2. predavanje - fkit.unizg.hr · vladimirdananić 2. predavanje 6. ožujka2012. 21/27. gaussovzakon...

2. predavanje

Vladimir Dananić

6. ožujka 2012.

Vladimir Dananić () 2. predavanje 6. ožujka 2012. 1 / 27

Sadržaj

1 Električni dipolNabojno središteDefinicija električnog dipolaKarakteristične vrijednosti dipolnog momentaElektrični potencijal dipolaElektrično polje dipolaMeđudjelovanje dipolaCrtić !

2 Gaussov zakonDefinicija toka poljaElektrični naponCrtići !!!!!!!!


Električni dipol

Zasjenjenje električnoga polja

Silnice su električnoga polja točkastog naboja zrakaste. One izlaze iznaboja, ili u njega ulaze ovisno o predznaku naboja. Jedna silnicatočkastoga naboja ima jedan “početak”, a to je točka koja predočuje samnaboj, ali nema kraja nego se širi u beskonačnost. Isto vrijedi i za sustavnaboja, koji je ograničen u prostoru i ima ukupni naboj različit od 0. To jesmisao Coulombova zakona, koji opisuje kako dva nabijena tijela djelujujedno na drugo. Pitanje je hoće li dva nenabijena tijela, odnosno tijela kojasu pojedinačno neutralna, nužno prestati djelovati silom jedno na drugo?Dvije su stvari očite:

Svaki će pojedinačni naboj, u svakom tijelu (neutralnom sustavunaboja), i dalje širiti silnice svoga električnog polja kao da drugi nabojine postoje.Silnice pozitivnih i negativnih naboja nekako će se međusobnoponištavati, oslabljivati, zasjenjivati.


Električni dipol

Zasjenjenje električnoga polja

Poništavanje silnica električnoga polja pozitivnog i negativnog naboja nemože biti potpuno. Da bi moglo biti potpuno, morala bi dva naboja,jednakih iznosa i suprotnih predznaka, biti na istomu mjestu. Dakle, to jenemoguće. No, u kojoj se i kolikoj mjeri električna polja poništavaju? To jefundamentalno pitanje, jako važno u kemiji i u drugim primjenama.Nadalje, što je to što preostane nakon nepotpunoga poništavanja dvaju (iliviše) električnih polja? Odgovor se na ova pitanja nalazi u Coulombovuzakonu.Nužno je i dovoljno doslovno primijeniti Coulombov zakon da bismo upotpunosti odgovorili na postavljena pitanja


Električni dipol Nabojno središte

Što je to nabojno središte?

Sličnost i bitna razlika između masenoga središta (centra mase) inabojnoga središta (centra naboja):Prisjetimo se definicije masenoga središta za sustav točkastih masa:

~rSM =

∑i mi~ri∑i mi

(1)

Po prispodobi s time, u iskušenju smo da nabojno središte definiramo kao:

~rSN =

∑i qi~ri∑i qi

(2)

Ali za neutralne sustave jednadžba (2) nema nikakvoga smisla. Moramodefinirati nabojno središe posebno za pozitivni i posebno za negativninaboj .



Što je nabojno središte?Pozitivni naboji

Negativni naboji

~rSN,neg

~rSN,poz

∑i ,neg qi = −Q∑i ,poz qi = +Q

~rSN,poz =∑

i ,poz qi~riQ

~rSN = 12 (~rSN,poz +~rSN,neg)

~rSN,neg =∑

i ,neg |qi |~riQ

DIPOLNI MOMENT

~p = Q (~rSN,poz −~rSN,neg) =∑

i qi~ri

~p



Što je to nabojno središte?

Ako je Qp ukupna količina pozitivnog naboja, Qn ukupna količinanegativnog naboja, te ako su ~rp i ~rn njihova središta, onda je središtenaboja zadano izrazom

~rSN =Qp~rp + |Qn|~rn

Qp + |Qn|(3)

Dipolni je moment ~p sustava zadan izrazom

~p =∑

i

qi~ri −

(∑i

qi

)~rSN =

2Qp |Qn|Qp + |Qn|

(~rp −~rn) (4)

Jednadžbe (3) i (4) vrijede za sve sustave, neutralne ili nabijene.


Električni dipol Definicija električnog dipola

Što je to električni dipol?

