2. tipos de inestabilidad...
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2. TIPOS DE INESTABILIDAD ANALIZADOS
En este capítulo se analizan en detalle los aspectos teóricos relacionados con los
fenómenos de inestabilidad estructural que con mayor frecuencia pueden manifestarse
en las estructuras metálicas convencionales, tales como pandeo de Euler, pandeo
lateral y abolladura de placas, así como las expresiones propuestas por la normativa
de aplicación (Código Técnico y Eurocódigo) para el estudio de los mismos.
2.1. PANDEO POR FLEXIÓN O DE EULER
El pandeo por flexión ha sido descrito brevemente en el Apartado 1.1. y puede
definirse como un fenómeno de inestabilidad elástica que suele darse en elementos
comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de importantes despla-
zamientos transversales a la dirección principal de compresión. Los desplazamientos
descritos se traducen en la aparición de una flexión adicional en el elemento.
La aparición de flexión de pandeo limita severamente la resistencia en
compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. A partir de cierto valor de la
carga axial de compresión, anteriormente denominado carga crítica de pandeo (Pcr),
puede producirse una situación de inestabilidad elástica, en la cual la deformación
aumentará sin necesidad de incrementar la carga, produciendo tensiones adicionales
que superarán la tensión de rotura, provocando el colapso del elemento estructural.
2.1.1. REVISIÓN TEÓRICA DEL FENÓMENO
2.1.1.1. PROBLEMA PATRÓN. ELEMENTO ARTICULADO-ARTICULADO
Como se vio en el apartado 1.1. el problema
planteado por Euler venía definido por la expresión:
0)x(yPM ; EI
M''y ; 0y
EI
P''y (2.1)
dicha ecuación se cumple para una geometría
senoidal de la deformada, de ecuación:
)kx(senAy siendo A una cte. y EI
Pk
con condiciones de contorno:
x=0 → y=0 x=L → y=0
Figura 2.1. Pandeo de Euler
10 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
La 1ª condición de contorno se cumple en cualquier caso.
Para la 2ª condición de contorno tenemos )kL(senA0 , que es un típico
problema de autovalores con 2 posibles soluciones:
• A=0. Es decir, que no puede existir otra deformada que la recta (y=0 sea cual
sea el valor de la carga P).
• sen(kL)=0 cualquiera que sea el valor de la constante A, y por tanto de la
amplitud de la deformada senoidal.
Esta última condición se cumple siempre que kL=n∙π, esto es, para valores de la
carga crítica
2
22
crL
EInP
π (2.2)
siendo n el número de ondas de la geometría senoidal del soporte comprimido.
Para n=1, tendremos la carga crítica de Euler 2
2
1crL
EIP
π
Para otros valores de n, tendremos Pcr2, Pcr3, etc.
Figura 1.2. Modos de pandeo en soporte biarticulado
En síntesis, por tanto, la solución de la ecuación diferencial que representa el
comportamiento de la pieza comprimida de Euler, tiene dos soluciones posibles:
I. Una en la que la pieza comprimida permanece recta, cualquiera que sea el
valor P de la carga aplicada;
II. otra, en la que cuando la carga alcanza su valor crítico, Pcr, la barra pandea
con una deformada senoidal quedando indeterminado el valor de su
desplazamiento transversal máximo ymax=A.
Como ya se comentó, al valor de la carga crítica dado por la expresión de Euler
se llega partiendo de unas hipótesis que difícilmente pueden ajustarse a la realidad, y
que a continuación recordamos:
• Inicialmente la pieza que va a ser comprimida tiene una geometría
perfectamente recta;
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 11
• Carga P perfectamente centrada y alineada con la directriz recta de la pieza;
• Material perfecto e indefinidamente elástico manteniendo sus características,
cualquiera que sea el nivel de carga;
• Pieza totalmente distensionada y sin tensiones residuales autoequilibradas que
puedan influir en su comportamiento.
Por otra parte, la solución de Euler se ha obtenido para unas condiciones muy
concretas de sustentación, en este caso, las de un elemento articulado en sus 2
extremos.
Pasaremos a continuación a resolver el problema de Euler para diferentes tipos
de condiciones de sustentación, obteniendo en cada caso el valor de Pcr, analizándose
más adelante el efecto que el no cumplimiento de las hipótesis ideales tendrá sobre el
valor de Pcr.
2.1.1.2. ELEMENTO EMPOTRADO-EMPOTRADO
En la figura puede observarse la situación analizada.
Este caso difiere del anteriormente analizado por la
aparición de sendos momentos de valor M0 en cada uno de
los extremos del elemento, por lo que la nueva ecuación de
equilibrio a satisfacer será:
0M)x(M)x(yP 0 ; EI
My
EI
P''y 0 (2.3)
La solución de la ec. diferencial mostrada tendrá la forma:
P
Mx
EI
PcosCx
EI
PsenCy 0
21
(2.4)
con condiciones de contorno:
x=0 → y=y‟=0 x=L → y=y‟=0
De la primera de ellas se obtiene:
P
MC
P
MC0 0
2
0
2
y de la segunda: 0CEI
PC0'y 11
quedando la solución como:
x
EI
Pcos1
P
My 0
(2.5)
Figura 2.2. Soporte
empotrado-empotrado
12 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Esta solución aún no tiene por qué cumplir las condiciones de contorno en x=L,
ya que la curva „y‟ indicada cumplirá con la condición y=y‟=0 para distintos valores de x
en función del valor de P; así que para hacer coincidir el punto x=L con el primer punto
y=y‟=0 (1er modo de pandeo) de la curva debemos imponer la siguiente condición:
n2LEI
P1L
EI
Pcos π
resultando el siguiente valor de Pcr para n=1:
2
2
2
2
cr)2/L(
EI
L
EI4P
ππ (2.6)
Expresión esta última que nos indica que la carga de
pandeo para un elemento biempotrado es igual a la de un
elemento biarticulado de igual „EI‟ y longitud „L/2‟.
Este resultado es lógico, pues como puede
observarse en la figura existen puntos de inflexión en la
deformada „y‟ a una distancia L/4 de los apoyos, y por
tanto, la parte central se comporta como un elemento
biarticulado de longitud L/2 cuya carga crítica de pandeo
coincide con la anteriormente definida:
2
2
cr)2/L(
EIP
π
2.1.1.3. ELEMENTO EMPOTRADO-LIBRE
Procediendo del mismo modo que en el caso anterior, con la
misma condición de contorno en x=0:
x
EI
Pcos1
P
My 0
(2.7)
En este caso, en el extremo x=L deberemos cumplir y‟‟=0:
π
2
1nL
EI
P0L
EI
Pcos
EI
P
P
M''y 0
Así, la carga crítica para n=1 será:
2
2
2
2
cr)L2(
EI
L
EI2
Pπ
π
(2.8)
Figura 2.3. Longitud de
pandeo en soporte
empotrado-empotrado
Figura 2.4. Soporte
empotrado-libre
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 13
Expresión esta última que equivale a afirmar que la carga de pandeo para un
elemento empotrado-libre es igual a la de un elemento biarticulado de igual „EI‟ y
longitud „2L‟ como se refleja Figura 2.5.
Figura 2.5. Longitud de pandeo en soporte empotrado-libre
2.1.1.4. ELEMENTO EMPOTRADO-EMPOTRADO CON APOYO DESLIZANTE
El problema es totalmente análogo a los anteriores, obteniéndose la carga crítica de
pandeo de imponer la condición y‟=y‟‟‟=0
Así, se obtiene que πnLEI
P , y por tanto,
para n=1:
2
2
crL
EIP
π (2.9)
Esta carga coincide con la del elemento
biarticulado, lo cual es lógico por otra parte, como
puede deducirse comparando la Figura 2.6 con la
expuesta para el caso biempotrado (Figura 2.3).
2.1.1.5. ELEMENTO EMPOTRADO-ARTICULADO
Este caso difiere de los anteriores, ya que, como puede observarse en la Figura 2.7, al
producirse la deformación aparecen en los apoyos unos esfuerzos en dirección „y‟.
Por lo tanto, la ecuación de equilibrio que debe satisfacerse en este caso tendrá la
siguiente forma:
0MxL
MyPM 0
0 (2.10)
que se transforma en:
)L
x1(
EI
My
EI
P''y 0 (2.11)
Figura 2.6. Soporte empotrado-
empotrado (deslizante)
14 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
La solución para la ecuación diferencial formulada tendrá la forma:
)L
x1(
P
Mx
EI
PcosCx
EI
PsenCy 0
21
(2.12)
En el extremo x=L, tenemos que y=y‟‟=0, y por
tanto tendremos:
L
EI
Pcosx
EI
Psen
EIPL
1
P
My 0
(2.13)
Aplicando las ya conocidas condiciones de
contorno en el extremo x=0 se obtiene:
P
MCy0 0
20 P
MC 0
2
LP
M
EI
PC'y0 0
10 EIPLP
MC 0
1
con lo cual:
L
x1x
EI
Pcosx
EI
Psen
EIPL
1
P
My 0 (2.14)
La solución distinta de la trivial será:
LEI
PL
EI
Ptg 49.4n2L
EI
P π y para n=1 tendremos:
2
2
2
2
cr)L7.0(
EI
L
EI)49.4(P
π (2.15)
Es decir, la carga crítica coincide con la de un elemento biarticulado de longitud
0.7∙L y con igual „EI‟; lo cual quiere decir que en la figura anterior tendremos un punto
de inflexión a una longitud 0.3∙L del extremo empotrado, y el resto del elemento se
comporta como biarticulado.
2.1.1.6. LONGITUD DE PANDEO Y CURVA DE EULER
Del estudio de los casos anteriores (correspondientes al pandeo por flexión bajo
diversas condiciones de sustentación) se desprende que en cualquiera de ellos la
carga crítica de pandeo puede expresarse en la forma:
2
k
2
crL
EIP
π (2.16)
Figura 2.7. Esfuerzos en
pilar empotrado-articulado
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 15
Siendo Lk la longitud de pandeo, que suele expresarse como Lk=β∙L, donde β es
un coeficiente que depende de las condiciones de contorno y que indica qué tanto por
ciento de la longitud total de la barra se ve afectada por el pandeo.
