Furijeov integral i transformacija

Ranije smo razmatralirazvoj funkcije f(t) periode 2T u Furijeov niz. Pitanje koje se namee samo

od sebe tase deava ako funkcija nije periodina ili ako perioda tei beskonanosti. U tom

sluaju Furijeov niz postaje Furijeov integral.

2( ) ( ) j ftF f f t e dt

2( ) ( ) j ftf t F f e df

Funkcija F(f) se naziva Furijeova transformacija funkcije f(t), dok se funkcija f(t) naziva

inverznom Furijeovom transformacijo funkcije F(f).

Odrediemo sada karakteristine Furijeove transformacione parove.

Primer 1: Odrediti Furijeov transformacione parove funkcija ( )ate u t , ( )ate u t , ate , gde funkcija

u(t) ima jedininu vrednost u opsegu od nulte vrednosti do beskonanosti.

2 2 2 ( 2 )

0 0 0

00

1 2

( ) ( )

1( 2 )

1 1 1 1( 2 )(0 1)

2( 2 ) , 0

at j ft at j ft at j ft a j f t

u u

X f e u t e dt e e dt e dt e dt

a j f t u dt dua j f

e du eu u u a j fdu

a j f u udt

0 0 0

2 2 2 ( 2 )

00

1 2

( ) ( )

1( 2 )

1 1 1 1( 2 )(1)

2( 2 ) 0,

at j ft at j ft at j ft a j f t

u u

X f e u t e dt e e dt e dt e dt

a j f t u dt dua j f

e du eu u u a j fdu

a j f u udt

0 0 0

2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 )

0 0 0

2 2 2

( )

1 1 2 2 2

2 2 2 2 4

at j ft at j ft at j ft at j ft at j ft a j f t a j f tX f e e dt e dt e e dt e dt e dt e dt e dt

a j f a j f a

a j f a j f a j f a j f a f

Primer 2: Odrediti Furijeov transformacion par funkcije ( )atte u t koristei reenje integrala

2

1ax axxxe dx ea a

1.

1 http://integral-table.com/integral-table.html#SECTION00006000000000000000 (61)

2 2

0

( 2 )

2 2

0

( ) ( )

1 1

2 2 2

at j ft at j ft

a j f t

X f te u t e dt te e dt

te

a j f a j f a j f

Primer 3: Odrediti Furijeov transformacion par funkcija cos(2 )ft i cos(2 )ft .

Da bi odredili Furijeov trasformacioni par ove dve funkcije moramo prvo znati Furijeov par delta

impulsa i njegovu inverznu transformaciju.

2( ) ( ) 1j ftX f t e dt

2( ) 1 ( )j ftX f e dt t

Sada moemo analizirati funkcije

0 02 22 2

0

0 0

( ) cos(2 )2

1(( ( ) ( ))

2

j f t j f tj ft j fte eX f f t e dt e dt

f f f f

0 02 22 2

0

0 0

( ) sin(2 )2

1(( ( ) ( ))

2

j f t j f tj ft j fte eX f f t e dt e dt

j

f f f fj

Primer 4: Odrediti Furijeov transformacioni par funkcije ( ) sgn( )f t t .

Funkcija sgn2 kao rezultat daje znak realnog broja. Matematiki se definie kao

1,0( )

1, 0

tf t

t

.

[ [ ],{ , 5,5}]Plot Sign t t

2 Sgn- sign (znak)

Ako probamo da reimo integral zasnovan na definiciji Furijeove transformacije dobiemo

integrale koji nemaju reenja. Da bi doli do reenja zapoeemo postupak reavanjem i

dobijanjem Furijeove transformacije za sledeu eksponencijalnu funkciju

,0( )

, 0

at

at

e tf t

e t

4 2 2 4

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

5 4 3 2 1

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2 2

( )

1 1 2 2 4

2 2 2 2 4

at j ft at j ft at j ft at j ftX f e dt e e dt e dt e dt

a j f a j f j f

a j f a j f a j f a j f a f

Ako je 0a , eksponencijalna funkcija se svodi na sgn funkciju pa dobijamo:

2 2

4 1 2( )

4

j f jX f

f j f jf

.