Električni je dipol sustav naboja kojemu su središta pozitivnog i negativnognaboja različita.Mnoge molekule imaju električni dipolni moment. Primjeri molekula saznačajnim dipolnim momentom:

Voda, H2O

Klorovodik, HClFlorovodik, FHAmonijak, NH3





Voda, H2OKlorovodik, HCl

Florovodik, FHAmonijak, NH3





Voda, H2OKlorovodik, HClFlorovodik, FH

Amonijak, NH3





Voda, H2OKlorovodik, HClFlorovodik, FHAmonijak, NH3


Električni dipol Karakteristične vrijednosti dipolnog momenta

Veličine dipola u nanosvijetu, mikrosvijetu i makrosvijetu

Atom u svojem osnovnom stanju općenito nema dipolni moment. No, to neznači da spojevi različitih atoma ne će imati dipolni moment. Kemijskeveze mogu, ali ne moraju, razmaknuti središta pozitivnog i negativnognaboja. Karakteristična veličina dipolnoga momenta molekula izražava se ujedinici D (Debye):

1Debye = 3.335654· 10−30C ·m (5)

Dipolni momenti manjih molekula (“nebioloških”) iznose od 1 do 11 D.Vodikova i van der Waalsova veza primjeri su međudjelovanja izmeđuatoma u kojima ključnu ulogu imaju dipolni momenti odnosno induciranidipolni momenti.Dipolni momenti bioloških molekula mogu iznositi nekoliko desetaka D.Naprimjer, dipolni moment jedne jedinice nekog polimera vrlo je važnaveličina za tumačenje fizikalnih i kemijskih svojstava polimera. Dipolnimoment ljudskog srca, što je osnova tehnike EKG, može iznositi 1017D.


Električni dipol Električni potencijal dipola

Taylorov razvoj

Ako je broj ε << 1, onda vrijedi Taylorov razvoj

1√1 + ε

= 1− 12ε+

38ε2 − 15

48ε3 + ...... (6)

Naprimjer, ako je ε = 0, 01 onda imamo:

1√1, 01

= 0, 99503719021...

1− 12ε = 0, 995

1− 12ε+

38ε2 = 0, 9950375

1− 12ε+

38ε2 − 15

48ε3 = 0, 9950371875 (7)



Promatranje mikro- i nanosvijeta

Recimo da neki sustav naboja veličine d = 1nm s pomoću nekakvoguređaja–to može biti obični metalni šiljak– promatramo s udaljenosti odr = 1µm. Omjer je tih dviju udaljenosti jednak

ε =dr

=1nm1µm

= 0, 001 (8)

Za ovaj broj sigurno vrijedi Taylorov razvoj (6) i to već do prvog reda. Toznači da za sve praktične račune sve potencije od ε, od druge pa na više,možemo jednostavno zanemariti. To znači da ćemo u svim daljnimizračunima rabiti približni izraz:

1√1 + ε

≈ 1− 12ε (9)



Potencijal dipola

Φ (~r) = kQ

1∣∣∣~r − 12~d∣∣∣ − 1∣∣∣~r + 1

2~d∣∣∣

Φ (~r) = kQ

1√r2 −~r ·~d + 1

4d2

− 1√r2 +~r ·~d + 1

4d2

+

-

+Q

-Q

~d

~r − 12~d

~r + 12~d

~r



Potencijal dipola

Φ (~r) =kQr

1√1− ~r ·~d

r2 + d2

4r2

− 1√1 + ~r ·~d

r2 + d2

4r2

Φ (~r) ≈ kQr

1√1− ~r ·~d

r2

− 1√1 + ~r ·~d

r2

Φ (~r) ≈ kQ

r

[1 +

12~r ·~dr2 −

(1− 1

2~r ·~dr2

)]

Φ (~r) ≈ kQr3 ~r ·

~d = k~r ·~pr3 (10)



Potencijal dipola

Slika: Isprekidane crte označuju ekvipotencijalne točke, a pune crte označujusilnice električnoga polja.


Električni dipol Električno polje dipola

Električno polje

~E (~r) = −~∇Φ (~r) = −(~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)Φ (~r) (11)

∂

∂xpxx + pyy + pzz

(x2 + y2 + z2)32

=px

r3 − 3x~p·~rr5

∂

∂ypxx + pyy + pzz

(x2 + y2 + z2)32

=py

r3 − 3y~p·~rr5

∂

∂zpxx + pyy + pzz

(x2 + y2 + z2)32

=pz

r3 − 3z~p·~rr5

~E (~r) = k3~n (~n·~p)− ~p

r3 (12)


Električni dipol Međudjelovanje dipola

Sustav naboja u vanjskom polju

Recimo da u nekom prostornom području imamo zadani električnipotencijal Φ(~r), kojeg ćemo zvati vanjski potencijal. Promotrimo kako ćetaj potencijal djelovati na sustav točkastih naboja qi , i = 1, 2, ...N. Svakiod tih naboja ima svoju “vanjsku” potencijalnu energiju qiΦ(~ri ). Ukupna je“vanjska” potencijalna energija jednaka:

Epot =∑

i

qiΦ (~ri ) (13)

Položaj naboja u sustavu izrazit ćemo u odnosu na položaj ~r središtanaboja: ~ri = ~r + ~ui . Budući da je potencijal matematički “dobra” funkcija,za nju imamo Taylorov razvoj oko bilo koje točke, pa tako i oko središtanaboja:

Φ (~r + ~ui ) = Φ (~r) + ~ui · ~∇Φ (~r) + ... = Φ (~r)− ~ui · ~E (~r) + ... (14)



Sustav naboja u vanjskom polju

Iz jednadžbi (13) i (14) dobivamo:

Epot =

(∑i

qi

)Φ (~r)−

[∑i

qi (~ri −~r)

]~E (~r)+... = QΦ (~r)−~p· ~E (~r)+...

(15)Recimo da vanjsko električno polje potječe od drugog dipola. Dakle,imamo dva električna dipola: ~p1 i ~p2. Električni dipol ~p1 nalazi se uelektričnom polju što potječe od električnog dipola ~p2. Za to polje imamoizraz (12). Tu je važna pretpostavka da su razmjeri obaju dipola mali uodnosu na udaljenost između njih. Uvrštavajući jednadžbu (12) ujednadžbu (14), za potencijalnu energiju između dvaju dipola neutralnihsustava dobivamo izraz:

Epot (~r) = k~p1·~p2 − 3 (~n·~p1) (~n·~p2)

r3 (16)



Dipol-dipol međudjelovanje

U izrazu za potencijalnu energiju dipola u vanjskom električnom polju (15)valja primijetiti sljedeće:

Potencijalna je energija dipola najniža ako je dipol orijentiran kao ivanjsko polje.Potencijalna je energija dipola najviša ako je dipol orijentiransuprotno vanjskom polju.

U izrazu za potencijalnu energiju između dvaju dipola (16) valja primijetitisljedeće:

Potencijalna energija trne s trećom potencijom udaljenosti izmeđudipola.Potencijalna energija ovisi o orijentaciji dipola. Preciznije,potencijalna energija između dvaju dipola ovisi o trima vektorima:vektorima dipola ~p1 , ~p2 i jediničnom vektoru ~n što leži na pravcu kojispaja nabojna središta dipola.



Primjer s dvjema molekulama vode

Srednji slobodni put jedne molekule vode u tekućoj fazi iznosi oko 0, 3nm.Dipolni moment molekule vode iznosi oko 3D. Izračunajte najnižu i najvišuenergiju dipol-dipol međudjelovanja između dviju molekula vode udaljenihza r = 0, 3nm.Rješenje:Energija će biti najniža ako su oba dipola na pravcu što ih spaja, te ako suiste orijentacije. Energija tada iznosi

Epot = −2k p2

r3 = −2· 9· 109

(3· 3, 335654· 10−30)2

(3· 10−10)3

≈ −6, 68· 10−20J ≈ −0, 4eV ≈ −40, 3kJmol−1

Najviša se energija dobiva za dipole suprotne orijentacije na pravcu što ihspaja, i ta je energija upravo obrnutog predznaka od prethodne, tj. iznosioko +40, 3kJmol−1.


Električni dipol Crtić !

Crtić

http://www.youtube.com/watch?v=7b-w0oWttN0


http://www.youtube.com/watch?v=7b-w0oWttN0

Gaussov zakon

Općenito o Gaussovu zakonu

Gaussov je zakon za električno polje prirodan zakon. To je samo jedandrugačiji način izricanja Coulombova zakona. Za izricanje Gaussova zakonanužno je odrediti pojam toka električnoga polja. Zamislimo da u nekomprostornom području imamo električno polje. Smjer i iznos toga polja možeovisiti o točci u kojem ga promatramo. Kroz jednu točku prolazi jedna isamo jedna silnica električnog polja. Uzmimo skup točaka koji tvori nekupovršinu proizvoljnog oblika. No, za infinitezimalno male površine uvijekmožemo reći da tvore dio ravnine u prostoru. Taj promatrani dio ravnineima jedan poseban vektor, a to je vektor okomit na ravninu. Vektora uravnini (tangencijalnih vektora) ima beskonačno mnogo, no samo je jedanvektor jedinične duljine koji je okomit na ravninu. Taj vektor općenito tvorineki kut s vektorom električnoga polja što prolazi tom ravninom. Tokelektričnoga polja jednak je skalarnom umnošku električnoga polja ispomenutog jediničnog vektora i pomnožen s iznosom same površine. Tajje izraz u potpunosti sličan definiciji protoka tekućine kroz cijev.


