ΠΛΗ20ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και

Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των ΤύπωνΕπαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Θεωρία

1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής

1. Εύρεση Ταυτολογικά ισοδύναµου τύπου µε δεδοµένους συνδέσµους.

2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων

1. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς

3. Πλήρη Σύνολα Συνδέσµων

Γ.Ασκήσεις

1. Ασκήσεις Κατανόησης

2. Ερωτήσεις

3. Εφαρµογές

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α� Νόµοι της Προτασιακής Λογικής� Εύρεση Ταυτολογικά Ισοδύναµου Τύπου που χρησιµοποιεί δεδοµένους

συνδέσµους

� Πλήρη Σύνολα Συνδέσµων

Επίπεδο Β

3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

Επίπεδο Β� Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων

Επίπεδο Γ� (-)

B. Θεωρία1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής

4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

Α Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ Α

Ψ Α Α Α Α

Ψ Ψ Α Α Α

B. Θεωρία1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής

5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

� Οι νόµοι της πρότασιακής λογικής είναι οι ακόλουθοι:

Όνοµα Νόµου ∆ιατύπωση

1 Αντιµεταθετικότητα

2 Προσεταιριστικότητα

3 Επιµεριστικότητα

4 ∆ιπλή Άρνηση

5 Άρνηση Συνεπαγωγής

6 De Morgan

7 Αντιθετοαναστροφή

8 Εξαγωγή

9 1ος νόµος αντικατάστασης

10 2ος νόµος αντικατάστασης

11 Αποκλεισµός Τρίτου

B. Θεωρία1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής1. Εύρεση Ταυτολογικά Ισοδύναµου Τύπου µε ∆εδοµένους Συνδέσµους

6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

� Συνήθης άσκηση: Μας δίνεται ένας τύπος και ζητείται να βρεθεί ένας ταυτολογικά ισοδύναµος τύπος που χρησιµοποιεί κάποιους συνδέσµους που µας δίνονται.

� Χρήσιµος θα φανεί ο ακόλουθος πίνακας:

Μετατροπή συνδέσµων Χρήση του νόµου Νόµος

1ος νόµος αντικατάστασης

Νόµος άρνησηςσυνεπαγωγής

Νόµοι De Morgan

2ος νόµος αντικατάστασης

B. Θεωρία1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής1. Εύρεση Ταυτολογικά Ισοδύναµου Τύπου µε ∆εδοµένους Συνδέσµους

7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

)()( 2121 pppp ∨¬→¬∧ )()( 2121 pppp ∨¬→¬∧

)()( 2121 pppp ∨¬→¬∧

)()( 2121 pppp ∨¬→→¬

)()( 2121 pppp ∨¬¬¬→→¬

)()( 2121 pppp →¬¬→→¬

)()( 2121 pppp ∨¬→¬∧

2121

)()( 2121 pppp ∨¬→¬∧¬¬

)()( 2121 pppp ∨¬→¬¬∨¬¬

)()( 2121 pppp ∨¬→∨¬¬

)()( 2121 pppp ∨¬∨∨¬¬¬

)()( 2121 pppp ∨¬∨∨¬

B. Θεωρία1. Νόµοι Προτασιακής Λογικής1. Εύρεση Ταυτολογικά Ισοδύναµου Τύπου µε ∆εδοµένους Συνδέσµους

8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

)()( 2121 pppp ∨→↔

∨→↔( )( )

( )( )( ) )()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

211221

211221

211221

211221

211221

2121

pppppp

pppppp

pppppp

pppppp

pppppp

pppp

→¬→→¬→→¬≡∨¬¬→→¬→→¬≡

∨→→¬→→¬≡∨→→¬¬∧→≡

∨→→∧→≡∨→↔

Όταν µας ζητείται να αποδείξουµε ότι µια πρόταση ισχύει για κάθε προτασιακό τύπο, εφαρµόζουµε επαγωγή στην πολυπλοκότητα (δοµή) των τύπων:• Τα βήµατα της επαγωγής στην πολυπλοκότητα είναι:

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων1. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων1. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων1. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς

12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων3. Πλήρη Σύνολα Συνδέσµων

13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

ΟΡΙΣΜΟΣ:Ένα σύνολο συνδέσµων θα λέγεται πλήρες σύνολο συνδέσµων (ή επαρκές Ένα σύνολο συνδέσµων θα λέγεται πλήρες σύνολο συνδέσµων (ή επαρκές σύνολο συνδέσµων) ανν κάθε προτασιακός τύπος µπορεί να µετατραπέι σε έναν ισοδύναµό που χρησιµοποιεί µόνο συνδέσµους από το δεδοµένο σύνολο.

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων3. Πλήρη Σύνολα Συνδέσµων

14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

Για να δείξω ότι ένα σύνολο συνδέσµων είναι πλήρες κάνω επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων:

B. Θεωρία2. Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων3. Πλήρη Σύνολα Συνδέσµων

15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

Για να δείξω ότι ένα σύνολο συνδέσµων ∆ΕΝ είναι πλήρες κατασκευάζω έναν τύπο που δεν µπορεί να εκφραστεί χρησιµοποιώντας τους συνδέσµους του συνόλου.

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 1

16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 2

17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

∆. ΑσκήσειςΕρωτήσεις 1

18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1

19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

Έστω m(φ) είναι το πλήθος των εµφανίσεων µεταβλητών στον τύπο φ και n(φ) το πλήθος των εµφανίσεων διµελών συνδέσµων στον τύπο φ.∆είξτε ότι για κάθε προτασιακό τύπο φ ισχύει: m(φ)=n(φ)+1.

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 2

20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 3

21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 4

22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.3: Νόµοι Προτασιακής Λογικής και Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα