ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

7
20 4: 4.3: ! "#$ ! ! " ! # $% %&! " ( $% %&! # )( $% %&! ! * ) ’ ( ! " + ,-% ./+ ! " + 0)% ,%!! " 1 # 1() . %&’ ( ! &&) * (+, ,! +, -+, #$, $-) !: ! !: ! .$’ &&) / ! &&) / !: 01* &&) !: (*$ ! B. 1. + ,! + 0 1. + 0 !

Upload: dimitris-psounis

Post on 25-Jan-2017

1.275 views

Category:

Education


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 4:���� ��������

������ 4.3:

����������� ��� ��������� ������������ ��� ��������� �

���!���� " #$��

����������������������� ��� �

�������

�� ������������� ����������������������� !�

�� ��������������� !�

"� ��������������������� !�

#� �$%�����%�& �!��

�� '�����

"� ��(��������$%�����%�& �!��

#� �)(�����$%�����%�& �!��

����������� ��������������������������������� �!��������

#� �)(�����$%�����%�& �!��

*� �����)���'�������(� ���������������� !�

"� +��� ������,��� -%

�� ./+��� ��������� !�

"� +��� ����������

���0��)%���������

����������

�� ��������, %�!�!

"� 1������

#� 1 ���()

�. %� &'� � ( ���!��� �

�&�&�) �

� �* � ����� � (��+ � ����� , �,!��� ��+ � ����� , �-+��������� , �#$ ,

�$�-��������)

� ���!����: ����!����

� ���!����: ���!���� .���$'����

�&�&�) /

����������� ��������������������������������� �!��������

�&�&�) /

� ���!����: �0��� 1*�

�&�&�)

� ���!����: �(�*$�� ���!����

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���1. ��+ � ����� ��0���

����������� ��������������������������������� �!��������

Page 2: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���1. ��+ � ����� ��0���

"���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!

2�����: � �� �&' �� &������� 1��0!���� ��$�� )�+ � ������;

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���2. �,!��� ��+ � ����� ��0���

)���������� ��������������������������������� �!��������

����)��1��: � G1 ��$�� � .3,3. � G2 ��$�� � K2,4

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���2. �,!��� ��+ � ����� ��0���

*���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!

2�����: � �� �&' �� &������� 1��0!���� ��$�� &,!�� )�+ � ������;

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (1. �����'�)

+���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!

�(��������: �� $� �������(�� (�� *$� �#$ , �$�-�������� �&�,*1 (�� � �(0*� & ( )�$

����)��1��

�(��������: �� $� �������(�� (�� *$� �#$ , �$�-�������� �&�,*1 (�� � �(0*� & ( )�$

�($)* $��� �� ���! �� ��+��' 1��0���. 3$� 1��0��� *+�� & ,,� �#$ ,� �$�-��������.

Page 3: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (2. ��1��� ���' %#$ , �$�-��������)

,���������� ��������������������������������� �!��������

3$� �#$ , �$�-�������� & ( )�$ �& ��� $� �&�(-���� &�����*�� (&� ��*� $��� � (

��'�� ��� � �(0!) ,*1���� ���������� ����� ��� ����� �.

• �$��'���� � *$$ �� � ( «��1��� ��� #» ��$�� ���� ) �!� & ( �$ ��$ �&�(-!� (��,

+�$�� ��$ �)�'���� ���$ & �� �$�0*�����

����)��1���� ��1��� ���4$ %($',�$

����������� ����������������������

����������� �+� ��1��� ���' (�&�(-�$���� �� �� v1) �+� ��1��� ���' (�&�(-�$����

�� �� v2)

�����������

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (3. �*1��� %#$ , �$�-��������)

#����������� ��������������������������������� �!��������

� ��1�,#��� (�� &,������� ) ��1��� ���' �#$ , �$�-�������� ��,����� �������

����� ��� ����� �.

����)��1����

�������

��1��� ���� �,,� '+� �*1����

• 3$� 1��0��� �& ��� $� *+�� & ,,� �*1���� �#$ ,� �$�-��������.

• �.+. � .n *+�� n �*1���� �#$ ,� �$�-�������� (���� � �(0! ��$�� *$� ��1��� ���' ���

�*1��� �#$ , �$�-��������)

• � &�'5,��� �#����� � ( ��1��� ( �($', ( �$�-�������� �� *$�$ �(+�� 1��0

��$�� & ,# )#�� , &�'5,��� (NP-Complete, 5,. ���30)

B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���4. ��'���� � ����� � 1�� ��+ � ������ ��0!����

##���������� ��������������������������������� �!��������

/’ �����'� ��+ � ����� ( ��0!��� �

3$� 1��0��� ��,����� ������������ �$ ��� �'$ �$ �� ������� ��� �� ���� ��� � ��

�� ���� ��� ����� �.

