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2. Mecanismo.

PFC de José Manuel Álvarez Prieto. Mecanismo.

17

2.0 Introducción.

En este capítulo estudiaremos el mecanismo cinemático que hace posible obtener un par aprovechable en el eje de un motor Stirling.

Hay varios tipos disponibles pero todos intentan optimizar el ηinterior (la relación que hay entre el área del diagrama p-V real y el teórico que se obtendría entre las temperaturas máxima y mínima del ciclo real). Ello se consigue mediante una sincronización adecuada de los movimientos de los dos pistones. Los tipos más habituales son:

- Biela-manivela. - Yugo de Ross. - Rómbica. - Yugo escocés.

Figura 2.1. Biela-manivela. Figura 2.2. Yugo de Ross.

Figura 2.3. Transmisión rómbica. Figura 2.4. Yugo escocés.

Nosotros hemos optado por usar el tipo “biela-manivela” por ser el de mayor difusión en máquinas pequeñas y estar ampliamente estudiado. Comenzaremos por el estudio cinemático del mecanismo, que implica calcular los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de puntos concretos de los eslabones que lo componen. Continuaremos con un prediseño de las piezas usando elementos geométricos simples con los que estimaremos la masa m, la posición del centro de gravedad CDG y la inercia I de los distintos eslabones. Terminaremos con el estudio dinámico del mecanismo, que incluye la reducción de los eslabones a masas puntuales sometidos a movimientos simples alternativos o circulares.

Impondremos un par resistente (dependiente de la velocidad) tal que se equilibre con el par motor en los alrededores de 3000 rpm. Supondremos por tanto en el prediseño que la velocidad angular del cigüeñal es constante de 3000 rpm.

La información obtenida mediante el estudio dinámico nos ha de servir para realizar un prediseño del volante de inercia. Este volante sirve para almacenar energía en las fases del ciclo en las que el trabajo neto es positivo y lo entrega al ciclo en las fases en las que el trabajo es negativo. Sirve por tanto para dar continuidad de giro al motor y uniformar el par durante el ciclo.


18

2.1 Cinemática.

2.1.1 Consideraciones iniciales.

Comenzaremos este estudio teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

- Todo el prediseño se hace suponiendo una velocidad angular ω constante de 3000 rpm.

- Nuestro motor tiene 2 pistones contrapuestos moviéndose en el mismo cilindro. - Cada pistón está conectado a su correspondiente sistema de biela-manivela. - Ambos cigüeñales giran coordinadamente en sentido horario mediante un

mecanismo ideal que no introduce inercia al sistema. Alternativamente podemos considerar incluidas en el volante de inercia todas las inercias de giro del mecanismo.

- Cada sistema biela-manivela tiene su propio sistema de referencia en el cual se ha definido un sentido positivo local, que aparece en la figura siguiente.

- Consideramos cada sistema biela-manivela como independiente para el estudio de las fuerzas y los acoplamos para el estudio del par motor.

Como en los motores habituales de combustión interna, el movimiento alternativo del pistón se transforma en movimiento de rotación del eje, cigüeñal, mediante el mecanismo biela-manivela.

Figura 2.5. Esquema del motor Stirling en su posición inicial.

Figura 2.6. Esquema de un motor convencional de combustión interna.

O

A

φ

θ

B

R

L


19

Este mecanismo, según nos enseña la cinemática, consta de 4 eslabones: La manivela OA de longitud R, la biela AB de longitud L, el pistón y la carcasa del motor, que se considera inmóvil. El punto O representa el punto de corte del eje de giro del cigüeñal con el plano formado por la biela y la manivela. La biela va articulada por su pie con el bulón del pistón (punto B) y por su cabeza con la muñequilla del cigüeñal (punto A). La manivela es uno de los brazos del cigüeñal que unen los muñones de apoyo del mismo a las muñequillas.

2.1.2 Movimiento de la manivela

La manivela está unida rígidamente al eje del cigüeñal formando parte de él, por lo que su movimiento será de giro y la velocidad angular ω podrá ser variable. Los desplazamientos angulares respecto de su posición cuando el pistón se halla en el PMS, serán representados con el ángulo θ.

2.1.3 Movimiento del pistón.

El pistón evoluciona en el interior del cilindro con un movimiento alternativo de trayectoria rectilínea y de velocidad y aceleración no constante.

2.1.3.1 Desplazamiento.

Nos vamos a referir a la figura anterior empleando la notación allí indicada. Por tanto cuando la manivela haya girado un ángulo θ, el pistón se habrá desplazado desde el PMS una distancia x. Vamos a expresar el desplazamiento del pistón en función del desplazamiento angular θ de la manivela

=+−=−== )( CBOCOBOBOBBBx PMSPMSPMS

⋅+−+⋅=⋅+⋅−+= φθφθ coscos1)coscos(R

L

R

LRLRLR .

Si hacemos λ = R/L (relación manivela-biela) podemos expresar la ecuación de la forma

⋅+−+⋅= φλ

θλ

cos1

cos1

1Rx .

En el triángulo ACB se cumple

φsen⋅= LAC ,

y en el ACO

θsen⋅= RAC ,

de donde, igualando ambas expresiones, resulta

θβ senRLsen = ; θλβ sen=sen ;

θλββ 222 sen1sen1cos −=−= .

Sustituyendo, finalmente, en la expresión de x, obtenemos


20

que es la expresión exacta del desplazamiento del pistón, en función del ángulo.

Imponiendo una longitud del brazo del cigüeñal R = 12.5 mm y una longitud de biela L = 50 mm (λ = R/L = ¼) obtenemos la siguiente gráfica:

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Ángulo θ en grados

Des

plaz

amie

nto

del p

istó

n en

mDesplazamiento del pistón en m

Figura 2.7. Desplazamiento del pistón en mm frente al ángulo girado por el cigüeñal en grados.

2.1.3.2 Velocidad

La velocidad del pistón, como ya se indicó anteriormente, no es constante y se define una velocidad instantánea x& como la derivada respecto del tiempo del desplazamiento x, es decir

dt

dxx =& .

Para calcularla derivamos la expresión del desplazamiento y obtenemos

⋅−⋅+−+⋅= θλλ

θλ

22 sen11

cos1

1Rdt

dx& ;

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=

θλθθλθω

22 sen1

1cossensenRx& ,

donde se ha tenido en cuenta que dθ/dt = ω. Esta expresión puede simplificarse si se tiene en cuenta que

θλβ sensen = y θλβ 22sen1cos −= .

quedando finalmente

φθφφθω

φθφθω

cos

cossencossen

cos

1cossensen

⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅= RRx& ;

( )φ

φθωcos

sen +⋅⋅= Rx& .

⋅−⋅+−+⋅= θλλ

θλ

22 sen11

cos1

1Rx ,


21

Teniendo en cuenta que ( )θλφ senarcsen ⋅= , podemos expresar la velocidad x& en función solamente de θ

( )

−⋅+⋅⋅=

2sen1

2sen

2sen

θλθλθωRx& .

Con ella se ha obtenido la siguiente gráfica (suponiendo que ω es constante e igual a 3000 rpm, R = 12.5 mm, L = 50 mm y λ = R/L = ¼):

0 50 100 150 200 250 300 350 400-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Vel

ocid

ad d

el p

istó

n en

m/s

Velocidad del pistón en m/s

Figura 2.8. Velocidad del pistón en m/s frente al ángulo girado por el cigüeñal en grados.

2.1.3.3 Aceleración.

Definimos la aceleración instantánea del pistón de la forma

dt

xdx

&&& = .

Derivando la expresión exacta de la velocidad respecto del tiempo y teniendo en cuenta que

θλφ sensen ⋅= ; ( ) θωλθλφ cossensen ⋅⋅=⋅=dt

d

dt

d;

θλφ 22 sen1cos ⋅−= ; φθθωλθλφ cossencossen1cos 222 ⋅⋅⋅−=⋅−=dt

d

dt

d;

( )

+⋅⋅=+⋅⋅=φφθθω

φφθω

cos

sencossen

cos

senRRx& ,

resulta

dt

dR

dt

dR

dt

xdx

ωθθθθ

φφθθω ⋅

⋅+⋅+

+⋅⋅==cos

sencossen

cos

sencossen

&&& ,

desarrollando el primer término

dt

dRRx

ωθθθθ

φφ

φλ

φθθθω ⋅

⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅−⋅⋅=

cos

sencossen

cos

sen

cos

1cos

cos

sensencos 3

222&&

y simplificando

,


22

( ) αθθθθ

φθλ

φφθω ⋅

⋅+⋅+

⋅++⋅⋅=

cos

sencossen

cos

cos

cos

cos3

22 RRx&& .

Teniendo en cuenta que ( )θλφ senarcsen ⋅= , podemos expresar la aceleración x&& en función solamente de θ

( )

( )[ ]( )( )

⋅−

⋅−⋅−⋅⋅−⋅+

⋅−⋅+⋅

⋅=

2

322

42222

2

sen

sencos21cos

sen1

2sen

2sen

θ

θθθω

θλθλθα

RL

RLRRx&& .

La gráfica correspondiente a esta expresión es (suponiendo que ω es constante e igual a 3000 rpm, R = 12.5 mm, L = 50 mm y λ = R/L = ¼):

2.1.4 Movimiento de la biela.

El movimiento de la biela es un movimiento complejo que se compone de un movimiento de traslación y de otro de giro pendular alrededor del eje del bulón que la une al pistón. Nos vamos a limitar aquí al estudio de la aceleración angular de la biela producida por el giro de la biela alrededor de dicho eje, que es perpendicular al plano sobre el que se mueve y paralelo al cigüeñal. Esta aceleración, que denominaremos εb, es la segunda derivada del ángulo φ respecto del tiempo, es decir

2

2

dt

db

φε = .

Teniendo en cuenta que, θλφ sensen ⋅= el desplazamiento angular de la biela será

( )θλφ senarcsen ⋅= ,

cuya evolución es

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1000

-500

0

500

1000

1500

2000


Ace

lera

ción

del

pis

tón

en m

/s2

Aceleración del pistón en m/s2

Figura 2.9. Aceleración del pistón en m/s2 frente al ángulo girado por el cigüeñal en grados.


23

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Ángulo θ en gradosÁng

ulo

φ en

rad

Desplazamiento angular de la biela φ en rad

Figura 2.10. Desplazamiento angular de la biela frente al ángulo girado por el cigüeñal.

Derivando β respecto a t, obtendremos la velocidad angular de la biela

ωθλ

θλω ⋅⋅−

⋅=22 sen1

cosb ,

cuya evolución, suponiendo una ω constante de 3000 rpm, es

0 50 100 150 200 250 300 350 400-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80


Vel

ocid

ad a

ngul

ar ω

b en

rad/

s

Velocidad angular de la biela ωb en rad/s

Figura 2.11. Velocidad angular de la biela frente al ángulo girado por el cigüeñal.

Y derivando nuevamente obtendremos la aceleración angular de la biela

( ) 444 3444 21constante ω si cero hace se terminoEste

22

2

2223

22

23

sen1

cos

sen1

sen

sen1

sencos

=

⋅⋅−

⋅+⋅

⋅−⋅−

⋅−

⋅⋅= αθλ

θλωθλ

θλ

θλ

θθλεb ,

cuya evolución es

0 50 100 150 200 250 300 350 400-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4


Ace

lera

ción

ang

ular

εb

en rad

/s2

Aceleración angular de la biela εb en rad/s2

Figura 2.12. Aceleración angular de la biela frente al ángulo girado por el cigüeñal.


24

2.1.5 Comparación del movimiento de pistón con λ = 1/4 y con λ = 0. Resulta instructivo hacer la comparación del movimiento del pistón con el mecanismo de biela-manivela actual, en el que R/L = ¼ y el que tendría si dicho mecanismo fuese sustituido por el de yugo escocés y manivela. Este último mecanismo procura al pistón un desplazamiento senoidal y equivale a una desnaturalización del mecanismo de biela- manivela tradicional en el que la longitud de la biela sería L = ∞ y por tanto la relación R/L = 0

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


x/r

Desplazamiento adimensional del pistón

r/L=1/4

r/L=0

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


x·/(r*ω

)

Velocidad adimensional del pistón

r/L=1/4

r/L=0

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


x··/(r

* ω2 )

Aceleración adimensional del pistón

x/L=1/4

x/L=0

Figura 2.13. Desplazamiento, velocidad y aceleración adimensional del pistón en función del ángulo

girado por el cigüeñal.


25

2.2 Determinación de masa, CDG y Icdg de biela y cigüeñal.

2.2.1 Consideraciones iniciales.

Partiendo de las dimensiones principales de la máquina tales como diámetro del cilindro, carrera, longitud de biela y radio del codo del cigüeñal, modelaremos la biela y el cigüeñal. Para ello crearemos estas formas complejas a partir de una combinación de formas simples. Por ejemplo, la biela se considerará formada por un prisma trapezoidal unido en sus extremos con dos cilindros huecos, y los brazos del cigüeñal por un prisma trapezoidal unido en sus extremos por medios cilindros.

