2. notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel ba ğıntılar...

2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 15

2. Notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel bağıntılar Çözüm(analiz) yöntemi: Yukarıda yapılan varsayımlar; bu ders notlarında verilen Sonlu Elemanlar Metodunun sadece statik analiz için geçerli olacağı anlamındadır. Doğrusal olmayan malzeme, doğrusal olmayan geometri, dinamik analiz ve stabilite analizi problemlerine doğrudan uygulanamaz. 1

Matris işlemleri özet bilgileri için bak: EKLER

2 Genel koordinat sistemi=Global koordinat sistemi, Yerel koordinat sistemi=Lokal koordinat sistemi

3 Her noktası aynı maddeden oluşan malzeme homojendir. Elastisite modülü, Poisson oranı, yoğunluğu, ısı iletkenliği, dayanımı gibi mekanik özellikleri her doğrultuda

aynı olan malzeme izotroptur. Doğrusal elastik malzemede gerilme artarken de, azalırken de şekil değiştirme orantılı olarak artar veya azalır. Gerilme artarken de, azalırken

de gerilme şekil değiştirme grafiği aynı doğrudur. Gerilme sıfırlandığında şekil değiştirme de tamamen geri döner, kalıcı şekil değiştirme yoktur. 4

Çelik ya da betonarme bir kiriş yük altında yer değiştirir(sehim yapar=sarkar). Sarkmayı göremiyorsak yer değiştirme küçüktür, milimetre mertebesindedir. İpte gezen bir

cambaz yürüdükçe sarkmayı görürüz, yer değiştirme büyüktür, belki metre mertebesindedir.

x3

x2

x1

900

Matris ve skaler: Sonlu Elemanlar Metodu(SEM) matris notasyonunda1 formüle edilir. Bu notlarda matrisler altı çizilerek skaler büyüklüklerden ayırt edilecektir. A veya a skaler bir büyüklük, A veya a bir matris anlamındadır. I birim matris, 0 sıfır matristir. A nın transpozu AT, tersi A-1 ile gösterilecektir.

Genel koordinat sistemi1: Kartezyen koordinat

sistemi kullanılacaktır. Genel koordinat sisteminin eksenleri alışılagelmiş olan �, , � yerine ��, � , �� ile gösterilecek, bazen, her üç ekseni temsilen kısaca �� kullanılacaktır (i=1, 2, 3).

Genel koordinat sistemi daima sağ sistem olacaktır. Sağ koordinat sistemi için sağda örnekler verilmiştir.

Sağ koordinat sisteminde; ��, � eksenleri bir vidanın başlığının düzleminde olmak üzere, �� ekseni � eksenine doğru 900 döndürüldüğünde vida saplanma hareketi yapar. �� ekseni vidanın ucuna doğru yönlenmiştir. Yerel koordinat sistemi

1: ��, �� , �� ile gösterilecek, bazen, her üç

ekseni temsilen �� kullanılacaktır (i=1, 2, 3). Yerel koordinat sistemi sağ sistem olacaktır. Malzeme: Homojen, izotrop ve doğrusal elastiktir3. HOOKE kanunu geçerlidir. Yükler: Statiktir. Yüklerin yavaş yavaş nihai değerine ulaştığı, titreşime neden olmadığı varsayılmaktadır. Yer ve şekil değiştirmeler: küçüktür4. Bu varsayımın amacı denge denklemlerinin şekil değiştirmemiş geometri üzerinde kurulması, yer değiştirmeler ile şekil değiştirmeler arasında basit bağıntılar kurulmasıdır.

Bir kafes sistemde sistem ve yerel eksen örneği. Sistem

3x ve yerel 3x̂ eksenleri

kâğıt düzlemine dik ve size doğrudur.

Bir eksenli gerilme halinde doğrusal elastik malzeme davranışı örneği.