Gaussov zakon Definicija toka polja

Definicija

~E

dS Q

dΦE = ~n· ~EdS

~n

Svaku konačnu površinu, ma kojega oblika,možemo “popločiti” s malim ravnimpločicama. To će “popločavanje” biti tobolje i preciznije što su “pločice” manje. Zapojedinu pločicu površine dS , kojoj pripadavektor normale ~n, kažemo da kroz njupostoji tok električnoga polja dΦE jednak:

dΦE = ~E ·~ndS (17)

Ukupni tok električnoga polja kroz nekupovršinu S bit će jednak zbroju tokova kroz“pločice”

ΦE =

∫∫S

~E ·~ndS (18)



Gaussov zakon

Tok električnoga polja kroz zatvorenu površinu razmjeran je nabojukoji se nalazi unutar površine.Izvan se površine može nalaziti bilo koja količina naboja—ona ne ćeutjecati na tok električnoga polja kroz površinu. Ovaj izričaj Gaussovazakona matematički izražavamo jednadžbom:

ΦE =

∮S

~E ·~ndS =Qunutar

ε0, ε0 =

14πk

(19)

gdje ε0 dielektrična permitivnost vakuuma.Gaussov se zakon može primijeniti za izračunavanje električnoga polja onda,i samo onda, kada je iz simetrije jasno kakav bi smjer i orijentacija poljatrebali biti. Tada uzmemo najprikladniju zatvorenu površinu, izračunamotok električnoga polja kroz nju i tako dobijemo jakost električnoga polja.



Električno polje unutar metalnog kaveza

Budući da električno polje uunutrašnjosti metala mora bitijednako 0 (zašto?), primjenomGaussova zakona možemo zaključitida će električno polje unutarmetalnoga kaveza biti jednako 0 akoje u samom kavezu ukupni nabojjednak 0. To znači da vanjskoelektrično polje ne može prodrijetiunutar kaveza. Situacija je obrnutaako unutar kaveza unesemo naboj.Tada električno polje može prodrijetiiz kaveza prema van, ako je kavezneuzemljen. Ako je kavez uzemljenonda električno polje ne možeprodrijeti iz kaveza prema van.

~E = 0 +Q

- - --

--

-------

--

--

Gaussova površina+

+ +

+

+

+

+

+

++++

+

+

+

++

Gaussova površina

Metal



Električno polje unutar metalnog kaveza

Opisane situacije vrijede za statičko električko polje. Promjenljivoelektrično polje može prodrijeti u kavez, ili iz njega, ali to prodiranje ovisi obrzini promjene (frekvenciji) električnoga polja. Prispodoba koja opisuje tusituaciju je svrdlo. Naime, ako biste mirnim, neokretajućim, svrdlom tiskalina tvrdu metalnu površinu vjerojatno biste na njoj ostavili samo maluogrebotinu. No, ako se svrdlo počinje okretati, onda će skidati strugotinu iprodirati u “tijelo” metala. Slično tomu, mogli bismo reći da promjenljivoelektrično polje uspijeva napraviti trenutne rupice kroz metal, i takoprodrijeti u njegovu unutrašnjost, odnosno u šupljinu kaveza.


Gaussov zakon Električni napon

Električni napon

Električni je napon razlika potencijala između dviju točaka. Ako česticanaboja Q prijeđe iz točke A, gdje je vrijednost potencijala ΦA, i dođe utočku B , gdje je vrijednost potencijala ΦB , njezina će se potencijalnaenergija promijeniti:

∆Epot = Q (ΦA − ΦB) = QUAB

Ovdje je UAB napon između točaka A i B . Dakle, napon nije isto što ipotencijal. Naime, gdje postoji napon različit od 0, tu postoji i električnopolje. Sličnu tvrdnju ne smijemo izreći i za potencijal. Napon u jednojtočci, svakoj i bilo kojoj, jednak je 0.


Gaussov zakon Crtići !!!!!!!!

Crtići !!!!!!!!

http://www.youtube.com/watch?v=e4WAuGf6fsYhttp://www.youtube.com/watch?v=t23iXhEiQUc


http://www.youtube.com/watch?v=e4WAuGf6fsY

http://www.youtube.com/watch?v=t23iXhEiQUc

2. predavanje - fkit.unizg.hr · vladimirdananić 2. predavanje 6. ožujka2012. 21/27. gaussovzakon...

Documents