Questes da prova da CEF 2008, elaborada pela CESGRANRIO, com soluo do professor Antonio Luiz 1. Em uma urna h 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6.Dessaurnaretiram-se,sucessivamenteesemreposio,duasbolas.Quantassoas extraes nas quais a primeira bola sacada verde e a segunda contm um nmero par? (A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27 Soluo: Podemos usar o princpio fundamental da contagem, pensando da seguinte forma: Ou na primeira retirada, ocorre bola verde contendo nmero mpar; e, na segunda, ocorre bola contendo nmero par e, portanto, teramos 3 possibilidades na primeira e 5 na segunda, dando um total de 15 maneiras. Ou poder ocorrer, na primeira retirada, bola verde contendo nmero par e, na segunda, ocorre bolacontendonmeropar.Assim,teremos2possibilidadesnaprimeirae4nasegunda, dando um total de 8 maneiras.Portanto,comoaspossibilidadessomutuamenteexclusivas,poderemosadicionara quantidadedemaneiras,chegandoaototalde23formasdeextrairduasbolas,sendoa primeira verde e a segunda contendo um nmero par. 2.Apsadatadeseuvencimento,umadvidasubmetidaajuroscompostoscomtaxa mensal de 8%, alm de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dvida original.Sabendo-sequelog102=0,30elog103=0,48eutilizando-separatodooperodoo sistemadecapitalizaocomposta,determineotempomnimonecessrio,emmeses,para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dvida original. (A) 24 (B) 23,5 (C) 13 (D) 11,5 (E) 10 Soluo: Podemos pensar que o valor da dvida original um capital inicial e que o valor a ser quitado o montante ao final de n perodos, considerando, ainda, que haver uma multa de 2% dessadvidaoriginal.Assim,denominandodeCadvidaoriginaledeQovalortotalaser quitado, e m a multa, temos: Dados: i = 8% a.m. Q=(1+190%).C=290%.C m = 2% .C SendoMomontanteacumuladodadvidaaofinaldenperodos,observemosqueamulta somadaaessemontanteparaaquitaodadvida.Comoelafixaeiguala2%deC, teremos que considerar que o montante a juros compostos ir equivaler a 288% de C, ou seja, M = Q m. Assim,ni C M ) 1 ( + =nC C %) 8 1 ( % 288 + =n08 , 1 88 , 2 =08 , 1 log 88 , 2 log n =08 , 1 log88 , 2 log= n =100 log 108 log100 log 288 log=2 ) 3 . 2 log(2 ) 3 . 2 log(3 22 5=2 3 log 3 2 log 22 3 log 2 2 log 5 + +=2 48 , 0 . 3 3 , 0 . 22 48 , 0 . 2 3 , 0 . 5 + + 5 , 1104 , 046 , 02 44 , 1 6 , 02 96 , 0 5 , 1= = + += n meses 3.Emumcaminhoretilneohumcanteiroformadopor51roseiras,todasenfileiradasao longodocaminho.Adistnciaentrequaisquerduasroseirasconsecutivas1,5m.Nesse caminho,haindaumatorneiraa 10,0mdaprimeiraroseira. Gabrieldecidemolhartodasas roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar3roseiras. Dessaforma, Gabrielencheoregadornatorneira,encaminha-se paraa1 roseira,molha-a,caminhaata2roseira,molha-ae,aseguir,caminhaata3roseira, molhando-a tambm, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel volta torneira,encheoregadorerepetearotinaanteriorparaastrsroseirasseguintes.No momento em que acabar de regar a ltima das roseiras, quantos metros Gabriel ter percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez? (A) 1666,0 (B) 1581,0 (C) 1496,0 (D) 833,0 (E) 748,0 Soluo: Primeiramente,observemosqueh51roseirasqueseroregadasdetrsemtrs.Portanto, haver 17 etapas nesse processo(513). Observemos, ainda, que em cada etapa ter a ida e a volta,excetonaltima,poisqueremossaberadistnciaapsaltimaroseiraserregada. Assim,vamosconstruirasequnciadedistnciaspercorridas,acadaetapadeidaevolta, como segue: (26, 35, 44, 53, ..., 17a ) Essa sequncia um P.A. de razo igual a 9. Calculando o ltimo termo, teremos: 170 144 26 9 . 16 2617= + = + = aA soma das distncias ser: 1666 17 . 98217 ). 170 26 (17= =+= SComonaltimaetapanohaveravolta,entoteremosqueretirarametadedadistncia considerada nessa etapa, que de 85 (2170217=a), ou seja, a distncia total percorrida ser: D=1666-85=1581 m. 4.Uminvestimentoconsistenarealizaode12depsitosmensaisdeR$100,00,sendoo primeirodelesfeitoummsapsoinciodatransao.Omontanteserresgatadoumms depoisdoltimodepsito.Seataxaderemuneraodoinvestimentode2%aoms,no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, ser (A) 1200,00 (B) 1224,00 (C) 1241,21 (D) 1368,03 (E) 2128,81 Soluo: OvalorSacumuladoseromontantedeumarendaimediatacom12termos,acrescidode mais um perodo de juros. Assim, teremos: += +=% 21 %) 2 1 (. 1001 ) 1 (.1212iip Sn Observando o fator de acumulao da tabela, disponvel na prova, para n=12, obteremos para 268242 , 1 %) 2 1 (12= + . Dessa forma, teremos: =02 , 01 268242 , 110012S =02 , 0268242 , 010012S =02 , 08242 , 26=1341,21 Essevaloroacumuladologoapsoltimodepsito.Comoaquestopedeovalor acumuladoummsapsoltimodepsito,entoteremosquefazermaisumperodode acumulao, considerando como capital o valor j acumulado. Assim, teremos: 112%) 2 1 ( + = S S =1%) 2 1 ( 21 , 1341 + =1368,03 5. A taxa efetiva anual de50%,no sistema de juroscompostos, equivale auma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O nmero de divisores inteiros positivos de i (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Soluo: Oprimeiropassousarmosoconceitodetaxasproporcionaisparaencontrarmosataxa efetiva bimestral, partindo da taxa nominal i %. Para isso, basta dividirmos i % por 3, uma vez que um bimestre cabe 3 vezes em um semestre, ou, de outra forma: 1 3%bi i=Agoraaplicamosoconceitodetaxasequivalentes,umavezqueessataxabimestraldever equivaler a 50% ao ano. Dessa forma, teremos: ) 1 ( ) 1 (6a bi i + = +%) 50 1 ( )3%1 (6+ = + i 5 , 1 )3%1 (6= + i Observandoatabela,disponibilizadanaprova,paraofatordeacumulao ni) 1 ( + ,veremos que na linha correspondente a n=6, esse fator igual a 1,5 para uma taxa de aproximadamente 7%. Portanto, teremos: % 73%=i21 = iOs divisores positivos de 21 so: 1, 3, 7 e 21 Logo, a quantidade 4. 6. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser Perodo012 Valor(milhares de reais)- 410pp (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5 (D) 219,5 (E) 220,5 Soluo: A taxa interna de retorno aquela que iguala o valor atual das entradas com o valor atual das sadas do fluxo de caixa. Nesse fluxo dado, s h uma sada de 410 e duas entradas iguais a p. Assim, considerando a data focal zero, temos: 2%) 5 1 ( % 5 1410+++=p p p p + = 05 , 1 . ) 05 , 1 ( 4102 205 , 1 . 410 05 , 2 = p5 , 22005 , 2025 , 452= = p 7. Um emprstimo de R$ 300,00 ser pago em 6 prestaes mensais, sendo a primeira delas paga30diasapsoemprstimo,comjurosde4%aomssobreosaldodevedor,pelo Sistema de Amortizao Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestao ser (A) 50,00 (B) 52,00 (C) 54,00 (D) 56,00 (E) 58,00 Soluo: No sistema SAC o valor da amortizao fixo. Assim, esse valor obtido dividindo o valor do emprstimopelaquantidadedeprestaes,ouseja,506300= = a .Osaldodevedorapso pagamento da k-sima prestao dado pora k E SDk. = , onde E o valor do emprstimo. O valor da k-sima prestao encontrado adicionando o valor da k-sima amortizao com o valordosjurosdessaprestao,quecalculadoaplicandoataxadejurossobreosaldo devedor aps o pagamento da (k-1)-sima prestao.Desse modo, teremos: k k kj a p + =3 4%. 4 50 SD p + =) 3 300 %.( 4 504a p + =) 150 300 %.( 4 504 + = p150 %. 4 504+ = p56 6 504= + = p8.Joga-seNvezesumdadocomum,deseisfaces,no-viciado,atqueseobtenha6pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 (A) 150/216 (B) 91/216 (C) 75/216 (D) 55/216 (E) 25/216 Soluo: Como teremos que obter 6 com N menor do que 4, ento s h 3 possibilidades: 1. Ocorre 6 no primeiro lanamento, sendo essaprobabilidade igual a 61; 2. No ocorre 6 no primeiro lanamento e ocorre no segundo, sendo essa probabilidade igual a 3656165= ; 3. No ocorre 6 nos dois primeiros lanamentos e ocorre no terceiro, sendo essa probabilidade igual a 21625616565= Comoastrsmaneirasacimasomutuamenteexclusivas,poderemossom-las,para obtermos a probabilidade pedida. Assim, teremos: 2169121625 30 362162536561=+ += + + 9.JliofezumacompradeR$600,00,sujeitataxadejurosde2%aomssobreosaldo devedor.Noatodacompra,fezopagamentodeumsinalnovalordeR$150,00.Fezainda pagamentosdeR$159,00eR$206,00,respectivamente,30 e60diasdepoisdecontradaa dvida. Se quiser quitar a dvida 90 dias depois da compra, quanto dever pagar, em reais? (A) 110,00 (B) 108,00 (C) 106,00 (D) 104,00 (E) 102,00 Soluo: Como foi feito pagamento no ato, ento o saldo devedor ficou inicialmente de R$ 450,00. Com 30dias,essesaldodevedorsofreumacrscimode2%,elevando-separaR$459,00. Entretanto,nessadata,humpagamentodeR$159,00,reduzindoessesaldodevedorpara R$300,00.Com mais30dias,totalizando60diasdacompra,essenovosaldodevedorsofre acrscimo de 2%, elevando-se para R$ 306,00. Como h um pagamento de R$ 206,00, ele se reduz para R$ 100,00, que dever sofrer um acrscimo de 2% mais uma vez, para ser quitado com 90 dias aps a compra. Portanto, o total para quitar ser de R$ 102,00. 10.Escrevendo-setodososnmerosinteirosde1a1111,quantasvezesoalgarismo1 escrito? (A) 481 (B) 448 (C) 420 (D) 300 (E) 289 Soluo: 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 = 20 (Esse valor fixo toda vez que contamos uma centena completa)100 ... 199 = 20 + 100 (Perceba que apareceu o valor fixo anterior somado com outro valor fixo, porque h o algarismo 1 iniciando todos os nmeros dessa centena) 201 ... 291 = 20 (valor fixo na centena) 301 ... 391 = 20 (valor fixo na centena) 401 ... 491 = 20 (valor fixo na centena) 501 ... 591 = 20 (valor fixo na centena) 601 ... 691 = 20 (valor fixo na centena) 701 ... 791 = 20 (valor fixo na centena) 801 ... 891 = 20 (valor fixo na centena) 901 ... 991 = 20 (valor fixo na centena) 1000 ... 1099 = 20 + 100 (valor fixo na centena+ valor fixo quando o algarismo 1 inicia a centena) 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 = 28 (Como a centena incompleta, faz-se a soma manualmente) Total de algarismos 1= 448 28 2 100 11 20 = + +