2-marimi fizice
TRANSCRIPT
A. Mărimi fiziceA.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scăderea vectorilorA.5. Inmulțirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalareA.8. Funcția putere și radicalA.9. Funcții trigonometriceA.10. Derivata unei funcțiiA.11. Funcția exponentială și logaritmicăA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funcțiilor compuseA.15. Funcții vectorialeA.16. Aplicații:
a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor în cazul general
Mărimile fizice
sunt de doua feluri:1. Mărimi scalare2. Mărimi vectoriale
A.1. Mărimi fizice scalare
sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)
Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea
A.2. Mărimi fizice vectoriale
sunt caracterizate de: valoare, direcție, sensExemple: viteza, accelerația, forțaVectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere
obișnuite cu sageată desupra: v
Vectorul este reprezentat de o sageată
Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție
Direcția sa este determinată de dreapta suport
A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c
a
b
c
se face dupa regula paralelogramului:suma a doi vectori este egală cu diagonala paralelogramului având drept laturi cei doi vectori
Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitionează astfel încat originea celui
de-al doilea să coincidă cu capatul primului.Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește
originea primului cu capatul celui de-al al doilea
a
b
c
A.4. Scăderea vectorilora + b = c → b = c - a
b
a
c
este operația inversă adunării și se face astfel încâtvectorul diferentă c să unească capetele celor doi,cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)
A.5. Inmulțirea unui vectorcu un scalar
este operația de multiplicare a vectorului de λ ori
b = a λ
a b
Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sensDacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus
Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direcțiile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit și sistem cartezien:
a=ax+ay
=axex+ayey
Aici am definit vectorii unitari:ex ey
drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1
a
axex
ey
A.6. Descompunerea vectorilor
este operația inversa compunerii
X
Y
ay
Rezulta ca un vector în planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (a x,a y)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y
A.7. Dependenta funcționalăa mărimilor fizice scalare
Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă,definind astfel o funcție de o variabilă.
Reprezentare grafică a funcției într-un sistem decoordonate perpendiculare este dată de mulțimea
punctelor reprezentate de curba: y=f(x)
Funcția inversă: x=f-1(y): este curba simetrica față de prima bisectoare: y=xdeoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc
y=x
A.8. Funcția putere și radical Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr
natural datFuncția inversă radical: y-1(x)=x1/n
prima bisectoare
A.9. Funcții trigonometricedefinite în triunghiul dreptunghic
φ 90o
90o -φ
a (catetă)
b (catetă)
c (ipotenuza)
cossin)ctg(90
abtg
)90sin(cos
)90cos(sin
o
o
o
cacbcateta opusă / ipotenuză
cateta alturată / ipotenuză
cateta opusă/ catata alaturată
Suma unghiurilor înorice triunghi este 180o
Cercul trigonometriceste un cerc de raza 1 în care
unghiurile se masoară în sens orar invers
y
xO A
Funcțiile trigonometricesunt definite ca de obicei:sin φ = AP / OP = APcos φ = OA / OP = OA
Din teorema lui PitagoraAP2 + OA2 = OP2 = 1rezultă: sin2 φ + cos2 φ = 1
φ
sin φ
cos φ
Masurarea unghiurilor în radiani
R
RΔl
Δl
razacercrcului.de.lungimea.aani)unghi(radi
Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel:
360o → 2πR/R=2π180o → π
90o → π/2Numărul irațional π≈3.141593 este egal
cu raportul dintre lungimea cercului și diametru
a. Caz particular: φ=45o
2145cos45sin
caoo
21
4cos
4sin
sau înradiani:
45o
45o
a
a
Teorema luiPitagora:c2 =2a2
90o
c
b. Caz particular: φ=30o si 60o
23
230cos60sin
21
260cos30sin
00
00
babb
23
6cos
3sin
21
3cos
6sin
sau înradiani:
60o
60o
60o 3
0o30o
60o
a
b
b
b
b
ba
bab
3
)2( 222
Folosind teorema luiPitagora în triunghiul
dreptunghic ABC exprimăm latura
a funcție de latura b
Ipotenuza ACeste diagonalăcare se imparte
în doua segmente
egale: c=2bA B
CD
Completăm triunghiul dreptunghic ABC cutriunghiul egal ACD formând dreptunghiul
ABCD
Ecuații trigonometrice simple
)12(1cos21cos
2)12(
20cos
22
1sin
22
1sin
0sin
nn
nn
n
n
n
φcos φ
sin φ
π/2+2nπ
-π/2+2nπ
(2n+1)π
2nπA
B
C
D
A,C
D
B,D
A
C
B
tgαdxdy
ΔxΔy
A.10. Derivata unei funcțiise definește ca limita raportului dintre
variația funcției și variația argumentului
Δx: este variația argumentuluiΔy: este variația funcției,dy: este variația pe dreaptătangenta in x.Observație: Δx=dx
Concluzie:derivata în punctul M(x,y)este tangenta trigonometrică a unghiului α dintre dreapta tangenta la curba în punctul M și axa Ox
dreapta secantă MM 1 la limitadevine dreapta tangentă la M
Exemplu de utilizare a derivațeiCalculul punctelor de extrem (maxime,
minime): y=f(x)
x
0dxdf
0dxdf
unde derivata de ordinul doieste derivată derivatei:
dxdf
dxd
dxfd2
2
funcțiacrește
funcțiascade
derivata scade,deci derivatade ordinul doieste negativă:
0
1
dxdC
nxdxdx n
n
Derivarea funcției putere
xdxdx
xΔxxΔx
xΔx)(xΔxΔy
Δx
2
22
2
0
22
In cazul generalFuncția putere y(x)=xnse derivează dupa formula:
Caz particular: pentru n=0obținem o constanta y(x)=C
Caz particular:y(x)=x2
Observație: n poate fi oricenumăr real pozitiv sau negativ
Produsul dintre o constantăși o funcție se derivează astfel: dx
dfCdxCfd
)(
Derivata sumei de funcții este: dx
dgdxdf
dxgfd
)(
xx
edxde
A.11. Funcția exponentialăsi logaritmică
Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca bazaa funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția:
sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimieste egală cu marimea însăși în fiecare punct x.
Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey )se mai numește logaritm natural .Derivata funcței inverse se calculează astfel:
xedyde
dydxdx
dydxxd
yy
1111ln
Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828
Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x)
Argumentul funcțieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !
Valori particulare
0ln01ln0
10
e
e
Operații cu exponențiale si logaritmi
nxnx
yxyx
xx
e)(e
eee
eex
lnln
xnx
yx(xy)eeeexy
n
yxyx(xy)
lnln
lnlnln
lnlnlnlnln
axxax e)(ea lnln exex ax
aa loglnloglog ln
Schimbarea bazei cu numarul real a>0
Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale
Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază
Logaritmul zecimal
n
...n
10lg
310lg
210lg
110lg
3
2
n
....
.
.
-n
10lg
310lg0010lg
210lg010lg
110lg10lg
3
2
1
4343.0lglglnlglglog ln
10
eexexx x
Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,
care se poate calcula folosind logaritmul natural:
Urmatoarele relații sunt utile:
Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul
zecimal:
3026.210ln10lnlg10lnln lg
xx x
A.12. Numere complexe
1
sincos
i
)ir(ibaz
sincos
22
rbra
bar
Un numar complex este definit asfel:
Numarul i se numește unitate imaginară.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)având mărimea (denumită și modul) rși formând unghiul φ cu axa X
a
b
z
φ
r
abtg
A.13. Formula lui EulerUn număr complex având modulul r=1
poate fi reprezentat de relația de mai jos,care poartă numele de formula lui Euler
iπeiπ)(-e- iπ
ln1ln1
Formula permite definirealogaritmului din numere
negative
Importante sunt urmatoarele
cazuri particulare:
1
2/
iπ
i
e
ie
sincos iei
Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elvețiana
care a trăit în St. Petersburg (Rusia)
iei
)1ln(
1
Derivarea funcțiilor trigonometrice
poate fi facută folosind formula lui Euler
cossin)sin(cos)(
)sin(cossincos
iii
ieiddei
ddei
dd
ddi
dd i
ii
Identificand partea reala și cea imaginarăobținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și
cos
)2
cos(sincos
)2
sin(cossin
dddd
)2
sin()2
cos()
2(
2
ieeeiii
sau egalitatea echivalenta:
Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zși a funcțiilor trigonometrice crește cu
π/2
iez )
2(
ie
ddz
φ
φ+π/2
Relațiile trigonometricepot fi deduse în mod simplu
folosind formula lui Euler
)sincoscos(sinsinsincoscos)sin)(cossin(cos)sin()cos(
)(
iiii
eee iii
sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(
Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem:
cossin22sin1cos2sin21sincos2cos 2222
Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2 α+cos2 α=1):
A.14. Derivarea funcțiilor compusef(x)=f(g(x))
se face înmulțind și împarțind cu dg:
dgdf
dxdg
dxxgdf
))((
Exemple
xxdxdg
dgdg
dxxdxggf
xxdggd
dxdg
dxxdxggf
cossin2sinsin;
cos2sinsin;sin
222
22
2
A.15. Funcții vectoriale
a. Vectorul dependent de timppoate fi considerat ca o funcție vectorială
dependentă de un scalar (timpul)Exemplu: vectorul de poziție r(t)
este un vector cu originea fixă, al cărui capăt se mișcă pe o curbă numită traiectorie
r(t)
b. Funcția de două variabilepoate fi considerată o funcție scalară, care
depindede un vector bidimensional, definit
de cele doua coordonate (x,y)
Reprezentare grafică a funcției de 2 variableeste suprafața z=z(x,y)=f(x,y)
Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data
A.16. Aplicatiia. Compunerea vectorilor perpendiculari
F 1 (cateta)
F 2
(cateta)Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F 1=3 si F 2=4
Conform teoremei lui Pitagora:Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor
catetelordeci marimea rezultantei este:
52516922
21 FFF
F (ipotenuza)
b. Compunerea vectorilor în cazul generalse face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul
dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC.Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2
F 1
F 2
F
OCA
B
φ φ
F 2cos φ
F 2sin φ
cos2
)sin(coscos2
sin)cos(
212
22
1
222221
21
222
221
2
FFFF
FFFF
FFFF
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem: