ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

5
20 4: 4.4: Euler !" # $ %& ’ ()* ""! + ""! ! ""! *&"& # ,"! - ,./) . !"# $ "%"&’ () )*% ( Euler) **&): +*&) **&): **&) #* "%"&’ , **&): -.( " ! **&): -.( "%"&’ **&): $(& **&) B. &+% 1. Euler 0. $/ &+% -+ ! O Euler + -) * Konigsberg +)(): «+ "0 + "&%"# $ ) "&*+ "# & % "# ) 7 .(-$& "# )10 % -

Upload: dimitris-psounis

Post on 25-Jan-2017

1.920 views

Category:

Education


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 4:���� ��������

������ 4.4:

������ Euler������ Euler

�������� ��� ��

����������

������������� ��� �

�������

�� �����������

�� �!"��

#� $����%�&� ���������

'��(��)*���"��"�!

+���"��"�!

����������� ���������������������������� !

�� �"��"�!�� *�&"&

#� ,���"�!

-� ,. ���/)

�. !��"#� ��$ ���������

�"%"&'� �

� �(�) ��)*��% (������ Euler)

� �*��*&)�: ��+��*&)�

� �*��*&)�: �*��*&)� ���� #�*��

�"%"&'� ,

� �*��*&)�: �-����.(�

"���������� ���������������������������� !

� �*��*&)�: �-����.(�

�"%"&'�

� �*��*&)�: �$�( &� �*��*&)�

B. &+�%�1. ������ Euler0. � � ����$/� ��� &+�%�� ��-+

����������� ���������������������������� !

O Euler +� -�)����� *�� Konigsberg � ��+�)(��):

«�+� �"��0 � �� + �� "&�%"��# ��$ ��) � "&��*+

�"# ���& �%� �"# �)� 7 .(-$�&� ��� "#��� ���)10� �%� -���;»

Page 2: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. &+�%�1. ������ Euler0. � � ����$/� ��� &+�%�� ��-+

#���������� ���������������������������� !

� ��*�: �� �&��"�%�*� ��$ "��1������� �& .��-���

!�� �"�%� � �2��&% ( � ����� "�$ "&� �&) �"# ���& ���� ���)10� �%� -���

B. &+�%�1. ������ Euler1. ��)*�#�

$���������� ���������������������������� !

3*��*�: ��)� �"# �� "������+ .��-����� "&�)(4�$ ����� Euler;

`

B. &+�%�1. ������ Euler2. �� &0���� ��$ Euler

%���������� ���������������������������� !

&0���� Euler .)� �� �"��5� ��$ �����$ Euler:

6 � �� ���&$�$ #�& � .��-��� (4&) ����� Euler � ��) �# � � :

• �% �) *$ '&#�& � ��)

• 7�&� �) ���$-(� (4�$ ���)� 1����

!$ &"0�:

)� � '&%5+ #�) ( � .��-��� ���� ����� Euler ���&% � '&%5+ #�): )� � '&%5+ #�) ( � .��-��� ���� ����� Euler ���&% � '&%5+ #�):

• �% �) *$ '&#�& �

• 7�&� �) ���$-(� (4�$ ���)� 1���#

)� � '&%5+ #�) ( � .��-��� ��� ���� ����� Euler ���&% � '&%5+ #�):

• �%�& #�) '& &% �) *$ '&#�& �

• �%�& #�) $"��4&) ���$-� �& "&�)��# 1���#.

B. &+�%�1. ������ Euler

&���������� ���������������������������� !

�� .��-��� ��$ Konigsberg '& (4&) ����� Euler, ')#�) "&�)(4&) ���$-� �&

"&�)��# 1���#.

3�� '& �"��&% � .% &) "&�%"���� "�$ � "&� �&) �"# ���& .(-$�� ���)10�

�%� -���.