Figura 2.14. Biela y cigüeñal tomados para el prediseño.

Es fácil calcular los parámetros dinámicos para cada una de estas formas simples, y combinarlas después. Los pasos serán como sigue (se repiten para cada eslabón):

1- Calcular volumen, masa, ubicación del CDG y momentos de inercia con respecto al CDG local de cada parte del eslabón integrado.

2- Hallar la ubicación del CDG del conjunto de las partes en el eslabón. 3- Aplicar el teorema de Steiner para transferir los momentos de inercia de cada

parte al CDG compuesto común para cada eslabón. Luego se suman los momentos de inercia individuales transferidos de las partes, con el fin de lograr el momento de inercia total del eslabón respecto a su CDG compuesto.

Los pasos 1 a 3 originarán los datos de configuración de eslabón para cada elemento, necesarios para el análisis de fuerzas dinámicas.

4- Realizar el análisis de fuerzas dinámicas.


26

H = Altura

P = Profundidad

2.2.2 Volúmenes que intervienen en los eslabones cinemáticos simplificados. 2.2.2.1 Cilindro hueco.

∫ ∫ ∫−

−⋅⋅⋅= 2

2

4

40int

22

22int

ext extD

D

zD

zD

Pdzdydxmasa ρ ;

( )∫ ∫ ∫−

−⋅⋅⋅+⋅= 2

2

4

40

22

int

22

22int

ext extD

D

zD

zD

P

cdg dzdydxzyI ρ .

masa CDG Icdg

Cilindro hueco PDDext ⋅

−⋅⋅4

2int

2

πρ En su centro geométrico

PDDext ⋅

+⋅⋅32

4int

4

πρ

2.2.2.2 Prisma trapezoidal.

b = base menor

B = Base mayor

y

z

y

x

P = Profundidad

Figura 2.15. Dimensiones tomadas en el cilindro hueco.

Figura 2.16. Dimensiones tomadas en el prisma trapezoidal.


27

( )

( )

∫ ∫ ∫+

⋅⋅−

−⋅

⋅− ⋅⋅⋅=H

B

H

zBb

B

H

zbB

Pdzdydxmasa

0

22

220

ρ ;

( )( )

( )

masa

dzdydxz

zcdg

HB

H

zBb

B

H

zbB

P

∫ ∫ ∫+

⋅⋅−

−⋅

⋅− ⋅⋅⋅⋅=

0

22

220

ρ;

( )( )

( )

∫ ∫ ∫+

⋅⋅−

−⋅

⋅− ⋅⋅⋅+⋅=H

B

H

zBb

B

H

zbB

P

x dzdydxzyI0

22

220

22ρ . � 2zmasaII xcdg ⋅−= .

masa ( )

PHbB ⋅⋅+⋅

2ρ

CDG ( )z ( ) H

bB

bB⋅

+

+⋅⋅ 2

1

32

Prisma

trapezoidal

Icdg ( ) ( ) PHbBbBHBHb ⋅⋅

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 22

161

27

1131 ρ

2.2.2.3 Medio cilindro.

∫ ∫ ∫−

−−⋅⋅⋅=

P R zR

zRdxdzdymasa

0 0

22

22ρ ;

( ) ∫ ∫ ∫−

−−⋅⋅⋅⋅=

P R zR

zRdxdzdyzzcdg

0 0

22

22ρ ;

( )∫ ∫ ∫−

−−⋅⋅⋅+⋅=

P R zR

zRx dxdzdyzyI0 0

2222

22ρ . � 2zmasaII xcdg ⋅−= .

masa CDG ( )z Icdg

Medio Cilindro PD ⋅

⋅⋅⋅

42

1 2

πρ π⋅

⋅3

2 D

⋅−⋅⋅⋅⋅ 2

4

18

1

64

1

ππρ PD

R = radio

P = Profundidad

z

y

Figura 2.17. Dimensiones tomadas en el medio cilindro.


28

2.2.2.4 Cilindro.

∫ ∫ ∫−

⋅⋅⋅= 2

0

4

0 0

22

ext extDz

DP

dzdydxmasa ρ ;

( )∫ ∫ ∫−

⋅⋅⋅+⋅= 2

0

4

0 0

222

2ext extD

zD

P

cdg dzdydxzyI ρ ;

masa CDG Icdg

Cilindro PD ⋅⋅⋅4

2

πρ En su centro geométrico P

D ⋅⋅⋅32

4

πρ

El momento de inercia del brazo del cigüeñal se supone integrado en la inercia del volante. Dicho volante se calcula en su apartado correspondiente. Para el pistón supondremos, a efectos dinámicos, que es simplemente una masa puntual con movimiento alternativo. Esto se verá al estudiar las masas reducidas en el capítulo de dinámica.

z

x

P = Profundidad y

Figura 2.18. Dimensiones tomadas en el cilindro.


29

2.2.3 La biela.

Supondremos para el prediseño que la biela estará compuesta, como se ve en la figura, por un prisma trapezoidal y dos cilindros huecos, uno en cada extremo del prisma. Las medidas impuestas en milímetros son: Pie de biela (verde): Cuerpo de biela (rojo): Cabeza de biela (azul): diámetro interior =5 base menor =5 diámetro interior = 8 diámetro exterior =10 base mayor =8 diámetro exterior =14 profundidad =5 profundidad = 2 profundidad =5 altura =38

distancia entre centros = 10/2 + 38 + 14/2 = 50

Las proporciones elegidas para los distintos volúmenes de la biela han sido inspiradas por la de una real procedente de una Vespa (escalando las dimensiones). Supondremos que la biela está realizada con un acero de densidad ρ = 7470 kg/m3. Con ellos tendremos los siguientes resultados:

Pie de biela (verde). Cuerpo de biela

(rojo). Cabeza de biela

(azul). masa (g) 2.200 3.690 3.872

CDG (mm) en su centro 17.538 (respecto base mayor)

en su centro

Icdg (kg·m2) (respecto a CDG local)

3.438·10-8 4.498·10-7 1.258·10-7

Sumando masas individuales calculamos la masa total de la biela. Hallamos el centro de gravedad de la biela completa y, posteriormente, el momento de inercia respecto a ese CDG mediante Steiner (recordemos que los momentos de inercia obtenidos hasta ahora estaban calculados respecto al CDG local de cada parte). Con todo ello obtenemos los siguientes resultados:

biela masa (g) 9.762

CDG (mm) (respecto a un eje que pase por el centro de la cabeza de biela) 20.544

Icdg (kg·m2) (respecto a CDG de la biela completa) 4.212·10-6

Figura 2.19. Biela.


