ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
TRANSCRIPT
���20
������� 4:���� ��������
������ 4.3:
����������� ��� ��������� ������������ ��� ��������� �
���!���� " #$��
����������������������� ��� �
�������
�� ������������� ����������������������� !�
�� ��������������� !�
"� ��������������������� !�
#� �$%�����%�& �!��
�� '�����
"� ��(��������$%�����%�& �!��
#� �)(�����$%�����%�& �!��
����������� ��������������������������������� �!��������
#� �)(�����$%�����%�& �!��
*� �����)���'�������(� ���������������� !�
"� +��� ������,��� -%
�� ./+��� ��������� !�
"� +��� ����������
���0��)%���������
����������
�� ��������, %�!�!
"� 1������
#� 1 ���()
�. %� &'� � ( ���!��� �
�&�&�) �
� �* � ����� � (��+ � ����� , �,!��� ��+ � ����� , �-+��������� , �#$ ,
�$�-��������)
� ���!����: ����!����
� ���!����: ���!���� .���$'����
�&�&�) /
����������� ��������������������������������� �!��������
�&�&�) /
� ���!����: �0��� 1*�
�&�&�)
� ���!����: �(�*$�� ���!����
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���1. ��+ � ����� ��0���
����������� ��������������������������������� �!��������
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���1. ��+ � ����� ��0���
"���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!
2�����: � �� �&' �� &������� 1��0!���� ��$�� )�+ � ������;
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���2. �,!��� ��+ � ����� ��0���
)���������� ��������������������������������� �!��������
����)��1��: � G1 ��$�� � .3,3. � G2 ��$�� � K2,4
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���2. �,!��� ��+ � ����� ��0���
*���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!
2�����: � �� �&' �� &������� 1��0!���� ��$�� &,!�� )�+ � ������;
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (1. �����'�)
+���������� �����������������#�$������%������&�!����'��(����!
�(��������: �� $� �������(�� (�� *$� �#$ , �$�-�������� �&�,*1 (�� � �(0*� & ( )�$
����)��1��
�(��������: �� $� �������(�� (�� *$� �#$ , �$�-�������� �&�,*1 (�� � �(0*� & ( )�$
�($)* $��� �� ���! �� ��+��' 1��0���. 3$� 1��0��� *+�� & ,,� �#$ ,� �$�-��������.
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (2. ��1��� ���' %#$ , �$�-��������)
,���������� ��������������������������������� �!��������
3$� �#$ , �$�-�������� & ( )�$ �& ��� $� �&�(-���� &�����*�� (&� ��*� $��� � (
��'�� ��� � �(0!) ,*1���� ���������� ����� ��� ����� �.
• �$��'���� � *$$ �� � ( «��1��� ��� #» ��$�� ���� ) �!� & ( �$ ��$ �&�(-!� (��,
+�$�� ��$ �)�'���� ���$ & �� �$�0*�����
����)��1���� ��1��� ���4$ %($',�$
����������� ����������������������
����������� �+� ��1��� ���' (�&�(-�$���� �� �� v1) �+� ��1��� ���' (�&�(-�$����
�� �� v2)
�����������
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���3. %#$ , �$�-�������� (3. �*1��� %#$ , �$�-��������)
#����������� ��������������������������������� �!��������
� ��1�,#��� (�� &,������� ) ��1��� ���' �#$ , �$�-�������� ��,����� �������
����� ��� ����� �.
����)��1����
�������
��1��� ���� �,,� '+� �*1����
• 3$� 1��0��� �& ��� $� *+�� & ,,� �*1���� �#$ ,� �$�-��������.
• �.+. � .n *+�� n �*1���� �#$ ,� �$�-�������� (���� � �(0! ��$�� *$� ��1��� ���' ���
�*1��� �#$ , �$�-��������)
• � &�'5,��� �#����� � ( ��1��� ( �($', ( �$�-�������� �� *$�$ �(+�� 1��0
��$�� & ,# )#�� , &�'5,��� (NP-Complete, 5,. ���30)
B. �����1. ��+ � ����� ��� �,!��� ��+ � ����� ��0���4. ��'���� � ����� � 1�� ��+ � ������ ��0!����
##���������� ��������������������������������� �!��������
/’ �����'� ��+ � ����� ( ��0!��� �
3$� 1��0��� ��,����� ������������ �$ ��� �'$ �$ �� ������� ��� �� ���� ��� � ��
�� ���� ��� ����� �.
