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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
“APUNTES DE CÁLCULO I”
CARLOS ESCOBAR FLORES FERNANDO ZAMORANO GONZALEZ
2ª Edición.
2
Orden en R.
El punto de partida de estos apuntes no debieran ser exactamente los
AXIOMAS DE ORDEN, sino que debiéramos remontarnos más atrás y pensar en el
conjunto de los números reales; a lo mejor sería importante construirlos; pero esto
contribuye muy poco a los objetivos de este curso.
Consideramos por lo tanto los números Reales como “objetos” no definidos
que cumplen ciertos “AXIOMAS”, denotaremos de aquí en adelante por R al conjunto de
los números reales. R está dotado de una estructura Algebraica que incluyen dos
operaciones: adición “”+” y multiplicación “.”. Un primer conjunto de axiomas describe el
comportamiento de estas operaciones:
A. 1 : R es CERRADO bajo Adición.
A. 2 : La Adición en R es ASOCIATIVA.
A. 3 : R posee ELEMENTO NEUTRO ADITIVO.
A. 4 : R posee ELEMENTO INVERSO ADITIVO.
A. 5 : La Adición en R es CONMUTATIVA.
M. 1 : R es CERRADO bajo Multiplicación.
M. 2 : La multiplicación en R es ASOCIATIVA.
M. 3 : R posee ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO.
M. 4 : R posee ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO.
M. 5 : La multiplicación en R es CONMUTATIVA.
A. M : En R se cumple la Ley DISTRIBUTIVA.
Luego R ; con “+” y “.” y los once axiomas enunciados anteriormente
forman una estructura de CUERPO.
Con los AXIOMAS DE ORDEN que estudiaremos, en detallo, a
continuación hacen de R un CUERPO ORDENADO.
1.1. Axiomas de Orden.
Existe un subconjunto de R denotado por R
para el cual se cumplen los
siguientes axiomas:
Axioma 1 : (Ley de Tricotomía)
Para todo x R se cumple una y sólo una de las siguientes proposiciones:
a) x R
b) (-x) R
c) x = 0
Axioma 2:
Para todo x, y R se cumple que (x + y) R
es decir R
es cerrado
bajo adición.
Axioma 3:
Para todo x, y R
se cumple que xy R
, es decir R
es cerrado bajo
multiplicación.
3
En lo que sigue llamaremos a R el conjunto de números reales positivos.
A continuación definiremos una relación de Orden en R en término de R .
Def. 1.1.1.: Si a, b R, entonces a > b significa que (a – b) R y diremos
que “a es mayor que b”.
Puede darse una definición similar para “a < b” (léase; “a menor que b” o “b mayor que
a”).
Nota 1.1.1.
x > 0 si y sólo si (x – 0) = x R lo cual significa que R está
formado por los números reales que son mayores que cero, es decir R
= { x R / x > 0}.
Se define R al conjunto R = {x R / x < 0 }.
Así : R = R U R U { 0 }
Def. 1.1.2. Si a, b R, entonces:
i) a b ( a < b v a = b )
ii) a b ( a > b v a = b )
Def. 1.1.3. Una desigualdad es un par de expresiones relacionadas por cualquiera de los
símbolos: <; ; > ; .
Presentaremos a continuación algunas propiedades básicas en las desigualdades.
P - 1. Si a, b R entonces se cumple una y sólo una de las siguientes
proposiciones:
i) a < b
ii) a > b
iii) a = b
Demostración:
Sea x = (b - a), es claro que x R
Como x R, por axioma 1, se cumple una y sólo una de las siguientes proposiciones:
1) x R
2) -x R
3) x = 0
Si x R (b - a) R
a < b
Si -x R - (b-a) R
(a-b) R
a > b
Si x 0 b - a = 0 a = b
P - 2. ( Transitividad )
Sean a, b, c R
Si ( a < b b < c ) a < c
4
Demostración.
a < b ( b – a ) R
b < c ( c – b ) R
Como ( b - a ) ( c – b ) R , entonces por axioma 2
( b - a ) + ( c – b ) R , es decir ( c – a ) R , lo que significa, por
definición, que a < c
P - 3.
Sean a, b, c R
Si a < b ( a + c ) < ( b + c )
Demostración: De la hipótesis tenemos:
( b – a ) R
( b – a + 0) R
( b – a ) + ( c – c ) R
( b + c ) - ( a + c ) R
lo que significa, por definición, que
( a + c ) < ( b + c )
En esta demostración se utilizaron algunos axiomas de cuerpo de los números
Reales.
P - 4.
Sean a, b, c, d R
Si ( a < b y c < d ) ( a + c ) < ( b + d )
Demostración:
De la hipótesis tenemos:
i) ( b – a ) R
ii) ( d – c ) R
Por axioma 2 se tiene que :
( b - a ) + ( d - c ) R
es decir
( b - a + d - c ) R
o
( b + d ) - ( a + c ) R
lo que significa, por definición, que
( a + c ) < ( b + d )
P - 5.
Sean a, b, c R
Si a < b y c > 0 ac < bc
Demostración:
De la hipótesis tenemos que :
i) c R
ii) ( b - a ) R
5
Por axioma 3 ( b – a ) c R , es decir,( bc - ac ) R lo que significa,
por definición, que ac < bc
P - 6.
Sean a, b, c R
Si a > b y c < o ac < bc
Demostración: (Propuesta como ejercicio ).
Las propiedades 5 y 6 nos dicen respectivamente que:
“Si se multiplica una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad se
mantiene”, “Si se multiplica una desigualdad por un número negativo, el sentido de la
desigualdad cambia”.
P - 7.
Sean a, b, c, d R
Si ( o < a < b ) ( o < c < d ) ac < bd
Demostración:
De la hipótesis tenemos que a < b y c > o, entonces por propiedad 5
ac < bc (1)
Análogamente de la hipótesis c < d y b > c, entonces por propiedad 5
bc < cd (2)
De (1) y (2) y por propiedad 2 (propiedad transitiva) se concluye que ac < cd.
P - 8.
Si a R a2
o
Demostración:
a R, entonces por axioma 1, se cumple una y sólo una de las siguientes
proposiciones:
i) a > o
ii) -a > o
iii) a = o
Si a > o por axioma 3, a . a > o, es decir, a2
> o
Si -a > o por axioma 3, (-a) (-a) > o, es decir, a2
> o
Si a = o , entonces a2
= o
En cualquiera de los tres casos a2 o
Como consecuencia de la propiedad anterior se deduce que 1 > o, en efecto,
1 = 12 > 0
6
P - 9.
Sea a R.
Si a > o a
1 > o
Demostración:
Supongamos que a
1 no es positivo, como
a
1 no puede ser cero, se debe cumplir
que a
1 < o.
(a
1 < o y a > o ) a .
a
1 < o ( propied. 5 ), es decir, 1 < o.
Se ha llegado a una contradicción (con el hecho demostrado que 1 > o ) al suponer que
a
1 no es positivo, por lo tanto
a
1 > o.
P - 10.
Sean a, b R.
Si o < a < b a
1 >
b
1
Demostración:
a > o a
1 > o propiedad 9 (1)
b > o b
1 > o propiedad 9 (2)
De (1) y (2) y axioma 3 , ab
1 > o.
(a < b ab
1 > o ) a .
ab
1 < b .
ab
1 propiedad 5,
es decir, b
1 <
a
1
P - 11.
Sean a, b R y n N
Si a > b > o an
> bn
> o
En la demostración de esta propiedad se utiliza Inducción Matemática y la
propiedad 7
Se deja al alumno la demostración.
En los siguientes ejemplos ilustraremos como estas propiedades básicas pueden ser
aplicadas.
Ejemplo 1.1.1.
Si x, y R
7
Demostrar que x
y
3 1 -
y
x
4
3
Al intentar resolver ejercicios como éstos se recomienda buscar un “punto de
partida” que sirva como orientación para realizar la demostración formal. La búsqueda del
“punto de partida” consiste en partir de la tesis para llegar, a través de aplicaciones
adecuadas de las propiedades básicas, a una expresión claramente verdadera.
“Buscando el punto de partida”:
x
y
3 1 -
y
x
4
3 /. 12xy > 0
multiplicando la desigualdad por 12 xy, teniendo en cuenta que el sentido de la desigualdad
no se altera puesto que 12 xy > 0 (propiedad 5 ) se tiene:
4 y 2 12 xy - 9 x 2
sumando a ambos miembros de esta última desigualdad la expresión -12xy + 9x2
(por propiedad 3 ) se obtiene:
4 y2 - 12 xy + 9 x
2 0 o
(2 y - 3 x)2 0 expresión claramente verdadera por propiedad 8.
En consecuencia nuestro “punto de partida” será : (2y - 3x)2
.
Demostración formal:
Por propiedad 8 : (2 y - 3 x)2
0
Desarrollando el cuadro de binomio:
4 y2 - 12 xy + 9 x
2 0
sumando a ambos miembros la expresión 12 xy - 9 x2
:
4 y2 12 xy - 9 x
2
multiplicando por xy12
1 > 0 por propiedad 5 :
y
x
x
y
4
31
3
Ejemplo 1.1.2.
Sean a, b, c R
Demostrar que a2+ b
2 + c
2 ab + ac + bc
8
Demostración formal:
Se deja al alumno, como ejercicio, verificar el “punto de partida” de esta
demostración.
(a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2 0 ¿ Por qué ?
desarrollando el cuadrado de los binomios:
a 2 - 2ab + b 2 + a 2 - 2ac + c 2 + b 2 - 2bc + c 2 0 o
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab – 2ac – 2bc 0 o
2 ( a2 + b
2 + c
2) – 2 ( ab + ac + bc ) .0
multiplicando por ½ > 0 :
a2 + b
2 + c
2 - (ab + ac + bc ) 0
sumando a esta última desigualdad la expresión ab + ac + bc ( a cada miembro):
a2 + b
2 + c
2 ab + ac + bc
Ejercicios propuestos 1.1.1
Probar las siguientes proposiciones:
1.- Si x
0 x2 +
2
9
x 6
2.- Si x > 0 y > 0
x
y
y
x 2
¿En qué caso se produce la igualdad ?
3.- Si x > 0 y > 0 23
5
5
3
x
y
y
x
4.- x, y R xy
yx
2
5.- x R x + x
1 2
6.- Sean x, y, z, w R
Si y
x <
w
z = >
y
x <
wy
zx
<
w
z
7.- Sean x, y R
9
Si A = 2
1 ( x + y ) (Media Aritmética)
G = xy (Media Geométrica)
yxH
11
2
11 (Media Harmónica)
Demostrar que A G H.
¿ Cuándo se cumple la igualdad?
8.- Si x, y, z R U 0 3
33xyz
xzyzxyzyx
9.- Si x > 0 x3 +
2
2
3
11
xx
x
¿ Cuándo ocurre la igualdad ?
10.- Si x > 0 x < 1 x2
< x
11.- Si y > 0 x < y + 1 y
x>
1
1
x
y
12.- Si x > y z < 0 z
x <
z
y
13.- Si x < y < 0 y
1 <
x
1
14.- Si x > 0 xn
> 0 n N
15.- Sea p Q , p > 0
Si x > 0 xp
> 0
16.- Sean x , y R
y p Q ; p > 0
Si x < y xp
< yp
17.- Si x, y R yx < yx
18.- Si x, y R x > xy > y
10
INTERVALOS:
Def. 1.1.4. Llamaremos eje numérico a una recta infinita en el cual se ha dispuesto:
- Un punto 0 que llamaremos origen.
- Un sentido positivo que se indica con una flecha.
- Una escala o unidad de Medida.
Los números reales se pueden representar mediante puntos del eje numérico dispuesto en
posición horizontal, considerando positivo el sentido de izquierda a derecha. (Figura 1)
_______________________________|__________________________________
0
Si un número a 1 es positivo se representará por un punto p 1 situado a la derecha del
origen 0 y a una distancia OP 1 = a1 . Si un número a 2 es negativo se representará por
un punto P 2 situado a la izquierda del origen 0 y a una distancia OP 2 = -a 2 . El punto 0
representará el número cero.
(Ver figura 2)
_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Entre todos los números reales y todos los puntos del eje numérico, descrito anteriormente,
existe una relación uno a uno: A cada número real le corresponde un solo punto que lo
representa en el eje numérico, y , recíprocamente, a cada punto le corresponde un solo
número.
Es claro que en el eje numérico existe una relación de orden entre los puntos, que
corresponde a la de los números reales.
A continuación describiremos conjuntos de puntos en el eje numérico de los
números reales, estableciendo una cierta propiedad, los que llamaremos “INTERVALOS”.
Def. 1.1.5. Sean a, b R definimos:
i) (a, b) = bxaRx / INTERVALO ABIERTO
2i) bxaRxba /, INTERVALO CERRADO
3i) (a, b] = bxaRx /
4i) [a, b) = bxaRx /
5i) ( -00, a] = axRx /
6i) ( -00, a) = axRx /
7i) [ a, 00) = axRx /
8i) ( a, 00 ) = axRx /
Figura 1
Figura 2
11
Podemos notar que en el Intervalo Cerrado [ a, b] los puntos terminales, a y b,
son puntos del conjunto; en el Intervalo Abierto, ninguno de los puntos terminales se
incluyen solamente uno de los puntos terminales llamaremos a estos conjuntos Intervalos
Semiabiertos (conjuntos 3i, 4i,, 5i, 7i ); los conjuntos 5i, 6i,, 7i, 8i se llaman Intervalos
Semi-infinitos.
Al hacer un esquema de un intervalo indicaremos por círculos pequeños los puntos
terminales. Y si incluye el punto terminal, el interior del círculo es negro; si no se incluye
el punto terminal el interior del círculo es blanco. (Figura 3)
[ a, b] _____ 0 ______________________ 0 ____________
a b
( a, b] _____ 0 ______________________ 0 _____________
a b
[ a, b ) _____ 0 ___________________________________
a b
( a, b ) _____ 0 ____________________________________
a b
( 00, a ] ___________________ 0 ______________________
a
( -00, a ) ____________________ 0 ______________________
a
[ a , 00 ) ________ 0 __________________________________
a
( a, 00 ) ________ 0 __________________________________
a Figura 3.
Existen otras formas, también adecuadas, para esquematizar intervalos en el eje numérico
real.
Nota 1.1.2:
i) x ( a, b ) a < x < b ( a < x ^ x < b )
2i) x [ a , b ] a x b ( a x ^ x b )
3i) x ( a, b ] a < x b ( a < x ^ x b )
4i) x [ a, b ] a x b ( a x ^ x < b )
5i) x ( -00, a ] x a
6i) x ( -00, a ) x a
12
7i) x [ a,
00 ) x > a
8i) x ( a,
00 ) x > a
Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar entre intervalos.
Ejemplo 1.1.3:
Si A = ( -2, 8 ] , B = (0,10) y C = ( -1, 00 )
Determinaremos
a) A B b) A U C c) B c
a) BxAxBAx
10,08,2 xx
10082 xx
10082 xxxx
10802 xxxx
10802 xxxx
80 xx
80 x
8,0 x
luego 8,0BA
b) CxVAxCUAx
00,18,2 xvx
182 xvx
182 xvxx
1812 vxxxvx
Rxx 2
2 x
00,2 x
luego 00,2 AUC
c) BxBx c
10,0 x
100 vxx
00,100,00 vxx
00,100,00 x
13
Resulta sencillo realizar estas operaciones esquemáticamente:
a) ;10,08,2
__________________|_______________________________ 8,2
-2 o 8
_________________________________________________ 10,0
o 10
_________________________________________________ 8,010,08,2
o 8
b) :00,18,2
__________________|_______________________________ 8,2
-2 8
__________________________________________________ 00,1
-1
__________________|_____________________________ 00,200,18,2
-2 -1 o
c) :10,0c
________________________________________________ 10,0
o 10
__________________________________________________ ooooc ,100,10,0
o 10
14
Inecuaciones
Def. 1.1.6.- Una Inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas.
Resolver una Inecuación consiste en determinar el conjunto de valores de la incógnita (o
incógnitas), para los cuales la desigualdad se satisface, al que llamaremos conjunto solución
de la inecuación.
No existe una regla general para resolver los diferentes tipos de Inecuaciones. A
continuación se ilustrarán con algunos ejemplos como resolver ciertas inecuaciones.
Ejemplo 1.1.4
a) Resolver 2477 xx
Como en las ecuaciones, aquí trataremos de “despejar” la incógnita x, empleando
adecuadamente las propiedades de orden estudiadas anteriormente:
sumando ambos miembros de la desigualdad la expresión 74 x por propiedad 3
la inecuación queda 74242477 xxxx
realizando las respectivas operaciones:
53 x
multiplicando la Inecuación por 03
1 por propiedad 5
tenemos 3
5x
luego el conjunto solución es
00;
3
5S
La manera de resolver una Inecuación Cuadrática no guarda ninguna relación con la
fórmula utilizada para resolver una ecuación cuadrática, como se ilustrará en el siguiente
ejemplo:
b) Resolver 0342 xx
Para resolver esta inecuación la expresamos en una forma equivalente mediante
factorización:
031 xx
pero
03010301031 XXvxxxx
3131 xxvXX
31 vxx
3,0000,1 vxx
3;0000;1 x
luego 00;13;00 S
15
Otro Método:
- El factor 1x es cero cuando 1x ; para
01,1 xx y para
011 xx .
- El factor 3x es cero cuando 3x ; para
033 xx y para
033 xx .
Estas conclusiones las podemos resumir en el siguiente cuadro, el que nos permite obtener
el conjunto solución S rápidamente.
- -3 -1 +
3x - + +
1x - - +
13 xx + - +
Luego 03413 2 xxxx cuando
,00,13,00 x
es decir,
.00,13,00 S
c) Resolver 3
21
x
x
x
x (1)
Por desconocer el signo que toma el producto 3xx no es conveniente multiplicar la
Inecuación por él, como se haría en una ecuación racional, al hacerlo no sabríamos que
sentido toma la desigualdad, de acuerdo con las propiedades 5 y 6.
Para resolver esta inecuación podemos proceder de la siguiente manera:
Sumando a ambos miembros de la inecuación la expresión 3
2
x
x , y aplicando
la propiedad 3 se tiene:
03
21
x
x
x
x
16
Realizando operaciones:
03
231
xx
xxxx o
0
3
234 22
xx
xxxxx o
03
123
xx
x (2)
Resolver la Inecuación (1) es equivalente a resolver la Inecuación (2) por lo tanto la
solución de la Inecuación (1) será el conjunto solución de la inecuación (2).
Resolveremos la Inecuación (2) con la ayuda de un cuadro análogo al del ejemplo
1.1.4 parte b)
- -3 2
1 0 +
3x - + + +
12 x - - + +
x - - - +
3
12
xx
x
- + - +
Luego 00,02
1,3
S
Valor Absoluto.
Definición 1.1.7. El “Valor Absoluto” de un número real xx se define como:
0; xsix
´x
0; xsix
Presentamos a continuación algunas propiedades del Valor Absoluto de un número real.
P - 1. 0, xRxV
Demostración.
Sea ,Rx entonces por ley de tricotomía
i) 0x
2i) 0 x
3i) 0x
17
- Si 0x , por definición , 0 xx
- Si 0 x ; entonces 0x y por definición 0 xx
- Si 0x , por definición 0x
En cualquier caso 0x
P - 2. 00 xx
Demostración.
i) 00 xx
Supongamos que 0x , entonces, 00 xvx
Si 0;0 xxx
Si 0;0 xxx
En ambos casos existe contradicción con la hipótesis
0 x
ii) 00 xx
Basta aplicar definición.
P - 3. Sea ,Rx entonces 2xx
Demostración.
Rx , entonces por ley de Tricotomía,
i) 0x
2i) 0 x
3i) 0x
- Si 0x , entonces xxxyx 2 luego
2xx
- Si 0 x , entonces xxyxxx 2;0 luego 2xx
- Si 0x , entonces 00 2 xyx luego 2xx
en cualquiera de los tres casos 2xx
18
P. – 4. Sean ,, Ryx entonces yxxy
Demostración
yxyxyxyxyx 22222
P. - 5. Sean ,0,, yRyx entonces y
x
y
x
Demostración (Ejercicio)
P. – 6. Sean ,Rx entonces xx
Demostración (Ejercicio)
P. - 7. Sean ,0a entonces
axaax
Demostración
i) axaax
- si ,0x entonces axx y como xa 0
se tiene que axa (1)
- si ,0x entonces ,0 ax se tiene que axa (2)
De (1) y (2) axa
2i) axaxa
- si 0x entonces axx es decir ax
- si 00 xayx se tiene que
,axx es decir .ax
En ambos casos .ax
Luego de (i) y (2i) se tiene que
axaax
P. - 8. Sea 0a , entonces
axvaxax
Demostración (Ejercicio)
P. - 9. Sean ,, Ryx entonces:
yxyx
19
Demostración
Son casos triviales cuando:
i) 0 yx
2i) 00 yx
3i) .00 yx
basta demostrar para 00 yex
P - 7
xxxxx (1)
P - 7
)2(yyyyy
además yyy (3)
Al sumar miembro a miembro las desigualdades de (1) y (2)
yxyxyx
de sumar miembro a miembro las desigualdades de (1) y (2)
yxyxyx
de donde por P - 7.
yxyx (4)
Análogamente
yxyx (5)
de (4) y (5) yxyx
P.- 10. Sean ,, Ryx entonces
yxyx
Demostración (Ejercicio).
En los ejemplos siguientes se muestran resoluciones de Inecuaciones que involucran Valor
Absoluto.
Ejemplo 1.1.5
a) Resolver : 23 x
Para resolver este tipo de inecuación usaremos la propiedad 7 de Valor Absoluto, con
:2a
P - 7
23223 xx
20
3232 x
15 x
1,5 x
Luego 1,5 S
b) Resolver .65 x
Análogamente al caso anterior, usando adecuadamente la propiedad 8 de Valor
Absoluto, con ,6a encontraremos su conjunto solución.
656565 xvxx
111 xvx
1,0000,11 xvx
00,111,00 Ux
Luego 00,111,00 US
c) Resolver 124 xx
En esta desigualdad no podemos usar las propiedades 7 y 8 de Valor Absoluto como en
los anteriores.
De acuerdo a la definición de Valor Absoluto:
- si ,04 x entonces 44 xx
Esto nos sugiere que debemos situarnos en dos casos:
CASO I : Si ,04 x es decir, .4x
En este caso 44 xx y la inecuación queda:
124 xx ó
33 x
de donde 1x
Por lo tanto, en este caso debe cumplirse que ,14 xx
esto es 14 x
llamando 1S al conjunto solución para el caso I, tenemos que 1;41 S
CASO II: Si ,04 x es decir, .4x
En este caso 44 xx y la inecuación queda
21
,124 xx esto es ,
124 xx de donde
5x
Se debe cumplir entonces que 54 xyx
esto nos da que .4,002 S
Finalmente como puede darse el caso I ó el caso II, el conjunto solución S para la
Inecuación propuesta estará dada por .21 SUS
Luego 1,001,44,00 US
d) Resolver 1212 xx
De acuerdo a la definición de Valor Absoluto
- si ,012 x entonces 1212 xx
- si ,012 x entonces xx 2112
- si ,02 x entonces 22 xx
- si ,02 x entonces xx 22
El número de casos a considerar queda visualizado mediante el siguiente cuadro:
½ 2
¿ Por qué ?
CASO I: Si .2
1x
En este caso xx 2112
xx 22 y la inecuación propuesta queda
1221 xx
0x
de donde
2
1,002
11 Sxx
CASO II : Si 22
1 x
En este caso 1212 xx
xx 22
y la inecuación propuesta queda
12 x - + +
2x - - +
22
1212 xx
de donde 3
2x
32,2
13
222
12Sxx
CASO III : Si 2x
En este caso 1212 xx
22 xx
.y la inecuación propuesta queda
1212 xx
de donde 2x
322 Sxx
Luego 0
32,2
12
1,0321 UUSUSUSS
.3
2,0
e) Demostrar la siguiente proposición:
si .2
11
112
xx
Este tipo de Demostración se usa frecuentemente en el estudio de límite de funciones.