30

2.2.4 El cigüeñal.

Estará compuesta, como se ve en la figura, por dos brazos de cigüeñal (en verde, rojo y azul), eje de cigüeñal (en amarillo) y muñón (en gris). Cada brazo de cigüeñal está simplificado como la combinación de un prisma trapezoidal (en rojo) y dos medios cilindros (uno verde y otro azul).

Y las medidas impuestas en milímetros son: medio cilindro (verde): trapecio (rojo): medio cilindro (azul): diámetro = 14 base menor = 14 diámetro = 16 profundidad = 5 base mayor = 16 profundidad = 5 altura = 12.5 profundidad = 5 cilindro de muñón (gris): diámetro = 8 profundidad = 5 Con ellos tendremos los siguientes resultados (para 1 brazo):

Medio cilindro

(verde).

Prisma trapezoidal

(rojo).

Medio cilindro (azul).

Cilindro muñón (gris).

masa (g) 2.875 7.003 3.755 1.877

CDG (mm) 2.971 (respecto al corte)

6.111(respecto base mayor)

3.395 (respecto al corte)

en su centro

Icdg (kg·m2) (respecto a CDG local)

4.506·10-8 2.229·10-7 7.687·10-8 1.502·10-8

Nuevamente, como cuando se analizó la biela, podemos calcular la masa, el CDG y el momento de inercia de todo el cigüeñal con los datos anteriores. Los resultados los presentamos en forma de tabla:

cigüeñal masa (g) 29.143

CDG (mm) (respecto al eje de rotación del cigüeñal) 5.920

Icdg (kg·m2) (respecto al eje de rotación del cigüeñal) Se supone integrada en el volante de

inercia

Figura 2.20. Cigüeñal.


31

2.3 Dinámica del mecanismo biela-manivela

2.3.1 Reducción de las masas del mecanismo biela-manivela. 2.3.1.1 Consideraciones iniciales. Para acometer el cálculo de los esfuerzos que actúan sobre el motor alternativo y de las cargas sobre los cojinetes del mismo, es necesario conocer las fuerzas que actúan sobre el mecanismo biela-manivela, es decir, la dinámica del motor.

Las fuerzas que actúan sobre el mecanismo biela-manivela serán las debidas a la presión de los gases, las de inercia de las piezas en movimiento y las de rozamiento. En motores que giran a elevado régimen las fuerzas de inercia son las más importantes, superando a las de los gases y a las de fricción. En general, en este estudio, las fuerzas de fricción se desprecian por ser comparativamente mucho más pequeñas que las otras. Para el estudio de la dinámica del motor, al igual que en el estudio cinemático, mantendremos la hipótesis de que la velocidad de giro del cigüeñal, ω, es constante. El mecanismo compuesto por el pistón, la biela y el cigüeñal, es un mecanismo plano y puede reducirse a una serie de masas puntuales unidas entre sí por barras rígidas sin masa. Esta reducción facilita de forma importante el estudio dinámico. Comenzaremos distinguiendo tres tipos de masas: masa de la biela, masas con movimiento de rotación y masas con movimiento alternativo. La reducción de una masa a una o varias masas puntuales, ha de cumplir las siguientes condiciones:

a) Equivalencia estática - La suma de las masas puntuales ha de ser igual a la masa total

∑ = totali mm .

- El centro de gravedad de las masas puntuales debe coincidir con el de la pieza o piezas reales, es decir

∑ = 0ii rmr

,

donde r i son las distancias de las masas al centro de gravedad. Esta ecuación vectorial se traducirá en 1, 2 ó 3 algebraicas, según que el sistema sea lineal, plano o espacial.

rB

rA

L

mB

mG

mA

Pie de biela

Cabeza de biela

Figura 2.21. Reducción de la biela a tres masas equivalentes.


32

b) Equivalencia dinámica Es decir, la suma de los momentos de inercia de las masas puntuales respecto a un eje que pase por el centro de gravedad de la pieza, debe ser igual al de la pieza real respecto a dicho eje

∑ = gii Irm 2 ,

donde Ig es el momento de inercia de la pieza real respecto al centro de gravedad. r i sería el radio de Inercia.

2.3.1.2 Reducción de la masa de la biela.

La biela realiza un movimiento complejo compuesto de un movimiento de desplazamiento longitudinal y de un movimiento pendular. Por ello conviene reducir su masa según un sistema lineal, lo que conduce a que tengan que cumplirse las tres ecuaciones siguientes

∑ = bi mm ;

∑ = 0rmi

r;

∑ = bii Irm 2 ,

donde: mb - masa total de la biela. Ib – momento de inercia de la biela respecto a su c.d.g.

Este sistema de ecuaciones estará determinado si el número de masas es de tres. Teniendo en cuenta que generalmente la biela es simétrica, supondremos unas masas sobre el eje de simetría y ubicadas en la cabeza, en el centro de gravedad y en el pie de biela, respectivamente. En la figura anterior se representa la disposición que acabamos de indicar. Refiriéndonos a dicha figura, el sistema de ecuaciones genérico anterior se concentrará en

bGBA mmmm =++ ;

( ) 0=−− ABAA rLmrm ;

( ) bABAA IrLmrm =−+ 22 ,

de donde

Lr

Im

A

bA =

( ) LrL

I

LrL

Im

A

b

A

bB −

=−

=2

( )AA

bbG rLr

Imm

−=

;

;

.


33

En general, la masa mG suele ser insignificante frente a mA y mB, por lo que podría despreciarse, o bien, como vamos a hacer, repartirla proporcionalmente en dos masas situadas en A y B de la forma siguiente

( )

GBGAG

AGGB

AGGA

mmm

L

rmm

L

rLmm

+=⇒

=

−=

,

con lo cual

GAAA mmm +=' ;

GBBB mmm +=' ,

y no existirá mG.

Sustituyendo en estas expresiones los valores de mA, mB, mGA y mGB, anteriormente calculados, tendremos

( ) ( )

( )( )

L

rLm

LrLr

rLI

L

rLm

Lr

Im A

bAA

AbAB

A

bA

−=−−−−+=' ;

( )( )

( ) L

rm

LrLr

rI

L

mr

LrL

Im A

bAA

AbA

A

bB =

−−+

−=' .

Esto equivale a un simple equilibrado estático, pues, como comprobaremos a continuación, la condición de equilibrio dinámico no se cumple, debido a que el momento de inercia resulta diferente al de la biela real.

- Momento de inercia real: ∫=Vb mrdrI .

- Momento de inercia simplificado: ( )2'2''ABAAb rLmrmI −+= .