Primer 4: Odrediti Furijeov transformacioni par Hevisajdovog step implusa.

0, 0

1( ) , 0

2

1, 0

t

H t t

t

2 2

0

1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) )

2 2 2 2

j ft j ft jX f e dt e dt t fj f f

Primer 5: Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije:

1,( )

0,

t af t

t a

.

2 2 2 21 1

( )2 2

1sin(2 )

aa

j ft j ft j fa j fa

aa

X f e dt e e ej f j f

faf

Primer 5: Odrediti spektar aperiodinog pravougaonog impulsa koji ima vrednost 3, u intervalu

(-a,a).

4 2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

2 2 2 23 3

( ) 32 2

3 6sin(2 ) sin(2 ) 6 sin (2 )

2

aa

j ft j ft j fa j fa

aa

X f e dt e e ej f j f

afa fa a c fa

f fa

Primer 6: Odrediti spektar aperiodinog pravougaonog impulsa koji ima vrednost A, u intervalu

(-a,a).

2 2 2 2( )2 2

2sin(2 ) sin(2 ) 2 sin (2 )

2

aa

j ft j ft j fa j fa

aa

A AX f Ae dt e e e

j f j f

A Aafa fa Aa c fa

f fa

Pomeraj Furijeove transformacije

Ako signal f(t), zakasni za Furijeova transformacija zakasnelg signala je jednaka Furijeovoj

transformaciji originalnog signala pomnoenoj sa 2j fe .Dokazaemo ovo tvrenje tako to

emo izraunati Furijeovu transformaciju pomerenog signala.

2( ) ( ) j ftX f f t e dt

Sada definiemo t , i iz njega dobijamo t . Smenom ova dva izraza u izraz za

Furijeovu transformaciju dobijamo

2 ( )

2 2

2

( ) ( )

( )

( )

j f

j f j f

j f

pocetno

X f f e d

e f e d

e X f

tj.

2{ ( )} { ( )}j fF x t e F x t .

Primer 7: Odrediti spektar aperiodinog pravougaonog impulsa koji ima vrednost A, u intervalu

(0,2a). Odrediti rezultat koristei osobinu pomeranja Furijeove transformacije, a zatim raunski

dokazati dobijeni rezultat.

Primeniemo osobinu pomeranja na signal iju smo transformaciju odredili u primeru 6, poto

je signal u ovom primeru taj signal pomeren za vrednost a.

2( ) 2 sin (2 ) j faX f Aa c fa e

Sada emo raunski dokazati ovu tvrdnju

22

2 2 4

00

22 2 2 2

( ) 12 2

2sin(2 ) 2 sin (2 )

2 2

aa

j ft j ft j fa

j faj fa j fa j fa j fa

A AX f Ae dt e e

j f j f

A Aaee e e fa Aa c fa e

j f fa

.

Konvolucija Furijeove transformacije

Konvolucija Furijeove transformacije definie da je konvolucija u vremenskom domenu jednaka

mnoenju u frekvencijskom domenu.

( * ) ( ) ( )X f y X f Y f

Primer 8: Odrediti spektar aperiodinog trougaonog impulsa koji je dat sledeim izrazom

1 , 1( )

0,

t tf t

ostalo

0 1 0 0 1 1

2 2 2 2 2 2

1 0 1 1 0 0

0 10 1

2 2

2 2 2 21 01 0

22 2

( ) (1 ) (1 ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 24 4

1

4

j ft j ft j ft j ft j ft j ft

j ft j ft

j f j f

X f t e dt t e dt e dt te dt e dt t e dt

t te e

j f j f j f j ff f

e e

22 2

2 2 2 2

22 2 2 2

2

2 2

4

4sin sinsin

4

j f j f j f j f

j f j f

e e e e

f f

e e f fc f

ff

Trougaona funkcija se moe prikazati kao konvolucija dva pravougaona implusa duplo manje

irine. Koristei ovo moemo lake izraunati prethodni zadatak.

0.5

2

0.5

( ) sin ( )j ftpravougaonoX f e dt c f

2( ) ( ) ( ) sin ( )trougaoni pravougaono pravougaonoX f X f X f c f