2 matem financ basica 2010

MATEMTICA FINANCEIRABSICA

Rio de Janeiro2010

2a edio

REALIZAO

Escola Nacional de Seguros FUNENSEGSUPERVISO E COORDENAO METODOLGICA

Diretoria de Ensino e ProdutosASSESSORIA TCNICA

Hugo Csar Said Amazonas 2010

Marcos Antonio Simes Peres 2009CAPA

Gerncia de MercadoDIAGRAMAO

Info Action Editorao Eletrnica

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG.

E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino e Produtos.Matemtica financeira bsica/Coordenao metodolgica da Diretoria de Ensino e Produtos;

assessoria tcnica de Hugo Csar Said Amazonas. 2.ed. Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2010.140 p.; 28 cm

A assessoria tcnica do presente material contou com a colaborao de Marcos Antonio SimesPeres em 2009.

1. Matemtica financeira. I. Amazonas, Hugo Csar Said. II. Ttulo.

09-0870 CDU 511(072)

proibida a duplicao ou reproduo deste volume, ou de partes dele,sob quaisquer formas ou meios, sem permisso expressa da Escola.

aseada nos princpios que a regem desde sua criao, em 1971, a Escola Nacional deSeguros promove diversas iniciativas no mbito educacional, que contribuem para um mercadode seguros, previdncia complementar, capitalizao e resseguro cada vez mais qualificado.

Essa a filosofia presente em nossas aes, que compreendem a elaborao de cursos, exames,pesquisas, publicaes e eventos, e que confirmam nossa condio de principal provedora de serviosvoltados educao continuada dos profissionais dessa indstria.

Em um mercado globalizado, mudanas de paradigmas so constantes e, para seguir esse movimento,o investimento em treinamento e atualizao apontado por especialistas como essencial.

A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do prprio mercado, est sua disposiopara compartilhar todo nosso conhecimento e experincia, bens intangveis e inestimveis, que oacompanharo em sua jornada.

Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formao de profissionais e gestores de alto nvel sereflete na qualidade do material didtico elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistasem seguros com slida trajetria acadmica, o saber disponvel em nosso material didtico umgrande aliado para o voo profissional de cada um de ns.

B

Sum

rio

SUMRIO 5

1 REVISO DE MATEMTICA, 7O Uso de Fraes e a Diviso, 7

Fraes Prprias, 8Fraes Imprprias, 9

Fatorar, Exponenciar e Radiciar, 9Fatorar, 9Exponenciar, 10Radiciar, 10Exponenciando e Radiciando com Calculadoras, 11Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrnica, 15

Porcentagens, 15O Significado das Porcentagens, 15O Denominador 100, 16Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens, 16Maneiras de se Expressar as Porcentagens, 17

Equaes do 1o Grau, 18

2 CONCEITOS BSICOS, 21A Matemtica Financeira, 21Valor do Dinheiro no Tempo, 21Fluxo de Caixa, 21

Esquema Representao Grfica do Diagrama do Fluxo de Caixa DFC, 22Juro(s), 22Taxa de Juro(s), 22

Esquema, 23Formulao Matemtica, 23Regimes de Juros de Capitalizao, 23

Conceitos Financeiros Diversos, 24

3 JUROS SIMPLES, 27Juros Simples, 27Taxas Proporcionais, 29Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos, 31Valor Futuro (a Juros Simples), 32Fixando Conceitos, 39

6 MATEMTICA FINANCEIRA BSICA

4 DESCONTO SIMPLES, 43Taxas de Desconto, 43Desconto Comercial, 45

Clculo do Desconto Comercial, 45Fixando Conceitos, 49

5 JUROS COMPOSTOS, 53Juros Compostos, 53Convenes ou Notaes Utilizadas em Juros Compostos, 54Taxas Equivalentes, 56Fixando Conceitos, 69

6 DESCONTO COMPOSTO, 75Desconto Racional Composto, 75Encontrando o Valor Atual, 75Fixando Conceitos, 85

TESTANDO CONHECIMENTOS, 89

ANEXOSAnexo 1 Convenes/Notaes, 91Anexo 2 Regra Prtica para Estabelecer Taxas Equivalentes, 93Anexo 3 Soluo Utilizando uma Calculadora HP-12C, 95

GABARITO, 97

REFERNCIA BIBLIOGRFICA, 139

Revi

so

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Mat

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UNIDADE 1 7

REVISO DE MATEMTICA

O Uso de Fraes e a Diviso

As fraes expressam sempre uma diviso de um nmero por outro. Os termos de uma fraoso o numerador e o denominador. O numerador corresponde ao dividendo, enquanto odenominador corresponde ao divisor. O resultado de uma frao equivale ao quocienteda diviso.

Suponha que eu tenha sete cartes de visita em meu bolso e que cinco desses cartes sejam escuros e osdemais sejam claros. Qual a porcentagem de cartes escuros em relao ao total?

Vamos, primeiramente, representar graficamente o nmero de cartes escuros e claros, e a relao delescom o total de cartes.

Na parte superior da figura que se segue, est representado o nmero total de cartes (sete).

Na parte inferior, esto representados os nmeros de cartes escuros (cinco) e claros (dois).

Alm da representao grfica, a relao entre 5 (cartes escuros) e 7 (total de cartes) pode serexpressa sob a forma de frao ou armando-se uma conta de diviso.

5 = 0,714 equivale a 5 7

7 0,714

1

MATEMTICA FINANCEIRA BSICA8

Fraes Prprias

quando o denominador maior que o numerador, significando que o resultado inferior unidade.No exemplo anterior, o denominador 7 maior do que o numerador 5. O quociente 0,714 (o resultado) menor do que a unidade.

Exemplos de fraes prprias:

270 dias frao do ano comercial (360 dias), pois menor do que o tempo de um ano e representa3/4 ou 0,75 do ano.

um semestre (180 dias) frao do ano comercial, pois menor do que o tempo de um ano (umsemestre 1/2 metade do ano ou 0,5 do ano).

um trimestre (90 dias) frao do ano comercial, pois menor do que o tempo de um ano (umtrimestre 1/4 do ano ou 0,25 do ano).

um ms (30 dias) frao do ano, pois menor do que o tempo de um ano (um ms 1/12 do ano ou0,0833 do ano).

um dia frao do ms, pois ele menor do que o tempo de um ms (um dia 1/30 do ms ou 0,0333do ms).

uma hora frao do dia, pois ela menor do que o tempo de um dia (uma hora 1/24 do dia ou0,041667 do dia).

um minuto frao de uma hora, pois ele menor do que o tempo de uma hora (um minuto 1/60 dahora ou 0,016667 da hora).

Vamos agora representar o trimestre como frao do ano.

Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de trs, obtemos quatro perodos ou quatro trimestres.Cada trimestre representa a quarta parte de um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.

1o trimestre janeiro fevereiro maro2o trimestre abril maio junho3o trimestre julho agosto setembro4o trimestre outubro novembro dezembro

4 trimestres = 1 ano

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

um ano

UNIDADE 1 9

Fraes Imprprias

quando o numerador maior que o denominador, significando que o resultado maior do que aunidade (maior do que um).

Contudo, j que costumamos representar as relaes entre as quantidades sob a forma de frao, colocandouma quantidade no numerador e outra no denominador, tambm chamamos de frao essa forma dedividir (no caso, impropriamente, da o nome frao imprpria).

Exemplos de fraes imprprias:

um ano e um semestre uma vez e meia o tempo de um ano ( 3 ou 1,5 ano).2

um ano duas vezes o tempo de um semestre. um dia 24 vezes o tempo de uma hora. uma hora 60 vezes o tempo de um minuto.

Observao

Repare que todos os resultados das fraes imprprias so maiores do que a unidade(maiores do que um).

Fatorar, Exponenciar e Radiciar

Fatorar

apresentar um nmero sob a forma de um produto de outros nmeros, chamados fatores. Todo nmeronatural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposio do nmero 125 num produto de fatores:

125 = 5 5 5

Decomposio do nmero 40:

40 = 2 2 2 5


Exponenciar

elevar um nmero a uma potncia.

Aproveitando os resultados da fatorao, temos que:

625 = 5 5 5 5 = 54

No caso acima, o 5 chamado de base, e o nmero de vezes que ele multiplicado (4) oexpoente.

Como se pode ver, ns fixamos a base (o 5) e somamos o nmero de vezes que ele foi multiplicado(o 4 o expoente).

Vejamos outro exemplo de exponenciao:

8 = 2 2 2 = 23

No caso acima, o 2 chamado de base, e o nmero de vezes que ele multiplicado (3) oexpoente.

Radiciar

Radiciar achar a raiz de um nmero, ou seja, dividir sucessivamente um nmero por outro, uma quantidadede vezes definida, e produzir sempre resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divises chamada de ndice.

Exemplo:

O valor da raiz quadrada o resultado que se encontra ao dividirmos um nmero por outro, duas vezes,sendo o resto igual a zero.

Qual o nmero que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse nmero 8, pois 82 = 64 (8 8 = 64).

Na radiciao, o smbolo o radical, 2 o ndice, 64 o radicando e 8 a raiz.

Podemos escrever 2, sob a forma de frao 2/1. Assim, o ndice 2, e 1 o expoente do radicando 64.

2 641 = 8 ou 64 1/2 = 8 (observe que o resultado 8 um nmero inteiro)

UNIDADE 1 11

Qual o nmero que ao dividir 64 trs vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse nmero 4, pois 43 = 64 (4 4 4 = 64).

Quando o ndice 2 ou quando no h um ndice especificado no radical, chamamos de raiz quadrada.

No clculo abaixo, 3 o ndice, 64 o radicando, e 4 a raiz, pois 43 = 4 4 4 = 64.

3 641 = 4 ou 641/3 = 4 (observe que o resultado 4 um nmero inteiro)

Quando o ndice 3, chamamos de raiz cbica. No exemplo anterior, 4 a raiz cbica de 64.

Ambos os resultados produziram razes cujos nmeros so inteiros (8 e 4), mas isso acontece muito pouco.

Na maioria dos casos, ao radiciarmos um nmero o resultado no um nmero inteiro. Isto , afatorao no produz um nico fator que se repete.

Exponenciando e Radiciando com Calculadoras

Os clculos de exponenciao e de radiciao so semelhantes. Eles envolvem a digitao da base(o nmero que se quer exponenciar) e do expoente (o valor que representa o nmero de vezes que sequer exponenciar). Vimos que a diferena entre exponenciar e radiciar que, na radiciao, o expoente um nmero no inteiro. Por essa razo, devemos ter cuidado ao digitarmos o expoente fracionrio,pois as calculadoras e planilhas eletrnicas possuem internamente uma ordem preestabelecida de realizaras operaes.

H vrias regras e macetes para acharmos a raiz de um nmero, qualquer que seja o seu ndice (o nmerode divises sucessivas). Mas, em vez de memorizar frmulas e regras e quebrar a cabea fazendocontas, devemos aproveitar o progresso tcnico e usar uma calculadora financeira, uma calculadoracientfica ou planilhas do tipo Excel. As calculadoras possuem uma tecla de exponenciao, onde y(a base) o nmero que se deseja exponenciar e x o expoente.

yx a tecla de expoente

O clculo da raiz (de qualquer ndice) de um nmero pode ser feito sempre se utilizando um expoenteque uma frao, na qual o denominador o ndice e o numerador 1.


Assim, para acharmos a raiz ndice 32 ou raiz 32a (trigsima segunda) do nmero 40, elevamos 40 aoexpoente fracionrio (1/32). Aqui o numerador 1 o expoente de 40 e o denominador 32 o ndice.Veja o exemplo:

3 2

401/32 o mesmo que 401 = 1,122185 Como usar a calculadora cientfica para achar a raiz ndice 32 do nmero 40:

1. primeiro ache o valor da frao 1/32 (ou 1 dividido por 32), que ser o nosso expoente = 0,03125,conforme calculado anteriormente

2. digite 40 e aperte a tecla yx3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado 1,122185 (observe que o resultado no um nmero inteiro)

Como usar a calculadora HP 12C para achar a raiz ndice 32 do nmero 40:

1. digite 40 e aperte a tecla ENTER2. digite 323. aperte a tecla 1/x e depois aperte a tecla yx4. o resultado 1,122185

Elevando-se o nmero 1,122185 ao expoente 32 resulta no nmero 40. Confira esse resultado, utilizandoa funo yx da sua calculadora cientfica, conforme feito a seguir:

1. digite 1,1221852. aperte a tecla yx3. digite 32 e aperte a tecla =4. o resultado 40

Como usar a calculadora HP 12C para realizar esse mesmo clculo:

1. digite 1,122185 e aperte a tecla ENTER2. digite 323. digite yx4. o resultado 40

Ou seja, exponenciao e radiciao so operaes inversas (uma vai e a outra vem, e vice-versa,como a soma com a subtrao, e a multiplicao com a diviso).

UNIDADE 1 13

Aplicao prtica 1

Achar a raiz ndice 32 ou raiz 32a (trigsima segunda) de 4.567,88, usando suacalculadora financeira ou cientfica.

3 2 4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,88 1/32 = 1,301266Resposta: 1,301266 (observe que a raiz no um nmero inteiro)

Usando a calculadora cientfica:

1. primeiro ache o valor da frao 1/32 (ou 1 dividido por 32), que ser o nossoexpoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente

2. digite 4567,88 e aperte a tecla yx3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado 1,301266

Usando a calculadora financeira HP 12C:

1. digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER2. digite 32 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx4. o resultado 1,301266

Isto significa que o nmero 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta no nmero 4.567,88.

1,30126632 = 4.567,88


Aplicao prtica 2

Qual o nmero que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente produz resto zero?Esse nmero 94,27619 (use sua calculadora financeira ou cientfica, elevando 8.888 potncia 1/2 ou 0,5). 2 8.8881 = 94,27619 Usando a calculadora cientfica:

1. digite 8.888 e aperte a tecla yx2. digite o expoente 0,5 e aperte a tecla =3. o resultado 94,27619

Usando a calculadora financeira HP 12C:

1. digite 8.888 e aperte a tecla ENTER2. digite 2 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx4. o resultado 94,27619

Qual o nmero que ao dividir 8.888 trs vezes sucessivamente produz resto zero?Esse nmero 20,71419 (use sua calculadora financeira ou cientfica, elevando 8.888 potncia 1/3 ou 0,33). Use o exemplo anterior como guia. 3 8.8881 = 20,71419Qual o nmero que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz resto zero?Esse nmero 2,746351 (use sua calculadora financeira ou cientfica, elevando 8.888 potncia 1/9, ou 0,111). 9 8.8881 = 2,746351

UNIDADE 1 15

Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrnica

Para achar a raiz ndice 32 do nmero 40, utilizando a planilha EXCEL, procedemos da seguinte forma:

digitamos, na sequncia (ver reproduo da planilha), o sinal de igual =; o nmero 40; o sinal deexpoente ^; o smbolo abre parnteses; o nmero 1; o sinal de diviso / ; o nmero 32;o smbolo fecha parnteses e, por ltimo, pressionamos a tecla entra. Obtm-se o mesmo resultadoencontrado ao utilizarmos a calculadora: 1,122185.

Porcentagens

O Significado das PorcentagensImagine que voc encomendou 100 cartes de visita e que 5 cartes vieram com defeito.

Isto significa que, em 100 cartes de visita. ou em cada cento 5 cartes apresentam defeito. Da asexpresses por cento, percentagem, porcentagem.

Se eu comprei 100 cartes e o percentual de cartes defeituosos igual a 3%, conclui-se que 3 cartesestavam com defeito. Se eu comprei 200 cartes e o percentual de defeituosos igual a 3%, conclui-seque 6 (seis) cartes estavam com defeito, pois (200 0,03 = 6).


Imagine agora que voc atrasou o condomnio no valor de R$ 150,00 e deve pagar multa de 2%.

Para calcular o valor da multa, multiplique R$ 150,00 por 2% (0,02).

R$ 150,00 0,02 = R$ 3,00 (valor da multa).

O valor total a ser pago igual a R$ 150,00 + R$ 3,00 = R$ 153,00

O Denominador 100

Toda vez que tivermos uma frao e o denominador for 100, estaremos diante de uma porcentagem.

1/100 (1% ou 0,01) l-se um por cento, um centsimo; 5/100 (5% ou 0,05) l-se cinco por cento, cinco centsimos; 10/100 (10% ou 0,1) l-se dez por cento, um dcimo; 50/100 (50% ou 0,5) l-se cinquenta por cento, um meio, metade; 100/100 (100% ou 1) l-se cem por cento, um inteiro; 150/100 (150% ou 1,5) l-se cento e cinquenta por cento, um e meio; e 200/100 (200% ou 2) l-se duzentos por cento, dois.

Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operaes fundamentais (somar, subtrair, multiplicare dividir).

Faamos, porm, uma pequena reviso de conceitos que aprendemos nos ensinos fundamental e mdio.Vamos efetuar algumas operaes utilizando nmeros escritos sob a forma de porcentagens ou nas suasformas decimais equivalentes.

Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens

Exemplos:

Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.

Subtrair: 10% 4% = 0,1 0,04 = 0,06 ou 6%.

Multiplicar: 10% 5% = 0,1 0,05 = 0,005 ou 0,5% (l-se cinco milsimos ou meio por cento).Como voc v, 10% 5% no igual a 50%!

Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumular os resultados, devemos efetuaros clculos utilizando fatores, isto , somando-se um ao valor das porcentagens, multiplicando os fatorese, aps, deduzindo-se um do resultado.

UNIDADE 1 17

Multiplicar Acumulando: 10% 5%, acumulando o resultado.

(1 + 0,10) (1,05) 1 = (1,1 1,05) 1 = 1,155 1 = 0,155 ou 15,5%

Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta transformar essa porcentagemem fator e multiplicar ao valor.

Utilizando o exemplo da multa do condomnio, visto anteriormente. Primeiro calculamos a multa de 2% edepois somamos ao valor principal. Essa operao poderia ser feita em uma s operao:

R$ 150,00 1,02 = R$ 153,00

Dividir: 10% 5% = 0,1 0,05 = 0,02 ou 2%

Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumular os resultados, devemos efetuaros clculos utilizando fatores, isto , somando-se um ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatorese, aps, deduzindo-se um do resultado.

Dividir (Des) Acumulando: 10% 5%, (des) acumulando-se os resultados.

(1 + 0,10) (1 + 0,05) 1 = 1,04761905 1 = 0,04761905 ou 4,76%

Maneiras de se Expressar as Porcentagens

H vrias maneiras de se expressar porcentagens:

5% ou 5:100 (cinco dividido por cem) ou 5 100 ou 0,05 (cinco centsimos);

10% ou 10:100 (dez dividido por cem) ou 10 100 ou 0,10 (um dcimo); e

3,33% ou 3,33:100 (trs vrgula trinta e trs dividido por cem) ou 3,33 100 ou 0,0333 (trezentos etrinta e trs dcimos de milsimos).

Quando efetuamos o clculo com mquina de calcular, podemos faz-lo usando a tecla de porcentagem. importante, entretanto, que voc saiba o significado dos resultados, como no caso da multiplicaoanteriormente observado.


Equaes do 1o GrauChamamos de equao do 1 grau toda equao que pode ser representada sob a forma ax + b = 0, emque a e b so constantes reais e a diferente de 0. A letra x recebe o nome de incgnita e o valor quequeremos encontrar para satisfazer a igualdade.

Exemplo 1

Uma aplicao financeira rendeu de juros de R$ 100,00. Esses juros somados aovalor aplicado totalizaram R$ 400,00.

Podemos representar essa aplicao em forma de equao:

x + 100 = 400, onde x o valor aplicado, 100 so os juros ganhos e 400 o saldo finalda aplicao.

Para resolvermos essa equao utilizamos as seguintes regras:

1. tudo que tem a incgnita, neste caso x, fica de um lado do sinal de igual e tudo queno tem a incgnita fica do outro lado do sinal de igual.

2. quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele est somando, passapara o outro lado subtraindo e vice-versa; se est multiplicando, passa para o outrolado dividindo e vice-versa.

Ento,x = 400 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do sinal de igual,passou para o lado direito subtraindo.

Fazendo a operao 400 100, temos que:x = 300

Substituindo x na equao inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou seja, 400 = 400 aigualdade foi satisfeita.

UNIDADE 1 19

Exemplo 2

Os juros de uma aplicao financeira equivalem a 1/3 do valor aplicado. Quanto devoaplicar para meu saldo final ser de R$ 400,00?

Escrevendo em forma de equao, teremos (chamaremos o valor aplicado, que anossa incgnita, de P) que:

P + P/3 = 400; o valor aplicado P mais os juros ganhos, que equivale a 1/3 do valoraplicado, igual a 400.

Podemos escrever assim:

P + 1/3 P = 400

Calculando 1/3, temos que:

P + 0,333333 P = 4001,333333 P = 400

Passando o 1,333333 para o outro lado do sinal de igual:

P = 400 1,333333 (o valor 1,333333, que estava multiplicando, passa para o outrolado dividindo)P = 300,00

As equaes funcionam como se fossem uma balana, e o sinal de igual o ponto deequilbrio, portanto:

a) adicionando um mesmo nmero a ambos os lados de uma equao, ou subtraindoum mesmo nmero de ambos os lados, a igualdade se mantm.

x + 100 = 400, se subtrairmos 100 de ambos os lados:x + 100 100 = 400 100x = 300

b) dividindo ou multiplicando ambos os lados de uma equao por um mesmo nmero,no nulo, a igualdade se mantm.