Esta diferencia en el momento de inercia será equivalente a aplicar un par exterior de valor

( ) ( ) bbbbb IIdt

dII εφ ⋅−=⋅−=Γ '

2

2' ,

en donde εb es la aceleración angular de la biela que vimos en el capítulo de cinemática. Expresándolo en función de θ queda

( )( )

⋅⋅−

⋅+⋅

⋅−⋅−

⋅−

⋅⋅⋅′−=Γ

=444 3444 21

constante si anula se términoEste

22

2

2223

22

23

sen1

cos

sen1

sen

sen1

sencos

ω

αθλ

θλωθλ

θλ

θλ

θθλbb II .

Posteriormente comprobaremos que su valor es despreciable.


34

2.3.1.3 Reducción de las masas giratorias.

Además de la masa puntual mA, perteneciente a una parte de la masa de la biela situada sobre el eje de la muñequilla del cigüeñal (punto B), existen las siguientes masas con movimiento giratorio, a saber; masa de los brazos, de los apoyos y de la muñequilla del cigüeñal. Reduciremos estas masas a otras dos situadas en el eje de los apoyos y en el de la muñequilla del cigüeñal, puntos O y A de la figura siguiente, respectivamente, según se explica a continuación:

- La masa de los apoyos se reduce al eje del cigüeñal. - La masa de la muñequilla se reduce al eje de la misma. - La masa no equilibrada del brazo se reduce a dos masas una, mbrO, situada en O,

y la otra mbrA, situada en A.

Para calcular estas dos masas establecemos las dos ecuaciones que representan la equivalencia estática. La equivalencia dinámica no es necesaria establecerla, debido a que el movimiento de la manivela OA es de giro a velocidad ω constante. Por tanto

brAbrObr mmm += ;

( )R

rRmm o

brbrO

−= ,

y resolviendo el sistema de ecuaciones

R

rmm o

brbrA = ,

en donde ro es la distancia desde O al centro de gravedad de los brazos y mbr la masa no equilibrada de uno de ellos. El sistema de masas giratorias quedará reducido, por lo tanto, al siguiente

- Masas en el punto O

brOORO mmm 2+= .

- Masas en el punto A

mbrAARA mmmm ++= 2 .

2mbr

R

rO

mO+2mbrO

mbrAm mm 2+

mO

mm

Figura 2.22. Reducción del cigüeñal a dos masas equivalentes.


35

donde los brazos se han supuesto simétricos y mo y mm representan: mo – masa reducida de los apoyos. mm – masa reducida de la muñequilla.

2.3.1.4 Reducción de las masas con movimiento alternativo.

Las masas animadas de movimiento alternativo son la parte de masa de la biela, reducida al punto B, denominada mR y la masa mp del pistón, incluyéndose en esta última los segmentos, el bulón y las demás piezas que se mueven unidas a aquél. El movimiento rotativo que pueda tener el bulón se considera despreciable, siendo nulo cuando dicho bulón esté fijo al pistón y flotante en el pie de la biela, o bien puede sumarse a la masa de la biela en el caso contrario.

Por lo tanto, las masas con movimiento alternativo serán

PBRB mmm += . 2.3.1.5 Resumen de reducción de masas. Como resumen podemos observar que son tres los puntos de masa a considerar con movimiento estacionario (ω = cte) y uno con movimiento complejo, a saber:

- Masas con movimiento alternativo

PBRB mmm += .

- Masas con movimiento giratorio

mbrAARA mmmm ++= 2 .

- Masas con movimiento de rotación sobre su eje

brOORO mmm 2+= .

- Masa con movimiento complejo

mG = masa reducida de la biela situada en su centro de gravedad. Esta masa suele despreciarse o repartirse entre las mA y mB tal como se explicó anteriormente.


36

En las tablas siguientes se encuentran los resultados de la reducción de las masas. En ellas se ha escogido como material para la biela y el cigüeñal un acero de densidad ρ = 7470 kg/m3 y para el pistón un aluminio de densidad ρ = 2702 kg/m3:

Masas con movimiento alternativo. Masa Descripción Valor (en gramos)

mRB masa reducida al punto B =+′ PB mm 50.43

Bm′ parte de la masa de la biela

reducida al punto B 4.01

mP masa del pistón 46.42

Masas con movimiento giratorio. Masa Descripción Valor (en gramos)

mRA masa reducida al punto A =++′ mbrAA mmm 2 19.55

Am′ parte de masa de la biela reducida

al punto A 5.75

mbrA masa del brazo reducida al punto A

5.96

mm masa de la muñequilla 1.88

Masas con movimiento de rotación sobre su eje. Masa Descripción Valor (en gramos) mRO masa reducida al punto O mO + 2mbrO (es innecesaria)

mO masa reducida de los apoyos (innecesaria)

mbrO masa del brazo reducida al punto

O 7.67

Masas con movimiento complejo. Masa Descripición

mG masa reducida de la biela situada en su centro de

gravedad (se ha repartido ya entre mA y mB)

Podemos resumir el proceso anteriormente descrito con el esquema de la página siguiente:


37

Sistema de ecuaciones para la biela:

∑∑∑

=⋅

=⋅

=

bii

i

bi

Irm

rm

mm

2

0 ( )( ) bABAA

ABAA

bGBA

IrLmrm

rLmrm

mmmm

=−+

=−−=++

22

0

Par exterior para la biela:

( )22ABAAb

vb

rLmrmI

mrdrI

−′+′=′

= ∫

Reducción de masas.

rO R

mO+2mbro

mbrAmARA mmmm 2++′=

mRB=mB’+mP

Γ=Par exterior

mp = la masa del pistón. L

Lr

Im

A

bA =

( )AA

bbG rLr

Imm

−−=

( )A

bB rLL

Im

−=

rA

mA’=mA+mGA=( ) ( )

L

rLm

L

rLm Ab

AG −=

−

mB’=mB+mGB=( )

L

rLm AG −=

L

rm A

b

Γ=Par exterior=( ) bbb II εε′−

mO+2mbro=( )

R

rRmm o

bro

−− 2

R

rmmmm o

brmmbrAm 22 +=+

2mbr

mO

mm

Figura 2.23. Resumen de la reducción de los eslabones a masas equivalentes.


38

2.3.2 Fuerzas generadas por el movimiento de un motor monocilíndrico.

Durante el funcionamiento de un motor alternativo, debido al movimiento relativo de unas piezas respecto a otras, se generan diversas fuerzas que pueden clasificarse en dos grupos: fuerzas de inercia y fuerzas de la presión de los gases (las fuerzas de fricción son considerablemente inferiores a las otras y no serán tenidas en cuenta aquí). El estudio y el cálculo de estas fuerzas se llevará a cabo suponiendo la velocidad de giro ω constante de 3000 r.p.m.

