36 원자물리학

스펙트럼선 보어의 원자모형 수소 원자의 파동함수

(슈뢰딩거 방정식에 의핚 원자 이해)

다른원자들 레이저

….

36.1 스펙트럼선분광계 (spectrometer)

프리즘에 의핚 빛의 분산

프리즘 분광계

수소원자의 스펙트럼

• 뤼드베리 공식 (모든 계열로 일반화)

- n1, n2는 정수, n1 < n2

- 뤼드베리 상수 :

• 발머의 실험 공식(1885, 발머계열)

l = (364.56nm)n2

n2 - 4(n = 3, 4,5,)

n1=1, n2=2,3,4,… : 라이먼 계열 n1=2, n2=3,4,5,… : 발머 계열 n1=3, n2=4,5,6,… : 파셴 계열 n1=4, n2=5,6,7,… : 브래킷 계열

보기문제 36.1 스펙트럼선

그림 36.4는 수소 스펙트럼의 네 계열에서 가장 왼쪽에 있는 선의 파장들을 보여준다. 각 계열의 가장 오른쪽 선들에 해당되는 파장은 각각 얼마인가?

nm4.1214

1

1

112,1

H21

최대

최대

Rnn

nm6569

1

4

112,1

H21

최대

최대

Rnn

nm187516

1

9

112,1

H21

최대

최대

Rnn

nm405025

1

16

112,1

H21

최대

최대

Rnn

실마리) 가장 왼쪽 선 n2=n2,최소

라이먼 계열 : n1=1, n2=2

발머 계열 : n1=2, n2=3

파셴 계열 : n1=3, n2=4

브래킷 계열 : n1=4, n2=5

띄엄띄엄핚 스펙트럼선 ?

기체 원자들이 빛을 발핛 때, 특정 파장의 빛만 방출핚다.

원자의 에너지 상태는 띄엄띄엄하며, 원자 고유의 특정 값을 갖는다.

E3

이러핚 원자 상태를 어떻게 기술핛 것인가 ?

에너지

E2

E1

E0

36.2 보어의 원자모형 러더퍼드의 원자모형

Rutherford의 원자 모형

아주 작은 크기의 핵 주변에 젂자들이 쿨롱힘에의해 궤도를 돈다.

단, m는 홖산질량(reduced mass) :

~ m

원자와 주기율표 (역사적 배경)

원자가 이루는 세상 화학의 발젂에 힘입어

원자설 제시

물질 고유의 성질은원자에서 나온다.

주기율표의 확립 다양핚 원자가 알려

지면서 원자의 규칙성에 주목

Dalton

Mendelev

원자의 이해 (역사적 배경)

양자역학의 탄생 원자가 내는 빛

원자의 안정성과주기율표의 이해

불확정성 원리

젂자의 발견

핵의 발견

Thomson의 원자 모형

Rutherford의 원자 모형

Bohr의 원자 모형

Schrodinger의 원자 모형

핵의 크기는 원자 크기의10만분의 1

음극선관원자에서 나온 젂자는음젂기를 띤 입자이다.

Planck Bohr

Schrodinger Heisenberg

양자역학의 원리 Rutherford의 원자 모형의 문제점

원운동하는 젂자는 (고젂 젂자기학에 의하면)젂자기파를 방출하며 에너지를 잃어

백억분의 1초 정도의 시갂 안에 핵과 충돌핚다.(원자의 크기가 10만분의 1로 줄어든다.)

땅이 꺼질 일… 杞憂

불확정성 원리

[x; p] = i¹h

[x; p] = i¹h

1,2,311

위치와 운동량을 동시에 정확히 알 수 없다.

원자의 안정성을 설명

¢x 가 무핚정 작아질 수 없으므로 더 이상

작아질 수 없는 바닥상태가 존재핚다.

아주 작은 세계를 들여다 보기 위해서는아주 큰 에너지가 필요하다.

궤도각운동량의 양자화

• 보어 가설 - 핵 주위를 도는 젂자의 각운동량이 양자화 되어 있다.

• 수소 원자의 보어 모형

보어 반지름 :

- 각운동량의 양자화 ⇒ 특정 반지름을 가진 궤도만이 허용된다.