HOOKE malzemesi: � = ��

1x̂2x̂

1x̂

2x̂

1x̂2x̂

1x̂

2x̂

x3

x1

x2

900



2.1 Taşıyıcı sistemler

Çubuk sistemler: Çubuk denilen(bir boyutu diğer iki boyutuna göre çok büyük olan) elemanların birleşiminden oluşan sistemlere çubuk sistemler denir. Kafes ve çerçeveler bu türden sistemlerdir. Kafes sistemin çubuklarının(elemanlarının) mafsallı birleştirildiği, elemanların üzerinde yük olmadığı, dış yüklerin birleşim noktalarında(düğümlerde) etkidiği varsayılır. Bu varsayımlar sonucu elemanlarda sadece eksenel kuvvet oluşur, eğilme momenti, kesme ve burulma momenti sıfırdır. Kafes sistem genelde yapı çeliği ile, nadiren ahşap ile inşa edilir. Çatılarda, köprülerde ve sanayi yapılarında kullanılır. Çerçeve sistemin elamanları birbirine genelde rijit bağlıdır. Dış yükler eleman üzerinde ve düğümlerde etkiyebilir. Çerçeve elemanlarda eksenel kuvvet, kesme kuvveti, eğilme ve burulma momentleri gibi iç kuvvetler oluşur. Çerçeve sistem yapı çeliği ve yaygın olarak betonarme olarak inşa edilir. En yaygın kullanım alanı çok katlı yapı inşaatıdır. Yüzeysel taşıyıcılar: Kalınlığı az(5-30 cm civarı) olan düzlem veya eğrisel yüzeyli taşıyıcı sistemlerdir. Yüzeysel taşıyıcılara sürekli ortam da denir. Levha, plak ve kabuk bu türdendir. Levha sistemde dış yük levha düzlemi içindedir, yüzeye dik etkiyen yük yoktur. Deprem perdesi, istinat(dayanma) duvarı, tünel, ağırlık barajı ve basınçlı boru problemleri levha problemine örnek olarak verilebilir. Plak genelde çok katlı yapılarda döşeme olarak ve köprü tabliyesi olarak kullanılır. Dış yük plak düzlemine diktir.

Uzay kafes

X1

X2

X3

P1

P2

P3

X1

X2

X3

Plak(döşeme)

p

a

bt<<at<<b

p2

X1

X2

p1

Levha

t<<at<<b

a

t



Kabuk kalınlığı az (≈10 cm), eğrisel yüzeyli taşıyıcıdır. Dış yükler genelde yüzeye yayılıdır. Kubbe, kemer baraj, yüksek sanayi bacası, soğutma kulesi ve tünel yapımında kullanılır. Diğer: Sürekli kiriş, kemer, kablolu taşıyıcı, basınçlı boru hattı(papeline), tünel, baraj, istinat duvarı gibi sistemlerden de bahsedilebilir. Kablolu sistem çok büyük yer değiştirir, dolayısıyla geometrik doğrusal olmayan analiz gerektirir.

p

Kemer

Yer

deiş

tirm

e ç

ok

büyü

k(örn

ek:

1 m

)

p

Kabuk



2.2 Elastik cismin1 temel bağıntıları

Sağdaki elastik cisim yüzeyinin bazı noktalarından uzayda mesnetlenmiştir. Bu noktalar yer değiştiremez. V

cismin toplam hacmi, O toplam yüzeyi, Ou mesnetlenmiş toplam yüzeyi, Op yüklenebilir yüzeyi olsun. �

yüklenebilir yüzeydeki yayılı yük, � hacimde yayılı yüktür(birim hacim ağırlık). Yükler; cismin yer ve şekil

değiştirmesine ve gerilmelerin oluşmasına neden olur. Bir noktanın yer değiştirmesi �, gerilmeleri � ve şekil değiştirmeleri � vektörleri ile gösterilir. Matris notasyonunda

=

=

=

=

=

31

23

12

33

22

11

31

23

12

33

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,,

u

u

u

u,

g

g

g

g,

p

p

p

p

εεεεεε

ε

σσσσσσ

σ (2.1)

dır. Burada i=1, 2, 3 olmak üzere:

ii g,p : yüklerin �� ekseni yönündeki bileşenini

iu : yer değiştirmenin �� ekseni yönündeki bileşenini

iiσ : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde olan normal gerilmeyi

ijσ : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde olan kayma gerilmesini(i≠j)

iiε : normali �� olan düzlemde ve �� ekseni yönünde birim şekil değiştirmeyi

ijε : ijσ kayma gerilmesinden oluşan kayma şekil değiştirmesini(açısal değişimi)2

göstermektedir. Bunlar, cismin her noktasında farklı değer alırlar, yani �� koordinatlarının fonksiyonudurlar:

)x,x,x(),x,x,x(),x,x,x(u),x,x,x(g),x,x,x(p 321321321321321 εσ . Basitliği sağlamak için çoğu kez εσ ,,u,g,p

şeklinde yazılmaktadır. Bu büyüklükler arasında, statik, mukavemet ve elastisite teorisinden bilinen, aşağıdaki bağıntılar vardır. a) Denge denklemleri: �, � yükleri ile σ gerilmeleri arasındaki diferansiyel(türevsel) bağıntıdır.

b) Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları: ε şekil değiştirmeleri ile u yer değiştirmeleri arasındaki

diferansiyel bağıntıdır. Geometrik uygunluk veya süreklilik koşulu da denir. c) Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları: σ gerilmeleri ile ε şekil değiştirmeleri arasında, deneysel olarak

ortaya konmuş bağıntılardır. Bünye denklemleri, malzeme kanunu veya HOOKE kanunu da denilmektedir.

Uygulamada çözülmesi gereken en yaygın problem şudur: Geometrisi, malzemesi, mesnet koşulları ve �, �

yükleri bilinen elastik cismin u yer değiştirme, ε şekil değiştirme ve σ gerilme vektörlerinin hesaplanması

istenir. Denge denklemleri, Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları, Gerilme-şekil değiştirme

bağıntıları ve cismin sınır koşulları (mesnet koşulları) kullanılarak u , ε ve σ hesaplanır.

1 Cisim kelimesi herhangi bir taşıyıcı sistem anlamında kullanılan genel bir kavramdır. Cisim; herhangi bir malzemeden(ahşap, çelik, betonarme, …)

yapılmış, düzlem veya uzay bir çubuk sistem(kafes, çerçeve), bir sürekli ortam(levha, plak, kabuk, …) olabilir.

2 Klasik mukavemet derslerinde kayma gerilmeleri ve kayma gerilmelerinden oluşan şekil değiştirmeleri genellikle

ijτ ve ijγ ile gösterilir.

Buradaki gösterime göre ijij τσ = ve

ijij γε = anlamındadır.

0u=

p

εσ ,,u,g,p

O,O,O,V pu

0u =

0u=



2.3 Denge denklemleri

Cismin içinde denge: σ gerilmeleri ile g yükü arasındaki bağıntılardır. Cismin içinden çıkartılan

dV=dx1dx2dx3 hacimli çok küçük bir parçaya etkiyen ijσ gerilmeleri ve gi hacimsel kuvveti(birim hacim ağırlık)

aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Denge için, her eksen yönündeki kuvvetlerin toplamı ve her eksen etrafındaki momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Gerilmeler etkidikleri yüzey alanı ile çarpılarak eşdeğer kuvvete dönüştürülebilir. Mesela, sol yüzdeki

11σ gerilmesi kenarları 2dx ve

3dx olan yüzeye etkidiğinden

bu yüzde �� doğrultusundaki eşdeğer kuvvet 3211 dxdxσ olur.

Eksenler etrafındaki momentlerin toplamı: Her üç eksen etrafındaki moment toplamı mukavemetten çok iyi bilinen

(2.2)

bağıntılarını verir: Birbirine dik yüzeylerdeki kayma gerilmeleri birbirine eşittir. x1 yönündeki kuvvetlerin toplamı:

0dxdxdxgdxdx)d(dxdx

dxdx)d(dxdxdxdx)d(dxdx

32112131312131

31212131213211113211

=+++−++−++−

σσσσσσσσσ

dır. Üstü çizili terimler birbirini götürür:

0dxdxdxgdxdxddxdxddxdxd 3211213131213211 =+++ σσσ .

11dσ , 21dσ ve 31dσ küçük artımları için Taylor’e göre

3

3

31

312

2

21

211

1

11

11 dxx

d,dxx

d,dxx

d∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

σσσσσσ

x1

x2

x3

0u=

pYük:

0u=

dx1

dx3

133132232112 ,, σσσσσσ ===



yazılabilir1:

0dxdxdxgdxdxdxx

dxdxdxx

dxdxdxx

3211321

3

31321

2

21321

1

11 =+∂

∂+

∂∂+

∂∂ σσσ

321 dxdxdx e bölünür ve 2.2 bağıntısı dikkate alınırsa

0gxxx

1

3

13

2

12

1

11 =+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ σσσ (2.3)

olur. x2 ve x3 yönündeki kuvvetlerin toplamı:

Benzer yolla

0gxxx

2

3

23

2

22

1

21 =+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ σσσ (2.4)

0gxxx

3

3

33

2

32

1

31 =+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ σσσ

bulunur. Bu üç denge denklemi 2.1 de tanımlı σ gerilme ve g yük vektörleri kullanılarak matris

notasyonunda aşağıdaki gibi yazılabilir: (2.5)

ix∂∂

türev operatörlerini içeren D matrisine diferansiyel veya kinematik operatör matrisi denir. TD matrisi

öyle düzenlenmiştir ki, 2.5 deki matris çarpımı yapıldığında denge denklemlerinin 2.3 ve 2.4 deki açık

ifadeleri bulunur. 1221 σσ = , 2332 σσ = ve 3113 σσ = dir, bu nedenle σ vektörüne eklenmemişlerdir.

Uygulamada genellikle g hacimsel yükünün eşdeğeri cismin Op yüzeyine aktarılır. Bu durumda

0DT =σ

Olur.

1 Bir )x(f fonksiyonunun dxx + noktasındaki değeri Brook TAYLOR(1685-1731, İngiliz) serisi ile

...dx

x!3

)x(fdx

2x!2

)x(fdx

x!1

)x(f)x(f)dxx(f

3

3

32

2

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=+ dir. dx küçük olmak kaydıyla 2dx ve daha yüksek dereceden terimler, dx den çok

daha küçük olacaklarından, ihmal edilebilirler: dx

x

)x(f)x(f)dxx(f

∂

∂+≈+ . Bundan şu anlaşılır: x küçük bir dx kadar artırılınca fonksiyonun

değeri dx

x

)x(f

∂

∂ kadar artarak dx

x

)x(f)x(f

∂

∂+ olur.

O halde, benzeterek, xd

x

d11

111111∂

∂+≈+

σσσσ olduğu, yani dx

x

d11

11∂

∂=

σσ alınabileceği anlaşılır.

x1 yönünde denge denklemi



{ {0

0

0

0

g

g

g

g

D

xx0

x00

0xx

0x

0

x0

x00

x

3

2

1

31

23

12

33

22

11

T

123

312

321

=

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

321444444 3444444 21

σσσσσσσ

0gDT =+σ



Cismin yüzeyinde denge : σ gerilmeleri ile p yükü arasındaki bağıntılardır. Elastik cismin yüzeyini de

içeren çok küçük üçgen piramit bir parça kesilip çıkartılarak aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

∆

abcüçgen yüzeyi cismin p ile yüklü yüzeyi, ∆

oac , ∆

oab ve ∆

obc yüzeyleri ise cismin içinde σ gerilmelerinin

oluştuğu yüzeylerdir. Şekilde sadece �� ekseni yönünde etkiyen gerilmeler ve p yüzey yükünün ��

yönündeki bileşeni gösterilmiştir. �� yönünde denge

∆∆∆∆σσσ abcpobcoaboac 1312111 =++ (2.6)

dir. abc yüzeyinin normalinin eksenlerle yaptığı açılar 321 ,, ααα olsun. Normalin Kosinüs doğrultmanları

332211 Cosn,Cosn,Cosn ααα === gösterilsin. ∆

oac , ∆

oab ve ∆

obc yüzeyleri ∆

abc yüzeyi cinsinden

yazılabilir1:

33

22

11

nabcCosabcobc

nabcCosabcoab

nabcCosabcoac

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

α

α

α

==

==

==

Bunlar 2.6 da yerine yazılır,

∆∆∆∆σσσ abcpnabcnabcnabc 1331221111 =++

∆abc kısaltılır ve 13311221 σσσσ == , olduğu hatırlanırsa

1313212111 pnnn =++ σσσ

olur. Benzer yolla x2 ve x3 yönündeki denge yazılabilir:

2323222121 pnnn =++ σσσ

3333232131 pnnn =++ σσσ

2.1 de tanımlı σ ve g vektörleri dikkate alınarak bu üç denge denklemi matris notasyonunda aşağıdaki gibi

yazılabilir: (2.7)

1 Bir düzlemin bir başka düzlem üzerindeki izdüşümü düzlemin alanı ile düzlemlerin normalleri arasındaki açının kosinüsü ile çarpımıdır.

0u =0u =

p

1p




∆oacyüzeyi ,

∆abc yüzeyinin normali x1 olan x2-x3 düzlemindeki izdüşümüdür

∆oab yüzeyi,


∆obc yüzeyi,


pnT =σ

{p

p

p

p

σ

σ

σ

σ

σ

σ

n

nn0n00

0nn0n0

n0n00n

3

2

1

31

23

12

33

22

11

T

123

312

321

=

321

44444 344444 21

σ



ii Cosn α= değerlerini içeren T

n matrisine yüzeyden alınan çok küçük parçanın denge matrisi denir.

Yüklenebilir Op yüzeyinin yük olmayan noktalarında 0p = , Ou mesnet noktalarında rp = reaksiyon kuvveti

olacaktır. Burada [ ]321

Trrrr = dir.

111

''

1

1

''''

11 dx)1(badx

dxba

ab

abba εε +=→−

=−=

dir. Şekilden a’b’ için

2

1

2

1

22

1

2

1

12

1

1

12

1

2

1

2

1111

2

1

1

22

1

1

11

2

1

2

11

2

1

1

22

1

1

11

2''

)dx()x

u()dx()

x

u()dx(

x

u2)dx()dx)(21(

)dxx

u()dx

x

udx()dx()1(

)dxx

u()dx

x

udx()ba(

∂∂+

∂∂+

∂∂+=++

∂∂+

∂∂+=+

∂∂+

∂∂+=

εε

ε

Her iki taraf 2

1 )dx( terimine bölünürse: 2

1

22

1

1

1

12

1111 )x

u()

x

u(

x

u22

∂∂+

∂∂+

∂∂=+ εε

11ε şekil değiştirmesi küçüktür, kareli terimler ihmal edilebilir:

1

111

x

u

∂∂=ε (2.8)

olur. 2x ve

2x yönündeki birim şekil değiştirmeler benzer yolla

2

222

x

u

∂∂=ε ve

3

333

x

u

∂∂=ε (2.9)

bulunabilir.

12ε açısal şekil değiştirmesi, cismin 21 xx − düzlemindeki açılarında olan değişim olarak tanımlanır. abcd

düzlemi yer ve şekil değiştirerek a’b’c’d’ düzlemi olmuştur. a noktasındaki dik açı ab kenarının α açısı kadar, ad kenarının da β açısı kadar dönmesi sonucu )(2 βαπ +− olmuştur. Toplam açısal değişim

βαε +=12

dır. α ve β küçük açılardır. Tanjantları kendilerine eşit alınabilir:

Yüksüz, yer ve şekil değiştirmemiş geometri

Yüklenmiş, yer ve şekil değiştirmiş geometri

0u = 0u =

2.4 Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları ε şekil değiştirmeleri ile u yer değiştirmeleri arasındaki diferansiyel

bağıntılardır. Geometrik uygunluk veya süreklilik koşulları da denir. Yüksüz bir cisimde ne yer değiştirme ne de şekil değiştirme vardır. Yükler altındaki cismin noktaları yer değiştirir ve cisim şekil değiştirir. Cismin içindeki prizmatik bir cisimciğin kenarları normal gerilmelerin etkisiyle uzar veya kısalır. Kayma gerilmeleri de cisimciğin çarpılmasına, açılarının değişmesine neden olur. Prizmatik cisimciğin yer ve şekil değiştirmemiş abcd yüzünün yer ve şekil değiştirmiş durumu a’b’c’d’ dir. Her iki yüz büyütülerek sağ alttaki şekilde gösterilmiştir. dx1 uzunluğundaki ab lifi a’b’ olmuştur. ab nin birim boy değişimi

0u =

p

0u =

22

2 dxx

u

∂∂

α

2dx

1dx2dx

1dx

β1

1

2 dxx

u

∂∂

22

1 dxx

u

∂∂

11

1 dxx

u

∂∂

1u

2u

)

(2/

β+α−

π



1

2

111

1

1

2

1

1

11

1

1

2

x

u

dx)1(

dxx

u

dxx

udx

dxx

u

Tan∂∂≈

+∂∂

=

∂∂+

∂∂

=≈ε

αα

2

1

222

2

2

1

2

2

22

2

2

1

x

u

dx)1(

dxx

u

dxx

udx

dxx

u

Tan∂∂≈

+∂∂

=

∂∂+

∂∂

=≈ε

ββ

2

1

1

212

x

u

x

u

∂∂+

∂∂=ε (2.10)

olur. Benzer yolla

3

2

2

323

x

u

x

u

∂∂+

∂∂=ε ve

1

3

3

131

x

u

x

u

∂∂+

∂∂=ε (2.11)

olduğu gösterilebilir. Bu bağıntılar mukavemetten çok iyi bilinmektedir. 2.8 den 2.11 e kadar olan bağıntılar bir araya toplanır ve matris notasyonunda yazılırsa

1

3

3

131

3

2

2

323

2

1

1

212

3

333

2

222

1

111

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

ε

ε

ε

ε

ε

ε

olur. D diferansiyel operatör matrisinin transpozu 2.5 de tanımlanmıştı. 1221 εε = , 2332 εε = ve 3113 εε =

dir. Bu nedenle, 133221 ,, εεε şekil değiştirmeleri ε vektörüne eklenmemişlerdir. 2.12 bağıntısına süreklilik

koşulu da denir.

111 <<ε dir, 1 in yanında ihmal edilebilir: 11 11 ≈+ε

122 <<ε dir, 1 in yanında ihmal edilebilir: 11 12 ≈+ε

uD=ε{

u

u

u

u

D

x0

x

xx0

0xx

x00

0x

0

00x

3

2

1

13

23

12

3

2

1

31

23

12

33

22

11

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

444 3444 21

321ε

εεεεεε

(2.12)



2.5 Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Gerilmeler ile şekil değiştirmeler veya şekil değiştirmeler ile gerilmeler arasındaki, deneysel olarak ortaya konmuş, bağıntılardır. Bünye denklemleri, malzeme kanunu veya HOOKE kanunu1 da denilmektedir. İzotrop, doğrusal elastik malzeme ve küçük şekil değiştirmeler için aşağıda özetlenen bağıntılar mukavemetten bilinmektedir. Şekil değiştirme- gerilme bağıntıları: ε ile σ arasındaki bağıntılardır: (2.13)

Gerilme- şekil değiştirme bağıntıları: σ ile ε arasındaki bağıntılardır:

3131

2323

1212

22113333

33112222

33221111

)1(2

E

)1(2

E

)1(2

E

])1[()21)(1(

E

])1[()21)(1(

E

])1[()21)(1(

E

ευ

σ

ευ

σ

ευ

σ

υευεευυυ

σ

υευεευυυ

σ

υευεευυυ

σ

+=

+=

+=

++−−+

=

++−−+

=

++−−+

=

(2.14)

Matris notasyonunda (2.15)

1 Robert HOOKE (1635-1703, İngiliz ) tarafından bir eksenli gerilme durumu için 1660-1678 yıllarında ortaya konuldu. Leonhard EULER (1707-

1783, İsviçreli), Thomas YOUNG (1773 –1829, İngiliz) , Giordano RICATTI (1782 civarı, İtalyan), Augustin-Louis CAUCHY (1789 – 1857,

Fransız), Siméon Denis POISSON (1781 –1840, Adhémar Jean Claude Barré de SAINT-VENANT (1797 –1886), Fransız) katkıları ile geliştirildi,

genelleştirildi ve genel HOOKE kanunu olarak anılmaya başladı.

321

4444444444444 34444444444444 21

321ε

εεεεεε

υ

υ

υυυυ

υυυυυυ

υυ

σσσσσσσ

−

−

−−

−−

−+=

31

23

12

33

22

11

31

23

12

33

22

11

E

2

)21(00000

02

)21(0000

002

)21(000

0001

0001

0001

)21)(1(

E

3131

2323

1212

22113333

33112222

33221111

E

)1(2E

)1(2E

)1(2

)(E

1

)(E

1

)(E

1

συε

συε

συε

υσυσσε

υσυσσε

υσυσσε

+=

+=

+=

−−=

−−=

−−=

321444444444 3444444444 21321σ

σσσσσσ

υυ

υυυ

υυυυ

εεεεεεε

++

+−−

−−−−

=

31

23

12

33

22

11

31

23

12

33

22

11

G

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

E

1 σε G=

εσ E=



E matrisine malzeme rijitlik, G matrisine malzeme esneklik matrisi de denir. Her ikisi de 6x6 boyutlu,

simetrik ve pozitif tanımlıdır(determinantı sıfırdan farklı). Biri diğerinin tersidir: 1EG

−= veya 1GE

−= . Bu

matrisler sadece malzemenin E elastisite modulüne1 ve υ Poisson oranına bağlıdır. E ve υ sayılarına malzeme sabitleri de denir2. Malzemenin G kayma modülü

)1(2

EG

υ+= (2.16)

ile tanımlanır. Herhangi ikili bilinirse üçüncüsü bu bağıntıdan hesaplanabilir. Kayma modülü kayma şekil değiştirmeleri ile kayma gerilmeleri arasındaki ilişkiyi kurar. 2.16 kullanılarak 2.13 ve 2.14 bağıntılarından aşağıdaki bağıntılar çıkartılabilir.

(2.17)

2.6 İki eksenli durum

Dış yükleri düzlemi içinde olan levhalar düzlem problem olarak ele alınabilir. İki farklı problem türü vardır: a) Düzlem gerilme durumu b) Düzlem şekil değiştirme durumu. a) Düzlem gerilme durumu:

Varsayım:

0,0

0

333231

313233

≠=====

εεεσσσ

Bu varsayımlar 2.1-2.15 arasındaki genel bağıntılarda yerine konarak aşağıda özetlenen bağıntılar bulunur. Yük vektörleri: [ ]T

21 ppp = , [ ]T

21 ggg =

Yer değiştirme vektörü: [ ]T

21 uuu =

Gerilme vektörü: [ ]T

122211 σσσσ =

Şekil değiştirme vektörü: [ ]T

122211 εεεε =

1 E elastisite modülüne (İngiliz Thomas YOUNG’a, 1773 –1829 ithafen) YOUNG modülü de denir. Elastisite modülü kavramını YOUNG’ dan önce,

1727 yılında İsviçreli Leonhard EULER(1707-1783) kullanmış, ilk deneysel çalışmaları da İtalyan Giordano RICATTI 1782 yılında

gerçekleştirmiştir. 2 E ve G simetrik 6x6 boyutlu kare matrislerdir. Yapı malzemelerinde(Çelik, beton,…) E>0, 0≤υ <0.5 dir. Bu nedenle E ve G matrislerinin

determinantı det E≠ 0 ve det G≠ 0 dır, tersleri daima vardır. Determinantı sıfırdan farklı ve simetrik olan matrislere pozitif definit(pozitif tanımlı)

matris denir. Pozitif definit matrisler sıfırdan farklı herhangi bir tamamen keyfi vektör ile soldan ve sağdan çarpıldığında daima pozitif bir sayı elde

edilir. Yani x≠0 herhangi bir keyfi vektör olmak üzere daima xT E x>0 dır. xT E x>0 ifadesine kare form da denir. Bu özellikten ilerideki konularda

yararlanılacaktır.

313131

232323

121212

G)1(2

E

G)1(2

E

G)1(2

E

εευ

σ

εευ

σ

εευ

σ

=+

=

=+

=

=+

=

GE

)1(2GE

)1(2GE

)1(2

313131

232323

121212

σσυε

σσυε

σσυε

=+=

=+=

=+=

p2

x1

x2

p1

Levha

L t

Kesit

t<<ht<<L

x3

Sağda görülen levhanın kalınlığı diğer iki boyutu yanında çok küçüktür. Levha ve dış yükler x1-x2 düzlemindedir. Levhanın noktaları, mesnetler hariç, x3 yönünde engellenmemiştir, Poisson etkisiyle levha bu yönde şekil değiştirebilir(şişer veya büzülür) fakat, engelleme olmadığı için, bu yönde gerilme oluşmaz.



Denge denklemleri:

Şekil değiştirme–yer değiştirme bağıntıları:

uD

u

u

xx

x0

0x

2

1

12

2

1

12

22

11

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ε

εεε

Şekil değiştirme-gerilme bağıntıları: Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları:

b) Düzlem şekil değiştirme durumu: Varsayım:

0,0

0,0u

333231

3132333

≠======

σσσεεε

Yük vektörleri: [ ]T

21 ppp = , [ ]T21 ggg =

Yer değiştirme vektörü: [ ]T

21 uuu =

Gerilme vektörü: [ ]T122211 σσσσ =

(2.18)

=

=

12

21T

T

nn0

n0nn

pn σ

εσ

εεε

υυ

υ

υσσσ

E

2

100

01

01

1

E

12

22

11

2

12

22

11

=

−−=

0

)(1

1)(

E

1

3231

2211221133

==

−−−

=−−=

εε

υευευ

υσυσε

Poisson etkisiyle x3 doğrultusunda oluşan şekil değiştirme:

Sağda görülen istinat duvarı ve basınçlı borunun x3 yönünde boyu çok uzundur. Bu yönde yer değiştirme ve şekil değiştirme olmaz, u3=0 dır. Ağırlık barajı, tüneller, basınçlı borular ve zemin mekaniği problemlerinde de durum aynıdır. Birim kalınlıkta bir dilim çıkartılırsa dış yükler ve yer değiştirmeler x1-x2 düzleminde olacaktır. x3 yönünde yer değiştirme engellendiği için gerilme oluşacaktır.

Bu varsayımlar 2.1-2.15 arasındaki genel bağıntılarda yerine konarak aşağıda özetlenen bağıntılar bulunur.