2.3.2.1 Fuerzas de inercia.

Entendemos como fuerzas de inercia las que se generan a causa de la aceleración de las masas en movimiento. Las podemos clasificar en fuerzas de inercia de masas con movimiento giratorio, fuerzas de inercia de masas con movimiento rectilíneo y fuerzas de inercia debidas a la aceleración angular de la biela.

a) Fuerza de inercia de las masas giratorias.

Es debida a la aceleración de las masas reducidas al punto A, mRA. Distinguimos entre la fuerza debida a la aceleración centrípeta Fc (que sigue la dirección OA en sentido de O a A)

2ω⋅⋅= RmF RAc ,

y la fuerza debida a la aceleración tangencial debida a la irregularidad de ω (que es tangencial a la trayectoria y por tanto perpendicular a la manivela OA). Esta fuerza contribuye al par motor. Su expresión, en módulo, es

α⋅⋅−= RmF RAct .

Donde α es la aceleración angular dt

dωdel cigüeñal.

El esquema es el siguiente:

θ

φ

A

αRmF RAct ⋅⋅=

αRmF RAct ⋅⋅= O

B

R

Figura 2.24. Esquema de las fuerzas de inercia de las masas giratorias.


39

b) Fuerza de inercia de las masas con movimiento rectilíneo.

La fuerza de inercia de las masas con movimiento rectilíneo es debida a la aceleración lineal que sufren las masas animadas de dicho movimiento al funcionar el motor. Dicha fuerza actúa siempre en la dirección del movimiento, es decir, siguiendo el eje del pistón, recta BO, y en el sentido contrario al de la aceleración en cada instante. Su valor será

BRBa amF ⋅−= ,

siendo aB la aceleración del punto B, calculada anteriormente de la cinemática del mecanismo biela-manivela. El signo menos indica que el convenio de signos de las fuerzas es el mismo que el tomado para las aceleraciones, es decir, la fuerza Fa es positiva cuando su sentido es hacia el eje del cigüeñal y negativa en sentido contrario. En el PMS la aceleración siempre es positiva y por tanto dirigida hacia el cigüeñal, esto quiere decir que en dicho punto el sentido de la fuerza es hacia arriba. Con el convenio de signos señalado anteriormente, al PMS le corresponderá una fuerza negativa. Por tanto

( )

⋅+⋅⋅+

⋅++⋅⋅⋅−=

=44444 344444 21

constante si anula se términoEste

3

22

cos

sencossen

cos

cos

cos

cos

ω

φφθθα

φθλ

φφθω RRmF RBa ,

y su representación gráfica será, suponiendo una ω constante de 3000 rpm:

0 50 100 150 200 250 300 350 400-80

-60

-40

-20

0

20

40


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza de inercia Fa de las masas con movimiento alternativo

Figura 2.25. Fuerza de inercia Fa de las masas con movimiento alternativo.

c) Fuerza debida a la aceleración angular de la biela.

Hasta ahora se ha supuesto la masa real de la biela reducida a dos masas puntuales mA y mB. Este sistema de dos masas puntuales, como ya se explicó en el apartado de reducción de las masas, no cumple la condición de equivalencia dinámica por no coincidir su momento de inercia respecto del centro de gravedad I ’

b con el de la biela real, Ib. Por otra parte, en el estudio cinemático, se calculó la aceleración angular de la biela εb, representada de nuevo a continuación:


40

Pues bien, para que ésta se mueva con dicha aceleración es necesario que esté sometida a un par Ibεb. Sin embargo, sobre la biela ficticia que se moviese con esa aceleración, actuaría solamente un par I’ bεb. Por lo tanto, es necesario, además, aplicar a la biela ficticia BA, un par de fuerzas Г de valor

( ) bbb II ε⋅−=Γ ' .

Si suponemos este par generado por dos fuerzas horizontales iguales aplicadas en A y B, tal como se representa en la figura siguiente:

tendremos

( ) φε cos' ⋅⋅=⋅− LfII bbb ,

donde

( )φε

cos

'

⋅⋅−=

L

IIf bbb ,

θ

φ

A

fr

ft

f

O

f B

θ

φ

A f

O

f B

θ

φ

A

O

B

Γ

1º) Par de biela Γ 2º) Descomposición del par Γ en dos fuerzas “f”

3º) Descomposición de “f” en “fr” y “ft” en // y ┴ respectivamente a la manivela OA

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4


Ace

lera

ción

ang

ular

ε b en

rad

/s2

Aceleración angular εb en rad/s2

Figura 2.26. Aceleración angular εb de la biela en rad/s2.

Figura 2.27. Descomposición del par Γ de la biela en dos fuerzas f.


41

y se representa en la siguiente figura:

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza f debida a la aceleración angular de la biela

Figura 2.28. Fuerza f debida a la aceleración angular de la biela.

La fuerza f aplicada en A la podemos descomponer en una fuerza tangencial a la trayectoria de dicho punto y en otra según la dirección de la manivela OA, como se ha enseñado en el esquema anterior. El valor de cada una de ellas será, respectivamente

( ) ( )

bbb

bbb

tL

II

L

IIff ε

θλθε

φθθ ⋅

⋅−⋅⋅−=⋅

⋅⋅−=⋅=

22

''

sen1

cos

cos

coscos ;

( ) ( )

bbb

bbb

rL

II

L

IIff ε

θλθε

φθθ ⋅

⋅−⋅⋅−=⋅

⋅⋅−=⋅=

22

''

sen1

sen

cos

sensen .

Donde ft representa la fuerza debida a la aceleración angular de la biela y tangente a la trayectoria de A considerando como sentido positivo el del movimiento del cigüeñal. Por otra parte fr es la fuerza debida a la aceleración angular de la biela según la dirección de la manivela y con sentido positivo el del cigüeñal hacia fuera. Se representan ambas a continuación:

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza fr

La fuerza ft contribuye al par motor, pero su valor es realmente pequeño y lo vamos a despreciar.

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza ft

Figura 2.29. Componentes tangencial ft y radial fr de la fuerza f en la cabeza de biela


42

2.3.2.2 Fuerzas debidas a la presión de los gases.

La ley de variación de la presión en el interior del cilindro se puede obtener del diagrama del indicador, que se verá en “Resultados”. La presión multiplicada por la superficie del pistón nos dará la fuerza que actúa sobre el bulón B debida a los gases que evolucionan dentro del cilindro. Ahora bien, la fuerza total que actúa sobre B, será la diferencia entre la que se produce en la parte superior (pg) y la que se produce en la parte inferior, esta última debida a la presión de los gases del cárter. Nosotros supondremos que la presión en el cárter patm es la de la atmósfera a 1 bar.