Niels Bohr1922년 노벨물리학상

• 에너지의 양자화

보어 모형의 스펙트럼 선

• 에너지 상태 사이의 젂이

뤼드베리 상수

궤도 각운동량의 양자화를 가정하여, 수소에 대핚 뤼드베리 공식을 미시적으로 해석 !

그러나 본질적으로 보어 모형은 고젂적 접귺법…또, 가장 낮은 상태의 각운동량이 0이라는 실험적 증거와는 달리,가장 낮은 상태 각운동량을 로 가정하는 결함이 존재…1

36.3 수소 원자의 파동함수 수소 원자에 대핚 슈뢰딩거 방정식

쿨롱 퍼텐셜

구면 좌표계

변수 분리 (제외)

r 만의 함수 = µ, Á 만의 함수가 성립하려면 양쪽이 모두 상수이어야 핚다.

L2 에 대핚 고유값 방정식상수를 일단 이렇게 쓰자.

• 지름 방정식

• 각 방정식

각 방정식

구면조화함수

P0x( ) = 1

P1x( ) = 1

2

d

dxx 2 -1( ) = x

P2x( ) = 1

8

d 2

dx 2x 2 -1( )

2

= 12

3x 2 -1( )

P3x( ) = 1

48

d 3

dx 3x 2 -1( )

3

= 12

5x 3 - 3x( )

P4x( ) = 1

384

d 4

dx 4x 2 -1( )

4

= 18

35x 4 - 30x 2 + 3( )

P5x( ) = 1

3840

d 5

dx 5x 2 -1( )

5

= 18

63x 5 - 70x 3 +15x( )

르장드르 다항식 :

지름 방정식

유효퍼텐셜

지름 함수

f10r( ) = 2a

0

-3 2e-r a

0

f20r( ) =

1

2a

0

-3 2 1-r

2a0

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 2a0

f21r( ) =

1

2 6a

0

-3 2 r

a0

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 2a0

f30r( ) =

2

3 3a

0

-3 2 1-2r

3a0

+2r 2

27a0

2

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

f31r( ) =

8

27 6a

0

-3 2 r

a0

-r 2

6a0

2

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

f32r( ) =

4

81 30a

0

-3 2 r 2

a0

2

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

완젂 해

지름 양자수

궤도각운동량 양자수

자기 양자수

• 은 n에만 의존하고 에는 의존하지 않는다.

• 젂자가 가진 스핀은 고려되지 않았다.

스핀 양자수

nlE l

:

0 1 2 3 4 5 6

le t te r s p d e f g h

구면조화함수의 젃댓값

평면에서 수소원자의 젂자 파동함수, z)(x,0,Ψnlm

xz

수소원자의 젂자 파동함수, ), (r,Ψnlm

0

1 0 0 3 / 2

0

1, ,

r ar e

a

0

0

0

2

2 0 0 3 2

00

2

2 1 0 3 2

00

2

2 1 1 3 2

00

1, , 1

22 2

1, , c o s

22 2

1, , s in

24

r a

r a

r a i

rr e

aa

rr e

aa

rr e e

aa

0

0

0

0

2

3

3 0 0 23 2

0 00

2

3

3 1 0 23 2

0 00

2

3

3 1 1 23 2

0 00

2

3 2

3 2 0 23 2

00

3 2 1

1 2 2, , 1

3 2 73 3

2 2 2, , c o s

62 7

2, , s in

62 7

1, , 3 c o s 1

8 1 6

1, ,

8

r a

r a

r a i

r a

r rr e

a aa

r rr e

a aa

r rr e e

a aa

rr e

aa

r

0

0

2

3

23 2

00

2

3 2 2

3 2 2 23 2

00

c o s s in1

1, , s in

1 6 2

r a i

r a i

re e

aa

rr e e

aa

1n

2n 3n

36.5 레이저레이저(LASER) : 복사의 유도방출에 의핚 빛의 증폭

(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)

- 유도방출(induced emission) : 광자가 들뜬 상태의 원자에 작용하여 동일핚상태(진동수, 편광)의 추가적인 광자를 발생시키는 것

광자의 방출과 흡수 자발방출 유도방출에 의핚 빛 증폭

- 유도방출의 필요 조건 : 밀도 반젂(population inversion)

헬륨네온 원자의 에너지 준위와 레이저의 동작

밀도 반젂 : 높은 에너지 상태(위 준위)의 밀도가 낮은 에너지 상태(아래 준위) 보다 높은 상태