σε

σσσ

υυ

υ

εεε

G

)1(200

01

01

E

1

12

22

11

12

22

11

=

+−

−=

(V hacminde)

(Op yüzeyinde)

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=+

12

21T

T

xx0

x0

xD

0gD σ



Şekil değiştirme vektörü: [ ]T122211 εεεε =

Denge denklemleri:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=+

12

21T

T

xx0

x0

xD

0gD σ

Şekil değiştirme–yer değiştirme bağıntıları:

uD

u

u

xx

x0

0x

2

1

12

2

1

12

22

11

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ε

εεε

Şekil değiştirme-gerilme bağıntıları: Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları: x3 doğrultusunda oluşan gerilme:

0, 3231221133 ==+= εσυσυσσ

2.7 Bir eksenli durum

Sadece eksenel kuvveti olan kafes sistemlerdeki gerilme durumudur. Eleman x1 ekseni boyunca uzar veya kısalır. Poisson etkisi olmadığı(( = 0) , �� ≠ 0, �� ≠ 0, �� ≠ 0 ve tüm diğer gerilme ve şekil değiştirmelerin sıfır olduğu varsayılır. Bu nedenle � → ��, � → ��, � → ��, � → �, + → +.

�� =,

,-.�� (2.20)

�� = ��

=

=

12

21T

T

nn0

n0nn

pn σ

εσ

εεε

υυυ

υυ

υυσσσ

E

2

2100

01

01

)21)(1(

E

12

22

11

12

22

11

=

−−

−

−+=

1

1X2

X3 X1

Su

g2

X2

X1

Ağırlık barajı Birim kalınlıkta dilim

p1

11σ

11σ

σε

σσσ

υυυυ

υ

εεε

G

200

01

01

E

1

12

22

11

12

22

11

=

−−−−

+=

(V hacminde) (Op yüzeyinde)

(2.19)



2.8 Problem türleri ve çözüm yöntemleri Uygulamada çözülmesi gereken en yaygın problem şudur: Geometrisi, malzemesi, g,p yükleri ve mesnet

koşulları bilinen elastik cismin(sistemin) u yer değiştirme, σ gerilme ve ε şekil değiştirme vektörlerinin

hesaplanması istenir. σ gerilmeleri dayanım hesapları için, u yer değiştirmeleri kullanılabilirlik için

gereklidir.

Çözülmesi gereken sistemin malzemesi ve geometrisi doğrusal veya doğrusal olmayan türden olabilir. Yüklerin etkime şekline bağlı olarak problem statik veya dinamik olarak ele alınabilir. Çözüm; cismin yer değiştirme, şekil değiştirme ve gerilme fonksiyonlarının belirlenmesi anlamındadır, analitik veya nümerik(sayısal) olarak yapılabilir. Analitik çözüm 2.5, 2.12 ve 2.15 diferansiyel denklemlerinin integrasyonu yoluyla u yer değiştirme, ε şekil değiştirme ve σ gerilme fonksiyonlarının bulunması esasına dayanır. Sağlanması gereken 15 bağıntı vardır, bunlardan 9 u kısmi diferansiyellidir. Çözüm için cismin sınır koşulları kullanılır. Son derece kısıtlı ve teorik düzeyde kalan uygulaması vardır. Geometrisi, yükleri ve sınır koşulları karmaşık olmayan çok basit sistemlerin çözümü dışında kullanılamaz. Nümerik(sayısal) çözüm yöntemleri 2.5, 2.12 ve 2.15 bağıntılarını doğrudan kullanmazlar, bu bağıntılar ile yaklaşık aynı anlama gelen, genelde enerji yöntemlerini kullanırlar. Sistemin çözümünü yer değiştirmeleri ve/veya gerilmeleri bilinmeyen olarak içeren bir denklem sisteminin çözümüne dönüştürürler. Sonlu elemanlar metodu enerji temellidir. Bilinmeyenlerin yer değiştirmeler olması durumunda Sonlu elemanlar yer değiştirme veya rijitlik metodu(displacement or Stiffness method), gerilmeler olması durumunda Sonlu elemanlar kuvvet veya Fleksibilite metodu(force or flexibility method), hem yer değiştirmeler hem de gerilmeler olması durumunda Karma sonlu elemanlar metodu(mixed method) adını alır. Yer değiştirme metodu yaygın olarak kullanılmaktadır. Kuvvet metodu ve karma metod uygulama alanı bulamamıştır. Bu ders notları sonlu elemanlar yer değiştirme metodunun temel ilkelerini içermektedir.

σ

σ ,u

σ

σ ,u

2. notasyon, varsayımlar, tanımlar, temel ba ğıntılar...

Documents