Demostración.
Si 12112 xx (Propiedad 7 de Valor Absoluto)
Sumando 3 en cada miembro de ambas desigualdades:
412 x
se puede observar que ,01x por lo tanto 11 xx y entonces
4120 x
de donde 2
11
1
x (Propiedad 10 de desigualdades).
23
Solución Gráfica de Sistemas de Inecuaciones con dos Variables.
Ilustraremos con un ejemplo el procedimiento para resolver gráficamente un sistema
de inecuaciones con dos variables.
Ejemplo 1.1.6.
Resolver gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:
1) 623 yx
2) 22 yx
Solución :
Sean 623/, 2 yxRyxA
22/, 2 yxRyxB
Se puede determinar que el conjunto A está representado gráficamente por el semiplano
abierto (no contiene a la recta; recta segmentada) situado por debajo de la recta de
ecuación ,623 yx notando que cualquier punto, en esta región, (por ejemplo el
origen) satisface la desigualdad .623 yx
Análogamente se determina que el conjunto B está representado gráficamente por el
semiplano cerrado (contiene a la recta) situado por sobre la recta de ecuación .22 yx
La superficie achurada en la figura 4 contiene aquellos puntos que satisfacen
simultáneamente los conjuntos A y B, a decir, la solución gráfica al sistema propuesto.
3x+2y=6
x+2y=2 Figura 4
24
Ejercicios Propuestos 1.1.2.
I. Cuestionario.
1.- Defina los siguientes términos :
a) Intervalo abierto
b) Intervalo cerrado
c) Inecuación
d) Valor Absoluto de un número Real “a”
2.- Demuestre las siguientes propiedades del Valor Absoluto :
a) P – 5 c) P – 8
b) P - 6 d) P – 10
3.- Si bx
11 ¿bajo qué condiciones para x y b se puede concluir
que bx ;00 ? Justifique.
4.- Si bx
11 ¿ bajo qué condiciones para x y b se puede concluir
que 00; bx ? Justifique.
5.- Si 2
11
x ¿ se puede concluir que 2,0x ?
6.- ¿ Es R? x xx
7.- ¿ Es ?Rxxx
8.- ¿ Es posible encontrar 1 xquetalRx ?
9.- Determine y justifique (si es necesario) si es verdadero o falso:
Para babaxabxRbya ,0
II. Resuelva las siguientes inecuaciones:
1. 5
8362
xx ;
7
38;00S
2. xx 2152
3. 92 x ; 3,3S
4. 0232 2 xx
5. 43855 22 xxx ; 2
3;4S
25
6. 11
1
x
7. 1
891
xx ; 3;10;3 S
8.- 12
1
1
18
xx
9. 1
1
2
3
xx ; ;
251,2S
10. 23
23
x
x
11. 25
1
x
x ; 11;5S
12. 13
4
x
x
x
x
13. 1
21
x
x
x
x ; ;1
210S
14. 23
10
515
56
5
3
xxx
15. 21
1
1
12
xx
;
4
171;1
4
171;1S
16. 24
5
2
422
x
x
x
x
xx
x
17. 15 x ; 4;5 S
III. Hallar el conjunto de valores de x que satisfacen las siguientes proposiciones:
1. 1;1;5654 22 Sxxxx
2. 2312 xx
3. 6;57;;352522
2
Sxx
x
IV. Determinar los valores de x para los cuales, las siguientes raíces cuadradas son
números reales.
1. 1x
x ; ,01,S
26
2. 12 x
3. 3
2
x ; 3; S
4. 22
1
x
x
V. Resolver las siguientes Inecuaciones con Valor Absoluto.
1. 101 xx ;
;
2
11S
2. 61 xx ; 2
5;2
7S
3. 232 xxx
4. 412 xx
5. 1 xx ; 2
1;S
6. 53 xx ; 4;1S
7. 222 xx
8. xx 2112
9. xx 362 ; ;41;S
10. 411 xx ; 2;2S
11. 11
1
x
x
12. 62
1
x
x
13. 51
4
x
x ;
;
2
3
4
1;S
14. Hacer la gráfica del conjunto;
5123/, yxyx
27
VI. Demostrar las siguientes proporciones con Valor Absoluto.
1. Si 3
192
185
xx
2. Si 422 10.4014102 xx
3. Si 31
513
x
xx
VII. Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones con dos variables.
1) 12 yx
3 yx
2x
0x
0y
Respuesta:
2) 1 yx
3 yx
0x
0y
x=2
S
x+y=3
-2x+y=1
Figura 5
28
3) 1 yx
1x
3 yx
Respuesta:
x=1
x+y=3
x-y=1
S
Figura 6
29
1.2. Funciones
El concepto de función es uno de los conceptos fundamentales más importantes de las
Matemáticas. La parte principal de las Matemáticas actual se centra en torno a este
concepto, que es básico para el estudio del Cálculo.
Dedicaremos el resto de esta unidad al estudio de este importantísimo concepto.
Def. 1.2.1.-
i) Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que a cada
elemento Ax asocia uno y sólo un elemento f (x) en B.
2i) f (x) es llamado el Valor de f en x o Imagen de x bajo f.
3i) El conjunto A es llamado Dominio de definición de la función f y se
denota por Df.
4i) El conjunto B es llamado Contradominio.
Usaremos la siguiente notación para explicitar el Dominio y Contradominio de la función
f.
BAf :
Ejemplo 1..2.1
i) f : RR y 2xxx
f es la función que a cada real x le asocia su cuadrado 2x , así tenemos que:
RDf además
.22;164;00;11 etcffff
2i) .: xxgyRRg
g es la función que a cada real 0x le asocia su raíz cuadrada positiva.
En esta función ademásRDg
.5,225,6;22;11 etcggg
No todas las funciones están definidas mediante una ecuación, pero son en éstas en las que
centraremos nuestro interés; aún más; trabajaremos con funciones RDff :
llamadas Funciones Reales RDf
Dominio de una Función.
Para funciones definidas mediante una ecuación el Dominio consta de todos aquellos
valores de x para los cuales puede computarse xf , de modo que el resultado sea un
número real. Para el caso, esto implica la exclusión de valores de x que llevan a división
por cero y a las raíces de índice par de números negativos.
30
Cuando definimos una función el Dominio puede ser dado ya sea explícita o
implícitamente, por ejemplo, si se da
23 2 xxf
está implícito que x puede ser cualquier número real .RDf
Sin embargo si se nos da ,101;23 2 xxxf entonces el dominio de f
es 10;1
Análogamente, si g está definida por la ecuación 1
2
x
xxg
está implícito que 1x ya que el cuociente no está definido para 1x
Ejemplo 1.2.2.
1) Sea xxf 1
De acuerdo a lo anterior para determinar el Dominio de esta función debemos encontrar los
valores de x para los cuales .Rxf
Rxf Rx 1
01 x
.1 x
Luego 1;Df
2) Consideremos la función 1
3
x
xxf
Como está determinado un valor de xf por cada valor real de x ; excepto 1x
(¿Por qué?); el Dominio de f consiste de todos los valores reales excepto el 1, esto es,
.1 RDf
3) Sea
11
13
12
xsix
xsi
xsix
xf
En esta función el Dominio está dado explícitamente y de acuerdo a la definición de la
función ., RDff
Rango de una Función.
Def. 1.2.2. Dada una función .: BAf El conjunto de los elementos By
tales que existe Ax (por lo menos uno) tal que .yxf es llamado Conjunto
Imagen de la Función f o Rango de la función f y designado por .AfoRf
31
Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el rango de una función definida por una
ecuación.
Ejemplo 1.2.3.
1) Consideremos la función .2,2
1
x
xxf
Sea 2
1;,
xyesestoxfy
Encontrar el Rango de la función f es equivalente a determinar todos los valores
para y cuando .2x
Resolviendo :2
1tienesexpara
xy
21
y
x
x está determinado para cada valor real de y excepto el cero. Luego
.0 RRf
2) Sea xxfy 1
Puesto que se computa la raíz cuadrada no negativa, entonces .0y
Resolviendo la ecuación :1 xparaxy
21 yx
x es un número real cuando y es un número real ; entonces tomando en
cuenta que ;0y concluimos que ;0Rf
Gráfico de una Función.
Def. 1.2.3.
El gráfico Gf de una función se define por:
xfyDfxRyxGf /, 2
El gráfico de una función determina una curva en 2R la cual permite ver el
comportamiento analítico de la función.
Para graficar una función usaremos el sistema cartesiano de coordenadas y como en la
mayor parte de los casos, una adecuada tabla de valores con dos columnas. En la primera
se colocan algunos valores del dominio de la función y en la segunda columna se escriben
los valores correspondientes a la función.
El número de puntos a considerar en esta tabla de valores dependerá de la precisión
que se requiere para el gráfico.
32
Ejemplo 1.2.4. En este ejemplo se muestran algunos gráficos de funciones con sus
respectivas tablas de valores:
a) 12 xxf
x f(x)
-2 3
-1 0
0 -1
1 0
2 3
b) xxf
x f(x)
0 0
1 1
4 2
Figura 7
Figura 8
33
c) x
xf1
x f(x)
-3 -1/3
-2 -1/2
-1 -1
-1/2 -2
-1/3 -3
1/3 3
1/2 2
1 1
2 1/2
3 1/3
Nota 1.2.1.
Del gráfico de una función f se puede determinar el Dominio y Rango de :f
- La proyección del gráfico de f sobre el eje x determina el Dominio de .f
- La proyección del gráfico de f sobre el eje y determina el Rango de .f
Figura 9
34
Ejercicios Propuestos 1.2.1
I Defina los siguientes conceptos:
1. Función
2. Dominio de una función.
3. Rango de una función.
4. Gráfico de una función.
5. Imagen de x bajo la función .f
II 1. Si 1
1
x
xxg , encontrar:
2
10 gg
hgg 212
1
1
31
xgg
2. Si ,3xxh encontrar
xxspxhspoh 3.93:.Re21.Re 2
xspxhsph 3.9:..Re93.Re1
27:.Re1442224957,1.Re3
1 sphhsph
3. Si 132 xxxf
i) ¿Para qué valor de x es ?2xfxf
ii) ¿Para qué valor de x es ?22 xfxf
Resp. : (ii) 2
1
2
121 xyx
4. Si 12 xxf determine:
i)
h
xfhxf ii)
ax
afxf
III. Encontrar el Dominio y Rango de las siguientes funciones:
1. 22 xxf
2. 216 xxh Resp.: 0;4
4;4
Rf
Df
3. 4
3
x
xxg
35
01
0
xsi
xsixxf
4. 1
1
xxF Resp. :
RRf
coDf ;1
5. 1
x
xxH
6. 1x
xxG Resp. :
2;0
0
RG
RDG
7.
01
0
xsi
xsixxf
IV. Bosquejar la gráfica de las siguientes funciones :
1. 216 xxf
2.
01
0
xsi
xsixxf
3. 3 xxf
4.
40
422
23
xsi
xsix
xsi
xg
5. 4
3
x
xxh
6. 1x
xxf
Respuestas:
2.
36
40
422
23
xsi
xsix
xsi
xg
1x
xxf
4.
6) 0 RDf
- si 0,0 xfyxxentoncesx
- si 2,0 xfyxxentoncesx
es decir
02
00
xsi
xsixf
37
V. Dos funciones gyf son iguales si y sólo si
1. comúniododDDg min
2. Dxxgxf
En base a esta definición responda :
¿Son iguales las funciones 1
11
2
x
xxgyxxf ?
Determine el valor de k para el cual las funciones
44
16
4
2
xsi
k
x
x
xgyxxf
Sean iguales. Resp. : 8k
38
1.3 Tipos de Funciones
A. Función BIYECTIVA
Consideremos una función .: BAf Cuando Af coincide con el
contradominio BAf diremos que la función f es sobre.
Generalmente Af no es necesariamente igual al contradominio B ;
por ejemplo RRg : definida por 2xxg se tiene que .0URRg
Por otra parte, elementos distintos del dominio de f pueden tener el mismo valor en el
contradominio, es decir, puede ocurrir que 2121 xfxfyxx como ocurre en
la función ,2xxg la cual, tiene el mismo valor en los puntos .22 y
Una función que transforme elementos distintos del dominio en elementos distintos del
contradominio, es llamada FUNCION INYECTIVA.
En otras palabras BAf : es INYECTIVA si para todo par de puntos 21 xyx
en A tales que 21 xx se tiene que .21 xfxf
Como ejemplo de función inyectiva mostramos la función ,xxf se puede probar
que si ;21 xx entonces 21 xx para todo 0; 21 URxx
Definición 1.3.1 Una función que es al mismo tiempo INYECTIVA y SOBRE se llama
función BIYECTIVA.
Ejemplo 1.3.1 Se muestran algunos ejemplos de funciones que aclaran los conceptos
definidos anteriormente.
a) Consideremos la función RRf : f definida por xxf es una función
Biyectiva, en efecto
- Es un función sobre pues RRf
- Es una función Inyectiva pues para todo par 2121 ,, xxRdexx se cumple
que 21 xx ¿ Por qué ?
b) La función RRg 1: definida por 1
1
xxg
es una función inyectiva pues si Dgxx 21 ; y
11 2121 xxxx
1
1
1
1
21
xx
Puesto que no existe 01
11
xquetalRx se concluye que g
no es una función sobre.
c) La función RRh .: definida por 23)( xxh
- Es una función sobre pues RRh
- Es una función inyectiva pues para todo par ,, 21 Rdexx
39
si 2121 33 xxxx
2323 21 xx
21 xhxh
Nota 1.3.1
1) RfDff : siempre es sobre.
2) Una función f se dice sobre o epiyectiva.
3) Del gráfico de una función f se puede determinar si es una función
inyectiva o no.
Para una función f Inyectiva, toda paralela al eje x INTERCEPTA al gráfico
de f en A LO MAS UN PUNTO. (Figura 10)
Función Inyectiva Función No Inyectiva
Figura 10
y y
x x
40
B. Función Inversa.
Definición 1..3..1.
Sea BAf una función Biyectiva.
Definimos la función INVERSA ABf :1 tal que
xfyAxdondexyfBy ;)(, 1
Nota 1.3.1
i) También puede definirse la función Inversa de una función BAf :
inyectiva:
AAff :1
2i) La función Inversa 1f de una función biyectiva BAf : tiene por
dominio el rango de f y por contradominio el dominio de f.
es decir : RffD 1
DffR 1
3i) No confundir la función 1f con el recíproco f
1
4i) Si una función biyectiva se define por medio de una fórmula ,xfy
se puede resolver esta ecuación para x en términos de y (algunas veces).
Esta solución constituye la fórmula para la función inversa yfx 1
5i) Las funciones que tienen inversa se llaman funciones Invertibles.
Ejemplo 1.3.1.
a) Dada ,79 xxf ¿ es f invertible ?
De acuerdo a la nota 1.3.1. parte i) bastaría considerar si f es inyectiva.
Demostración:
2121 ;, xxDfxx entonces
21 99 xx y
;7979 21 xx esto es
21 xfxf
Por la tanto, f es inyectiva; de lo cual se concluye que es Invertible.
41
Determinaremos su inversa:
Sea xfy entonces .79 xy Resolveremos esta ecuación para x
en términos de y :
xy 97
9
7
yx
por lo tanto la función Inversa 9
71 y
yf
Con el propósito de respetar la notación de x para la variable del dominio,
cambiando y por x se tiene que:
9
71 x
xf
b) Hallar la función Inversa de la función f definida por .xxf
Sabemos que Df es el conjunto 00,0 al igual que su contradominio.
Como 0 y existe uno y sólo un elemento Dfx tal que 1xy
Entonces resolviendo esta ecuación para x en término de y tenemos:
02 yxy
por lo tanto la función Inversa 1f está dada por la fórmula
021 yyyf
Cambiando y por x se tiene que
021 xxxf
gráficamente la situación es:
1f
021 xxxf
f
Figura 11
42
Generalmente, no siempre las funciones serán inyectiva; pero si restringiremos su
dominio es posible obtener una función inyectiva que además puede ser invertible, por
ejemplo:
Sea 2,02,2: f definida por
24 xxf
Su dominio es el conjunto 2,2 , tomando una parte de él (Restringiéndolo), podemos
construir una función inyectiva:
2,02,0:1 f definida por
2
1 4 xxf
Gráficamente la situación es:
C. Función MONOTONA.
Definición 1.3.2.
Sean f una función con dominio DfAyDf
i) f se dice ESTRICTAMENTE CRECIENTE EN A
Si para 212121 ;; xfxfxxAenxx
2i) f se dice ESTRICTAMENTE DECRECIENTE EN A
Si para 212121 ,; xfxfxxAenxx
3i) f se dice CRECIENTE EN A
Si para 212121 ; xfxfxxAenxx
4i) f se dice DECRECIENTE EN A
Función (no inyectiva) Función Inyectiva
f
1f
43
Si para 212121 ; xfxfxxAenxx
5i) f se dice MONOTONA EN A si es CRECIENTE O DECRECIENTE EN A
Ejemplo 1.3.2.
La función 3xxf es una función estrictamente creciente en R , en efecto.
Sean 2121 ;; xxRxx
- Si ,021 xx entonces
2
2
1
3
1 xxx ¿ por qué?
y 3
2
2
21 xxx ¿ por qué?
Como 2
212
2
1 xxxx ¿ por qué ?
Se sigue que ,3
2
3
1 xx esto es ; se cumple que si 21 xx
entonces, 21 xfxf
- Si 21 0 xx entonces ,3
2
3
1 xx pues
00 3
2
3
1 xx
por lo tanto se cumple que si
21 xx entonces 21 xfxf
- Si 210 xx entonces,
2
2
1
3
1 xxx
Y 3
2
2
21 xxx
Como ,2
212
2
1 xxxx se sigue que 3
2
3
1 xx
En cualquier caso se cumple que para Rxx 21 ,
con 2121 xfxfxx
Figura 13 y = x3
y
x
44
Las funciones estrictamente decrecientes y estrictamente crecientes están ligadas
estrechamente con las funciones inyectivas, en efecto si f es estrictamente decreciente en
su dominio entonces se cumple que si Dfxxparaxfxfxx x 21121 ,
de donde se puede decir que
si Dfxxparaxfxfxx 212121 ;
Este hecho nos permite concluir que toda función estrictamente decreciente es una
función inyectiva.
Análogamente si f es estrictamente creciente entonces se cumple que si
Dfxxparaxfxfxx 212121 ; de donde se puede decir que si
.; 212121 Dfxxparaxfxfxx
Esto último nos permite concluir que toda función estrictamente crecientes es una función
inyectiva.
Por lo tanto, si tenemos una función estrictamente creciente o estrictamente
decreciente, esta función es una función invertible.
D. Función PAR e IMPAR.
Definición 1.3.3.
Una función f definida en un intervalo I centrado en el origen, se dice:
a) Par si Ixtodoparaxfxf
b) Impar si Ixtodoparaxfxf
Ejemplo 1.3.3.
a) La función 12 xxf es una función Par puesto que :
Rxtodoparaxfxxxf 11 22
Figura 14 12 xxf
y
0 x
45
b) La función 3xxg es una función Impar pues
.33Rxtodoparaxgxxxg
c) La función 1 xxh no es una función Par ni Impar puesto que
xhxxh 1
además como 1 xxh también ocurre que xhxh
(figura 16)
Figura 15 y = x 3
Figura 16 1 xxh
y
0 x
46
Nota 1.3.2.
1) El gráfico de una función f Par tiene simetría con respecto al eje y , esto se
refleja en el hecho que si el punto xfxP ; pertenece al gráfico, también lo
hace el punto .;1 xfxP
2) El gráfico de una función f Impar tiene simetría con respecto al origen puesto que
si el punto xfxP ; pertenece al gráfico, también lo hace el punto
xfxP ;1
3) Reconocer analíticamente la simetría del gráfico de una función tiene mucha
importancia en el trazado de éste pues si la función es Impar bastará dibujar los
puntos de Gf en el semiplano derecho (o izquierdo ) y el resto del gráfico se
obtiene por reflexión de esos puntos a través del origen. Análogamente si la
función es Par bastará dibujar los puntos de Gf en el semiplano derecho
(o izquierdo ) y el resto del gráfico se obtiene por simetría respecto al eje Y.
4) Ninguna función tiene su gráfico simétrico con respecto al eje x ¿Por qué?
E. Función ACOTADA.
Definición 1.3.4
Una función f se dice acotada en un conjunto DfcA si existe 0M
tal que Mxf para todo .Ax
- Como Mxf es equivalente a decir que ,MxfM entonces en
una función acotada en Df los valores ,xf que constituyen su rango, pertenecen al
intervalo finito MM ; lo que geométricamente significa que la gráfica de funciones
Acotadas está situada entre dos rectas paralelas al eje x de ecuaciones MyeMy
respectivamente. Este hecho nos proporcionará reconocer funciones acotadas. (Figura 17).
y
x
y = M
y = -M
Función acotada
Figura 17
47
Ejemplo 1.3.4.
a) La función 21 xxf es una función acotada en 1;1Df
pues su gráfico está situado entre las rectas ;11 yy aún más entre las
rectas 01 yey (Figura 18).
b) Como se aprecia en la figura 19 la función 3xxg no es una función
Acotada en R .
y=1
Figura 18 21 xxf
Figura 19 y = x3
y
x
y
x
48
c) Otras funciones Acotadas de gran importancia en matemáticas,, son las
funciones seno y coseno.
Funciones seno y coseno Figura 20
y
x
49
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3.1
I Defina los siguientes conceptos:
Funciones Inyectiva y Biyectiva
Función Inversa
Función Estrictamente Creciente
Función Estrictamente Decreciente
Función Creciente
Función Decreciente
Función Par
Función Impar
Función Acotada
II Dada las siguientes funciones determinar cuales de ellas son Inyectivas.
Justifique su respuesta.
1.- 1 xxf
2.- 21 xxf
3.- xxf 22
4.- 12 xxf Respuesta : No es Inyectiva
5.- 1
1
xxg Respuesta : Inyectiva
6.- 1
x
xxh Respuesta : Inyectiva
Justificación ejercicio 5
Si 1
1
1
1
21
21
xx
xfxf
21 xx
Luego si 2121 xfxfxx
III Determine en cada caso si f es invertible. Cuando f sea invertible obtenga la f
Fórmula para xf 1 además grafique 1fyf
1.- xxxf 23
2.- 5xf Respuesta : f no es invertible
3.- x
xf1
4.- 23 2 xxf Respuesta : f no es invertible
5.- xxf 1
6.-
1
1
x
xxf
50
Respuesta Ejercicio 6.
xf es una función inyectiva.
?¿
1
1
1
1
21
2
2
1
121
quéporxx
x
x
x
xxfxf
Por lo tanto f es invertible
x
xxf
1
11
IV. Las funciones siguientes no son invertibles. Restrinja el Dominio de la función
dada para que la nueva función sea invertible. Graficar la función, la función
restringida y su inversa.
1.- 22 xxf
2.- 22 xxf
3.- 21 xxf
4.- xxf
Figura 21 x
xxf
1
11
51
Respuesta
Ejercicio 2:
22 xxf 0;2 2
1 xxxf
El dominio de la función f es el conjunto .00,00 Restringiendo el dominio al
conjunto 00,0 tenemos la función 0,2 2
1 xxxf la cual es invertible
(Figura 22)
xxf
21
1
xxf
21
1 ; 0,2 2
1 xxxf
IV. Clasifique las siguientes funciones según su Monotonía. Justifique su
respuesta.
1.- 11
1
x
xxf
2.- 1 xxf
3.- xxf
4.- xxf 1
Figura 22
Figura 23
1
1
f
1f
2
2
2 22
52
5.-
02
01
xsix
xsixf
6.- 02 xxxf
Respuestas
- Ejercicio 2 :
f es Estrictamente Creciente pues
si 111 2121 xxxx
11 21 xx
21 xfxf
- Ejercicio 4 :
f es Estrictamente Decreciente pues
si 2121 xxxx
21 11 xx
21 xfxf
- Ejercicio 6 :
f es Estrictamente Decreciente pues
2
2
2
1210 xxxx
2
2
2
1 xx
21 xfxf
Se recomienda graficar las funciones.
VI. Determine si las siguientes funciones son par, impar o ninguna de estos
tipos. Justifique su respuesta:
1.- 1
1
x
xxf Respuesta: Ninguna.
2.- 21 xxf
3.- xxf 3 Respuesta : Ninguna
4.- xsenxxf
5.- xxxf cos Respuesta: Impar
6.- xxsenxf cos
53
7.- 21 xxxf Respuesta: Ninguna
Justificación Respuesta Ejercicios 5 y 7:
- Ejercicio 5:
xfxxxxxf coscos
- Ejercicio 7:
xfxxxxxf 2211
xfxxxf 12
VII En las siguientes funciones determine cuales de ellas son Acotadas y
Cuales no son Acotadas en su Dominio. Se recomienda graficar las
Funciones:
1.- xxf 1 Respuesta: No Acotada
2.- 23 xxf Respuesta: Acotada
3.-
21
203
03
2
xsi
xx
xsi
xf Respuesta: Acotada
4.- 12
x
xxf Respuesta: Acotada
5.- xxg 3
Respuesta: No Acotada
Del gráfico de cada función se puede justificar las respuestas.
54
1.4. Funciones Especiales
A.- Función Polinomio
Definición 1.4.1. Una función Polinómica es una función de la forma:
n
nn
o axaxaxf ....................1
1
donde no aaa ..;; 1 son constantes reales llamadas Coeficientes, n es un entero
positivo que se llama Grado del Polinomio cuando 0oa
- El Dominio de la función Polinómica evidentemente es todo el conjunto de los
números reales.
Ejemplo 1.4.1.
a) baxxf es una función Polinómica llamada Función Lineal; su
gráfica es siempre una recta.
- Si 00 ayb la función lineal queda axxf y su gráfica es una
recta que pasa por el origen. (Figura 24ª)
- Si 0a la Función Lineal queda bxf y en este caso se llama
Función Constante y su gráfica es una recta paralela al eje x que intersecta el
eje y en el punto bP ,0 (Figura 24b).
axxf )0( bbxf
(a) (b)
b) cbxaxxf 2 es una Función Polinómica Cuadrática
oa o de segundo grado. La gráfica de esta función es una parábola
(Figura 25).
y
x
y
x
b
55
B.- Función Racional
Definición 1.4.2. Una Función Racional está formada por el cuociente de dos
funciones Polinómicas
n
nnn
o
n
nnn
o
bxbxbxb
axaxaxaxf
.....................
.......................2
2
1
1
2
2
1
1
La Función Racional está definida para todos los valores reales de x; excepto para aquellos
que anulan el denominador.
Ejemplo 1.4.2.
Las funciones 4
1;
32
x
xxg
xxf
258
123
2
xxx
xxxh , son funciones racionales.
C.- Función Valor Absoluto
Definición 1.4.3. La Función VALOR ABSOLUTO se define por:
.xxf
Como
0
0
xsix
xsixx , entonces la función Valor Absoluto
a < 0
0
a > 0
0
Figura 25
56
Puede escribirse también de la siguiente manera:
0
0
xsix
xsixxf
- El Dominio de la Función Valor Absoluto lo forman todos los números reales.
- El Rango de la Función Valor Absoluto la forman los números reales no negativos.
- La gráfica se muestra en la Figura 26.
Cuando 0x entonces xy es equivalente a ,xy que es una recta que pasa por el
origen con pendiente 1.
Cuando xyx ,0 es equivalente a xy que es la ecuación de una recta que
pasa por el origen con pendiente -1.
.xxf
Nótese que la Función Valor Absoluto es una Función par.
D.- Función Escalón Unitaria
Definición 1.4.4. La Función U (x) definida por:
01
00
xsi
xsixU
Se llama Función Escalón Unitaria.
- El Dominio de la Función Escalón Unitaria es R.
y = -x y = x
0
Figura 26
y
x
57
- El Rango de la Función Escalón Unitaria es el conjunto
- La gráfica de la Función U(x) se muestra en la Figura 27
Gráfica de la Función U(x)
E.- Funciones Exponenciales
Del álgebra elemental recordemos que si a y b son números reales positivos y si p
y q son números racionales las leyes básicas de potencias son:
qpqp aaa
pqqp aa
qp
q
p
aa
a
ppp
p
pp
baabb
a
b
a.;
p
po
aaa
1;1
Es costumbre desarrollar estas leyes para exponentes enteros positivos m y n y
posteriormente estas leyes se extienden a exponentes racionales de la forma n
mp
donde m es cualquier entero y n un entero distinto al cero.
En Cálculo es importante definir xa para valores irracionales de x ; pero no existe
una manera algebraica sencilla para definir xa para x irracional. Los
procedimientos para definir los son más elaborados que escapan al alcance de los
contenidos de este curso; por esta razón partiremos suponiendo que 0aa x está
definido para x real y cumple con las leyes básicas de los exponentes enunciados
anteriormente.
Definición 1.4.5. Sean 1,0;, aaRxa la función xaxf se llama
Función Exponencial.
0
1
Figura 27
y
x
58
El Dominio de la Función Exponencial es R
El Rango de la Función Exponencial es R
El gráfico de una Función Exponencial dependerá del valor particular que tenga a.
Como ilustración se muestran los gráficos de las Funciones Exponenciales
133 axf x y 13
13
1 axgx
x y = f(x)
-2 1/9
-1 1/3
0 1
1 3
2 9
xxf 3
x y =g(x)
-2 9
-1 3
0 1
1 1/3
2 1/9
x
xg
3
1
Figura 28
Figura 29
y
x
(0,1)
a = 3 > 1
y
x
(0,1)
a = 1/3
59
Observando el gráfico de las funciones x
y
33
13
, podemos generalizar algunas
propiedades de las Funciones Exponenciales:
- Las imágenes de las Funciones Exponenciales son siempre positivas (El rango es
R )
- Los gráficos de las Funciones Exponenciales interceptan el eje Y en el punto (0,1)
- Si 1a las Funciones Exponenciales son estrictamente Crecientes.
- Si 1a las Funciones Exponenciales son estrictamente Decrecientes.
- De acuerdo a lo anterior en cualquier caso las funciones Exponenciales son
Funciones Inyectivas y por lo tanto Invertibles.
- A medida que x crece el gráfico de las Funciones Exponenciales se acerca al eje
X sin alcanzarlo nunca. Cuando esto ocurre se dice que el gráfico tienen un
comportamiento “Asintótico”.
F.- Funciones Logarítmicas
Como las Funciones Exponenciales son invertibles, a sus respectivas inversas
Las llamamos Funciones Logarítmicas.
Definición 1.4.6. La Función Inversa de la Función Exponencial
1;0 aaa x se llama Función Logarítmica y se denota por xf
logaritmo en base a de x)
- El Dominio de la Función Logarítmica es R
- El Rango de la Función Logarítmica es R
- El gráfico de la Función Logarítmica, al igual que las funciones exponenciales
dependerá de la “base a” 101 aoa (Figura 30)
)1(10 aa
a > 1
0 (1,0)
(1,0)
Figura 30
60
Se puede observar que si 1a la Función Logarítmica es estrictamente creciente
y si 10 a la Función Logarítmica es estrictamente decreciente.
Definición 1..4.7. Sean entoncesaaN 1;0;0
M
a aNMN log
El Logaritmo en base a de un número positivo N, es el exponente al cual debe ser
elevado la base a para obtener N.
Así por ejemplo. 322532log 5
2 quepuesto
497249log 2
7 quepuesto
8268log6
2 quepuesto
Algunas Propiedades fundamentales de la Función Logaritmo:
En lo que sigue la base a tiene las características dadas en la definición
1.4.6, es decir .10 aya
P - 1.- 01log a
El Logaritmo de la Unidad en cualquier base a es siempre cero, pues
1oa
P – 2.- 1log aa
El Logaritmo de la base es 1 pues aa 1
P – 3.- NMMN aaa logloglog
El Logaritmo, en cualquier base a, de un producto de dos factores es igual
a la suma de los Logaritmos, en la misma base, de los factores
Demostración:
Sean Mx alog
Ny alog
Entonces por definición Ma x
Na y
de donde yx aaMN
yxaMN
61
lo que es equivalente ((Definición 1.4.7) a
MNyx alog
es decir, MNNM aaa logloglog
Esta propiedad puede extenderse a un producto formado por un número finito de
factores:
naaana NNNNNN log..........loglog.......log 121
P - 4.- 0logloglog NNMN
Maaa
El Logaritmo en base a, de un Cuociente N
M es igual a la diferencia entre el
Logaritmo en base a del dividendo (M) y el Logaritmo en base a del divisor (N).
Demostración: Sean Mx alog
Ny alog
Entonces por definición:
Ma x
Na y
de donde y
x
a
a
N
M
ó yxaN
M
lo que es equivalente (Definición 1.4.7) a
N
Myx alog
es decir, N
MNM aa logloglog
P - 5.- MNM a
n
a loglog
El Logaritmo en base a, de una potencia NM es igual al producto entre el
exponente de la Potencia (N) y el Logaritmo en base a, de la base de la potencia
(M).
Demostración:
Sea ,log Mx a entonces
Ma x
y NxN aM
62
ó NxN aM
lo que es equivalente (Definición 1.4.7) a
N
a MNx log
ó N
aa MMN loglog
Ejemplo 1.4.3.-
1.- rqprq
p
rq
p 4
23
1
2
4
31
24
3
2 loglogloglog
rqp 2
4
22 logloglog3
1
rqp 222 loglog4log3
1
rqp 222 loglog4log3
1
2.- pqqp 777777 log2
1log35loglog3log
2
15log
21
7
3
77 loglog5log pq
pq 7
3
7 log5log
p
q3
7
5log
3.- Aplicando Definición y Propiedades de la Función Logaritmo,
resolveremos la siguiente ecuación:
29log1log 33 xx
291log3 xx
2910log 2
3 xx
22 3910 xx
0102 xx
010 xx
01 x
102 x
63
Discusión:
Si 0x , entonces
01log1log 33 x
29log9log 33 x
Así 29log1log 33 xx se satisface para 0x
Por lo tanto, 0x es una solución a la ecuación propuesta.
Si 10x , entonces
91101 x
y no está definido 1log3 x cuando .10x
Por lo tanto, 0x es una solución a la ecuación propuesta.
Si 10x , entonces
91101 x
y no está definido 1log3 x cuando 10x
Por lo tanto 10x no es solución a la ecuación propuesta.
Como se ha visto, hay tantas funciones logaritmos o tipos de logaritmos
como números reales positivos distintos de 1 (bases) existen. Sin embargo en
Matemáticas se distingen dos tipos de logaritmos:
- Logaritmo decimal, denotado por log , cuya base es a = 10 y
- Logaritmo natural, denotado por Ln, cuya base es un número e = 2.71882811828..
Logaritmos en otras bases pueden ser determinadas por la “Fórmula de
Cambio de Base”:
Sean b una base conocida ebób 10 ; a una base distinta de 10 ó e,
entonces :
a
BA
b
b
alog
loglog Fórmula de Cambio de Base
Demostración:
Sea Ax alog , entonces xaA
Aplicando logaritmo en base b tenemos:
axA bb loglog ¿por qué?
64
de donde a
Ax
b
b
log
log , es decir
a
AA
b
b
alog
loglog
65
Ejercicios 1.4.1.-
I Grafique las siguientes funciones:
1) 23 2 xxf
2) 33xxf
3) 13 3 xxf
4) 1 xxf
5) 3 xxf
6) 3 xxf
7) 3
1
xxf
8) 2xU
9) 25 xUxf
10) xxf2
1log
11) xxf 2log
12) x
xf
2
1
13) xxf 2
14) 1 xLnxf
15) x
Lnxf1
16) xexf
17) xexf
18) xLnxf
II Evaluar:
1) 22 Lne
2) 2eLn
3) 2Lne
4) 12 Lne
5) 32 Lne
6) e
a alog
III Determinar el Valor de N si:
1) 16log64log 42 N
2) xxfsiffN 2log1816
3) 25log100log8.4log N
4) 125,0log48.0 N
66
IV Resolver las siguientes ecuaciones:
1) x16log 2
2) 40001.0log x
3) 2
13log x
4) 13loglog xx
5) 64loglog2
1x
6) 4.1log3log2log xx
7) 25log2log x
8) 53 2 x
9) 3105 x
10) 2235 25 xx
11) xxx 5.221 12
12) 2
12
6
7.52
x
xxx
V Resolver las siguientes sistemas :
1) 2
11loglog
15
yx
yx
2) 3loglog
1loglog
yx
yx
3) 12.33
62
yx
yx y
VI Determinar los siguientes Logaritmos:
1) 25.1log2
2) 5log 7
3) 8log 3 2
4) 10log3
67
Respuestas de algunos Ejercicios:
I.- 2) 33xxf
4)
11
111
xsix
xsixxxf ¿Por qué?
y
x
y
x
68
8)
20
212
xsi
xsixU
10) xxf2
1log
xxy
y
2
1log
21
xy 2
x y =f(x)
½ 1
1 0
2 -1
4 -2
y
x
y
x
(1,0)
69
12) x
xf
2
1
14) 1 xLnxf
00,1 Df
x y = f(x)
-2 4
-1 2
0 1
1 ½
2 ¼
y
x
y
x
(0,1)
-1 0
70
16) xexf
II.- 2) Sea 2eLnx , entonces
2ee x (definición de Logaritmo en base e)
2x (por ser la Función Exponencial Inyectiva)
Resuelva este ejercicio aplicando propiedades de Logaritmos.
4) Sea 12 Lnex
sacando Logaritmo Natural a ambos miembros
1,12 eLnperoeLnLnxLn
Así 12 LnxLn pero Ln 2 = 0.69314718 (Valor por la calculadora)
169314718.0 xLn
30685281.0xLn
xe 30685281.0 (definición de Logaritmo Natural)
x = 0,735758882 (Valor determinado en Calculadora)
6) Sen e
a ay log
ey aa (por definición de Logarimo en base a )
ey (por ser la Función Exponencial Inyectiva)
y
x
1
0
71
III.- 1) 16log64log 42 N
2
4
6
2 4log2log
4log22log6 42
426
IV.- 2) 40001.0log x
10
1
110
110
10410log
4
444
x
x
x
xx
4)
2
5
025
0103
103
110log10log3log
13loglog
2
1
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x = -5 no es solución ¿Por qué?
Si x = 2, entonces 110log5log2log
Luego x = 2 es solución.-
8) 53 2 x
Sacando Logaritmo decimal a ambos miembros de la ecuación:
....464973521,3
23log
5log
3log
5log2
5log3log2
5log3log 2
x
x
x
x
x
72
V.- 2) 3loglog
1loglog
yx
yx Sumando, ambas ecuaciones
_____________________
100
10
2log
4log2
2
x
x
x
x
definición de Logaritmo decimal.
Reemplazando x en la primera ecuación del Sistema.
10
10
1log
1log2
1
y
y
y
y
Solución 10;100 yx
VI.- 2) Aplicando Fórmula de Cambio de Base con ebya 7
827087475.07
55log 7
Ln
Ln
73
1.5. Algebra de Funciones
Definición 1.5.1.-
Sean f y g dos funciones cuyos dominios son Df y Dg respectivamente.
Definimos:
i) La función SUMA (f + g) como:
DgDfxxgxfxgf
2i) La función DIFERENCIA (f – g) como:
DgDfxxgxfxgf
3i) La función PRODUCTO (f . g) como:
xgxfxgf ..
4i) La función CUOCIENTE g
f como:
0/ xgDxDgDfxxg
xfx
g
fg
Ejemplo 1.5.1.-
Sea x
xgyxxf1
2 dos funciones
Determinar: gfgfgfgf /;.;; y sus respectivos dominios
x
xxgxfxgf1
2
x
xxgxfxgf1
2
x
xxgxfxgf
2..
21
2
xx
x
x
xg
xfx
gf
El Dominio de la función f es 00,2
El Dominio de la función g es 0R
Luego el 00,2gfD al igual que el gDfygDfgfD /.;
Nota 1.5.1.-
La definición de suma y producto de funciones, se puede generalizar para un número finito
de funciones
74
Definición 1.5.2.
Dada las funciones f y g definiremos la COMPOSICIÓN de funciones; denotado
por (fog); como (fog) (x) = xgf donde DfxgyDgxxfogD /
Ejemplo 1.5.2.-
Sea 32 xxgyxxf Hallar
i) 3;1;0 fogfogfog
2i) bafogafog ;
3i) Dominio de fog
Solución:
i)
39933
5511
3300
fgffog
fgffog
fgffog
ii) 3232 aafagfafog
3223232 bababafbagfbafog
iii) DfxgDgxxfogD /
00,2/32/3/
032/
032/
0
xRxxfogD
xRxxfogD
URxRxxfogD
URDf
RDg
Ejemplo 1.5.3.-
Dada la función: 2 xxf graficaremos
a) Uof donde U es la Función Escalón Unitaria:
como
00
01
x
xxU
entonces
020
0212
x
xxU
xfUxUof
luego
20
212
x
xxU
75
Figura 31 2xU
b) gof donde xxg
22
2222
xsix
xsixxxgxfgxgof
Definición 1.5.3.- Sean
i) nfff ....., 21 funciones definidas en un dominio común D
2i) naaa ................,, 21 números reales
Una expresión de la forma
y
x
y
x
2
76
nn fafafafa ...................332211
Se llama combinación Lineal de las funciones nffff ...,, 321
Por ejemplo 12253 xUxUxU es una Combinación Lineal de la funciones:
.12; xuyxUxU Sería interesante determinar la función resultante de esta Combinación.
Como
00
01
xsi
xsixU
20
212
xsi
xsixU .
y
10
111
xsi
xsixU
Entonces:
00
033
xsi
xsixU
20
2525
xsi
xsixU
10
1212
xsi
xsixU
Sea 12253 xUxUxUxf
Podemos observar el DF = R , queda particionado en cuatro intervalos:
00;22;0;0;1;1;00 y
Los valores de f(x) en los distintos Intervalos quedan determinados en el siguiente cuadro:
x 3U(x) 5U(x-2) 2U(x+1) 12253 xUxUxUxf
1x 0 0 0 0
01 x 0 0 2 -2
20 x 3 0 2 1
2x 3 5 2 6
77
Así
26
201
012
10
xsi
xsi
xsi
xsi
xF
la cual resulta una función “Escalonada” pero no Unitaria.
El problema de expresar una función “escalonada” como una combinación lineal de
funciones escalonadas unitarias compuestas con funciones polinómicas lineales, queda
ilustrado en el siguiente ejemplo.-
Ejemplo 1.5.4.- Dada la función
23
211
12
xsi
xsi
xsi
expresarla como una Combinación Lineal de funciones escalonadas unitariass compuestas
con funciones polinomiales lineales.
Desarrollo: Los números -1 y 2 dividen al DF = R en tres sub intervalos
00;22,11;00 y lo que sugiere una Combinación lineal de la forma
CxBUxAUxf 21
Donde A, B y C son constantes reales para determinar.
Como
21
202
11
101
xsi
xsixUy
xsi
xsixU
entonces los Valores de A, B y C pueden ser determinados fácilmente, mediante el
siguiente cuadro
x 1xAU 2xBU CxBUxAU 21 xf
1x 0 0 C -2
21 x A 0 A + C 1
2x A B A + B + C -3
resolviendo el Sistema.
A + B + C = -3
A + C = 1
C = -2
78
Tenemos que A = 3
B = -4
C = -2
Luego 22413 xUxUxf
Ejercicios Propuestos 1.5.2.-
I Para los siguientes pares de funciones; se pide determinar:
goffoggfgfgfgf ,;;/;.;; y sus respectivos dominios.
1.- 15 2 xxgxxf
2.- 32 xxgxxf
3.- x
xgx
xxf
1
1
1
4.- 12 xxgxxf
5.- 112 xxgxxf
Soluciones:
1.- i) 615 22 xxxxxgxfxgf
2i) 415 22 xxxxxgxfxgf
3i) 15.. 2 xxxgxfxgf
4i)
11
52
x
x
x
xg
xfx
gf
5i) 62 xxfog
6i) 24102 xxxgof
y sus respectivos dominios:
1,1
R
gf
DRgfD
RfogDRgfD
RgofDRgfD .
4.- i) 12 xxxgxfxgf
2i) 12 xxxgxfxgf
3i) 1.. 2 xxxgxfxgf
4i) 12
x
x
xg
xfx
gf
5i) 11 22 xxfxgfxfog
6i) 1 xxgxfgxgof
79
y sus respectivos dominios:
00 URg
fDURgfD
RfogDURgfD 0
00. URgofDURgfD
II Determinar la función resultante de las siguientes Combinaciones Lineales:
1.- 212_23 xUxU
2.- 32
2
2
121 3;1253 xxxfxxfsixfxf
Respuesta: 15 23 xx
3.- 82353 xUxUxU
III Dados las siguientes funciones, expresarla como una Combinación Lineal:
1.-
bxsi
bxasi
axsi
xf
0
5
0
2.-
22
211
10
xsi
xsi
xsi
xg Respuesta: 21 xUxUxg
3.- xh cuyo gráfico es:
y
x
1
-1 0 1 2 3
-1
-2
80
2.- Límite y Continuidad
2.1. Límite de Funciones:
El concepto de Límite desempeña un papel fundamental
en cálculo ya que con él estan relacionados conceptos más importantes en
Matemáticas como son el de Derivada e Integral.
La Idea de Límite de una función f es estudiar el
comportamiento de f(x) cuando x se “acerca” a un valor determinado.
Ejemplo 2..1.1.
a) Consideramos la función x
xsenxf ¿Qué sucede con los valores
f(x) cuando x toma valores cercanos a ?0x
En la siguiente Tabla aparecen algunos valores de f(x) correspondientes a
valores de x cercanos a cero, por la izquierda de cero 0x y por la
derecha de cero 0x
x
x
xsen
x
x
senx
-0,1 0,998334166 0,1 0,998334166
-0,01 0,999983333 0,01 0,999983333
-0,001 0,999999833 0,001 0,999999833
-0,0001 0,999999998 0,0001 0,999999998
Tabla - 1
En la Tabla 1 podemos observar que x
xsenxf se puede acercar a uno,
tanto como se quiera, siempre que se elija x suficientemente próximo a x = 0,
lo que en símbolos matemáticos escribimos.
0
1lim
x
x
xsen
Esto se lee: “El Límite, de ,x
xsen cuando x tiende a cero, es igual a 1.
81
b) Sea 12 xxf ¿Qué sucede a f(x) cuando x se acerca a dos?
Algunos valores de f(x) para x cercano a dos estan dados en la Tabla 2
x 12 x x 12 x
1,9 2,610000 2,1 3,410000
1,99 2,960100 2,01 3,040100
1,999 2,996001 2,001 3,004001
1,9999 2,999600 2,0001 3,000400
1,99999 2,999960 2,00001 3,000040
Tabla - 2
En la Tabla 2 podemos observar que “f(x) se acerca a 3”, cuando “x se acerca a
2”. Lo que en símbolos matemáticos escribimos:
2
31lim 2
x
x
c) Consideremos la función 62 xxf ¿Qué ocurre con f(x) cuando x
es próximo a x = 5?
Algunos valores de f(x) para x cercanos a cinco están dados en la Tabla 3
x 62 x x 62 x
4,9 1,9493588 5,1 2,49390150
4,99 1,9949937 5,01 2,00499370
4,999 1,9994999 5,001 2,00049993
4,9999 1,9999499 5,0001 2,00004990
4,99999 1,9999950 5,00001 2,00000500
4,999999 1,9999995 5,000001 2,00000050
Tabla - 3
En la Tabla 3 observamos que: “f(x) se acerca a 2”, cuando “x se acerca
A 5”. Lo que en símbolo matemáticos escribimos:
5
262lim
x
x
Para precisar, en general, la frase “f(x) se acerca a un número L”, tomamos en cuenta
Lxf , que mide la distancia entre f(x) y L. Análogamente para precisar el sentido
que tiene la frase “x se acerca a a” tomamos en cuenta ax , que mide la distancia que
separa x de a. En lenguaje poco preciso el significado de
ax
Lxf
lim es que
Lxf se puede hacer “arbitrariamente pequeño”, siempre que ax sea
suficientemente pequeño.
La siguiente definición da un significado matemático del concepto de Límite de una
función.
82
Definición 2.1.1.
ax
sisóloysiLxf
0lim existe
Lxfquetal0 siempre que
ax0
Nota 2.1.1.
a) En la definición 2.1.1. la función f (x) se supone definida en un intervalo que contiene
a x = a , aunque no es necesario que f esté definida en x = a.
b) El número es el que se da primeramente, indica cuan pequeño se desea que sea
Lxf . El número indica lo próximo que ha de estar x de a para garantizar
que f(x) est´´e a una distancia de L no superior a .
c) Claramente el valor de dependerá del valor de
d) Cuando el
,
lim
ax
Lxf
, la definición 2.1..1. nos dice que:
“Para cada número positivo , por pequeño que sea se puede encontrar un número
positivo que satisfaga la desigualdad
"0 axquesiempreLxf
e) La definición 2.1.1. no dice nada sobre el comportamiento de axenxf
f) Lxf es equivalente a LxfL
ax0 es equivalente a axconaxa
La definición Lxf lim se ilustra en la siguiente Figura:
Figura 33
ax
Lxf
lim
L + ε
L
L - ε
a - δ a + δ a
83
Ejemplo 2.1.2.
a) 713lim x , en efecto:
2x
Aquí 2713 aLxxf
Sea 0 debemos encontrar 0 tal que 7xf
Cuando 20 x
Buscando :
Consideremos el valor absoluto :7xf
23637137 xxxxf
en consecuencia la desigualdad
713x
se cumple si 23 x , es decir, si:
3
2
x
Por lo tanto dado 0 podemos hacer 3
(o cualquier otro valor positivo
menor que 3
) y la afirmación "207" xcuandoxf será
verdadera, pues cuando 3
220
xx
713633
2 xdeciresxx
b) ax
efectoenaax
:,0,lim
Sea 0 . Consideremos el valor absoluto ax :
a
ax
a
ax
ax
axax
. (*)
la desigualdad
aax
oa
axax
Tomamos , a entonces
84
cuando aaxax0
a
ax
ax
(*)
c) ax
ax
lim
Aquí aLxxf ;
Sea .0 Tomando se tiene que cuando
axfax 0
d) ax
cc
lim
Aquí cLteconsfuncióncxf ;)tan( es claro que
Lxf0 cuando (0 ax cualquier número
positivo) puesto que 0 ccLxf
Teorema 2.1.1. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene
a ax .
Si xflim existe, entonces este límite es UNICO.
ax
Demostración:
Supongamos que
axax
LLyLxfLxf
2121 lim;lim
Para
y
se tiene que:
1) Existe 111 00 axcuandoLxfquetal
2) Existe 222 00 axcuandoLxfquetal
tomando )2)1,21 yporentoncesyentremínimo
.021 axcuandoLxfyLxf
Por lo tanto para todo x tal que ax0 se cumple:
122121 LxfLxfxfxfLLLL
21123
22 LLLxfLxf
85
Lo que es claramente contradictorio.
Luego cuando el
ax
xf
lim existe éste es Unico
Límites Laterales
Definición 2.1.2.-
a) Se dice que L es el Límite de f(x) cuando x tiende a a POR LA DERECHA
y se escribe
ax
Lxflim
Si para todos 0 existe cuandoLxfquetal 0
aax ,
b) Se dice que L es el Límite de f(x) cuando x tiende a a POR LA IZQUIERDA
y se escribe
ax
Lxflim
Si para todo aaxcuandoLxfquetaexiste ,00
Ejemplo 2.1.3.
a) Consideremos la función 2xx
xxf
observando su gráfico (Figura 34)
podemos ver que cuando x se aproxima a cero por la derecha f(x) tiende a 1, en
este caso se puede demostrar que:
0
lim2
x
xx
x
Figura 34 2xx
xxf
y
x
-1
0
+1
86
Análogamente cuando x tiende a cero por la izquierda f(x) tiende a - 1 y
se puede demostrar que
1lim2
xx
x
b) Consideramos la función xxf observando su gráfico (Figura 35)
vemos que
0
0lim
x
x
Como esta función no está definida para valores de
0
lim,0
x
xx no existe
Figura 35 xxf
c) Consideremos la función x
xsenxf , de la Tabla 1 podemos observar que
000
1lim1lim,1lim
xxx
x
xseny
x
xsen
x
xsen
La relación entre los Límites Laterales y el límite de una función está expresada
en el siguiente teorema.
y
x 0
87
Teorema 2.1.2.-
axax
existexfiEXISTELxf lim))(lim
2i) ax
existexflim
3i)
axax
Lxfxf limlim
Ejemplo 2.1.3.
a) Como 0
)(seclim
x
iumpleexistex
xsen
0
)2(lim
x
icumpleseexistex
xsen
00
)3(1limlim
xx
icumplesex
xsen
x
xsen
entonces
0
)(1lim
x
Existex
xsen
b) Como
0
1lim2
x
xx
x
(se cumple i )
0
)2(1lim2
x
icumplesexx
x
y
00
limlim22
xx
xx
x
xx
x
(No se cumple 3i)
entonces
0
lim2
x
xx
x
No existe
88
c) Como
0
0lim
x
x (se cumple i)
0
lim
x
x no existe (no se cumple 2i)
entonces 0
lim
x
x no existe
Ejercicios Propuestos 2.1.1.
I.- 1) Defina los siguientes conceptos:
a) límite de una función
ax
xf
lim
b) límites laterales
axax
xfxf lim;lim
2) Diga en que casos
ax
existexf
lim
3) Si
333
?lim¿?lim¿2lim
xxx
xfxfxf
II.- Estudie, a través de Tablas, el Comportamiento de f(x) cuando x es
cercano a x = a
a) Por valores mayores que x = a
b) Por valores menores que x = a
Si
1.- 2;4
12
ax
xf
2.- 0; ax
xxf
3.- 0;2
ax
xxf
89
4.- 1;1
12
a
x
xxf
5.- 3;3
92
a
x
xxf
III.- ¿Para qué funciones del Ejercicio II existe
ax
xf
?lim
IV.- Dado 0,0 encontrar (Si existe) tal que
axcuandoLxf 0
1) 1,0;2;3;12 aLxxxf
Respuesta 4
1.0
2) 01.0;12;2
3
aL
x
xxf
3) 1.01;2;1
12
aL
x
xxf
Respuesta 1.0
4) 01.03;6;3
92
aL
x
xxf
5) 01.0;3;17;52 aLxxf
Respuesta 5
01.0
90
2.2 Algebra de Límite
El procedimiento de comprobar límites de funciones mediante la definición
resulta en algunos casos sumamente complicado. Estudiaremos procedimientos simples
para evaluarlos, basados en ciertas propiedades de límites. Estas propiedades tratan,
entre otras, con límites de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones
(Álgebra de límites).
Propiedades de límites
P – 1 ax
ax
lim
P – 2 ax
cc
lim c : constante
P – 3 Si C es una constante y f una función tal que
ax
xf
lim
Entonces,
axax
xfcxfc
limlim
En las propiedades siguientes f y g son funciones tales que
ax
xf
lim
y
ax
xg
lim existen ambas.
P – 4
ax
xg
ax
xfxgxf
limlim.lim
El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de
las funciones.
P – 5
ax
xg
ax
xfxgxf
limlimlim
El límite de una suma (diferencia) de funciones es la suma (diferencia)
de los límites de las funciones.
P – 6 Si
ax
xg
0lim entonces,
axax
xg
ax
xf
xg
xf
lim
lim
lim
91
El límite de un cuociente de funciones es el cuociente de los límites de las
funciones.
La demostración de estas propiedades se hacen directamente a partir de la
definición y se dejan como ejercicio. A modo de ejemplo demostraremos la propiedad
4.
Demostración P – 4
Sean
axax
BxgAxf
lim,lim;0
I) Supongamos 0B
debemos probar que existe 0 tal que ABxgxf
cuando ax0
como quetalexisteparaLxf 00,lim 1
10 axcuandoAxf
pero AxfAxf _
Así, de lo anterior, cuando 10 ax
10 MAxf
Para quetalexisteB
002
2
)2(02
2
axcuandoB
Axf
además, como
ax
quetalexisteM
paraBxg
002
,lim 3
302
axcuandoM
Bxg (3)
Supongamos sin pérdida de generalidad que ,321 entonces
Si ,0 321 ax se cumple
(4) Mxf por (1)
(5) B
Axf2
por (2)
(6) M
Bxg2
por (3)
Además
92
ABxfBxfBxgxfABxfxf
AxfBBxgxf
AxfBBxgxf
AxfBBxgxf
B
BM
M2
.2
cuando 10 ax ( por (4), (5) y (6) )
Si B = 0 se deja como ejercicio su demostración.
Nota 2.2.1.-
i) La propiedad 3 es un caso particular en la propiedad 4 cuando
cxg (función constante).
2i) Las propiedades de límites también son válidas para límites laterales.
3i) Propiedades 4 y 5 pueden generalizarse para un número finito de funciones.
Ejemplo 2.2.1.
a) Como axax
Nnaxlímentoncesaxlím nn
,
b) Límite de la función Polinomio
n
nn
on
nn
o ababaaxaxalím ............................ 1
1
1
1
c)
000
1011 22
xxx
límxlímxlím
d)
1111
85215252 22
xxxx
límxlímxlímxxlím
e)
111
21111 22
xxx
límxlímxlím
f)
11
,021lim852lim 22
xx
entoncesxyxxComo
4
2
8
1
1lim
1
52lim
1
52lim
2
2
2
2
x
x
x
xx
x
xx
93
Otras Propiedades de Límite:
P - 7 Sean
i) Ra
2i) xgyxf dos funciones tales que xgxf para ax
3i)
ax
Lxg
lim (existe)
Entonces
ax
Lxf
lim(existe)
P - 8 Sean
i) I un intervalo centrado en a
2i) f, g, h funciones definidas en I
3i) ., axIxtodoparaxhxgxf
4i) Lxhxfaxax
limlim
entonces
Lxgax
lim
Ejemplo 2.2.1.
a) Aplicación de P – 7.
Consideremos la función 1
12
x
xxf
Notemos que 01lim01lim1
2
1
xyx
xx
por lo tanto no podemos aplicar P – 6. Sin embargo,
111̀
11
1
12
xxgx
x
xx
x
xxf
como ,21limlim11
xxgxx
por P – 7 se concluye que
21
1lim
2
1
x
x
x
b) Aplicación de P - 8.
Consideremos la función xsenxxf 2
Como 222 xxsenxx
y .0lim 2
0
xsenx
x
94
Ejercicios Propuestos 2.2.1.
I. Enuncie las propiedades de límites.
II. Demuestre las siguientes propiedades:
P - 3 ; P - 5 ; P - 7 ; P - 8.- (OPTATIVAS)
III. Utilizando las propiedades de límite determinar:
1. 6lim 3
3
x
x Respuesta 33
2. 96´lim 2
2
xx
x Respuesta 25
3. 6
1lim
31 xx Respuesta
7
1
4. xx
xx
x 53
23lim
2
2
2
Respuesta 6
5. 23
124lim
2
0
x
xx
x Respuesta
2
1
6. 1
52lim
2
2
1
x
xx
x Respuesta 4
7. 2
2lim
2
x
x
x Respuesta 0
8. 2
4lim
2
2
x
x
x Respuesta 4
9. 2
8lim
3
2
x
x
x Respuesta 12
10. 253
103lim
2
2
2 xx
xx
x
Respuesta 1
11. 32
44lim
23
2
uu
uuu
u Respuesta 0
12. 2012
65lim
2
2
2
xx
xx
x Respuesta
8
1
13. ax
ax
ax
lim Respuesta
a
a
2
95
14.
h
xfhxf
h
0lim Si
a) 2xxf Respuesta 2x
b) 12 xxf Respuesta 2x
c) x
xf1
Respuesta 2
1
x
d) xxf Respuesta x2
1
e) 3xxf Respuesta 23x
g) 123 2 xxxf
15.
31 1
3
1
1lim
xxx Respuesta -1
16. 49
32lim
27
x
x
x
17.
x
x
x
82lim
3
0
Respuesta 12
96
2.3. Continuidad de una Función.
La importancia de estudiar la CONTINUIDAD de las funciones
nos permite conocer sus características y propiedades. Por sus propiedades
las FUNCIONES CONTINUAS juegan un rol fundamental en el estudio de
lLa Matemática y en particular del Cálculo.
Definción 2. 3. 1. Sea xf una función definida para todo x en un
intervalo abierto que contiene al número a. Entonces
f es Contínua en ax si y sólo si afxfax
lim
Nota 2. 3. 1.
i) Para que una función sea Contínua en un punto ax se deben
satisfacer tres condiciones:
1) af debe estar definida, es decir, Dfa
2) xfax
lim existe
3) afxfax
lim
2i) f es Contínua en ax si y sólo si. Para todo 0 , existe 0
tal que afxf cuando ax
3i) Si: 1) af no está definida ó
2) xfax
lim no existe ó
3) ax
xf
lim existe pero no es igual a ,af la función f no
es Contínua en ax . En este caso diremos que la función es
DISCONTINUA en ax .
Ejemplo 2..3.1.
a) Sea n
nnn axaxaxaxf ....2
2
1
10 (función Polinómica).
Como bfabababaxf n
nnn
obx
....lim 2
2
1
1 entonces
la función Polinómica es CONTINUA en bx
Toda Función Polinómica es contínua en cualquier número real.
b) La función Racional es continua en todo su dominio.
c) Consideremos la función
1 si2
1 si1
12
x
xx
xxf
Como:
1) 211 fdefinidaestáf
97
2) 2lim1
xfx
3) 1lim1
fxfx
, entonces
1xencontínuaesxf
d) Como la función 1
12
x
xxf no está definida en 1x ,
entonces xf es DISCONTINUA en 1x
e) Consideremos la función
01
0
xx
xxxf
Esta función está definida en ,100 fx pero 0
limx
no
existe pués los límites laterales son distintos, en efecto:
,1lim;0lim00
xfxfxx
en consecuencia
xf es DISCONTINUA en 0x
f) Consideremos la función
1 si0
1 si1
12
x
xx
xxf
Como:
1) xf está definida en 011 fx
2) 2lim1
xfx
y
3) 1lim1
fxfx
entonces xf es DISCONTINUA en x = 1
98
Definición 2. 3. 2.
a) f es Contínua en un Intervalo Abierto (a, b) si f es Contínua en todo punto
del Intervalo (a puede ser y/o b puede ser )
b) f es Contínua en un Intervalo Cerrado :. siba
1) f es Contínua en el Intervalo Abierto (a,b)
2) bfyaf están definidas
3)
bxax
yafxf limlim
c) f es Contínua en un conjunto A si
f es Contínua en todo punto de A
Ejemplo 2. 3. 2.
La función xxf es Contínua en el Intervalo 00,0 en efecto:
Sea 0
lim;00,0xx
o comox
entonce f es Contínua para todo 00,0 ox aún más como ,0lim0
xx
se tiene que f es Contínua en el conjunto 00,0
Nótese que xx 0lim
no existe ya que x no está definida para valores negativos
de .0xx Esto ilustra la importancia de definir la Continuidad en los puntos
extremos de un intervalo cerrado en términos de los límites laterales.
99
Ejercicios Propuestos 2. 3. 1.
1.- Defina los siguientes conceptos:
i) Continuidad
2i) Continuidad en un punto, en un intervalo
3i) Discontinuidad
4i) Continuidad en un conjunto
2.- En los problemas siguientes encontrar el conjunto en el cual la función es
contínua.
a) 23 1517 xxxf Resp. (-00, +00)
b) 31
xxf
c) 2
1
xxf Resp. 00,22,00 U
d) 1
172
x
xxf
e) 2
2 1
x
xxf
Resp. 00,00,00 U
f) 2
2
x
xxf
g) x
xxxf
62 Resp. 00,00,00 U
3.- Demostrar que la función
1si3
1 si1
13
x
xx
xxf
es contínua en R
4.- ¿Para que valores de c la función definida por
1 si
1 si1
14
xc
xx
xxf
es contínua en x = 1 ? Resp. c = 4
100
5.- Sea
24
20
002
x
xx
x
xf
Grafique f. Demuestre que f es contínua en R
6.- Sea 2
1
x
xxf i) ¿Es contínua en el intervalo 3,,3 ?
2i) ¿Es contínua en el intervalo 1,,1 ?
Resp. (i) NO ; (2i) SI
7.- Si f y g son funciones reales, definimos las funciones f V g
y gf como sigue:
DgDfgDfVgDf y además
DgDfxxgxfxgVxfxgVf ,´máx
DgDfxxgxfxgxfxgf ,mín
i) Grafique las funciones gfyfVg si
2, xxgxxf
2i) Utilizando i) ¿qué puede decir sobre la continuidad de
gfyfVg ? (Problema opcional)
2. 4. Algunas Propiedades de las Funciones Contínuas.
Las siguientes propidades nos permitirán, entre otras, reconocer
funciones Contínuas para un espectro más amplio de funciones y la caracterización
gráfica de las funciones Contínuas.
P.1. Sean f y g funciones contínuas en x = a, c una constante, entonces las
siguientes funciones son contínuas en x = a:
i) c f
2i) f + g
3i) f . g
4i) 0 si agg
f
La demostración de estas propiedades se basan en las definiciones de límite
y continuidad. Por ejemplo para probar 4i tenemos que si ,0ag
101
ag
f
ag
af
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
limlim
así axg
fen contínua es
Ejemplo 2. 4. 1.
La función 53
232
23
xx
xxxxf es contínua
En 0x puesto que 23 23 xxxxp es contínua en 0x
y 532 xxxq es contínua en 050 ademásy 0 qx
P.2. Si f es contínua en a y axgbx
lim entonces
afxgfbx
lim es decir
xgfxgfxfog
bxbxbxlimlimlim
Demostración P.2.
Sea .0 Debemos probar que existes 0 tal que afxgf
cuando bx0
i) Como f es contínua en a, por definición (Nota 2.3.1; 2i) existe 1
tal 1 cuando axafxf
2i) Como 1 que tal existe,lim
axgaxgbx
cuando bxbx
pero si 1 axg entonces, de (i) afxgf
Luego afxgf que tal0 existe0
cuando bxbx
Esta propiedad es muy útil para calcular límites de funciones compuestas.
Ejemplo 2. 4. 1.
a) Determinar 2
14lim x
x
como xxhxx
función lay 34lim 2
1
102
es contínua en 00,0 (Ejemplo 2. 3. 2.) se concluye que
34lim4lim 2
1
2
1
xx
xx
b) 1648lim22
0
xx
x en efecto
448lim 2
0
xx
x y como la función
2xxh es contínua en R, se sigue que
16448lim48lim 222
0
22
0
xxxx
xx
P.3. Si f es es contínua en ba, , entonces f es Acotada en ba, ,
es decir existen m y n en R tales que baxnxfm ,
P.4. Sean f contínua en ba,
c un número entre bfaf y , entonces existe un ox
en ba, tal que .0 cxf
La interpretación geométrica de esta propiedad es la siguiente:
“Si trazamos una recta paralela al eje x por cualquier punto c
ubicado entre bfaf y , esta recta corta al gráfico de f
en al menos un punto cuya abscisa está entre a y b (Fig. 36)
Figura 36
f(b)
c
f(a)
a
y = f(x)
xo b
103
Como consecuencia inmediata de la propiedad 4, tenemos la
siguiente propiedad.
p.5. Si xf es contínua en el intervalo ba, y af y bf
son signos contrarios 0 bfaf entonces existe
bax ,0 tal que 00 xf
00 bfaf
Figura 37
Nota 2.4.1.
a) Las propiedades 4 y 5 juegan un papel importante en algunos
métodos que se usan para resolver ecuaciones.
b) La propiedad 4 y la definición de continuidad permiten reconocer
mediante su gráfica a una función contínua en un intervalo ba, .
Una función f es contínua en ba, si su gráfica no se “interrumpe”
en dicho intervalo, es decir, su gráfico es contínuo.
c) Por lo expuesto en b y por lo que sabemos de sus gráficos las fun-
ciones Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas, Trigonométricas,
etc., son contínuas en sus respectivos dominios.
00 afbf
y y
f(b)
f(b) f(a)
f(a)
0 0
a a b
b
y = f(x) y - f(x)
x x xo
104
Ejercicios Propuestos 2.4.1.
I.- Enuncie las propiedades de las funciones contínuas.
II.- Aplicando propiedades de las funciones contínuas y de límite, determinar:
1) 3
lim 1x
x
Resp. 2
2) 0
lim ;n
xa x a R n N
Resp. na
3) 0
limx
sen x
tg x Resp. 1
4) 0
lim1 cos
sen x
x x Resp. 2
5) 1
lim 2x
arc sen x
6) 0
1lim log
1x
x
x
Resp. 0
7) 2
lim sen x
xe
Resp. e
8) 2 2
1lim
x x
xe
Resp. 1
9) 2
lim2x
x sen x
x
10) 2
0
1 1limx
x x
x
Resp.
2
1
11) 2
lim ( )x
Ln sen x
Resp. 0
12) 2
3 2lim
2x
x x
x
13) 2
3 2lim
2x
x x
x
14) 1
lim 1 2x
x x
Resp. No existe
15) 1
lim 1x
x
Resp. No existe
16) 1
lim( 1)x
x arcsenx
Resp. 2
105
17) )(lim1
arcsenxxx
18) x
senx
x cos1lim
0
19) 23
1lim
20
xx
senxe x
x
III.- Aplicando propiedades de funciones contínuas
Demostrar:
1.- que la ecuación 02035 xx tiene al menos una raíz entre 0 y 2
2.- que 1
211 que tal2,1 3
x
xxxx
3.- que la ecuación 65 xx tiene al menos una raíz en 8,6
2.5. Límite al Infinito
A.- Límmite Infinito y Asíntotas Verticales
Si el valor f x de una función crece indefinidamente cuando x
tiende a a, entonces limx a
f x
no existe.
conviene tener un símbolo para expresar brevemente este caso.
En matemáticas se usa el símbolo:
limx a
f x
para indicar que f x crece sín límite donde el símbolo se
lee “más infinito” y no se le debe atribuir ningún valor real.
Ejemplo 2.5.1.
22
1lim
2x x
como se puede observar en la gráfica de la
función
2
1
2f x
x
(Figura 38)
106
Figura 38
2
1
2f x
x
El significado preciso de limx a
f x
está dado por la
siguiente definición.
Definición 2.5.1.
El símbolo limx a
f x
significa que 0M , existe 0
tal que cuando 0f x M x a
Definición 2.5.2.
a) El símbolo limx a
f x
significa que 0,M existe
0 tal que cuando , f x M x a a
b) El símbolo lim significa que 0,x a
f x M
existe
0 tal que cuando ,f x M x a a
Ejemplo 2.5.2.
a) 2
limx
tgx
b) 1
1lim
1x x
y
x 0
x = 2
107
(a) (b)
Figura 39 a) 1
b) 1
f x tgx g xx
Si el valor de f x toma “valores negativos grandes”, cuando
x tiende a a, introducimos el símbolo lim donde x a
f x
se lee “menos infinito” y también no se le debe atribuir ningún
valor real.
El significado matemático de los símbolos
lim ; lim ; limx a x a x a
f x f x f x
están dados en la siguiente definición
Definici´jon 2.5.3.
a) limx a
f x
significa que :
0, existe 0 tal que cuandoM f x M
0 x a
b) limx a
f x
significa que:
0, existe 0 tal que cuandoM f x M
,x a a
c) limx a
f x
significa que:
y
x
-π/2 0 π/2 π 3π/2
y
x
0
x = 1
108
0, existe 0 tal que cuandoM f x M
,x a a
Ejemplo 2.5.3.
a)
22
1lim
2x x
Figura 40 (a)
b) 1
1lim
1x x
Figura 40 (b)
c) 0
lim lnx
x
(a) (b)
Figura 40
Los símbolos dados en las definiciones 2.5.1., 2.5.2. y 2.5.3. se conocen
bajo el nombre de límite infinitos y en estos casos decimos que f tiene
límite infinito ó diverge a infinito.
Asíntotas Verticales
Si f x tiene un límite infinito cuando x tiende a a por la derecha
ó por la izquierda, la gráfica de la función se acerca más y más a la
recta vertical de ecuación x a , cuando x a . En este caso la recta
x a se llama ASINTOTA VERTICAL de la gráfica.
Ejemplo 2.5.4.
a) El gráfico de la función
2
1
2f x
x
tiene una Asíntota Vertical
cuya ecuación es 2x , puesto que
22
2lim
2x x
(Figura 40(a))
y y
0
0
x = 2
x x
x = 1
109
b) Como 3
2lim
3x
x
x
entonces la recta de ecuaciones 3x es una
Asíntota Vertical, del gráfico de la función 2
3
xf x
x
(nótese
que 3
2lim
3x
x
x
)
Figura 41 2
3
xf x
x
B.- Límites en el Infinito y Asíntotas Horizontales.
En varias aplicaciones importantes es necesario determinar
el comportamiento de f x para valores de x cada vez
más grandes.
Consideremos el comportamiento de 1x
f xx
cuando
x toma valores “grandes positivos” a través de la siguiente
tabla:
x 1x
x
_____________________________
1 2
10 1,2
100 1,01
1000 1,001
10000 1,000
Tabla 1
3
110
Es evidente que cuando x crece indefinidamente 1x
f xx
se aproxima a uno. Lo que en notación matemática escribimos:
1
lim 1x
x
x
Análogamente si x toma valores “grandes negativos” se puede
apreciar en la Tabla 2 que 1x
f xx
se aproxima a uno, lo
que en símbolos matemáticos escribimos:
1
lim 1x
x
x
x 1x
x
__________________________________
-1 0
-10 0,9
-100 0,99
-1000 0,999
-10000 0,9999
Tabla 2
El comportamiento gráfico de f x cuando x toma valores
“grandes positivos” x y x toma valores “grandes
negativos” 0x queda ilustrado en la Figura 42.
Figura 42 1x
y f xx
y
x 0
1
111
Definición 2.5.4.
a) limx
f x L
si y sólo si 0 existe, 0M
tal que cuando f x L x M
b) lim x
f x L
si y sólo si 0 existe 0M
tal que f x L cuando x M
Ejemplo 2.5.5.
a) 1
lim 0x x
en efecto
Sea 0 , debemos encontrar 0M tal que
1
0x cuando x M
se tiene que 1 1 1
0 0xx x x
entonces 1 1
0 cuando 0xx x
es decir 1 1
0 cuando xx
Sea 1
0M
, entonces cuando 1
x M
se
tiene que 1
0x , por lo tanto
1lim 0x x
b) 1
lim 0x x
en efecto
Sea 0 , debemos encontrar 0M tal que
1
0x cuando x M
se tiene que 1 1 1
0 0xx x x
entonces 1
0x cuando
10x
x
es decir 1
0x cuando
1x
Sea 1
0M
entonces, cuando 1
x M
se tiene que 1
0x , luego
1lim 0x x
c) 2
1lim 0x x
112
como 1
lim 0x x
se sigue que 2
1lim 0x x
d) 2
2
2 5 3lim
3 4 2x
x x
x x
A través de una tabla podemos observar que este límite es 2
3
Para calcular este límite en una forma más facil, podemos
tratar de usar la propiedad de límite para el cuociente pero,
2 2lim 2 5 3 y lim 3 4 2x x
x x x x
y el límite no está determinado
Podemos obviar este problema dividiendo numerador y
denominador por 2x (la potencia de mayor exponente que
aparece en el cuociente) entonces:
2
2 2 2 2 2
22
2 22 2 2
2 5 3 5 32
2 5 3
4 23 4 23 4 23
x x
x x x x x x x
x xx x
x xx x x
y como 2
1 1lim 0 limx xx x
tenemos que
2 2
2
2
1 12 5 3
2 5 3 2lim lim
1 13 4 2 33 4 2
x x
x x x x
x x
x x
Nótese que se ha hecho mucho uso de algunas de las propiedades
de límite. ¿Cuáles?
Nota 2.5.1.
a) Si lim 0 y lim 0,x a x a
f x A g x
entonces
diverge a cuando
f xF x x a
g x
b) Si lim 0 y lim , entoncesx a x a
f x A g x
lim 0x a
f x
g x
c) Si diverge a cuando , y lim 0f x x a g x A
entonces
diverge a
f xF x
g x
113
d) Si lim y lim ,x a x a
f x g x
entonces
limx a
f x g x
Formas Indeterminadas
Si no tenemos una expresión general para el cálculo de un
límite, se dirá que este límite es Indeterminado.
Los siguientes casos son límites indeterminados:
1) Si lim 0 y lim 0,x a
x a
f x g x
entonces no hay una
expresión general para calcular
limx a
f x
g x
(forma indeterminada 0
0)
2) Si f y g divergen a , cuando ,x a entonces no
hay una expresión general para calcular
limx a
f x
g x
(forma indeterminado
)
3) Si lim y lim ,x a x a
f x g x
entonces no hay
una expresión general para limx a
f x g x
(forma indeterminada )
Otras formas indeterminadas son: (0.00) ; (0º) ; (00º)
(1ºº)
Asíntotas horizontales
Si lim ,x
f x c
la gráfica de f se acerca más y más a
la linea horizontal y c se llama ASINTOTA
HORIZONTAL de la gráfica de f ; análogamente
si limx
f x d
la recta de ecuación y d se
llama Asíntota Vertical del gráfico de f.
De acuerdo a lo anterior el gráfico de una función f
tiene Asíntota Horizontal y c si limx
f x c
y/o cuando limx
f x c
114
Ejemplo 2.5.6.
En el gráfico de la función 2
3
xf x
x
la recta 1y
es una Asíntota Horizontal puesto que 2
lim 13x
x
x
(Figura 43)
Figura 43 2
3
xf x
x
Ejercicios propuestos 2.5.1.
I.- Defina los siguientes conceptos:
1) Asíntota Vertical
2) Asíntota Horizontal
3) lim ; limx a x a
f x f x
4) lim ; limx x
f x f x
II.- Calcular los siguientes límites:
1) 2
21
1 2lim Resp.:
2 1 3x
x
x x
2) 2
2
1 1lim Resp.:
2 1 2x
x
x x
3)
0
1 1 2 1 3 1lim Resp.: 6x
x x x
x
115
4)
20 30 30
50
2 3 3 2 3lim Resp.:
22 1x
x x
x
5) lim Resp.:0x
sen x
x
6) 2
0
1 1limx
x
x
III.- Encuentre cualquier Asíntota Horizontal y Vertical de
las gráficas de las siguientes funciones.
(Se recomienda bosquejar el gráfico de la función).
1) 1 1
Resp.: 0 x
f x yx
Asíntota Horizontal
2)
1 Resp.: x 0 A. Vertical
y = 0 A. Horizontal
f xx
3)
2
Resp.: x 1 A. Vertical1
y = 0 A. Horizontal
xf x
x
4) 2
1
2
xf x
x x
5) 2 3 2
xf x
x x
6) 2
21
xf x
x
Resp.: y = 1 A. Horizontal
7) 3f x x
8) 2
2 3
2 3 5
xf x
x x
Resp.: x =
5
2
A. Vertical
x = 1 A. Vertical
y = 0 A. Horizontal
9) 2
4
6f x
x x
Resp.: x = -3 x = 2
Asíntotas Verticales
y = 0 Asínt. Horizontal
10) 1f x x x
11) 2
2 3
2 3
xf x
x x
Resp.: y = 2 ; y = -2
Asíntotas Horizontales.
116
IV.- Calcular los siguientes límites:
1) 2 2
limx a
x b a b
x a
2) 5
5 2
3 2 3lim Resp.:
4 20 4x
x
x x
3) 1 1
3 3) lim ) lim Resp.: a) +
1 1
b) -
x x
x xa b
x x
4) a)
0 0lim ) limx x
f x b f x
c) lim ) limx x
f x d f x
si 1
si x>0
3x+2 si 0
f x x
x
5) 2
2
3 5 3lim Resp.:
4 5 4x
x
x
6) 2
2 7lim Resp.: 0
8x
x
x
7) 2
5 2lim Resp.: 5
3 1x
x
x x
8) a) 2 2
4 1 4 1lim b) lim Resp.: a) 4
2 2
b) -4
x x
x x
x x
9) a)2 2
7 4 7 4lim b) lim
5 5x x
x x
x x
2.6. Algunos Límites Especiales.
En esta sección daremos a conocer algunos límites especiales
que cobran importancia en la unidad de Derivadas.
Estos límites son:
0
1lim lim 1
x
x x
sen xy e
x x
Teorema 2.6.1.
lim 1sen
117
Demostración: Nótese que el limsen
no puede ser calculado
por evaluación ya que determina una forma indeterminada.
Probaremos el teorema en el caso en que
02
el caso 02
es similar.
De la Figura 44 se tiene:
Área Area del sector circular y
OAC OAC Area OBCx
Área 1 1
2 2OAC OC x AD sen
Área 1 1
2 2OAC OC x BC tg
Área sector circular 1
2OAC
Así
1 1 1
2 2 2sen tg
Para 0 multiplicamos estas desigualdades por 2
sen para
obtener.
1
1cossen
ó
cos 1sen
Como 0 0
limcos 1, concluimos que lim 1sen
Figura 44
y
x
-1
-1
1
0 D C
A B
sen x
tg x θ
118
1
1
x
f xx
Teorema 2.6.2.
1
lim 1
u
ue
u
La demostración de este teorema se omite por escapar al nivel
De este curso. En la Figura 45 podemos observar que la recta
y e es una Asíntota Horizontal del gráfico de la función
1
1
x
f xx
Figura 45
Teorema 2.6.3. Regla de Sustitución
Si. cuando u g x A x a
Y lim limx a u A
f g x f u L
Ejemplo 2.6.1.
a) Encontrar
31
2 1lim
1x
sen x
x
Nótese que
3 22
2 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 12 1 1
sen x sen x sen x
x x x xx x x
Sea 2 1 ;U x
x
y
1
0
e
-1
119
0
2 1 0 cuando lim 1,u
sen uu x x
u entonces
3 21 1
2 1 2 1 2lim lim
1 2 1 1x x
sen x sen x
x x x x
21 1
2 1 2lim lim
2 1 1x x
sen x
x x x
21
2 2lim lim
1 3u o x
sen u
u x x
b) Encontrar 1
0lim 1 x
xx
Sea 1
,ux
entonces 11 1
y 1 1
u
xx xu u
Además como cuando 0,u x se sigue que
1
0
1lim 1 lim 1
u
x
x xx e
u
1
//0
lim 1 x
xx e
c) Encontrar 20
1 coslimx
x
x
Nótese que
2 2
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
1 cos
1 cos 1 cos
sen x
x x x
2 2
1 cos
sen x
x x
Sea 0 cuando 0 y lim 1
u o
u x
senuu x
u
Así
2 2
20 0 0
1 coslim lim lim
1 cosx x x
x sen x
x x x
2 2
0lim lim
1 cosu o x
sen u
u x
2 2
12 2 //
120
Ejercicios Propuestos 2.6.1.
I.- Enuncie la Regla de Sustitución y explique para que sirve:
II.- Calcular cada uno de los siguientes límites y justifique su
respuesta en término a los teoremas vistos en la Sección 2.6
1.- 0
5lim Resp.: 5x
sen x
x
2.- 0
3 3lim Resp.:
2 2x
sen x
sen x
3.- 2
lim 2 2 Resp.: 0x
x sen x
4.- 0
lim Resp.: 1x
tg x
x
5.- 0
lim Resp.: Constantex
sen AxA A
x
6.- 0
1 coslim Resp.: 0x
x
x
7.-
51
lim 1 Resp.:
x
xe
x
8.-
3
31lim 1 Resp.:
x
xe
x
9.- 22lim 1 Resp.:
x
xe
x
10.-
3
43lim Resp.:
1
x
x
xe
x
11.- lim 1 Resp.: 1x
x Ln x Ln x
12.- 3sec 3
2
lim 1 cos Resp.: x
xx e
3.- DERIVADAS.
El concepto de límite nos permite definir dos operaciones sobre
una función f : la Derivación e Integración, en los cuales se centra el
estudio del Cálculo.
En el presente capítulo trataremos sobre la Derivada.
3.1. Definición de Derivada
Definición 3.1.1. Sean f una función y ox R
- Diremos que f es Derivable en ox si:
limo o
h o
f x h f x
h
existe
121
- Dicho límite, cuando existe, se llama “DERIVADA de f en ox ”
y se denota por ´ of x .
Nota 3.1.1.
Existen varias notaciones para la derivada:
a) haciendo , entonces o oh x x x h x y
´ limo
o
ox x
o
f x f xf x
x x
b) haciendo h x entonces
´ limo o
ox o
f x x f xf x
x
c) si o entonces y oy f x f x
Escribiendo
ox x x (incremento de la variable x)
oy y y (incremento asociado a la variable y ),
entonces o o oy f x f x f x x f x y
o of x x f x y
x x
(Cuociente Incremental)
Así ´ limox o
yf x
x , lo que redpresenta la variación
instantánea de y respecto de x cuando ox x
También se emplea la notación
limo x o
dy yx x
dy x
Definición 3.1.2. Sea f una función.
La Derivada de f es la función f`´
cuyo dominio Df´ es el conjunto de puntos en que f es
derivable, está definida por
´ lim ; ´h o
f x h f xf x x Df
h
Notación: Si x e y están relacionados por la ecuación
,y f x podemos escribir
´dy df
f xdx dx
122
Teorema 3.1.1. Si f es derivable en ox , entonces es
Contínua en ox
Demostración: Por demostrar que lim 0o
ox x
f x f x
Sea ox x x entonces of x f x x y cuando
, 0ox x x
;
lim lim lim
0. ´ 0
o
o o
o
o o
ox x x o x o
o
x f x x f xf x f x
x
f x x f xf x f x x
x
f x
123
DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS
1.- Derivada de la función constante.
Si ,f x c c una constante ´ 0f x
La Derivada de una constante es cero.
Demostración:
0f x h f x c c
h h
lim 0h o
f x h f x
h
Luego ´ 0f x
2.- Derivada de la función f x x
Si ´ 1f x x f x
Demostración:
1
lim 1h o
f x h f x x h x h
h h h
f x h f x
h
Luego ´ 1f x
3.- Derivada de la función nf x x
Si 1´n nf x x f x nx n N
Demostración:
1 2 2 3 3
1 2 2 3 1
1 2 2 3 1
1 1 2...
2 6
1 1 2....
2 6
1 1 2...
2 6
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n nx nhx h x h x h xf x h f x
h h
n n n n nh nx hx h x h
h
n n n n nnx hx h x h
1lim n
h o
f x h f xn x
h
124
Luego 1´ nf x n x
La conclusión de este teorema se puede generalizar cuando n es un número
Real; por ejemplo si 2
333 ´
5 5f x x f x x
4.- Derivada de la función f x sen x
Si ´ cosf x sen x f x x
La Derivada de la función seno es la función coseno
Demostración:
2 cos2 2
2.cos
2
2
f x h f x sen x h sen x
h h
h hsen x
h
hsen
hx
h
2
lim lim .limcos2
2
h o h o h o
hsen
f x h f x hx
hh
Como 2
lim 1 y limcos cos2
2
h o h o
hsen
hx x
h
Entonces
lim cosh o
f x h f xx
h
Luego ´ cosf x x
5.- Derivada de la función cosf x x
Si cos ´f x x f x sen x
La Derivada de la función cos x es la función –sen x
Demostración (Ejercicio)
6.- Derivada de la función logaf x x
125
Si 1
log ´ loga af x x f x ex
Demostración:
1
log log
1 1log log 1
2
1log 1
1log 1
a a
a a
a
ua
f x h f x x h x
h h
x h h
h x x
x h
x h x
hu con u
x x
Cuando 1
, y lim 1 ,u
u oh o u o u e
entonces
11 1
´ lim limlog 1 logua a
h o u o
f x h f xf x u e
h x x
Luego 1
´ logaf x ex
7.- Derivada de la función f x Ln x
Si 1
´f x Ln x f xx
Demostración: Aplicando la derivada de logaf x x
1 1
tenemos ´con a e f x Ln ex x
Luego 1
´f xx
8.- Derivada de f x x
9.- Si 1 1
´2
f x f xx x
10.- Si 1
1
1´
2f x x f x
x
126
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1.1.
1.- Defina Derivada de f en x
2.- Defina ´ of x
3.- Demuestre que si f es derivable en ox , entonces es contínua en ox
4.- Defina “Cuociente Incremental”
5.- Sea f x x ¿Es f derivable en 0x ?
6.- Sea f x x determinar df
dx para 0x
7.- Si 1
demuestre que ´f x Ln x f xx
8.- Utilizando la expresión
´ limo
o
x xo
f x f xf x
x x
Hallar:
a) 2´ 1 si 6 Resp.: 2f f x x
b) ´ 0 si Resp.:f f x m x b m
c) ´ 3 si Resp.: 1f f x x
d) 1
´ 4 si Resp.: 4
f f x x
9.- Sea 1
1f x
x
(opcional)
a) Encontrar ´f x , donde f sea derivable
b) Grafique f x
10.- Sea f x x x Encontrar ´f x ; donde existe (opcional)
11.- Sea 0 1
1 1
x xf x
x x
¿Existe ´ 1f ?
3.2. Algebra de Derivada
En esta sección veremos teoremas sobre derivadas que nos permitan
obtener en forma más agil la derivada de una función.
127
Teorema 3.2.1. Si c es una constante y si f es derivable, entonces
cf también es derivable y
d df
cf cdx dx
“El factor constante se puede sacar fuera del proceso de derivación”
Demostración:
lim
lim
lim
h o
h o
h o
cf x h cf xdcf
dx h
f x h f x hc
f x h f xc
h
dfc
dx
Ejemplo 3.2.1.
3 3 2 25 5 5. 3 15d d
x x x xdx dx
Teorema 3.2.2. Sean f y g diferenciables, entonces f g
También es diferenciable y
d df dg
f gdx dx dx
“La derivada de la suma (o diferencia) de funciones derivables es la suma
(o diferencia) de sus derivadas”.
Demostración
lim
lim
lim
lim lim
h o
h o
h o
h o h o
f g x h f g xdf g
dx h
f x h g x h f x g x
h
f x h f x g x h g x
h h
f x h f x g x h g x
h h
df dg
dx dx
El resultado de este teorema se puede generalizar para un número
finito de funciones derivables:
128
1 2 3 1 2 3.... ´ ´ ´ ´ ... ´n nf f f f f f f f
Ejemplo 3.2.2.
5 5
4
1 13 3
4 4
1 53 cos
42
d d d dsen x x x sen x x x
dx dx dx dx
x xx
Teorema 3.2.3. Sean f y g derivables, entonces (fg) es
derivable y
d dg df
fg f gdx dx dx
“La derivada del producto de dos funciones derivables es igual al
producto de la primera función por la derivada de la segunda más
el producto de la segunda por la derivada de la primera función”
Demostración:
lim
lim
lim
lim lim
lim lim .lim
h o
h o
h o
h o h o
h o h o h o
fg x h fg xdfg
dx h
f x h g x h f x g x
h
f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
h
g x h f x h f x f x g x h g x
h h
f x h f x g x h g xg x h f x
h h
como limh o
g x h g x
puesto que g es continua debido que es
derivable (Teorema 3.1.1.)
luego
d dg df
fg f gdx dx dx
129
Teorema 3.2.4. Sean f y g funciones derivables en x y si 0g x ,
entonces:
2
df dgg x f x
d f dx dx
dx g g x
“La derivada del cuociente de dos funciones es igual a otro cuociente que
tiene por denominador el cuadrado del denominador del cuociente dado
y por numerador, la diferencia entre el producto del denominador por la
derivada del numerados y el producto del numerador por la derivada del
denominador”.
Demostración:
2
. .lim lim
lim
lim lim
.lim
.
h o h o
h o
h o h o
h o
f x h f x
g x h g x f x h g x f x g x hd f
dx g h hg x g x h
f x h g x f x g x f x g x f x g x h
hg x g x h
f x h f x g x h g xg x f x
h h
g x g x h
df dgg x f x
dx dx
g x
Ejemplo 3.2.3.
a)
2 2
cos cos cos
cos cos
cos
cos 2
d d dsen x x sen x x x sen x
dx dx dx
sen x sen x x x
x sen x
x
b)
3 2 2 32
23 3
3 2 2
23
4 3 4 3 2
23
2 3 4
23
1 3 8 3 8 13 8
1 1
1 2 3 3 8 3
1
2 2 3 3 3 9 24
1
3 2 24 6
1
d dx x x x x x
d x x dx dx
dx x x
x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x
x
130
c)
1
1
1
d d dx Ln x x Ln x Ln x x
dx dx dx
x Ln xx
Ln x
d)
2
1
d dLn x x x Ln x
d x dx dx
dx Ln x Ln x
Ln x
Ln x
Derivada de la función tg x
Si 2´ secf x tg f x x
Demostración:
2
2
2 2
2
2
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos
cos
1
cos
sen xtg x
x
d dx sen x sen x x
d d sen x dx dxtg xdx dx x x
x x sen x sen x
x
x sen x
x
x
Luego 2´ secf x x
Si sec ´ secf x x f x x tg x
Demostración:
1
cos secx
x
131
2
cos 1 1 cos1
seccos cos
0
cos cos
1
cos cos
sec
d dx x
d d dx dxxdx dx x x
sen x
sen x
x x
sen x
x x
x tg x
Luego ´ secf x x tg x
Derivada de la función 2cosec x
Si 2´ cosf x ctgx f x ec x
Demostración.- Ejercicio
Derivada de función cosec x
Si cos ´ cosf x ec x f x ec x ctg x
Demostración.- Ejercicio
Teorema 3.2.5.- Regla de la Cadena
Si en cierto punto x la función u g x es derivable
y la función y f u es derivable en el valor correspondiente de u en
un punto x, entonces la función compuesta y fog x f g x es una
función derivable en x y
d d d
fog x f u g xdx du dx
ó ´ ´ ´fog x f g x g x
ó dy dy du
dx du dx
132
Demostración:
lim
lim
lim
lim lim *
x o
x o
x o
x o x o
fog x x fog xdfog x
dx x
f g x x f g x
x
f g x x f g x g x x g x
x g x x g x
f g x x f g x g x x
g x x g x x
El segundo límite de (*) es ´ .du
g xdx
Para evaluar el primer
límite nótemos que cuando x o g x x g x porque,
siendo g derivable es contínua en x
Sea , cuando g g x x g x g o x o y
lim lim
´ ´
x o g o
f g x x f g x f g x g f g x
g x x g x g
df g x f u f u
du
Así d d d
fog x f u g xdx du dx
ó ´ . ´d
fog x f g x g xdx
La Derivada de una Función Compuesta es igual al producto
de la derivada de esta función respecto a la Variable intermedia u por
la derivada de la Variable Intermedia respecto a x
´d du
f u f u udx dx
Variable Intermedia
Ejemplo 3.2.4.
a) si 3
2 5 ; Hallar dy
y f x xdx
Desarrollo:
3
2 25y x
Sea 3 3
2 2 2 25, entonces 5u g x x y x u
133
3 1
2 23
y como 22
dy d duu u x
du du dx
Usando la regla de la Cadena
12
12 2
2
32
2
3 5
3 5
dy dy duu x
dx du dx
x x
x x
b) Si 5cos 1 , hallar dy
y xdx
Desarrollo:
Sea 5 1, entonces cos yu x y u
5
4
4 5
cos 1
5
5 1
dy dy du d du x
dx du dx du dx
dysen u x
dx
dyx sen x
dx
c) si 2
2
1 Hallar ´
1
xy f x f x
x
Desarrollo:
Sea 2
2
1, entonces
1
xu y u
x
y
2 2 2 2
2 2 22 2 2
2
22
2
22 2
2
32
1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1
1 22
1
1 212
1 1
2 1 1 2
1
x x xdu x x x x x
dx x x x
dy dy du x xu
dx du dx x
x xx
x x
x x x
x
134
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.2.1.