Lk=L Lk=0.5∙L Lk=2∙L Lk=L Lk=0.7∙L
Figura 2.9. Longitudes de pandeo
En la figura anterior y de izquierda a derecha el coeficiente β toma los siguientes
valores:
β=1 (articulado-articulado),
β=0.7 (empotrado articulado)
β=0.5 (empotrado-empotrado)
β=2 (empotrado-libre)
La expresión de la cargas crítica puede modificarse haciendo uso de la ecuación
I=A∙i2, donde „A‟ es el área de la sección e „i‟ es el radio de giro según el momento
flector. Procediendo de este modo se obtiene:
2
k
2cr
cr)i/L(
E
A
P πζ (2.17)
El factor Lk/i se denomina habitualmente esbeltez y permite expresar la tensión
crítica de pandeo de un modo unívoco sean cuales sean las condiciones de apoyo:
2
2
cr
E
λ
πζ (2.18)
En la siguiente figura se representa la tensión ζcr en función de la esbeltez,
obtenida a partir de la ecuación anterior con E=2.1∙106 Kg/cm2. Esta curva, conocida
como curva de pandeo o curva de Euler, es suficiente para obtener la tensión crítica
de un elemento de acero (o de cualquier otro material sin más que cambiar el valor de
E) cualesquiera que sean sus condiciones de apoyo, y como veremos más adelante,
la normativa actual la emplea como base para el diseño “seguro” frente a
pandeo de estructuras metálicas.
16 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Figura 2.10. Curva de Euler
Se muestra también a continuación una imagen real de barras de acero que han
sido sometidas a compresiones mayores o iguales a la crítica correspondiente a sus
condiciones de sustentación.
De izquierda a derecha pueden observarse las compresiones realizadas a un
elemento biarticulado (2.1.1.1), biempotrado (2.1.1.2), empotrado articulado (2.1.1.5) y
empotrado libre (2.1.1.3)
Figura 2.8. Pandeo de barras con diferentes condiciones de contorno
2.1.1.7. LIMITACIONES A LA TEORÍA DE EULER. PANDEO “REAL”
Como vimos anteriormente Euler partió de unas hipótesis muy claras (pág. 10-11) que
simplificaban y hacían posible el análisis de la pieza comprimida. Estas hipótesis, en
base a la observación y el estudio empírico, presentan claras incoherencias con el
comportamiento real.
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 17
La causa de las incoherencias entre comportamiento real y teórico de la pieza
comprimida se encuentra en las mencionadas hipótesis de las que Euler,
conscientemente, partió para establecer la ecuación diferencial.
Ninguna de las “perfecciones” supuestas son atributos de la pieza real. Euler
modelizó una pieza ideal, sin imperfecciones. La “pieza real”, en contra de lo ocurrido
con la “pieza perfecta o ideal” de Euler, se caracterizará por los siguientes rasgos:
• Su directriz no será nunca perfectamente recta. Es inevitable una deformación
inicial de geometría impredecible.
• La carga no estará nunca perfectamente centrada. Es inevitable una cierta
excentricidad de las cargas aplicadas.
• El material de la pieza no tiene un comportamiento indefinidamente lineal y
elástico, por lo que no es indiferente el nivel de cargas y deformaciones a las que
estará sometido.
• Los procesos de fabricación y manipulación de las piezas y los efectos de las
condiciones ambientales (gradientes de temperatura, por ejemplo), generan
inevitables tensiones residuales que se autoequilibran pero que afectan al
comportamiento de la pieza real.
Figura 2.11. “Imperfecciones” de la pieza real
Pasamos a continuación a analizar la influencia que estos factores,
anteriormente obviados, tienen sobre la validez de la teoría desarrollada hasta ahora:
2.1.1.7.1. Tensión Crítica de Euler. Limitación de la Teoría de Euler
En el apartado 2.1.1.6. obtuvimos la expresión de la tensión crítica de Euler en
función de la longitud característica y el radio de giro de la sección, resultando:
2
k
2cr
cr)i/L(
E
A
P πζ
2
2
cr
E
λ
πζ
λ: esbeltez de la pieza
18 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
La esbeltez de la pieza, definida como la relación entre la longitud de pandeo y
el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza, es un parámetro
sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más
esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo. Esto puede deducirse sin más
que observar la expresión de la tensión crítica de Euler, que depende inversamente de
la esbeltez.
Podemos representar la función ζcr=f(λ) y al hacerlo vemos que cuando λ tiende
a cero, la tensión crítica de Euler tiende a infinito.
La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la
Ley de Hooke por lo tanto la misma solamente es válida si ζcr< ζp (límite de
proporcionalidad):
La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será:
p2
2
cr
Eζ
λ
πζ
p
p
E
ζπλ (2.19)
Para el acero λp=103.9 y 2
2
cr
E
λ
πζ para cualquier λp 103.9
Figura 2.12. Curva “real” de pandeo
Como se observa en la figura anterior, en la
zona comprendida entre esbeltez cero y λp, la
fórmula de Euler debe ser reemplazada por otra
ley que contemple el comportamiento elasto-
plástico del material (región ζcrk), aunque habi-
tualmente se acepta el uso de la curva de Euler
hasta alcanzar σcr=fy, como pudo apreciarse en
la curva mostrada en la Figura 2.10.
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 19
2.1.1.7.2. Pandeo Anelástico
Como se ha mencionado anteriormente, para
esbelteces menores que λp no es válida la Teoría de
Euler. Engesser estudió el comportamiento teórico de
piezas comprimidas de acero bajo tensiones
superiores al límite de proporcionalidad; partió de
iguales hipótesis que las establecidas por Euler para
la deducción de ζcr, excepto la constancia del módulo
de elasticidad E. En este sentido, en diferentes años,
propuso dos hipótesis distintas para su determinación:
a) teoría basada en el módulo tangente;
b) teoría del doble módulo.
En la práctica no existen diferencias apreciables por el uso de una u otra teoría.
En la figura anterior, el punto A representa el estado correspondiente a la tensión
conocida como límite de proporcionalidad ζp. Para valores superiores de tensión, por
ejemplo el punto B, la rigidez del material ya no depende del módulo inicial E.
Engesser inicialmente (1889) presentó una teoría tomando en cuenta sólo el
módulo tangente Et. Si para un cierto valor de carga el estado tensional se representa
con un punto como el B en el diagrama de tenso-deformación, y a través de un
incremento ΔP la carga llega a su valor crítico, la rigidez del material en ese momento
está dada instantáneamente por la tangente a la gráfica, Et. En función de ello
propuso la expresión siguiente:
2
t
2
k
E
λ
πζ (2.20)
Como las tensiones correspondientes a los módulos referidos a la tangente se
pueden obtener a partir del diagrama σ-ε, la relación λ = Lk / i a la cual pandeará la
columna, se puede calcular a partir de la ecuación anterior.
Con posterioridad, en 1895, Engesser propone una expresión similar pero con
un módulo de elasticidad diferente. Con ello estableció la llamada teoría del doble
módulo o teoría del módulo reducido, algunos de cuyos aspectos se estudian a
continuación. La teoría se basa en las siguientes hipótesis:
a) se considera un elemento recto biarticulado y con carga centrada.
b) se admite que las deformaciones son suficientemente pequeñas como para
aproximar las curvaturas por y‟‟.
c) se supone que la relación σ-ε es la del ensayo de tracción.
d) se admite la hipótesis de que las secciones son planas antes de la
deformación, y que se mantienen planas durante ella.
Figura 2.13. Curva σ-ε real
20 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
De acuerdo a la suposición d), la ecuación de la elástica será la misma que para
los materiales que siguen la Ley de Hooke, con la salvedad de que el módulo de
elasticidad E se reemplaza por un módulo de elasticidad reducido T que depende la
tensión ζk (ζcr) originada por la carga Pk.
Suponiendo que el diagrama tenso–
deformación del acero fuese el del esquema de la
Figura 2.14, y que se somete a la pieza a una
compresión que origina la tensión ζk, si se descarga
la pieza hasta cero, el módulo de elasticidad en
descarga queda representado por la recta BO‟ casi
paralela a OA. La carga Pk origina la tensión de
compresión ζk uniformemente repartida mientras la
pieza permanezca recta, pero en cuanto el eje pasa
a la posición curva, el momento flector origina
compresiones ζ2 que se suman a las ζk y tensiones
de tracción ζ1 en el lado convexo que se restan a
las tensiones ζk.
La carga crítica Pk es aquella capaz de mantener a la pieza en la posición curva
del esquema (b) de la Figura 2.15, alejada de la vertical un cierto “y” que se supone
infinitésimos, es decir, la carga que hace posible el equilibrio indiferente.
Figura 2.15. Soporte en equilibrio indiferente
Si consideramos una tajada de la barra como la indicada en la Figura 2.15, de
longitud unitaria, se producen acortamientos suplementarios ε2 en el lado derecho y
alargamientos ε1 en el lado izquierdo.
Admitiendo la hipótesis de Navier–Bernoulli para las secciones planas podemos
establecer:
R
1
hh 1
1
2
2 εε
(2.21)
Figura 2.14. Curva σ-ε real.
Teoría del doble módulo
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 21
Como las deformaciones ε2 son infinitésimas, las tensiones ζ2 son poco
superiores a la que corresponde al punto B en el diagrama ζ - ε de la Figura 2.14,
pudiendo calcularse como:
ζ2=E2∙ε2 donde E2=tgβ
Mientras que para ζ1 es válida la aplicación de la Ley de Hooke:
ζ1=E∙ε1 donde E=tgα ≈ E1
se tiene por tanto R
hE 1
1
ζ
R
hE 22
2
ζ (2.22)
Supongamos ahora que la sección transversal es rectangular y de ancho “b”. Al
igualar la resultante de tracción con la de compresión tenemos:
21 h
0
2
h
0
1 dybdyb ζζ
R2
hE
R2
hEh
2
1h
2
12
22
2
1
1111
ζζ
2
22
2
1 hEhE (2.23)
Siendo h = h1+h2 se obtiene:
2
2
1
EE
Ehh
2
2
EE
Ehh
El momento flector M de las fuerzas exteriores debe ser igual al de las interiores,
luego:
22
2
2
2
23
11
EE
EE4
R
I
EE
EE4
R12
hbh
3
2
2
hb
R
hEM
(2.24)
definiendo
22
2
r
EE
EE4E
la ec. de la elástica en la zona elastoplástica resulta:
y‟‟+ζ2∙y=0 donde ζ=P/T∙I (2.25)
Integrando la ecuación se llega a:
2
r
2
k2k
E
L
TIP
λ
πζ
π (2.26)
Con lo que la expresión de la tensión crítica para la teoría del doble módulo
coincide con la que obtuvimos según la teoría del módulo tangente, siendo Er:
I
IEIEE 221
r
(2.27)
22 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Donde I1 es el momento de inercia de la zona traccionada, I2 es el momento de
inercia de la zona comprimida e I es el momento de inercia de la sección total, todos
ellos calculado respecto del eje neutro. Si se comparan los valores de Er para distintas
formas de sección se concluye que Er es poco sensible a los cambios de sección.
2.1.1.7.3. Excentricidad de la Carga
Consideremos el caso de la barra de la
Figura 2.16 sometida a flexión compuesta. La
excentricidad “e” debe interpretarse como una
excentricidad no prevista pero inevitable,
consecuente con lo expresado en el primer
párrafo.
Por tratarse de una barra esbelta, el
momento flector debe calcularse sobre la
configuración deformada.
E∙I∙y‟‟+P∙y=P∙(δ+e)
)e(EI
Py
EI
P''y δ (2.28)
La solución general de esta ecuación diferencial es:
δ
ex
EI
PcosCx
EI
PsenCy 21 (2.29)
Con condiciones de contorno:
y(x=0)=0 → C2+e+δ=0 → C2= - (δ+e)
y‟(x=0)=0 → C1=0
x
EI
Pcos1)e(y δ (2.30)
Por otra parte y(x=L)=δ
L
EI
Pcos1)e(yL δ
LEI
Pcos
LEI
Pcos1e
δ (2.31)
Figura 2.16. Soporte empotrado-
libre con carga excéntrica
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 23
LEI
Pcos
xEI
Pcos1e
y (2.32)
Vemos que a diferencia de lo que ocurre con el pandeo ideal, desde el
comienzo, es decir desde P = 0, se tiene una configuración curvada de la barra, no
apareciendo el fenómeno de bifurcación del equilibrio.
Por lo tanto vemos que en la barra real no se produce una “bifurcación del
equilibrio”, sino una “divergencia del equilibrio”.
Otra observación importante es que la flecha no resulta directamente
proporcional a la carga P. Esto es debido a que la condición final de equilibrio fue
planteada sobre la configuración deformada de la pieza que depende de P.
Como consecuencia de lo anteriormente mencionado resulta que NO ES
APLICABLE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
La flecha aumenta más rápidamente que la carga y este efecto se acentúa en la
medida que LEI
P se aproxima al valor π / 2. Para L
EI
P = π /2 δ→∞.
En este caso: EI
P
L4 2
2
π
cr2
2
P)L2(
EIP
π (2.33)
Se observa que la expresión de la carga crítica no varía respecto a la definida
para el caso ideal, no así su significado, que ahora puede expresarse como el valor
de la carga que provoca un valor infinito de la deflexión.
Haciendo uso de la expresión: ]1
PP2
cos
1[
L
e
Lcr
π
δ podemos
representar la relación P/Pcr frente a δ / L para distintas relaciones e / L.
En el diagrama de la Figura 2.17 podemos apreciar que las curvas se aproximan
tanto más al eje vertical a medida que la excentricidad relativa disminuye. En el límite,
cuando e = 0 tendríamos la curva quebrada punteada, con lo que el pandeo ideal de
Euler resulta ser un caso particular del pandeo real.
Se observa además que las flechas aumentan muy rápidamente cuando la carga
P se aproxima a su valor crítico, y todas las curvas tienen por asíntota la línea
horizontal P/Pcr = 1 independientemente de “e”.
24 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Figura 2.17. Relación entre la máxima deflexión y la carga
Una aclaración importante que debemos realizar es que las curvas anteriores no
son totalmente exactas ya que cuando la flecha d toma valores muy grandes, la
ecuación diferencial planteada pierde validez porque y’’ ya no representa a la
curvatura. No obstante podemos considerar que para el caso de barras de cierta
rigidez tales como las usuales en la construcción de estructuras las aproximaciones
realizadas se cumplirán con bastante exactitud.
2.1.1.7.4. Efecto de la Deformación Previa
Sea un elemento biarticulado que antes de recibir
cualquier carga, no es rectilíneo, y presenta una deformación
inicial dada por:
e0=a
L
xsen
π
esta hipótesis es en muchos casos bastante próxima a la
realidad para las pequeñas deformaciones que se manejan
habitualmente, debidas a defectos de fabricación; además en
cualquier caso la deformada previa se podrá desarrollar en
serie de senos y serán válidas las consideraciones
cualitativas
que aquí se utilizan.
Se admite en lo que sigue que la carga es centrada, el
material perfectamente elástico y las deformaciones pequeñas. El equilibrio implica
que:
0)ey(PM 0 ; 0)ey(EI
P''y 0 ;
L
xsena
EI
Py
EI
P''y
π (2.34)
esta ecuación diferencial tienen una solución particular de la forma:
L
xsenAy p
π, donde A se obtiene de sustituir yp en la ecuación diferencial:
Figura 2.18. Deformación previa
Pandeo por flexión o de Euler Revisión teórica del fenómeno 25
L
xsena
EI
P
L
xsenA
EI
P
L
xsenA
2
2ππππ
1P
P
a
1PL
EI
a
EI
P
L
EI/aPA
cr
2
2
2
2
ππ (2.35)
La solución general de la ecuación:
1P
P
L/xsenax
EI
PcosCx
EI
PsenCy
cr
21
π (2.36)
con condiciones de contorno:
y (x=0)=0 → C2=0
y(x=L)=0 → C1
L
EI
Psen =0 → C1=0
Existiendo otra posibilidad para satisfacer la última condición, que sería la de que
P tomase el valor 2
2
L
EInPπ
, pero ésta solo puede darse para ciertos valores de
P, y está englobada en la solución C1=0, que es válida para cualquier P.
La solución de la ecuación será pues:
L/xsena
1P
P
1y
cr
π
(2.37)
siendo la deflexión total: L/xsena
1P
P
P/Py
cr
cr
T π
(2.38)
En vista de los resultados obtenidos, la deflexión previa, por la acción de P, se
ve amplificada con factor PP
P
cr
cr
, dándose la máxima flecha en el punto medio:
aPP
P
cr
cr
ε (2.39)
Representando ε frente a P/Pcr obtenemos unas curvas con la misma forma que
las obtenidas para el caso de carga excéntrica, que ya se recogieron en la Figura 2.17.
26 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Se observa de nuevo como para P=Pcr ε→∞.
Para valores pequeños de „a‟ como los que
suelen darse en la realidad debida a defectos
de fabricación, la deflexión no toma valores de
consideración hasta que la carga no se
encuentra próxima a Pcr.
De nuevo la asíntota horizontal es común a
todas las curvas independientemente de „a‟.
2.1.1.7.5. Conclusiones
De los problemas de carga excéntrica (2.1.7.3.) y deformación previa (2.1.7.4.)
se pueden extraer algunas conclusiones:
1. Los 2 procesos de deformación son muy parecidos y el efecto de una
imperfección, ya sea de un tipo o de otro, es muy similar. Es por tanto
razonable, englobar ambos tipos en un modelo que considere una sola de
ellas, ya sea carga excéntrica o deformación previa.
2. Los elementos con pequeñas imperfecciones tienen deflexiones de valor
despreciable hasta cargas próximas a la carga crítica de Euler. En las
proximidades de ésta, la deflexión aumenta con gran rapidez.
Como consecuencia de lo anterior, se puede concluir que la carga de Euler puede
ser una buena referencia para el diseño siempre que las imperfecciones sean
pequeñas.
2.1.2. NORMATIVA DE APLICACIÓN
Revisaremos ahora el tratamiento que se da al fenómeno analizado (pandeo de Euler)
en las normativas de aplicación españolas relativas a estructuras de acero: Código
Técnico de la Edificación (CTE). SE-A y Eurocódigo 3.
Los criterios aplicados para asignar una cierta capacidad resistente a las
secciones, así como los criterios de plastificación aceptados para establecer los
límites últimos resistentes se recogen para cada caso en los ANEXOS I y II al final de
este documento. Se incluye también en estos anexos la clasificación relativa a los
tipos de sección contemplados, y los artículos, tablas y figuras necesarios para la
obtención de algunos coeficientes empleados en las expresiones que se recogen en
este apartado.
Nos centraremos aquí en las expresiones de aplicación para la comprobación de
barras en prevención de la aparición del tipo de inestabilidad analizado en este
apartado 2.1. (Pandeo de Euler).
Figura 2.19. Relación entre la
máxima deflexión y la carga
Pandeo por flexión o de Euler Normativa de aplicación 27
2.1.2.1. TRATAMIENTO SEGÚN EL CÓDIGO TÉCNICO. SE-A
El documento de Seguridad Estructural para Acero (SE-A) del CTE es un Documento
Básico destinado a verificar la seguridad estructural de los elementos metálicos
realizados con acero en edificación.
Como ya hemos comentado se incluyen a continuación las expresiones a aplicar
para la comprobación de elementos rectos de sección y axil constantes, emplazando
al apartado de anexos las aclaraciones referentes a la obtención de alguno de los
componentes de dichas expresiones.
Así, el CTE SE-A admite que la capacidad a pandeo por flexión para el caso que
nos ocupa puede tomarse como
Nb,Rd=χ∙A∙fyd (2.40)
donde A, fyd y el coeficiente de pandeo χ se calculan de acuerdo a lo establecido en los
artículos 6.3.2 y 6.3.2.1 recogidos en el Anexo I.
En estos artículos se puede observar como la Norma aplica la expresión de la
carga crítica de Euler para la determinación de la esbeltez reducida.
cr
y
N
fA λ con EI
LN
2
kcr
π
2.1.2.2. TRATAMIENTO SEGÚN EL EUROCÓDIGO 3
El Eurocódigo 3 se aplica al proyecto de edificios y trabajos de ingeniería civil de
acero, refiriéndose únicamente a los requisitos de resistencia, servicio y durabilidad de
las estructuras que en ellos se proyectan.
La expresión propuesta para la determinación de la capacidad a pandeo por
flexión tiene en este caso la siguiente forma
Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd (2.41)
muy similar a la anterior, salvo por la inclusión de un nuevo coeficiente βA cuyo valor
es función del tipo de sección del elemento analizado.
De nuevo las referencias, tablas y figuras se recogen al final de este documento,
en el Anexo II.
Al igual que el CTE, el Eurocódigo hará uso de la expresión de Euler para el axil
crítico de pandeo durante el proceso de determinación del coeficiente de pandeo.
cr
y
AN
fA βλ
28 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
2.2. PANDEO LATERAL
El pandeo lateral es un fenómeno de inestabilidad que aparece en vigas sometidas
a flexión, para determinadas geometrías de la sección de la viga y bajo ciertas
condiciones de aplicación de la carga.
Imaginemos pues una viga sometida a un momento flector uniforme (Figura
2.20); en cada sección habrá una zona comprimida y otra traccionada (Figura 2.21),
de modo que a lo largo de la viga existe un cordón sometido a compresión.
Figura 2.20. Viga flexionada
Figura 2.21. Distribución de tensiones en la sección
Consecuentemente, si la compresión de este
cordón alcanza un determinado valor, éste tenderá
a pandear (como se vio en el apartado 2.1). No
obstante, el cordón comprimido “no está solo”, el
resto de la viga tiende a impedir el pandeo, y solo
cuando M alcanza un valor suficientemente grande
(de modo que la tendencia al pandeo pueda más
que la rigidez lateral de la viga) se producirá la
inestabilidad.
Esta inestabilidad se traduce en una flexión
lateral de la viga acompañada de un giro de
torsión (Figura 2.22).
Figura 2.22. Pandeo lateral
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 29
La existencia de un momento flector no es condición suficiente para la aparición
del pandeo lateral, sino que además deberán cumplirse ciertas condiciones en la
sección así como en el modo de aplicación de la carga:
- Módulo de torsión muy bajo y/o inercia mucho mayor en una de las 2
direcciones de la sección (Ii>>>Ij, donde i,j = y,z)
- Momento aplicado según el eje fuerte.
2.2.1. REVISIÓN TEÓRICA DEL FENÓMENO
Consideremos la viga de la Figura 2.23 con 2 planos de simetría y sometida a cargas
en el plano (y-z). Supongamos, como en el caso del pandeo de Euler, que es posible
una situación de equilibrio con una cierta flexión lateral y torsión.
En la figura se definen unos ejes x, y, z para toda la viga, y unos ejes ξ, η, ζ para
cada sección, siendo ξ y η los ejes de simetría, y ζ el perpendicular.
La posición de una sección se define por el movimiento según x e y de su
centro, con desplazamientos denominados u y v, y por el ángulo φ girado en torno a z.
Figura 2.23. Pandeo lateral. Definición de ejes y coordenadas
Para pequeñas deformaciones los cosenos directores de los ejes ξ, η, ζ son:
dz
dun
m
1l
1
1
1
θξ
dz
dvn
1m
l
2
2
2 θ
ε
1n
dz
dvm
dz
dul
3
3
3
δ
30 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Para pequeñas deformaciones el ángulo υ girado es pequeño, y se puede
suponer que las curvaturas en los planos x - z y ξ – ζ son iguales, y que las curvaturas
en y- z y η – ξ también lo son:
2
2
zy
2
2
zx
dz
yd
dz
ud
ξε
δξ
(2.42)
con lo que las 2 ecuaciones de flexión de una rebanada resultan:
ξξ Mdz
vdIE
2
2
(2.43)
εε Mdz
udIE
2
2
(2.44)
donde Iξ e Iη son los momentos de inercia de la sección respecto de ξ y η.
Mξ y Mη son los momentos flectores en torno a estos ejes, con sentido positivo según
la Figura 2.24.
Figura 2.24. Criterio de signos
De la ecuación de torsión para el caso general con torsión no uniforme en
perfiles abiertos obtenemos una 3ª ecuación:
δω
θθM
dz
dEI
dz
dGJ
3
3
(2.45)
Podemos referir las 3 ecuaciones anteriores al momento M, sin más que tener en
cuenta que:
αθθ δεξ MsenM,MsenM,cosMM
y dado que υ es pequeño, senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx;
Desarrollaremos inicialmente estas y otras ideas para el problema patrón que
nos servirá de base para el resto de casos.
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 31
2.2.1.1. PROBLEMA PATRÓN. VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA: Mcr
Imaginemos una sección doble T sometida a un momento flector uniforme M0 (Figura
2.25)
Figura 2.25. Viga sometida a flector uniforme M0
En cada sección la resultante de esfuerzos no es más que un momento M0.
Si se considera el trozo de viga a la izquierda de m-n, el momento sobre esta
sección, referido a ejes x,y,z, será:
Mx=-M0 ; My=0 ; Mz=0
Hemos llamado Mx, My y Mz a los momentos según los ejes con sentido positivo
dado por la regla del sacacorchos.
Como consecuencia del giro de ejes podemos referir las ecuaciones (2.43 - 2.45)
al momento M, sin más que tener en cuenta que:
αθθ δεξ senMM,senMM,cosMM 000
y dado que υ es pequeño, senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx
1dz
du
dz
dudz
dv1
dz
du1
M
M
M
θ
θ
δ
ε
ξ
0
0
0
Mdz
du
M
M
0
0
M
θ
δ
ε
ξ
M
M
M
(2.46)
con lo que Mξ=M0 Mζ=υ∙M0 Mη= 0Mdz
du
Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales (2.43 - 2.45) se obtiene:
0Mdz
vdIE 02
2
x (2.47)
0Mdz
udIE 02
2
y θ (2.48)
0Mdz
du
dz
dEI
dz
dGJ 03
3
θθ
ω (2.49)
32 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Este es el sistema de ecuaciones que debemos resolver.
Derivando (2.49) respecto de z y sustituyendo la expresión de 2
2
dz
ud obtenida de (2.48):
0EI
M
dz
dGJ
dz
dEI
y
20
2
2
4
4
θθθ
ω (2.50)
Por simplicidad, convertiremos la ecuación anterior en:
0dz
d2
dz
d
2
2
4
4
θβθ
αθ
(2.51)
siendo ω
αEI2
GJ
y
ω
βEIEI
M
y
20
La solución a esta ecuación es del tipo:
zn4
zn321 eAeA)zmcos(A)zm(senA θ
(2.52)
donde βαα 2m y βαα 2n
siendo m y n cantidades reales positivas.
Las constantes A1, A2, A3 y A4 deben ser determinadas mediante las
condiciones en los extremos. Para ello, supondremos que estos no rotan en torno al
eje z, pero que están libres en cuanto al alabeo:
así 0dz
d
2
2
θ
θ para z=0 y z=1, ya que la tensión debida al alabeo es:
0dz
dEE
2
2
zz θ
ωεζ , siendo ω el área sectorial principal
De las condiciones en z=0 se obtiene:
A2=0 y A3=-A4 con lo cual υ=A1sen(m∙z)-2∙A4senh(n∙z)
De las condiciones en z=1 tenemos:
A1sen(m∙L) -2∙A4senh(n∙L)=0
A1∙m2∙sen(m∙L) -2∙A4∙n
2∙senh(n∙L)=0
La solución no trivial se obtiene igualando a cero el determinante:
sen(m∙L)∙( n2∙senh(n∙L)+ m2∙sen(n∙L)) =0
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 33
resultando que sen(m∙L)=0 y A4=0
La solución queda pues de la forma:
)zm(senA1 θ con L
mπ
con lo cual:
2
22
L
πβαα (2.53)
Sustituyendo α y β y despejando M0 , se obtiene el valor del momento crítico,
que es valor del momento que hace que se manifieste la inestabilidad:
2
2
ycr0LGJ
EI1GJIE
LM
ππ ω (2.54)
El caso más simple en el sentido de la expresión del Mcr, es el de la viga con
sección rectangular y pared delgada. En este caso, la rigidez a torsión es nula (Iω=0), y
por tanto el término entre paréntesis (amplificador) toma valor 1, resultando:
GJIEL
M ycr0 π
(2.55)
Se ha calculado aquí el momento que produciría el pandeo lateral de un
elemento biarticulado sometido a flexión pura. Para el elemento sometido a otro tipo
de carga o con diferentes condiciones de apoyo procederíamos de un modo similar
siendo la integración de las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada caso mucho
más complicada que en el caso simple analizado. En la obra de Timoshenko y Gere
“Theory of Elastic Stability” [11] pueden encontrarse las soluciones para varios casos
de carga y apoyo, escapando estos desarrollos a los objetivos de este documento.
Sí nos detendremos sin embargo en el análisis del problema de pandeo lateral
para viga en voladizo con carga concentrada en el extremo libre (con perfil
doblemente simétrico y de pared delgada) de acuerdo al esquema mostrado en la
siguiente figura, por tratarse de uno de los problemas que intentaremos modelar y
resolver durante la realización de este proyecto.
Figura 2.26. Viga en voladizo con carga en su extremo libre
Antes de obtener una solución al problema planteado resolveremos un caso más
simple de viga en voladizo con sección rectangular, por ser un problema ampliamente
tratado en la literatura disponible, a diferencia del caso que nos ocupa.
34 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
2.2.1.2. VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL EN EL EXTREMO LIBRE
2.2.1.2.1. Sección Rectangular y Carga aplicada en el Centro de Esfuerzos
Cortantes
Como se ha comentado
anteriormente, se considera a
continuación el caso de una viga en
voladizo solicitada por una carga
concentrada actuando en el extremo
libre. La viga analizada presenta una
sección rectangular por simplicidad, y
la carga se supondrá aplicada en el
centro de esfuerzos cortantes (CEC)
de la sección transversal. Del mismo
modo se establece la hipótesis de que
la carga permanece vertical incluso
después de producirse la deformación.
Para obtener la carga crítica (Pcr)
en este caso deberemos integrar las
ecuaciones diferenciales planteadas
en el apartado anterior. Para ello se
utilizará el método de las diferencias
finitas.
Los sistemas de coordenadas empleados, así como la definición de los sentidos
positivos asignados a momentos flectores y torsores se muestran en la Figura 2.27.
Se definen unos momentos torsores debido a que, como resultado del pandeo y
analizando en el instante inicial del mismo (para la posición deformada), el extremo
libre de la viga se desplaza una cierta cantidad δ en dirección „x‟. Este hecho, induce la
aparición de un momento torsor alrededor de „z‟ de valor Mz=P∙δ en el extremo
empotrado, junto con una reacción vertical de valor P y un momento flector en
dirección „x‟ de valor Mx= - P∙L endicho extremo.
Del equilibrio en una sección genérica situada a una distancia z del borde
empotrado obtenemos los siguientes valores del momento:
)zL(PzPLPMx
0M y (2.56)
)u(PuPPMx δδ
Puesto que es conveniente representar las ecuaciones anteriores en términos de
los ejes ξ, η, ζ necesitamos obtener la expresión de los momentos anteriores
proyectados sobre dichos ejes. En la Figura 2.28 se muestran los ángulos existentes
Figura 2.27. Pandeo lateral. Viga en voladizo
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 35
entre los ejes iniciales y los ejes ligados a la sección, así como la proyección de los
momentos anteriormente definidos sobre dichos ejes.