���1���� �� *$� 1��0��� & ( ��$�� )�+ � ����� �� ����)�� ��$ � �(04$ V1 ��� V2 ��� & ��
)������6 $��� � � �(0*� � ( V ��$�� �#$ ,� �$�-�������� (�0 ( � � �(0*� ���� �($', ( )�$
�($)* $��� �� ���!:
’ �����'� ��+ � ����� ( ��0!��� �
3$� 1��0��� ��$�� ������������ �$ ��� �'$ �$ ��� !������� ������ !������
�"���� (1�� ��$ �&')��-� 5,*&� �0��� 1! 3)
�($)* $��� �� ���!:
B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���
#����������� ��������������������������������� �!��������
����)��1����:
2-+��������� � 3-+��������� � 2-+��������� �
B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���
#����������� ��������������������������������� �!��������
• 3$�� *1�(� � +��������'� )�$ �&����� � $ +��������' ��$ � �(04$ �� � �,�+��� )($��'
&,!� � +�����4$.
• 3��� �$ *$� 1��0��� ��$�� &.+. 2-+��������� , �'�� �� ��$�� ��� 3-+��������� ��� 4 –
+��������� , … ��� n-+��������� (5,*&� &���)��1��)
• �$���# $��� *$� k-+��������� 1��0��� �� ��$�� ���:
• (k+1)-+���������
• (k+2)-+���������
����)��1����:
2-+��������� �
• (k+2)-+���������
• ….
• n-+���������
3-+��������� � 4-+��������� � 5-+��������� � 6-+��������� �
B. �����2. ��������� � . �(04$1. k-���������� (! k-���*�) ��0���
#����������� ��������������������������������� �!��������
• � 2-+��������� 1��0��� ,*1���� ��� 2-���*� ()�'�� )�) �*$ ( �$'� 2-+�������� # �& � #��
$� +���� (�� ��� � �(0*� �� )# �#$ ,� �$�-�������� & ( � � �(0*� ���� �($', ( ��$��
+��������*$�� �� � �)� +�4��.
• � k-+��������� 1��0��� ,*1���� ��� k-���*� ()�'�� )�) �*$ ( �$'� k-+�������� # �& � #��
$� +���� (�� ��� � �(0*� �� k �#$ ,� �$�-�������� & ( � � �(0*� ���� �($', ( ��$��
+��������*$�� �� � �)� +�4��.
2-+��������� � ��� ��� )����!�
����)��1����
3-+��������� � ��� ��� ������!�
B. �����2. ��������� � . �(04$3. ��������'� �����'�
#"���������� ��������������������������������� �!��������
� &�'5,��� ��� �#����� � ( +������� # ����� # �$'� 1��0!��� � ��$�� (& , 1������ )#�� ,
&�'5,��� ()�$ (&��+�� �& ) ���'� ��'& � 1�� $� 5���� (�� 1�!1 �� � $ +�������' �����' �$'�
����)��1����:
&�'5,��� ()�$ (&��+�� �& ) ���'� ��'& � 1�� $� 5���� (�� 1�!1 �� � $ +�������' �����' �$'�
1��0!��� � – � &�'5,��� ��$�� NP-Complete – 5,. ���30).
. �(�*$�� ���!����
������ 1
#)���������� ��������������������������������� �!�������� 06/
3��� �&,' �� ����(�($'��$ 1��0��� G(V, E). %(�5 ,�6 (�� �� �(G) � $ +�������' �����' � ( G, ����(�5 ,�6 (�� �� Gu � 1��0��� & ( �& �*$�� �$ �0���*� (�� �&' � G ��$ � �(0! u ��� ',�� ��� ���*� & (&� �&�&� ($ �� �(�!.
�) �� �������(����� 1��0��� G(V, E) �*� � 4��� 1�� ���� � �(0! u ∈ V, �(Gu) < �(G).
5) �� )��-��� '�� ���� �� �($)�'��$ 1��0��� G *+�� � �(0! u �*� �� 4��� �(Gu) = �(G).
1) �� )��-��� '�� �$ 1�� ���� � �(0! u �$'� 1��0!��� � G(V, E), �(Gu) < �(G), �'�� � 1��0��� G ��$���($)�'��$ .
������%�������%�
�) 3$� �*� � 1��0��� ��$�� � G=.3 (���1�$ ). �� ���� � �(0! � ( u � 1��0��� Gu �& ��,����� �&' )# � �(0*� ��� ��$ ���! & ( ��� �($)*��. �� 0�$4� +�������'� �����'� � ( G ��$�� 3, �$4 +�������'������'� 1�� ���� Gu ��$�� 2 ��� � �+*�� �(Gu) < �(G) ��+#��.
5) ��$ +�������'� �����'� � ( G ��$�� n �'�� (&��+�� �($�����! �($���4�� & ( *+�� �(�'$ +�������'�����'. ���4$��� , �&'$ �� u ��� � �(0! & ( )�$ �$!��� �’ �(�!$ �� �($�����! �($���4��, � �0�����! ���(��6� �� ��� &� �&�&� (��� ���*�) )�$ �� �&������� � +�������' �����'. %($�&4� �� ��+#�� �(Gu) = �(G).