I.- Determinar la derivada de las siguientes funciones:
1. 4 2 33 6 Resp.: ´ 4 6y x x y x x
2. 3 26y x x
3. 5 2 45x 2
Resp.: y´=a+b
x x xy
a b a b a b
4. 3 2 1
5
x xy
5. 2
3 2 22 Resp.: y´=6ax
x xy ax c
b b
6. 7 52 26 4 2y x x x
7. 3
23 2
1 3 1 13 Resp.: ´
2 3y x x y
x xx x
8. 2 2
2 2
x m x ny
m x n x
9. 2 1 2 1Resp.: ´ 2a a a ay x x y ax ax
10. 3 21 4 1 2y x x
11. 2 22 1 6 3 Re .: ´ 6 26 12y x x x sp y x x
12.- 2 2
2xy
b x
13.-
2
2Resp.: ´
a x ay y
a x a x
14.- 2
21
tf t
t
15.-
2
2
4 2 4Resp.: ´
3 3
s s sf s f s
s s
16.- 2
22 3y x
17.- 5 4
2 2 2 2Resp.: ´ 10y x a y x x a
18.- 2 2y x a
135
19.-
12
312 2
1 1Resp.: ´
1 1 1
xy y
x x x
20.- 3
31y x
21.- 2 Resp.: ´ 2y sen x y sen x
22.- 2 cos 3y sen x x
23.- 2
Resp.: ´cos
ay tg ax b y
ax b
24.- 1 cos
sen xy
x
25.- 5 4 2cot 5 Resp.: ´ 25cot 5 csc 5y g x y g x x
26.- 3 cosy sen t t
27.- 2
cos 2 Resp.: ´cos 2
a sen xy a x y
x
28.- 3
3
zr a sen
29.- 1
Resp.: ´ cossec
tg xy y sen x x
x
30.-
12
1ln
1
sen xy
sen x
31.- ln Resp.: ´a
y ax b yax b
32.- 2
3lgy x sen x
33.- 1
ln ln Resp.: ´ln
y x yx x
34.- 3ln 2 5y x x
35.- ln Resp.: ´ ln 1y x x y x
36.- 2ln 1y x x
37.- lny tg x
136
3.3. Derivada de la Función Inversa:
Teorema 3.3.1.- Si para la función y f x existe la función inversa
x g y tal que en un punto y dado tenga derivada
´ 0g y entonces la función ,y f x tiene en el
punto correspondiente x una derivada ´f x dada por:
1
´`
f xg y
Demostración: Como ,x g y entonces x g y y g y
además; 1y
xx
y
Como g y es contínua, cuando , entoncesx o y o
1 1lim lim
´x o y o
y
xx g y
y
Osea 1
´´
f xg y
La derivada de una de las dos funciones recíprocamente inversas es
igual al valor recíproco de la derivada de la otra función para los
correspondientes valores de .x e y
Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.
a) Derivada de la funci´jon arc sen x;
Si 2
1
1
dyy f x arc sen x
dx x
Demostración:
2 2
y arc sen x x sen y y
2 2cos 1 1
dxy sen y x
dy
(Signo + pues para cos )2 2
y y o
137
De acuerdo al Teorema 3.3.1.
2
1 1
1
dy
dxdx xdy
b) Derivada de la función arc cos x:
Si 2
1cos
1
dyy f x arc x
dx x
Demostración:
cos cos 0y arc x x y y
2 21 cos 1dx
sen y y xdy
(la raíz cuadrada son signo + pues 0 cuando 0 )sen y y
De acuerdo al Teorema 3.3.1.
2
1 1
1
dy
dxdx xdy
c) Derivada de la función arc tg x
Si 2
1
1
dyy f x arc tg x
dx x
Demostración:
2 2
y arc tg x x tg y y
2 2 2
1 1 1 1
sec 1 1
dy
dxdx y tg y x
dy
d) Derivada de la función arc ctg x:
Si 2
1
1
dyy f x arc ctg x
dx x
Demostración: Ejercicio
e) Derivada de la función arc sec x
Si 2
1sec
1
dyy f x arc x
dx x x
138
Demostración: Ejercicio
f) Derivada de la función arc cosec x
Si 2
1cos
1
dyy f x arc ec x
dx x x
Demostración: Ejecicio
Derivada de la función Exponencial e Hiperbólicas:
a) Derivada de la función ; 1xa a o a
Si ; 1x xdyy f x a a o a a Ln a
dx
Demostración:
logx
ay a x y
1 1
1 loglog a
a
dy y
dxdx ee
dy y
Pero 1
logx
a
Ln ey a y e
Ln a Ln a
Así entonces
xdya Ln a
dx
b) Derivada de la función xe
Si x xdyy f x e e
dx
Demostración:
En el resultado anterior cambiando a por e tenemos:
xdye Ln e
dx
Luego xdye
dx
c) Derivada de la función seno hiperbólico:
Si cosdy
y f x sen hx hxdx
139
Demostración:
1
,2
x xy sen hx e e entonces
1
cos2
x xdye e hx
dx
d) Derivada de la funci´jon coseno hiperbólico:
Si cosdy
y f x hx sen hxdx
Demostración:
1cos2
1
2
x x
x x
y hx e e
dye e sen hx
dx
e) Derivada de función tangente hiperbólica:
Si 2secdy
y f x tg hx h xdx
Demostración:
Si
2
2 2
2
2
2
cos
cos ´ cos ´
cos
cos
cos
1sec
cos
sen hxy tg hx
hx
hx sen hx sen hx hxdy
dx hx
hx sen hx
hx
h xhx
f) Derivada de la función secante hiperbólica:
Si sec secdy
y f x hx hx tg hxdx
Demostración: Ejercicio
g) Derivada de la función cosecante hiperbólica:
Si cos cos cotdy
y f x ec hx ec hx g hxdx
Demostración: Ejercicio
140
h) Derivada de la función cotangente hiperbólica:
Si 2cosdy
y f x ctg hx ec h xdx
Demostración: Ejercicio
Ejercicios Propuestos 3.3.1.
1.- Enuncie el Teorema de la Función Inversa.
2.- Hallar la derivada de la Función Inversa (cuando sea posible)
de las siguientes funciones:
a) 1
3 5 Resp.: 3
dxf x x
dy
b) 17 2f x x
c) 2
1 dx 1Resp.:
dyf x
x y
d) 1
2f x
x
e) 2 1
1 Resp.: 2
dxf x x
dy y
f) ln 2 5f x x
g) 3 1f x x
h) xf x e
3.- Determinar la derivada de los siguientes funciones:
a) 3
33 2
3
3
3Resp.: ´
2 3
xx e x
f x e f xx
b) ln 5xf x e
c) 2 22 1 2 1Resp.: ´ 2 2x x x xf x e f x e x
d) 3 2lgf x x
e) 5
3 3lg 2 Resp.: ´ lg 2xf x f x
141
f) 1
2xtgf x
g) 2
33 Resp.: f´ x
1 9f x arc sen x
x
h) 2sec 1f x arc c x
i) f x arc sen x
j)
2
2cos 1 2 Resp.: ´
1 1 2f x arc x f x
x
k) 3secf x arc x x
l) 3secf x arc x x
m) 2
2Resp.: ´
2 4
xf x arc tg f x
x
n) 3cotf x arc g x
o)
2
4
2 44 Resp.: ´
1 4
xf x arc tg x f x
x
4.- Utilizando las definiciones de seno hiperbólico y coseno
Hiperbólico, demostrar que:
a) 2 2 xcos 1 b) e cosh x sen h x hx sen hx
c) cosxe hx sen hx
5.- Demuestre que 2cotd
g hp cocec h xdx
(Sugerencia utilice
cos
cothx
g hxsen hx
6.- Demuestre que sec secd
hx hx tg hxdx
7.- Determinar la derivada de las siguientes funciones:
a) 4 2f x sen h x
b) 2
1 1 1cos Resp.: ´f x h f senh
x x x
c) sec lnf x c h x
142
TABLA DE LAS PRINCIPALES FORMULAS DE DERIVACIÓN.
( ) , constantef x c c ´ 0f x
;af x x a R 1´f x x
f x sen x ´ cosf x x
cosf x x ´f x sen x
f x tg x 2´ secf x x
f x ctg x 2´ cosf x ec x
secf x x ´ secf x x tg x
cosf x ec x ´ cos cotf x ec x g x
f x arc sen x 2
1´
1f x
x
f x arc tg x 2
1´
1f x
x
xf x a ´ xf x a Ln a
xf x e ´ xf x e
logaf x x 1
´ logaf x ex
f x Ln x 1
´f xx
y cf x ´dy
cf xdx
y f x g x ´ ´dy
f x g xdx
y fg x ´ ´dy
f x g x g x f xdx
f
y xg
2
´ ´g x f x f x g xdy
dx g x
143
3.3. Derivación de Funciones Implícitas, Derivadas de orden Superior y
Derivación de Funciones Paramétricas:
A.- Derivación de Funciones Implícitas.-
Supongamos que los valores de las Variables x e y se
encuentran relacionados por la ecuación:
, 0f x y
Si la función y f x definida en cierto intervalo (a, b)
es tal que, al sustituir y por la expresión f x en la ecuación
, 0,F x y esta ecación se convierte en una identidad respecto
s x, entonces la función y f x recibe el nombre de “Función
Implícita” definida por dicha ecuación.
Por ejemplo la ecuación
2 2 2 24 0 (aqui , 4x y F x y x y
determina Implícitamente las funciones:
2
2
4 e
4
y x
y x
cos 0y x y
Pues al sustituir y por estas expresiones en la ecuación ésta se
convierte en la identidad
2 24 4 0x x
No siempre es posible hallar la forma explícita de una función
implícita. Por ejemplo las funciones Implícitas definidas por
las ecuaciones
5 2 0y y x
ó cos 0y x y
No pueden expresarse mediante funciones y f x definidas
explícitamente, es decir, éstas ecuaciones no pueden ser resueltas
en y.
Veamos cómo se obtiene la derivada de una función implícita
sin necesidad de transformarla previamente en explícita (sin
ponerla previamente en la forma ).y f x
Supongamos que la función y f x está definida implíci-
tamente por la ecuación 2 3 cos 0y x y
144
Derivando ambos miembros de la ecuación respecto a x y
considerando que y es función de x, obtenemos aplicando la
regla de la cadena:
22 3 0dy dy
y x sen ydx dx
de donde 22 3dy
y sen y xdx
y 23
2
dy x
dx y sen y
Ejemplo 3.4.1.
a) Hallar si cosdy
y x ydx
Desarrollo:
1
1
dy dsen x y x y
dx dx
dy dysen x y
dx dx
dy dysen x y sen x y
dx dx
sen x ydy
dx sen x y
b) Hallar cosdy
si xy xdx
Desarrollo:
cos 1
. 1
1
1
1
1
dxy
dx
dsen xy xy
dx
dysen xy y x
dx
dyy x
dx sen xy
dyx y
dx sen xy
y sen xydy
dx x sen xy
145
B.- Derivadas de Orden Superior.-
Supongamos que la función y f x es derivable en un
Conjunto D, entonces la derivada ´f x está definida en D.
Si la función derivada ´f x es derivable en D, derivando ´f x
con respecto a x, obtenemos la función derivada de ´f x
definida en D, llamada
Derivada de Segundo Orden o Segunda Derivada de f y se
denota por: 2
2" " , ,
d yy f
dx etc.
Ejemplo 3.4.2.
a) Si 2
2, entonces cos
dy d yy sen x x y sen x
dx dx
b) Si 2
5 55 , entonces ´ 1 "y x Ln x y y y
x x
La derivada de la segunda derivada se denomina
Derivada Tercer Orden o Tercera Derivada de f.
En general, la derivada de la derivada de orden (n-1) se llama
Derivada de nesimo Orden y se designa por
; , , etc.n
n n
n
d yy f
dx
Nótese que por definición 1n nf f
Ejemplo 3.4.3.
a) Si entonces nx xf x e f x e
b) Si
1
2
3
4
, entonces
cos2
2.2
cos 32
42
f x sen x
f x x sen x
f x senx sen x
f x x sen x
f x sen x sen x
En general
2n
f x sen n x
146
C.- Derivación de funciones Paramétricas.
Funciones dadas en forma Paramétricas.
Consideremos las ecuaciones
x F t
y G t
(1)
Donde ; ; y t c d F G funciones uno a uno.
Para cada valor de ,t c d corresponden dos valores, uno de x y otro de y.
Considerando que los valores de x e y son las coordenadas de un punto P en
el Plano Cartesiano, a cada valor de t entonces, corresponderá un punto
determinado de dicho plano.
Este punto describe cierta curva C cuando t varía de c a d.
Las Ecuaciones (1) se llaman Ecuaciones Paramétricas de la curva C, en la
que t se denomina Parámetro y el método de determinar la curva C
mediante las ecuaciones (1) se llama método Paramétrico.
Sea 1t F x la función Inversa de .x F t Es claro que y es función
de x:
1y G F x f x
En este caso se dice que la función y f x está definida en Forma
Paramétrica.
Ejemplos de Ecuaciones Paramétricas de algunas Curvas:
a) Circunferencia de radio r y centro en origen:
cosx r t
y r sen t
0 2t
Eliminando el parámetro t, encontramos: 2 2 2x r
b) Elipse:
cosx a t
y b sen t
0 2t
Eliminando el parámetro t, encontramos: 2 2
2 21
x y
a b
147
c) Astroide:
3
3
cosx a t
y a sen t
0 2t
Eliminado el parámetro t (elevando los dos miembros de estas
Ecuaciones a la potencia 23 y sumándolas), encontramos:
23
2 2
3 3x y a
Derivada de una función definida Paramétricamente.
Sea y f x una función dada por las ecuaciones
Paramétricas:
x F t
y G t
1ot t t
Supongamos que F y G son derivables y que F tiene inversa
1t F x que, a su vez, también es derivable. En este caso
la función y f x definida por las ecuaciones paramétricas
puede considerarse como una función compuesta:
1;y G t t F x
donde t es una Variable Intermedia.
Según la regla de la Cadena tenemos:
1 ´dy dy dt dy
F xdx dt dx dt
Pero
1 1 1´
´F x
dxF t
dt
(Derivada de la función Inversa).
y así tenemos
dy
dy dtdxdx
dt
Ejemplo 3.4.4.
La función y f x está dada por las ecuaciones paramétricas:
1 cos
x a t sen t
y a t
0 2t
148
Calcular: dy
dx
i) para cualquier valor de t
2i) para 4
t
3i) en qué valor de t no está determinado y´
Desarrollo:
dy
dy dtdxdx
dt
dy
a sen tdt
1 cosdx
a tdt
i) 1 cos 1 cos
dy a sen t sen t
dx a t t
2i) 4
4
4
2
22
1cos 2 2 21
2
dy sen
dt t
Para funciones de tipo v x
y u x donde tanto la base como
el exponente son funciones de x, aprovechamos las propiedades de logaritmo
y la técnica de derivación Implícita para determinar su derivada.
Ejemplo 3.4.5.
a) Hallar si xdy
y sen xdx
Desarrollo: Tomando logaritmo natural de la función y
Ln y x Ln sen x
Derivando esta igualdad respecto a x, tenemos:
1 cosdy x
x Ln sen xy dx sen x
cotdy
y x g x Ln sen xdx
149
b) Hallar xdysi y x
dx
Desarrollo: Tomando logaritmo natural de la función y
Ln y x Ln x
Derivando:
1 1
1
1x
dyx Ln x
y dx x
dyy Ln x
dx
dyx Ln x
dx
El procedimiento aplicado en el ejercicio 3.4.5. se puede aplicar en
la derivación de ciertas funciones jpara simplificar cálculos:
Ejemplo 3.4.6. Hallar
2
3 3 2
1 si
4 2
xx edyy
dx x x
Desarrollo: Tomando logaritmo natural a la función y
212ln 1 3 4 2
3Ln y x x Ln x Ln x
Derivando con respecto a x tenemos:
)1)2(3
2
4
3
1
2(
2)4(
)1(
)1)2(3
2
4
3
1
2(
)2(3
2
)4(
31
1
21
23 23
2
2
2
x
x
xxxx
ex
dx
dy
x
x
xxy
dx
dy
x
x
xxdx
dy
y
x
150
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.4.1.
I.- 1. Hallar 2
2 2 3
2
2 3 si 3 1 0 Resp.:
6 3
dy dy x yx xy y
dx dx xy y
2. Hallar 3 2 4 si 4 3 25dy
x xy ydx
3. Hallar
13
2 23 3 2
3 si Resp.: dy dy y
x y adx dx x
4. Hallar 4 2 5 6 si 3 8 0dy
x y x y xdx
5. Hallar 3 2 4 5
4 2 5 6
5 4
4 15 6 si 3 8 0 Resp.:
3 2
dy dy x y x y xx y x y x
dx dx x x y
6. Hallar 2 2 si 1
dyx xy y
dx
II.- 1. Demuestre que 2
" ´ 1 0y y
Si ln cos 1 2y x
2. Demuestre que 2 31 " 2 ´ 2x y xy x
Si 1
1 2y arc tg xx
3. Demuestre que 2
" ´ 0yy y
Si 1 2 lnx y y y
4. Demuestre que 2
" ´ 2yy y
Si 2 2
1 22y x c x c
5. 3 23 2 5 1 hallar " Resp. " 18 4f x x x x y y x
6.
22 2
2 2 2 2hallar " Resp. "
af x a x y y
a x a x
7. 4 4
7
152 hallar Resp.
8f x x y y
x
151
III. Hallar dy
dx en las siguientes funciones paramétricas:
1. 22 ; Resp. 2dy
x t y t tdx
2. 16
2 ;x t yt
3. cos ; Resp. cotdy
x t y sen t gtdx
4. 2
4 4;
a ax y
t t
5. 2
2 2
5 110;
1 1
ttx y
t t
6. 2
2
1;x y t
t
*7. Utilice la fórmula
1
11
1;
n
nnn
n n
dy
d y d ydt ydxdx dx
dt
para hallar 2
2
d y
dx en los problemas 1, 3, 5 de la parte III.
152
3.5. Deferencial de una función.
Definimos la derivada de una función y f x como:
lim ´x o
dy yf x
dx x
De este límite vemos que para x “pequeño”
y
x es próximo a ´ ,f x es decir ´
yf x
x ó
´y f x x
donde el símbolo se entiende como “es aproximadamente
igual a”.
Esta última relación nos permite encontrar el valor aproximado
de una función en ciertos puntos. Por ejemplo la Tabla 1 nos
ilustra la estimación para la función
cerca de 30º (6
y senx x x
TABLA 1
Definición 3.5.1.- Sea y f x donde f es una función
derivable, entonces definimos.
a) la diferencial como 0dx dx x x
b) la diferencial de como ´dy f dy f x dx
Nota 3.5.1. a) y dy y dx x
b)
´
´f x dxdy
f xdx dx
Ejemplo 3.5.1. a) si cosy sen x dy x dx
b) si 2 1 2u x du x dx
x 6 x 6sen x 6 6
y sen x sen Aproximación
´ .6
f x
0,01 0.533598775 0.508635109 0.008635109 0.008660254
0,001 0.524598775 0.500865775 0.000865775 0.0008660254
0,0001 0.523698775 0.5000866 0.0000866 0.00008660254
153
3.6. Antiderivadas.
Hasta ahora se ha estudiando el problema de encontrar la
derivada de una función dada, es decir, dada F(x); se desea
hallar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es
decir.
´F x f x
Definición 3.6.1. Sea f una función definida en ,a b .
Si existe una función y F x tal que
F es continua en ,a b , derivable en ,a b y la
derivada de F es f para todo ,x a b , esto es
´ ,F x f x x a b
entonces F es llamada una Antiderivada o
integral Indefinida de f en el intervalo ,a b y
la denotamos por F x f x dx f
f x dx se lee “Integral de f x con
respecto a x”
El proceso de calcular una Integral es llamado Integración.
La Variable x es llamada Variable de Integración y la función
f es llamada Integrando. Si f tiene una antiderivada se dice
que f es Integrable.
Ejemplo 3.6.1.
a) cos ya que cosd
sen x dx x x sen xdx
b) 5 6 6 56 ya que 6d
x dx x x xdx
Notemos es este ejemplo que cosd
x C sen xdx
donde C
es una Constante es decir cosF x x C también es una
Antiderivada de .f x sen x
Teorema 3.6.1.- Si F y G son dos funciones derivables las cuales
tienen la misma derivada, entonces estas
funciones difieren en una Constante, es decir
Si ´ ´ donde F x G x F x G x C C
es alguna Constante.
Este teorema nos permite dar una definición más general de
antiderivada de f:
f x F x C
donde F (x) es alguna antiderivada de f y C es una Constante.
154
Teorema 3.6.2.- Sean f y g funciones integrales y k una
constante, entonces
y kf f g son integrales, además
i) kf x dx k f x dx y
2i) f x g x dx f x dx g x dx
Demostración.- Sean
,F x f G x g , entonces
Como d d
kF k F kfdx dx
tal que ,d
k F kF kfdx
es decir
kF kf de donde
k f kf
Análogamente como d d d
F G F G f gdx dx dx
Se concluye que F G f g ó
f g f g
Esta última conclusión se puede generalizar para un número
finito de sumandos.
Antes de ver como determinar integrales daremos una Tabla
de integrales de las funciones elementales, la que se deduce
inmediatamente de la definición de Antiderivada y de la tabla
de las principales fórmulas de derivación vista en 3.3.
1. 1
11
aa x
x dx c aa
2. dx
Ln x Cx
3. cossen x dx x C
4. cos x dx sen x C
5. 2sec xdx tg x C
6. 2cosec x dx ctg x C
7. x xe dx e C
8. x
x aa dx C
Ln a
9. 21
dxarc tg x C
x
155
10. 21
dxarc sen x C
x
Ejemplo 3.6.2.-
a) 3 35 6 cos 5 6 cosx x x dx x dx x dx x dx
12
12
32
3
13 1
12
4
5 6 cos
5 63 1 1
5 26
4 3
x dx x dx x dx
x xsen x
xx sen x C
b) 1
2 2 4
4
3 52 2 3 5
dxx x dx x dx xdx x dx
x xx
14
12 1 1 1
3 2 34
2 3 512 1 1 1
14
1 203
3 3
x x xLn x C
x x Ln x x C
Ejemplo 3.6.3.- Integración por Sustitución
a) Calcular cossen x x dx
Haciendo la Sustitución u = sen x, encontramos que
du = cos x dx y por lo tanto
32
32
2cos
3
2
3
sen x x dx u du u C
sen x C
b) Calcular cos 5x dx
Haciendo u = 5x, encontramos que du = 5dx de donde
1
,5
dx du por lo tanto
1 1cos 5 cos
5 5
15
5
x dx u du sen u C
sen x C
c) Calcular tg x dx
, por lo tanto cos cos
sen x sen xtg x tg x dx dx
x x
156
Haciendo u = cos x, encontramos que du = -sen x dx ó
-du = sen x dx y por lo tanto
du
tg x dx Ln u Cu
Luego costgx Ln x C
d) Calcular 22 3
x dx
x
Haciendo 22 3u x , encontramos que du = 4x dx de donde
1
4x dx du y así
12
12
1
2
2
1 1 1
14 4 4 12 3 2
1 12 3
2 2
x dx du uu du C
ux
u x C
Ejercicios Propuestos 3.6.1.-
I.- 1.- Defina Antiderivada de una función
2.- Demuestre mediante la definición de antiderivada que
af bg a f b g
II.- Calcular las siguientes Integrales.