Figura 2.28. Sistemas de referencia y signos
Realizando de nuevo la aproximación para pequeños ángulos vista en el
apartado 2.2.1.1. (senυ≈υ , cosυ≈1 y senα≈ - du/dx), se tiene que:
dz
du)u(P)zL(P
dz
duMMM zx δξ (2.57)
dz
dv)u(P)zL(P
dz
dvMMM zx δθθε (2.58)
)u(Pdz
du)zL(PM
dz
duMM zx δδ (2.59)
Despreciando los términos de orden mayor que la unidad (términos dz
duδ ), resulta
)zL(PM ξ (2.60)
36 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
θε )zL(PM (2.61)
)u(Pdz
du)zL(PM
dz
duMM zx δδ (2.62)
Para los sentidos positivos de desplazamientos y momentos supuestos en la
Figura 2.27, las ecuaciones de momentos flectores y torsores referidas a los ejes
solidarios a la sección son las ya conocidas (ver Apartado 2.2.1.):
ξMdz
vdIE
2
2
x
εMdz
udIE
2
2
y
z3
3
MMdz
dEI
dz
dGJ δω
θθ con Iω=0 en este caso (sección rectangular)
Sustituyendo las expresiones de los momentos (2.60 - 2.62) en las ecuaciones
diferenciales anteriores obtenemos las ecuaciones a resolver:
0)zL(Pdz
vdIE
2
2
x (2.63)
0)zL(Pdz
udIE
2
2
y θ (2.64)
0)u(Pdz
du)zL(P
dz
dGJ δ
θ (2.65)
Puede observarse como las ecuaciones (2.64) y (2.65), que gobiernan los
desplazamientos tras el pandeo („u‟ y „υ’), son independientes de la ecuación (2.63),
que define el desplazamiento vertical que tiene lugar en la viga antes de alcanzarse la
inestabilidad.
Antes de intentar resolver las ecuaciones (2.64) y (2.65), es conveniente eliminar
la variable u derivando (2.65), y sustituir la expresión de d2u/dz
2 despejándola de
(2.64), como ya hicimos en el caso general. Procediendo de este modo resulta:
0EI
)zL(P
dz
dGJ
y
22
2
2
θθ
0L
z1
dz
d2
2
2
2
θλ
θ (2.66)
En la ecuación anterior se ha definido por comodidad el parámetro
y
222
EIGJ
LP
λ
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 37
La ecuación (2.66) es lineal, pero sus coeficientes no son constantes; por esta
razón, su resolución es considerablemente más complicada que la llevada a cabo para
el caso del apartado anterior.
Realizando varios cambios de variable, la ecuación (2.66) puede transformarse
en una ecuación tipo Bessel cuya solución es conocida; este procedimiento puede ser
consultado en la obra de Timoshenko y Gere [11] anteriormente referenciada.
En lugar de ello, utilizaremos el método de las diferencias finitas para obtener
una solución aproximada. Este método permite aproximar la derivada de una función
en un punto en términos del valor de la función en dicho punto, y su valor en 1 ó más
puntos próximos a éste. Así:
h
fff
dx
df ihii
ix
(i)
2
hiihi
hiiihi
2/hi2/hiii
2
h
ff2f
h
h
ff
h
ff
h
)ff()f(f
(ii)
Para obtener la formulación del problema en el sentido de las diferencias finitas
dividimos la viga en 2 segmentos iguales de longitud h=L/2 (Figura 2.29). Los
extremos de los segmentos así formados se denotan por i=0, 1, 2. El punto i=0
corresponde al extremo empotrado, y el i=2 se refiere al extremo libre del elemento.
Se incluye además un segmento adicional que se extiende desde i=2 hasta i=3,
correspondiendo a la prolongación del eje del elemento hasta una distancia L/2 del
extremo libre.
Figura 2.29. Discretización de la viga en
voladizo
En la figura aparece también la prolongación imaginaria de la deformada del
elemento hasta el punto i=3, ya que como veremos, para el desarrollo del método es
necesario evaluar el valor de υ a ambos lados del punto i=2.
La ecuación diferencial en cualquier punto z=i se obtiene sin más que sustituir en
la ecuación (d) la expresión de la derivada 2ª dada por el método de las diferencias
finitas, recogida en la ecuación (ii), resultando:
0L
z1
h
2i
2i2
2
hiihi
θλθθθ
(2.67)
38 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Particularizando en i=1 (z=L/2) se tiene que
04
L
2
112 1
222
012
θλθθθ
y para i=2 (z=L) resulta
04
L112 2
222
123 θλθθθ
Operando se llega finalmente a las ecuaciones buscadas:
0216
L1
22
02
θ
λθθ (2.68)
02 123 θθθ (2.69)
En el extremo empotrado (z=0) del elemento el giro de torsión es υ0 =0
La 2ª condición de contorno se obtiene de imponer que el momento de torsión se
anule en el extremo libre del elemento. Así
0M
dz
dGJ z
θ en z=L
o lo que es lo mismo 0dz
d
θ en z=L
Esta última condición implica que υ3=υ1, con lo que (2.68-69) quedan como sigue:
0216
L1
22
2
θ
λθ (2.70)
022 21 θθ (2.71)
Para obtener una solución distinta de la trivial para el sistema de ecuaciones
anterior ((v) y (vi)) y obtener así el valor de la carga crítica debemos igualar a cero el
determinante; así
0
22
1216
L22
λ
02216
L2
22
λ
Quedándonos con la solución positiva de la ecuación anterior
y
22cr
EIGJ
LP
L
4
λ y2cr GJEI
L
4P (2.72)
Pandeo lateral Revisión teórica del fenómeno 39
(El valor exacto de la carga crítica calculado por Timoshenko y Gere [11] es de
y2cr GJEIL
013.4P , muy próximo al aquí establecido).
Conviene recordar que la expresión de la carga crítica se ha obtenido en este
caso bajo el supuesto de sección rectangular de pared delgada con la carga aplicada
en el centro de esfuerzos cortantes de la sección transversal.
2.2.1.2.2. Secciones Doblemente Simétricas y Carga Aplicada en el Borde
Superior
Aún hoy existe poca claridad respecto al tratamiento teórico de otros casos de
carga y tipo de sección como el que intentaremos modelar en este documento,
correspondiente a un perfil doblemente simétrico de pared delgada con carga aplicada
en el extremo libre (Figura 2.30), a una distancia ‘a’ del centro de esfuerzos cortantes,
alternándose en este sentido expresiones “poco fiables” con métodos más exactos
pero de difícil aplicación.
Figura 2.30. Viga en voladizo con carga sobre el extremo libre
En este documento se hará uso de la expresión empírica, para la determinación
de la carga crítica bajo los supuestos anteriores, desarrollada por Lei Zhang y Geng
Shu Tong [15] en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Zhejiang
(China), en base a multiples cálculos numéricos llevados a cabo mediante la aplicación
de programas de elementos finitos (EF) desarrollados a tal efecto.
A partir de estos “análisis por elementos finitos” (AEF) se desprende que la carga
crítica en ménsulas con doble simetría, con carga vertical aplicada en el CEC y
actuando de manera uniformemente repartida o concentrada sobre el extremo libre
del voladizo, puede calcularse como:
ω
ω
π
π
EI
)L2(GJ1
I
I
)L2(
EICM
2
2
y2
y2
1cr (2.73)
40 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
donde 2
1
K4
)K1(9.4C
para el caso de carga en el extremo libre, y K es un
parámetro de torsión que tiene en cuenta la longitud eficaz 2
w2
GJL
EIK
π .
Debe considerarse igualmente el efecto de un cambio de posición de la carga a
lo largo del eje vertical de la sección, dado que con el giro de la sección, una carga
aplicada fuera del CEC induce un momento adicional sobre el elemento,
reduciéndose considerablemente el valor de la carga admisible (carga crítica)
estimada para la aparición de la inestabilidad. El efecto mencionado puede apreciarse
claramente en la Figura 2.31.
Figura 2.31. Efecto sobre Mcr del punto de aplicación de la carga
Para el caso de carga colocada a una distancia „ a‟ del CEC sobre el eje
vertical de la sección (con a positivo en el borde superior), la determinación de la carga
crítica puede realizarse sin más que modificar la expresión del caso centrado,
resultando:
ω
ω
π
π
EI
)L2(GJ1
I
I)aC(aC
)L2(
EICM
2
2
y
2222
y2
1cr (2.74)
El coeficiente C1 para el caso que nos ocupa es el mismo que el definido
anteriormente, mientras que C2 tomará valores en función del punto de aplicación de la
carga (en función de „a‟).
Definimos en primer lugar el parámetro m=2a/h, siendo h la distancia entre el
CEC y los 2 bordes. Así:
para 0a )20( m : 22 )4.2K(28.0165.2C
para 0a )0m2( : mK1
6.0K69.0C2
Pandeo lateral Normativa de aplicación 41
Esta expresión arroja resultados con un alto grado de exactitud para el rango
habitual de K (K=0.1÷2.5) al ser comparados con los resultados obtenidos
experimentales y con los obtenidos mediante métodos numéricos (MEF), como puede
apreciarse en las figuras 2.32 a) y b).
Figura 2.32. a) y b) Ajuste de los resultados a los valores experimentales y numéricos
En la Figura 2.32. a) se comparan los resultados derivados de la aplicación de la
expresión aquí desarrollada con los derivados del AEF, y con los reportados por
Nethercot en “The effective lengths of cantilevers as governed by lateral buckling” [9],
por Guo YJ. en “Stability of cantilevers, theory and aplications” [6] y por Wang y
Kitipornchai en “”The stability of mono-symmetric cantilevers” [14].
En la Figura 2.32. b) la comparación tiene lugar de nuevo con el AEF y con los
resultados reportados por Trahair en “Flexural-torsional buckling of structures” [12].
Queda demostrada en sendas gráficas la más que aceptable validez de la
expresión utilizada para el rango de valores de K anteriormente mencionado.