Page 3: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 1

'���������� ���������������������������� ! ---

�"�'&%5�& #�): 6 � .��-��� (4&) �� �"��) Euler �"# �%� ���$-� u *& �%� ���$-� v

(�� �"��) 4+�%� &"� ����1� #�& &� ���(� "�$ "&�)(4� ��) #�&� �) ���(� ��) #�&� �)

���$-(� ��$ .��-������) � ��) �# � � �� .��-��� &% �) *$ '&#�& � ��) �) ���$-(�

v,u &% �) �) �� �')�(� ���$-(� �& "&�)��# 1���#.

��*�:

«��» � �� .��-��� "&�)(4&) �� �"��) Euler �"# �� ���$-� u *�� ���$-� v, �#�&

�� .��-��� &% �) *$ '&#�& � ��) �) �� �')�(� ���$-(� �& "&�)��# 1���# &% �) �)

���$-(� u,v.

�"#'&)5�: � ( � .��-��� "&�)(4&) �� �"��) Euler, �#�& �� .��-��� &% �) *$ '&#�& �

(�-�� *& �$�# "&�)���1� � ��) #�&� �) ���$-(� ��$ .��-������).

���*�(��$�& �� ���� (u,v) *�� .��-��� ��) (�*) �� �� �"��) .% &��) ��&)*�#, '���'�

&% �) ( �� ������ "�$ "&� � �"# ���& �%� ���� ���)10� �%� -��� (&% �) '���'� ������

Euler). 3�� #�&� �) ���$-(� (4�$ ���)� 1���# (�"# �� �&0���� ��$ Euler). 3�� �)

�� �')�(� ���$-(� �& "&�)��# 1���# &% �) �) ���$-(� u,v

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 1

(����������� ���������������������������� ! ---

«��� ������» � �� .��-��� &% �) *$ '&#�& � ��) �) �� �')�(� ���$-(� �& "&�)��#

1���# &% �) �) ���$-(� u,v, �#�& �� .��-��� "&�)(4&) �� �"��) Euler �"# �� ���$-� u

*�� ���$-� v

�"#'&)5�: � �� .��-��� &% �) *$ '&#�& � ��) �# � �) ���$-(� u,v (4�$ "&�)��#

1���#, �#�& #�&� �) $"#��)"&� ���$-(� �� (4�$ ���)� 1���# ��) #4) ��'( (�-�� �#�&

�� .��-��� '& �� ��� *$ '&#�& ��� .��-��� '& �� ��� *$ '&#�& �

���*�(��$�& �� ���� (u,v) *�� .��-��� ��) (�*) �� �� �"��) .% &��) ��&)*�#, '���'�

&% �) ( �� ������ "�$ "&� � �"# ���& �%� ���� ���)10� �%� -��� (&% �) '���'� ������

Euler). �-�)�0 ��� �� ���� (u,v) �"# �� ����� Euler "����"�&) �� �"��) �"# ��

���$-� u *�� ���$-� v "�$ "&�)(4� ��) #�&� �) ���(� ��) #�&� �) ���$-(� ��$

.��-������.

�. �*��*&)�3*��*� ���� #�*�� 1

((���������� ���������������������������� !

�. �*��*&)�3*��*� ���� #�*�� 2

(����������� ���������������������������� !

��)� &% �) �� &��4)*�� "����� ���0 "�$ "�("&) � "��*�(*�$�& *�� ��#��$��

.��-���, 0*�& �� .��-��� "�$ "����"�&) � (4&) ����� Euler; �� "��*�(*&�& ( �

�(��)� *� ��� ���0 *�� .��-��� ��) � 1�&%�& ( � ����� Euler *�� .��-��� "�$

"����"�&).

Page 4: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �*��*&)�3*��*� ���� #�*�� 3

("���������� ���������������������������� !

�� ����*�&$�*&�& ��%� �"�� �� ���&$�$ #�& � .��-����� �& 7 ���$-(� �� ���( �

�(��)� 0*�&:

1. �� "�0�� � (4&) ��&)� *$ &��)�(� *$ )*�0*&� (*$ '&#�& � �������).

2. �� '&��&�� � (4&) ����� Euler ��) � "&�)(4&) ���$-� "�$ &% �) *��&%� ����+*��

3. �� ��%�� � (4&) ����� Euler ��) � (4&) 14 ���(�

�. �*��*&)���+��*&)� 1

(����������� ���������������������������� !