1.- 2
cos x
sen x
2.- 3
1x dx
x
3.- cos
2 3
xdx
sen x
4.- 3
x x dxx
5.- dx
x Ln x
6.- 2
2x x dx
7.- 1
dx
x
157
8.- 2cos
t g xdx
x
9.- 21
arc sen xdx
x
10.- 21
dx
x arc sen x
11.- 1
cos Ln x dxx
12.- cossen xe x dx
13.- 5 5x xe a dx
14.- 2 4 5 2x xe x dx
158
4. Aplicaciones de la Derivada
4.1. Interpretación física de la derivada.
A.- Razón y Cambio.
Una cantidad y puede relacionarse generalmente con otra cantidad
x por medio de una función f: y = f(x). Un cambio en el valor de
x frecuentemente induce un cambio correspondiente al valor de y.
Por ejemplo, sea x el radio de un círculo; sea y el área de este
círculo, entonces 2.y x En el caso en que el radio tenga una
longitud x = 3 unidades consideramos un pequeño cambio en
,x x la nueva área es 2
3 ,x así el cambio en el valor
del área y es:
2 23 3y x
Una forma de comparar el cambio y experimentado en y, y el
cambio x experimentado en x, es calcular la razón
y
x
Es claro que ésta razón está dependiendo de ,x pero si
aproximamos x a cero, entonces el límite de y
x (si existe)
define lo que llamaremos “Razón Instantánea de Cambio de y
comparada con x, cuando x = 3”.
En nuestro caso se tiene que:
2
2
3 9
9 6 9
6
y x
x x
x x
de donde
6y
xx
y 0
lim lim 6 6 ,x x o
yx
x
por lo tanto cuando el radio
es 3, la razón de cambio del área del círculo con respecto a la
razón es 6 veces el cambio x en el radio
es cercano a 6y
x
. Consideremos algunos casos:
Si 0.1x
nuevo radio = 3.1
nueva área = 9.61π
159
9,61 9
0,61
y
Si 0.01x
nuevo radio = 3,01
nueva área = 9,0601π
9,0601 9
0,0601
0,06016,01
0,01
y
y
x
Consideremos ahora una función derivable y = f (x) y un
pequeño cambio x en el valor de la variable independiente x.
Nuevo valor de la variable independiente x x
Nuevo valor de y f x x
y f x x f x
a) La razón entre el cambio del valor de la función, y el cambio
de la variable independiente es:
f x x f xy
x x
también llamada razón promedio (o media).
b) La razón Instantánea de cambio de y con respecto a x se
define como:
0 0
lim lim ´x x
f x x f xyf x
x x
Si el límite existe.
Ejemplo 4.1.1.
El costo C, en dólares, de producir diariamente x aparatos de TV está
dado por la fórmula:
C = 7000 + 50x – 0.50 2x
Encontrar la razón de cambio instantáneo de C con respecto a x
(llamado costo marginal) cuando se producen 200 aparatos cada
día.
Solución
C’(x) = 50 – 0.1x
C’(100) = 50 – 0.1 (100) =
= 50 – 10 = 40
La razón de cambio instantáneo son 40 dólares por TV diariamente.
160
B.- Velocidad y Aceleración-
Supongamos que una partícula se mueve en línea recta sobre la
cual se ha introducido un sistema de coordenadas y sea f (t) la
coordenada de la partícula en el instante t. ( f ( t ) es el
desplazamiento de la partícula).
Definición 4.1.1.
a) La velocidad media de la partícula, desde 1 2 a ,t t denotada por
1 2,v t t se define como
2 1
1 2
2 1
,f t f t
v t tt t
b) Se define la velocidad instantánea de la partícula en el instante
0t como
0
0
0 0
0
lim ´t t
f t f tv t f t
t t
cuando tal límite existe.
c) La razón de cambio instantáneo de la velocidad, con respecto
tiempo, se conoce como aceleración y se denota por a (t).
NOTA
a) La Velocidad Media de la partícula es la razón media de
cambio (o razón promedio) entre el desplazamiento de la
partícula y el tiempo en que se produce este
desplazamiento.
b) La Velocidad Instantánea de la partícula es la razón
instantánea de cambio del desplazamiento de la particula
con respecto al tiempo en un instante determinado t.
c) ' ''dv d
a t f t f tdt dt
Ejemplo 4.1.2.
Se lanza verticalmente al aire una pelota con velocidad inicial
de 64 pies/seg. Si su desplazamiento s (t) en el instante t
está dado por:
264 16s t t t
a) Calcular la velocidad media durante el primer segundo a
partir del instante inicial ( t = 0 segundo).
161
b) Hallar la velocidad instantánea como función de t.
c) Hallar la velocidad instantánea en el instante t = 3
segundo.
Desarrollo:
a) 2 1
1 2
2 1
1 0, 48 pie/seg.
1 0
s t s t s sv t t
t t
b) ' 64 32s t t
c) ' 3 32 pie/seg.s t
El signo menos indica que la pelota se mueve hacia abajo, es
decir, en ese instante ( t = 3 segundos ) la pelota viene de
vuelta.
Ejemplo 4.1.3.
La posición s (t) de un automóvil a lo largo de una autopista
está dada por:
2 2s t t t
De aquí que:
Su velocidad instantánea en un instante t es:
' 2 2v t s t t
La velocidad instantánea en el instante t = 3 segundo es :
3 2 3 2 4 unidadesv
La aceleración en un instante t es:
' 2 unidadesa t v t
Nótese que la aceleración es constante.
C.- Variables Ligadas.
En cada rama de la ciencia, encontramos cantidades que
cambian con el tiempo (oxidación de metales, difusión de
gases, combustión, digestión de alimentos, absorción de
calor, el decaimiento de elementos radiactivos, etc.).
Si dos cantidades se relacionan por una ecuación y se
conoce la razón de cambio de una de ella con respecto al
tiempo, entonces derivando implícitamente la ecuación con
respecto al tiempo, se puede encontrar la razón de cambio
(Instantánea) de la otra cantidad.
162
Ejemplo 4.1.4.
Un pozo petrolero fuera de control en el océano expulsa petro-
leo dejando una película circular sobre la superficie del agua.
Si el radio del círculo aumenta a razón de 2min
m
.
¿Qué tan rápido crece el área de la película de petróleo cuando
su radio es de 100 metros?
Desarrollo: Sean
i) R = Radio de la película circular de petróleo.
2i) A = Area de la película circular de petróleo
Entonces
2
2min
A R
dR m
dt
Se pide la razón de cambio instantaneo del Área con respecto
al tiempo en el instante que R = 100 m. lo que denotaremos
por 100dA
Rdt
Derivando implícitamente con respecto al tiempo la ecuación
que relaciona al área con el Radio se tiene
2
2
100 2 .100 2min
100 400min
dA dRR
dt dt
dA mR m m
dt
dA mR
dt
Ejemplo 4.1.5.
La parte más alta de una escalera de 25 pies descansa sobre
una pared vertical, la escalera se resbala a razón de 1 pie
por minuto. ¿Qué tan rápido se desliza la base de la
escalera sobre el piso cuando está a 7 pies de la base de la
pared?
Desarrollo: Sean
x = la distancia entre la base de la escalera a la
pared.
y = la distancia entre la parte alta de la escalera
y la base de la pared.
y
x
25
163
Como la escalera se resbala a razón de 1min
pie
por sobre
la pared entonces
1dy pie
dt seg
El signo menos indica el movimiento hacia debajo de la parte
superior de la escalera.
Se desea calcular 7dx
xdt
Por teorema de Pitágoras tenemos
2 2 225x y
Derivando implícitamente con respecto al tiempo se tiene
2 2 0dx dy
x ydt dt
ó 0dx dy
x ydt dt
de donde
dx y dy
dt x dt
cuando x = 7 se tiene que y = 24
y
min7
247
piesx
dt
dx
Ejemplo 4.1.6.
Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314
pies³ por minuto. ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del
trigo?
Desarrollo
Sean H = Altura del trigo almacenada en el tanque en un instante t
R = Radio del tanque cilíndrico (constante)
V = Volumen del trigo almacenado en el tanque en el instante t
entonces
HRV 2 (1)
Variación de cambio del volumen con respecto al tiempo es
min314
3pies
dt
dv
164
Se pide dt
dH
Derivando la ecuación (1) implícitamente con respecto al tiempo,
teniendo presente que R es contante, se tiene
dt
dHR
dt
dV 2
De donde
min
1100
min314
2
3
2
pies
pies
pies
R
dt
dV
dt
dH
165
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1.1.
1.- Encontrar la razón de cambio a la cual el área superficial de un cubo
de lado x cambia con respecto a x cuando x es 2 pies.
2.- El número de kilómetros desde la tierra hasta el cohete lo da la
Fórmula:
230 0.005E t t t
donde t se mide en segundos. ¿Qué tan rápido cambia la distancia
cuando el cohete está a 35.000 kilómetros de la tierra.
3.- Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5
pulgadas por segundo. Cuando su arista es de 4 pulgadas, hallar
la razón de cambio del volumen.
4.- Una partícula se mueve sobre la línea recta de manera que su
posición s(millas) en un tiempo t (horas) la da
2
4 1 1s t t t
a) ¿Cuándo se mueve hacia la derecha?
b) ¿Cuándo se mueve hacia la izquierda?
c) ¿Cuándo cambia de dirección?
d) Cuando se mueve hacia la izquierda ¿cuál es la máxima rapidez
que alcanza? (La rapidez es el valor absoluto de la velocidad).
5.- Una partícula se mueve a lo largo del eje s, de tal manera que
después de t segundos su posición está dada por la fórmula de
desplazamiento:
3 26 21s t t t
Hacer una tabla mostrando el desplazamiento de la partícula,
velocidad y aceleración al final de cada segundo durante los
primeros 6 segundos de movimiento.
Resp.:
6.- Un cohete se dispara hacia arriba con una velocidad inicial de 128
pie por segundo:
a) ¿Cuánto viaja en un segundo, en 2 segundos?
b) ¿Cuánto alcanza la altura máxima?
c) ¿Cuál es esta altura máxima?
d) ¿Cuándo regresará al suelo?
e) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?
t 1 2 3 4 5 6
s( t ) 16 5 -6 -11 -4 21
v(t ) -9 -12 -9 0 15 36
a(t) -6 0 6 12 18 24
166
INDICACIÓN:
La ecuación de caída libre es:
216s t so vo t t
donde: so es la posición del objeto en el instante t = 0
vo es la velocidad del objeto en el instante t = 0
s está medida en pies y t en segundo y el sentido positivo
de s es hacia arriba.
Resp.: (Problema 6 )
a) 112 pies; 192 pies
b) 4 segundos
c) 256 pies
d) 8 segundos
e) 128 pie/seg. = vo
7.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 400 pies por segundos. Su altura s después de t
segundos es:
2400 16s t t t
¿Qué tan rápido cambia la distancia desde la piedra hasta un
observador que se encuentra en el suelo a 1800 pies del sitio
del lanzamiento, cuando la piedra aún sube y se halla a 2400
pies del suelo?
Resp. 64 pie/seg.
8.- Un pequeño embudo con forma de cono se vacía de fluído a razón
de 12 milímetros cúbicos por segundo. La altura del embudo es
20 milímetros y el radio de la base es 4 milímetros.
¿Qué tan rápido desciende el nivel del fluído cuando el nivel está
a 5 milímetros arriba del vértice del cono? (Volumen de cono
es 21)
3r h
Resp:
seg
mm
12
9.- El largo de un rectángulo de área constante de 800 milígramos2
aumenta a razón de 4 milímetros por segundos.
a) ¿Cuál es el ancho del rectángulo en el momento en que el
ancho decrece 0,5 milímetros por segundos?
b) ¿Qué tan rápido cambia la diagonal del rectángulo cuando
el ancho es de 20 milímetros?
Resp.: a) 10 milímetros
b) aumenta a razón de 6
5
mm
seg
167
10.- ¿Cuál es el radio de un círculo en expansión cuando la razón
de cambio de su área es numéricamente igual al doble a la
razón de cambio de su radio?
Resp.: 1
r
11.- Un avión que vuela paralelo al suelo a una altura de 4 kilómetros
pasa sobre una estación de radar. Poco tiempo después, el
equipo de radar revela que el avión está a 5 kilómetros de
distancia y que la distancia entre el avión y la estación aumenta
a razón de 300 kilómetros po hora. En ese momento,
¿qué tan rápido se mueve en forma horizontal el avión?.
Resp.: 500km
hr
12.- Un bote pasa una boya fija a las 9.00 A.M. enfilando hacia el
oeste a 3 millas por hora. Otro bote pasa la misma boya a
las 10:00 A.M. dirigiéndose hacia el norte a 5 millas por hora
¿qué tan rápido cambia la distancia entre los botes a las
11:30 A.M.?
Resp.: 4 2millas
hr
168
4.2.- Interpretación Geométrica de la Derivada.
Hemos citado las ideas de velocidad, aceleración “razón de cambio” y
con todas ellas siempre terminamos con el concepto de DERIVADA.
Centraremos nuestra atención en dar a la Derivada una interpretación
Geométrica. Usaremos para ello, algunos conceptos que no
definiremos en detalle; como por ejemplo, recta secante, recta
tangente, sino recurriremos a los conceptos que manejamos de
geométria analítica plana.
Consideremos la gráfica de la función y f x y sobre ella un
recta secante que
Figura 46
Pasa por los puntos A y B de coordenadas , y o ox f x
;o ox x f x x respectivamente.
La pendiente de esta recta secante viene dada por:
seco o
o o
o o
f x x f xm
x x x
f x x f x
x
Si hacemos tender a cero x el punto B sobre la gráfica se acercará
al punto A y la pendiente de esa recta secante tenderá hacia la
pendiente de la recta tangente en el punto A es decir
xo xo + Δx
A
B
f(xo)
f(xo + Δx)
169
0
limo o
x
f x x f xm tg
x
Donde m tg denota la pendiente de la recta tangente. Por lo tanto:
' om tg f x Derivada de la función f en el punto ;o ox f x
De donde:
La ecuación de la recta tangente es :
'o o oy y f x x x
Ejemplo 4.2.1.
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 24y x x
en el punto ( 2,4 )
Desarrollo:
La ecuación que se pide es de la forma 'o o oy y f x x x
donde , 2,4 yo ox y
2' es la derivada de 4of x x x
evaluada en el punto 2ox
luego ' 4 2o of x x
Así tenemos
4 0
4
y
y
b) ¿En qué puntos de la curva 3y x la tangente es tal que corta al eje
x en el punto (1,0) ?
Solución:
Figura 47
L
( xo , yo)
(1,0)
3y x
170
Supongamos ,o ox y es un punto de tangencia.
Luego ' of x es la pendiente de la recta tangente
Además considerando los puntos , y 1.0o ox y podemos
determinar la pendiente de la recta L que pasa por dichos puntos; es
decir:
pendiente de recta 1
o
o
yL
x
De lo cual podemos concluir que
231
o
oo
yx
x
rectas paralelas o considentes de donde
23 1 1o ooy x x
Por otro lado el punto 3 satisface la curva o ox y y x
es decir 3 2o oy x
Considerando (1) y (2) se concluye que
3 23 1oo ox x x
de donde 320o ox v x
por lo tanto los puntos buscados son
3 27
0,0 ,2 8
y
Definición 4.2.1.
La Recta Normal a una curva en un punto P se define como una
recta perpendicular a la recta tangente en P.
Nota 4.2.1.
1.- Como para una función f x derivable en xo la pendiente de
la recta tangente en el punto , es 'P xo f xo f xo
entonces la pendiente de la recta normal en P, cuando ' 0,f xo
está dada por 1
'f xo y la ecuación de la Recta Normal para este
caso es:
1
'y f xo x xo
f xo
171
Ejemplo 4.2.2.
Hallar la ecuación de la recta normal a la curva 2 3 5y x x
en la punto (3,5).
Desarrollo
Sea 2 3 5f x x x
' 2 3
' 3 3
f x x
f
Pendiente de la recta normal es 1
3
Ecuación de la recta normal es
1
3 33
y f x
15 3
3
3 18 0
y x o
x y
172
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.2
1.- Hallar la ecuación de la recta tangente y Normal a cada una de las
siguientes curvas en los puntos indicados.
a) 2 en 2,4y x y en el origen.
b) en 4,2y x
c) 23 en 0,0 y en 1,2y x x
2.- ¿En qué puntos de la curva 3y x es la tangente paralela a la
Recta 12 16?x y
3.- Demostrar que la recta y x es tangente a la curva
3 26 8y x x x ¿cuál es el punto de tangencia? ¿corta
esa recta a la curva en otros puntos?.
4.- ¿Para qué valores de a, b y c tienen los gráficos de
2f x x ax b y
2g x x cx
una recta tangente común en el punto (2,2)?.
5.- ¿En qué puntos la recta Normal a la curva 2 3 5y x x en el
punto (3,5) interseca a la curva?.
173
4.3.- Teoremas sobre Derivadas
A.- Teorema de Rolle
Teorema 4.3.1.- Teorema de Rolle.
Sea f una función con las siguientes propiedades:
i) Continua en un intervalo ,a b
2i) Derivable en el intervalo ,a b
3i) f a f b
Entonces existe por lo menos un número , tal que ' 0c a b f c
Interpretación geométrica del teorema de Rolle:
Si una curva continua, con tangente en cada uno de sus puntos,
corta a una recta paralela al eje x en puntos cuyas obscisas son
a y b, entonces, en esta curva, existirá por lo menos un punto de
abscisa c, a < c < b, en el cual la tangente es paralela al eje x.
Figura 48
Nota 4.3.1.
1.- Un caso particular del Teorema de Rolle lo constituyen
las funciones para las cuales cumpliendo las propiedades
( i ) y ( 2i ) de dicho teorema se anulan en los extremos
del intervalo ,a b .
f(a) = f(b)
y = f(x)
a c1 c2 b
174
2.- Si la función f es tal que no tiene derivada en algún punto
del intervalo (a, b) la conclusión del teorema puede no
cumplirse por ejemplo la función 231 ,f x x esta
función es continua en 1,1 , se anula en los extremos
es decir 1 1 0;f f pero 3
2'
3f x
x
no
está definida en 0 1,1x y además no se anula
para ningun 1,1x (se recomienda graficar f ( x ) ).
Ejemplo 4.3.1.- Verificar el Teorema de Rolle para la
función 28 6 en 2,4f x x x
Desarrollo:
i) f es continua en 2,4
2i) f es derivable en ( 2,4 )
3i) f (2) = f (4) = 0
Luego existe por lo menos un número 2,4c tal
que ' 0f c
¿Cómo determinar c?
' 0 6 2 0
3 2,4
f c c
c
Por lo tanto c = 3
B.- Teorema del Valor Medio
Como una consecuencia del teorema de Rolle se tiene otro
importante teorema del Cálculo, el llamado Teorema del
Valor Medio para Derivadas.
Teorema 4.3.2.- Teorema del Valor Medio
Sea f una función continua en ,a b y derivable en (a,b).
Entonces existe por lo menos un número ,c a b tal que
'f b f a
f cb a
Con la ayuda de la Figura 49 podemos dar un significado
geométrico del Teorema del Valor Medio.
175
La cuerda AB; que une los puntos , y A a f a
,B b f b del gráfico de f; tiene pendiente
f b f a
b a
Por otra parte 'f c es la pendiente de la recta
Tangente al gráfico de f en el punto ; .C c f c
Por lo tanto, el teorema del Valor Medio nos dice que
existe por lo menos un punto C en el gráfico de f tal
que su correspondiente tangente en C, es paralela a la
cuerda que une los puntos A y B.
Figura 49
Ejemplo 4.3.2.- Verificar el teorema del Valor Medio
Para 3 26 4 30f x x x x en el
Intervalo 4,6
Desarrollo:
1. f es continua en 4,6
2. f es derivable en 4,6
2' 3 12 4
4 78
6 54
6 4 54 7812
6 4 2
f x x x
f
f
f f
Y
X a c b
C=(c , f(c))
A=(a , f(a))
B=(b , f(b))
T
176
Para determinar c hacemos :
2
2
' 12 3 12 4 12
3 12 16 0
12 144 192
6
12 336
6
22 21
3
f c c c
c c
c
c
c
Y se escoge 2 2
2 21 pues 2 21 4,63 3
c
c.- Teorema del L’Hôpital
En el estudio de límite de funciones nos encontramos a
menudo con formas indeterminadas 0 0 0( 0. ; 0 ; ;1 ; ; ; )
0
El Teorema de L’Hôpital es una herramienta poderosa que
permite el cálculo de los límites de las indeterminaciones bajo
ciertas condiciones de las funciones involucradas.
Teorema 4.3.3.- Teorema o Regla del L’Hôpital (forma
indeterminada 0
0 )
Sean f y g dos funciones con derivada continua en (a,b) tal
que 0 y ' 0.f a g a g x Entonces, si
' 'lim existe lim lim
' 'x a x a x a
f x f x f x
g x g x g x
Ejemplo 4.3.3.
Calcular
0
1limx
Ln x
x
Desarrollo:
0
1 0lim forma indeterminada
0x
Ln x
x
Aquí 1 y f x Ln x g x x ambas funciones cumplen
con la Hipótesis del Teorema a 4.3.3. en 0, 0a
Como
'1 1' ; ' 1
1 ' 1
f xf x f x y
x g x x
entonces,
0 0
' 1lim lim 1
' 1x x
f x
g x x
existe
177
Por lo tanto :
1
1
0 0 0
1 1lim lim lim 1
1 1
x
x x x
Ln x
x x
Nota 4.3.2.
1.- El teorema es válido también cuando las funciones
y f x g x no estan definidas en x a pero
lim 0 y lim 0x a x a
f x g x
2.- Si ' ' 0f a g a y las funciones ' y 'f x g x
satisfacen las Hipótesis de la Regla de L’Hôpital,
entonces
' ''lim lim
' ''x a x a
f x f a
g x g a
Ejemplo 4.3.4.
Calcular 0
2lim
1 cos
x x
x
e e
x
Desarrollo : Se puede verificar que se cumplan las
condiciones de la nota 4.3.2. (2) por lo tanto
0 0 0
2lim lim lim 2
1 cos cos
x x x x x x
x x x
e e e e e e
x sen x x
Teorema 4.3.4. Teorema del L’Hôpital (forma indeterminada
)
Sean f y g dos funciones continuamente derivables para todo
x a en algún intervalo abierto centrado en a; ' 0,g x para
toda x en dicho intervalo;
lim 00 y lim 00,x a x a
f x g x
entonces si existe
'lim
'x a
f x
g x, se tiene que
'lim lim
'x a x a
f x f x
g x g x
Nota 4.3.3.
1.- Si en el teorema 4.3.3. la Hipótesis
'lim
'x a
f x
g x existe se cambia por
'lim
'x a
f x
g x
178
la igualdad de la conclusión del teorema también es
válida.
2.- El teorema se puede generalizar al caso en que x
Ejemplo 4.3.5.
Calcular limx
x
e
x
Desarrollo:
Se puede verificar que las funciones y f x tgx
3g x tg x cumplen con las Hipótesis del Teorema
4.3.4. Así:
2 2
2
2
seclim lim
3 3 sec 3x x
tg x x
tg x x (forma indeterminada
0
0 )
Aplicando sucesivamente teorema 4.3.4. se tiene
2
2
12 2
cos
2 21
cos 3
sec cos 3y
sec 3 cos
x
x
x x
x x
2 2 2
2 2
2 2
sec cos 3 2.3cos 3 3lim lim lim
sec 3 cos 3 2 cosx x x
x x x sen x
x x sen x
2 2
cos 3 33 lim . lim
cosx x
x sen x
x sen x
2 2
cos 3 3 33 lim 3 lim 3 3
cosx x
x sen x
x sen x
Por lo tanto:
2 2
2
2
1 seclim lim 3
3 3 sec 3x x
tg x x
tg x x
Los cálculos de los límites de las indeterminaciones
restantes se reducen a los casos ya vistos.
Ejemplo 4.3.6.
a) Calcular 0
lim n
xx Ln x
forma indeterminada 0 00
179
Desarrollo:
1
n
n
Ln xx Ln x
x
se reduce a la forma indeterminada 00
00
Así 1
1
10 0 0lim lim lim
n n
n x
nx x xx x
Ln xx Ln x
0
lim 0n
x
x
n
b) Calcular 0
lim sen x
xx
(forma indeterminada 00 )
Desarrollo:
Hacemos sen xy x , sacando logaritmo natural a
ambos miembros se tiene:
Ln y sen x Ln x
tomando límite cuando 0x
0 0
lim limx x
Ln y sen x Ln x
(forma indeterminada 0 00 )
1
0 0lim lim
1 cos cot
x
x x
Ln x
ecx g x
sen x
2
0 0 0lim lim lim
cos cosx x x
sen x sen x sen x
x x x x
0
Como la función logaritmo es continua se tiene que
0 0
lim lim 0x x
Ln y Ln y
De donde 0 0
lim 1, es decir lim 1sen x
x xy x
180
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.3.1.
1.- Verificar el teorema de Rolle encontrando valores de x para los cuales
y ' se anulan donde nf x f x f x x x a
( n entero positivo). Resp. 1 20
1
anc y c
n
2.- Verificar el teorema del Valor Medio para 1 en 0,3F x x
Resp. 5
4c
3.- Verificar la hipótesis del teorema del Valor Medio para
2 2 5 en 1,5g x x x y encontrar un valor de c
garantizado por el teorema.
Resp. 3c
4.- ¿Es válido el teorema del Valor Medio para 1 en 1, 3 ?F x x
5.- ¿Se cumple el teorema del Rolle para la función 1
2
xf x
x
en el
intervalo 1,3 ?
6.- ¿Es aplicable el teorema del Valor Medio a la función 3 2f x x
en 0,27 ?
7.- Consideremos la función 1
2f x
x
en el intervalo cerrado 0,1
¿Existe un valor c que satisface a la conclusión del teorema de
Rolle? del teorema del Valor Medio?
8.- ¿En que intervalo la función 28 6f x x x satisface la
conclusión del teorema de Rolle? del teorema del Valor Medio?
Encontrar los siguientes límites. (Aplique Regla de L’Hôpital).
9.- 0
1 1limx x sen x
10.- 0
1lim
x
x
e
x
11.- 3
lim 1
x
x x
12.- 0
1lim
1
y
y
e sen y
Ln y
Resp. 2
181
13.- limax
x
x
e Resp. 0 si 0; si 0a a
14.- 0
7lim
2x
Ln tg x
Ln tg x Resp. 1
15.- 1
lim 12x
xx tg
Resp.
2
3
16.- 21
2 1lim
1 1x x x
Resp. - 12
17.- 1
1limx
x
Ln Ln x
Resp. -1
18.- 1
1
1lim x
xx
Resp.
1
e
19.- 0
1lim
tg x
x x
Resp. 1
20.- 1
0lim cot Ln x
xx
Resp.
1
e
21.- 2
lim secx
x tg x
Resp. 0
22.-
12
0lim
x
x
sen x
x
Resp. 6
1
e
182
4.4. Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada.
Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada,
las condiciones que debe cumplir una función para que sea
constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de
una función “sube” o “baja” depende directamente del signo de la
primera derivada.
Teorema 4.4.1.
Sea f una función contínua en ,a b y derivable en ,a b .
Entonces:
i) Si ' 0f x para todo , ,x a b f es Estrictamente
Creciente en ,a b
ii) Si ' 0f x para todo , ,x a b f es Estrictamente
Decreciente en ,a b
Ejemplo 4.4.1.
a) Determinar los intervalos de monotonía de la función:
3 3 1;f x x x x R
Desarrollo:
De acuerdo al teorema 4.4.1., se debe realizar un estudio del
signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda
de una cuadro apropiado.
2 2' 3 3 3 1 3 1 1f x x x x x
-00 -1 1 +00
Por lo tanto
f es Estrictamente Creciente en , 1 y 1,
f es Estrictamente Decreciente en 1,1 (ver gráfico de
f x en la figura 50)
x + 1 -- + +
x - 1 -- -- +
f’ ( x ) -- -- +
183
Figura 50
Nota 4.4.1.
1.- El teorema 4.4.1. tiene la siguiente interpretación geométrica:
si la función f x es creciente en el intervalo ,a b , la
recta tangente a la curva y f x , forma con el eje X un
ángulo agudo (en algunos puntos puede ser paralela a este
eje). La pendiente de ésta recta tangente es positiva (o nula).
Si la función f x es decreciente en el intervalo ,a b ; la
recta tangente a la curva y f x , forma con el eje x un
ángulo obstuso (en algunos puntos puede ser paralela a este
eje). La pendiente de ésta recta tangente es negativa (o nula).
2.- Si f es derivable en , y ' 0a b f x para todo x en ,a b
entonces f es función constante en ,a b .
Otra característica cualitativa importante del gráfico de una
función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente
al signo de la segunda derivada.
Definición 4.4.1.
a) Una cuva en Cóncava hacia arriba si toda la curva está
situada encima de la recta tangente en cualquier punto
dado de la curva (Figura 51)
Figura 51
-1 1
(0,1)
184
b) Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está
situada por debajo de la recta tangente en cualquier
punto dado de la curva (Figura 52)
Figura 52
A continuación enunciaremos los criterios que permiten
determinar la concavidad del gráfico de una función f x .
Teorema 4.4.2.
Suponga que ''f x existe en un intervalo ,a b . Entonces:
i) Si '' 0 en a,b ,f x f es Cóncava hacia arriba en
,a b .
ii) Si '' 0 en , ,f x a b f es Cóncava hacia abajo en
,a b .
Ejemplo 4.4.2.
Estudiar la concavidad del gráfico de la función
4 3 22 36 24 12f x x x x x
Desarrollo
De acuerdo al teorema 4.4.2. debemos estudiar el signo de la
segunda derivada.
3 2' 4 6 72 24f x x x x
2 2'' 12 12 72 12 6 12 2 3f x x x x x x x
-00 -3 2 +00
x + 3 - + +
x – 2 - - +
f’’( x ) + - +
Por lo tanto el gráfico de la función dada es :
- Cóncava hacia arriba en (-00,-3 ) y en (2, +00)
185
- Cóncava hacia abajo en ( -3, 2 )
Notemos que '' 3 0 y '' 2 0f f además en 3 y x
2x se produce un cambio de convidad.
Definición 4.4.2.
El punto 0 0,x f x se llama Punto de Inflexión de f si
el gráfico de f cambia su concavidad en 0x
En el ejemplo 4.4.2. se puede observar que se produce un
cambio de concavidad en 3 y 2x x por lo tanto
3; 3 y
2; 2
f
f
Son puntos de Inflexión del gráfico de la función f x
Nota 4.4.2.
f puede tener punto de Inflexión en 0x en uno de los
siguientes dos casos:
i) 0'' 0f x , ó
ii) 0''f x no esta definido
Ejemplo 4.4.3.
Sea 3 7
5 56
, entonces '' aqui '' 025
f x x f x x f x
para 0 y '' 0 para 0x f x x
por lo tanto (0,0) es un punto de Inflexión; podemos notar
que '' 0f no está definida.
186
4.5. Extremos Relativos
Definición 4.5.1.
Diremos que una función f tiene un:
i) Máximo Local (o Relativo) en 0x si existe un intervalo
0f x f x para todo x en ( a, b )
ii) Mínimo Local (o Relativo) en 0x si existe un intervalo
abierto ( a,b ) que contiene a tal que
0f x f x para todo x en ( a,b )
iii) Máximo Global (o Absoluto) en 0x si
0f x f x para todo x en Df.
iv) Mínimo Global (o Absoluto ) en 0x si
0f x f x para todo x en Df.
Los máximos y mínimos de una función se llaman extremos o
Valores extremos de la función.
Ejemplo 4.5.1.
a) Consideremos el gráfico de la siguiente función
3 23 9 10y x x x
Figura 53
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
4
8
12
16
-4
-8
-12
-16
y
x
187
Podemos observar que f tiene un:
i) Máximo Local en 0 3x
ii) Mínimo Local en 0 1x
no tiene máximo ni mínimo global
Nótese que ' 3 ' 1 0f f
b) Consideremos el gráfico de la función
4 28y x x
Figura 54
Podemos observar que f tiene un:
i) Máximo Local en 0 0x
ii) Mínimo Local y Global en 0 02 y x 2x
No tiene un máximo global
Nótese que ' 2 ' 0 ' 2 0f f f
-3 -2 -1 1 2 3
8
y
4
0
x
-4
-8
-12
-16
188
c) Consideremos el gráfico de la función
2 3f x x x
Figura 55
Podemos observar que f tiene un:
i) Máximo Local y Global en 2x
2i) Mínimo Local en 3x
No tiene mínimo Global puesto que la función decrece indefinidamente
a partir de 2x
Nótese que ' 3f no está definida y que ' 2 0f
Definición 4.5.2. Puntos Críticos
Sean i) f continua en ,a b
2i) 0 ;x a b
Ejemplo 4.5.2.
a) 3 y 1x x son puntos críticos de la función
3 23 9 10f x x x x puesto que ' 3 1 0f f
(Ejemplo 4.5.1. a) )
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-3 -2 -1 1
189
b) 2 ; 3x x son puntos críticos de la función
2 3f x x x puesto que ' 2 0 y ' 3f f
No está definida (Ejemplo 4.5.1. c) )
Teorema 4.5.1.
Condición necesaria para la existencia de una extremo local.
Si f tiene un extremo local, en 0x , entonces 0x es un punto crítico.
El recíproco de este Teorema no es verdadero como lo demuestra el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 4.5.3.
Sea 3f x x . Entonces 2' 3f x x la cual es siempre
Positiva excepto en el punto crítico x = 0. Pero f no tiene
un extremo local en x = 0 puesto que f ( x ) es creciente
en R.
Los ejemplos 4.5.1. y 4.5.3. ilustran el hecho que es un
punto crítico una función puede tener o no tener un extremo
local.
Teorema 4.5.2.
Condiciones suficientes para la existencia de un extremo.
Sean:
i) f (x) contínua en ,a b
2i 0 ,x a b , punto crítico de f
3i) ( ) derivable en ,f x a b , a excepción, quizás, en 0x
a) Si, al pasar por 0x de izquierda a derecha, el signo de
la derivada cambia de “más ' 0f x a “menos”
' 0f x , entonces la función f tiene un MAXIMO en
0x x
b) Si, al pasar por 0x de izquierda a derecha, el signo de
la derivada cambia de “menos” ' 0f x a “más”
' 0f x , entonces la función tiene un MINIMO en
0x x
190
Ejemplo 4.5.4.
Hallar los máximos y los mínimos de la función.
3 22 4 2f x x x x
Desarrollo
1. Hallamos la primera derivada:
2' 6 2 4 2 3 2 1f x x x x x
2. Determinamos los puntos críticos:
En este caso para hallar los puntos críticos resolvemos
la ecación:
2 3 2 1 0x x de donde los puntos críticos son:
2
13
x x
3. Analizamos el signo de la derivada
' 2 3 2 1f x x x a la izquierda y a la derecha
de los puntos críticos, mediante la siguiente tabla:
Signo de 'f x
al pasar por los puntos críticos
Naturaleza del
extremo
x < -1 x = -1 x > -1
+ 'f x =0
- Máximo
x < 2/3 x = 3/3 x > 2/2
- 'f x =0
+ Mínimo
Luego la función tiene un Máximo en x = -1 tiene un Mínimo
en 2
3x
191
Nota 4.5.1.
1. Debe tenerse en cuenta que las condiciones a) y b) del teorema
4.5.3. deben cumplirse para todos los valores de x próximos al
punto crítico.
2. Si el signo de 'f x al pasar de izquierda a derecha, por un punto
crítico no cambia no hay máximo ni mínimo (la función crece o
decrece).
3. Estas condiciones suficientes para la determinación de extremos
se conoce con el nombre de “Criterio de la Primera Derivada
para la determinación de Extremos” y es de gran utilidad cuando
la función no está definida en los puntos críticos.
Teorema 4.5.3.
Criterio de la segunda derivada para determinar extremos
Si 0' 0f x , entonces:
i) Si 0'' 0f x La función f tiene un Máximo en 0x
2i) Si 0'' 0f x La función f tiene un Mínimo en 0x
Ejemplo 4.5.4.
Hallar los máximos y mínimos de la función 3 3 2f x x x
Desarrollo
1. Hallamos la primera derivada:
2' 3 3 3 1 1f x x x x
2. Calculando los puntos críticos:
1 2
3 1 1 0
1 1
x x
x x
3.- Hallamos la segunda derivada:
'' 6f x x
4. Analizamos la naturaleza de cada punto crítico:
Para 1 '' 1 6 0x f
luego f tienen un Máximo en x = -1
192
Para 1 '' 1 6 0x f
Luego f tiene un Mínimo en x = 1
Figura 56
Problemas Propuestos 4.5.1.
Hallar los extremos de las funciones:
1. 2 2 3f x x x Resp. Mínimo en x = 1
2. 2
32 1f x x Resp. Máximo en x = 1
3. 1
33 2 1f x x Resp. No hay Máximo ni Mínimo
4.
2
2 3x xf x
x
Resp. Máximo en
12
5x
5. 2 x xf x e e Resp. Mínimo en ln 2
2x
6. ln
xf x
x Resp. Mínimo en x = e
7. 2
cos ; en ,2
f x x sen x x
Resp. Máximo en 4
x
y
4
3
2
1
x -1 1 2
-1
193
8. 2 ; en ,2 2
f x sen x x x
Resp. Máximo en 6
x
Mínimo en 6
x
9. xf x e sen x Resp. Mínimo en 24
x k
Máximo en
32
4x k
k z
10. 1f x x x Resp. Máximo en 3
4x
Mínimo en 1x
194
4.6. Análisis de Carvas Planas
Estamos en condiciones de trazar la gráfica de una gran variedad de
funciones. Los aspectos más importantes de considerar en una
gráfica son: Intervalo de Monotonía, Concavidad y Extemos
relativos.
Ejemplo 4.6.1.
Determinar la gráfica de la función
2 1
xf x
x
considerando los aspectos mencionados
Desarrollo Sea 2 1
xy
x
1.- Intersección con los ejes
i) Eje x : Hacemos 2
0 entonces 01
xy
x
de donde 0x
luego el gráfico de f corta al eje x en 0x
2i) Eje y : Hacemos 0 entonces 0x y
luego el gráfico de f corta al eje y en
0y
de i) y 2i) se concluye que el gráfico de f pasa
por el origen.
2.- Simetrías:
2 2 11
x xf x f x
xx
(función Impar)
por lo tanto el gráfico de f tiene simetría con respecto al
origen.
3.- Asíntotas :
i) Verticales :
Como se trata de una función racional cuyo denominador
no se anula para ningún valor de x, entonces el gráfico
de f no tiene asíntotas verticales.
195
2i) Horizontales:
Como 2lim lim 0
1x x
xf x
x
, entonces el gráfico de
f tiene por asíntotas horizontales de recta 0y
4.- Intervalos de Monotonía:
Para determinar intervalos de Monotonía analizamos el signo de
la derivada.
2
2 22 2
1 11'
1 1
x xxf x
x x
Conclusión:
'f x es estrictamente creciente en el intervalo 1,1
f x es estrictamente decreciente en los intervalos
, 1 y 1,
Nótese que los puntos críticos de f son 1; 1x x
5.- Concavidad:
Para determinar la concavidad analizamos el signo de la segunda
derivada
2
3 32 2
2 3 32 3''
1 1
x x xx xf x
x x
3x - + + +
x - - + +
3x - - - +
)('' xf - + - +
1 + x - + +
1 - x + + -
f’(x) - + -
-1 1
3 0 3
196
Conclusión:
f x es cóncava hacia arriba en los intervalos
3 , 0 y 3 , y f x es cóncava hacia
abajo en los intervalos , 3 y 0, 3
Nótese que los puntos de inflexión de f son 3x
0 3x x
6.- Extremos Relativos:
Usando el criterio de la segunda derivada para la determinación
de extremos analizamos el signo de ''f x en los puntos
críticos:
Para 1
1 '' 12
x f luego f tiene un Mínimo Relativo,
en 1
1 y 12
x f
Para 1
1 '' 12
x f luego f tiene un Máximo Relativo,
en 1
1 y 12
x f
7.- Gráfico de f(x) : Rx
Figura 56
Nótese que los extremos relativos encontrados son también extremos
globales y que el dominio de la función es R.
¿Cuál es el rango de f ?
y
x
3 -1
1 3 0
197
Ejercicios Propuestos 4.6.
Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando:
a) Dominio y Rango
b) Intersecciones con los ejes
c) Simetrías
d) Asíntotas
e) Intervalos de Monotonía
f) concavidades
g) Extremos Relativos
1. 3 22 4 3f x x x x
2. 3 1f x x
3.
3
2
1xf x
x
4. xf x x e
5. xf x e sen x
6. f x x sen x
7. f x x sen x
8. ln 1f x x x
9. 2ln 1f x x
10. 3
23
xf x
x
198
4.7 Problemas de Máximos y Mínimos
El cálculo se utiliza para resolver problemas que estan fuera del alcance
de los métodos algebraicos. En esta sección veremos algunos ejemplos
de problemas de máximos y mínimos usando técnicas propias del cálculo
diferencial.
Ejemplo 4.7.1.
Con una lámina de hojalata rectángular de 4 x 5 decímetros se desea
construir una caja sin tapa para esto, recortamos cuadrados de igual
tamaño en las cuatro esquinas de la lámina y doblamos los lados
hacia arriba ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para tener su
máxima capacidad? Figura 57.
Figura 57
Desarrollo
Sea x el lado del cuadrado de cada esquina que se recortara, entonces
las dimensiones de la caja serán:
Largo ; (5 – 2x) dm
Ancho ; (4 – 2x) dm
Alto ; x dm con 0 < x < 2
El volumen de la caja: V (x) = (5 - 2x) (4 – 2x) x dm3 como la función
volumen en términos de x es derivable usamos el criterio de la segunda
derivada para determinar su máximo:
2 3
2
5 2 4 2 20 18 4
' 20 36 12
V x x x x x x x
V x x x
Puntos críticos
3 212,2637626 2
2 6
3 210,7362373
2 6
x
x
4 – 2x x
x
5 – 2x
4 – 2x
5 – 2x x
199
16 cm.
Como la variable x está restringida por la condición 0 2x sólo
0,7362373ox es un punto crítico.
" 36 24
" 18,330302 0O
V x x
V X
Luego para 0,7362373x decímetros da por resultado la caja sera
tapa de volumen máximo, cuyas dimensiones son:
Largo : 3,52 dm (aproximado a la centésima)
Ancho : 2,52 dm (aproximado a la centésima)
Alto : 0,74 dm (aproximado a la centésima)
Ejemplo 4.7.2.
La resistencia a una viga de sección rectangular es directamente
proporcional al ancho y al cubo de su altura. Hallar el ancho de
la viga de máxima resistencia que podría ser obtenida a un tronco
de madera de 16 cm. De diámetro. Figura 58
Figura 58
Sean:
x = ancho de la viga
y = alto de la viga
R = Resistencia de la viga
Luego de acuerdo a los datos del problema se tiene que:
3R k xy donde k es una constante de proporsionalidad pero de
la figura 58 tenemos que:
2256y x
Por lo tanto
3
22256 0 16R x k x x x
y
x
200
Aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar extremos
relativos:
2 2' 256 256 4R x k x x
Puntos críticos:
16 . no satisface 0 16x cm x
8 .x cm
Se puede probar que ' 8 0R
El ancho de la viga de máxima resistencia pedida es 8 .x cm
Ejemplo 4.7.3.
Se requiere construir un canal abierto de capacidad máxima.
La base y los lados del canal deben ser de 10 cm. de longitud;
además, los costados del canal deben de estar igualmente
inclinados respecto a la base. ¿Cuál debe ser la anchura del
canal por arriba?. Figura 59
Figura 59
Desarrollo
La capacidad del canal es proporcional a la sección transversal
del canal. Por lo tanto, maximizar la capacidad, es equivalente
a maximizar el área de la sección transversal.
El área de la sección transversal corresponde al área de un trapecio
como se observa en la figura 59.
Recordemos que el área del trapecio es igual a la semisuma de sus
Bases multiplicado por la altura.
De la figura 59 obtenemos que:
Base superior = 10 + 2x
10 cm.
x x
h 10 cm.
201
Base inferior = 10
Altura h = 2100 0 10x x
De donde A =
2
2
2
10 100
10100
100
x x
x xdAx
dx x
Puntos Críticos:
x= -10 (no satisface la restricción)
x = 5
Se puede probar que A” (5) < 0
Luego la anchura superior del canal debe ser de 20 cms.
Nota 4.7.1.
Se recomienda seguir la siguiente estrategia para abordar los
problemas de máximos y mínimos:
1.- Leer el problema, hasta tener una comprensión clara de éste;
subraya las parte que son importantes, indique los datos y
defina las incógnitas.
2.- Dibuje una figura para ilustrar el problema. Esta fígura debe
Contener los datos y las incognitas definidas (en lo posible).
3.- Escriba una ecuación de la variable que va hacer maximizada
o minimizada, en términos de una sola variable independiente,
mediante la utilización de los datos, del problema y relaciones
algebraicas conocidas.
4.- Una vez obtenida la ecuación aplicar la teoría del máximos y
Mínimos.
202
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.7.
1. Hállese las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda
Inscribirse en un semicírculo de radio r.
2. Se dispone de un alambre de longitud L para hacer un círculo y un
cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas
para que la suma de las áreas correspondientes sea máxima?.
3. ¿Cuáles son las dimensiones de una lata en forma de cilindro circular
recto sin tapa que pueda hacerse de un material que pesa 1 gr. por
cm 2 , si el volumen de la lata ha de ser de 1000 cm 3 ?
4. Una caja rectangular sin tapa de volumen de 128 mts 3 se desea
construir. Si el fondo debe ser cuadrado con un costo de $ 2
por mt 2 , mientras que el costo de los lados es de $ 0,5 por mt 2
¿Qué dimensiones minimizarán el costo?
5. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una
semiesfera. El costo de construcción por pie cuadrado de área
superficial es doble para la semiesfera que para el cilindro.
determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen
es fijo y el costo de construcción ha de ser mínimo. Despreciense
el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la
construcción.
6. Un torpedero se encuentra anclado a 9 kms. Del punto más próximo
de de la costa. Es preciso enviar un mensajero a un campamento
militar situado a 5 kms. Del punto de tierra más próximo, contando
a lo largo de la costa; si el mensajero puede andar a pie lo hace a
5 km/hrs. Y remando a 4km/hrs.
¿En qué punto de la costa debe desembarcar el mensajero para llegar
al campamento en el menor tiempo posible?.
7. Dos pueblos, localizados en la misma orilla de un rio recto; acuerdan
construir una estación de bombeo y una planta de filtrado junto al rio
para su uso en común. Si las distancias entre los pueblos y el rio son
“a” y “b”, y la distancia entre pueblo y pueblo es c, muéstrese que la
suma de las longitudes de tubería necesaria para unirlos con la estación
de bombeo es, por lo menos, 2 4c ab .