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2. RETTE PARALLELE
A cura di Mimmo CORRADO
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2RETTE PARALLELE
Definizione
Due rette parallele sono due rette distinte di uno stesso piano che non hanno alcun punto in comune.
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3 e 6 alterni interni
4 e 5 alterni interni
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Definizione
Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.
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1 e 8 alterni esterni
2 e 7 alterni esterni
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Definizione
Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.
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3 e 5 coniugati interni
4 e 6 coniugati interni
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Definizione
Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.
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1 e 7 coniugati esterni
2 e 8 coniugati esterni
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Definizione
Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.
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1 e 5 corrispondenti3 4
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2 e 6 corrispondenti
3 e 7 corrispondenti
4 e 8 corrispondenti
RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Definizione
Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.
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⇒Se due rette r ed s tagliate da una terzaretta trasversale t formano con essacoppie di angoli alterni interni congruenti
Le rette r ed ssono parallele
RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Teorema
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⇒
RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Teorema
Se due rette parallele red s tagliano un’altraretta trasversale t
Le due rette r ed s formano conla trasversale t coppie di angolialterni interni congruenti
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10
⇔
Se due rette r ed s tagliate da una terza rettatrasversale t formano con essa coppie di angoli:alterni interni congruenti, oalterni esterni congruenti, oangoli corrispondenti congruenti, oangoli coniugati interni supplementari, oangoli coniugati esterni supplementari
Le rette r ed ssono parallele
r
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7 8
CRITERI DI PARALLELISMO
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11
r
s
t
⇒
RETTE PERPENDICOLARI
Teorema
Se due rette r ed ssono parallele
ogni retta perpendicolare alla retta rè perpendicolare anche alla retta s.
Dimostrazione
Indichiamo con P il punto in cui la retta t incontra la retta r .
Indichiamo con Q il punto in cui la retta t incontra la retta s .
Gli angoli RPQ e SQP sono alterni interni e quindi congruenti.
P
Q
R
S
Essendo, per ipotesi, l’angolo RPQ retto anche l’angolo SQP è retto, e quindi la retta t è perpendicolare anche alla retta s.
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12
A
B
C
E
D
α
' α
β
β
TRIANGOLO
Teorema
Ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti.
Dimostrazione
Conduciamo da un vertice del triangolo la retta parallela al lato opposto.
Gli angoli ACB ≅ CBE perché alterni interni.
Gli angoli BAC ≅ DBE perché corrispondenti.
Pertanto:
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13TRIANGOLO
A
B
C
Teorema
La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a un angolo piatto.Dimostrazione
Conduciamo da un vertice del triangolo la retta parallela al lato opposto.
Gli angoli BAC ≅ PCA perché alterni interni.
Gli angoli ABC ≅ BCQ perché alterni interni.
Pertanto:
P
Q
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14
La somma degli angoli interni di un poligono è equivalente a n-2angoli piatti.
D
C
A B
E
O
ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO
Teorema
180°
180° 180°
180°
180°
360°
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15
D
C
A B
E
Dimostrazione
Si osserva che la sommadi un qualunque angoloesterno e dell’angolointerno adiacente è unangolo piatto.
Si deduce che la sommadegli angoli interni edesterni è congruente ad nangoli piatti.
Poiché la somma degliangoli interni ècongruente a n-2 angolipiatti, quella degli angoliesterni è congruente a 2angoli piatti, cioè unangolo giro.
ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO
Teorema
La somma degli angoli esterni di un poligono è equivalente a unangolo giro.
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16
BA
C
I CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Dimostrazione
I due triangoli sono congruenti per il I° criterio di congruenza.
Infatti hanno due cateti congruenti e l’angolo compreso congruente (angolo retto).
B’A’
C’
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i catetirispettivamente congruenti.
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17II CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa eun angolo acuto rispettivamente congruenti.
BA
C
Dimostrazione
Gli angoli B e B’ sono congruenti per ipotesi. Gli angoli A e A’ congruenti perché retti. Pertanto, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi uguale a un angolo piatto, si ha che anche gli angoli C e C’ sono congruenti. Inoltre essendo BC ≅ B’C’ , per il II criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
B’A’
C’
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18III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’angolo acuto adiacente od opposto rispettivamentecongruenti.
BA
C
Dimostrazione 1
La dimostrazione si effettua utilizzando il II criterio di congruenza dei triangoli.
B’A’
C’
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19
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’angolo acuto adiacente od opposto rispettivamentecongruenti.
BA
C
Dimostrazione 2
Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi uguale a un angolo piatto, si hache anche gli angoli C e C’ sono congruenti. Pertanto per il II criterio di congruenza i triangolisono congruenti.
B’A’
C’
III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
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20IV CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’ipotenusa rispettivamente congruenti.
BA
CDimostrazione
Prolunghiamo il cateto A’C’ di un segmento A’D ≅ AC .
B’A’
C’
D
Il triangolo A’B’D è congruente al triangolo ABC, perché:
A ≅ A’ AB ≅ A’B’ AC ≅ A’D (I Criterio congruenza)
Si deduce quindi che B’D ≅ BC . Ma BC ≅ B’C’ .
Pertanto B’D ≅ B’C’ ⇔ che il triangolo B’C’D è isoscele.
Ma se il triangolo B’C’D è isoscele l’altezza A’B’ è anchemediana. Ma ciò vuol dire che A’C’ ≅ A’D .
A questo si può concludere che i triangoli ABC e A’B’C’sono congruenti per il III criterio di congruenza deitriangoli, perché hanno i tre lati ordinatamentecongruenti.
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21MEDIANA RELATIVA ALL’IPOTENUSA
Teorema
Pertanto gli angoli β ≅ γ .
⇒In un triangolo rettangolo
La mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa.
A
B
CM
Prolunghiamo BM di un segmento MD ≅ BM
I triangoli BMC ≅ AMD per il I° C.C.T.
Quindi ABD è un triangolo rettangolo.
Dimostrazione
Infatti: AD ≅ BC e AB in comune.
Pertanto, BD ≅ AC
D
αGli angoli α e γ sono complementari.
γ
β
Pertanto anche α e β sono complementari.
I triangoli ABD ≅ ABC per il I° C.C.T.R.
Ma BM ≅ ½ BD ⇒ BM ≅ ½ AC .
X X
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22
La distanza di un punto P da una retta r è il segmento diperpendicolare PH condotto dal punto P alla retta r.
P
s
H r
DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Definizione
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23
Se PH è la distanza del punto P dalla retta r, ogni segmento PQ, con Qappartenente a r e Q≠H, si dice segmento obliquo e QH proiezioneortogonale di PQ su r.
P
s
H rQ
DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Definizione