si(

(−1+m2−n+2)22 +(−1+m2−n+2)

m2−n+2 + 1/2m2−n+2

)+

(1/2

(2−m2−n+2) +(−1+m2−n+2)− (−1+m2−n+2)2

2(2−m2−n+2)

)=

1 k ∈⋃n−3

i=−1 Si(m2−2n+3

m2−n+2

)+

(2−m2−n+2

2−m2−n+2 + m2−n+2−m2−2n+3

2−m2−n+2

)=

1 k ∈⋃n−3

i=−1 Si

m2−n+1 + 1 −m2−n+1(

2−m2−n+2

2−m2−n+2

)= 1 k ∈

n−2⋃i=−1

Si

Entonces se cumple para todo n así∫ 1

−1gn(k)dµ = 1 para todo k ∈

⋃n−2i=−1 Si, para

poder entender mejor la sucesión recursiva, en las siguientes imágenes se gráfica

2.3. EJEMPLOS 37

hasta n = 10, en donde se puede observar como la región que debería estar colo-reada se rellena a partir de esas funciones:

Fig 1: n=1

Fig 2: n=2


Fig 3: n=3

Se puede observar que el area se va rellenanado apartir de finitas funciones

Fig 4: n=5

2.3. EJEMPLOS 39

Fig 5: n=7

Fig 6: n=10

Y usando el programa DERIVE se obtuvo la ultima imagen (Fig. 6)Ahora veamos que gn(k) → f (k), en efecto sea ε > 0 y sea N ∈ N tal que 2−N < ε,así, si n ≥ N entonces

‖ f (k) − gn(k) ‖E = supx∈[−1,1]| f (k) − gn(k)|

≤ 2−N

< ε

En la anterior sucesión de funciones se puede observar que para cada n, gn(k) esBochner integrable , veamos entonces que la función es Bochner integrable, en


efecto:

lımn→∞

∫ 1

−1‖ gn(k) − 1 ‖ dµ = lım

n→∞

∫ 1

−1supx

|gn(k) − 1|

dµ

= lımn→∞

∫ 1

−1dµ

= 0

Así se tiene una convergencia uniforme y dado que el intervalo sobre el cual estántodas la funciones es de medida finita, entonces la función es Bochner integrabley

∫ 1

−1f (k)dµ = 1.

Para observar y hacer evidente el teorema de medibilidad de Pettis hay que verque dado que la función es Bochner integrable o Bochner medible debe existirun conjunto de medida 0, para no complicar las cosas tomese ∅ como conjuntode medida nula y veamos que f ([−1, 1]) es separable, en efecto, sea k ∈ [−1, 1], ydefinase a fk(x), la función de la figura (2.3)

Por la densidad de los racionales sobreR existe q ∈ Q tal que |k−q| < ε|1−k2||1−q2

|

2(|1−q||1−k|+|1+k||1+q|) ,así para la función fq(x) se tiene que

2.3. EJEMPLOS 41

‖ fk(x) − fq(x) ‖E = supx∈[−1,1]| fk(x) − fq(x)|

= supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣x + 11 + k

χ[−1, k) +1 − x1 − k

χ(k, 1] −x + 11 + q

χ[−1, q) +1 − x1 − q

χ(q, 1]∣∣∣∣∣

≤ supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣x + 11 + k

χ[−1, k) −x + 11 + q

χ[−1, q)∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣1 − x1 − k

χ(k, 1] −1 − x1 − q

χ(q, 1]∣∣∣∣∣

≤ supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣ (x + 1)(k − q)(1 + q)(1 + k)

∣∣∣∣∣ + supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣ (1 − x)(q − k)(1 − q)(1 − k)

∣∣∣∣∣≤ supx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣ |k − q||1 + q||1 + k|

∣∣∣∣∣ + supx∈[−1,1] ||1 − x|||q − k|

|1 − q||1 − k|< ε/2 + ε/2 = ε

Conclusiones

1. La primera conclusión y en mi la más representativa se refiere al la impor-tancia del uso de la integral de Lebesgue para generalizar un medida sobreespacios normados mediante la integral de Bochner, la cual generaliza bas-tantemente bien a sabiendas que depende de que si los conjuntos son o noLebesgue medibles, además muchas de las propiedades de la integral de Le-besgue son prácticamente heredadas por la integral de Bochner a excepciónde algunas.

2. La teoría de medibilidad de Bochner y el teorema de medibilidad de Pettispermite ver la clase de convergencia que hay en el espacio y además si elespacio imagen de la función dada es separable o no, por medio de un laexistencia o no de una integral, además si se tiene un espacio que no esseparable, por el teorema de Pettis se podría inferir que no existe la funciónBochner integrable que como imagen recaiga en ese espacio.

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Bibliografía

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[2] Forket Dominik L., The Banach space-valued integrals of Riemann,McShane,Henstock-Kurzweil y Bochner, Viena university, 2012.

[3] JanMikusinski L., The Bochner Integral,Academic Press Birkhäuser, 1978.

[4] Yoshida Kosaku, Funcional analysis, Springer-Verlang, 1980, pag. 132-135.

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2 la integral de bochner - francisco josé de caldas...

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