2.2.2. NORMATIVA DE APLICACIÓN
2.2.2.1. TRATAMIENTO SEGÚN EL CÓDIGO TÉCNICO. SE-A
El Código Técnico establece la obligatoriedad de la comprobación frente a pandeo
lateral para los casos en los que exista flexión dentro del plano del elemento con un
arriostramiento lateral insuficiente
En los casos en que se haga necesaria esta comprobación, se sugiere un valor
para la resistencia frente a pandeo lateral dado por la expresión:
1M
yd
yRd,b
fWM
LT γχ (2.75)
La obtención del coeficiente de pandeo lateral (χLT) se lleva a cabo a partir de la
esbeltez lateral (𝜆LT)
42 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
cr
ypl,yLT
M
fWλ
en cuya expresión se hace uso del momento crítico, que es el dato que nos interesa a
efectos de este proyecto y cuya obtención mediante el CTE pasa por la aplicación de
la siguiente ecuación:
2
LTW
2
LTVcr MMM con
2
2,f12
C
2
y,elLTW
zT
C
1LTV
iCL
EWM
EIGIL
CM
π
π
(2.76)
Los términos y parámetros desconocidos en las fórmulas mostradas se
encuentran claramente definidos en el Anexo I de este documento.
2.2.2.2. TRATAMIENTO SEGÚN EL EUROCÓDIGO 3
El Eurocódigo 3, en su Apartado 5.1.5, establece que las piezas sometidas a flexión
deberán ser sometidas a comprobación frente a pandeo lateral (entre otras) de
acuerdo a lo establecido en su Artículo 5.5.2.
En dicho artículo se establece la siguiente fórmula de cálculo para la resistencia
al pandeo lateral de elementos flectados no arriostrados lateralmente:
Rd,bM χLT
1M
y
y,plw
fW
γβ (2.77)
En la expresión anterior, el coeficiente de reducción correspondiente al pandeo
lateral (χLT) se determina (al igual que en el caso del CTE) en función de la esbeltez
reducida
crit
yy,plwLT
M
fWβλ
que de nuevo vuelve a ser función del momento crítico, siendo este el valor a calcular
en nuestro caso para su posterior comparación con los resultados obtenidos por
métodos alternativos, y que será calculado de acuerdo a la siguiente expresión
recogida en el Anexo F de la Norma
j3g2
21
2
j3g2
z2
t2
z
w
2
w2
z2
1cr zCzCzCzCEI
GI)kL(
I
I
k
k
)kL(
EICM
π
π (2.78)
y que se simplifica para el caso que nos ocupa (sección con doble simetría y carga en
el extremo (k=2)) según lo establecido en dicho Anexo, resultando:
t2
w2
tz1zz2
wz22
1crIGL
IE2π1IIGE
kL
πCGIEI
L
IIE2
kLCM
(2.79)
Pandeo de placas: abolladura 43
Los artículos citados anteriormente, así como el
mencionado Anexo F se encuentran íntegramente recogidos
en el Anexo II del presente proyecto, y en ellos se definen
todos y cada uno de los parámetros necesarios para la
resolución de las ecuaciones propuestas. Las expresiones
recogidas en ambas normativas se encuentran referidas a un
sistema de ejes como el mostrado en la figura adyacente.
Podemos observar cómo tanto en la expresión propuesta
por el CTE como en la ecuación planteada por el Eurocódigo
3 para el cálculo del Mcr, se hace uso de la formulación
obtenida para Mcr en el problema patrón recogido en el
Apartado 2.2.1.1.
En ambos casos se incluyen además nuevos términos o coeficientes que tienen
en cuenta las posibles variaciones respecto de las condiciones de contorno y cargas
aplicadas definidas en dicho problema patrón, así como la influencia de los puntos de
aplicación de estas últimas sobre el valor final del Mcr.
2.3. PANDEO DE PLACAS: ABOLLADURA
En los apartados anteriores a esta sección hemos tratado el pandeo de elementos
“monodimensionales”. Estos análisis han resultado relativamente simples dado que en
ellos podía asumirse que la flexión tenía lugar únicamente en 1 plano. En este
apartado trataremos el pandeo de placas, el cual implica la aparición de momentos
flectores en 2 planos, dando lugar por tanto a un análisis más complejo.
El sentido de estudiar el fenómeno del pandeo en placas reside en la
aplicabilidad de las expresiones resultantes al campo del pandeo de los elementos que
componen un perfil laminado (o armado) como puede apreciarse en la Figura 2.34.
Figura 2.34. Abolladura del alma de una viga
Figura 2.33. Ejes de
referencia de la
sección
44 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
En piezas sometidas a flexión, el alma se encuentra sometida a unas tensiones
normales y tangenciales que hacen que, en general, pueda haber zonas sometidas a
una tensión principal (o las dos) de compresión. Si estas tensiones de compresión son
lo suficientemente grandes, puede aparecer una bifurcación del equilibrio, siendo
posibles estados de equilibrio con deformaciones tranversales del alma. Es decir, es
posible que se produzca el pandeo o abolladura del alma.
Nos centraremos en primer lugar en la obtención de las ecuaciones diferenciales
que gobiernan el comportamiento con pandeo de la placa.
2.3.1. REVISIÓN TEÓRICA DEL FENÓMENO
Cuando una placa delgada es sometida a fuerzas de compresión en su plano, puede
sufrir deformaciones transversales si los valores de la carga se encuentran por encima
de ciertos límites, esto es, puede producirse el pandeo de la placa.
El pandeo de placas difiere del de barras en 2 aspectos fundamentales:
1. Desde el punto de vista matemático, funciones como la de deflexión,
momento, etc. serán funciones de 2 variables, y por tanto, como
comentamos anteriormente, el comportamiento vendrá definido por
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
2. Desde el punto de vista resistente hay una diferencia muy importante. En el
caso de barras, la aparición del pandeo implica que el elemento no sea
capaz de resistir más carga, y que por tanto colapse. Esto no ocurre así en
placas, ya que estás, una vez que han sufrido abolladura pueden seguir
soportando aumentos de carga, llegándose alcanzar cargas muy superiores
a la de aparición de la “primera abolladura” antes del fallo de la pieza.
Consideremos una placa de espesor uniforme h como la mostrada en la Figura 2.35.
Figura 2.35. Coordenadas y tensiones de la placa
En desarrollos posteriores se atenderá a las referencias aquí mostradas.
Además, denominaremos superficie media al plano xy situado a una distancia h/2 de
las 2 caras de la placa. En la figura se muestra también un elemento diferencial de
volumen que nos permite observar las tensiones que pueden aparecer en cada plano,
con carácter general una normal y dos tangenciales.
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 45
La obtención de las ecuaciones teóricas que rigen el comportamiento a pandeo
de la placa de Kirchhoff vendrá basada en las siguientes hipótesis:
a) Deformaciones tangenciales γxz y γyz despreciables, y por tanto las normales
a la superficie media permanecen rectas y normales tras la deformación.
b) Tensión normal σz y su correspondiente deformación εz despreciables, y por
ello, los giros de la superficie media son representativos de los giros en
cualquier punto de la placa.
c) Efectos de membrana provocados por la flexión despreciables frente a los de
la propia flexión.
d) Material homogéneo, isótropo y comportamiento de acuerdo a la Ley de
Hooke.
Como consecuencia de las 2 primeras hipótesis, podremos tratar el problema
como uno de tensión plana.
En base a las hipótesis c) y d), podremos modelar el comportamiento de la placa
mediante ecuaciones diferenciales lineales y de coeficientes constantes.
2.3.1.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL PANDEO DE PLACAS EN TEORÍA LINEAL
Buscaremos en este apartado obtener la ecuación que rige el equilibrio en la posición
deformada, en la cual existirá una influencia de los esfuerzos coplanarios (Figura 2.36)
sobre la flexión. A partir de dicha ecuación podremos desarrollar los casos particulares
que supondrán la base para la elaboración de modelos que nos permitan reproducir y
analizar el fenómeno más adelante.
Esta ecuación será deducida a partir del análisis de la superficie media sometida
a un estado de cargas constante como el mostrado en la figura, en la que las fuerzas
serán consideradas positivas cuando actúan en las direcciones indicadas. Por otra
parte, las fuerzas referidas son fuerzas por unidad de longitud.
Figura 2.36. Fuerzas sobre la superficie media. Sentidos positivos
El equilibrio de los esfuerzos coplanarios provocados por el sistema de fuerzas
definido debe ser establecido en la posición deformada sobre un elemento diferencial
de volumen como el representado en la Figura 2.37. de lados dx y dy y espesor igual
al de la placa (h).
46 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Figura 2.37. Esfuerzos coplanarios en la posición deformada
Dado que las deformaciones en la superficie media debidas al flector son
despreciables, los esfuerzos coplanarios se deben únicamente al efecto de las cargas
coplanarias y no varían con x o y. Sin embargo, el ángulo girado por la superficie sí
varía con x y con y, dando lugar a las pendientes y curvaturas indicadas en la figura.
Realizando la aproximación ya presentada en apartados anteriores para
pequeños ángulos, la suma de momentos en dirección x y en dirección y, y la suma de
fuerzas sobre dichos ejes son ambas nulas. La suma de las proyecciones de las
fuerzas Nx sobre el eje z resulta
dyx
wNdydx
x
w
x
wN x2
2
x
(2.80)
o de otro modo
0dxdyw
wN
2
2
x
(2.81)
La proyección y posterior suma del resto de esfuerzos actuantes sobre el
elemento diferencial en dirección z resulta
dxdyyx
wN
yx
wN
y
wN
2
yx
2
xy2
2
y
(2.82)
Para determinar las componentes según z de los esfuerzos cortantes se han
despreciado las curvaturas de los lados en los que actúan, lo cual es posible dado que
los términos que resultarían al considerar dichas curvaturas son de un orden superior
a los términos que se han retenido.
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 47
Aplicando la igualdad Nxy=Nyx a la expresión del equilibrio de momentos según z
y adicionando los términos (2.81) y (2.82) obtenemos la resultante de fuerzas en la
superficie media según z:
dxdyyx
wN2
y
wN
x
wN
2
xy2
2
y2
2
x
(2.83)
Además de las fuerzas coplanarias presentadas en la Figura 2.37. sobre el
elemento diferencial de la placa flectada actuarán los momentos y cortantes mostrados
en la Figura 2.38. en la cual se definen los sentidos positivos para los mismos.
Figura 2.38. Cortantes y Momentos flectores y torsores
Las componentes de los esfuerzos cortantes en las direcciones x e y son
despreciables. En dirección z la suma de esfuerzos debidos al cortante resulta
dxdyy
Q
x
Q zx
(2.84)
Este término, unido a los ya obtenidos en la ecuación (2.83) nos da la ecuación
de equilibrio en dirección z:
0yx
wN2
y
wN
x
wN
y
Q
x
Q 2
xy2
2
y2
2
xyx
(2.85)
Considerando ahora el sumatorio de momentos según x igual a cero obtenemos:
0dxdydyy
QdxdyQ
2
dxdydy
x
Qdxdy
x
Mdydx
y
M yy
xxyy
(2.86)
48 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Reteniendo únicamente los términos de orden inferior resulta:
0Qx
M
y
My
xyy
(2.87)
Procediendo ahora del mismo modo para el equilibrio de momentos según y se tiene:
0Qy
M
x
Mx
yxx
(2.88)
Las ecuaciones (2.85), (2.87) y (2.88) representan las 3 ecuaciones de equilibrio
considerando el pandeo de la misma. A menudo, estas ecuaciones pueden
simplificarse combinándose para “eliminar” algunas de las variables. Así, derivando
respecto de y en (2.87) y haciendo lo propio respecto de x en (2.88) tenemos:
yx
M
y
M
y
Q xy2
2
y2
y
(2.89)
xy
M
x
M
x
Q yx2
2
x2
x
(2.90)
Sustituyendo ahora las ecuaciones (2.89) y (2.90) en la Ecuación (2.85)
obtenemos una única ecuación de equilibrio en la que no aparecen los esfuerzos
debidos al cortante:
0yx
wN2
y
wN
x
wN
y
M
yx
M2
x
M 2
xy2
2
y2
2
x2
y2
xy2
2
x2
(2.91)
El siguiente paso consistiría en obtener la relación existente entre momentos y
desplazamientos, relacionando para ello los momentos con las tensiones, las
tensiones con las deformaciones y las deformaciones con los desplazamientos. Este
proceso, por extenso, no se llevará a cabo en este documento tomándose
directamente las relaciones del libro de Alexander Chajes “Principles of Structural
Stability Theory” [4]. Dichas relaciones vienen dadas por:
2
2
2
2
xy
w
x
wDM μ
2
2
2
2
yx
w
y
wDM μ
yx
w)1(DM
2
xy
μ (2.92)
siendo 2
3
112
EhD
μ
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 49
La variable D representa la rigidez a flexión por unidad de ancho de la placa,
resultando equivalente al término EI utilizado en barras. Por otra parte, las relaciones
momento-curvatura dadas anteriormente para la placa son análogas a las que
teníamos en el Apartado 2.2 para el caso de la barra (M=-EI(d2y/dx2)).
Comparando las relaciones obtenidas para ambos casos se observa que la
relación para el caso de la placa coincide con la de la barra, afectada por un factor
1/(1-μ2). Esta diferencia se debe a que la barra tiene permitida la deformación lateral,
mientras que en la placa dicha deformación se encuentra restringida por el material
adyacente.
Sustituyendo las relaciones (2.92) en la Ecuación (2.91) se obtiene finalmente la
ecuación diferencial a integrar para resolver el problema de pandeo de placas:
yx
wN2
y
wN
x
wN
y
w
yx
w2
x
wD
2
xy2
2
y2
2
x4
4
22
4
4
4
(2.93)
Ya estamos pues en disposición de particularizar esta expresión para los casos
de interés en lo que respecta a este documento que en concreto serán el de
abolladura por compresión uniaxial y el de abolladura por cortante, desarrollados
respectivamente en los próximos apartados.
2.3.1.2. CARGA CRÍTICA PARA PLACA UNIFORMEMENTE COMPRIMIDA EN UNA
DIRECCIÓN
Consideraremos una placa rectangular simplemente apoyada de lados a y b y espesor
h solicitada por una fuerza de compresión uniforme por unidad de longitud de valor Nx
tal y como se indica en la Figura 2.39
Figura 2.39. Placa simplemente apoyada y uniformemente comprimida según x
Observando que la carga aplicada es negativa respecto de los signos definidos
en la Figura 2.37, y que para el caso analizado Ny=Nxy=0, la ecuación diferencial de la
placa flexionada (2.93) queda de la forma:
0x
wN
y
w
yx
w2
x
wD
2
2
x4
4
22
4
4
4
(2.94)
50 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Dado que los 4 bordes se encuentran simplemente apoyados las condiciones de
contorno vienen dadas por la anulación de los momentos y de la deflexión lateral en
dichos bordes. Así:
0y
w
x
ww
2
2
2
2
μ en x=0 y en x=a (i)
0x
w
y
ww
2
2
2
2
μ en y=0 y en y=b (ii)
0y
w
2
2
en x=0 y en x=a (iii)
0x
w2
2
en y=0 y en y=b (iv)
Sustituyendo las 2 últimas condiciones en las 2 primeras se tiene:
0x
ww
2
2
en x=0 y en x=a (v)
0y
ww
2
2
en y=0 y en y=b (vi)
De acuerdo a los procesos ya conocidos de resolución el siguiente paso para la
obtención de la carga crítica se corresponde con la determinación de la solución no
trivial de la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno considerado. En este caso
la ecuación diferencial viene expresada en derivadas parciales, por lo que resulta
conveniente realizar ciertas consideraciones previas.
La principal diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria y otra en
derivadas parciales reside en que mientras para el primer caso puede la ecuación
puede ser satisfecha por una única función, para el segundo pueden existir numerosas
funciones que cumplan la expresión. Es por ello que la solución general en derivadas
parciales es mucho más difícil de obtener, ya que mientras que la solución general de
la ecuación ordinaria nos da una expresión de la variable en función de 1 ó varias
constantes, la solución obtenida para una ecuación diferencial en derivadas parciales
solo describe el comportamiento de la variable dependiente en términos generales.
A consecuencia de lo anterior, no merece la pena la obtención de la solución
general a la Ecuación (2.94), en lugar de ello, se acostumbra a obtener una expresión
del comportamiento de la variable utilizando una solución en forma de serie de Fourier:
1m 1n
mn yb
nsenx
a
msenAw
ππ (2.95)
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 51
La expresión mostrada cumple todas las condiciones de contorno (i-iv), y en ella
m y n son el número de semiondas de la placa abollada en direcciones x e y
respectivamente.
Para imponer también el cumplimiento de la ecuación diferencial basta derivar la
expresión anterior y sustituirla en la Ecuación (2.94), resultando:
1m 1n2
22x
4
44
22
422
4
44
mn yb
nsenx
a
msen
a
m
D
N
b
m
ba
nm2
a
mAw
(2.96)
El primer término de la expresión anterior consiste en un número infinito de
sumandos de funciones independientes. La única forma de que dicha suma valga cero
es que todos y cada uno de los coeficientes de los sumandos valgan cero. Así:
0a
m
D
N
b
m
ba
nm2
a
mA
2
22x
4
44
22
422
4
44
mn
ππππ
o de otra forma 0a
m
D
N
b
n
a
mA
2
22x
2
2
2
2
24
mn
ππ
La solución trivial implica Amn=0, que marca el equilibrio sin pandeo. Las posibles
bifurcaciones del equilibrio con aparición de la flexión vienen dadas por implican la
anulación del término contenido en el corchete. Despejando el valor de la carga en
dicho término tenemos:
2
2
2
2
2
2
22
xb
n
a
m
m
DaN
π ó
22
2
2
xmb
an
a
mb
b
DN
π
si llamamos rb
a resulta finalmente
22
2
2
xm
rn
r
m
b
DN
π (2.97)
De acuerdo con la expresión obtenida el valor crítico de la carga de compresión
está relacionado con las características geométricas de la placa, y con el número de
ondas generados en cada dirección.
Como en el caso de los fenómenos anteriormente analizados, estaremos
interesados en determinar el valor más bajo de la carga para el que se produce el
pandeo. Dicha solución se dará siempre con un valor de n=1 (1 sola semionda en
dirección y), dado que n se encuentra únicamente en el numerador.
Para n=1, y expresando (2.97) como kb
DN
2
2
x π
, con
2
m
r
r
mk
el
mínimo valor de la carga se dará para kmín. Así, derivando k respecto de m se tiene:
52 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
0m
r
r
1
m
r
r
m
b
D2
dm
)N(d
22
2x
π
0m
r
r
1
2 m=r k=4 (2.98)
resultando
2
2
xcrítb
D4N
π (2.99)
Conforme a los resultados obtenidos, al ir aumentando la carga se alcanzará un
cierto valor de Nx para el cual se producirá la abolladura. En este primer instante de
aparición de la abolladura se generará una semionda en dirección y, y un número de
semiondas en dirección x que dependerá de la relación entre los lados de la placa a/b,
y que según (2.98) será igual a m.
Hay que notar en este punto, que m siempre será un número entero y que
r=a/b no tiene porque serlo, por lo que la ecuación anterior se cumplirá estrictamente
únicamente en el caso en que r sea un número entero. En el caso general, para un r
dado, no entero, el pandeo se producirá con un número de ondas m próximo al valor
de r, pero no igual (típicamente, el nº de ondas m será igual a la parte entera de r o a
la parte entera de r+1).
Representando las evoluciones de k en función de r para un m fijo, observamos
que para cada valor de r existen varios valores de k posibles, cada uno
correspondiente a un mi dado (ver Figura 2.40). Nos interesaremos así, para cada r,
por el valor mínimo de k(mi,r) kmin(mi,r), que nos indicará que el pandeo para dicha
relación de aspecto de la placa r=a/b se producirá para un cierta carga
)r,m(kb
DN imín2
2
xcrít π
, y con un número de semiondas mi en dirección x.
Figura 2.40. Coeficiente crítico de carga k(mi,r) para placa con compresión uniaxial
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 53
En la gráfica se observa que el 1er modo de pandeo presentará 1 única
semionda en dirección x para r< 2 , mientras que se manifestará mediante 2
semiondas para 2 <r< 6 ,... a modo de ejemplo se desarrolla la obtención del
primero de estos puntos de cambio del comportamiento a pandeo.
Se observa en la curva que en el primer tramo la curva con menor k es la de
m=1, mientras que a partir de cierto valor de r la curva de m=2 se encuentra por
debajo de la de m=1. Deberemos buscar por tanto el punto de corte de las 2 curvas,
presentándose un modo de pandeo diferente a uno y otro lado de dicho punto.
4
r2
r
4)2m(k
r2r
1)1m(k
2
2
2
2
igualando resulta 4
r
r
4r
r
1 2
2
2
2
)14(r
1)4/11(r
2
2 3)4/3(r 4 4r 4
2r
Del mismo modo se obtendría el resto de puntos; sin embargo a partir de m=4 la
curva es muy aplanada y se acepta que para r>4 (a>4b), podemos tomar kmin=4.