���1���� �� *$� 1��0��� & ( ��$�� )�+ � ����� �� ����)�� ��$ � �(04$ V1 ��� V2 ��� & ��

)������6 $��� � � �(0*� � ( V ��$�� �#$ ,� �$�-�������� (�0 ( � � �(0*� ���� �($', ( )�$

�($)* $��� �� ���!:

’ �����'� ��+ � ����� ( ��0!��� �

3$� 1��0��� ��$�� ������������ �$ ��� �'$ �$ ��� !������� ������ !������

�"���� (1�� ��$ �&')��-� 5,*&� �0��� 1! 3)

�($)* $��� �� ���!:

B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���

#����������� ��������������������������������� �!��������

����)��1����:

2-+��������� � 3-+��������� � 2-+��������� �

Page 4: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���

#����������� ��������������������������������� �!��������

• 3$�� *1�(� � +��������'� )�$ �&����� � $ +��������' ��$ � �(04$ �� � �,�+��� )($��'

&,!� � +�����4$.

• 3��� �$ *$� 1��0��� ��$�� &.+. 2-+��������� , �'�� �� ��$�� ��� 3-+��������� ��� 4 –

+��������� , … ��� n-+��������� (5,*&� &���)��1��)

• �$���# $��� *$� k-+��������� 1��0��� �� ��$�� ���:

• (k+1)-+���������

• (k+2)-+���������

����)��1����:

2-+��������� �

• (k+2)-+���������

• ….

• n-+���������

3-+��������� � 4-+��������� � 5-+��������� � 6-+��������� �

B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���

#����������� ��������������������������������� �!��������

• � 2-+��������� 1��0��� ,*1���� ��� 2-���*� ()�'�� )�) �*$ ( �$'� 2-+�������� # �& � #��

$� +���� (�� ��� � �(0*� �� )# �#$ ,� �$�-�������� & ( � � �(0*� ���� �($', ( ��$��

+��������*$�� �� � �)� +�4��.

• � k-+��������� 1��0��� ,*1���� ��� k-���*� ()�'�� )�) �*$ ( �$'� k-+�������� # �& � #��

$� +���� (�� ��� � �(0*� �� k �#$ ,� �$�-�������� & ( � � �(0*� ���� �($', ( ��$��

+��������*$�� �� � �)� +�4��.

2-+��������� � ��� ��� )����!�

����)��1����

3-+��������� � ��� ��� ������!�

B. �����2. ��������� � . �(04$3. ��������'� �����'�

#"���������� ��������������������������������� �!��������

� &�'5,��� ��� �#����� � ( +������� # ����� # �$'� 1��0!��� � ��$�� (& , 1������ )#�� ,

&�'5,��� ()�$ (&��+�� �& ) ���'� ��'& � 1�� $� 5���� (�� 1�!1 �� � $ +�������' �����' �$'�

����)��1����:

&�'5,��� ()�$ (&��+�� �& ) ���'� ��'& � 1�� $� 5���� (�� 1�!1 �� � $ +�������' �����' �$'�

1��0!��� � – � &�'5,��� ��$�� NP-Complete – 5,. ���30).

. �(�*$�� ���!����

������ 1

#)���������� ��������������������������������� �!�������� 06/

3��� �&,' �� ����(�($'��$ 1��0��� G(V, E). %(�5 ,�6 (�� �� �(G) � $ +�������' �����' � ( G, ����(�5 ,�6 (�� �� Gu � 1��0��� & ( �& �*$�� �$ �0���*� (�� �&' � G ��$ � �(0! u ��� ',�� ��� ���*� & (&� �&�&� ($ �� �(�!.

�) �� �������(����� 1��0��� G(V, E) �*� � 4��� 1�� ���� � �(0! u ∈ V, �(Gu) < �(G).

5) �� )��-��� '�� ���� �� �($)�'��$ 1��0��� G *+�� � �(0! u �*� �� 4��� �(Gu) = �(G).

1) �� )��-��� '�� �$ 1�� ���� � �(0! u �$'� 1��0!��� � G(V, E), �(Gu) < �(G), �'�� � 1��0��� G ��$���($)�'��$ .

������%�������%�

�) 3$� �*� � 1��0��� ��$�� � G=.3 (���1�$ ). �� ���� � �(0! � ( u � 1��0��� Gu �& ��,����� �&' )# � �(0*� ��� ��$ ���! & ( ��� �($)*��. �� 0�$4� +�������'� �����'� � ( G ��$�� 3, �$4 +�������'������'� 1�� ���� Gu ��$�� 2 ��� � �+*�� �(Gu) < �(G) ��+#��.