P + P 3 = 400, se multiplicarmos por 3 ambos os lados:(P + P 3) 3 = 400 33 P + 3 3 P = 1.2003 P + P = 1.2004 P = 1.200, dividindo por 4 ambos os lados:4 P 4 = 1.200 4P = 300

Co

nce

ito

s B

sic

os

UNIDADE 2 21

2 CONCEITOS BSICOSA Matemtica Financeira

Amatemtica financeira estuda e avalia as alteraes ocorridas nos fluxos de caixa aolongo do tempo, isto , entradas e sadas de dinheiro. Trata, essencialmente, do estudo dovalor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo tcnicas para se compararem as quantiasmovimentadas em datas distintas, efetuando anlises e comparaes atravs de relaes formais.

Dominar os fundamentos bsicos da matemtica financeira, bem como conhecer e utilizar asferramentas adequadas, capacita os usurios a tomarem decises quanto a investimentos e aemprstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponveis.

Valor do Dinheiro no TempoUm dos fundamentos da atividade financeira a variao do valor do dinheiro ao longo do tempo.Por exemplo: melhor ter hoje R$ 100,00 do que dispor desse valor numa data futura qualquer.Independentemente da existncia de inflao, algum que disponha de R$ 100,00, hoje, pode aplic-losa uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, maisalgum valor complementar. Como consequncia disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo dotempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data.Esta data conhecida como data focal.

Fluxo de CaixaDenomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, duranteum certo intervalo de tempo. Para a representao grfica, os recebimentos denominados entradas,so informados com uma seta voltada para cima; e os pagamentos denominados desembolsos, sorepresentados com uma seta voltada para baixo e distribudos ao longo de uma linha horizontal(que representa o tempo).


Esquema Representao Grfica do Diagrama doFluxo de Caixa DFC

Juro(s)O clculo de juros faz parte de toda a atividade econmica. Quando se diz que uma geladeira custaR$ 600,00 vista e vendida em 3 parcelas de R$ 220,00, isso significa que a diferena entre ovalor de R$ 660,00 do pagamento a prazo e R$ 600,00 do pagamento vista refere-se ao valor dos jurosque o comprador est pagando (R$ 60,00).

Mas por que se pagam juros? Porque algum que tinha disponibilidade de dinheiro (capital) adiantou essedinheiro para que a geladeira estivesse disposio do comprador. Por esse emprstimo, essa pessoacobra um determinado valor que se denomina juros.

Se algum recebe um determinado valor a ttulo de juros, isso implica que outra pessoa pague o mesmovalor por esses juros.

Taxa de Juro(s)A taxa de juros a razo entre os juros pagos no final do perodo e o valor originalmente aplicado.Matematicamente, representada por i. Usa-se i para identificar a taxa de juros, que pode ser expressaem frao decimal, ou na forma percentual (i = 5% i = 5 100 i = 0,05).

Exemplo

O investidor A aplica R$ 1.000,00, no 1o dia do ms, no Banco K. No 1o dia do mssubsequente, o Banco K devolve ao investidor A R$ 1.050,00.Juros = R$ 1.050,00 R$ 1.000,00 = R$ 50,00Taxa de Juros no Perodo = (50,00 1.000,00) = 0,05 ou 5%

Os nmeros 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representam os perodos de tempo em que ocorrem asmovimentaes: entradas (1, 3, 4 e 5) e sadas (0 e 2).

01

2 3 4 5

UNIDADE 2 23

Esquema

Formulao Matemtica

i = Juros ou i (%) = Juros 100Capital Capital

R$ 1.000,00 aplicao(Sada de Caixa)

R$ 1.050,00 resgate(Entrada de Caixa)

Perodo

Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor da taxa por 100. Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da taxa por 100.

Exemplos de formas idnticas de expresso das taxas de juros

Taxas Percentual Forma Decimal Frao

2% ao ms 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.

15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.

Embora os modos de expresso acima apresentados sejam semelhantes, a forma mais comum de expressaruma taxa de juros a forma percentual com o perodo abreviado.Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.

Regimes de Juros de Capitalizao

A maneira como o clculo dos juros efetuado define o regime dos juros. Podem ser dois os regimes decapitalizao: juros simples e juros compostos.


Conceitos Financeiros DiversosExistem outros conceitos bsicos em matemtica financeira, os quais devem ficar claros, bem como anomenclatura utilizada:

Valor Presente ou Principal (P) Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheirona Data Zero do Fluxo de Caixa, ou no instante presente. Em algumas literaturas e mquinas financeiras,adota-se a nomenclatura PV ou, ainda, VP;

Valor Futuro ou Montante (F) valor do dinheiro em uma data futura. Este Valor Futuro o ValorPrincipal acrescido dos Juros (j) incorridos no perodo. Em algumas literaturas e mquinas financeiras,adota-se a nomenclatura FV ou ainda VF;

Juros (j) remunerao do capital empregado: para o investidor: remunerao do investimento; para o tomador: custo do capital obtido no emprstimo;

Tempo de Investimento (n) como se denomina o nmero de perodos da aplicao (tempo);

Perodo de Capitalizao conceito associado periodicidade de remunerao associada captaode juros no regime de juros compostos.Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual.Devemos lembrar que, em regime de juros compostos, o incremento (juros) passa a fazer parte docapital somente depois de vencido o perodo de capitalizao.Exemplo: voc coloca na caderneta de poupana um valor qualquer: se retir-lo antes de vencer operodo de capitalizao (mensal), nada receber do banco;

Taxa de Juros (i) ndice que determina a remunerao do capital num determinado tempo(dia, ms, ano...), tambm conhecido por taxa efetiva do investimento;

Prestaes Uniformes (PMT) valor de cada prestao, associado a sries uniformes;

Desconto (D) refere-se ao valor financeiro que deve ser subtrado do valor nominal quandoantecipamos o pagamento de um documento (ttulo, nota promissria, cheque...);

Taxa de Desconto (id) ndice de decrscimo do valor nominal de um documento quando antecipamosseu pagamento;

Ano Civil perodo de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28(29), 30 ou 31 dias,tambm chamado de ano-calendrio;

Ano Comercial ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. muito utilizadoem operaes financeiras.

UNIDADE 2 25

Convenes/Notaes

Descrio Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas

Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A

Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M

Juros Simples ou Compostos J

Tempo n t

Prazo de Carncia m c

Taxa de Juros i r, k

Taxa de Juros Anual aa ao ano

Taxa de Juros Semestral as ao semestre

Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre

Taxa de Juros Mensal am ao ms

Desconto D

Taxa de Desconto id forma decimal da taxa

Prestaes Uniformes PMT A

Recebimento R rec

Pagamento G pg, P

Valor Atual de uma Srie AP A

Montante de uma Anuidade SF S

Comentrio

No Brasil, adota-se, normalmente, o ano civil para a contagem dos dias e o anocomercial (com 360 dias) para o clculo das taxas de juros. Estes juros so tambmconhecidos como juros bancrios. Quanto aos meses, consideram-se todos os mesescomo tendo 30 dias. , por exemplo, o caso da caderneta de poupana, que pagajuros mensais, independentemente da quantidade de dias do ms, que pode variar de28 a 31 dias.

Critrios adotados nos clculosNeste material, todas as vezes que surgirem operaes envolvendo fraes, sero consideradas quatrocasas decimais para o clculo da resposta, exceto nas situaes que envolvam potncias(exponenciaes aplicveis a juros compostos), quando sero utilizadas seis casas decimais.

Observao

Na utilizao de calculadoras financeiras ou cientficas para operaes em sequncia,normalmente no se zeram as memrias, o que pode redundar em clculos queofeream respostas com ligeiras diferenas (de aproximao), em relao aosresultados aqui expressos.


Critrio de arredondamentoAdotaremos o critrio internacional de arredondamento de valores:

ltimo Dgito Resultado Exemplo

0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 125,85

5 Somar 1 ao que fica, aps eliminar o nmero 5 125,85 125,90

6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, aps eliminar o ltimo dgito 125,9 126,00

Juro

s Si

mp

les

UNIDADE 3 27

JUROS SIMPLES

Juros Simples

No regime de capitalizao a juros simples, os juros de cada perodo so calculados tendo sempre comobase o valor do capital inicial.

Exemplo: Suponha uma pessoa que quer investir R$ 1.000,00 e entrega, em 1o de janeiro, esse valorao Banco A, que lhe promete juros simples de 10% ao ano. Qual ser o seu saldo credor ao final de3 anos?

O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:

Data Base Clculo (Capital) Juros de Cada Ano Saldo Final

Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00

Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00

Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00

3

0 1 2 3 4 5 ...

J (Juros)}Valor PresenteP

t

R$


Aplicao prtica

O Banco A aplicou o dinheiro do cliente taxa de 10% ao ano, sobre o capital inicial(R$ 1.000,00), mas no permitiu que o cliente retirasse os juros nem o remunerou poresses juros, que ficaram disposio do banco durante todo o tempo da aplicao.Como foi apurado o valor R$ 1.300,00?

O capital (R$ 1.000,00) multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00.Em seguida, esse valor multiplicado por 3, que o nmero de anos em que o dinheiroficou aplicado, e encontramos os juros.

Juros = Capital Taxa Tempo de Aplicao

Clculo adotando a simbologia:

P principal ou capital inicial (no exemplo R$ 1.000,00)j juros simplesn tempo de aplicao (no exemplo, 3 anos)i taxa de juros no perodo (no exemplo 10%)

Na maioria dos exerccios de matemtica financeira, so fornecidas algumas variveis para se encontraro valor da varivel que se procura.

j = P i n, a frmula do clculo dos juros simples.

Essa frmula s pode ser aplicada se o tempo de aplicao n for expresso namesma unidade de tempo a que se refere a taxa i, considerado o prazo emano, taxa ao ano, prazo em ms, taxa ao ms etc.

Aplicao prtica

1. Uma pessoa tomou emprestada a importncia de R$ 2.000,00, pelo prazo de2 anos, taxa de 40% ao ano. Qual o valor dos juros simples a ser pago?

Dados:P = 2.000n = 2 anosi = 40% a.a. = 40 100 = 0,4 a.a.

Clculo:j = P i nj = 2.000 0,40 2 = 1.600

Resposta: O valor dos juros simples a ser pago de R$ 1.600,00.

UNIDADE 3 29

2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicao de R$ 2.000,00,pelo prazo de 3 meses, taxa de 1,5% ao ms.

Dados:P = 2.000n = 3 mesesi = 1,5% a.m. = 1,5 100 = 0,015 a.m.

Clculo:j = P i nj = 2.000 0,015 3 = 90,00

Resposta: O valor dos juros simples a receber de R$ 90,00.

Taxas ProporcionaisDenominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor presente (principal), geramum mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo.

Exemplo

Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

O primeiro passo reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que 1 ano = 12meses, temos: 30% est para 12 meses, assim como x est para 1 ms (Regrade Trs).

Ou seja:30% 12 = x 1x = 30% 12 = 2,5%

Logo: 2,5% a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

2,5% 2,5%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ms

Ano

2,5%

Duas taxas so proporcionais quando os seus valores guardam uma proporo com o tempo a queelas se referem. Para fazer o clculo, preciso reduzir o tempo a uma mesma unidade.

Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de Regra de Trs. Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o perodo (n) ou a taxa (i), alterando uma ou

outra varivel, uma vez que as relaes so proporcionais. Estes conceitos so vlidos apenas e to somente para Taxas de Juros Simples.