2.3.1.3. CARGA CRÍTICA PARA PLACA SOMETIDA A CORTANTE
El fenómeno de pandeo de placas no es exclusivo de elementos sometidos a
compresión axial, sino que puede manifestarse en placas sometidas a un esfuerzo
cortante puro, ya quela única condición necesaria para la aparición de la abolladura
es la existencia de tensiones de compresión en alguna zona del elemento. En el caso
mencionado, la compresión aparece en planos que forman 45º con los bordes sobre
los que se encuentra aplicada la carga, tal y como puede observarse en la siguiente
figura, provocando la parición de abolladuras que siguen la dirección de estas
tensiones como se aprecia en la imagen de la Figura 2.42.
Figura 2.41. Tensiones en un elemento diferencial del alma
54 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Figura 2.42. Abolladura a 45º en alma a cortante
Consideremos en lo que sigue la
placa simplemente apoyada mostrada
en la Figura 2.43 cargada por un
cortante uniforme Nxy aplicado sobre los
4 bordes. Para la determinación de la
carga crítica en el caso que nos ocupa
haremos uso del método de Galerkin
mostrado en el Apartado 2.8 del libro de
Alexander Chajes [4] consultado para la
realización de estos desarrollos.
Necesitaremos en primer lugar una expresión que modele el comportamiento de
la placa deformada para las condiciones de contorno dadas. En nuestro caso:
a
y2sen
a
x2senA
a
ysen
a
xsenAw 21
(2.100)
Para una placa a cortante puro cuya deformada venga dada mediante la
Ecuación (2.100), la ecuación de Galerkin toma la forma:
a
0
a
0
i dxdy)x(g)w(Q i=1,2 (2.101)
donde yx
wN2
y
w
yx
w2
x
w)w(Q
2
xy4
4
22
4
4
4
(2.102)
g1(x)= a
ysen
a
xsen
(2.103)
g2(x)= a
y2sen
a
x2sen
(2.104)
obteniéndose una ecuación diferente para cada término gi(x). Sustituiremos pues las
expresiones de Q(w) y gi(x) en (2.101) y procederemos a la integración de las 2
ecuaciones resultantes. El proceso detallado de integración puede consultarse en las
referencias citadas anteriormente (Chajes [4], Pág.261). Finalmente, las ecuaciones ya
integradas adoptan la siguiente forma:
Figura 2.43. Placa simplemente apoyada y
sometida a cortante puro
Pandeo de placas: abolladura Revisión teórica del fenómeno 55
0AD9
N32A
a2
xy
12
4
(2.105)
0AD9
N32A
a
161
xy
22
4
(2.106)
Para establecer el valor de la carga crítica basta con igualar a cero el
determinante de las 2 ecuaciones anteriores:
2
4xy
xy
2
4
a
16
D9
N32D9
N32
a
=0 (2.107)
resultando un valor para la carga crítica
Nxycr=11.12
2
a
D (2.108)
Otros análisis más precisos que el aquí desarrollado, como el de Stein y Neff [9],
ofrecen expresiones alternativas para esta carga crítica. En concreto, las fuentes
citadas sugieren el siguiente valor de la carga crítica lineal de cortante:
Nxycr=9.342
2
a
D (2.109)
2.3.1.4. FCR PARA VARIOS CASOS. COEFICIENTE DE PANDEO DE PLACAS
A la vista de los resultados aquí presentados y de otros muchos casos reportados en
las referencias consultadas se puede observar que la expresión de la carga crítica de
abolladura presenta una estructura común sean cuales sean las condiciones de
contorno y tipo de carga para el elemento analizado. Así, cualquiera de los valores
obtenidos para la carga crítica puede ser escrito de la forma
2
2
2
crb
t
)1(12
EkF
(2.110)
donde Fcr es la tensión crítica normal o tangencial, y la única diferencia entre los
distintos casos posibles la representa el coeficiente k, que depende de las condiciones
de contorno, de la geometría de la placa y del tipo de carga aplicada.
En la siguiente tabla se recoge el valor del coeficiente k para los posibles casos
de interés en los posteriores estudios a realizar. Estos valores han sido extraídos
nuevamente del libro de Alexander Chajes [4]
56 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Condiciones de carga Condiciones de contorno en los bordes Coeficiente de
pandeo k
Compresión uniaxial
a/b>4
- Los 2 bordes cargados se encuentran
simplemente apoyados
- Bordes descargados:
1. Los 2 simplemente apoyados
2. Uno empotrado y el otro simplemente
apoyado
3. Los 2 empotrados
4. Uno simplemente apoyado y el otro libre
5. Uno empotrado y el otro libre
4.0
5.42
6.97
0.425
1.28
Cortante puro
a/b>1
1. Todos los bordes simplemente apoyados
2. Todos los bordes empotrados
5.34+2ba
4
)/(
8.98+2ba
65
)/(
.
Tabla 2.1. Coeficientes de pandeo de placas para varios casos de interés
2.3.2. NORMATIVA DE APLICACIÓN
Para el caso de la abolladura, ambas normativas hacen una distinción clara en el
tratamiento de las comprobaciones en función del tipo de cargas/esfuerzos que actúen
sobre el elemento, pudiendo distinguirse 2 situaciones:
1. Abolladura por cortante: correspondiente al caso estudiado en el Apartado
2.3.1.3. Ante este estado de esfuerzos se intentará evitar la aparición de
abolladuras del tipo mostrado en la Figura 2.42.
2. Abolladura frente a cargas puntuales: este tipo de abolladura, de
producirse, se asemejaría más al estudiado en (2.3.1.2). Así, la carga
transversal aplicada sobre el ala puede dar lugar a 3 fenómenos diferentes:
- Aplastamiento del ala en la zona bajo la carga
- Abolladura local en la zona del alma adyacente al punto de aplicación
de la carga con deformación plástica del ala
- Abolladura global del alma a lo largo del canto
Pandeo de placas: abolladura Normativa de aplicación 57
2.3.2.1. TRATAMIENTO SEGÚN EL CÓDIGO TÉCNICO. SE-A
2.3.2.1.1. Abolladura a cortante
El Código Técnico de la Edificación establece que no será necesario comprobar
la abolladura por cortante para elementos tipo barra que posean almas de
dimensiones d (altura) y t (espesor) tales que su esbeltez (d/t) cumpla:
ε 70t
d
ni en aquellos en los que disponiendo de rigidizadores tranversales, se cumpla que:
ηε k30t
d
La resistencia del alma frente a abolladura por cortante vendrá dada por la
siguiente expresión:
1M
bRd,b
tdV
γ
η (2.111)
De nuevo, kτ, τb y ε se encuentran definidos en el Anexo I de este documento, al
igual que otros parámetros y coeficientes necesarios para la determinación de éstos.
2.3.2.1.2. Abolladura ante cargas puntuales
Se establece la no necesidad de comprobación ante este tipo de cargas en caso
de disponerse de rigidizadores calculados de acuerdo al Artículo 6.3.3.4 en la zona de
aplicación, o en el caso de elementos no rigidizados cuyas almas sean capaces de
resistir el esfuerzo de compresión provocado por la carga puntual, es decir, para
elementos en los que se cumpla:
1F
F
Rd,b
Ed
FEd valor de cálculo de la carga concentrada
Fb,Rd resistencia de cálculo del alma frente a cargas concentradas
La resistencia de cálculo del alma frente a cargas concentradas viene dado por:
1M
efyw
Rd.b
LftF
(2.112)
donde Lef es un coeficiente de minoración obtenido a partir del valor que la norma
aplica para la carga crítica de abolladura (Fcr), que viene dada por
d
tEk9.0F
3
Fcr (2.113)
58 Proyecto Fin de Carrera Tipos de inestabilidad analizados
Los apartados necesarios para la determinación de los coeficientes necesarios
para cerrar el problema se encuentran recogidos en el Anexo I.
2.3.2.2. TRATAMIENTO SEGÚN EL EUROCÓDIGO 3
2.3.2.2.1. Abolladura a cortante
Aplicando el Eurocódigo 3 no será necesario comprobar la posible abolladura del
alma por cortante para relaciones de esbeltez similares a las utilizadas por el CTE:
69t
d si no hay rigidizadores transversales y ηε k30
t
d si los hay
En caso de requerirse una comprobación a causa de las características
geométricas del elemento, el Eurocódigo propone 2 métodos alternativos, debiendo
emplearse un único método para cada comprobación.
En el caso que nos ocupa se mencionará únicamente el método post-crítico
definido en el Artículo 5.6.3 de la Norma, ya que será éste el empleado en los
apartados de resolución de los problemas planteados en este proyecto, por ser
análogo al utilizado por el CTE. En cualquier caso, tanto el método post-crítico como el
segundo método propuesto por el Eurocódigo 3 (método del campo diagonal de
tracciones, se encuentran íntegramente incluidos en el Anexo II para cualquier tipo de
consulta, limitándonos en este apartado a introducir las fórmulas de cálculo
principales.
La resistencia a la abolladura vendrá dada, para el método post-crítico, por la fórmula:
1M
bawRd,b
tdV
(2.114)
Al igual que ocurría en apartados anteriores, los extractos de la Norma
necesarios para el cálculo de Vb,rd, τba, etc., por aplicación del Eurocódigo 3 se recogen
en el Anexo II.
2.3.2.2.2. Abolladura ante cargas puntuales
Ante la aplicación de cargas puntuales transversales al ala, el elemento metálico
será susceptible de presentar cualquiera de los 3 fenómenos comentados en la
introducción de este apartado. La aparición de uno u otro dependerá del modo en el
que las cargas puntuales son resistidas por el elemento (cargas resistidas mediante
cortante en el alma o cargas transmitidas de un ala a la otra) y de los valores de carga
crítica para cada uno de los fenómenos, manifestándose en primer lugar el que
presente un valor menor de dicha carga, viniendo éstos definidos en cada caso por las
siguientes expresiones:
a) Resistencia al aplastamiento:
Ry,Rd=(sy+ss)twfyw/γM1 (2.115)
Pandeo de placas: abolladura Normativa de aplicación 59
b) Resistencia a la abolladura localizada:
Ra,Rd=0.5tw2(Efyw)1/2[(tf/tw)1/2+3(tw/tf)(ss/d)]γM1 (2.116)
c) Resistencia a la abolladura:
Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd, (2.117)
que es la resistencia de cálculo para el pandeo de una pieza virtual de alto d y de
ancho beff=[b2+s2]1/2 de acuerdo a lo establecido en el Apartado 5.7.5 de la Norma,
incluido en el Anexo II.