1) �(�������� &�'������ 1�� �� )#$��� &�'���� ��� 5) (�$����� �$����� 0�). � ��+(����'� ��$�� �-!�:
3��� '�� 1�� ���� � �(0! u �$'� 1��0!��� � G(V, E), �(Gu) < �(G). �'�� � 1��0��� G ��$�� �($)�'��$ )�'���$ )�$ !��$, �#�0�$� �� � 5) �� (&!�+� � �(0! u �*� �� 4��� �(Gu) = �(G), �� & .
. �(�*$�� ���!����
������ 2
#*���������� ��������������������������������� �!�������� 07/
�) �� )��-��� '�� ���� )����*� 1��0��� �� n � �(0*� &���*+�� �#$ , �$�-�������� �� � (,�+��� $ n / 2
� �(0*�.
5) 3��� G �&,' �� ����(�($'��$ 1��0��� �� n � �(0*� � & ��� �& � #$ $� +�������� #$ �� k +�4����
4��� ����� ���! $� ��$ *+�� ���� � ( �)� ( +�4��� �. �� )��-��� '�� � G &���*+�� �#$ , �$�-�������� ��
� (,�+��� $ n / k � �(0*�.
#$�%
�) .��� )*$�� ��$�� )����*� ()�+ � ����� ) 1��0���. %($�&4� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � (�) .��� )*$�� ��$�� )����*� ()�+ � ����� ) 1��0���. %($�&4� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � (
�� )# �#$ ,� �$�-��������. � ��1�,#��� �&' �(�� &���,��5�$�� � (,�+��� $
n / 2 � �(0*�.
5) ��� #�� *$� +��������' ��$ � �(04$ � ( G �� k +�4���� 4��� ����� ���! $� ��$ *+�� ���� � (
�)� ( +�4��� �. ������� #�� '�� � � �(0*� � ( �)� ( +�4��� � �& ��, #$ *$� �#$ , �$�-��������.
�& �*$�� �& � #�� $� )������� (�� ��� � �(0*� � ( G �� k �#$ ,� �$�-��������. � ��1�,#��� �&'
�(�� &���,��5�$�� � (,�+��� $ n / k � �(0*�. ���1����, �$ ���� �#$ , �$�-�������� &�����+� ,�1'�����
�&' n / k � �(0*� �� ��+��� �($ ,��� ,�1'����� �&' k (n / k) = n � �(0*�, �� & .
. �(�*$�� ���!����
������ 3
#+���������� ��������������������������������� �!��������
3��� G *$� (�&,' �� ����(�($'��$ ) 1��0��� �� +�������' �����' k 7 2. �� �0������ � G,
�������(�6 (�� *$� $* 1��0��� G' &� ��*� $��� ��� $*� � �(0! u, ��$ & �� �($)* (�� �� k-
1 �(������� �&�,�1�*$�� � �(0*� � ( G.
�) �� )��-��� '�� +�������'� �����'� � ( G' ��$�� k.
5) ������ & �4$��� ���������! �&�1�1! �� $ �����' ��$ � �(04$, $� )��-��� '�� 1�� ���� k 7 1,
���� (�&,' �� ����(�($'��$ ) 1��0��� G �� � (,�+��� $ k+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���'
� �(0!� k, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1.
10/
� �(0!� k, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1.
#$�%:
�) ��� #�� *$�$ +��������' � ( G �� k +�4����. �������6 (�� �� $*� � �(0! u �� *$� +�4��
& ( ��$�� )��0 �����' �&' �(�� ��$ k – 1 � �(04$ �� ��� & ��� � u �($)*���� �� G'. 3���
*+ (�� *$�$ +��������' �� k +�4����. 2�� +�������'� �����'� � ( G' ��$�� ����'��� � ! �� �
� ( k. ��$ � $* 1��0��� G' �& � #�� $� +���������� �� ,�1'���� �&' k +�4����, �'�� ��� �
(& 1��0��� G �� �& � #�� $� +���������� �� ,�1'���� �&' k +�4����, �� & . 2��,
+�������'� �����'� � ( G' ��$�� �� � �� k.
. �(�*$�� ���!����
������ 3
#,���������� ��������������������������������� �!��������
5) ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' k 7 1. �� �&�1�1! �� &,!� � ��$ � �(04$ � (
1��0!��� � �� )��- (�� ��$ �,�0�� ��+(�'���� &�'����: «1�� ���� k 7 1, ���� (�&,' ��
����(�($'��$ ) 1��0��� G �� � (,�+��� $ k+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���' � �(0!� � & ,# k,
*+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � ( k+1».
���� ��� ���� �: � 6�� #��$ ��+#�� 1�� 1��0��� k+1 � �(04$, ���4� �& � #�� $�
+������� (�� ���� � �(0! �� )��0 �����' +�4��.