Aplicao prtica

1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano.

Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% 12 = x 1 = x = 25%

Resposta: 25% ao ms proporcional a 300% ao ano.

2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.

Como: 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% 4 = 24%

Resposta: 6% ao trimestre proporcional a 24% ao ano.

3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre?

Como: 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% 3 = 12%

Resposta: 12% ao semestre proporcional a 4% ao bimestre.

4. Qual a relao de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais (i.a.), semestrais(i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e dirias (i.d.).

Resposta: i.a. = 2 i.s.; i.a. = 4 i.t.; i.a. = 12 i.m.; i.a. = 360 i.d.;

5. Quais so as taxas de juros: anual, semestral, trimestral e mensal proporcionais taxa diria de 0,10%?

Taxa ao dia = 0,10% = 0,10 100 = 0,0010Taxa ao ano = 0,0010 360 = 0,36 0,36 100 = 36,0% a.a.Taxa ao semestre = 0,0010 180 = 0,18 0,18 100 = 18,0% a.s.Taxa ao trimestre = 0,0010 90 = 0,09 0,09 100 = 9,0% a.t.Taxa ao ms = 0,0010 30 = 0,030 0,03 100 = 3,0% a.m.

Resposta: 36,0% a.a.; 18,0% a.s.; 9,0% a.t.; 3,0% a.m.

Ateno

Para o clculo de Juros Simples Comercial:

2 semestres3 quadrimestres

UM ANO TEM 4 trimestres6 bimestres12 meses360 dias

UNIDADE 3 31

Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos Juros Simples Comercial so os juros cujo clculo considera o ano comercial (com 360 dias) e o

ms comercial (com 30 dias).

Juros Simples Exatos neste caso, considera-se o nmero exato de dias do ano (365 ou 366, casoo ano seja bissexto).

Aplicao prtica

1. Um emprstimo de R$ 6.000,00, realizado em 20/07 foi pago em 25/11 do mesmoano. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual o valor total dos juros simples exatos aser pago?

Inicialmente, determina-se o nmero de dias:

De 20/07 a 31/07 11 dias *01/08 a 31/08 31 dias01/09 a 30/09 30 dias01/10 a 31/10 31 dias01/11 a 25/11 25 dias

Total: 128 dias

* No clculo de perodos financeiros, para se apurar o valor dos juros ou do montantefuturo, no se considera a data inicial. No exemplo, o dia 20/07.

Dados:P = 6.000,00n = 128 dias; n = 128 365 = 0,3507 anosi = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.

Clculo:j = 6.000 0,1825 0,3507 = 384,02

Resposta: O valor dos juros simples exato a ser pago de R$ 384,02.


2. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3meses e 10 dias, obtenham-se juros simples de R$ 11.000,00?

Dados:P = 66.000,00j = 11.000i = mensaln = 3 meses e 10 dias = 100 dias = (100 30) meses (ateno: divide-se por 30 dias,isto , 1 ms, porque se deseja saber a taxa mensal).j = P i nSendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever:11.000 = 66.000 i 100 30i = 11.000 (66.000 (100 30))i = 0,05 a.m. = 5% a.m.

Resposta: A taxa de 5% ao ms.

Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o perodo (n) ou a taxa (i), alterandouma ou outra varivel, uma vez que as relaes so proporcionais.

Valor Futuro (a Juros Simples)No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 no banco e obteve R$ 300,00 de juros, quando terminar o perodode aplicao ele ter R$ 1.300,00. Esse valor chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valorpresente do capital (P), acrescido dos juros auferidos no perodo.

O Valor Futuro F , portanto, a soma do capital investido ou aplicado mais os juros obtidos na aplicaodurante um determinado perodo de tempo.

Sendo:F = P + j

Lembrando que j = P i n, ento o valor futuro (F) :F = P + P i n

Colocando P em evidncia, temos que:F = P (1 + i n)

UNIDADE 3 33

Aplicao prtica

1. Qual o valor futuro que receber um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00durante 15 meses, taxa de 3% ao ms, em regime de juros simples?

Dados:P = 28.000n = 15 mesesi = 3% a.m. = 0,03 a.m.Como:F = P (1 + i n)Ento:F = 28.000 (1 + 0,03 15)F = 28.000 (1 + 0,45)F = 28.000 1,45F = 40.600

Este problema poderia ser resolvido de outro modo:j = 28.000 0,03 15 = 12.600Como: F = P + jF = 28.000 + 12.600 = 40.600

Resposta: F = R$ 40.600,00

2. Qual o capital inicial necessrio para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em regime de juros simples?

Dados:F = 14.800n = 18 meses 12 = 1,5 anosi = 48% a.a. = 0,48 a.a.F = P (1 + i n)14.800 = P (1 + 0,48 1,5)14.800 = P (1 + 0,72)14.800 = P (1,72)P = 14.800 1,72P = 8.604,65

Resposta: O capital inicial necessrio de R$ 8.604,65.

3. Quanto rende, a juros simples, um capital de R$ 100.000,00, investido a 9% ao msdurante 8 meses?

Dados:P = 100.000i = 9% a.m. = 0,09 a.m.n = 8 mesesComo: j = P i n


j = 100.000 0,09 8j = 72.000

Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.

4. Quais os juros simples de uma aplicao de R$ 200.000,00, a 4,8% ao ms, peloprazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias:

Dados:P = 200.000i = 4,8 100 = 0,048 ao msn = 2 anos, 3 meses e 12 diasOu seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias = 822 30 = 27,4 meses

O nmero de dias (822) dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. Comoa taxa mensal, o tempo tambm ter de ser expresso em meses. Desse modo, apuram-se os juros simples da aplicao.

j = 200.000 0,048 27,4j = 263.040

Resposta: Os juros so de R$ 263.040,00.

5. Um capital foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 3% ao ms. No final de 1ano, 4 meses e 6 dias rendeu de juros R$ 97.200,00. De quanto era esse capital?

Dados:j = 97.200i = 3 100 a.m. = 0,03 a.m.n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias 30 = 16,2 meses

ClculoP = ?j = P i n97.200 = P 0,03 16,2P = 200.000

Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.

6. Um investidor empregou, durante 2 anos, 3 meses e 20 dias a quantia de R$ 70.000,00.Sabendo-se que essa aplicao rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi ataxa simples mensal da aplicao?

Dados:P = 70.000j = 75.530n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20) = 830 dias 30 = 27,6667 mesesi = ? (mensal)

UNIDADE 3 35

Como j = P i n75.530 = 70.000 i 27,6667i = 75.530 (70.000 27,6667)i = 0,039 = 3,9% a.m.

Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.

7. A quantia de R$ 25.000,00 acumulou, em 1 ano, 4 meses e 18 dias, um montante deR$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal da aplicao?

Dados:P = 25.000F = 47.410n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias (498 30) mesesClculo:i = ? (mensal)F = P (1 + i n)

Ento: 47.410 = 25.000 (1 + i 498 30)i = 0,054 = 5,4% a.m.

Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.

Para o clculo da taxa de juros, pode-se tambm utilizar a frmula:

i = F 1 1P n

Logo:i = (47.410 25.000 1) (1 498 30)i = 0,054 = 5,4% a.m.

8. Quanto rende de juros simples um capital de R$ 12.000,00, aplicado a 84% a.a.,durante 3 meses?

Dados:P = 12.000i = 84% a.a. = 0,84 a.a.n = 3 meses = 3 12 anosComo: J = P i nEnto: J = 12.000 0,84 3 12J = R$ 2.520,00

Resposta: O valor dos juros R$ 2.520,00.

[ ]


9. Um valor aplicado a certa taxa de juros simples rende, em 1 ano, 2 meses e 20dias, um valor igual a 1/3 do principal. Qual a taxa anual dessa aplicao?

Dados:j = (1 3) P = P 3n = 1 ano, 2 meses e 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias (440 360) anosVarivel desejada: i = ? (ao ano)Sendo: j = P i nEnto, P 3 = P i (440 360)Multiplicando por 360 os dois lados da equao:360 P 3 = P i (440 360) 360120 P = 440 P i120 P = 440 P i (simplifica-se cortando o P)120 = 440 ii = 120 440i = 0,2727 = 27,27% a.a.

Resposta: A taxa anual de 27,27%.

10. Quantos meses um capital de R$ 500,00, aplicado taxa de 30% ao bimestre,leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?

Dados:P = 500J = 1.050i = 30 100 a.b. = 0,30 a.b.n = ?j = P i nLogo: 1.050 = 500 0,3 nn = 7 bimestres ou 7 2 meses = 14 meses

Resposta: So necessrios 14 meses para se obter esse valor de juros.

11. Qual o Valor Futuro de uma aplicao de R$ 10.000,00, taxa de 2,5% ao ms,durante 3 anos?

Dados:P = 10.000n = 3 anos = 3 12 = 36 mesesi = 2,5% a.m. = 2,5 100 a.m. = 0,025 a.m.Clculo de F:Como F = P (1 + i n), ento:F = 10.000 (1 + 0,025 36)F = 19.000

Resposta: O Valor Futuro ser de R$ 19.000,00.

UNIDADE 3 37

12. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa (juros simples) de 0,5% ao dia.O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual o total de juros?

Dados:P = 10.000i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.n = 116 diasj = P i n, logo:j = 10.000 0,005 116j = 5.800

Resposta: O total de juros de R$ 5.800,00.

13. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., triplica?

Dados:P = P (capital qualquer)F = 3 P (triplo do capital inicial)F = P + J J = F P

J = 3P PJ = 2P

i = 10 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como: j = P i nLogo: 2 P = P 0,1 n n = 20

Resposta: O capital triplicar em 20 anos.

O clculo do tempo de investimento pode tambm seguir a frmula: n = F 1 1 P i

Logo: n = (3 1 1) (1 0,1)n = 20 anos


14. Nos problemas em que no aparece o capital, voc poder usar o valor R$ 100,00para facilitar sua resoluo. Basta resolver a questo anterior usando este artifcio:

Dados:P = 100,00F = 3 P = 3 100 = 300,00F = P + J J = F PJ = 300 100J = 200i = 10 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como J = P i nLogo, 200 = 100 0,1 n n = 20.

Resposta: O capital triplicar em 20 anos.

Fixa

nd

o C

on

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 3 39

[1] Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional de:

(a) 3,5% (b) 6% (c) 7% (d) 10,5% (e) 12%

[2] A taxa mensal proporcional a 30% ao ano de:

(a) 1,5% (b) 2,5% (c) 3% (d) 3,5% (e) 6%

[3] A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre de:

(a) 16% (b) 24% (c) 32% (d) 36% (e) 38%

[4] Os juros simples de um investimento de R$ 2.500,00, taxa de 3% ao ms, pelo prazo de 1 ano,4 meses e 10 dias so de:

(a) R$ 1.125,00 (b) R$ 1.150,00 (c) R$ 1.175,00 (d) R$ 1.225,00 (e) R$ 1.250,00

[5] Aplicando R$ 2.800,00 por 1 ano, 5 meses e 3 dias, obtemos juros simples de R$ 2.872,80. Qual a taxamensal simples dessa aplicao?