Esto es, si Fg es la resultante de la fuerza de los gases,

( ) patmgg AppF ⋅−= ,

donde Ap es el área de la superficie transversal del pistón. Fg es positiva cuando se dirige hacia el eje del cigüeñal. Véase la siguiente figura:

2.3.2.3 Fuerzas resultantes que actúan sobre el mecanismo biela-manivela de un motor.

Sobre el eje del bulón del pie de biela (punto B), actúa una fuerza F en la dirección BO, que es la suma algebraica de las fuerzas de inercia alternativas y de la fuerza de presión de los gases. En la siguiente figura se representa su variación con el ángulo girado.

0 50 100 150 200 250 300 350 400150

200

250

300

350

400


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza F=Fa+F

g

Figura 2.31. Fuerza resultante F sobre el bulón del pie de biela.

0 50 100 150 200 250 300 350 400100

150

200

250

300

350

400

450


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza Fg debida a la presion de los gases

Figura 2.30. Fuerza Fg debida a la presión de los gases frente al ángulo girado por el cigüeñal.


43

Esta fuerza F puede descomponerse en otras dos: una Fn, normal a la pared del cilindro, y otra Fb, según el eje de la biela. Del siguiente esquema:

se deduce que

φtgFFn ⋅= y φcos

1⋅= FFb ,

representadas aquí:

0 50 100 150 200 250 300 350 400150

200

250

300

350

400


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza Fb=F/cos(φ)

La fuerza Fb se traslada a lo largo del eje de la biela y se ejerce sobre la muñequilla del cigüeñal (punto A).

Ft

O

θ

Fr

θ+φ

F

A

φ

θ

Fn

Fb

Fb

A

O

B

F

0 50 100 150 200 250 300 350 400-80

-60

-40

-20

0

20

40

60


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza Fn=F*tan(φ)

Figura 2.32. Descomposición de la fuerza F en el pie de biela en Fn y Fb.

Figura 2.33. Representación de las fuerzas Fn y Fb en función del ángulo girado por el cigüeñal.

Figura 2.34. Descomposición de la fuerza F en una tangencial Ft y otra radial Fr en la cabeza de la biela.


44

A su vez esta fuerza se puede descomponer en otras dos, Fr y Ft, la primera de ellas en la dirección de la manivela (brazo del cigüeñal) y la segunda, tangente a la trayectoria del punto A, es decir, normal a la manivela. Las expresiones de estas fuerzas son las siguientes

( ) ( )φ

φθφθcos

sensen

+⋅=+⋅= FFF bt ; ( ) ( )φ

φθφθcos

coscos

+⋅=+⋅= FFF br ,

cuyas representaciones gráficas son:

0 50 100 150 200 250 300 350 400-200

-100

0

100

200

300

400

Ángulo θ en gradosFue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza Fr=F

b*cos(θ+φ)

La fuerza Fr produce un esfuerzo sobre el punto O (apoyo del cigüeñal), al cual hay que sumar la fuerza fr del apartado anterior, y la fuerza Ft genera, junto con la ft, el par motor.

0 50 100 150 200 250 300 350 400-400

-300

-200

-100

0

100

200

300


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza Ft=F

b*sin(θ+φ)

Figura 2.35. Evolución de las fuerzas Ft y Fr en función del ángulo girado por el cigüeñal.


45

2.3.2.4 Resumen de fuerzas generadas por el movimiento de un motor monocilíndrico.

Resumiendo, las fuerzas que actúan en los puntos A y B son:

Punto A: En la dirección tangencial: En la dirección radial:

ttctT FfFF ++= ; rrcR FfFF ++= ,

cuyas representaciones gráficas son:

0 50 100 150 200 250 300 350 400-200

-100

0

100

200

300

400

Ángulo θ en gradosFue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza FR=F

c+f

r+F

r

Punto B, en la dirección normal al eje del pistón nN FfF += .

0 50 100 150 200 250 300 350 400-400

-300

-200

-100

0

100

200

300


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza FT=F

ct+f

t+F

t

0 50 100 150 200 250 300 350 400-80

-60

-40

-20

0

20

40

60


Fue

rza

en N

ewto

ns

Fuerza FN=f+F

n

Figura 2.36. Evolución de las fuerzas FT y FR en función del ángulo girado por el cigüeñal.

Figura 2.37. Evolución de la fuerza FN en función del ángulo girado por el cigüeñal.


46

B

A

O

El par motor es: M = FT · R

Convenio de signos: Para fuerzas alternativas: Sentido positivo de B a O. Para fuerzas rotativas: Sentido positivo de O a A.

FC=FA+FO+Feq

FCO

FCA

θ + φ

φ

θ ( )θε

cos⋅⋅′−=

L

IIf bbb

Fr = Fb · cos(θ + φ) ft=f·Cosθ

fr=f·Senθ

FT = Ft + ft

Ft = Fb · sen(θ + φ)

Fb = F · secφ

F = Fa + Fg

Fg

Fa

Fb = F · secφ

Fn = F · tgφ f debida a Г = Par exterior

Figura 2.38. Fuerzas generadas por el movimiento del conjunto pistón – biela – cigüeñal.


47

Fuerzas en extremos de la biela (movimiento plano = circular + rectilineo)

Fct

Fa

Fg

F

Fn

Fb

Fr

Ft

fr

ft

f

FR

FT

Fuerzas en A (cabeza de biela con movimiento circular)

Fuerzas en B (pie de biela con movimiento rectilíneo alternativo)

Fc

Par motor

Sirven para estudiar vibraciones (que tratan de equilibrarse con contrapesos).

Figura 2.39. Diagrama – Resumen de fuerzas.


48

2.3.3 Par motor.

Se denomina par motor a la resultante de los momentos que actúan sobre el eje del cigüeñal. Las fuerzas que contribuyen al par motor son las siguientes:

- Fuerza de inercia de la masa giratoria, debido a cte≠ω . - Fuerzas de inercia de las masas con movimiento alternativo. - Fuerzas de presión de los gases. - Fuerza de compensación debida a la velocidad angular de la biela.

En el punto A se ejerce una fuerza tangente a la trayectoria, de valor, FT = Fct + ft + Ft. Si en O aplicamos dos fuerzas opuestas de igual magnitud y dirección que FT, aparecerá en la manivela un par que hace girar el cigüeñal (par motor) y además una fuerza FT sobre el apoyo (punto O), véase el siguiente esquema.