�% &��) �"�# �� ���&$�$ #�& � .��-��� "�$ #�&� �) ���$-(� (4�$ ���)� 1���# (82).

��)&� �"# �)� "������+ "����*&)� ����&��$ ��) "�)&� #4);

1. �� .��-��� (4&) ����� Euler

2. Y"��4&) &"�.#�& � $"�.��-��� ��$ "�$ (4&) ����� Euler.2. Y"��4&) &"�.#�& � $"�.��-��� ��$ "�$ (4&) ����� Euler.

3. To *$�"���+�� ��$ (4&) ����� Euler, � �� "����� ���$-0 ��$ .��-������ &% �)

���)�� ��)��#�.

4. � 4�+���)�#� ��)��#� ��$ .��-������ &% �) %*�� �& 2

�. �*��*&)���+��*&)� 2

(#���������� ���������������������������� !

�% &��) �"�# �� ���&$�$ #�& � .��-��� "�$ #�&� �) ���$-(� (4�$ ���)� 1���# (82).

��)&� �"# �)� "������+ "����*&)� ����&��$ ��) "�)&� #4);

1. � �� .��-��� &% �) ')4����%*)��, �#�& (4&) ����� Euler

2. � �� .��-��� &% �) 2-�� � )�#, �#�& (4&) ����� Euler2. � �� .��-��� &% �) 2-�� � )�#, �#�& (4&) ����� Euler

3. � �� .��-��� &% �) ��%�� �#�& (4&) ����� Euler

4. � �� .��-��� &% �) 2-4�+���%*)��, �#�& (4&) ����� Euler

�. �*��*&)���+��*&)� 3

($���������� ���������������������������� !

��)(� �"# �)� "������+ "����*&)� ����&��$ ��) "�)(� #4);

1. 9"��4&) .��-��� �& 5 ���$-(� ��) 5 ���(� "�$ &% �) *$ '&#�& � ��) '& (4&) �����

Euler.

2. 9"��4&) �"�# .��-��� �& 2012 ���$-(� "�$ �#*� �$�# #*� ��) ��2. 9"��4&) �"�# .��-��� �& 2012 ���$-(� "�$ �#*� �$�# #*� ��) ��

*$�"���+���)�# ��$ (4�$ ����� Euler.

3. � "��*�(*�$�& �%� ���� *& ( � .��-��� "�$ (4&) ����� Euler, �� .��-��� "�$

"����"�&) (4&) ����� Euler.

4. 9"��4&) .��-��� 5 ���$-0 , "�$ �#*� �$�#, #*� ��) �� *$�"���+�� ��$ (4�$

����� Euler.

Page 5: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �*��*&)��-����.� 1

(%���������� ���������������������������� !

�&%5�& #�) ���& �"�# �� ���&$�$ #�& � .��-��� �& 5 ���$-(� ��) 9 ���(�:

1. �% �) *$ '&#�& �

2. �& (4&) ����� Euler

�. �*��*&)��-����.� 2

(&���������� ���������������������������� !

&+����& �� �)��.( &)� .��-����+ , "�$ ��%2&��) �"# �� &5�� � �'���)�# ��)*�#:

• �� �"���*�&�� .��-��� "�$ � ��&) *�� , &% �) �� .��-��� �3.

• � G � ��&) *�� ���*� , �#�& *�� � ��&) ��) �� .��-��� G’ "�$ "����"�&) �

"��*�(*�$�& '�� (&� ���$-(� u,v ��) *$ '(*�$�& ��) �)� 2 �$�(� �)� ���$-(� �&"��*�(*�$�& '�� (&� ���$-(� u,v ��) *$ '(*�$�& ��) �)� 2 �$�(� �)� ���$-(� �&

���)10� 2 ���$-(� ��$ G.

(�) ����*�&$�*�& #�� �� .��-����� 5 ���$-0 "�$ � ���$ *�� ���*� .

(,) �"�'&%5�& �& �������)�� &"�.+.� #�) ( � .��-��� ��� ���*�� (4&) ����� Euler.