(a) 2% (b) 3% (c) 4% (d) 5% (e) 6%

[6] Que quantia aplicada durante 2 anos, 3 meses e 15 dias, taxa simples de 2,75% ao ms, produz ummontante de R$ 307.343,75?

(a) R$ 150.000,00 (b) R$ 175.000,00 (c) R$ 200.000,00 (d) R$ 225.000,00 (e) R$ 250.000,00


[7] Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, taxa simples de 3,5% ao ms, durante 6 meses. Ao finaldesse tempo, o capital acumulado (F) de:

(a) R$ 8.800,00 (b) R$ 9.300,00 (c) R$ 10.420,00 (d) R$ 11.380,00 (e) R$ 12.100,00

[8] A quantia de R$ 50.000,00, aplicada durante 5 meses, rendeu R$ 7.500,00 de juros simples. A taxamensal de:

(a) 3% (b) 4% (c) 5% (d) 6% (e) 7%

[9] Aplicando R$ 30.000,00 durante um certo tempo, a 40% ao ano, obtivemos R$ 24.000,00 de jurossimples. O tempo de aplicao foi de:

(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 3 anos (d) 4 anos (e) 5 anos

[10] Para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia de R$ 10.000,00 por 4 anos. A taxaanual dessa aplicao foi de:

(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20% (e) 25%

[11] Qual a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juros simples durante 16 meses, tenha seuvalor triplicado?

(a) 10% (b) 12,5% (c) 14,5% (d) 15% (e) 16,5%

[12] Um capital, aplicado a uma taxa de 12% a.m., rende juros simples que so iguais a 1/10 do seu valorinicial. Qual o total de dias em que esse capital foi aplicado?

(a) 5 dias (b) 10 dias (c) 15 dias (d) 20 dias (e) 25 dias

[13] Uma pessoa investiu um capital de R$ 60.000,00, durante 146 dias, taxa de juros simples de 9%a.m. Os juros simples desse investimento foram de:

(a) R$ 22.530,00 (b) R$ 23.880,00 (c) R$ 26.280,00 (d) R$ 27.480,00 (e) R$ 28.260,00

[14] O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros simples durante 8 meses,a 138% a.a., de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 35.000,00 (c) R$ 40.000,00 (d) R$ 45.000,00 (e) R$ 50.000,00


[15] Um capital, aplicado a uma taxa de 90% a.a., render juros simples iguais a 1/20 do seu valor. O totalde dias de aplicao desse capital ser de:


[16] O capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou um montante de R$ 953.120,00. O total demeses em que esse capital foi aplicado a juros simples foi de:

(a) 6 meses (b) 7 meses (c) 8 meses (d) 9 meses (e) 10 meses

[17] A taxa mensal de um capital de R$ 480.000,00 que, aplicado em 3 meses e 20 dias, produziuR$ 4.400,00 de juros simples foi de:

(a) 0,25% (b) 2,5% (c) 25% (d) 27,5% (e) 31,25%

[18] Dois capitais, de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00, estiveram aplicados durante 3 anos a jurossimples. O primeiro capital esteve aplicado taxa de 7% a.a. e rendeu R$ 1.110,00 a mais do que osegundo. A taxa a que esteve aplicado o segundo capital foi de:

(a) 4% a.a. (b) 5% a.a. (c) 6% a.a. (d) 7% a.a. (e) 8% a.a.

[19] A soma de um capital com seus juros igual a R$ 2.553,47. Qual o valor dos juros simples daaplicao, que durou 110 dias, taxa de 7% a.a.:

(a) R$ 53,47 (b) R$ 54,38 (c) R$ 55,29 (d) R$ 56,12 (e) R$ 58,50

[20] Qual o prazo necessrio para se duplicar um capital aplicado taxa de juros simples de 4% a.m.?


[21] Encontrar o capital que, acrescido de juros simples a 6,5% a.a., em 1 ano e 4 meses, gera ummontante de R$ 7.824,00:

(a) R$ 7.200,00 (b) R$ 7.400,00 (c) R$ 7.600,00 (d) R$ 7.800,00 (e) R$ 7.900,00

[22] A taxa mensal de um capital de R$ 8.000,00, que, em 6 meses, gerou juros simples de R$ 2.640,00,foi de:

(a) 3,5% (b) 4,5% (c) 5,5% (d) 6,5% (e) 7,5%

[23] Um capital de R$ 32.000,00, aplicado taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00. O totalde meses dessa aplicao de:



[24] Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a uma taxa de 20% a.t., ao longo de 15 meses, rendeu dejuros simples:

(a) R$ 20.000,00 (b) R$ 30.000,00 (c) R$ 50.000,00 (d) R$ 75.000,00 (e) R$ 100.000,00

[25] Os juros simples de uma aplicao de R$ 50.000,00, taxa de 6% a.a., pelo prazo de 18 dias,so de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 120,00 (c) R$ 150,00 (d) R$ 180,00 (e) R$ 200,00

[26] O montante de uma aplicao de R$ 80.000,00, a juros simples de 3,5% a.m., pelo prazo de 9 meses, de:

(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 102.500,00 (c) R$ 105.200,00 (d) R$ 106.800,00 (e) R$ 108.000,00

[27] Os juros simples de uma aplicao de R$ 12.000,00, a 36% a.a., por um trimestre so de:

(a) R$ 1.080,00 (b) R$ 1.180,00 (c) R$ 1.280,00 (d) R$ 1.380,00 (e) R$ 1.480,00

[28] Os juros simples de uma aplicao de R$ 350.000,00, taxa de 4% a.m., aplicados por 72 dias, so de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 31.200,00 (c) R$ 32.400,00 (d) R$ 33.600,00 (e) R$ 36.000,00

[29] Um capital, acrescido de seus juros de 21 meses, soma R$ 156.400,00. O mesmo capital, diminudode seus juros de 9 meses, reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples dessesinvestimentos.

(a) 100.125,32 e 1.95% a.m.(b) 103.795,74 e 1,98% a.m.(c) 105.540,26 e 2,01% a.m.(d) 108.800,05 e 2,08% a.m.(e) 109.645,47 e 2,12% a.m.

[30] Quanto se deve aplicar hoje em uma instituio financeira, que paga juros simples de 6% a.m., parase obter R$ 200.000,00 no fim de 39 dias?

(a) R$ 150.688,40 (b) R$ 168.800,36 (c) R$ 185.528,76 (d) R$ 190.000,00 (e) R$ 198.222,22

[31] O juro comercial simples de R$ 10.000,00, aplicado h 198 dias, taxa de 6% ao ano, de:

(a) R$ 166,67 (b) R$ 303,03 (c) R$ 313,33 (d) R$ 330,00 (e) R$ 600,00

Des

con

to S

imp

les

UNIDADE 4 43

DESCONTO SIMPLES

Taxas de Desconto

B ancos e outras instituies financeiras realizam operaes de desconto de ttulos diversos.Nesse caso, o credor do ttulo recebe hoje o valor do ttulo que tem vencimento futuro,mediante o pagamento de desgio e cesso dos direitos creditrios. Nessas operaes,so negociados ttulos como notas promissrias (NP), duplicatas e outros.

Conceitos

Desgio valor de desconto que se deduz de uma obrigao a ocorrer no futuro, para que essa possa serquitada antecipadamente.

Cesso dos direitos creditrios cesso do valor a receber numa data, por pessoa fsica ou jurdica, quepode ser negociado com terceiros.

n (perodo deantecipao)

F (Valor Nominal)

D (Desconto)

P

tempo

P (Valor A

tual)

R$

4


Quando algum tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer situaes como:

o devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da data predeterminada. Neste caso,o prazo de emprstimo reduzido. Logo, razovel que o devedor pague menos pelo emprstimo.Assim, ele se beneficia com um abatimento correspondente aos juros que seriam gerados por essedinheiro, durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e

pode ocorrer, tambm, que o credor (quem emprestou o dinheiro) necessite do dinheiro antes da datamarcada. Como, quase sempre, o devedor no pode antecipar o pagamento, pois j se programoupara pagar na data predeterminada, o credor vende seu ttulo de crdito a um terceiro. Ora, esseagente tambm vai querer ser remunerado com os juros do capital que adiantar, considerando-se ointervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento.

Em ambos os casos, h um benefcio, definido pela diferena entre as duas quantidades a que seriapaga e a que efetivamente foi paga. Esse benefcio, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operaes citadas so denominadas operaes de desconto.

Na operao de desconto, usamos alguns termos especficos:

data de vencimento dia fixado, no ttulo, para pagamento da aplicao;

valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate (F) valor indicado no ttulo(importncia a ser paga no dia do vencimento);

valor atual ou valor presente ou valor descontado (P) lquido pago (antes do vencimento);

prazo (n) o tempo em perodos (dias, meses ou anos), compreendido entre o dia em que se negociao ttulo e o seu vencimento. O prazo inclui o ltimo dia (ou ms ou ano) e exclui o primeiro; e

desconto (D) pode ser entendido como sendo a diferena entre o valor nominal e o valor atual.O desconto pode ser feito, considerando-se, como capital, o valor nominal ou o valor atual. No primeirocaso, temos um desconto comercial e, no segundo, um desconto racional.

No abordaremos aqui o assunto desconto racional.

UNIDADE 4 45

Desconto Comercial a modalidade de desconto mais utilizada. denominada desconto comercial, bancrio ou por fora oequivalente aos juros simples, produzidos, pelo valor nominal do ttulo, no perodo de tempo correspondente taxa fixada.

Clculo do Desconto Comercial

Pela definio acima, tm-se:

P = F D

D = F id n

onde:D = valor do desconto comercial (em moeda R$)F = valor nominal do ttulo ou valor de face ou valor futuroP = valor presente, correspondente ao valor futuro, descontado o valor do desconto Did = taxa de desconto (na forma decimal)n = prazo de antecipao (tempo)

Nota: tambm neste caso, n e id devem estar na mesma unidade de tempo.

Outra frmula para o clculo:

P = F D, como D = F

id n, o clculo do valor presente pode ser simplificado para a frmula:

P = F

(1 id n)

Concluso

O desconto comercial s deve ser empregado para perodos curtos, pois, para prazoslongos, o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do ttulo.


Aplicao prtica

1. Um ttulo de R$ 3.000,00 descontado por fora, 6 meses antes do seu vencimento,a uma taxa de 2% ao ms. Considerando regime de capitalizao de juros simples,qual o valor do desconto?

Dados:F = 3.000id = 2% a.m. = 0,02 ao msn = 6 mesesClculo:D = F id nD = 3.000 0,02 6D = 360

Resposta: O desconto de R$ 360,00.

2. Um ttulo de R$ 5.000,00 foi descontado por R$ 3.750,00. Sabendo que o tempo deantecipao foi de 4 meses, qual a taxa mensal de desconto simples?

