2. nominalne kamatne stope i necjelobrojne funkcije
TRANSCRIPT
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 1/15
INTERNACIONALNI UNIVERZITET
EKONOMSKI FAKULTET
Diplomaski rad
Nominalne kamatne stope i ne!elo"ro!ne #$nki!e
Mentor% St$dent%Dr&s Sead Re'i(
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 2/15
Tra)nik* !$li +,--& .odineS A D R Ž A J
UVOD +
1. KAMATE PLATIVE P PUTA GODIŠNJE /
2. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU P PUTA GODIŠNJE 03. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU U INTERVALIMA DUŽIM OD GODIŠNJIH 1
ZAKLJUČAK --
LITERATURA -+
UVOD
-
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 3/15
1. KAMATE PLATIVE P PUTA GODIŠNJE
+
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 4/15
Nadal!e* opet pretposta)imo da !e e#ekti)na kamatna stopa i #iksna& Neka !e p prirodan
"ro!* .ledat (emo transaki!e ko!e se od)i!a!$ p p$ta .odi'n!e $ !ednakim ra2maima d$l!ine
p3- & De#inirali smo $ -& po.la)l!$ nominaln$ kamatn$ stop$
( ) p
i kon)erti"iln$ 4plati)a5 p
p$ta .odi'n!e relai!om
( ) &6-
--
*-
*, t i p p
t t A p
A p ∀+=
+=
7o'to )ri!edi
( )
i p
i p
p
+=
+ --
* odnosno
( ) ( )
−+= --
-
p p
i pi
Veli8ine( ) pi mo9emo opisati i alternati)no& Zamislimo da d$9nik ko!i !e $2eo 2a!am $ i2nos$
- $ tren$tk$ , s)o!$ kamat$ 9eli platiti $ p !ednaki: o"roka $ tren$ima
&-*-
*&&&*+
**
- =−
p
p
p
p
p p
T)rdimo da !e $k$pni i2nos( ) pi * t!& s)aka ;rata; !e
( ) pi p-
Zaista* tada "i moralo )ri!editi 4i2!edna8a)an!em )ri!ednosti u t = 15
( )
( ) ii p
i p
j p p
j
p
=+ −
=∑ -
- 4-&-5
a pro)!era !e !ednosta)na
( )
( ) ==−=+ −
=∑ k j pi
p
i p
j p p
j
p
--
( )
( ( ) )( ) ( )
( )
( )
( )i
i
i
p
i
i
i
p
ii
p
i
p
p
p
p
p p
k p
p
k
p
=−+
=−+
−
+
=+∑−
= ----
--
---
-
--
,
/
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 5/15
Sad mo9emo 2amisliti i analo.ni mane)ar& Zamislimo da se kamata 9eli otplatiti $ p !ednaki:
o"roka* ali $ tren$ima&
-*&&&*
-*,
p
p
p
−
O2na8imo $k$pn$ otplat$ s( ) pd tako da !e s)aka ;rata;
!ednaka
( ) pd p
-
&
Ina8e* s!etimo se da !e* po na'o! anali2i* odnosno interpretai!i !ednakosti d = iv, d (1) = d %
Sad i2!edna8imo )ri!ednosti $ t = 0%
( )
⇒=
++++
−
d vvv pd p
p
p p
p -+-
&&&-
( ) ( ) ( )
( )⇒
−−=
−−
=
−
−
= p
p
p
p
p
p
p
p
d
d
p
d
v
v
p
d
v
v
p
d d
-3--
-
---
-
-
-
4-&+5
( ) ( )[ ] ( )
( )
p
iid pd
p
p
p p
+=−−=-
-- 3-
4-&/5
( )
d p
d p
p
−=
− --
4-&<5
d (p5
se 2o)e nomn!"n! #$%on&n! '!n&()!&*n!+ %!m!&n! $&o)! )"!&*!4kon)erti"ilna5 )),&! -o#n/0.
Uo8imo da s)ake od )eli8ina i* i(p)* d * d (p) de#inira ostale& I2 s)e.a 'to !e re8eno sli!ede(a
s:ema predsta)l!a ek)i)alatne na8ine pla(an!a kamate&
<
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 6/15
0
d
p
-
p
+
p
/ p
p -−
1
( )
p
d p ( )
p
d p ( )
p
d p ( )
p
d p ( )
p
d p
( )
p
i p ( )
p
i p ( )
p
i p ( )
p
i p ( )
p
i p
δ i
Pm/0 1.1
Neka je nominalna kamatna stopa 12% godišnje, plativa kvartalno. Tada je sadašnja
vrijednost od inosa 1 koji dospijeva a t godina jednak
( )( )
t
t t
t ii
<
<<<
,/*-<
-+*,-
<--
−−−
− =
+=
+=+
Pm/0 1.2
!a dani δ = 0, 1 na"ite vrijednosti#
i) i, i($) , i(12 ), i(2) , i(&')
ii) d, d ($) , d (12) , d (2) , d (&' )
ješenje#
( ) ( ) [ ] [ ]----5 3-*,33- −=−=−+= pr p p
e pe pi pii δ
( ) ( ) [ ] [ ] pr p p e pe pd pd ii 3-*,33-----5 −=−=−−= δ
p - < -+ =+ /0=
i(p)
,*-,=->-? ? ?
,* -,,<-@ ? ? ? ,* -,,,-<
d (p)
,* ,1=-0/ ,* ,1@>0, ? ? ? ? ? ? ,* ,111@0
=
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 7/15
Vri!edi i = i(1) i(2) i(&) . . . Uo8imo da !e !asno d4p5 i4p56 ∀ p 4!er
( )
p
d p
se pla(a rani!e ne.o
( )
p
i p
* a !ednak !e "ro! pla(an!a5& Kako !e d = i v i2 4-&-5 i 4-&+5 sli!edi da !e
( ) ( ) p p p vid
3-⋅= 4-&=5
Dal!e* s!etimo se da smo imali
vd ev −== − -*δ
( ) ( )-3
−=r p e pi δ
4-&05
a sad isto la.ano do"i!emo i2 4-&/5
( ) ( r p e pd 3- δ −= 4-&>5
Sad se mo9e anali2irati #$nki!a( ) &*,*- konst *e * * g
*
=≥
−=
−δ
δ
poka2$!e se da !e rast$(a i
to odma: po)la8i
( ) ( ) ( ) d d d d =⟩⟩⟩ -+/&&& 4-&@5
Dal!e* kako !e
δ
δ
=
−
∞→-lim *
*e *
i
δ
δ
=
−
∞→ *
*e * -lim
4o"o!e ide BLopitalo)im pra)ilom5
sli!edi
( )δ =
∞→
p
*ilim
*
( )δ =
∞→
p
*d lim
4pr)$ relai!$ 2namo otpri!e5 i kako s$ to limesi pada!$(e.*
odnosno rast$(e. ni2a to s$ n!i:o)i in#im$m* odnosno s$prem$m& Zakl!$8$!emo
( ) ( ) ( ) ( ) ⟩⟩⟩⟩⟩⟩= pd iiii &&&&&&/+-
δ ( ) ( ) ( ) d d d d =⟩⟩⟩ -+/&&& 4-&15
Dal!e*
0
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 8/15
( ) ( )
( ) ( )=
−+
−
−−
=−--
-
--
-----
p p
p p
i pd pid
( ) =
−+−
−= --
-
-
-
--
p p i pv p ( ) ( )=
−+
−
+− −
---
--- --
p p i pi p
( )
( ) ( ) pii
i
p p p
p -
--
-
-
---
--
-
=
−+−
+
+=
−
Dakle !e 4i2nenad$!$(e* neo)isno o i5
( ) ( ) pid p p
---=−
4-&-,5
>
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 9/15
0
p-
p-
&&&
p-
p-
&&&
p-
p
-
p
+ &&& - p
p -+ &&& n
2. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU P PUTA GODIŠNJE
U2mimo rent$ ko!a se ispla($!e p p$ta .odi'n!e* postn$merando* $ .odi'n!em i2nos$ -* tokom
n .odina* dakle $ inter)al$ ,* n6 dakle di!a.ram !e
Sada'n!a )ri!ednost !e
( )( ) n p
p
n ai
ia =
4+&-5
Naime* $plate3isplate $ tren$ima p
p
p p
-*&&&*
+*
- −
$ i2nos$
( )
p
i p
)ri!ede $ t - ta8no i 4)idi
-&-5& Tada $plata3isplata $ tim tren$ima $ i2nos$ 1+p $ tren$tk$ t = 1 )ri!ede ta8no i = i (p)&
Dakle* sit$ai!$ ko!$ imamo )idimo i2 sli!ede(e. di!a.rama
( ) pii 3
( ) pii 3 & & &
( ) pii 3
, - + n
Alternati)no* koriste(i osno)ne prinipe mo9emo do(i do !ednakosti 4+&-5
Naime*
@
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 10/15
( )
( )
−+
−=
−
−=
−
−==
−=∑
--
-
-
-
-
------
-
- p
n
p
n
p
n p
np
t
p
t
p
n
i p
v
v p
v
v
vv
pv
pa
( ) ( ) ( ) n p p
n
p
na
ii
ii
iv
iv =−=−= --
De#inii!a sim"ola( ) p
na !e analo.na& 7r)im prinipom do"i!emo
( )( ) n p
p
n ad
ia =
4+&+5
Zapi'imo i alternati)ne #orm$le ko!e smo do"ili p$tem
( )( )
*-
p
n p
ni
va
−=
4+&/5
( )( ) p
n p
nd
va
−= -
4+&<5
Napomena% Ukoliko se ispla($!e p p$ta .odi'n!e $ .odi'n!em i2nos$ * tada se s&)& s)i: $plata
do"i!e tako da se sa pomno9e !ednakosti 4+&-5* 4+&+5* 4+&/5 i 4+&<5&
Go' )idimo 4i2 di!a.rama5( ) ( ) p
n
p p
n ava
-
= i takoder
( )( ) ( ) == p
n
p
n aiia-&+&/
( ) ( ) = p
n
p p avi
-
( ) ( ) ( )
n p
n
p vad −= -<&+&/
4+&=5
Nasta)l!a!$(i dal!e do"i)amo
( )( )
( )
n
p
n
n
n aad via δ --&/&++&/&+
- ==−= 4+&05
Kad $ pret:odnim relai!ama $)a9imo sli!edi
( ) =∞→
p
pilim ( )
δ =∞→
p
pd lim
sli!edi
1
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 11/15
( ) =∞→
p
n p
alim ( )
( )
δ
n
n
p
n p
vaa −
==∞→
-lim
--&/&+
4+&>5
'to !e i int$nti)no !asno6 kad
∞→ p
isplate se kontin$ira!$& 4S!etimo se da !eδ
= ln(1 - i)& 5Lako "i do"ili i ak$m$lai!e a takoder i od.odene rente& Za )!e8ne ispod.odi'n!e rente
imamo%
( )( ) p
p
ia
-=∞
4+&@5
( )( ) p
p
d a
-=∞
4+&15
Spei!alno*( ) −∞ pa
( ) pa∞
( ) p
--,&- ==
'to !e opet i int$iti)no !asno&
-,
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 12/15
3. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU U INTERVALIMA DUŽIM OD GODIŠNJIH
O)d!e (emo opet prim!eniti te:nik$ ko!om smo i2)eli i2ra2e 2a sada'n!e )ri!ednosti( ) p
na i
( ) pna & Fiksira!mo N r ∈ i promotrimo seri!$ isplata ko!e se do.ada!$ s)aki: r .odina* dakle $
)remenskim ta8kama r* +r* /r* &&&* kr* N k ∈ #iksan&
Ide!a !e da i2nos ko!i se ispla($!e s)aki: r .odina* reimo * 2ami!enimo od.o)ara!$(im
i2nosom / ko!i "i se pla(ao s)ake .odine* ali tako da )ri!ednost "$de ista&
/ / ... / / ... / / / ... /
/
, - + &&& r r - 1 2r ...
kr
7o de#ini!i ak$m$lai!a $ tren$tk$$ t = r 4nakon r ?te isplate i2nosa / 5 )ri!edi%
. 0
/ / 0 . r
r
-* ==
pa !e s&)& 4s)i: k $plata $ i2nos$ H5 kr a/ ⋅
* t&!&
kr
r
a0
. v s =&&
4/&-5
4k r .odine postn$meranto renta $ i2nos$ r 0
.
5 &
--
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 13/15
Za )!e8n$ rent$ $ o)om sl$8a!$ imamo ( ) --
-&&
−+=⋅=
r
r i
.
i0
. v s
Nara)no* to se mo2e do"iti i prim!en!$!$Ji osno)ne prinipe&
Pm/0 3.1
upujemo rentu koja e se u godišnjem inosu 120 plaati u jednakim inosma na kraju
svakog kvartala tokom godina. 3dredite sadašnju vrijednost ako je godišnja kamatna stopa
12%.
a) e4ektivna
5) nominalna, plativa polugodišnje
6) nominalna, plativa kvartalno
d) nominalna, plativa mjese7no
R/00n/0
4a5
( )( ) ( )
=@*<=--
-+,-+,-+,&&=
<=<
<
= =
−===
i
v
i
ia
i
ia8 0
!er( ) ( )( --<1<1+*,--<
<3-< =−+= ii
4"5 O)o !e kao da imamo )remensk$ !edini$ +
-
.odine i e#ekti)n$ kamatn$ stop$ 0 po
!edinii )remena& U to! )remensko! !edinii imamo postn$merando rent$ $ i2nos$ 0, po
!edinii )remena ko!a se ispla($!e + p$ta po !edinii )remena tokom -, )remenski: !edinia&
( )( )
( )( ) -/*<<@,=1-+0*,*,0*,-
0,0,&& +
+
-,+
,- ====
−== ii
i
va8 0
45( ) /+*<<0
-/,K//,
+,
+, =
−=
i
v poa
-+
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 14/15
4d5 O)d!e mo9emo iskoristiti 4/&-5 pa imamo 4i2 perspekti)e re2$ltata45 i2 k)artalne
perspekti)e5
( ) ,@*<<=K-/,
0,
/
= poa0
ZAKLJUČAK
-/
7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije
http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 15/15
LITERATURA
-& Adnan Ro)8anin* 9pravljanje 4inansijama, tree idanje* Ekonomski #ak$ltet $
Sara!e)$* I2da)a8ka d!elatnost* +,,0&
+& ranko Trkl!a* :inansijska matematika, tree idanje* Ekonomski #ak$ltet $ Sara!e)$*
I2da)a8ka d!elatnost* +,,@&
-<