El valor instantáneo del par motor proporcionado por un solo conjunto de pistón, biela y manivela vendrá dado por

( ) ( ) ( )RF

L

IIRmRFfFRFM

tt

ct

Ff

bbb

F

RAttctTm ⋅

+⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅−=⋅++=⋅=

=4434421444 3444 21

43421 φφθε

φθα

ω

cos

sen

cos

cos'

cte) paracero hace (se

Puesto que nuestro motor tiene 2 conjuntos de eslabones cinemáticos idénticos pero desfasados entre sí un ángulo ce θθθ −=∆ (donde los subíndices “e” y “c” corresponden

a las zonas de expansión y compresión respectivamente), el par total será una cantidad

( ) ( )cmemtotal MMM θθ += .

Se ve que dicho par no es constante, depende de θ. En la figura siguiente se representa la variación del par indicado junto al par medio para el caso en que ω sea constante e igual a 3000 rpm dibujados frente al ángulo θe:

R

A

O

Fct +f t+F t =FT

Mm

Fct +f t+F t =FT R

A

O

Figura 2.40. Par motor Mm provocado por la fuerza tangencial FT en el extremo del cigüeñal.

.


49

200 250 300 350 400 450 500 550 600-4

-2

0

2

4

6


Par

mot

or e

n N

*m

Par motor en N*m

La única diferencia entre ambas gráficas es que en la segunda se ha asimilado el par total (indicado) como si fuera el par motor. Además se ha representado en función de θe y desde el ángulo en el que el volumen total es máximo. La suma algebraica de las áreas positiva y negativa del diagrama es proporcional al trabajo absorbido por el fluido en el interior del motor en un ciclo, ya que el trabajo de las fuerzas de inercia es nulo para cada media vuelta de la manivela. El área resultante de la suma anterior puede igualarse a la de un rectángulo que tenga como base la misma abcisa correspondiendo su altura al valor medio del par motor Mm.

Llegado a éste punto, conviene realizar las siguientes observaciones:

a) La fuerza de inercia de las masas contribuye al par motor instantáneo, pero no al par motor medio.

b) El par motor medio calculado anteriormente es, en general, menor que el par indicado medio. Esta diferencia corresponde a las pérdidas por fricción del fluido.

c) El par motor medio y el par efectivo medio Me, difieren en una cantidad que corresponde a las pérdidas mecánicas, excluyendo de éstas las de bombeo.

d) En general el par motor debido a la diferencia entre los momentos real y ficticio de la biela, segundo término de la expresión de Mm, se suele despreciar.

2.3.3.1 Cálculo del volante de inercia.

El volante de inercia es un elemento usado corrientemente en motores alternativos con el fin de aumentar la inercia del sistema y reducir con ello las fluctuaciones de la velocidad asociadas a la variación de energía durante el ciclo. Estas variaciones de energía son debidas a que el par motor motorM , como hemos visto, no es constante. El

par solicitado al motor para vencer la fricción mecánica y la carga externa a la que está sometido, el par cargasM , también podría ser variable aunque en nuestro caso lo

mantendremos constante y lo estudiaremos como un motor estacionario.

De la representación anterior del par motor vemos que el trabajo de entrada al volante es el área comprendida bajo la curva de par entre los ángulos 0 y 2π. Podemos calcular un par medio para todo el ciclo sin más que integrar

( ) motormediomotor

2

0 motorcargascargas 22 WMdMMW =⋅⋅=⋅=⋅⋅= ∫⋅

πθππ

,

o lo que viene a ser lo mismo, el par motor medio, ( )mediomotorM debe ser igual a cargasM .

Básicamente lo que estamos haciendo es igualar las siguientes dos áreas:

0 50 100 150 200 250 300 350 400-4

-2

0

2

4

6


Par

tota

l en

N*m

Par total en N*m

Figura 2.41. Par total respecto a θc y par motor respecto a θe en N·m


50

200 250 300 350 400 450 500 550 600-4

-2

0

2

4

6


Par

mot

or e

n N

*m

Par motor en N*m

Sabiendo que el motor gira a su velocidad máxima cuando la carga exterior es nula,

cargasM debe representar para nosotros el par resistente debido a fricción mecánica.

Observando la siguiente gráfica, en la que enseñamos el área entre la curva del par motor instantáneo y el par motor medio (absorbido por la fricción) deducimos que la máxima variación de velocidad angular del motor se producirá en el intervalo de θ en el que las dos curvas se cortan. En este caso entre el punto 1 en que θ1 = 412.1º y el punto 2 en que θ2 = 576.4º.

Con ello podemos calcular la energía cinética del volante en esos dos puntos en que la diferencia entre sus respectivas velocidades angulares ω2 – ω1 es máxima.

( )21

2212

222

211

21

2121

ωωω

ω−⋅⋅=−⇒

⋅⋅=

⋅⋅=IEE

IE

IE.

La diferencia de energías cinéticas entre esos dos puntos corresponde exactamente al área dibujada en la gráfica anterior.

Definamos ahora el coeficiente de fluctuación de velocidad como

ωωω 12 −=sC ,

250 300 350 400 450 500 550-4

-2

0

2

4

6


Par

mot

or e

n N

*m

Par motor en N*m

200 250 300 350 400 450 500 550 600-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6


Par

mot

or e

n N

*m

Par motor en N*m

Figura 2.42. Trabajo motor (área azul) y trabajo empleado en vencer la fricción y las cargas externas (área verde).

Figura 2.43. Área entre la curva del par motor instantáneo y el par motor medio.


51

donde ω es la velocidad angular nominal dada por

212 ωωω += .

En estas condiciones en que disponemos del área de la curva anterior y sabemos que la ω nominal es de 3000 rpm, solo nos queda por elegir el coeficiente de fluctuación Cs para obtener la inercia I del volante de inercia. Suponiendo un Cs = 0.1 obtenemos

24212 mkg 108 ⋅⋅≅

⋅−= −

ωsC

EEI .

Puesto que esto sólo ha sido un predimensionado del volante de inercia, el procedimiento para el diseño del volante definitivo requerirá del uso iterativo de los pasos anteriores teniendo en cuenta la velocidad de estabilización del modelo.

2.4 Conclusión.

Una vez elegido el tipo de mecanismo que íbamos a usar, todo nuestro interés se ha centrado en determinar los tres parámetros que intervendrán en nuestros modelos:

I, del volante de inercia. mRA, como masa situada en el pie de biela (movimiento alternativo). mRB, como masa situada en la cabeza de biela (movimiento circular).

2 mecanismo 6 9 2012 - servidor de la biblioteca de...

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