Dados:F = 5.000P = 3.750D = 5.000 3.750 = 1.250id = ?n = 4 mesesClculo:D = F id n1.250 = 5.000 id 41.250 = 20.000 idid = 6,25% a.m.

Resposta: A taxa de desconto foi de 6,25% ao ms.

3. Qual o valor atual de um ttulo de R$ 1.200,00, resgatado 8 meses antes do seuvencimento, a uma taxa de 42% ao ano, considerando-se os juros simples?

Dados:F = 1.200P = ?id = 42 100 = 0,42 ao anon = 8 meses = 8 12 anos (porque a taxa id anual)Clculo:P = F (1 id n)P = 1.200 (1 0,42 8 12)P = 864

Resposta: O valor atual do ttulo R$ 864,00.

UNIDADE 4 47

Outro modo de calcular:D = F id nD = 1.200 0,42 (8 12)D = 336P = F DP = 1.200 336 = 864

4. Calcule o valor do desconto simples de um ttulo de R$ 1.720,00, descontado 3meses e 20 dias antes do vencimento, a uma taxa de 38,7% ao ano.

Dados:F = 1.720D = ?id = 38,7 100 = 0,387 ao anon = 3 meses e 20 dias = 90 + 20 = 110 diasou seja: n = (110 360) anos (porque a taxa id anual)Clculo:D = F id nD = 1.720 0,387 (110 360)D = 203,39

Resposta: O valor do desconto de R$ 203,39.

5. Uma promissria de R$ 1.480,00 foi resgatada, 4 meses antes do seu vencimento,por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operao, considerando o regime decapitalizao a juros simples?

Dados:F = 1.480P = 1.220D = 1.480 1.220 = 260id = ? (ao ano)n = 4 meses = 4 12 anos (porque a taxa id desejada anual)Clculo:D = F id n260 = 1.480 id 4 12id = 0,5270 = 52,70% a.a.

Resposta: A taxa anual de 52,70%.

6. Calcule o valor de um ttulo que foi resgatado por R$ 796,24, 6 meses antes do seuvencimento, a uma taxa de 7% ao ms em juros simples.

Dados:F = ?P = 796,24id = 7 100 = 0,07 ao msn = 6 meses


Clculo:P = F (1 id n)796,24 = F (1 0,07 6)

Resposta: O valor do ttulo R$ 1.372,83.

7. Qual o valor do desconto simples de um ttulo de R$ 900,00, descontado 5 mesesantes do seu vencimento, a uma taxa de 3% ao ms?

Dados:F = 900D = ?id = 3 100 = 0,03 ao msn = 5 mesesD = F id nClculo:D = 900 0,03 5D = 135

Resposta: O desconto de R$ 135,00.

Fixa

nd

o C

on

ceit

os


[1] Uma nota promissria de R$ 186.000,00, vencendo em 72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de descontocomercial simples. A taxa anual usada nessa operao foi de:

(a) 6% (b) 7,6% (c) 8,6% (d) 9,2% (e) 10,4%

[2] O valor atual de um ttulo de R$ 20.000,00, descontado a 5% a.a., em 6 meses, considerando jurossimples de:

(a) R$ 19.500,00 (b) R$ 20.000,00 (c) R$ 21.500,00 (d) R$ 22.000,00 (e) R$ 23.500,00

[3] O valor atual de um ttulo que, descontado a 6% a.a., 4 meses antes do vencimento, produziu odesconto comercial simples de R$ 600,00 de:

(a) R$ 28.200,00 (b) R$ 28.600,00 (c) R$ 29.200,00 (d) R$ 29.400,00 (e) R$ 30.000,00

[4] Devo a um amigo R$ 110.000,00. Desejo liquidar a dvida, endossando-lhe um ttulo que possuode R$ 90.000,00, vencendo em 1 ms e 25 dias. Se o desconto comercial simples for feito a 8% a.a.,a quantia em dinheiro que devo dar de:

(a) R$ 21.100,00 (b) R$ 24.800,00 (c) R$ 25.300,00 (d) R$ 28.900,00 (e) R$ 88.900,00

[5] Calcular o valor nominal de uma duplicata que, taxa de 6% a.m., sofreu um desconto bancrio oucomercial ou por fora de R$ 60,00, ao ser resgatado 2 meses antes de seu vencimento:

(a) R$ 300,00 (b) R$ 400,00 (c) R$ 500,00 (d) R$ 600,00 (e) R$ 700,00

[6] Para descontar uma nota promissria, a uma taxa de desconto comercial simples de 15% ao ms,60 dias antes do vencimento, uma pessoa recebe o lquido de R$ 280,00. O valor nominal de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 200,00 (c) R$ 300,00 (d) R$ 400,00 (e) R$ 500,00


[7] Um ttulo de R$ 350,00 descontado por R$ 245,00, 6 meses antes do vencimento. A taxa mensal dedesconto comercial simples de:

(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%

[8] O valor do desconto comercial simples de um ttulo de R$ 800,00, 3 meses e 18 dias antes do vencimento,a uma taxa de 4% ao ms, de:

(a) R$ 115,20 (b) R$ 122,30 (c) R$ 124,50 (d) R$ 132,80 (e) R$ 135,40

[9] Uma letra de cmbio foi descontada por R$ 320,00, 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa dedesconto comercial simples de 1,5% ao ms. O valor nominal era de:

(a) R$ 341,41 (b) R$ 356,56 (c) R$ 363,64 (d) R$ 392,92 (e) R$ 402,02

[10] Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 6.072,00. Sabendo quea taxa de desconto comercial simples foi de 4% ao ms, o tempo de antecipao foi de:


[11] Uma letra de cmbio de valor nominal de R$ 4.700,00 foi resgatada 1 ms e 6 dias antes do seuvencimento, taxa de 2,2% ao ms. O valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 112,20 (b) R$ 118,06 (c) R$ 121,09 (d) R$ 124,08 (e) R$ 125,09

[12] Uma nota promissria de R$ 18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um desconto bancriode R$ 930,00. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 0,25% (b) 0,35% (c) 0,45% (d) 0,55% (e) 0,65%

[13] Uma letra, descontada por fora taxa de 2,5% ao dia, produziu o desconto comercial simplesequivalente a 1/4 de si mesma. O prazo de antecipao foi de:


[14] Um ttulo de valor nominal de R$ 6.000,00 resgatado 4 meses antes de seu vencimento a uma taxade desconto comercial simples de 36% ao ano. O valor atual pago de:

(a) R$ 5.080,00 (b) R$ 5.180,00 (c) R$ 5.280,00 (d) R$ 5.380,00 (e) R$ 5.480,00


[15] Um ttulo de R$ 1.800,00 foi resgatado 9 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de descontosimples foi de 2,75% ao ms, o valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 445,50 (b) R$ 450,80 (c) R$ 475,50 (d) R$ 490,30 (e) R$ 498,20

[16] Uma pessoa resgatou uma duplicata pela metade do preo 8 meses antes do seu vencimento. A taxamensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 5% (b) 5,75% (c) 6% (d) 6,25% (e) 7,25%

[17] Uma nota promissria de R$ 16.000,00 foi resgatada por R$ 14.880,00 a 21 dias do seu vencimento.A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10%

[18] Um ttulo de valor nominal de R$ 4.000,00 resgatado por R$ 3.600,00, 5 meses antes de seuvencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa transao de:

(a) 1,2% (b) 1,5% (c) 2% (d) 2,5% (e) 3%

[19] Um ttulo de R$ 13.000,00 foi descontado por fora por R$ 9.100,00. Sabendo-se que foi resgatado5 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal de desconto foi de:

(a) 4% (b) 5% (c) 6% (d) 7% (e) 8%

[20] Uma nota promissria de R$ 1.530,00 foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 8%ao ano, produzindo um desconto de R$ 71,40. O prazo da antecipao em meses foi de:

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

[21] Uma nota promissria foi paga 7 meses e meio antes do seu vencimento, sofrendo um descontocomercial simples taxa de 8% ao ms. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 4.800,00, podemos afirmarque o valor nominal da promissria foi de:

(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 10.000,00 (d) R$ 11.000,00 (e) R$ 12.000,00

[22] Um ttulo de R$ 640,00 foi resgatado 11 meses antes do vencimento, a uma taxa de descontocomercial simples de 1,85% ao ms. O valor deste desconto foi de:

(a) R$ 130,24 (b) R$ 132,38 (c) R$ 141,12 (d) R$ 143,15 (e) R$ 144,20

[23] Um ttulo de valor nominal de R$ 2.000,00 foi resgatado por um valor atual de R$ 1.820,00. Sabendo-seque a taxa mensal de desconto comercial simples de 3% ao ms, ento o prazo de antecipao foi de:



[24] Em uma operao financeira, o valor nominal do ttulo igual a 10 vezes o desconto comercialsimples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de 2% ao dia, o prazo de antecipao foi de:


[25] O valor do desconto de um ttulo de R$ 20.000,00, a 6% ao ms, em 1 ano de:

(a) R$ 12.000,00 (b) R$ 12.600,00 (c) R$ 14.000,00 (d) R$ 14.400,00 (e) R$ 15.000,00

[26] Um ttulo de R$ 4.200,00 foi resgatado por R$ 3.800,00, 8 meses antes do vencimento. A taxa mensalde desconto comercial simples foi de:

(a) 0,92% (b) 1% (c) 1,19% (d) 1,35% (e) 2%

[27] Deseja-se resgatar um ttulo cujo valor nominal de R$ 2.000,00, 4 meses antes de seu vencimento.Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples de 30% ao ano, o desconto obtido na hora doresgate ser de:

(a) R$ 120,00 (b) R$ 150,00 (c) R$ 180,00 (d) R$ 200,00 (e) R$ 220,00

[28] O valor do desconto comercial simples de um ttulo de R$ 2.400,00, descontado 2 meses e 18 diasantes do vencimento, a uma taxa de 36% ao ano, de:

(a) R$ 158,80 (b) R$ 161,30 (c) R$ 172,40 (d) R$ 187,20 (e) R$ 191,80

[29] O valor atual de um ttulo de R$ 4.500,00, resgatado 6 meses e 12 dias antes do seu vencimento, auma taxa de 45% ao ano, de:

(a) R$ 3.180,00 (b) R$ 3.340,00 (c) R$ 3.380,00 (d) R$ 3.400,00 (e) R$ 3.420,00

[30] O valor de um ttulo que foi resgatado por fora por R$ 1.080,00, 4 meses antes do seu vencimento, auma taxa de 0,5% ao dia, era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.600,00 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00

[31] O valor nominal de um ttulo, resgatado 16 meses antes do vencimento, de R$ 6.000,00, e a taxa dedesconto comercial simples de 1,5% ao ms. O valor do desconto obtido foi de:

(a) R$ 1.145,00 (b) R$ 1.240,00 (c) R$ 1.350,00 (d) R$ 1.440,00 (e) R$ 2.832,00

[32] Um ttulo de R$ 35.000,00 ser resgatado 24 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxade desconto comercial simples de 8,75% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate ser de:

(a) R$ 5.836,23 (b) R$ 6.125,00 (c) R$ 7.437,00 (d) R$ 8.950,00 (e) R$ 9.128,30

Juro

s C

om

po

sto

s

UNIDADE 5 53

JUROS COMPOSTOS

Juros Compostos

E m relao aos juros simples, os juros produzidos por um capital so sempre os mesmos, qualquerque seja o perodo. O motivo disso que os juros simples so sempre calculados sobre ocapital inicial, no importando o montante correspondente ao perodo anterior.Exemplo

Um capital de R$ 100,00 aplicado a 2% ao ms, tem a seguinte evoluo no regime dejuros simples:

Capital Inicial = R$ 100,00

Relembrando (Juros Simples): j = P i n

Ms Juros Simples Montante (F)

1 100 0,02 1 = 2,00 102,002 100 0,02 1 = 2,00 104,003 100 0,02 1 = 2,00 106,00

No regime de juros compostos, porm, os juros a cada perodo so calculados sobre omontante existente no perodo anterior. Dessa forma, os juros do perodo anterior soincorporados ao capital. Pode-se dizer, ento, que, no regime de juros compostos,os juros rendem juros. Este o regime mais utilizado.

Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definio, temos:

Capital Inicial = R$ 100,00

5


Assim, no regime de juros compostos, os juros produzidos no fim de cada perodo sosomados ao capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros noperodo seguinte.

Ms Juros Compostos Montante (F)

1 100,00 0,02 1 = 2,00 102,002 102,00 0,02 1 = 2,04 104,043 104,04 0,02 1 = 2,08 106,12

Juros compostos so aqueles que, a partir do segundo perodo, so calculadossobre o montante relativo ao perodo anterior.

Convenes ou Notaes Utilizadasem Juros Compostos

J juros compostosP capital inicial valor tomado emprestadoF Valor Futuro ou Montante valor do capital inicial acrescido de juros compostosi taxa de juros compostosPerodo de capitalizao ciclo de tempo necessrio para gerar juros compostosExemplo: na caderneta de poupana, este ciclo de 30 dias.n tempo de aplicao quantidade de perodos de capitalizao do investimento.

Veja outras nomenclaturas na Tabela (Anexo 1).

Comentrio

Nos enunciados de exerccios e/ou aplicaes prticas, quando no estiver definido operodo de capitalizao, este ser entendido como sendo aquele apresentado no tempode aplicao do investimento.

Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento.

Supondo-se um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de juros compostos igual a idurante n perodos de capitalizao, temos:

Perodo Juros Montante

1o J1 = P i F1 = P + J1 = P + P i = P (1 + i) F1 = P (1 + i)

2o J2 = F1 i F2 = F1 + J2 = F1+ F1 i = F1 (1 + i) F2 = P (1 + i) (1 + i) F2 = P (1 + i)2

3o J3 = F2 i F3 = F2 + J3 = F2+ F2 i = F2 (1 + i) F3 = P (1 + i)2 (1 + i) F3 = P (1 + i)3

UNIDADE 5 55

Analisando a sequncia anterior, podemos deduzir que, para n perodos, teremos:

Fn = P (1 + i)n

onde:F = montante ou Valor FuturoP = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicao

Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)

Sabendo que, em qualquer investimento, o montante sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros,ento, podemos escrever:J

n = F

n P

Substituindo a frmula do montante temos que:J

n = P (1 + i)n P

Colocando o capital inicial em evidncia:

Jn = P [(1 + i)n 1]

onde:J

n = juros compostos

P = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicao

O fator (1 + i)n chamado de fator de capitalizao.

Importante

Essas frmulas sero vlidas exclusivamente se a taxa e o perodo estiverem namesma unidade de tempo (ano, ms, dia...)

Aplicao prtica

1) Qual o montante e os juros compostos de uma aplicao de R$ 4.000,00, a umataxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o perodo de capitalizaomensal?

Resoluo:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 100 = 0,025 a.m.n = 14 mSabemos que F

n = P(1 + i)n

F = 4.000 (1 + 0,025)14F = 4.000 (1,025)14 = 4.000 1,412974F = 5.651,90


Logo:J = F PJ = 5.651,90 4.000,00 = 1.651,90

Outra forma de calcular os juros:J = P[(1 + i)n 1]J = 4.000 [(1 + 0,025)14 1]J = 4.000 [0,412974]J = 1.651,90

Resposta: O montante do investimento de R$ 5.651,90 e os juros compostosforam de R$ 1.651,90.

Observe que na aplicao prtica anterior, o perodo (n) e a taxa (i) esto na mesma unidade de tempo (ms).

Taxas EquivalentesDenominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valorfuturo (montante), no mesmo intervalo de tempo.

Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente, utilizando a seguinte frmula:

1 + I = (1 + i)nonde:I = taxa do perodo maiori = taxa do perodo menorn = relao de converso entre os perodos envolvidos

Observao

Lembre-se de multiplicar o resultado, por 100 para apresentar a taxa percentual.

Aplicao prtica

1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Dados:Perodos envolvidos (ms e ano). Menor: ms Maior: anoRelao de converso: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + I = (1 + 2 100)12I = (1,02)12 1I = 1,268242 1

UNIDADE 5 57

I = 0, 268242 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 26,8242% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. de 26,8242% a.a.

2. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.?

Dados:Perodos envolvidos (ms e ano). Menor: ms Maior: anoRelao de converso: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 30 100 = (1 + i)121,30 = (1 + i)12Dividindo os ndices por 12, temos:(1,30)112 = 1 + i1,022104 1 = ii = 0,022104 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 2,2104% a.m.

Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. de 2,2104% a.m.

3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?

Dados:Perodos envolvidos (trimestre e ano). Menor: trimestre Maior: anoRelao de converso: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + I = (1 + 3 100)4I = (1,03)4 1I = 1,125509 1I = 0,125509 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 12,5509% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. de 12,5509% a.a.

4. Qual a taxa diria equivalente a 70% ao trimestre?

Dados:Perodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestreRelao de converso: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 70 100 = (1 + i)901,70 = (1 + i)90Dividindo os ndices por 90, temos:(1,70)190 = 1 + i1,005913 1 = ii = 0,005913 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,591328% a.d.

Resposta: A taxa diria equivalente a 70% a.t. de 0,591328% a.d.


Comentrios

A soluo de um problema de juros compostos passa pela observao das unidades,apresentadas na taxa e no perodo de capitalizao. Lembre-se sempre de convertera taxa para a mesma unidade do perodo de capitalizao ou transformar o tempopara o mesmo perodo de capitalizao.

Em problemas de juros compostos, muito mais fcil converter a unidade de tempo,ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e mude a unidade de tempo.

Regra Prtica para Estabelecer Taxas Equivalentes

Vamos estabelecer as taxas equivalentes de 3% ao ms. Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coeficiente de capitalizao. Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coeficiente unidade de tempo

desejada (bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

TaxaUnidade de Quantidade Elevar o Equivalente

Tempo Desejada de Meses Coeficiente Clculo 3% a.m.

bimestre 2 (1,03) subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09 % a.b.

trimestre 3 (1,03) subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27 % a.t.

quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41 % a.s.

ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58 % a.a.

Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando umataxa de 42,58% ao ano.

Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coeficiente de capitalizao). Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coeficiente a 1 (um) sobre a

unidade de tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Procure, atravs destes exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo,como trimestre, bimestre etc.

TaxaUnidade de Elevar o Equivalente

Tempo Desejada 1 Ano Tem Coeficiente Clculo 42,58% a.a.

meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.

bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

UNIDADE 5 59

Exemplo

Qual ser o montante de uma aplicao de R$ 4.000,00, a juros compostos, a umataxa de 2,5% ao ms, pelo prazo de 14 meses?

Resoluo:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 100 = 0,025 a.m.n = 14 mesesF = ?

Anlise inicial: a taxa efetiva est no mesmo perodo de capitalizao nonecessita de converso.

Logo:F = P (1 + i)nSubstituindo os dados j conhecidos, temos:F = 4.000 (1 + 0,025)14F = 4.000 (1,025)14F = 4.000 1,412974F = 5.651,90

Resposta: O montante (Valor Futuro) ser de R$ 5.651,90.

Aplicao prtica

1. Quais os juros compostos de uma aplicao de R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante8 meses?

Dados:P = 20.000,00J = ?n = 8 mesesi = 4% a.a.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade,portanto, devemos converter a taxa de ano para meses.Perodos envolvidos (ms e ano). Menor: ms Maior: anoRelao de converso: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 4 100 = (1 + i)121,04 = (1 + i)12(1,04)112 = 1 + i1,003274 1 = ii = 0,003274 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,327374% a.m.


Substituindo na frmula do montante, temos:F = P (1 + i)nF = 20.000 (1 + 0,003274)8F = 20.000 (1,003274)8F = 20.000 1,026492F = 20.529,84Logo:J = F P 20.529,84 20.000,00J = 529,84

Resposta: Os juros compostos so de R$ 529,84.

2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, em regime de juroscompostos, aplicado durante 6 meses, taxa de 3,5% ao ms?

P = 6.000F = ?i = 3,5 100 = 0,035 ao msn = 6 mesesComo F = P (1 + i)nLogo:F = 6.000 (1 + 0,035)6F = 6.000 (1,035)6F = 6.000 1,229255F = 7.375,53


3. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao ms, sabendo que aps8 meses rendeu um montante de R$ 19.752,14.

F = 19.752,14P = ?i = 3,5 100 = 0,035 ao msn = 8 mesesF = P (1 + i)n19.752,14 = P (1 + 0,035)819.752,14 = P (1,035)819.752,14 = P 1,31680919.752,14 1,316809 = P P = 15.000

Resposta: O capital aplicado foi de R$ 15.000,00.

UNIDADE 5 61

4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros compostos, por 2 dias, taxa de36% ao ano. Qual o montante obtido?

P = 12.000,00F = ?n = 2 diasi = 36% a.a.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de ano para dias.Perodos envolvidos (dia e ano). Menor: dia Maior: anoRelao de converso: 360 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 36 100 = (1 + i)3601,36 = (1 + i)360(1,36)1 360 = 1 + i1,000854 1 = ii = 0,000854 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,085449% a.d.

Substituindo na frmula do montante, temos:F = P (1 + i)nF = 12.000 (1 + 0,000854)2F = 12.000 (1,000854)2F = 12.000 1,001710F = 12.020,52

Resposta: O montante (Valor Futuro) de R$ 12.020,52.

5. Quais os juros de uma aplicao de R$ 1.500,00, a juros compostos de 1,13% aoms, durante um semestre?

F = ?P = 1.500i = 1,13 100 = 0,0113 ao msn = 1 semestre = 6 mesesComo F = P (1 + i)nEnto:F = 1.500 (1 + 0,0113)6F = 1.500 (1,0113)6F = 1.500 1,069744F = 1.604,62

Resposta: O valor dos juros de 1.604,62 1.500 = R$ 104,62.


6. Qual o montante de um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos de 2% ao ms,durante 1 dia?

P = 3.000,00F = ?n = 1 dia (Perodo de capitalizao = dirio)i = 2% a.m.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de ms para dia.

