Mulimea numerelor naturale. Operaii pe mulimea numerelor naturale Mulimea numerelor naturale * * + +

Mulimea numerelor naturale nenule Adunarea Dac , atunci .

Proprietile adunrii Asociativitatea Adunarea numerelor naturale este asociativ, adic ( Comutativitatea Adunarea numerelor naturale este comutativ, adic Elementul neutru Numrul natural 0 este element neutru pentru adunare, adic Scderea Pentru , definim diferena dintre a i b ca fiind numrul natural c cu proprietatea c . , . , . ) ( ), .

Cu alte cuvinte: . a se numete desczut, b se numete scztor, c se numete rest sau diferen. Scderea numerelor naturale nu este nici asociativ, nici comutativ.

nmulirea Dac , atunci .

Proprietile nmulirii Asociativitatea nmulirea este asociativ, adic Comutativitatea ( ), .

nmulirea este comutativ, adic Elementul neutru

,

.

Numrul natural 1 este element neutru pentru nmulire, adic Distributivitatea fa de adunare i scdere nmulirea este distributiv fa de adunare i scdere, adic ( ) , , cu . ( )

,

.

,

i

Distributivitatea st la baza metodei de scoatere a factorului comun: ( ).

(

) sau

mprirea Teorema mpririi cu rest: Pentru orice numere naturale a i b, unice q i r, astfel nct: , exist dou numere naturale

i

q se numete ctul mpririi, iar r restul mpririi. De asemenea, a se numete demprit, iar b mpritor. Relaia Dac constituie proba mpririi cu rest. se spune c a se mparte exact la b.

Puteri. Operaii cu puteri Prin definiie, a la puterea n este numrul notat a se numete baza puterii, iar n exponentul. Prin convenie, , , iar nu are sens. .

Proprieti ale operaiilor cu puteri , , , , , ; ;

( ( (

) ) )

, , ,

, , ,

; ; ;

Divizibilitate Dac a i b sunt dou numere naturale, spunem c b divide pe a sau a este divizibil cu b dac exist un numr natural c astfel nct . Notaie: , respectiv . n aceast situaie, mai putem spune c b este un divizor al lui a sau c a este un multiplu al lui b. Dac b nu divide pe a, folosim notaia Proprietile relaiei de divizibilitate Reflexivitatea: Antisimetria: Dac Tranzitivitatea: Dac i , Dac Dac Dac i , i i . , atunci , atunci . . .

(orice numr natural are ca divizori pe 1 i pe el nsui, numii divizori improprii). (0 este divizibil cu orice numr natural). , atunci ( ( ), ). . ) .

, atunci i

i b i c sunt prime ntre ele, atunci (

Criterii de divizibilitate Criteriile de divizibilitate cu 10, 100, 1000 Criteriul de divizibilitate cu 10: Un numr natural este divizibil cu 10 dac i numai dac are ultima cifr 0. Criteriul de divizibilitate cu 100: Un numr natural este divizibil cu 100 dac i numai dac ultimele dou cifre ale numrului sunt 0. Criteriul de divizibilitate cu 1000: Un numr natural este divizibil cu 1000 dac i numai dac ultimele trei cifre ale sale sunt egale cu 0.

n general, un numr natural este divizibil cu cu 0. Criteriile de divizibilitate cu 2 i cu 5 Criteriul de divizibilitate cu 2:

dac i numai dac ultimele n cifre ale sale sunt egale

Un numr natural este divizibil cu 2 dac i numai dac ultima lui cifr este divizibil cu 2, adic este o cifr par (0, 2, 4, 6, 8). Criteriul de divizibilitate cu 5: Un numr natural este divizibil cu 5 dac i numai dac ultima lui cifr este divizibil cu 5, adic este 0 sau 5. Criteriile de divizibilitate cu 4 i 25 Criteriul de divizibilitate cu 4: Un numr natural este divizibil cu 4 dac i numai dac ultimele dou cifre ale sale formeaz un numr divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 25: Un numr natural este divizibil cu 25 dac i numai dac ultimele dou cifre ale sale formeaz un numr divizibil cu 25, adic ultimele dou cifre sunt 00, 25, 50 sau 75. Criteriile de divizibilitate cu 3 i cu 9 Criteriul de divizibilitate cu 3: Un numr natural este divizibil cu 3 dac i numai dac suma cifrelor sale este divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9: Un numr natural este divizibil cu 9 dac i numai dac suma cifrelor sale este divizibil cu 9. Numere prime i numere compuse Se numete numr prim orice numr natural diferit de 1 care se divide doar cu 1 i cu el nsui, adic admite doar divizori improprii. Se numete numr compus orice numr natural diferit de 1 care admite cel puin 3 divizori. Cel mai mare divizor comun Cel mai mare divizor comun a dou sau mai multe numere naturale, nu toate nule, este cel mai mare numr natural care divide toate numerele date.

Notaie: (

) este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor

,

,...,

.

Dou numere naturale se numesc prime ntre ele dac cel mai mare divizor comul al lor este 1. Cel mai mare divizor comun a dou sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni, luai o singur dat, la puterea cea mai mic. Cel mai mic multiplu comun Cel mai mic multiplu comun a dou sau mai multe numere naturale, diferite de 0, este cel mai mic numr natural, diferit de 0, care se divide cu numerele date. Notaie: , - este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor , ,..., .

Cel mai mic multiplu comun a dou sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni i necomuni, luai o singur dat, la puterea cea mai mare. Proprietate: ( ) , .