������ ������: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' n 7 k+1, ��� (& �*� (��
10/
������ ������: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 0(���' �����' n 7 k+1, ��� (& �*� (��
�&�1�1��� '�� ���� 1��0��� �� n � �(0*� ��� �*1��� 5���' � �(0!� � & ,# k, *+�� +�������'
�����' ����'��� ! �� � ( k+1.
������� � �: ��� #�� �(������� �&�,�1�*$ 1��0��� G �� n+1 � �(0*� ��� �*1��� 5���'
� �(0!� k. 3��� u ��� & ��)!& �� � �(0! � ( G, ��� *��� Gu � 1��0��� & ( &� �#&��� �&'
��$ �0������ ��� � �(0!� u ��� ',�$ ��$ ���4$ & ( &� �&�&� ($ �� �(�!. � Gu *+�� n
� �(0*�, ��� �*1��� 5���' � �(0!� ����'��� ! �� � ( k. 2��, �#�0�$� �� ��$ �&�1�1��!
(&'����, � � �(0*� � ( Gu �& � #$ $� +�������� #$ �� k+1 +�4���� � & ,#. � ��+��'
1��0��� G &� �#&��� �&' � Gu �� ��$ &� ��!�� ��� u, � & �� �($)*���� �� k � & ,# � �(0*�
� ( Gu. %($�&4�, ,'1� � ( (�), � G, '&�� ��� � Gu, *+�� +�������' �����' ����'��� ! �� � (
k+1.
. ���!����2����� .���$'���� 1
������������ ��������������������������������� �!��������
��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Kn (�,��� ��-�� n). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���!
� ( n:
1. ��$�� )�+ � ����� ;
2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;
3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;
. ���!����2����� .���$'���� 2
�#���������� ��������������������������������� �!��������
��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Cn (�#�, � ��-�� n) 1�� n73 & # �& ��,����� �&'
n � �(0*� ���� �!� � �$'� �&, # �#�, (. �-������ �$�, 1� �� ��$ ���! � ( n:
1. ��$�� )�+ � ����� ;
2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;
3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;
. ���!����2����� .���$'���� 3
������������ ��������������������������������� �!��������
��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Wn (�� +'� ��-�� n) 1�� n74 & ( �& ��,����� �&'
��� � �(0! (�*$�� ) & ( �($)*���� �� ���! (����$�) �� ',�� ��� (&', �&�� � �(0*� �
& ��� ��� )��� (�1 #$ *$� �&,' �#�, (5,*&� �+!��). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���!
� ( n:
1. ��$�� )�+ � ����� ;
2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;
3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;
. ���!����2����� .���$'���� 4
������������ ��������������������������������� �!��������
��� #�� ��$ �� 1*$��� 1��0�����$ Pn (� $ &��� �!� (� n) �� � 1��0��� & ( ��$��
*$� �&,' � $ &��� �!� (� n (5,*&� �+!��). �-������ �$�, 1� �� ��$ ���! � ( n:
1. ��$�� )�+ � ����� ;
2. �'��� ��$�� � � �(0*� � ( �*1��� ( �($', ( �$�-��������;
3. � � � ��$�� +�������'� � ( �����'�;
. ���!��������!���� 1
������������ ��������������������������������� �!��������
. ���!��������!���� 2
�"���������� ��������������������������������� �!��������
� �� �&' ��� &������� &� ������ & ( �0 � #$ �&,� �� ����(�($'��$� 1��0!����
��$�� �,�����;
1. .��� )�+ � ����� 1��0��� ��$�� �($)�'��$
2. 8&��+�� 1��0��� & ( ��$�� &,!��� ��� &,!��� )�+ � ����� .2. 8&��+�� 1��0��� & ( ��$�� &,!��� ��� &,!��� )�+ � ����� .
3. �$ *$� 1��0��� *+�� 5 � �(0*� ��� ��$�� &,!��� )�+ � ����� , �'�� *+�� � & ,# 6
���*�.
4. 8&��+�� &,!��� )�+ � ����� 1��0��� & ( &���*+�� 1*0(��.
. ���!�����0��� 1! 1
�)���������� ��������������������������������� �!��������
. ���!�����0��� 1! 2
�*���������� ��������������������������������� �!��������
�� )��-��� '�� �� ���� �&,' �� ����(�($'��$ )�+ � ����� 1��0��� �� n � �(0*�, �
��� ���� � ( �*1��� ( 5��� # � �(0!� ��� � ( �,�+��� ( 5��� # � �(0!� ��$��
����'��� ! �� � ( n.
. ���!�����0��� 1! 3
�+���������� ��������������������������������� �!��������
�� )��-��� '�� *$� �&,' 1��0��� ��$�� )�+ � ����� �$ ��� �'$ �$ )�$ &���*+�� �#�, (�
&����� # �!� (�.