Perodos envolvidos (dia e ms). Menor: dia Maior: msRelao de converso: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 2 100 = (1 + i)301,02 = (1 + i)30(1,02)130 = 1 + i1,000660 1 = ii = 0,000660 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,066031% a.d.


Resposta: O montante (Valor Futuro) de R$ 3.001,98

7. Um capital de R$ 8.000,00 pode produzir, com juros compostos, a uma taxa de 3%ao quadrimestre, durante 2 trimestres, um montante de:

P = 8.000,00F = ?n = 2 trimestres = 6 meses (Perodo de capitalizao = mensal)i = 3% a.q.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de quadrimestre para ms.Perodos envolvidos (ms e quadrimestre). Menor: ms Maior: quadrimestreRelao de converso: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)

UNIDADE 5 63

Portanto: 1 + I = (1 + i)n 1 + 3 100 = (1 + i)4 1,03 = (1 + i)4 (1,03)14 = 1 + i 1,007417 1 = i i = 0,007417 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) i = 0,741707% a.m.


Resposta: O montante (Valor Futuro) que se pode produzir de R$ 8.362,69.

8. Qual o montante obtido em uma aplicao de juros compostos, de R$ 1.500,00,a uma taxa de 6% ao ano, durante 1 semestre?

P = 1.500,00F = ?n = 1 semestre = 6 meses (Perodo de capitalizao = mensal)i = 6% a.a.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de ano para ms.

Perodos envolvidos (ms e ano). Menor: ms Maior: anoRelao de converso: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 6 100 = (1 + i)121,06 = (1 + i)12(1,06)112 = 1 + i1,004868 1 = ii = 0,004868 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,486755 a.m.


Resposta: O montante (Valor Futuro) obtido de R$ 1.544,34.


9. Em uma aplicao de R$ 4.300,00, a juros compostos de 5% ao ms, durante 6dias, quanto se ganha de juros?

P = 4.300,00J = ?n = 6 dias (Perodo de capitalizao = dirio)i = 5% a.m.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de ms para dia.Perodos envolvidos (dia e ms). Menor: dia Maior: msRelao de converso: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 5 100 = (1 + i)301,05 = (1 + i)30(1,05)130 = 1 + i1,001628 1 = ii = 0,001628 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,162766% a.d.

Substituindo na frmula do montante, temos:F = P (1 + i)nF = 4.300 (1 + 0,001628)6F = 4.300 (1,001628)6F = 4.300 1,009806F = 4.342,16Logo:J = F P = 4.342,16 4.300,00J = 42,16

Resposta: Os juros so de R$ 42,16.

10. Uma aplicao em juros compostos de R$ 1.260,00, a uma taxa de 8% aoquadrimestre, durante 2 meses, gera um montante de?

P = 1.260,00F = ?n = 2 meses (Perodo de capitalizao = mensal)i = 8% a.q.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de quadrimestre para ms.Perodos envolvidos (ms e quadrimestre). Menor: ms Maior: quadrimestreRelao de converso: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)

UNIDADE 5 65

Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 8 100 = (1 + i)41,08 = (1 + i)4(1,08)14 = 1 + i1,019427 1 = ii = 0,019427 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 1,942655 a.m.

Substituindo na frmula do montante, temos:F = C (1 + i)nF = 1.260 (1 + 0,019427)2F = 1.260 (1,019427)2F = 1.260 1,039230F = 1.309,43

Resposta: O montante (Valor Futuro) gerado de R$ 1.309,43.

11. O Valor Futuro, obtido pela aplicao em juros compostos, de R$ 6.000,00, a umataxa de 1,5% ao trimestre, durante 3 dias, ser de?

P = 6.000,00F = ?n = 3 dias (Perodo de capitalizao = dirio)i = 1,5% a.t.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de trimestre para dia.Perodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestreRelao de converso: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 1,5 100 = (1 + i)901,015 = (1 + i)90(1,015)190 = 1 + i1,000165 1 = ii = 0,000165 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,016544% a.d.


Resposta: O Valor Futuro (montante) ser de R$ 6.002,98.


12. O montante obtido pela aplicao, em juros compostos de R$ 240,00, a uma taxa de3,5% ao ms, durante um semestre, ser de?

P = 240,00F = ?n = 1 semestre = 3 bimestres (Perodo de capitalizao = bimestral)i = 3,5% a.m.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de ms para bimestre.Perodos envolvidos (ms e bimestre). Menor: ms Maior: bimestreRelao de converso: 2 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + I = (1 + 3,5 100)21 + I = (1,035)2I = 1,071225 1I = 0,071225 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 7,122500% a.b.

Substituindo na frmula do montante, temos:F = P (1 + i)nF = 240 (1 + 0,071225)3F = 240 (1,071225)3F = 240 1,229255F = 295,02

Resposta: O montante (Valor Futuro) ser de R$ 295,02.

13. Aplicaram R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% ao ano, durante 3 anos. O valordos juros recebidos foi de:

P = 20.000,00J = ?n = 3 anos (Perodo de capitalizao = anual deduzido)i = 17% a.a. = 17 100 = 0,17 a.a.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa esto na mesma unidade; portanto,no h necessidade de converter a taxa.

Substituindo na frmula dos juros, temos:J = P [(1 + i)n 1]J = 20.000 [(1 + 0,17)3 1]J = 20.000 [(1,17)3 1]J = 20.000 [0,601613]J = 12.032,26

Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 12.032,26.

UNIDADE 5 67

14. O montante de R$ 1.300,00, aplicado em juros compostos, a uma taxa de 12% aosemestre, durante 5 semanas, ser de?

P = 1.300,00F = ?n = 5 semanas = 5 7 = 35 dias (Perodo de capitalizao = diria)i = 12% a.s.

Anlise inicial: perodo de capitalizao e taxa no esto na mesma unidade; portanto,devemos converter a taxa de semestre para dia.Perodos envolvidos (dia e semestre). Menor: dia Maior: semestreRelao de converso: 180 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n1 + 12 100 = (1 + i)1801,12 = (1 + i)180(1,12)1180 = 1 + i1,000630 1 = ii = 0,000630 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,062980% a.d.



Fixa

nd

o C

on

ceit

os


[1] Uma pessoa toma R$ 300,00 emprestados, a juros compostos de 3% ao ms, pelo prazo de 10 meses.O montante a ser devolvido de:

(a) R$ 365,19 (b) R$ 382,18 (c) R$ 397,22 (d) R$ 403,17 (e) R$ 421,31

[2] O montante de R$ 2.000,00, a juros compostos de 3,5% ao ms, durante 15 meses, ser de:

(a) R$ 3.220,38 (b) R$ 3.310,61 (c) R$ 3.350,70 (d) R$ 3.420,18 (e) R$ 3.580,91

[3] O montante de R$ 500,00, a juros compostos de 2,25% ao ms, no fim de 4 meses, ser de:

(a) R$ 546,54 (b) R$ 558,18 (c) R$ 561,91 (d) R$ 572,12 (e) R$ 584,19

[4] O montante de uma aplicao de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, taxa de 1,5% ao ms, ser de:

(a) R$ 8.921,37 (b) R$ 9.020,38 (c) R$ 9.091,19 (d) R$ 9.189,28 (e) R$ 9.237,24

[5] O montante que resulta do capital de R$ 750,00, colocado a juros compostos, taxa de 2,35% ao ms,no fim de 6 meses, de:

(a) R$ 851,71 (b) R$ 862,16 (c) R$ 873,18 (d) R$ 899,91 (e) R$ 902,32

[6] O montante produzido por R$ 1.200,00, em regime de juros compostos, taxa de 2% ao ms, durante8 meses, ser de:

(a) R$ 1.405,99 (b) R$ 1.410,21 (c) R$ 1.422,30 (d) R$ 1.431,12 (e) R$ 1.457,18


[7] O capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao ms, produziu o montante composto de R$ 405,75era de:

(a) R$ 320,00 (b) R$ 330,00 (c) R$ 340,00 (d) R$ 350,00 (e) R$ 360,00

[8] Um capital inicial, em regime de juros compostos, taxa de 2,5% ao ms, durante 4 meses, rendeu ummontante de R$ 794,75. Esse capital era de:

(a) R$ 720,00 (b) R$ 730,00 (c) R$ 740,00 (d) R$ 750,00 (e) R$ 760,00

[9] O montante que resulta de R$ 300,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos, ser de:

(a) R$ 1.320,92 (b) R$ 1.362,38 (c) R$ 1.400,85 (d) R$ 1.438,98 (e) R$ 1.480,86

[10] O montante de uma aplicao de R$ 800,00, taxa de 3% ao ms, pelo prazo de 14 meses, ser de:

(a) R$ 1.188,15 (b) R$ 1.210,07 (c) R$ 1.238,14 (d) R$ 1.294,15 (e) R$ 1.318,92

[11] Os juros de uma aplicao de R$ 2.000,00, a 4,5% ao ms, durante 8 meses, so de:

(a) R$ 802,98 (b) R$ 810,18 (c) R$ 824,20 (d) R$ 836,30 (e) R$ 844,20

[12] O montante produzido pelo capital de R$ 680,00, em regime de juros compostos, aplicado durante4 meses, taxa de 3,8% ao ms, de:

(a) R$ 708,30 (b) R$ 729,40 (c) R$ 789,40 (d) R$ 792,38 (e) R$ 802,38

[13] O montante obtido a partir de R$ 850,00, a juros compostos de 2,5% ao ms, durante 40 meses, de:

(a) R$ 2.198,32 (b) R$ 2.204,68 (c) R$ 2.218,48 (d) R$ 2.227,32 (e) R$ 2.282,30

[14] O capital aplicado, a juros compostos de 3,5% ao ms, sabendo-se que aps 8 meses rendeu ummontante de R$ 1.975,22, era de:

(a) R$ 1.200,00 (b) R$ 1.400,00 (c) R$ 1.500,00 (d) R$ 1.600,00 (e) R$ 1.700,00

[15] O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado, por 4 meses, a 20% ao ano. O valor futuro (montante)gerado ser de:

(a) R$ 1.912,79 (b) R$ 2.318,94 (c) R$ 2.468,15 (d) R$ 2.498,13 (e) R$ 2.588,18


[16] O montante de uma aplicao de R$ 12.000,00, taxa de juros de 22% ao ano, durante 8 meses, ser de:

(a) R$ 13.701,07 (b) R$ 16.521,37 (c) R$ 16.692,30 (d) R$ 17.308,21 (e) R$ 17.492,38

[17] Aplicando-se certo capital durante 2 anos, taxa de 24% ao ano, resgatou-se R$ 3.984,62 de valorfuturo (montante). O valor do capital aplicado era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.591,45 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00

[18] O capital de R$ 920,00 foi aplicado, durante 1 ano e 9 meses, taxa de 36% ao ano. O valor futuro(montante) foi de:

(a) R$ 1.575,73 (b) R$ 1.642,94 (c) R$ 1.662,19 (d) R$ 1.672,18 (e) R$ 1.681,79

2 matem financ basica 2010

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