5) ��$ +�������'� �����'� � ( G ��$�� n �'�� (&��+�� �($�����! �($���4�� & ( *+�� �(�'$ +�������'�����'. ���4$��� , �&'$ �� u ��� � �(0! & ( )�$ �$!��� �’ �(�!$ �� �($�����! �($���4��, � �0�����! ���(��6� �� ��� &� �&�&� (��� ���*�) )�$ �� �&������� � +�������' �����'. %($�&4� �� ��+#�� �(Gu) = �(G).

1) �(�������� &�'������ 1�� �� )#$��� &�'���� ��� 5) (�$����� �$����� 0�). � ��+(����'� ��$�� �-!�:

3��� '�� 1�� ���� � �(0! u �$'� 1��0!��� � G(V, E), �(Gu) < �(G). �'�� � 1��0��� G ��$�� �($)�'��$ )�'���$ )�$ !��$, �#�0�$� �� � 5) �� (&!�+� � �(0! u �*� �� 4��� �(Gu) = �(G), �� & .

Page 5: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. �(�*$�� ���!����

������ 2

#*���������� ��������������������������������� �!�������� 07/

�) �� )��-��� '�� ���� )����*� 1��0��� �� n � �(0*� &���*+�� �#$ , �$�-�������� �� � (,�+��� $ n / 2

� �(0*�.

5) 3��� G �&,' �� ����(�($'��$ 1��0��� �� n � �(0*� � & ��� �& � #$ $� +�������� #$ �� k +�4����

4��� ����� ���! $� ��$ *+�� ���� � ( �)� ( +�4��� �. �� )��-��� '�� � G &���*+�� �#$ , �$�-�������� ��

� (,�+��� $ n / k � �(0*�.

#$�%

�) .��� )*$�� ��$�� )����*� ()�+ � ����� ) 1��0���. %($�&4� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � (�) .��� )*$�� ��$�� )����*� ()�+ � ����� ) 1��0���. %($�&4� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � (

�� )# �#$ ,� �$�-��������. � ��1�,#��� �&' �(�� &���,��5�$�� � (,�+��� $

n / 2 � �(0*�.

5) ��� #�� *$� +��������' ��$ � �(04$ � ( G �� k +�4���� 4��� ����� ���! $� ��$ *+�� ���� � (

�)� ( +�4��� �. ������� #�� '�� � � �(0*� � ( �)� ( +�4��� � �& ��, #$ *$� �#$ , �$�-��������.

�& �*$�� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � ( G �� k �#$ ,� �$�-��������. � ��1�,#��� �&'

�(�� &���,��5�$�� � (,�+��� $ n / k � �(0*�. ���1����, �$ ���� �#$ , �$�-�������� &�����+� ,�1'�����

�&' n / k � �(0*� �� ��+��� �($ ,��� ,�1'����� �&' k (n / k) = n � �(0*�, �� & .

. �(�*$�� ���!����

������ 3

#+���������� ��������������������������������� �!��������

3��� G *$� (�&,' �� ����(�($'��$ ) 1��0��� �� +�������' �����' k 7 2. �� �0������ � G,

�������(�6 (�� *$� $* 1��0��� G' &� ��*� $��� ��� $*� � �(0! u, ��$ & �� �($)* (�� �� k-

1 �(������� �&�,�1�*$�� � �(0*� � ( G.

�) �� )��-��� '�� +�������'� �����'� � ( G' ��$�� k.

5) ������ & �4$��� ���������! �&�1�1! �� $ �����' ��$ � �(04$, $� )��-��� '�� 1�� ���� k 7 1,

���� (�&,' �� ����(�($'��$ ) 1��0��� G �� � (,�+��� $ k+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���'

� �(0!� k, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1.

10/

� �(0!� k, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1.

#$�%:

�) ��� #�� *$�$ +��������' � ( G �� k +�4����. �������6 (�� �� $*� � �(0! u �� *$� +�4��

& ( ��$�� )��0 �����' �&' �(�� ��$ k – 1 � �(04$ �� ��� & ��� � u �($)*���� �� G'. 3���

*+ (�� *$�$ +��������' �� k +�4����. 2�� +�������'� �����'� � ( G' ��$�� ����'��� � ! �� �

� ( k. ��$ � $* 1��0��� G' �& � #�� $� +���������� �� ,�1'���� �&' k +�4����, �'�� ��� �

(& 1��0��� G �� �& � #�� $� +���������� �� ,�1'���� �&' k +�4����, �� & . 2��,

+�������'� �����'� � ( G' ��$�� �� � �� k.

. �(�*$�� ���!����

������ 3

#,���������� ��������������������������������� �!��������

5) ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' k 7 1. �� �&�1�1! �� &,!� � ��$ � �(04$ � (

1��0!��� � �� )��- (�� ��$ �,�0�� ��+(�'���� &�'����: «1�� ���� k 7 1, ���� (�&,' ��

����(�($'��$ ) 1��0��� G �� � (,�+��� $ k+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���' � �(0!� � & ,# k,

*+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1».

���� ��� ���� �: � 6�� #��$ ��+#�� 1�� 1��0��� k+1 � �(04$, ���4� �& � #�� $�

+������� (�� ���� � �(0! �� )��0 �����' +�4��.

������ ������: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' n 7 k+1, ��� (& �*� (��

10/

������ ������: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' n 7 k+1, ��� (& �*� (��

�&�1�1��� '�� ���� 1��0��� �� n � �(0*� ��� �*1��� 5���' � �(0!� � & ,# k, *+�� +�������'

�����' ����'��� ! �� � ( k+1.

������� � �: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 1��0��� G �� n+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���'

� �(0!� k. 3��� u ��� & ��)!& �� � �(0! � ( G, ��� *��� Gu � 1��0��� & ( &� �#&��� �&'

��$ �0������ ��� � �(0!� u ��� ',�$ ��$ ���4$ & ( &� �&�&� ($ �� �(�!. � Gu *+�� n

� �(0*�, ��� �*1��� 5���' � �(0!� ����'��� ! �� � ( k. 2��, �#�0�$� �� ��$ �&�1�1��!

(&'����, � � �(0*� � ( Gu �& � #$ $� +�������� #$ �� k+1 +�4���� � & ,#. � ��+��'

1��0��� G &� �#&��� �&' � Gu �� ��$ &� ��!�� ��� u, � & �� �($)*���� �� k � & ,# � �(0*�

� ( Gu. %($�&4�, ,'1� � ( (�), � G, '&�� ��� � Gu, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � (

k+1.

. ���!����2����� .���$'���� 1

������������ ��������������������������������� �!��������

��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Kn (�,��� ��-�� n). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���!

� ( n:

1. ��$�� )�+ � ����� ;

2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;

3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;

Page 6: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. ���!����2����� .���$'���� 2

�#���������� ��������������������������������� �!��������

��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Cn (�#�, � ��-�� n) 1�� n73 & # �& ��,����� �&'

n � �(0*� ���� �!� � �$'� �&, # �#�, (. �-������ �$�, 1� �� ��$ ���! � ( n:

1. ��$�� )�+ � ����� ;

2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;

3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;

. ���!����2����� .���$'���� 3

������������ ��������������������������������� �!��������

��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Wn (�� +'� ��-�� n) 1�� n74 & ( �& ��,����� �&'

��� � �(0! (�*$�� ) & ( �($)*���� �� ���! (����$�) �� ',�� ��� (&', �&�� � �(0*� �

& ��� ��� )��� (�1 #$ *$� �&,' �#�, (5,*&� �+!��). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���!

� ( n:

1. ��$�� )�+ � ����� ;

2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;

3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;

. ���!����2����� .���$'���� 4

������������ ��������������������������������� �!��������

��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Pn (� $ &��� �!� (� n) �� � 1��0��� & ( ��$��

*$� �&,' � $ &��� �!� (� n (5,*&� �+!��). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���! � ( n:

1. ��$�� )�+ � ����� ;

2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;

3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;

. ���!��������!���� 1

������������ ��������������������������������� �!��������

Page 7: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. ���!��������!���� 2

�"���������� ��������������������������������� �!��������

� �� �&' ��� &������� &� ������ & ( �0 � #$ �&,� �� ����(�($'��$� 1��0!����

��$�� �,�����;

1. .��� )�+ � ����� 1��0��� ��$�� �($)�'��$

2. 8&��+�� 1��0��� & ( ��$�� &,!��� ��� &,!��� )�+ � ����� .2. 8&��+�� 1��0��� & ( ��$�� &,!��� ��� &,!��� )�+ � ����� .

3. �$ *$� 1��0��� *+�� 5 � �(0*� ��� ��$�� &,!��� )�+ � ����� , �'�� *+�� � & ,# 6

���*�.

4. 8&��+�� &,!��� )�+ � ����� 1��0��� & ( &���*+�� 1*0(��.

. ���!�����0��� 1! 1

�)���������� ��������������������������������� �!��������

. ���!�����0��� 1! 2

�*���������� ��������������������������������� �!��������

�� )��-��� '�� �� ���� �&,' �� ����(�($'��$ )�+ � ����� 1��0��� �� n � �(0*�, �

��� ���� � ( �*1��� ( 5��� # � �(0!� ��� � ( �,�+��� ( 5��� # � �(0!� ��$��

����'��� ! �� � ( n.

. ���!�����0��� 1! 3

�+���������� ��������������������������������� �!��������

�� )��-��� '�� *$� �&,' 1��0��� ��$�� )�+ � ����� �$ ��� �'$ �$ )�$ &���*+�� �#�, (�

&����� # �!� (�.